一般化された等価換算厚と等価弾性係数を用いた多層地盤の沈下・応力解析法

【課題】
地盤の各層ごとの剛性の影響を定量的に沈下量計算に組み込める算定式について、現在提案されているものは、多層地盤の上下における剛性の大小によって、適用範囲が限定されている。また、多層地盤の鉛直応力に関する算定式について、現在提案されているものは、等方等質弾性体の解あるいは繰り返し計算による解析解を用いた閉じた形ではない解が使用されている。
【解決手段】
まず、多層地盤の即時沈下に関して、地盤の各層における鉛直方向の剛性の影響を適切に表現しうるように、Barber式及びTerzaghi式を一般化した等価換算厚及び等価弾性係数を提案し、厳密解及び他の数値解析手法と比較し、提案式の有用性を明らかにした。また、多層地盤の鉛直応力に関しては、一般化されたBarber式とTerzaghi式を用いた等価換算厚によって表示された鉛直応力の算定式を提案し、厳密解及び他の数値解析手法と比較し、提案式の有用性を明らかにした。

【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、多層地盤の沈下解析及び応力解析を行い、多層地盤における即時沈下、鉛直応力を算定する技術に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
建築物基礎の構造計算においては、許容応力度法を採用することが多く、地盤の許容応力度と沈下量を算定するために、原地盤を砂質土と粘性土に分類し、また原地盤は多層地盤としてモデル化される。従来、多くの場合国土交通省告示第1113号（以下、新告示と呼ぶ）（非特許文献1）及び「建築物の構造関係技術基準解説書」等（非特許文献2~4）に基づき、多層地盤の許容応力度の算定法に関する研究（非特許文献5~11）が行われてきている。そこでは、地盤の許容応力度に関して地下水面の影響および基礎底面の下部土質層の影響を考慮し、新告示で示された許容応力度の算定式を多層地盤へ一般的に拡張した形が提案された（非特許文献6, 7, 10~12）。また、新告示に基づき、改訂版「建築物のための改良地盤の設計及び品質管理指針」―セメント系固化材を用いた深層・浅層混合処理工法（非特許文献3）―（以下、改良指針と呼ぶ）が刊行され、改良指針における許容支持力度の算定式に関する妥当性の有無については、（非特許文献8と9）において明らかにされた。
【０００３】
多層地盤の即時沈下量に関して、植下（非特許文献13 ~ 15）は多層弾性体に関する厳密解を求めることによって、Odemark（非特許文献16）の近似法による変位解及びSteinbrenner （非特許文献17, 18）の近似式についてそれぞれの精度を明らかにした。遠藤（非特許文献19）は、二層地盤におけるBarber（非特許文献20）の方法を用いて等値弾性率を提案し、舗装構造に適用した。また、Odemark（非特許文献16）、上田ら（非特許文献21）、及びNascimento（非特許文献22）による近似計算法が提案されている。
【０００４】
次に、粘性土に関しては、過圧密、正規圧密、圧密未了として分類される地盤の圧密状態を考慮した圧密降伏応力の推定法（非特許文献5）が提案され、その各式を用いた圧密沈下量の算定法（非特許文献6）が提示された。圧密沈下量の計算においては、まず載荷重による地盤内の鉛直応力を正確に算定することが必要である。以下、指針（非特許文献24）における鉛直応力式(5.3.10)及び(5.3.12)を応力に関する指針式という。指針式では、地盤を等方等質弾性体としてモデル化しており、この場合の鉛直応力を採用し、圧密沈下式に代入することになるが、指針式では多層地盤の鉛直応力分布に関する厳密解を適切に表現できないことが分かった（非特許文献10, 11）。
【０００５】
地盤中に地中構造物等を有する場合に関しては、Hirai，他（非特許文献43, 44）によって三次元弾性解析手法と厳密解が提案された。しかし、多層地盤の三次元弾性解析（非特許文献31~33, 45）においては, 境界条件を厳密に満足させるために、一般解に含まれる未定定数を正確に決定することが大変困難な問題となっている。そこで、平井,他（非特許文献10、11）によりBarber（非特許文献20）によって提案された二層地盤に関する近似計算法を多層地盤に一般化した近似解析法が提案された。
【非特許文献１】国土交通省告示第1113号：官報, 号外第136号, pp.4~5, (2001).
【非特許文献２】2001年版建築物の構造関係技術基準解説書：国土交通省住宅局建築指導課他, 工学図書（株）, pp.53~63, (2001).
【非特許文献３】日本建築センター：改訂版建築物のための改良地盤の設計及び品質管理指針―セメント系固化材を用いた深層・浅層混合処理工法, pp.1~115, (2002).
【非特許文献４】日本建築学会：建築基礎構造設計指針(第1版), pp.117~358, (1988).
【非特許文献５】平井弘義・亀井健史：粘性土の圧密降伏応力の推定法に関する一提案, 土と基礎, 地盤工学会,Vol.50, No.5, Ser.No.532, pp.11~13, (2002).
【非特許文献６】平井弘義・亀井健史：サウンディング試験を用いた地盤の許容応力度の算定法に関する一提案, 日本建築学会構造系論文集, 第557号, pp.113~120, (2002).
【非特許文献７】平井弘義・亀井健史：多層地盤の許容応力度と沈下量の算定法に関する一提案, 第47回地盤工学シンポジウム, 平成14年度論文集, 地盤工学会, pp.61~68, (2002).
【非特許文献８】平井弘義・亀井健史：改良地盤の許容応力度と沈下量の算定法, 第48回地盤工学シンポジウム, 平成15年度論文集, 地盤工学会, pp.37~44, (2003).
【非特許文献９】平井弘義：改訂版「建築物のための改良地盤の設計及び品質管理指針」―セメント系固化材を用いた深層・浅層混合処理工法―における算定式の妥当性について, 建築技術, No. 651, pp.168~170, (2004).
【非特許文献１０】平井弘義・亀井健史：多層地盤の沈下・応力・許容応力度に関する算定法, 日本建築学会構造系論文集, 第573号, pp.81~88, (2003).
【非特許文献１１】平井弘義・亀井健史：等価換算厚理論による多層地盤の沈下・応力・破壊・許容応力度に関する算定法, 日本建築学会構造系論文集, 第581号, pp.79~86, (2004).
【非特許文献１２】平井弘義：建築基礎構造設計指針による沈下式の問題点と修正沈下式, 建築技術, No. 669, pp.42~46, (2005).
【非特許文献１３】植下協・G. G. マイヤホフ：岩盤上土層表面における弾性変位について, 土木学会論文集, No.143, pp.9~15, (1967).
【非特許文献１４】植下協・G. G. マイヤホフ：多層地盤における弾性変位について, 土木学会論文集, No.144, pp.20~26,(1967).
【非特許文献１５】Ueshita, K. and Meyerhof, G. G.: Deflection of Multilayer Soil Systems, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol.93, No.SM5, pp.257~282, (1967).
【非特許文献１６】Odemark, N.:Investigations as to the Elastic Properties of Soils and Design of Pavements according to the Theory of Elasticity, Statens Vaginstitut, Meddelande, No.77, Stockholm, (1949).
【非特許文献１７】Steinbrenner, W.: Tafeln zur Setzungsberechnung, Die Stra・e, Vol.1, (1934).
【非特許文献１８】Steinbrenner, W.:Bodenmechanik und neizeitlicher Stra・enbau, Symposium by 24 authors, Volk und Reich Verlag, Berlin, (1936).
【非特許文献１９】遠藤靖：アスファルト舗装の計算[2], 道路建設, 7月号, pp.24~31, (1962).
【非特許文献２０】Palmer, L. A. and Barber, E. S. :Soil Displacement under a Circular Loaded Area, Proc. Highway Res. Board, Vol.20, pp.279~286,(1940).
【非特許文献２１】上田嘉男・西中村和利・増井隆：撓み性舗装に対する層構造の考え方, 第７回日本道路会議論文集, pp.432~435,(1963).
【非特許文献２２】Nascimento, U., Seguro, J.M., da Costa, E., and Pinela, S.: A Method of Designing Pavements for Road and Airports, Proc. 5th Int.Conf. on Soil Mech. and Found. Eng., Vol. 2, pp.283~288, (1961).
【非特許文献２３】舗装設計施工指針, (社)日本道路協会, pp.179~203, (2001).
【非特許文献２４】日本建築学会：建築基礎構造設計指針(第2版), pp.105~456, (2001).
【非特許文献２５】姫野賢治：多層弾性解析プログラム, Elastic Layer System Analysis, (1998).
【非特許文献２６】松井邦人：多層弾性理論による舗装構造解析入門―GAMES(General Analysis of Multi-layered Elastic Systems)を利用して―, 舗装工学ライブラリー3, （社）土木学会, 丸善, pp.1~166, (2005).
【非特許文献２７】Love, A. E. H.:The Stress Produced in a Semi-Infinite Solid by Pressure on part of Boundary, Phil. Trans. Roy. Soc., London, Series A., Vol.228, (1929).
【非特許文献２８】Harr, M. E.:Foundations of Theoretical Soil Mechanics, McGraw-Hill, (1966).
【非特許文献２９】Boussinesq, J.:Love, A.E.H.,(1944), 参照.
【非特許文献３０】Love, A.E.H.:A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed. Dover, New York, (1944).
【非特許文献３１】最上武雄：土質力学, 技報堂出版, pp.221~330, (1969).
【非特許文献３２】木村孟：土の応力伝播, 鹿島出版会, pp.9~140, (1978).
【非特許文献３３】宮本博：３次元弾性論, 裳華房, pp.16~64, (1967).
【非特許文献３４】Schiffman, R.L.:The Numerical Solution for Stresses and Displacements in a Three-layer Soil System, Proc. 4th Int. Conf. Soil Mech. and Found. Eng., Vol.2, pp.169~173, (1957).
【非特許文献３５】Kirk, J.M.:Beregning af Nedsyningen i lagdelte Systemer, Dansk Vejtidsskrift,Vol.38, No.12, pp.294~296, (1961).
【非特許文献３６】Acum, W.E.A. and Fox, L.:Computation of Load Stresses in a Three Layer Elastic System, Geotechnique, Vol.2, (1951).
【非特許文献３７】Zienkiewicz, O.C.:The Finite Element Method, 3rd Edition, pp.119~134,(1977).
【非特許文献３８】Jones, A.:Tables of Stresses in Three-Layer Elastic Systems, Highway Res. Board Bulletin 342, pp.176~214, (1962).
【非特許文献３９】Burmister, D.M.:The Theory of Stresses and Displacements in Layered Systems and Applications to the Design of Airport Runways, Proc. HRB, Vol.23, pp.126~148, (1943).
【非特許文献４０】Burmister, D.M.: The General Theory of Stresses and Displacements in Layered Systems, J. Appl. Physics, Vol.16, No.2,3,5, (1945).
【非特許文献４１】Burmister, D.M.: Evaluation of Pavement Systems of the WASHO Road Test by Layered System Methods, Highway Res. Board Bulletin 177, pp.26~54, (1958).
【非特許文献４２】Fox, L.:Computation of Traffic Stresses in a Simple Road Structure, Proc. 2nd Int. Conf. on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol.2, pp.236~246, (1948).
【非特許文献４３】Hirai, H. and Satake, M.:Stress Analysis of a Penny-Shaped Crack Located Between Two Spherical Cavities in an Infinite Solid, Journal of Applied Mechanics, Transactions of the ASME, Vol.47, No.4, pp.806~810, (1980).
【非特許文献４４】Hirai, H. and Satake, M.:Stress Analysis of a Penny-Shaped Crack Located Between Two Oblate Spheroidal Cavities in an Infinite Solid, International Journal of Engineering Science, Vol.19, pp.1283~1291, (1981).
【非特許文献４５】中原一郎他：弾性学ハンドブック, 朝倉書店, pp.281~470, (2001).
【非特許文献４６】Terzaghi, K.:Theoretical Soil Mechanics, John Wiley and Sons, New York, p.510, (1943).
【非特許文献４７】Yamaguchi, H.: Practical Formula of the Bearing Value for Two Layered Ground, Proc. 2nd Asian Regional Conf. SMFE, Vol. 1, pp.176~180, (1963).
【非特許文献４８】山口柏樹：土質力学(第3版), 技報堂出版, pp.94~276,(1984).
【非特許文献４９】Schleicher, F.:Bauingenieur, Vol.7, (1926).
【非特許文献５０】Newmark, N.M.:Chart for Computing Vertical Pressures Beneath a Surface Loading, Univ. of Illinois, June, (1937).
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
舗装構造などにおいては多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合に対して従来の沈下計算法は適用されるのであり、一般的な場合には「舗装設計施工指針」にあるように、従来の沈下計算法は用いることができない（非特許文献23）。そこで、一般的な場合についても適用できる沈下算定法が要望されてきている。また従来の沈下計算法は繰り返し計算を行うため、解が閉じた形(closed form)になっていないことが挙げられる。
【０００７】
一方、「建築基礎構造設計指針」（非特許文献4, 24）（以下、指針という）における即時沈下式が従来採用されているが、この即時沈下式は、多層地盤の境界条件を満足せず、厳密解を適切に表せないことが平井,他（非特許文献10~12）により明らかになった。以下、指針（非特許文献24）における即時沈下式(5.3.3)を沈下に関する指針式という。多層地盤の即時沈下量に関して、平井,他（非特許文献10, 11）は地盤の各層ごとの剛性の影響を適切に沈下量計算に組み込めるように、等価換算厚を二層地盤に適用したBarber（非特許文献20）の方法を多層地盤に一般化し、即時沈下量に関する近似計算式を提示した。最近、姫野（非特許文献25）、松井（非特許文献26）は舗装構造における多層弾性解析プログラムを開発し、既往の提示された即時沈下の厳密解に非常に近く、極めて精度の高い数値結果を示した。しかし、この解析方法は、基礎形状が円形のみに限定され、長方形の場合には適用できない。
【０００８】
一方、多層地盤を多層弾性体としてモデル化する場合は等方異質弾性体として仮定することが多く、層数が二及び三の多層弾性体においては鉛直応力の厳密解（非特許文献38 ~42）が提示されている。地盤が二層以上から構成される場合、境界条件を満足させるためには解析が非常に繁雑となるが、最近開発された姫野（非特許文献25）及び松井（非特許文献26）による舗装構造における多層弾性解析プログラムは、既往の提示された鉛直応力の厳密解に極めて近い、高精度の数値結果を与えている。しかし、この解析方法は先に述べたように、基礎形状が円形のみに限定され、長方形の場合には使用できない。さらに, 基礎設計においては、簡便な閉じた形(closed form)の解が要望される。そこで、等価換算厚を直接用いた解法並びに等価換算厚による応力分散幅を用いた解法を、それぞれ多層地盤の鉛直応力解析に適用し、他の解法と比較し、その有用性を検討する。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
すなわち、請求項１は、二層地盤の等価換算厚はBarber他によって提案されたが、二層地盤の上部が下部より小さい場合には適用できないので、一般的な場合における二層地盤の等価換算厚を提案することを特徴とする二層地盤に関する一般化された等価換算厚解析法である。
【００１０】
請求項２は、多層地盤の等価換算厚は従来多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合について定義されていたが、一般的な場合についても適用できうる多層地盤の等価換算厚の算定法を提案することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚解析法である。
【００１１】
請求項３は、二層地盤において二層地盤の上部が下部より小さい場合、Barber及びOdemarkによる従来の沈下計算法は適用できないので、それらの式を修正し、修正Barber式および修正Odemark式と称する沈下算定式を提案することを特徴とする二層地盤に関する一般化された等価弾性係数と等価換算厚を用いた即時沈下解析法である。
【００１２】
請求項４は、多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合に対して、従来の等価換算厚による沈下計算法が適用されるのであり、一般的な場合には従来の等価換算厚による沈下計算法は用いられないので、一般的な場合についても適用できるように等価弾性係数と等価換算厚を用いた多層地盤の沈下算定法を提案することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価弾性係数と等価換算厚を用いた即時沈下解析法である。
【００１３】
請求項５は、半無限多層地盤における等価弾性係数を提案し、沈下量を算定するための修正Barber式及び修正Odemark式における半無限等価弾性係数の形を提示することを特徴とする多層地盤に関する一般化された半無限等価弾性係数を用いた即時沈下解析法である。
【００１４】
請求項６は、剛体上の地盤の鉛直応力に関するTerzaghiの式を一般化するために、等価換算厚を用いた二層地盤の鉛直応力式を提案し、さらに多層地盤における等価換算厚を用いた鉛直応力式を提案することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚を用いた鉛直応力解析法である。
【００１５】
請求項７は、剛体上の地盤の鉛直応力に関するTerzaghiの式を二層地盤において一般化した等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力式を提案し、さらに多層地盤における一般化した等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力式を提案することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力解析法である。
上記Barber（非特許文献20）の方法とは概略次のような解析法である。
図１においてn=2、H_n→∞とおき、第二層である半無限弾性体の上に層厚H₁の第一層がある二層弾性体について、第一層を第二層と同じ弾性係数を持つ層で置き換えるのに、層の曲げ剛性を等しく保てば良いと考え、図２において示される等価換算厚H_1e（後述、［式１］）を用いた沈下式を提案した（後述、［式１１］）。
また、上記Odemark（非特許文献16）の方法とは概略次のような解析法である。
図１においてn=2、H_n→∞とおき、Barberと同様な等価換算厚を用いた沈下式を提案した（後述、［式１３］）。
次に、上記Terzaghi（非特許文献46）の方法とは概略次のような解析法である。
図１においてn=2、H_n→∞、E_n→∞とおき、等価換算厚H_1e（後述、［式２］）を用いた鉛直応力式を提案した（後述、［式２６］）。
【発明の効果】
【００１６】
舗装構造も含む多層地盤の沈下と応力を算定するために、多層地盤に関する一般化された等価換算厚及び等価弾性係数による等価弾性理論を適用し、次のような結果が得られた。
1) 二層地盤の等価換算厚はBarberによって提案されたが、二層地盤の上部が下部より小さい場合には適用できないので、一般的な場合における二層地盤の等価換算厚を提案した。
2) 多層地盤の等価換算厚は従来多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合について定義されていたが、一般的な場合についても適用できうる多層地盤の等価換算厚の算定法を提案した。
3) 二層地盤において、二層地盤の上部が下部より小さい場合、Barber及びOdemarkによる従来の沈下計算法は適用できないので、それらの式を修正し、修正Barber式および修正Odemark式と称する沈下算定式を提案した。
4) 多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合に対して、従来の等価換算厚による沈下計算法が適用されるのであり、一般的な場合には従来の等価換算厚による沈下計算法は用いられない。そこで、一般的な場合についても適用できるように等価弾性係数と等価換算厚を用いた多層地盤の沈下算定法を提案した。
5) 半無限多層地盤における等価弾性係数を提案し、沈下量を算定するための修正Barber式及び修正Odemark式における半無限等価弾性係数の形を提示した。
6) 剛体上の地盤の鉛直応力に関するTerzaghiの式を一般化するために、等価換算厚を用いた二層地盤の鉛直応力式を提案し、さらに多層地盤における等価換算厚を用いた鉛直応力式を提案した。
7) 剛体上の地盤の鉛直応力に関するTerzaghiの式を二層地盤において一般化した等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力式を提案し、さらに多層地盤における一般化した等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力式を提案した。
8) 沈下に関する指針式は二層地盤の上部が下部より小さい場合には適用できるが、二層地盤の上部が下部より大きい場合には適用できないことがわかった。さらに多層地盤が上部ほど低い弾性係数を示している場合に対して, 指針式は適用できうるが、多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示している場合に対して指針式は適用できないことが示された。
9) 応力に関する指針式は多層地盤における弾性係数比の相違による力学特性を表現できないので、多層地盤の鉛直応力に関する算定式として適用できないことが明らかになった。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１７】
以下図面に基いて、本願発明である一般化された等価換算厚と等価弾性係数を用いた多層地盤の沈下・応力解析法について、実施の形態につき、詳細に説明する。
図1は地盤を構成する土質層の第１層から第ｎ層までが、それぞれ厚さ2を有し、このような多層地盤において地盤面1から、底面の幅3、深さ4の直接基礎に荷重5が作用している状態を示す。
【００１８】
いま、図1に示されるように、地盤の層数と層厚2、砂質土と粘性土の区分は地盤面1から、地盤の深さ方向に行われるサウンディング試験によって調査できる。
【００１９】
基礎については、地盤面1から基礎底面までの深さ4、基礎底面の最小値3、及び形状・寸法が与えられるものとする。
【００２０】
砂質土の単位体積重量、並びに粘性土の単位体積重量、自然含水比、液性限界、圧密降伏応力については、サウンディングによる試験結果からは直接求められないので、既往の土質データ及び解析手法を用いて推定し、既知量とする。
【００２１】
サウンディング試験（標準貫入試験あるいはスウェーデン式サウンディング試験等）によって、各層の土質区分（砂質土と粘性土）とN値（ただし、スウェーデン式サウンディング試験においては、静的貫入抵抗WswとNswが分かれば、N値は間接的に既往の関係式を用いて推定できる）が与えられる。
【００２２】
地盤内の砂質土については、試験で得られたN値を、既往の内部摩擦角の推定式に代入すると、砂質土に関する内部摩擦角の値が得られる。
【００２３】
地盤内の粘性土に関して、N値と非排水せん断強さの関係は、既往の実験式により与えられるので、サウンディングによる試験結果から得られたN値を用いて、粘性土の非排水せん断強さは推定できうる。
【００２４】
地盤内の砂質土及び粘性土の弾性係数としてのヤング係数及びポアソン比は、それぞれN値を用いた既往の実験式及び推定式により与えられる。
【００２５】
図１に示す層数nの多層弾性体において、第m層の弾性係数をE_m 、ポアソン比をν_mと書くことにする。ここにD_f: 地盤面から基礎底面までの深さ（以下、根入れ深さという）である。本発明においては、変形係数に及ぼすひずみ及び拘束圧の影響に関して、それらへの依存性は考慮されておらず、多層弾性体の弾性係数として静的変形係数E₅₀を採用し、これを用いて第m層の弾性係数をE_mと記する。これらの評価法については、（非特許文献3）において詳細に記述されている。
【００２６】
図１と図２において、第n層と同じ弾性係数を持つ層で第m層を置き換えるのに、層の曲げ剛性を等しく保つようにすれば、以下のように等価換算厚は与えられる。
E_m≧E_nの場合、次式となる。（非特許文献10, 11）
【数１】

【００２７】
一方、E_m≦E_nの場合、H_n=∞かつE_n =∞において等価換算厚はTerzaghiによって提案された鉛直応力の形（非特許文献46）を考慮することによって与えられ、E_m=E_nにおいてはH_me= H_mであることを考慮すれば次式を仮定することができる。
【数２】

ここに、H_1e , H_2e,・・・ , H_(n-1)eは図２において示される等価換算厚である。
【００２８】
図２に示す等価弾性体について、荷重が1/2の勾配（非特許文献47, 48）で伝播するものと仮定する。基礎底面下部の第j層上部での短辺及び長辺の応力分散幅B_je及びL_jeについて考えると、荷重qを受ける根入れ深さD_f、長辺L、短辺Bの長方形基礎においては次式のように与えられた（非特許文献10,11）。
【数３】

【００２９】
いま図３に示される原地盤である多層弾性体の第1層～第n-1層を、図４に示される等価弾性係数E_Hを有する等価弾性体としてモデル化する場合については既に検討されており、原地盤の第1層～第n-1層に関して、等価弾性体のポアソン比としてν_nを用いることができ、以下に提案式（非特許文献10）を示す。

【数４】

［式４］において, ν₁=ν₂= ・・・=ν_n, D_f= 0とすれば, （非特許文献23）の付式(4.2.2) によって示される平均弾性係数と同じ形になる。
【００３０】
次に、図５に示される等価弾性体(2)における第n層の弾性係数E_nとポアソン比ν_nを用いて、図４の等価弾性体(1)における厚さHの等価弾性係数E_Hとポアソン比ν_nの層を置き換えると、等価換算厚H_eは次のようになる。
E_H≧E_nの場合、次式となる。
【数５】

E_H≦E_nの場合、［式２］と同様にして次式をうる。
【数６】

【００３１】
いま、弾性係数E_n、ポアソン比ν_nの半無限弾性体で地盤面から基礎底面までの深さD_fにおいて荷重qを受ける長辺L、短辺Bの長方形基礎に関して、中央部の直下で鉛直距離zにおける鉛直変位w(z) （非特許文献17, 18）は次のようになる。
【数７】

ここに, m=L / B , n= 2 z / B,
【数８】

【００３２】
また、荷重qを受ける半径aの円形基礎において中央部の直下で鉛直距離zにおける鉛直変位w(z) （非特許文献49）は次のようになる。
【数９】

ここに、B=2a であり、K (z ,νn) は次式によって与えられる。
【数１０】

【００３３】
ゆえに、基礎底面における即時沈下量S_iに関して、図１に示される多層弾性体に対する
Barber（非特許文献20）による式の修正式（非特許文献10）（以下修正Barber式という）は次のように示される。
【数１１】

ここに
【数１２】

であり、等価換算厚H_je は図２に示され、［式１］と［式２］によって与えられる。
【００３４】
また、図１に示される多層弾性体に対するOdemark（非特許文献16）による式の修正式（以下修正Odemark式という）は次のように書ける。
【数１３】

ここに、Odemarkによる提案式の中に示された修正係数はn₁=n₂=1.0と仮定され、［式１３］において等価換算厚H_je は［式１］と［式２］によって与えられる。
図１において第1層から第n-1層までの地盤が第n層である半無限弾性体上にあるとすれば、H_n→ ∞とすればよい。
【００３５】
さて、基礎底面における即時沈下量S_iに関して、図３の多層弾性体に対する図４の等価弾性体(1)において、修正Barber式は、［式１１］により次のように書ける。

【数１４】

【００３６】
また、図３の多層弾性体に対する図４の等価弾性体(1)について、修正Odemark式は［式１３］を用いると次のようになる。

【数１５】

【００３７】
図４の等価弾性体(1)において、H_nを無限大とした半無限体としての地盤を考える。この場合、Barber 及びOdemarkによって提案された式を一般化した修正Barber式及び修正Odemark式は、それぞれ［式１４］及び［式１５］において与えられており、舗装構造においては［式１０］の円形載荷が用いられ、またポアソン比ν_n=0.5、 D_f=0と仮定されるので、次式が得られる。
修正Barber式：
【数１６】

【数１７】

修正Odemark式：
【数１８】

【数１９】

ここに、m=E_H/E_n であり、以下のように等価換算厚H_eは定義される。
【数２０】

【数２１】

【００３８】
いま、図４の二層地盤においてH_n→∞に対する等価な地盤として、等価弾性係数を有する半無限弾性体を仮定し、この等価弾性係数を遠藤は路床等値弾性率（非特許文献19）と呼んだ。この路床等値弾性率を以後本論文においては半無限等価弾性係数E_equと称し、これを用いれば地盤面の載荷中央部における鉛直変位は次のように書ける。
【数２２】

よって、［式１８］、［式２０］及び［式２２］から、半無限等価弾性係数E_equとして次式を得る。
修正Barber式：
【数２３】

修正Odemark式：
【数２４】

【００３９】
弾性係数E_n、ポアソン比ν_nの半無限弾性体では、荷重qを受ける長辺L、短辺Bの長方形基礎において中央部の直下で鉛直距離zにおける増加鉛直応力トσ_v' （非特許文献17, 18）は以下のように表される。

【数２５】

ここに、m=L / B 、 n= 2 z / Bである。
【００４０】
また、荷重qを受ける半径aの円形基礎において中央部の直下で鉛直距離zにおける増加鉛直応力トσ_v' （非特許文献27, 28）は、次式のように表現できる。

【数２６】

多層地盤においては等価換算厚［式１］あるいは［式２］を［式２５］あるいは［式２６］に代入すれば、図２の各層における増加鉛直応力トσ_v'は求められ、この値は図１における各層の増加鉛直応力トσ_v'となる。
【００４１】
一方、力の釣り合い条件式より、多層地盤の基礎底面下部の第j層上部での増加鉛直応力トσ_v'は次式のようになる。
【数２７】

多層地盤においては等価換算厚［式１］あるいは［式２］を用いた応力分散幅の［式３］を［式２７］に代入すれば、図２の第j層上部における増加鉛直応力トσ_v'は求められ、この値は図１における各層の増加鉛直応力トσ_v'となる。
【００４２】
図６は二層地盤において地表面に作用する円形等分布鉛直荷重を示している。ポアソン比νは、 ν₁=ν₂=0.5である。図７と図８はそれぞれ第1層の層厚がH₁=aとH₁=3aのとき、二層地盤の弾性係数比m=E₁/E₂が1.0以下について、載荷中央部で地盤面における変位係数を示している。ここで変位係数F_sは基礎底面における実際の鉛直変位S_iを半無限弾性体の地盤面における鉛直変位2aq(1-ν₁²)/E₁で除した形、すなわち、F_s =S_i/(2aq(1-ν₁²)/E₁) で定義されている。この変位係数F_sは、［式１７］と［式１９］において定義されたF_B , F_oと同じものである。また, 等価換算厚は［式２］となる。
【００４３】
図７と８の中の厳密解として（非特許文献25, 26）による解析解（以下ELSA&GAMESという）を採用した。第1層と第2層の接触面が粗の場合、すなわち境界面においてせん断応力の連続性がある場合に関する計算結果が示されている。Barber式は弾性係数比m=E₁/E₂が0に近づくにつれて、厳密解から離れてゆく。また修正Barber［式１１］はmが0の近傍では厳密解に対する精度が低くなる。一方、指針式及び修正Odemark［式１３］は厳密解を精度良く表現していることがわかる。
【００４４】
図９と図１０は二層地盤の弾性係数比m=E₁/E₂が1.0以上について、載荷中央部で地盤面における変位係数を示している。この場合上部が下部より大きいので、修正Barber［式１１］及び修正Odemark［式１３］はそれぞれBarber式及びOdemark式となり、等価換算厚は［式１］を用いている。Barber式及びOdemark式は厳密解を精度良く表現していることがわかる。一方、指針式は弾性係数比mが大きくなるに連れて、厳密解との相違が大きくなることがわかる。
【００４５】
図１１と図１２は二層地盤の弾性係数比が異なる場合について、層厚H₁=aと層厚H₁=3aのとき、載荷中央部で第1層と第2層の接触面における応力比を示している。弾性係数比m= E₁/E₂が大きくなるにつれて、応力比は小さくなっていくのがわかり、［式２６］に［式１］と［式２］を代入した提案式は二層地盤としての厳密解（非特許文献39~42）を精度良く表現していることがわかる。一方、指針式は二層地盤の弾性係数の違いが大きくなるに連れて、厳密解との相違が大きくなることがわかる。これは、指針式では第1層と第2層の接触面における境界条件が満足されていないためである。
【００４６】
次に、三層地盤に関して、地盤表面で円形載荷を受ける場合において、それぞれ弾性係数比E₂/E₃と鉛直応力比σ_z2 / qとの関係及び長さ比a/H₂と鉛直応力比σ_z2/ qとの関係について、厳密解（非特許文献38）、指針式（非特許文献24）、ELSA&GAMESによる解（非特許文献25, 26）及び本提案式による解のそれぞれの値を示している。ここに、σ_z2は第2層と第3層の境界における鉛直応力であり、a/H₂=1.0、H₁/H₂=1.0、ν₁=ν₂=ν₃=0.5の場合について図１３に示し、H₁/H₂=1.0、E₂/E₃=2.0、ν₁=ν₂=ν₃=0.5の場合について図１４に示している。指針式は、等方等質弾性体における厳密解（非特許文献46, 50）を近似値として用いているため、三層地盤の厳密解（非特許文献38）を表現しえない。近似値AとBはそれぞれ提案式［式２６］と［式２７］に関して［式１］~［式３］を用いた数値結果である。ELSA&GAMESによる解及び本提案式による近似値AとBは、各層の弾性係数比が異なるいずれの場合でも、全般的に厳密解を適切に表していることがわかる。
【産業上の利用可能性】
【００４７】
この発明は、多層地盤の沈下解析及び応力解析を行い、多層地盤における即時沈下、鉛直応力を算定する技術に関するものであるが、この発明の用紙を逸脱しない限り、多層地盤における即時沈下、鉛直応力の算定以外の用途にも応用できることはいうまでもない。
【図面の簡単な説明】
【００４８】
【図１】多層弾性体を示す図面である。
【図２】等価弾性体を示す図面である。
【図３】多層弾性体を示す図面である。
【図４】等価弾性体(1)を示す図面である。
【図５】等価弾性体(2) 示す図面である。
【図６】二層地盤の地盤面に作用する円形等分布鉛直荷重を示す図面である。
【図７】弾性係数比と変位係数の関係を示す図面である。
【図８】弾性係数比と変位係数の関係を示す図面である。
【図９】弾性係数比と変位係数の関係を示す図面である。
【図１０】弾性係数比と変位係数の関係を示す図面である。
【図１１】弾性係数比と応力比の関係を示す図面である。
【図１２】弾性係数比と応力比の関係を示す図面である。
【図１３】鉛直応力比σ_z2/q と E₂/E₃, E₁/E₂の関係を示す図面である。
【図１４】鉛直応力比σ_z2/q と E₁/E₂, a/H₂の関係を示す図面である。
【符号の説明】
【００４９】
1 地盤面
2 第n層の厚さ
3 基礎底面の最小幅
4 地盤面から基礎底面までの深さ
5 荷重

【特許請求の範囲】
【請求項１】
二層地盤の上部の弾性係数E₁が下部の弾性係数E₂より小さい場合において、二層地盤の等価換算厚を次式２によって算定することを特徴とする二層地盤に関する一般化された等価換算厚解析法。

E₁≦E₂の場合
上記においてE_m は弾性係数を、ν_mはポアソン比を表わす。
【請求項２】
多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示していない場合において、多層地盤の等価換算厚を次式２によって算定することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚解析法。

E_m≦E_nの場合
上記においてE_m は弾性係数を、ν_mはポアソン比を表わす。
【請求項３】
二層地盤の上部の弾性係数E₁が下部の弾性係数E₂より小さい場合において、二層地盤の沈下量を次式１１または１３のいずれかによって算定することを特徴とする二層地盤に関する一般化された等価弾性係数と等価換算厚を用いた即時沈下解析法。

【請求項４】
多層地盤が上部ほど高い弾性係数を示していない場合において、多層地盤の沈下量を次式１１または１３のいずれかによって算定することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価弾性係数と等価換算厚を用いた即時沈下解析法。

【請求項５】
半無限多層地盤における沈下量を次式１４または１５のいずれかによって算定することを特徴とする多層地盤に関する一般化された半無限等価弾性係数を用いた即時沈下解析法。
修正Barber式

修正Odemark式

【請求項６】
多層地盤における等価換算厚を用いて鉛直応力を次式２５あるいは次式２６によって算定することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚を用いた鉛直応力解析法である。

ここに、トσ_v'は荷重qを受ける長辺L、短辺Bの長方形基礎において中央部の直下で鉛直距離zにおける増加鉛直応力であり、m=L / B 、 n= 2 z / Bである。

ここに、トσ_v'は荷重qを受ける半径aの円形基礎において中央部の直下で鉛直距離zにおける増加鉛直応力である。
【請求項７】
多層地盤における一般化した等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力を次式２７によって算定することを特徴とする多層地盤に関する一般化された等価換算厚を用いた応力分散幅による鉛直応力解析法。