残留応力の評価方法
【課題】非破壊的で簡便であり、ＦＥＭ解析に適用でき、実証性を有する残留応力の評価方法を提供すること。
【解決手段】本発明にかかる残留応力の評価方法は、溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備えるものである。逆解析にカルマンフィルタの理論を用いることにより、評価精度を向上できる。
【解決手段】本発明にかかる残留応力の評価方法は、溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備えるものである。逆解析にカルマンフィルタの理論を用いることにより、評価精度を向上できる。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、残留応力の評価方法に関し、特に、溶接残留応力の評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
稼働中の構造物における溶接配管の安全性・健全性を評価するためには、溶接残留応力を非破壊的に計測する技術が必要である。特に、配管内部には流体が流れており、これに起因して応力腐食割れや腐食疲労によるき裂が発生することがある。このき裂のき裂進展寿命を評価する場合には、配管内表面および配管内部における残留応力分布を予知する必要がある。
【０００３】
構造健全性保証の考え方により設計された構造物では、供用期間中検査により構造物にき裂（欠陥）が検出されると、破壊力学などの手法により欠陥評価を行い、継続運転の可否や補修・取替えの是非を判定する。応力拡大係数に基づく欠陥評価では、欠陥が存在する箇所における、「欠陥が存在しない状態での」応力評価が必要となる。その際、稼動応力の算出には有限要素（ＦＥＭ：Finite Element Method）解析を用いる場合が多い。有限要素法における剛性方程式は次式で表現される。
【数１】
ここで、｛ｆ｝は等価節点力ベクトル、［Ｋ］は剛性マトリックス、｛δ｝は節点変位ベクトル、｛ｆε0｝は初期ひずみベクトル、｛ｆσ｝は初期応力ベクトルである。
【０００４】
溶接部の欠陥評価に際しては、溶接残留応力の評価が必要となる。残留応力を稼動応力と重畳させてＦＥＭ解析を行うためには、溶接材の全ての領域に渡る微小要素（ＦＥＭ用のエレメント）について、全方向（ｘ、ｙ、ｚ方向）の応力を測定する必要がある。残留応力の測定方法として一般的な、モアレ法、Ｘ線回折法等では、測定した位置の応力しかわからない。そのため、ＦＥＭ解析への適用は、現実的に困難である。
【０００５】
ところで、溶接ビードには、余盛が存在することが多い。余盛止端部は応力集中部を形成し、き裂の発生源となるため、無いほうが望ましいが、経済的な理由により放置されることが多い。したがって、稼働中の溶接構造物において、この余盛を除去することは、構造健全性の観点からはむしろ有益となる。
【０００６】
そこで、本発明者は、内部の残留応力を推定する手法として、２次元問題としての取り扱いではあるが、溶接平板を対象として溶接部の余盛を除去する手法（ビードフラッシュ法）を提案した（非特許文献１参照）。この方法は、数１を基礎式として用いており、解析結果は初期ひずみとして直接弾性ＦＥＭ解析に用いることができ、稼動応力との重畳が可能である。その後、溶接平板を対象としてこれを３次元問題に拡張した。まず、溶接平板を対象として３次元問題としてその基礎定式化を示した。溶接平板の場合には、溶接時にビード方向に沿って収縮が生じるので、余盛を除去すればこの収縮ひずみが解放され、この解放ひずみから、溶接線方向の固有ひずみと成分のみを測定するのみで十分な精度が得られること（非特許文献２参照）およびひずみの測定誤差が２０μ以下ならば評価精度が許容範囲以下となり、測定誤差が１０μ以下では大きな誤差がほとんど生じないことを明らかにした（非特許文献３参照）。さらに、この手法を配管に拡張した（非特許文献４参照）。なお、下記の非特許文献５については、後述する実施の形態において説明する。
【非特許文献１】「日本機械学会平成６年度材料力学部門講演会講演論文集」、１９９４年、Ｖｏｌ．Ｂ、ｐ．３２２−３２３
【非特許文献２】「日本機械学会論文集Ａ編」、１９９９年、第６５巻、第６２９号、ｐ．１３３−１４０
【非特許文献３】「日本機械学会論文集Ａ編」、１９９９年、第６５巻、第６３４号、ｐ．１３９７−１４０４
【非特許文献４】「日本機械学会２００１年度年次大会講演論文集」、２００１年、Ｖｏｌ．１、ｐ．４０３−４０４
【非特許文献５】「日本機械学会第１４回計算力学講演会講演論文集」、２００１年、Ｎｏ．０１−１０、ｐ．２１３−２１４
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、非特許文献１〜３に記載された数１に基づく定式化に従う限り、溶接配管は２次元の軸対称モデルとならざるを得ない。その定式化をそのまま用いて２次元軸対象問題として取り扱った場合、解析的には簡単なモデルであるが、余盛を配管の全周に亘り除去する必要があり、測定の工程が簡便でなかった。また、２次元軸対象問題の取り扱いでは、溶接線方向の固有ひずみに加えて板厚方向の固有ひずみも評価する必要があり、平板にない配管固有の問題点があった。さらに、溶接配管の場合、溶接時にビード方向の変形が拘束されているため、予盛除去によりビード方向に解放される弾性ひずみが、溶接平板の場合に比べ、小さくなる問題点もあった。そのため、溶接平板では、ひずみの測定誤差２０μでも十分な評価精度が得られるのに対し、溶接配管では、測定誤差１０μまで向上させる必要があった（非特許文献５参照）。
【０００８】
本発明はこのような問題に鑑みてなされたものであり、非破壊的で簡便であり、ＦＥＭ解析に適用でき、実証性を有する残留応力の評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明にかかる残留応力の評価方法は、溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備えるものである。
【発明の効果】
【００１０】
本発明により、非破壊的で簡便であり、ＦＥＭ解析に適用でき、実証性を有する残留応力の評価方法を提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１１】
溶接平板に有効な従来のビードフラッシュ法を、溶接配管に適用する場合、従来の定式化に従う限り、精度向上のためには、ひずみゲージをより多く貼付し、測定点を増やす以外ない。発明者は、余盛を除去していく過程において、時系列的な測定データを取得し、それを時系列的な観測量に対するフィルタリング問題などの手法を用いて取り扱えば、測定点が少なくとも、実質的にひずみゲージをより多く貼付することに対応することを見出した。従来手法では、上記時系列という観点が全くなかった。
【００１２】
実施の形態
以下に、本実施の形態にかかる溶接変形および残留応力の評価方法について説明する。図１に、本実施の形態にかかる溶接変形および残留応力の評価手順を示す。図１に示すように、本実施の形態にかかる評価方法はＳ１０１〜Ｓ１０４の工程を有す。
具体的には、図２に示すように、溶接配管１のビード２に沿って複数のひずみゲージ３を貼付する（Ｓ１０１）。ひずみゲージは特に限定されず、汎用品を用いることができる。
次に、図２に示すように、余盛を段階的・時系列的に除去していき、その都度ひずみゲージにより解放ひずみを測定する（Ｓ１０２）。余盛除去により、余盛除去部４が形成される。余盛除去方法としては、グラインダなどによる機械的除去、電界研磨などによる化学的除去のいずれを用いてもよいが、自動化できる、配管内面の余盛も除去できる、新たに加工層を形成しない等の観点から、電界研磨が好ましい。
複数回除去した後、時系列的に得られた全データを逆解析して、溶接固有ひずみを求める（Ｓ１０３）。精度向上のため、弾性応答マトリクスに特異値分解による適切化を実施するのが好ましい。
最終的に、ＦＥＭ解析等を用い、固有ひずみから残留応力を評価する（Ｓ１０４）。
【００１３】
具体的なアルゴリズムを以下に示す。解析対象として溶接配管を想定しているため、ここでは円筒座標系（ｒ、θ、ｚ）を用いて説明を行うが、平板の解析などで直交座標系を用いる場合、円周（溶接線）方向θをｘに、軸（溶接線垂直）方向ｚをｙに、半径（板厚）方向ｒをｚに、適宜読み替えればよい。
【００１４】
まず、非特許文献３に記載された従来手法を説明する。部材に存在する固有ひずみの３次元分布ベクトルを｛ε＊｝とする。部材の有限要素モデルがｑ個の要素から成るとすると、各要素において、固有ひずみは３方向の成分を持つので、部材全体の固有ひずみ分布は次式のような３ｑ次のベクトルとして表される。
【数２】
ここで、添字Ｔは行列の転置を表す。この固有ひずみ分布を力学的境界条件として部材に負荷すると、部材に弾性ひずみが生じる。この場合での、測定位置における弾性ひずみベクトル｛εｅ｝を
【数３】
とする。ただし、ｎ?ｑとする。固有ひずみから弾性ひずみを求める過程は弾性解析であるから、両者の間には次式のような線形関係が成り立つ。
【数４】
ここで、Ｈは弾性応答マトリックスと呼ばれるｎ×３ｑの行列であり、Ｈの第ｉ列は、固有ひずみのｉ番目のパラメータのみを単位の値とし、他をすべて０としたときの分布（以下、単位固有ひずみという）
【数５】
を負荷したときの部材に生じる弾性ひずみを表す。したがって、弾性応答マトリックスＨは単位固有ひずみunitε＊ｉ（ｉ＝１、２、...、３ｑ）を負荷する弾性有限要素解析を３ｑ回行うことで求めることができる。
【００１５】
余盛除去前（before）と、除去後（after）の弾性応答マトリックスをそれぞれＨｂ、Ｈａとすると、数４より
【数６】
【数７】
と与えられる。ただし、添字のｂ、ａは余盛除去前（before）、除去後（after）を表す。
【００１６】
余盛除去に伴う解放ひずみ｛Δε｝は、余盛除去前後における弾性ひずみの差として与えられ、固有ひずみは、余盛の除去による新たな加工ひずみ（塑性ひずみ）が生じない限り不変である。このことから、数６、数７より解放ひずみと固有ひずみの間に次の関係が成り立つ。
【数８】
ただし、Ｈｂａ＝Ｈａ−Ｈｂである。以下、特にことわりがない限りＨｂａを単にＨと表記する。
【００１７】
部材表面で解放ひずみを測定する場合、その測定値｛Δεｍ｝には測定誤差が含まれる。測定誤差を｛Δεｅｒｒ｝とすると数８は次のようになる。
【数９】
このとき、固有ひずみ分布の推定値｛ε^＊｝は
【数１０】
となる。ただし、Ｈ＋は弾性応答マトリックスＨのムーアペンローズ一般逆行列（Moore and Penrose generalized inverse matrix）である。
【００１８】
次に、本実施の形態にかかる手法を説明する。本発明では、余盛除去の定式化に際し、除去過程を時系列的問題とみなし、時系列的な観測量に対して定式化を行う。時系列的問題の代表的な解法としては、カルマンフィルタの理論が挙げられる。カルマンフィルタとは観測量ｙ０、...、ｙｋを用いて、時刻ｔｋ'のときのシステムの状態ｘｋ'に関する最適な推定量ｘ^ｋ'｜ｋを求めるアルゴリズムである。このときｘｋ'の最適な推定量ｘ^ｋ'｜ｋを求める問題はｘｋ'とｙ０、...、ｙｋの時間的関係から以下の３つに分類できる。
（i） 未来のｘｋ＋ｍ（ｍ?１）の推定量ｘ^ｋ＋ｍ｜ｋを求める予測問題（prediction）
（ii） 現在のｘｋの推定量ｘ^ｋ｜ｋを求めるろ波問題（filtering）
（iii） 過去のｘｋ−ｍ（ｍ?１）の推定量ｘ^ｋ−ｍ｜ｋを求める平滑問題（smoothing）
【００１９】
一例として、以下では（ii）のろ波問題の適用例を示す。溶接余盛の除去における除去角度の段階を時系列的なモデルとしてとらえることで、それぞれの解放ひずみ測定値を時系列データとして考えることができる。これを用い、解放ひずみ測定値から固有ひずみ分布を推定する逆問題解析過程においてカルマンフィルタの利用を検討する。以下では、一例として、図２に示すように円周方向に沿う余盛を、７．５ｄｅｇ刻みで、８回、合計６０ｄｅｇ除去するとして定式化を行う。すなわち、余盛除去部４は連続した領域である。
【００２０】
ビードフラッシュ法のシステムを、状態方程式（差分方程式）と観測方程式によって記述すると以下のようになる。
【数１１】
【数１２】
ここで、下添え字のｋは、除去角度φｄｅｇ
【数１３】
に対応する余盛除去のステップ数である。数１１および数１２は、固有ひずみ分布をｘ（＝｛ε＊｝）、解放ひずみの測定量をｙｋ（＝｛Δεｋ｝）、測定誤差をν（＝｛Δεｅｒｒ｝）として記述したものである。Ｈｋは余盛除去ステップｋ番目の弾性応答マトリックスである。
【００２１】
また、
（i） 測定誤差νは白色雑音であり、平均値ベクトル０の既知の共分散行列を持つガウス性である。
（ii） 固有ひずみの初期値ｘ０は既知の平均値ベクトルと共分散行列をもつガウス確率変数ベクトルである。
（iii） 固有ひずみの初期値ｘ０と測定誤差νは独立である。
との仮定をおくと、固有ひずみの逆問題解析の過程においてカルマンフィルタ理論を適用することができる。
【００２２】
数１１および数１２の基本システムにカルマンフィルタを適用すると
【数１４】
【数１５】
【数１６】
が得られる。ただし、
【数１７】
とする。Ｋｋはカルマンゲインと呼ばれ、ｘ^ｋ｜ｋは固有ひずみ分布の推定量、ｙｋは解放ひずみの測定量、Σ^ｋ｜ｋは推定誤差（ｘｋ−ｘ^ｋ｜ｋ）の共分散行列、Σνは測定誤差の共分散行列、ひずみ測定時の誤差の標準偏差をσνとすれば、
【数１８】
となる。Ｉは単位行列である。
【００２３】
よって、未知量である初期条件ｘ^０｜０、Σ^０｜０を決定することで、カルマンフィルタによる固有ひずみ分布の推定が可能となる。上述した定式化から明らかなように、本手法は単に余盛を部分的に除去して数１０を展開するという概念ではなく、部分的に除去を繰り返しながら、その都度データを取得し、それらのデータを時系列的に処理することにより、固有ひずみの評価精度を向上させるという技術である。したがって、溶接配管のみならず、溶接線方向に沿って固有ひずみが一定となるような溶接材ならば、すべて適用可能である。したがって、溶接線方向に沿って固有ひずみが一定となるような溶接平板に対して適用すれば、もちろん従来手法よりも精度向上が期待できる。
【００２４】
なお、カルマンフィルタ以外にも、定式化は可能である。たとえば、余盛を６０ｄｅｇまで段階的に除去すれば、固有ひずみ推定を余盛の除去角度ごとの８回行うことができる。そのため、従来手法における数１０の代わりに、８回の全測定データを同時に活用して固有ひずみ推定を行うこともできる。この場合には、数１０は次式となる。
【数１９】
【数２０】
【数２１】
ただし、下添え数字は除去角度φｄｅｇであり、φｄｅｇにおけるＨやΔεｍを表す。もちろんこの場合には、時系列という情報は考慮されていないが、少なくとも従来手法よりも精度の向上が期待できる。
【００２５】
溶接配管に図３に示すような固有ひずみ分布（非特許文献５参照）が存在し、かつ、これが板厚方向および溶接ビード方向に一様に分布していると仮定する。図４に示すように、配管の寸法は、内径２００ｍｍ、肉厚１０ｍｍ、長さ４００ｍｍ、余盛高さ２ｍｍ、余盛幅８ｍｍとする。図４には長さ方向の対称性から半分のみを示しているが、これをＦＥＭ解析対象部５とする。ひずみゲージとしては５連・２軸（１０素子）のひずみゲージ（ゲージピッチ２ｍｍ、ベース長７．５ｍｍ、ベース幅１２ｍｍ）を４枚用いると仮定する。すなわち、合計４０素子を用い、４０個のひずみを測定すると仮定する。ひずみゲージの貼付位置はθ（ｄｅｇ）＝７．５、２２．５、３７．５、５２．５についてｚ（ｍｍ）＝１０、１２、１４、１６、１８の２０点とし、各位置に２つずつのゲージが貼付されているため４０測定点となる。非特許文献２と同様に溶接ビード方向に沿って固有ひずみは一定と仮定した。ただし、この場合でも残留応力は厚さ方向に分布するので、外表面と内表面では残留応力は異なる。固有ひずみは、非特許文献２と同様に次式に示すロジスティック関数の線形結合を用いてε＊の分布をモデル化し、各項の係数ａｓｉを未知推定量とした。
【数２２】
ここで、ｓ＝ｘまたはｙまたはｚ、ｋ＝４、ｐｉ＝−５．０、ｑ１＝０．６、ｑ２＝０．４、ｑ３＝０．３、ｑ４＝０．２５である。ひずみの測定時の誤差が標準偏差σν＝２０μで、かつ、ひずみゲージの貼付位置が、図５に示すように、標準偏差１ｍｍ（変動角０．５２ｄｅｇ）で変動すると仮定し、誤差乱数のシードを変化させて１５回シミュレーションを実施した。数１４、数１５および数１６による固有ひずみ推定結果を図６に示す。図６（ａ）は厚さ方向の固有ひずみの推定結果、図６（ｂ）は円周方向の固有ひずみの推定結果である。
【００２６】
一方、従来手法に従い図７に示す２次元軸対称モデルを用いて、余盛を全周にわたって除去するモデルの解析を行った。図７（ａ）は溶接配管１の斜視図、図７（ｂ）はＦＥＭ解析対象部５の断面図、図７（ｃ）は図７（ｂ）における点線円内すなわちビード２近傍の拡大図であり、測定点を示す。全周にわたって余盛を除去する場合には、図５に示すような測定位置がビード方向にずれることによる測定誤差は生じない。しかしそれでも、ひずみの測定誤差を、標準偏差σν＝２０μとした場合には解が振動して全く有意味な解が得られなかった。すなわち、溶接平板についてその有効性が確認されている従来手法をそのまま配管に適用することが困難であることがわかり、この意味で本提案手法の有効性が確認される。そこで、従来手法に基づく解をとにかく得ることを目的として、非特許文献５に示した内容に従い、従来よりも高精度なひずみ測定を行うと仮定して、標準偏差σν＝１０μとした。ひずみの測定位置は非特許文献５に従い、図７（ｃ）に示すように、ｚ＝１０ｍｍから１６点である。すべて２軸ゲージと仮定しているため、合計３２個の測定データとなる。ただし、上記の通り、従来よりも高精度な測定を行うと仮定したように、実際には標準偏差がσν＝１０μとなるまで、このひずみゲージの組を円周方向にわたって何列も貼付することを想定している。したがって、実際に測定するデータの数は３２個×貼付列数となる。誤差乱数のシードを変化させて１５回シミュレーションを実施した結果を図８に示す。図８（ａ）は厚さ方向の固有ひずみの推定結果、図８（ｂ）は円周方向の固有ひずみの推定結果である。
【００２７】
図８に示した従来手法による推定結果は、本発明にかかる手法で仮定しているひずみ測定誤差よりも小さな測定誤差を仮定していて、なおかつ余盛りを全周にわたって除去するという余分な操作を施しているにもかかわらず、図６に示した本発明にかかる手法による推定結果と比較して、推定精度は逆に低下している。
【００２８】
図２〜図５に示したモデルについて、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを２０μとしてシミュレーションを行い、溶接残留応力を数１４、数１５および数１６により推定した結果を図９に示す。図９（ａ）は周方向応力、図９（ｂ）は軸方向応力の推定結果である。いずれも残留応力の概形の推定精度は良好である。比較のために、図７に示した従来手法により、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを１０μとした推定結果を図１０に示す。図９に示した本発明にかかる手法による推定結果は、従来手法よりも大きな測定誤差を仮定しているにもかかわらず、図１０に示した従来手法による推定結果に比べ、正解に近く、優れている。
【００２９】
また、図３においてｒ方向の固有ひずみのみを変化させた図１１に示す固有ひずみ分布の場合について、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを２０μとしてシミュレーションを行い、溶接残留応力を数１４、数１５および数１６により推定した結果を図１２に示す。図１２（ａ）は周方向応力、図１２（ｂ）は軸方向応力の推定結果である。いずれも残留応力の推定精度は良好である。
【図面の簡単な説明】
【００３０】
【図１】実施の形態にかかる溶接残留応力の評価手順を示す図である。
【図２】ひずみゲージ貼付およびビード除去を模式的に示す図である。
【図３】実施の形態にかかる初期固有ひずみ分布を示すグラフである。
【図４】実施の形態にかかるＦＥＭ解析モデルを示す図である。
【図５】測定位置の誤差を示す図である。
【図６】実施の形態にかかる推定固有ひずみを示すグラフである。
【図７】従来のＦＥＭ解析モデルを示す図である。
【図８】従来手法による推定固有ひずみを示すグラフである。
【図９】実施の形態にかかる推定残留応力を示すグラフである。
【図１０】従来手法による推定残留応力を示すグラフである。
【図１１】実施の形態にかかる初期固有ひずみ分布を示すグラフである。
【図１２】実施の形態にかかる推定残留応力を示すグラフである。
【符号の説明】
【００３１】
１ 溶接配管
２ ビード
３ ひずみゲージ
４ 余盛除去部
５ ＦＥＭ解析対象部
【技術分野】
【０００１】
本発明は、残留応力の評価方法に関し、特に、溶接残留応力の評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
稼働中の構造物における溶接配管の安全性・健全性を評価するためには、溶接残留応力を非破壊的に計測する技術が必要である。特に、配管内部には流体が流れており、これに起因して応力腐食割れや腐食疲労によるき裂が発生することがある。このき裂のき裂進展寿命を評価する場合には、配管内表面および配管内部における残留応力分布を予知する必要がある。
【０００３】
構造健全性保証の考え方により設計された構造物では、供用期間中検査により構造物にき裂（欠陥）が検出されると、破壊力学などの手法により欠陥評価を行い、継続運転の可否や補修・取替えの是非を判定する。応力拡大係数に基づく欠陥評価では、欠陥が存在する箇所における、「欠陥が存在しない状態での」応力評価が必要となる。その際、稼動応力の算出には有限要素（ＦＥＭ：Finite Element Method）解析を用いる場合が多い。有限要素法における剛性方程式は次式で表現される。
【数１】
ここで、｛ｆ｝は等価節点力ベクトル、［Ｋ］は剛性マトリックス、｛δ｝は節点変位ベクトル、｛ｆε0｝は初期ひずみベクトル、｛ｆσ｝は初期応力ベクトルである。
【０００４】
溶接部の欠陥評価に際しては、溶接残留応力の評価が必要となる。残留応力を稼動応力と重畳させてＦＥＭ解析を行うためには、溶接材の全ての領域に渡る微小要素（ＦＥＭ用のエレメント）について、全方向（ｘ、ｙ、ｚ方向）の応力を測定する必要がある。残留応力の測定方法として一般的な、モアレ法、Ｘ線回折法等では、測定した位置の応力しかわからない。そのため、ＦＥＭ解析への適用は、現実的に困難である。
【０００５】
ところで、溶接ビードには、余盛が存在することが多い。余盛止端部は応力集中部を形成し、き裂の発生源となるため、無いほうが望ましいが、経済的な理由により放置されることが多い。したがって、稼働中の溶接構造物において、この余盛を除去することは、構造健全性の観点からはむしろ有益となる。
【０００６】
そこで、本発明者は、内部の残留応力を推定する手法として、２次元問題としての取り扱いではあるが、溶接平板を対象として溶接部の余盛を除去する手法（ビードフラッシュ法）を提案した（非特許文献１参照）。この方法は、数１を基礎式として用いており、解析結果は初期ひずみとして直接弾性ＦＥＭ解析に用いることができ、稼動応力との重畳が可能である。その後、溶接平板を対象としてこれを３次元問題に拡張した。まず、溶接平板を対象として３次元問題としてその基礎定式化を示した。溶接平板の場合には、溶接時にビード方向に沿って収縮が生じるので、余盛を除去すればこの収縮ひずみが解放され、この解放ひずみから、溶接線方向の固有ひずみと成分のみを測定するのみで十分な精度が得られること（非特許文献２参照）およびひずみの測定誤差が２０μ以下ならば評価精度が許容範囲以下となり、測定誤差が１０μ以下では大きな誤差がほとんど生じないことを明らかにした（非特許文献３参照）。さらに、この手法を配管に拡張した（非特許文献４参照）。なお、下記の非特許文献５については、後述する実施の形態において説明する。
【非特許文献１】「日本機械学会平成６年度材料力学部門講演会講演論文集」、１９９４年、Ｖｏｌ．Ｂ、ｐ．３２２−３２３
【非特許文献２】「日本機械学会論文集Ａ編」、１９９９年、第６５巻、第６２９号、ｐ．１３３−１４０
【非特許文献３】「日本機械学会論文集Ａ編」、１９９９年、第６５巻、第６３４号、ｐ．１３９７−１４０４
【非特許文献４】「日本機械学会２００１年度年次大会講演論文集」、２００１年、Ｖｏｌ．１、ｐ．４０３−４０４
【非特許文献５】「日本機械学会第１４回計算力学講演会講演論文集」、２００１年、Ｎｏ．０１−１０、ｐ．２１３−２１４
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、非特許文献１〜３に記載された数１に基づく定式化に従う限り、溶接配管は２次元の軸対称モデルとならざるを得ない。その定式化をそのまま用いて２次元軸対象問題として取り扱った場合、解析的には簡単なモデルであるが、余盛を配管の全周に亘り除去する必要があり、測定の工程が簡便でなかった。また、２次元軸対象問題の取り扱いでは、溶接線方向の固有ひずみに加えて板厚方向の固有ひずみも評価する必要があり、平板にない配管固有の問題点があった。さらに、溶接配管の場合、溶接時にビード方向の変形が拘束されているため、予盛除去によりビード方向に解放される弾性ひずみが、溶接平板の場合に比べ、小さくなる問題点もあった。そのため、溶接平板では、ひずみの測定誤差２０μでも十分な評価精度が得られるのに対し、溶接配管では、測定誤差１０μまで向上させる必要があった（非特許文献５参照）。
【０００８】
本発明はこのような問題に鑑みてなされたものであり、非破壊的で簡便であり、ＦＥＭ解析に適用でき、実証性を有する残留応力の評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明にかかる残留応力の評価方法は、溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備えるものである。
【発明の効果】
【００１０】
本発明により、非破壊的で簡便であり、ＦＥＭ解析に適用でき、実証性を有する残留応力の評価方法を提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１１】
溶接平板に有効な従来のビードフラッシュ法を、溶接配管に適用する場合、従来の定式化に従う限り、精度向上のためには、ひずみゲージをより多く貼付し、測定点を増やす以外ない。発明者は、余盛を除去していく過程において、時系列的な測定データを取得し、それを時系列的な観測量に対するフィルタリング問題などの手法を用いて取り扱えば、測定点が少なくとも、実質的にひずみゲージをより多く貼付することに対応することを見出した。従来手法では、上記時系列という観点が全くなかった。
【００１２】
実施の形態
以下に、本実施の形態にかかる溶接変形および残留応力の評価方法について説明する。図１に、本実施の形態にかかる溶接変形および残留応力の評価手順を示す。図１に示すように、本実施の形態にかかる評価方法はＳ１０１〜Ｓ１０４の工程を有す。
具体的には、図２に示すように、溶接配管１のビード２に沿って複数のひずみゲージ３を貼付する（Ｓ１０１）。ひずみゲージは特に限定されず、汎用品を用いることができる。
次に、図２に示すように、余盛を段階的・時系列的に除去していき、その都度ひずみゲージにより解放ひずみを測定する（Ｓ１０２）。余盛除去により、余盛除去部４が形成される。余盛除去方法としては、グラインダなどによる機械的除去、電界研磨などによる化学的除去のいずれを用いてもよいが、自動化できる、配管内面の余盛も除去できる、新たに加工層を形成しない等の観点から、電界研磨が好ましい。
複数回除去した後、時系列的に得られた全データを逆解析して、溶接固有ひずみを求める（Ｓ１０３）。精度向上のため、弾性応答マトリクスに特異値分解による適切化を実施するのが好ましい。
最終的に、ＦＥＭ解析等を用い、固有ひずみから残留応力を評価する（Ｓ１０４）。
【００１３】
具体的なアルゴリズムを以下に示す。解析対象として溶接配管を想定しているため、ここでは円筒座標系（ｒ、θ、ｚ）を用いて説明を行うが、平板の解析などで直交座標系を用いる場合、円周（溶接線）方向θをｘに、軸（溶接線垂直）方向ｚをｙに、半径（板厚）方向ｒをｚに、適宜読み替えればよい。
【００１４】
まず、非特許文献３に記載された従来手法を説明する。部材に存在する固有ひずみの３次元分布ベクトルを｛ε＊｝とする。部材の有限要素モデルがｑ個の要素から成るとすると、各要素において、固有ひずみは３方向の成分を持つので、部材全体の固有ひずみ分布は次式のような３ｑ次のベクトルとして表される。
【数２】
ここで、添字Ｔは行列の転置を表す。この固有ひずみ分布を力学的境界条件として部材に負荷すると、部材に弾性ひずみが生じる。この場合での、測定位置における弾性ひずみベクトル｛εｅ｝を
【数３】
とする。ただし、ｎ?ｑとする。固有ひずみから弾性ひずみを求める過程は弾性解析であるから、両者の間には次式のような線形関係が成り立つ。
【数４】
ここで、Ｈは弾性応答マトリックスと呼ばれるｎ×３ｑの行列であり、Ｈの第ｉ列は、固有ひずみのｉ番目のパラメータのみを単位の値とし、他をすべて０としたときの分布（以下、単位固有ひずみという）
【数５】
を負荷したときの部材に生じる弾性ひずみを表す。したがって、弾性応答マトリックスＨは単位固有ひずみunitε＊ｉ（ｉ＝１、２、...、３ｑ）を負荷する弾性有限要素解析を３ｑ回行うことで求めることができる。
【００１５】
余盛除去前（before）と、除去後（after）の弾性応答マトリックスをそれぞれＨｂ、Ｈａとすると、数４より
【数６】
【数７】
と与えられる。ただし、添字のｂ、ａは余盛除去前（before）、除去後（after）を表す。
【００１６】
余盛除去に伴う解放ひずみ｛Δε｝は、余盛除去前後における弾性ひずみの差として与えられ、固有ひずみは、余盛の除去による新たな加工ひずみ（塑性ひずみ）が生じない限り不変である。このことから、数６、数７より解放ひずみと固有ひずみの間に次の関係が成り立つ。
【数８】
ただし、Ｈｂａ＝Ｈａ−Ｈｂである。以下、特にことわりがない限りＨｂａを単にＨと表記する。
【００１７】
部材表面で解放ひずみを測定する場合、その測定値｛Δεｍ｝には測定誤差が含まれる。測定誤差を｛Δεｅｒｒ｝とすると数８は次のようになる。
【数９】
このとき、固有ひずみ分布の推定値｛ε^＊｝は
【数１０】
となる。ただし、Ｈ＋は弾性応答マトリックスＨのムーアペンローズ一般逆行列（Moore and Penrose generalized inverse matrix）である。
【００１８】
次に、本実施の形態にかかる手法を説明する。本発明では、余盛除去の定式化に際し、除去過程を時系列的問題とみなし、時系列的な観測量に対して定式化を行う。時系列的問題の代表的な解法としては、カルマンフィルタの理論が挙げられる。カルマンフィルタとは観測量ｙ０、...、ｙｋを用いて、時刻ｔｋ'のときのシステムの状態ｘｋ'に関する最適な推定量ｘ^ｋ'｜ｋを求めるアルゴリズムである。このときｘｋ'の最適な推定量ｘ^ｋ'｜ｋを求める問題はｘｋ'とｙ０、...、ｙｋの時間的関係から以下の３つに分類できる。
（i） 未来のｘｋ＋ｍ（ｍ?１）の推定量ｘ^ｋ＋ｍ｜ｋを求める予測問題（prediction）
（ii） 現在のｘｋの推定量ｘ^ｋ｜ｋを求めるろ波問題（filtering）
（iii） 過去のｘｋ−ｍ（ｍ?１）の推定量ｘ^ｋ−ｍ｜ｋを求める平滑問題（smoothing）
【００１９】
一例として、以下では（ii）のろ波問題の適用例を示す。溶接余盛の除去における除去角度の段階を時系列的なモデルとしてとらえることで、それぞれの解放ひずみ測定値を時系列データとして考えることができる。これを用い、解放ひずみ測定値から固有ひずみ分布を推定する逆問題解析過程においてカルマンフィルタの利用を検討する。以下では、一例として、図２に示すように円周方向に沿う余盛を、７．５ｄｅｇ刻みで、８回、合計６０ｄｅｇ除去するとして定式化を行う。すなわち、余盛除去部４は連続した領域である。
【００２０】
ビードフラッシュ法のシステムを、状態方程式（差分方程式）と観測方程式によって記述すると以下のようになる。
【数１１】
【数１２】
ここで、下添え字のｋは、除去角度φｄｅｇ
【数１３】
に対応する余盛除去のステップ数である。数１１および数１２は、固有ひずみ分布をｘ（＝｛ε＊｝）、解放ひずみの測定量をｙｋ（＝｛Δεｋ｝）、測定誤差をν（＝｛Δεｅｒｒ｝）として記述したものである。Ｈｋは余盛除去ステップｋ番目の弾性応答マトリックスである。
【００２１】
また、
（i） 測定誤差νは白色雑音であり、平均値ベクトル０の既知の共分散行列を持つガウス性である。
（ii） 固有ひずみの初期値ｘ０は既知の平均値ベクトルと共分散行列をもつガウス確率変数ベクトルである。
（iii） 固有ひずみの初期値ｘ０と測定誤差νは独立である。
との仮定をおくと、固有ひずみの逆問題解析の過程においてカルマンフィルタ理論を適用することができる。
【００２２】
数１１および数１２の基本システムにカルマンフィルタを適用すると
【数１４】
【数１５】
【数１６】
が得られる。ただし、
【数１７】
とする。Ｋｋはカルマンゲインと呼ばれ、ｘ^ｋ｜ｋは固有ひずみ分布の推定量、ｙｋは解放ひずみの測定量、Σ^ｋ｜ｋは推定誤差（ｘｋ−ｘ^ｋ｜ｋ）の共分散行列、Σνは測定誤差の共分散行列、ひずみ測定時の誤差の標準偏差をσνとすれば、
【数１８】
となる。Ｉは単位行列である。
【００２３】
よって、未知量である初期条件ｘ^０｜０、Σ^０｜０を決定することで、カルマンフィルタによる固有ひずみ分布の推定が可能となる。上述した定式化から明らかなように、本手法は単に余盛を部分的に除去して数１０を展開するという概念ではなく、部分的に除去を繰り返しながら、その都度データを取得し、それらのデータを時系列的に処理することにより、固有ひずみの評価精度を向上させるという技術である。したがって、溶接配管のみならず、溶接線方向に沿って固有ひずみが一定となるような溶接材ならば、すべて適用可能である。したがって、溶接線方向に沿って固有ひずみが一定となるような溶接平板に対して適用すれば、もちろん従来手法よりも精度向上が期待できる。
【００２４】
なお、カルマンフィルタ以外にも、定式化は可能である。たとえば、余盛を６０ｄｅｇまで段階的に除去すれば、固有ひずみ推定を余盛の除去角度ごとの８回行うことができる。そのため、従来手法における数１０の代わりに、８回の全測定データを同時に活用して固有ひずみ推定を行うこともできる。この場合には、数１０は次式となる。
【数１９】
【数２０】
【数２１】
ただし、下添え数字は除去角度φｄｅｇであり、φｄｅｇにおけるＨやΔεｍを表す。もちろんこの場合には、時系列という情報は考慮されていないが、少なくとも従来手法よりも精度の向上が期待できる。
【００２５】
溶接配管に図３に示すような固有ひずみ分布（非特許文献５参照）が存在し、かつ、これが板厚方向および溶接ビード方向に一様に分布していると仮定する。図４に示すように、配管の寸法は、内径２００ｍｍ、肉厚１０ｍｍ、長さ４００ｍｍ、余盛高さ２ｍｍ、余盛幅８ｍｍとする。図４には長さ方向の対称性から半分のみを示しているが、これをＦＥＭ解析対象部５とする。ひずみゲージとしては５連・２軸（１０素子）のひずみゲージ（ゲージピッチ２ｍｍ、ベース長７．５ｍｍ、ベース幅１２ｍｍ）を４枚用いると仮定する。すなわち、合計４０素子を用い、４０個のひずみを測定すると仮定する。ひずみゲージの貼付位置はθ（ｄｅｇ）＝７．５、２２．５、３７．５、５２．５についてｚ（ｍｍ）＝１０、１２、１４、１６、１８の２０点とし、各位置に２つずつのゲージが貼付されているため４０測定点となる。非特許文献２と同様に溶接ビード方向に沿って固有ひずみは一定と仮定した。ただし、この場合でも残留応力は厚さ方向に分布するので、外表面と内表面では残留応力は異なる。固有ひずみは、非特許文献２と同様に次式に示すロジスティック関数の線形結合を用いてε＊の分布をモデル化し、各項の係数ａｓｉを未知推定量とした。
【数２２】
ここで、ｓ＝ｘまたはｙまたはｚ、ｋ＝４、ｐｉ＝−５．０、ｑ１＝０．６、ｑ２＝０．４、ｑ３＝０．３、ｑ４＝０．２５である。ひずみの測定時の誤差が標準偏差σν＝２０μで、かつ、ひずみゲージの貼付位置が、図５に示すように、標準偏差１ｍｍ（変動角０．５２ｄｅｇ）で変動すると仮定し、誤差乱数のシードを変化させて１５回シミュレーションを実施した。数１４、数１５および数１６による固有ひずみ推定結果を図６に示す。図６（ａ）は厚さ方向の固有ひずみの推定結果、図６（ｂ）は円周方向の固有ひずみの推定結果である。
【００２６】
一方、従来手法に従い図７に示す２次元軸対称モデルを用いて、余盛を全周にわたって除去するモデルの解析を行った。図７（ａ）は溶接配管１の斜視図、図７（ｂ）はＦＥＭ解析対象部５の断面図、図７（ｃ）は図７（ｂ）における点線円内すなわちビード２近傍の拡大図であり、測定点を示す。全周にわたって余盛を除去する場合には、図５に示すような測定位置がビード方向にずれることによる測定誤差は生じない。しかしそれでも、ひずみの測定誤差を、標準偏差σν＝２０μとした場合には解が振動して全く有意味な解が得られなかった。すなわち、溶接平板についてその有効性が確認されている従来手法をそのまま配管に適用することが困難であることがわかり、この意味で本提案手法の有効性が確認される。そこで、従来手法に基づく解をとにかく得ることを目的として、非特許文献５に示した内容に従い、従来よりも高精度なひずみ測定を行うと仮定して、標準偏差σν＝１０μとした。ひずみの測定位置は非特許文献５に従い、図７（ｃ）に示すように、ｚ＝１０ｍｍから１６点である。すべて２軸ゲージと仮定しているため、合計３２個の測定データとなる。ただし、上記の通り、従来よりも高精度な測定を行うと仮定したように、実際には標準偏差がσν＝１０μとなるまで、このひずみゲージの組を円周方向にわたって何列も貼付することを想定している。したがって、実際に測定するデータの数は３２個×貼付列数となる。誤差乱数のシードを変化させて１５回シミュレーションを実施した結果を図８に示す。図８（ａ）は厚さ方向の固有ひずみの推定結果、図８（ｂ）は円周方向の固有ひずみの推定結果である。
【００２７】
図８に示した従来手法による推定結果は、本発明にかかる手法で仮定しているひずみ測定誤差よりも小さな測定誤差を仮定していて、なおかつ余盛りを全周にわたって除去するという余分な操作を施しているにもかかわらず、図６に示した本発明にかかる手法による推定結果と比較して、推定精度は逆に低下している。
【００２８】
図２〜図５に示したモデルについて、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを２０μとしてシミュレーションを行い、溶接残留応力を数１４、数１５および数１６により推定した結果を図９に示す。図９（ａ）は周方向応力、図９（ｂ）は軸方向応力の推定結果である。いずれも残留応力の概形の推定精度は良好である。比較のために、図７に示した従来手法により、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを１０μとした推定結果を図１０に示す。図９に示した本発明にかかる手法による推定結果は、従来手法よりも大きな測定誤差を仮定しているにもかかわらず、図１０に示した従来手法による推定結果に比べ、正解に近く、優れている。
【００２９】
また、図３においてｒ方向の固有ひずみのみを変化させた図１１に示す固有ひずみ分布の場合について、ひずみ測定誤差の標準偏差σνを２０μとしてシミュレーションを行い、溶接残留応力を数１４、数１５および数１６により推定した結果を図１２に示す。図１２（ａ）は周方向応力、図１２（ｂ）は軸方向応力の推定結果である。いずれも残留応力の推定精度は良好である。
【図面の簡単な説明】
【００３０】
【図１】実施の形態にかかる溶接残留応力の評価手順を示す図である。
【図２】ひずみゲージ貼付およびビード除去を模式的に示す図である。
【図３】実施の形態にかかる初期固有ひずみ分布を示すグラフである。
【図４】実施の形態にかかるＦＥＭ解析モデルを示す図である。
【図５】測定位置の誤差を示す図である。
【図６】実施の形態にかかる推定固有ひずみを示すグラフである。
【図７】従来のＦＥＭ解析モデルを示す図である。
【図８】従来手法による推定固有ひずみを示すグラフである。
【図９】実施の形態にかかる推定残留応力を示すグラフである。
【図１０】従来手法による推定残留応力を示すグラフである。
【図１１】実施の形態にかかる初期固有ひずみ分布を示すグラフである。
【図１２】実施の形態にかかる推定残留応力を示すグラフである。
【符号の説明】
【００３１】
１ 溶接配管
２ ビード
３ ひずみゲージ
４ 余盛除去部
５ ＦＥＭ解析対象部
【特許請求の範囲】
【請求項１】
溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、
前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、
前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備える残留応力の評価方法。
【請求項２】
前記解放ひずみの測定にひずみゲージを用いることを特徴とする請求項１に記載の残留応力の評価方法。
【請求項３】
前記余盛が除去される領域は連続した領域であることを特徴とする請求項１または２に記載の残留応力の評価方法。
【請求項４】
前記逆解析においてカルマンフィルタの理論を用いることを特徴とする請求項１〜３のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項５】
前記溶接材が溶接配管であることを特徴とする請求項１〜４のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項６】
前記算出する工程にＦＥＭ解析を用いることを特徴とする請求項１〜５のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項７】
電界研磨により前記余盛を除去することを特徴とする請求項１〜６のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項１】
溶接ビードの余盛を一部除去しては、前記溶接ビート近傍の解放ひずみを測定することを複数回繰り返す工程と、
前記解放ひずみを逆解析して固有ひずみを求める工程と、
前記固有ひずみから溶接残留応力を算出する工程とを備える残留応力の評価方法。
【請求項２】
前記解放ひずみの測定にひずみゲージを用いることを特徴とする請求項１に記載の残留応力の評価方法。
【請求項３】
前記余盛が除去される領域は連続した領域であることを特徴とする請求項１または２に記載の残留応力の評価方法。
【請求項４】
前記逆解析においてカルマンフィルタの理論を用いることを特徴とする請求項１〜３のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項５】
前記溶接材が溶接配管であることを特徴とする請求項１〜４のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項６】
前記算出する工程にＦＥＭ解析を用いることを特徴とする請求項１〜５のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【請求項７】
電界研磨により前記余盛を除去することを特徴とする請求項１〜６のいずれか１項に記載の残留応力の評価方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【公開番号】特開２００８−５８１７９（Ｐ２００８−５８１７９Ａ）
【公開日】平成２０年３月１３日（２００８．３．１３）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００６−２３６３８４（Ｐ２００６−２３６３８４）
【出願日】平成１８年８月３１日（２００６．８．３１）
【出願人】（３０４０２１４１７）国立大学法人東京工業大学 (1,821)
【公開日】平成２０年３月１３日（２００８．３．１３）
【国際特許分類】
【出願日】平成１８年８月３１日（２００６．８．３１）
【出願人】（３０４０２１４１７）国立大学法人東京工業大学 (1,821)
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