固有振動数情報に基づく自動き裂同定方法
【課題】き裂を移動させる際に逐次メッシュ修正を必要としない同定方法を提供する。
【解決手段】固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とする。
【解決手段】固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とする。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、構造部材に存在するき裂の位置を固有振動数情報に基づいて有限要素法解析により同定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
構造物の安全性評価・余寿命評価を正しく行うためには、構造物内部に存在するき裂・空孔等の損傷箇所を同定する非破壊検査が重要である。一般的には超音波やマイクロ波を用いた検査法が用いられるが、これらは構造物表面のスキャニングのために多くの作業量・コストが必要となることが課題である。
一方で構造物の動特性、すなわち固有振動数に着目した同定方法が近年注目されている。固有振動数は構造物全体の形状・境界条件によって求まるため、スキャンのための労力を大幅に軽減できることが期待できる。
固有振動数情報を、き裂の位置同定に用いたものとしては、例えば、特許文献１〜３、非特許文献１〜３が知られている。これらの文献では、解析に有限要素法を使用し、き裂形状を表現したメッシュを採用しているため、き裂位置の同定プロセスにおいては最終的なき裂位置が求まるまでき裂位置を移動させていくが、このプロセスを実行する場合、逐次メッシュ修正が必要となり、このことが処理の自動化の障害となっている。また、き裂同定アルゴリズムに遺伝的アルゴリズム（ＧＡ）を用いるため、膨大な計算量が必要である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００８−２０３２２４号公報（特許第３９８１７４０号）
【特許文献２】特開２００４−３０１７９２号公報（特許第４０６９９７７号）
【特許文献３】特開２００３−１０６９３１号公報（特許第３７０５３５７号）
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】堀辺忠志、浅野直輝、岡村弘之“き裂を有する弾性ティモシェンコはりの固有振動およびＧＡに基づくき裂同定”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．６６−６４６，ｐｐ．２６−３１，２０００年
【非特許文献２】堀辺忠志、浅野直輝、岡村弘之“き裂を有する変断面はりの固有振動およびき裂同定”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．６７−６５７，ｐｐ．１４８−１５４，２００１年
【非特許文献３】東明彦、水口文洋“固有振動数による薄板の損傷同定に関する研究”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．７０−６９５，ｐｐ．７１−７６，２００４年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
構造物の安全性評価・余寿命評価を正しく行うためには、構造物内部に存在するき裂・空孔等の損傷箇所を同定する非破壊検査が重要であり、一般的には、超音波やマイクロ波を用いた検査法が用いられるが、これらは構造物表面のスキャニングのために多くの作業量・コストが必要となることが問題であった。
構造物の動特性すなわち固有振動数を利用した同定が可能であり、この方法によるとスキャニングのための労力を大幅に軽減できるが、従来のき裂位置の同定法では、解析に有限要素法を使用し、き裂形状を表現したメッシュを採用しているため、同定プロセスにおいては最終的なき裂位置が求まるまでき裂位置を移動させていくが、有限要素法でこのプロセスを実行する場合、逐次メッシュ修正の作業が必要であり、このことが処理の自動化の障害となり問題であった。
また、き裂位置が変化する度に、計算モデルの修正が必要となり、完全自動化が不可能であり、人間による修正作業を必要とし問題であった。
また、き裂同定の探索アルゴリズムにＧＡ法を用いると、計算量が膨大となり問題であった。
【０００６】
有限要素法における逐次メッシュ修正の問題に対しては、現在盛んに研究されており、拡張型有限要素法（ｅＸｔｅｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ、以下「ＸＦＥＭ」と略記することがある。）と呼ばれる手法が提案されており、この手法を適用できれば、メッシュとは独立にき裂の幾何学的情報をソルバー内部で保有させ、メッシュにはき裂位置を陽に表す必要がなくなる。そこで、解析で用いるメッシュと物理的存在であるき裂を独立に扱えるＸＦＥＭの利点を活用した固有振動数に基づくき裂の同定方法を提供することを目的とする。
また、従来の固有振動数によるき裂同定の探索アルゴリズムには、ＧＡ法が用いられていたが、ＧＡ法は感度情報を必要としない反面、膨大な計算量を必要とするという問題があったので、ＸＦＥＭを採用する際に、ＧＡ法に代わる探索アルゴリズムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記問題点を解決するために、本発明では、超音波やマイクロ波の代わりに、打撃試験で得る固有振動数データを利用することとし、計算機による固有振動数の算出に際し、従来の有限要素法に代わり拡張型有限要素法（ＸＦＥＭ）を用いる。これによりメッシュにき裂線を表現する必要がなくなり、き裂線の影響はプログラムの計算式で考慮される。ＸＦＥＭ及び固有振動数によるき裂同定方法を併用することとし、ＧＡ法に代わる探索アルゴリズムとしては、有限要素法を用いて構造物の固有振動数を算出し、その値と、実際に計測して得た固有振動数との誤差に着目し、その誤差を最小化させるように推定するき裂位置を移動させていくことで、最終的に実際のき裂位置を同定させる。
【０００８】
本発明は、固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とする。
本発明は、さらに、仮のき裂位置の移動の出発点は複数の異なる位置から行い、複数の収束点が得られたときは、評価関数の値が一番低い収束点をき裂位置として同定することを特徴とする。
本発明は、さらに、き裂は構造部材表面から入る半直線状態、または構造部材内部に存在する直線で表し、その固有振動数を算出することを特徴とする。
【発明の効果】
【０００９】
本発明によれば、スキャニングに基づく構造体表面全てに渡るデータが不要であり、任意の場所で計測する振動数データだけで良い。
また、本発明によれば、最適化アルゴリズムに勾配法を用いており、現実的な計算時間内でき裂位置を同定することができる。
また、本発明によれば、拡張型有限要素法を用いるため計算モデル（メッシュ）修正が不要となる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】本発明で用いるＸＦＥＭにおいて、エンリッチされる節点とき裂の位置関係を示す図。
【図２】本発明のフローチャートを示す図。
【図３】振動数計測とき裂同定に用いた構造部材を示す図。
【図４】計測した振動数をもとに同定したき裂同定経路を示す図。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
（拡張型有限要素法による変位場表現）
通常のＦＥＭでは、変位等の場の近似関数は、要素内部では、一次多項式等で表される形状関数に従う。しかしＸＦＥＭではこの点において拡張が施され、要素内での近似関数分布を一次多項式等の単純な関数のみに限定せず、より一般化された形での関数分布が許容される。この手続を近似関数のエンリッチ（Ｅｎｒｉｃｈ）と呼び、解の特性が事前に判明している現象にその特性を表す関数をエンリッチすることにより、その特性を精度良く近似する関数を構築することができる。
このＸＦＥＭを線形弾性体中のき裂に適用するならばエンリッチすべき特性は、き裂線を横断するときの変位の不連続性とき裂端近傍の応力集中を表す特異な変位挙動となる。前者にはヘビサイドのステップ関数が、後者には線形破壊力学から導かれるき裂端近傍変位場の漸近展開式を構成する基底がそれぞれ用いられる。
【００１２】
以下、本発明で用いるＸＦＥＭの定式化を説明する。以下では、き裂は部材の表面から長手方向に対して垂直に入る場合での説明であるが、一般に、き裂が表面に現れていない内部き裂、斜めのき裂についても同じ計算方法で算出できる。エンリッチされる節点とき裂の位置関係を図１に示す。ある節点について、結合する形状関数がき裂によって完全に切断される場合をＪ属性、形状関数が完全には切断されず内部にき裂端を含む場合をＣ属性と表記する。またき裂端を原点とし、き裂方向及びき裂に垂直な方向をそれぞれ
とする局所座標系
を定義し、全体座標系
と区別する。図１でき裂は要素内を通っており、き裂に沿って２重節点を配置する等の処理は必要としない。使用する有限要素を４節点アイソパラメトリック四角形要素とすると、素ｅ内の変位場
は次式で表現される。
【００１３】
【数０１】
【００１４】
ここで、ＮＩは形状関数であり右下の添え字Ｉ（Ｉ＝１〜４）は要素内で定義された節点番号を表す。また
は上述したヘビサイド関数及び特異関数であり、それぞれ式（２），（３）で表される。
【００１５】
【数０２】
【００１６】
【数０３】
【００１７】
ここで、ｒ及びθは、局所座標系
と図１に示す位置関係にある極座標系の座標値である。式（１）右辺の
は通常の有限要素法で現れる節点自由度ベクトル、
は、それぞれヘビサイド関数、特異関数がエンリッチされたことに対応してそれらの係数として付加されるベクトルである。
【００１８】
（モード解析）
本発明では、減衰は小さいものとみなしその影響を無視することにする。その場合解くべき方程式は、次式の一般固有値問題となる。
【００１９】
【数０４】
【００２０】
ただし
は、それぞれ全体剛性行列及び全体質量行列であり、
は全要素について式（１）の
を統合した節点自由度ベクトルである。
は次式で表される。
【００２１】
【数０５】
【００２２】
【数０６】
【００２３】
ここでｅは要素番号を表し、
はそれぞれ応力・ひずみ関係式行列、密度である。また式（５）の
は、式（７）で示すように、要素ｅを構成する要素内節点番号Ｉ（Ｉ＝１〜４）に対応する小行列
で構成される。
【００２４】
【数０７】
【００２５】
ここで
の具体的な形は、節点Ｉがエンリッチされる状況に応じて以下の３種類に分類される。
【００２６】
【数０８】
【００２７】
右辺にある
（Ｋ＝１〜４）はそれぞれ式（９）、式（１０）で表される。
【００２８】
【数０９】
【００２９】
【数１０】
【００３０】
質量行列
も同様の手続きで求まり、式（６）の
について具体的な形を式（１１）〜式（１４）に示す。
【００３１】
【数１１】
【００３２】
【数１２】
【００３３】
【数１３】
【００３４】
【数１４】
【００３５】
（固有振動数を用いたき裂位置の同定−設計変数の定義）
以下では、実際の構造物に存在しその位置を同定しようとするき裂を実在き裂と呼び、そのき裂端位置を右肩に添え字ｍを付けて（ｘｍ，ｙｍ）と表す。一方、計算機内で位置を仮定したき裂を推定き裂と呼び、そのき裂端位置を右肩に添え字ｅを付けて（ｘｅ，ｙｅ）と表記することにする。同定アルゴリズム中の設計変数をｒｊとすると、ｒｊは推定き裂端の座標と一致する。すなわち、
【００３６】
【数１５】
【００３７】
となる２個の変数が設計変数となる。モード解析で得られる固有値は与えられたき裂位置に対する関数であり、モード次数を右下添え字ｉで表し，右上添え字のｍとｅを上記と同様に用いると、次式の関係が成り立つ。
【００３８】
【数１６】
【００３９】
【数１７】
【００４０】
なお、同定プロセスの反復計算中では、λｉｍが定数、λｉｅが変数であることに注意されたい。
【００４１】
（評価関数の設定とその感度導出）
本発明では、き裂位置の同定を、実在き裂及び推定き裂の固有振動数の差から作られる関数（以降，評価関数と呼ぶ）の設計変数に関する最小化問題に帰着させる。評価関数の具体的形は、評価関数としてよく用いられている式（１８）を本発明でも使用することにする。
【００４２】
【数１８】
【００４３】
ここで、nは同定に用いるモードの総数であるが、本発明では以降の例題においてｎ＝３を用いることにした。また式（１８）はモードｉに関する各項をλｉｍで除しているが、これは各モードが等価な影響となる重み付けをしたことを意味する。
評価関数Ｊの設計変数ｒｊに対する感度∂Ｊ／∂ｒｊは、式（１７）と式（１８）より式（１９）となる。
【００４４】
【数１９】
【００４５】
式（１９）右辺の∂λｉｅ／∂ｒｊは式（２０）より求まる。
【００４６】
【数２０】
【００４７】
ここで
は質量行列
によって正規化された、固有値λｉに対応する固有ベクトルである。式（２０）は式（４）をｒｊで微分し、
の関係式を用いることにより導出される。また式（２０）右辺の
は、それぞれ剛性行列及び質量行列の設計変数ｒｊに対する感度であるが、これらは差分近似により導出する。
【００４８】
（設計変数の更新アルゴリズム）
本発明では設計変数の更新に勾配法を用いる。すなわち、ステップｉからステップｉ＋１に移行するときの設計変数ｒｊを式（２１）で求める。
【００４９】
【数２１】
【００５０】
ただし、式（２１）の左上添え字ｉはステップ番号を意味し、αｊは設計変数ｒｊの各ステップの変動量に相当する値である。
以上のプロセスをまとめた本発明の手法のフローチャートを図２に示す。
【実施例】
【００５１】
（振動数計測とき裂同定）
振動数計測実験に用いる部材寸法、物性値を図３に示す。部材はアルミニウム合金である。部材長さを５０ｃｍとして一端を万力で固定し、先端には微小加速度計を取り付けた。き裂を幅１ｍｍ，深さ３ｍｍの矩形ノッチで表現しその位置が固定端より１００ｍｍまたは３５０ｍｍとなる場合を設定した。上記のき裂を有する場合、及びき裂がない場合の計３ケースについて、部材をインパクトハンマで殴打し伝達関数から固有振動を計測した。実験計測及び数値計算より得られた振動数を表１に示す。
【００５２】
【表１】
【００５３】
き裂がない状態で、固有振動を本発明で使用するプログラムにて解析した。その結果、計算値の方が５．９％〜７．１％程度計測値よりも大きい値となった。これは主に部材の固定境界条件が実験では厳密に実現されておらず、より軟らかい材料の特性となるためである。この誤差を実機と計算との間に生じたモデル化誤差と捉え、この誤差を打ち消すために数値計算で使用する材料のＹｏｕｎｇ率を微調整することとする。Ｙｏｕｎｇ率を６８ＧＰａから１ＧＰａずつ下げて固有値解析を繰り返した結果、実機材料よりも１２％程度小さい値である６０ＧＰａで計測値とほぼ同等の振動数となった。よって、き裂がある場合に対応する数値計算にはこのＹｏｕｎｇ率６０ＧＰａを用いた。表１のＹ６８，Ｙ６０の記号はこれらの違いを意味する。実機と数値計算間のモデル化誤差はこのＹｏｕｎｇ率の修正により第一次近似的に補正された。
【００５４】
実験計測した振動数を基に（１９）式〜（２１）式のアルゴリズムにて同定した結果を図４（ａ），（ｂ）に示す。これは推定き裂のき裂端座標の移動履歴（同定経路履歴）を示しており、座標値がほぼ十分収束したと見なせる時点で計算を終了した。各々の収束地点での座標値（ｘ，ｙ）及び（１８）式の評価関数値（Ｊ）を図中に示している。図４（ａ），（ｂ）共に４か所ずつ初期値（Ｓｔａｒｔ ｐｏｉｎｔ）を設定しており、図中にそれぞれＳ．Ｐ．１〜Ｓ．Ｐ．４の記号で位置を示している。同定プロセスを経て、経路は最終的に２地点に収束した。これは評価関数が複数個所の局所的停留値を持つ多峰性分布となることに依る。このような場合でも収束地点の評価関数値を直接比較することでどれが大域的な最小値であるか判断することができる。
【００５５】
同定の精度を検証する。き裂位置（１００ｍｍと３５０ｍｍ）の違いによる影響は見られなかった。また、実在き裂端と収束した推定き裂端の座標値のずれ量（ｘ方向，ｙ方向）をそれぞれの方向の部材寸法値で除した値は、図４（ａ），（ｂ）について長手方向が各々１．８％，３．０％、肉厚方向が各々１６．８％，１３．７％となった。前者については非常に高精度な同定が行えた。一方、後者についても実用上有用な精度を確保した。
【００５６】
以上、実験計測から得た構造部材の固有振動数情報を利用し、数値解析上のき裂位置を連続的に移動させて振動数誤差最小原理に基づくき裂同定システムを構築した。同定の精度を検討し、肉厚方向はややき裂が深めになる傾向となったものの、長手方向位置が非常に高精度に同定できた。
【産業上の利用可能性】
【００５７】
発電所、プラント機器、土木建築構造物などのき裂の非破壊検査として利用することができる。
【技術分野】
【０００１】
本発明は、構造部材に存在するき裂の位置を固有振動数情報に基づいて有限要素法解析により同定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
構造物の安全性評価・余寿命評価を正しく行うためには、構造物内部に存在するき裂・空孔等の損傷箇所を同定する非破壊検査が重要である。一般的には超音波やマイクロ波を用いた検査法が用いられるが、これらは構造物表面のスキャニングのために多くの作業量・コストが必要となることが課題である。
一方で構造物の動特性、すなわち固有振動数に着目した同定方法が近年注目されている。固有振動数は構造物全体の形状・境界条件によって求まるため、スキャンのための労力を大幅に軽減できることが期待できる。
固有振動数情報を、き裂の位置同定に用いたものとしては、例えば、特許文献１〜３、非特許文献１〜３が知られている。これらの文献では、解析に有限要素法を使用し、き裂形状を表現したメッシュを採用しているため、き裂位置の同定プロセスにおいては最終的なき裂位置が求まるまでき裂位置を移動させていくが、このプロセスを実行する場合、逐次メッシュ修正が必要となり、このことが処理の自動化の障害となっている。また、き裂同定アルゴリズムに遺伝的アルゴリズム（ＧＡ）を用いるため、膨大な計算量が必要である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２００８−２０３２２４号公報（特許第３９８１７４０号）
【特許文献２】特開２００４−３０１７９２号公報（特許第４０６９９７７号）
【特許文献３】特開２００３−１０６９３１号公報（特許第３７０５３５７号）
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】堀辺忠志、浅野直輝、岡村弘之“き裂を有する弾性ティモシェンコはりの固有振動およびＧＡに基づくき裂同定”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．６６−６４６，ｐｐ．２６−３１，２０００年
【非特許文献２】堀辺忠志、浅野直輝、岡村弘之“き裂を有する変断面はりの固有振動およびき裂同定”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．６７−６５７，ｐｐ．１４８−１５４，２００１年
【非特許文献３】東明彦、水口文洋“固有振動数による薄板の損傷同定に関する研究”、日本機械学会論文集（Ｃ編）、Ｖｏｌ．７０−６９５，ｐｐ．７１−７６，２００４年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
構造物の安全性評価・余寿命評価を正しく行うためには、構造物内部に存在するき裂・空孔等の損傷箇所を同定する非破壊検査が重要であり、一般的には、超音波やマイクロ波を用いた検査法が用いられるが、これらは構造物表面のスキャニングのために多くの作業量・コストが必要となることが問題であった。
構造物の動特性すなわち固有振動数を利用した同定が可能であり、この方法によるとスキャニングのための労力を大幅に軽減できるが、従来のき裂位置の同定法では、解析に有限要素法を使用し、き裂形状を表現したメッシュを採用しているため、同定プロセスにおいては最終的なき裂位置が求まるまでき裂位置を移動させていくが、有限要素法でこのプロセスを実行する場合、逐次メッシュ修正の作業が必要であり、このことが処理の自動化の障害となり問題であった。
また、き裂位置が変化する度に、計算モデルの修正が必要となり、完全自動化が不可能であり、人間による修正作業を必要とし問題であった。
また、き裂同定の探索アルゴリズムにＧＡ法を用いると、計算量が膨大となり問題であった。
【０００６】
有限要素法における逐次メッシュ修正の問題に対しては、現在盛んに研究されており、拡張型有限要素法（ｅＸｔｅｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ、以下「ＸＦＥＭ」と略記することがある。）と呼ばれる手法が提案されており、この手法を適用できれば、メッシュとは独立にき裂の幾何学的情報をソルバー内部で保有させ、メッシュにはき裂位置を陽に表す必要がなくなる。そこで、解析で用いるメッシュと物理的存在であるき裂を独立に扱えるＸＦＥＭの利点を活用した固有振動数に基づくき裂の同定方法を提供することを目的とする。
また、従来の固有振動数によるき裂同定の探索アルゴリズムには、ＧＡ法が用いられていたが、ＧＡ法は感度情報を必要としない反面、膨大な計算量を必要とするという問題があったので、ＸＦＥＭを採用する際に、ＧＡ法に代わる探索アルゴリズムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記問題点を解決するために、本発明では、超音波やマイクロ波の代わりに、打撃試験で得る固有振動数データを利用することとし、計算機による固有振動数の算出に際し、従来の有限要素法に代わり拡張型有限要素法（ＸＦＥＭ）を用いる。これによりメッシュにき裂線を表現する必要がなくなり、き裂線の影響はプログラムの計算式で考慮される。ＸＦＥＭ及び固有振動数によるき裂同定方法を併用することとし、ＧＡ法に代わる探索アルゴリズムとしては、有限要素法を用いて構造物の固有振動数を算出し、その値と、実際に計測して得た固有振動数との誤差に着目し、その誤差を最小化させるように推定するき裂位置を移動させていくことで、最終的に実際のき裂位置を同定させる。
【０００８】
本発明は、固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とする。
本発明は、さらに、仮のき裂位置の移動の出発点は複数の異なる位置から行い、複数の収束点が得られたときは、評価関数の値が一番低い収束点をき裂位置として同定することを特徴とする。
本発明は、さらに、き裂は構造部材表面から入る半直線状態、または構造部材内部に存在する直線で表し、その固有振動数を算出することを特徴とする。
【発明の効果】
【０００９】
本発明によれば、スキャニングに基づく構造体表面全てに渡るデータが不要であり、任意の場所で計測する振動数データだけで良い。
また、本発明によれば、最適化アルゴリズムに勾配法を用いており、現実的な計算時間内でき裂位置を同定することができる。
また、本発明によれば、拡張型有限要素法を用いるため計算モデル（メッシュ）修正が不要となる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】本発明で用いるＸＦＥＭにおいて、エンリッチされる節点とき裂の位置関係を示す図。
【図２】本発明のフローチャートを示す図。
【図３】振動数計測とき裂同定に用いた構造部材を示す図。
【図４】計測した振動数をもとに同定したき裂同定経路を示す図。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
（拡張型有限要素法による変位場表現）
通常のＦＥＭでは、変位等の場の近似関数は、要素内部では、一次多項式等で表される形状関数に従う。しかしＸＦＥＭではこの点において拡張が施され、要素内での近似関数分布を一次多項式等の単純な関数のみに限定せず、より一般化された形での関数分布が許容される。この手続を近似関数のエンリッチ（Ｅｎｒｉｃｈ）と呼び、解の特性が事前に判明している現象にその特性を表す関数をエンリッチすることにより、その特性を精度良く近似する関数を構築することができる。
このＸＦＥＭを線形弾性体中のき裂に適用するならばエンリッチすべき特性は、き裂線を横断するときの変位の不連続性とき裂端近傍の応力集中を表す特異な変位挙動となる。前者にはヘビサイドのステップ関数が、後者には線形破壊力学から導かれるき裂端近傍変位場の漸近展開式を構成する基底がそれぞれ用いられる。
【００１２】
以下、本発明で用いるＸＦＥＭの定式化を説明する。以下では、き裂は部材の表面から長手方向に対して垂直に入る場合での説明であるが、一般に、き裂が表面に現れていない内部き裂、斜めのき裂についても同じ計算方法で算出できる。エンリッチされる節点とき裂の位置関係を図１に示す。ある節点について、結合する形状関数がき裂によって完全に切断される場合をＪ属性、形状関数が完全には切断されず内部にき裂端を含む場合をＣ属性と表記する。またき裂端を原点とし、き裂方向及びき裂に垂直な方向をそれぞれ
とする局所座標系
を定義し、全体座標系
と区別する。図１でき裂は要素内を通っており、き裂に沿って２重節点を配置する等の処理は必要としない。使用する有限要素を４節点アイソパラメトリック四角形要素とすると、素ｅ内の変位場
は次式で表現される。
【００１３】
【数０１】
【００１４】
ここで、ＮＩは形状関数であり右下の添え字Ｉ（Ｉ＝１〜４）は要素内で定義された節点番号を表す。また
は上述したヘビサイド関数及び特異関数であり、それぞれ式（２），（３）で表される。
【００１５】
【数０２】
【００１６】
【数０３】
【００１７】
ここで、ｒ及びθは、局所座標系
と図１に示す位置関係にある極座標系の座標値である。式（１）右辺の
は通常の有限要素法で現れる節点自由度ベクトル、
は、それぞれヘビサイド関数、特異関数がエンリッチされたことに対応してそれらの係数として付加されるベクトルである。
【００１８】
（モード解析）
本発明では、減衰は小さいものとみなしその影響を無視することにする。その場合解くべき方程式は、次式の一般固有値問題となる。
【００１９】
【数０４】
【００２０】
ただし
は、それぞれ全体剛性行列及び全体質量行列であり、
は全要素について式（１）の
を統合した節点自由度ベクトルである。
は次式で表される。
【００２１】
【数０５】
【００２２】
【数０６】
【００２３】
ここでｅは要素番号を表し、
はそれぞれ応力・ひずみ関係式行列、密度である。また式（５）の
は、式（７）で示すように、要素ｅを構成する要素内節点番号Ｉ（Ｉ＝１〜４）に対応する小行列
で構成される。
【００２４】
【数０７】
【００２５】
ここで
の具体的な形は、節点Ｉがエンリッチされる状況に応じて以下の３種類に分類される。
【００２６】
【数０８】
【００２７】
右辺にある
（Ｋ＝１〜４）はそれぞれ式（９）、式（１０）で表される。
【００２８】
【数０９】
【００２９】
【数１０】
【００３０】
質量行列
も同様の手続きで求まり、式（６）の
について具体的な形を式（１１）〜式（１４）に示す。
【００３１】
【数１１】
【００３２】
【数１２】
【００３３】
【数１３】
【００３４】
【数１４】
【００３５】
（固有振動数を用いたき裂位置の同定−設計変数の定義）
以下では、実際の構造物に存在しその位置を同定しようとするき裂を実在き裂と呼び、そのき裂端位置を右肩に添え字ｍを付けて（ｘｍ，ｙｍ）と表す。一方、計算機内で位置を仮定したき裂を推定き裂と呼び、そのき裂端位置を右肩に添え字ｅを付けて（ｘｅ，ｙｅ）と表記することにする。同定アルゴリズム中の設計変数をｒｊとすると、ｒｊは推定き裂端の座標と一致する。すなわち、
【００３６】
【数１５】
【００３７】
となる２個の変数が設計変数となる。モード解析で得られる固有値は与えられたき裂位置に対する関数であり、モード次数を右下添え字ｉで表し，右上添え字のｍとｅを上記と同様に用いると、次式の関係が成り立つ。
【００３８】
【数１６】
【００３９】
【数１７】
【００４０】
なお、同定プロセスの反復計算中では、λｉｍが定数、λｉｅが変数であることに注意されたい。
【００４１】
（評価関数の設定とその感度導出）
本発明では、き裂位置の同定を、実在き裂及び推定き裂の固有振動数の差から作られる関数（以降，評価関数と呼ぶ）の設計変数に関する最小化問題に帰着させる。評価関数の具体的形は、評価関数としてよく用いられている式（１８）を本発明でも使用することにする。
【００４２】
【数１８】
【００４３】
ここで、nは同定に用いるモードの総数であるが、本発明では以降の例題においてｎ＝３を用いることにした。また式（１８）はモードｉに関する各項をλｉｍで除しているが、これは各モードが等価な影響となる重み付けをしたことを意味する。
評価関数Ｊの設計変数ｒｊに対する感度∂Ｊ／∂ｒｊは、式（１７）と式（１８）より式（１９）となる。
【００４４】
【数１９】
【００４５】
式（１９）右辺の∂λｉｅ／∂ｒｊは式（２０）より求まる。
【００４６】
【数２０】
【００４７】
ここで
は質量行列
によって正規化された、固有値λｉに対応する固有ベクトルである。式（２０）は式（４）をｒｊで微分し、
の関係式を用いることにより導出される。また式（２０）右辺の
は、それぞれ剛性行列及び質量行列の設計変数ｒｊに対する感度であるが、これらは差分近似により導出する。
【００４８】
（設計変数の更新アルゴリズム）
本発明では設計変数の更新に勾配法を用いる。すなわち、ステップｉからステップｉ＋１に移行するときの設計変数ｒｊを式（２１）で求める。
【００４９】
【数２１】
【００５０】
ただし、式（２１）の左上添え字ｉはステップ番号を意味し、αｊは設計変数ｒｊの各ステップの変動量に相当する値である。
以上のプロセスをまとめた本発明の手法のフローチャートを図２に示す。
【実施例】
【００５１】
（振動数計測とき裂同定）
振動数計測実験に用いる部材寸法、物性値を図３に示す。部材はアルミニウム合金である。部材長さを５０ｃｍとして一端を万力で固定し、先端には微小加速度計を取り付けた。き裂を幅１ｍｍ，深さ３ｍｍの矩形ノッチで表現しその位置が固定端より１００ｍｍまたは３５０ｍｍとなる場合を設定した。上記のき裂を有する場合、及びき裂がない場合の計３ケースについて、部材をインパクトハンマで殴打し伝達関数から固有振動を計測した。実験計測及び数値計算より得られた振動数を表１に示す。
【００５２】
【表１】
【００５３】
き裂がない状態で、固有振動を本発明で使用するプログラムにて解析した。その結果、計算値の方が５．９％〜７．１％程度計測値よりも大きい値となった。これは主に部材の固定境界条件が実験では厳密に実現されておらず、より軟らかい材料の特性となるためである。この誤差を実機と計算との間に生じたモデル化誤差と捉え、この誤差を打ち消すために数値計算で使用する材料のＹｏｕｎｇ率を微調整することとする。Ｙｏｕｎｇ率を６８ＧＰａから１ＧＰａずつ下げて固有値解析を繰り返した結果、実機材料よりも１２％程度小さい値である６０ＧＰａで計測値とほぼ同等の振動数となった。よって、き裂がある場合に対応する数値計算にはこのＹｏｕｎｇ率６０ＧＰａを用いた。表１のＹ６８，Ｙ６０の記号はこれらの違いを意味する。実機と数値計算間のモデル化誤差はこのＹｏｕｎｇ率の修正により第一次近似的に補正された。
【００５４】
実験計測した振動数を基に（１９）式〜（２１）式のアルゴリズムにて同定した結果を図４（ａ），（ｂ）に示す。これは推定き裂のき裂端座標の移動履歴（同定経路履歴）を示しており、座標値がほぼ十分収束したと見なせる時点で計算を終了した。各々の収束地点での座標値（ｘ，ｙ）及び（１８）式の評価関数値（Ｊ）を図中に示している。図４（ａ），（ｂ）共に４か所ずつ初期値（Ｓｔａｒｔ ｐｏｉｎｔ）を設定しており、図中にそれぞれＳ．Ｐ．１〜Ｓ．Ｐ．４の記号で位置を示している。同定プロセスを経て、経路は最終的に２地点に収束した。これは評価関数が複数個所の局所的停留値を持つ多峰性分布となることに依る。このような場合でも収束地点の評価関数値を直接比較することでどれが大域的な最小値であるか判断することができる。
【００５５】
同定の精度を検証する。き裂位置（１００ｍｍと３５０ｍｍ）の違いによる影響は見られなかった。また、実在き裂端と収束した推定き裂端の座標値のずれ量（ｘ方向，ｙ方向）をそれぞれの方向の部材寸法値で除した値は、図４（ａ），（ｂ）について長手方向が各々１．８％，３．０％、肉厚方向が各々１６．８％，１３．７％となった。前者については非常に高精度な同定が行えた。一方、後者についても実用上有用な精度を確保した。
【００５６】
以上、実験計測から得た構造部材の固有振動数情報を利用し、数値解析上のき裂位置を連続的に移動させて振動数誤差最小原理に基づくき裂同定システムを構築した。同定の精度を検討し、肉厚方向はややき裂が深めになる傾向となったものの、長手方向位置が非常に高精度に同定できた。
【産業上の利用可能性】
【００５７】
発電所、プラント機器、土木建築構造物などのき裂の非破壊検査として利用することができる。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とするき裂位置同定方法。
【請求項２】
仮のき裂位置の移動の出発点は複数の異なる位置から行い、複数の収束点が得られたときは、評価関数の値が一番低い収束点をき裂位置として同定することを特徴とする請求項１に記載のき裂位置同定方法。
【請求項３】
構造部材は梁部材であって、き裂は構造部材表面から入る半直線状態、または構造部材内部に存在する直線で表されるものであり、その固有振動数を算出することを特徴とする請求項１または２に記載のき裂位置同定方法。
【請求項１】
固有振動数情報による構造部材のき裂位置同定方法であって、計測により取得した構造部材の固有振動数と、拡張型有限要素法を用いて計算で仮のき裂位置を移動させて算出した構造部材の固有振動数との、両者の差を入力値として、両者が一致するとき最小となる評価関数を設定し、仮のき裂位置の移動は評価関数の感度情報を基に決定するようにして、仮のき裂の位置座標が収束した点をき裂位置として同定することを特徴とするき裂位置同定方法。
【請求項２】
仮のき裂位置の移動の出発点は複数の異なる位置から行い、複数の収束点が得られたときは、評価関数の値が一番低い収束点をき裂位置として同定することを特徴とする請求項１に記載のき裂位置同定方法。
【請求項３】
構造部材は梁部材であって、き裂は構造部材表面から入る半直線状態、または構造部材内部に存在する直線で表されるものであり、その固有振動数を算出することを特徴とする請求項１または２に記載のき裂位置同定方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図２】
【図３】
【図４】
【公開番号】特開２０１２−４７６１９（Ｐ２０１２−４７６１９Ａ）
【公開日】平成２４年３月８日（２０１２．３．８）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２０１０−１９０５３８（Ｐ２０１０−１９０５３８）
【出願日】平成２２年８月２７日（２０１０．８．２７）
【出願人】（３０１０２１５３３）独立行政法人産業技術総合研究所 (6,529)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２４年３月８日（２０１２．３．８）
【国際特許分類】
【出願日】平成２２年８月２７日（２０１０．８．２７）
【出願人】（３０１０２１５３３）独立行政法人産業技術総合研究所 (6,529)
【Ｆターム（参考）】
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