ゴム材料のシミュレーション方法

【課題】フィラー充填ゴムの変形を精度良くシミュレーションする。
【解決手段】ゴムと、フィラーと、ゴム及びフィラー以外の第３の成分とを含むゴム材料の変形をシミュレーションするシミュレーション方法であって、前記ゴム材料を数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデル２を設定するステップと、前記ゴム材料モデル２に条件を設定して変形計算を行うステップと、前記変形計算から必要な物理量を取得するステップとを含むとともに、前記ゴム材料モデルは、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデル３と、前記フィラーをモデル化したフィラーモデル４とを少なくとも含み、かつ前記マトリックスモデル３には、その物性として、伸びと応力との関係を表す関数が設定されるとともに、前記関数は、前記第３の成分の配合量に応じたパラメータを含むことを特徴とする。

【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ゴムと、フィラーと、第３の成分とが配合されたゴム材料の変形を精度良く解析するのに役立つゴム材料のシミュレーション方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
タイヤ、スポーツ用品、その他各種の工業製品に使用されているゴム材料には、その機械的特性を向上させるために、カーボンやシリカ等のフィラーが充填される。特に、タイヤに関しては、近年、シリカが多用されつつある。その理由は、シリカ配合はカーボン配合に比べて転がり抵抗が小さいので、タイヤの燃費性能の向上に寄与するためである。また、シリカは脱石油資源であるため、環境にも優しいフィラーと言える。従って、シリカを含むフィラーが充填されたゴム材料の変形を精度良くコンピュータシミュレーションで解析することは今後のタイヤ等の開発にきわめて有益となる。
【０００３】
従来、コンピュータを用いたゴム材料のシミュレーション方法としては、下記の非特許文献１及び特許文献１などが知られている。特に特許文献１のものでは、ゴム材料モデルとして、数値解析が可能な要素でモデル化したマトリックスモデルとフィラーモデルとが設定され、フィラーの影響を考慮した有限要素法による変形計算が行われる。
【０００４】
【非特許文献１】Ellen M. Arruda and Marry C. Boyce著「 A THREE-DIMENSIONAL CONSTITUTIVE MODEL FOR THE LARGE STRECH BEHAVIOR OF RUBBER ELASTIC MATERIALSS」 Journal of the Mechanics and Physics of Solids Volume 41, Issue 2, Pages 389-412 (February 1993)
【特許文献１】特許３６６８２３８号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
ところで、ゴム材料のシミュレーションを行う際には、フィラーモデル及びマトリックスモデルにそれぞれの物性が予め定義される。例えば、フィラーモデルは、硬質の弾性体として取り扱われるので、弾性率が設定される。また、マトリックスモデルには、前記物性として、フィラーが配合されていない純ゴムの引張試験の結果に基づいた物性（応力と伸びとの関係を示す関数）が定められていた。
【０００６】
しかしながら、このような方法でフィラー配合ゴムのシミュレーションを行うと、引張変形を与えたときの応力－伸びの結果が、実際の引張試験で得られた応力－伸びの結果と差異が生じる場合がある。この差異は、種々の実験の結果、フィラー充填ゴムに配合されるゴム及びフィラー以外の第３の成分の影響が大きいことを発明者らは知見した。
【０００７】
例えば、シリカが配合されたゴム材料では、シリカとゴムとを化学的に結合するためにシランカップリング剤（界面結合剤）が配合される。これまでは、シランカップリング剤は、シリカとゴムとの界面にのみ作用すると考えられていたが、昨今では、シランカップリング剤の一部は、加硫時にゴム同士を結合させる架橋剤を生成することが分かってきた。従って、マトリックスゴムの物性は、シランカップリング剤の配合量に応じて変化することになる。よって、精度の良いシリカ配合のゴム材料のシミュレーションを行うためには、このようなシランカップリング剤の影響をマトリックスゴムの物性に入力することが重要である。
【０００８】
また、発明者らは、シリカ配合ゴム及びシリカを含まない純ゴムについてそれぞれシランカップリング剤を変量配合して引張試験を行ない、それらの１００％モジュラスを測定した。ゴムの配合は次の通りであり、その結果は図１４に示される。
【０００９】
配合（単位：質量％）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ＳＢＲ１５０２１００
真珠シリカ（※１）５３．２（又は０）
シランカップリング剤（※２）変量
ステアリン酸２．０
酸化亜鉛３．０
老化防止剤１３１．０
硫黄１．５
加硫促進剤ＴＢＢＳ（※３）１．０
加硫促進剤ＤＰＧ（※４）１．０
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
加硫時間：３０分＠１５０℃
※１）日本触媒社製の「シーホスター」、粒径約１００nm
※２）デグッサ社製のＳｉ２６６（ビス（３－トリエトキシシリルプロピル）ジスルフィド）
＊３）大内新興化学工業（株）製のノクセラーNS（N-tert-ブチル-2-ベンゾチアゾリルスルファンアミド）
＊４）大内新興化学工業（株）製のノクセラーD（ジフェニルグアンジン）
【００１０】
図１４の結果から明らかなように、シリカを含まない純ゴムは、シランカップリング剤が配合されてもそのモジュラスは実質的に変化しない。しかし、シリカ配合ゴムは、シリカの配合量が一定であるにも拘わらずシランカップリング剤の配合量の増加とともにモジュラスが増大していることが分かる。つまり、シランカップリング剤は、シリカと結びついて初めて上述の架橋剤を生成する蓋然性が高いと推察される。従って、シリカ配合ゴムのシミュレーションを行うに際して、そのマトリックスモデル部分の物性を、シリカが配合されていない純ゴムから単純に定めるという従来の手法は適切ではない。
【００１１】
本発明は、以上のような問題点に鑑み案出なされたもので、ゴム材料モデルを、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラーをモデル化したフィラーモデルとを含んで設定するとともに、前記マトリックスモデルは、応力とひずみとの関係を表す関数によってその物性が設定されるとともに、前記関数は、ゴム及びフィラー以外の第３の成分の配合量に応じて変わるパラメータを含むことを基本として、精度良くフィラーが配合されたゴム材料の変形を計算しうるシミュレーション方法を提供することを主たる目的としている。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
本発明のうち請求項１記載の発明は、ゴムと、フィラーと、ゴム及びフィラー以外の第３の成分とを含むゴム材料の変形をシミュレーションするシミュレーション方法であって、前記ゴム材料を数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデルを設定するステップと、前記ゴム材料モデルに条件を設定して変形計算を行うステップと、前記変形計算から必要な物理量を取得するステップとを含むとともに、前記ゴム材料モデルは、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、前記フィラーをモデル化したフィラーモデルとを少なくとも含み、かつ前記マトリックスモデルには、その物性として、伸びと応力との関係を表す関数が設定されるとともに、前記関数は、前記第３の成分の配合量に応じたパラメータを含むことを特徴とする。
【００１３】
また請求項２記載の発明は、前記フィラーがシリカであり、かつ、前記第３の成分がシランカップリング剤である請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１４】
また請求項３記載の発明は、前記関数は、前記パラメータの増加によって前記マトリックスゴムモデルに高い応力を発生させる請求項１又は２記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１５】
また請求項４記載の発明は、前記関数は、下記式（１）で定義される請求項１乃至３のいずれかに記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【数１】

【発明の効果】
【００１６】
本発明のゴム材料のシミュレーション方法では、ゴムと、フィラーと、ゴム及びフィラー以外の第３の成分とを含むゴム材料の変形をシミュレーションするシミュレーション方法が提供される。そこでは、解析の対象となるゴム材料モデルは、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラーをモデル化したフィラーモデルとを含んでモデル化される。そして、マトリックスモデルには、応力とひずみとの関係を表す関数によってその物性が設定されるとともに、前記関数には、第３の成分の配合量に応じて変わるパラメータが入力される。このようなシミュレーション方法では、第３の成分の配合量に基づいてマトリックスモデルの物性が変化するため、精度良くフィラー配合のゴム材料の変形をシミュレーションすることができる。特に請求項２に記載された発明のように、フィラーがシリカであり、かつ、第３の成分がシランカップリング剤である場合には、より有効にマトリックスモデルに発生する応力の計算精度を高めることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１７】
以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明する。
図１には、本発明のシミュレーション方法を実施するためのコンピュータ装置１が示されている。このコンピュータ装置１は、本体１ａ、キーボード１ｂ、マウス１ｃ及びディスプレイ装置１ｄを含んで構成されている。本体１ａの内部には、ＣＰＵ、ＲＯＭ、作業用メモリー及び磁気ディスク等のなどの大容量記憶装置が設けられる。また、本体１ａには、ＣＤ－ＲＯＭやフレキシブルディスクのドライブ装置１ａ１、１ａ２が設けられる。そして、前記大容量記憶装置には後述する本発明のシミュレーション方法を実行するための処理手順（プログラム）が記憶されている。
【００１８】
本実施形態のシミュレーション方法では、ゴムと、フィラーと、ゴム及びフィラー以外の第３の成分とを含むゴム材料の変形がシミュレーションされる。図２には、そのシミュレーション方法の処理手順の一例が示される。本実施形態では、フィラーとしてシリカが、また第３の成分としてシランカップリング剤がそれぞれ配合されたゴム材料のモデルが設定される（ステップＳ１）。前記シランカップリング剤としては、例えば、ビス（３－トリエトキシシリルプロピル）ポリスルフィド、ビス（２－トリエトキシシリルエチル）ポリスルフィド、ビス（３－トリメトキシシリルプロピル）ポリスルフィド、ビス（２－トリメトキシシリルエチル）ポリスルフィド、ビス（４－トリエトキシシリルブチル）ポリスルフィド、ビス（４－トリメトキシシリルブチル）ポリスルフィドなどが挙げられ、これらのシランカップリング剤は単独で用いてもよく、２種以上を組み合わせて用いても良い。なかでも、シランカップリング剤の添加効果およびコストの両立から、ビス（３－トリエトキシシリルプロピル）ジスルフィドなどが好適に用いられる。
【００１９】
図３には、微視構造としてのゴム材料モデル２の一例が視覚化して示されている。該ゴム材料モデル２は、解析しようとするゴム材料（実在するか否かを問わない）の微小領域が、有限個の小さな要素２ａ、２ｂ、２ｃ…に置き換えられたものである。各要素２ａ、２ｂ、２ｃ…は、数値解析が可能に定義される。数値解析が可能とは、例えば有限要素法、有限体積法、差分法又は境界要素法といった数値解析法により、各要素ないし系全体についての変形計算が可能なことを意味する。具体的には、各要素２ａ、２ｂ、２ｃ…について、座標系における節点座標値、要素形状、材料特性などが定義される。各要素２ａ、２ｂ、２ｃ…には、例えば２次元平面としての三角形ないし四辺形の要素、３次元要素としては、例えば４ないし６面体の要素が好ましく用いられる。これにより、ゴム材料モデル２は、前記コンピュータ装置１にて取り扱い可能な数値データを構成する。
【００２０】
この実施形態のゴム材料モデル２は、後述する変形シミュレーションにおいて平面ひずみ状態で解析が行われる。したがってｚ方向にはひずみを持たない。この実施形態において、ゴム材料モデル２の一辺の長さは、例えば縦横それぞれ３００nm×３００nmである。
【００２１】
また、本実施形態のゴム材料モデル２は、ゴムマトリックス部分がモデル化されたマトリックスモデル３と、このマトリックスモデル３の中に分散して配されかつ本実施形態ではフィラーとしてのシリカがモデル化されたフィラーモデル４と、前記マトリックスモデル３と前記フィラーモデル４との間に介在しかつ両者の間の界面を形成する界面モデル５とからなるものが例示される。
【００２２】
前記マトリックスモデル３は、ゴム材料モデル２の主要部を構成し、かつ、例えば三角形ないし四辺形の複数個の要素を用いて表現されている。変形計算を行うために、マトリックスモデル３を構成する各要素には、その物性として応力と伸びとの関係を表す関数が定義される。本実施形態のゴム材料のシミュレーション方法では、ゴム弾性応答を表現するために、前記マトリックスモデル３及び界面モデル５のゴム部分は、いずれも分子鎖網目理論に基づいて計算が行われる。
【００２３】
分子鎖網目理論とは、図４（Ａ）、（Ｂ）に示されるように、連続体としてのゴム材料ａは、微視構造として、無秩序に配向された分子鎖ｃが接合点ｂで連結された網目構造を持つとの考えを前提とするものである。接合点ｂは、例えば分子間の化学的結合であってそれには架橋点などが含まれる。
【００２４】
分子鎖網目理論では、接合点ｂが原子の揺らぎ周期に対して長時間的には平均位置が変化しないものとし、接合点ｂの回りの摂動が無視される。さらに、二つの接合点ｂ、ｂを両端に持つ分子鎖ｃの端－端ベクトル（end-to-end vector ）は、それが埋め込まれているゴム材料の連続体と共変形するとの仮定が置かれる。
【００２５】
また、１本の分子鎖ｃは、図４（Ｃ）に示されるように、複数のセグメントｄから構成されるものとする。各セグメントｄは、化学的には同図（Ｄ）に示すように、炭素原子が共有結合によって連結した複数個のモノマーｆが連結したものに相当する。個々の炭素原子は、原子同士の結合軸の周りで互いに自由に回転しうるため、セグメントｄは全体として曲がりくねるなど様々な形態をとることができる。モノマーｆの数が十分多ければ、スケーリング則によってセグメントｄの巨視的な性質は変わらないので、一つのセグメントｄは、分子鎖網目理論においては繰り返しの最小構成単位として取り扱われる。さらに、図４（Ｃ）に示される二つの接合点ｂ、ｂによって定義される分子鎖の形態は非ガウス統計分布に従うものとされる。従って、二つの接合点ｂ、ｂを結ぶ方向に伸び（ストレッチ）λを加えた場合に生じる応力は、下式（１）で表すことができる。
【数１】

【００２６】
そして、網目構造の全体的な応答特性は、個々の分子鎖の寄与を考慮して得ることができる。しかし、それら全てを正確に考慮して計算するのは数学的に困難である。このため、分子鎖網目理論では、平均化手法が導入される。本実施形態では、８鎖モデルを採用した分子鎖網目理論に準拠している。即ち、この手法では、図５（Ａ）に示されるように、超弾性体であるゴム材料は、巨視的には、微小な８鎖モデルｇ…が集合した立方体状の網目構造体ｈであると仮定される。また、一つの８鎖モデルｇは、図５（Ｂ）に拡大して示されるように、立方体の中心に定められた一つの接合点ｂ１から、各頂点に設けられた８つの各接合点ｂ２にそれぞれ分子鎖ｃがのびているものと仮定して計算が行われる。
【００２７】
また、本実施形態では、分子鎖網目理論に、材料のひずみに応じた接合点ｂの消滅が考慮される。現実のゴム材料において、荷重の負荷における変形過程では、分子鎖の互いに絡み合った部分（即ち、前記接合点ｂ）が大きなひずみによって消滅することが知られている。つまり、接合点ｂの数が減少する。例えば、図６（Ａ）に示されるように、一つの接合点ｂで接合されている分子鎖ｃ１ないしｃ４に矢印方向の引張応力が作用すると、各分子鎖ｃ１ないしｃ４の伸びにより接合点ｂは大きなひずみを受けて消滅する。この結果、図６（Ｂ）に示されるように、これまで２本であった分子鎖ｃ１及びｃ２は、１本の長い分子鎖ｃ５になる。分子鎖ｃ３及びｃ４についても同様である。このような現象は、ゴム材料の負荷変形が進むにつれて逐次発生する。また、接合点ｂの数の減少は、１本の分子鎖ｃに含まれるセグメントの数を増加させることになる。
【００２８】
次に、上記の現象を図５（Ａ）に示した網目構造体ｈに具体的に適用する。該網目構造体ｈは、幅方向、高さ方向及び奥行き方向にそれぞれ８鎖モデルｇがｋ個結合されているもとする。網目構造体ｈに含まれる接合点ｂの総数を「からみ数」として符号ｍで表すと、それは式（２）で表される。同様に、網目構造体ｈに含まれる分子鎖ｃの数（即ち、マトリックスモデル３の単位体積中に含まれる分子鎖の数）ｎは、式（３）で表される。
ｍ＝（ｋ＋１）³ ＋ｋ³ …式（２）
ｎ＝８ｋ³ …式（３）
【００２９】
ここで、ｋは十分に大きい数とすると、上式（２）からｋの３次項以外を省略して次式（４）が得られる。さらに式（３）及び（４）の関係から、からみ数ｍは、ｎを用いて式（５）で表される。
ｍ＝２ｋ³ …式（４）
ｍ＝ｎ／４ …式（５）
【００３０】
さらに、網目構造体ｈは、変形の前後で材料の出入りが無いので、そのセグメントの総数Ｎ_A は常に一定と仮定できる。従って、式（６）、及び（７）が成り立つ。
Ｎ_A ＝ｎ・Ｎ …式（６）
Ｎ＝Ｎ_A ／ｎ＝Ｎ_A／４ｍ …式（７）
【００３１】
ここで、上述の接合点ｂの消滅は、マトリックスモデル３におけるからみ数ｍを減少させ、ひいては１本の分子鎖ｃに含まれるセグメントの数を増加させることに相当する。従って、８鎖モデルを用いた分子鎖網目理論に、上述の負荷変形（伸び）に伴った接合点の減少を導入するために、前記式（１）における１本の分子鎖当たりの平均セグメント数Ｎを、ひずみに関するパラメータλ_ｃに応じて増大させる。このひずみに関するパラメータλ_ｃとしては、例えば、ひずみ、伸び、ひずみ速度又はひずみの１次の不変量などが挙げられる。また、上記負荷変形時とは、微小時間の間でモデルのひずみが増大する変形であり、逆に除荷変形時とは、ひずみが減少する変形とする。
【００３２】
さらに、本実施形態では、マトリックスモデル３に適用される分子鎖網目理論についてのみ、シランカップリング剤の配合量に応じた接合点の増加が考慮される。図７には、シリカの体積含有率を２０％に固定し、シランカップリング剤の体積含有率μ（＝ｖ_c／ｖ_o［％］；ｖ_c：シランカップリング剤の体積、ｖ_o：ゴムの全体積）のみを変化させた複数種類のシリカ配合ゴムについて、ひずみが５０％になるまで引張試験を行ったときの公称応力－公称ひずみの関係が示される。図７から明らかなように、シランカップリング剤の体積含有率μの増加に伴い、シリカ配合ゴムが硬化している（弾性率が大きくなっている）ことが分かる。その原因は、上で述べた通り、ゴムとシリカ粒子との界面以外に存在するシランカップリング剤が、加硫時に縮合反応を起こし、ゴムの分子鎖同士を化学的に結合させる架橋剤として生成、機能したためと推察される。このようなシランカップリング剤によるゴム分子鎖の結合は、マトリックスゴムに新たな接合点を生成し、１本の分子鎖に含まれるセグメントの数を減らすことに相当する。従って、分子鎖網目理論にこのシランカップリング剤の作用を導入するべく、本実施形態では、シランカップリング剤の配合量の増加に基づいて、前記式（１）における１本の分子鎖当たりの平均セグメント数Ｎを減少させる。
【００３３】
以上より、本実施形態のマトリックスモデル３では、１本の分子鎖当たりの平均セグメント数Ｎは、下式（８）のように、１本の分子鎖当たりの初期セグメント数Ｎ₀に、材料のひずみに応じたパラメータｆ（λ_c）の項が加算されるとともに、シランカップリング剤の配合量に応じたパラメータｇ（μ）が減算される関数として定義される。
Ｎ（λ_c，μ）＝Ｎ₀＋ｆ（λ_c）－ｇ（μ） …（８）
ここで、符号は次の通りである。
Ｎ₀：１本の分子鎖当たりの初期セグメント数
μ：ｖ_c／ｖ_o
ｖ_c：シランカップリング剤の体積
ｖ_o：ゴムの全体積
【００３４】
従って、上記式（８）で得られる平均セグメント数Ｎを用いた前記式（１）は、マトリックスモデル３のひずみ及びシランカップリング剤の配合量に依存して応力を変化させることができる。とりわけ、パラメータ｛ｇ（μ）｝の項を含むことにより、シランカップリング剤のマトリックスゴムへの影響を考慮してシリカ配合ゴム材料の変形計算を行うことができるので、その計算精度が向上する。なお、各関数ｆ、ｇの係数は、適宜定めることができる（詳細は実施例で述べる）。
【００３５】
次に、前記フィラーモデル４は、フィラーとしてのシリカをモデル化したものが示される。この実施形態では、三角形又は四辺形の複数個の要素でモデル化される。前記シリカは、直径約６０～３００nm程度のゴムに比べて非常に硬い単粒子からなる。フィラーモデル４には、このような解析対象となるシリカの物性とほぼ等しい物性が設定される。また、フィラーモデル４は、粘弾性体ではなく弾性体として取り扱われる。
【００３６】
本実施形態では、フィラーモデル４の体積含有率μが２０％となるよう、５つのフィラーモデル４がゴム材料モデル２の中に含まれている。各フィラーモデル４の粒子径は全て等しく設定されている。ただし、ゴム材料モデル２に含まれるフィラーモデル４の個数などは解析対象となるゴムのシリカ配合量などに応じて適宜定めれば良い。また、フィラーとしては、シリカ以外にもカーボンブラックなどが用いられても良い。
【００３７】
前記界面モデル５は、シリカとマトリックスゴムとを化学的に結合させるシランカップリング剤を含む薄い厚さの界面部分に相当し、それがモデル化されたものである。該界面モデル５は、小さい厚さｔでフィラーモデル４を連続して取り囲んでおり、この実施形態では、２層の要素で構成されている。また、界面モデル５の内周面はフィラーモデル４に、またその外周面はマトリックスモデル３にそれぞれ接触している。これらの各接触面には、例えば互いに剥離しない条件などを設定できる。なお、界面モデル５の厚さｔは、特に限定されるものではないが、種々の実験結果などに鑑み、フィラーモデル４の直径の１０～３０％程度、より好ましくは１５～２５％程度に設定されるのが望ましい。
【００３８】
また、この界面モデル５にも前記式（１）に準じた応力と伸びとの関係が定義される。しかし、界面モデル５で用いられる式（１）の平均セグメント数Ｎは、下式（９）のように、固定値に設定される。また、前記界面部分では、シランカップリング剤の影響によってマトリックスゴムよりも硬くなっていると考えられる。このため、本実施形態では、式（９）の平均セグメント数Ｎの初期値Ｎ₀を、マトリックスモデル３に適用される式（８）の平均セグメント数Ｎの初期値Ｎ₀よりも小さくして伸びにくくしている。これにより、本実施形態の界面モデル５には、マトリックスモデル４よりも硬い粘弾性特性が定義される（ただし、界面モデル５は、フィラーモデル４よりは軟らかく設定される）。
Ｎ（λ_c）＝Ｎ₀ …（９）
【００３９】
なお、後述するゴム材料モデル２の変形シミュレーションでは、マトリックスモデル３及び界面モデル５の各要素について、負荷変形時においてはパラメータλc が常時計算され、それらは式（８）及び（９）に代入される。これにより、当該要素のセグメント数Ｎが常に更新されてシミュレーションに取り込まれる。
【００４０】
次に、ゴム材料モデル２を変形させるための変形条件が設定される。本実施形態では、図３のｙ方向に任意の平均ひずみ速度を加えてゴム材料モデル２に引張変形を与える条件が定義される。また、所定のひずみ量に達した後は、逆に前記と同じひずみ速度でひずみを零まで漸減させる。ただし、変形条件は種々定めうるのは言うまでもない。
【００４１】
次に本実施形態のシミュレーション方法では、設定されたゴム材料モデル２を用いて変形シミュレーションが行われる（ステップＳ３）。変形シミュレーションの具体的な処理手順は、図８に示される。変形シミュレーションでは、先ずゴム材料モデル２の各種のデータがコンピュータ装置１に入力される（ステップＳ３１）。入力されるデータには、各要素に定義された節点の位置や材料特性といった情報が含まれる。
【００４２】
コンピュータ装置１では、入力されたデータに基づいて各要素の剛性マトリックスを作成し（ステップＳ３２）、しかる後、全体構造の剛性マトリックスを組み立てる（ステップＳ３３）。全体構造の剛性マトリックスには、既知節点の変位、節点力が導入され（ステップＳ３４）、剛性方程式の解析が行われる。そして、未知節点変位が決定され（ステップＳ３５）、各要素のひずみ、応力、主応力といった物理量を計算し、出力する（ステップＳ３６ないし３７）。ステップＳ３８では、計算を終了させるか否かの判定がなされ、否定的である場合には、ステップＳ３２以降を繰り返す。このようなシミュレーション（変形計算）は、例えば有限要素法を用いたエンジニアリング系の解析アプリケーションソフトウエア（例えば米国リバモア・ソフトウェア・テクノロジー社で開発・改良されたＬＳ－ＤＹＮＡ等）を用いて行うことができる。
【００４３】
本シミュレーションは、均質化法（漸近展開均質化法）に基づいて行われる。均質化法は、図９に示されるように、図３に示した微視構造（ユニットセル）を周期的に持っているゴム材料全体Ｍを表現するｘ_I と、前記微視構造を表現するｙ_I との独立した２変数が用いられる。微視的スケールと巨視的スケールという異なる尺度の場におけるそれぞれ独立した変数を漸近展開することにより、図３に示した微視構造のモデル構造を反映させたゴム材料全体の平均的な力学応答を求めることができる。即ち、解析対象領域が任意の微視構造の繰り返しによって構成され、その繰り返し度合いが非常に密なために直接有限要素法で領域を離散化出来ない場合、解析対象を均質な等価モデルで代用して全体を解析し、その解析結果を任意の点での微視構造に戻すことによって微視構造自身の変形を近似的に求めることができる。
【００４４】
前記変形計算が行われると、その結果から必要な物理量を取得することができる（ステップＳ４）。物理量としては、シリカ配合ゴムの変形挙動を調べるために、応力－ひずみ曲線が特に有効である。また、前記ゴム材料モデル２の各要素の時系列的な変形状態を視覚化して表示することもできる。この際、各要素には、応力に応じた着色を施すことが望ましい。
【００４５】
本発明では、ゴム及びフィラー以外の第３の成分（シランカップリング剤）のゴム物性への寄与を切り分けている。このため、第３の成分の量を数水準変えたフィラー充填ゴムのマトリックス部分を予め決定しておけば、さらに第３の成分の配合量を振った場合のフィラー充填ゴムのある程度の特性が実験データなしで予測できる。従って、ゴム材料の開発効率が向上する。なお、上記実施形態では、フィラーとしてシリカを、また第３の成分としてシランカップリング剤の例を示したが、本発明は、これらの組み合わせに変えて、フィラーにカーボンを、また第３の成分として酸化ジアルキルスズ＋チウラム化合物、ジチオカルバミン酸塩系化合物、チアゾール系化合物又はスルフェンアミド化合物を用いた場合にも適用できる。また、第３の成分の配合量に関するパラメータについて、上記実施形態では体積含有率を例に挙げたが、配合量に応じて変わるものであれば、例えば質量、質量比、表面積比など種々のものを採用しうるのは言うまでもない。
【実施例】
【００４６】
１）解析モデル
図３に示す微視構造を周期的に持っているシリカ配合のゴム材料の全体巨視的モデルが設定された。巨視的モデルのサイズは２mm×２mmの矩形状とした。
【００４７】
２）８鎖モデルの具体的構成式
この実施例では、ゴムの粘弾性挙動をさらに正確に記述するために、図１０に示されるように、粘弾性８鎖モデルとダンパーで構成されるモデルとを用いた。実際のゴムの分子鎖は、周囲の分子鎖との摩擦に起因した粘性を持っている。このような摩擦を表現するために、８鎖モデルＡの各分子鎖に、粘性抵抗をもつバネ・ダンパーの標準モデルが導入された。従って、単分子鎖の二つの接合点を結ぶ方向に伸びλc を加えた場合に生じる応力σ_cは、前記式（１）より次式で表すことができる。
【００４８】
【数２】

【００４９】
また，図１０に示す単分子鎖の各要素のストレッチをλ_α、λ_β、λ_γとすると、λ_α =λ_ｃである。その他の添え字α、β、γについても，図１０に示す要素と対応させている．ただし，λ_ｃ＝λ_β・λ_γである。
【００５０】
また、変形前の体積を基準とした単位体積当たりの仕事に相当するひずみエネルギー密度関数Ｗを用いると、応力σ_ｃは、次式のように表される。
【００５１】
【数３】

【００５２】
上記２つの式より、恒等的に次式が成り立つ。
【００５３】
【数４】

【００５４】
また、８鎖モデルの場合、主ストレッチをλ₁、λ₂、λ₃とすると、分子鎖のストレッチλ_ｃは、√｛（λ₁²＋λ₂²＋λ₃²）／３｝と表すことができるので、下式が成り立つ。
【００５５】
【数５】

【００５６】
上記３つの式より、上記８鎖モデルＡの主ストレッチ方向の応力σ_i^Ａと、ストレッチλ_iとは次の関係で与えられる。
【数６】

【００５７】
また、上記８鎖モデルＢの主ストレッチ方向の応力σ_i^Ｂと、ストレッチλ_i’とは次の関係で与えられる。
【数７】

【００５８】
また、この実施例では、非圧縮性ゴム材料を扱うものとする。従って、非圧縮性を満たすために静水圧ｐを用いる。このとき、上の２つの式を用いると、非圧縮性ゴム材料の構成式は、次のようになる。
σ_ｉ＝σ_i^Ａ＋σ_i^Ｂ－ｐ
【００５９】
また、上記構成式の速度形式は、次のように表すことができ、この実施例ではこの式が用いられる。
【数８】

【００６０】
２）マトリックスモデルの１本の分子鎖の平均セグメント数Ｎ
下式が採用された。
Ｎ（λ_c、μ）＝Ｎ₀＋ｆ（λ_c）－ｇ（μ）
＝Ｎ₀＋ａ₀＋ａ₁λ_c＋ａ₂λ_c²－√（ｂ₀＋ｂ₁μ）
ここで、ｆ（λ_c）及びｇ（μ）の具体的な関数の決め方の一例について述べる。まず、マトリックスモデルの材料変形に伴うからみ点の変化は、λ_c（伸び）のみに依存する。従って、最初に、シリカ未充填の純ゴムでのシミュレーションを行ない、その結果が実際の純ゴムの試験結果と整合するようにｆ（λ_c）の係数が決定される。先ず、１回目の負荷変形サイクルでは、負荷時のからみ点数が変化（減少）し、除荷時は、除荷開始時の値から変化しないものとする。そして、シミュレーションの結果と、実際の試験結果とが整合するよう、前記関数ｆ（λ_c）の係数が決定される。なお、一旦、除荷された後の再負荷時においては、からみ点数の変化は不可逆的なものとする。即ち、再負荷時において、前回の負荷変形サイクルで到達した最大伸び以下の変形領域では、平均セグメント数Ｎは変化しないものとする。つまり、１回目の変形サイクルの除荷と、２回目の変形サイクルの再負荷でのＮの値は同一になる。そして、さらに変形が進み、１回目の変形サイクルで経験した最大伸びを超えた場合、Ｎの値が再び変化（減少）するものとして定められる。次に、このシミュレーションによる結果と、シランカップリング剤の配合量を変えたシリカ配合ゴムの引張試験結果とを突き合わせ、それらの差ΔＮとμとの関係（図１１）を調べる。そして、この結果から、ｇ（μ）の係数が決定される。具体的には、次のパラメータが設定された。
N_αA＝N_{αA_0}+a₀+a₁λ_c+a₂λ_c²-√(b₀+b₁μ)
（ただし、この形でNが変化するのは、図10のN_αA、N_αB、N_βAのうちN_αAだけである）
N_{αA_0}=8.3
a₀=1.20
a₁=－2.19
a₂=0.99
b₀=－7.17
b₁=9.52
N_αB＝9.8、N_βA＝10.0
N_A＝n・N=4.75×10²⁶
C^R_αB＝0.08、C^R_βA＝0.185
C^R_αAは、C^R=n・k_B・TよりN_αAの値から決まる値
【００６１】
３）界面モデルの１本の分子鎖の平均セグメント数Ｎ
Ｎ（λ_c）＝Ｎ₀＝２．０（固定値）
ａ₀＝１．２０
ａ₁＝－２．１９
他は、上記の値と同じである。
N_αA＝2.0
N_αB＝9.8
N_βA＝10.0
C^R_αA＝0.97、C^R_αB＝0.08、C^R_βA＝0.185
【００６２】
４）フィラーモデルなどのパラメータ
フィラーモデルの縦弾性率：１００ＭＰａ
フィラーモデルのポアソン比：０．３
材料温度：Ｔ＝２９６Ｋ
ｋ_B ＝１．３８０６６×１０^-29
Ｃ_β^R ＝０．１８５ＭＰａ
Ｃ_α^R ＝０．０８ＭＰａ
Ｎ_A ＝ｎ・Ｎ＝４．７５×１０²⁶
Ｎ_A0 ＝８．３８
Ｎ_αＢ＝９．８
フィラーモデルの体積含有率μ：２０％
フィラーモデルの縦弾性係数Ｅ：１００ＭＰａ
フィラーモデルのポアソン比ν：０．３
【００６３】
５）変形条件
上記巨視的モデルに一様な一軸引張変形を発生させるため、図９のｘ_２方向に一定の変形速度１００mm／minを加え、所定の最大ひずみ（２．５又は４．０）まで漸増させた。また、最大ひずみひずみに達した後は、逆に前記と同じ変形速度でひずみを零まで漸減させた。なお上記巨視的モデルは、厚さ方向（図３のＺ軸方向）に変化しないように８鎖モデルを用いた分子鎖網目理論に基づいて計算を行った。
【００６４】
６）計算結果
先ず、図１２には、本実施例のシリカ配合ゴムのゴム材料モデルに用いられたマトリックスモデル単体の応力－ひずみ曲線を示す。また、併せて純ゴムの引張試験による実験値及びシミュレーション結果を示す。シミュレーションにおける純ゴムとは、式（８）における１本の分子鎖に含まれるセグメント数Ｎの関数からシランカップリング剤の配合量に関するｇ（μ）の項を省略したものである。図１２より、シリカ配合ゴムにおけるマトリックスモデルは、純ゴムに比べて高モジュラス化していることが再現されている。
【００６５】
次に、図１３（ａ）には、この実施例に従うゴム材料モデルの応力－ひずみ曲線について、シミュレーションと実験値とが併記されている。図１３（ａ）から明らかなように、シミュレーションの結果が、実験値と非常に良い相関を示していることが分かる。また、図１３（ｂ）には、図１３で用いられた式（８）から第３の成分のパラメータｇ（μ）の項を取り除いた物性が設定されたマトリックスモデルを用いたシリカ配合ゴムのシミュレーション結果を示す（比較例）。この例では、図１３（ａ）に比べると、精度が悪いことが確認できる。
【図面の簡単な説明】
【００６６】
【図１】本実施形態で用いたコンピュータ装置の一例を示す斜視図である。
【図２】本実施形態の処理手順を示すフローチャートである。
【図３】ゴム材料モデル（微視構造）の一実施形態を示す線図である。
【図４】（Ａ）は粘弾性材料、（Ｂ）はその分子鎖１構造を説明する線図、（Ｃ）は１本の分子鎖の拡大図、（Ｄ）はセグメントの拡大図である。
【図５】（Ａ）は粘弾性材料の網目構造体を示す斜視図、（Ｂ）は８鎖モデルの一例を示す斜視図である。
【図６】（Ａ）、（Ｂ）は分子鎖の接合点の破断を説明する線図である。
【図７】シリカ配合ゴムのシランカップリング剤の体積含有率μを変えたときの応力－ひずみ曲線である。
【図８】変形シミュレーションの手順を示すフローチャートである。
【図９】均質化法を説明する微視構造と全体構造との関係を示す。
【図１０】実施例の８鎖モデルの構成図である。
【図１１】シランカップリング剤の体積含有率μと、ΔＮとの関係を示すグラフである。
【図１２】マトリックスモデルの応力－ひずみ曲線を示す。
【図１３】（ａ）は実施例方法、（ｂ）は比較例方法によるシリカ配合ゴムの応力－ひずみ曲線を示す。
【図１４】シランカップリング剤の体積含有率の影響を説明するグラフである。
【符号の説明】
【００６７】
１コンピュータ装置
２ゴム材料モデル
３マトリックスモデル
４フィラーモデル
５界面モデル

【特許請求の範囲】
【請求項１】
ゴムと、フィラーと、ゴム及びフィラー以外の第３の成分とを含むゴム材料の変形をシミュレーションするシミュレーション方法であって、
前記ゴム材料を数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデルを設定するステップと、
前記ゴム材料モデルに条件を設定して変形計算を行うステップと、
前記変形計算から必要な物理量を取得するステップとを含むとともに、
前記ゴム材料モデルは、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、前記フィラーをモデル化したフィラーモデルとを少なくとも含み、かつ
前記マトリックスモデルには、その物性として、伸びと応力との関係を表す関数が設定されるとともに、
前記関数は、前記第３の成分の配合量に応じたパラメータを含むことを特徴とするゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項２】
前記フィラーがシリカであり、かつ、前記第３の成分がシランカップリング剤である請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項３】
前記関数は、前記パラメータの増加によって前記マトリックスゴムモデルに高い応力を発生させる請求項１又は２記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項４】
前記関数は、下記式（１）で定義される請求項１乃至３のいずれかに記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【数１】