磁気共鳴映像法の訂正方法
磁気共鳴映像（ＭＲＩ）技術の空間符号化は、磁場勾配例えば、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配に対する時間の関数として信号をサンプルすることにより、達成される。勾配磁石は線形勾配を生成するとこれまで仮定されており、通常の映像再構成技術はこの仮定に依存している。しかしながら、高速パフォーマンスを実現するために、勾配磁石はスピードに対する線形性を犠牲にすることがある。この非線形性は、ゆがんだ映像となり、ゆがみは、定位の若しくは長期の研究に対するＭＲＩ映像の有用性を貶めるのに充分である。そこでは正確な量的情報が求められるからである。勾配磁場の非線形性からのゆがみの映像、更には磁場生成デバイスにおける移行、回転、及び／又は巻き上げ／設計エラーから生じるゆがみを、訂正する方法を開示する。該方法は、勾配磁場の球面調和関数と高速フーリエ変換を採用し、計算機への過度の負担を与えること無しに充分に訂正された映像を示す。
【発明の詳細な説明】
【発明の詳細な説明】
【０００１】
［発明の分野］
本発明は、磁気共鳴映像法（ＭＲＩ）に関する。特に、本発明は、（ｉ）非線形勾配（以降、“非線形問題”と称する）、（ｉｉ）一つ又は複数のＭＲシステムの磁場生成デバイス、即ち、主要（Ｂ０）磁石、Ｘ勾配磁石、Ｙ勾配磁石及びＺ勾配磁石の対称ポイントの配置の不適切（以降、“不一致中心問題”と称する）、（ｉｉｉ）磁場生成デバイスの理想の幾何学的配置からのずれ（以降、“軸不整列問題”と称する）、及び（ｉｖ）磁場生成デバイスの巻き上げ及び／又は設計エラー（以降、“巻き上げエラー問題”と称する）などの、ＭＲＩ画像への効果を補償する球面調和関数のデコンボルーションの方法の利用に関する。
【０００２】
［発明の背景］
磁気共鳴映像法の画像の質は、画像を生成するのに利用される個々の器具部品の同質性に依存する。大量の画像において必要な同質性を有するマグネットの設計及び開発に、多くの留意が払われてきた。真の値から画像のゆがみや強度変動があれば、磁場同質性の変動は明らかである。無線周波数（ｒｆ）コイルに不均等性があれば、核スピンの非一様な励起となり更に強度変動となってしまい、一方で、パルス状の磁場勾配の印加からの勾配磁場の線形からのずれは、画像の変形や歪みを誘発する。
【０００３】
特に、磁気鏡面映像法の質は、物理的配置が空間的に符号化される正確性に依存する。ＭＲＩデータが、定位固定のために日常的に利用されているので、映像を保証する長期間の萎縮の研究及び機能研究には歪みが無く、不均等性は重大である。既に公知であるこの不均等性の原理的な機械依存の源は、渦電流、勾配非線形、Ｂ０及びＢ１の不均等性である。タナーエスエフ、フィニガンディジェイ、クーブイエス、マイルスピー、デアナリディピー、リーチエムオーの、歪み訂正ＭＲ画像を利用する骨盤の放射線療法立案、システムの歪みの除去、Ｐｈｙｓ Ｍｅｄ Ｂｉｏｌ．２０００ Ａｕｇ：２１１７−３２を参照されたい。
【０００４】
後で詳細に議論するように、一つの形態に係る本発明は、非線形勾配の効果を計算し除去する分析方法に関する。小径の高速の勾配に近年の興味が向けられているため、非線形勾配が採り上げられた。
【０００５】
特に、２００μ秒以下の立ち上がり時間を有する勾配の開発に、近年の重要な興味が向けられている。抹消神経刺激は短い立ち上がり時間の制限的な特徴であるが、その勾配は、心臓の高速エコー二次元映像（ＥＰＩ）と脳の拡散テンソル映像での利用が見出されている。短い立ち上がり時間を達成し、末梢神経刺激を回避するために、勾配の設計者は、勾配の長さを制限し、巻き数を限定する。所望の速度を有するパルスシーケンスの実現には適切であるが、これらの限定条件は勾配磁場での増大する非線形性という望まれない結果を有することになる。結果はゆがんだ映像となる。
【０００６】
特に、非線形のパルス状の磁場勾配は、信号の不正確な空間符号化のために画像歪みを誘発する。磁場勾配が線形であると仮定すれば、ｋ−空間が線形でサンプルされ高速フーリエ変換（ＦＦＴ）が再構築に適合的であるということになる。しかしながら、勾配の線形からの偏差は非線形のデータサンプリングとなり、映像空間符号化でのエラーとなってしまう。非線形フーリエ変換ではこのデータは正確に映像に変換される。不運なことに、非線形フーリエ変換は、ＦＦＴに比べて、Ｎ／ｌｏｇ２Ｎにより計算時間が大きく増加してしまい、このことによりリアルタイムの映像生成が計算法上禁制と成ってしまう。
【０００７】
後で説明するが、本発明のある実施形態はこの問題を意図しており、勾配非線形により誘発される映像のゆがみを訂正する一般的な分析方法を提示する。該分析方法は、（１）どの勾配構成にも利用でき、（２）確固としたものであり、（３）重要なことであるが映像再構築のための方法としてＦＦＴを維持する。
【０００８】
ＭＲＩのゆがみを写像し訂正することはこれまで考察されてきたし、勾配コイルにより生成される勾配の非線形性により誘発される映像ゆがみを訂正するための多くの試みがなされてきた。シャド（Ｓｃｈａｄ）らによる２つの初期の論文は、２Ｄ模型で見られる“ピンクッション”効果を議論する。Ｓｃｈａｄ Ｌ， Ｌｏｔｔ Ｓ， Ｓｃｈｍｉｔｔ Ｆ， Ｓｔｕｒｍ Ｖ， Ｌｏｒｅｎｚ ＷＪ．らによる“Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ： ａ ｐｒｅｒｅｑｕｉｓｉｔｅ ｆｏｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｓｔｅｒｅｏｔａｘｙ．” Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｓｓｉｓｔ Ｔｏｍｏｇｒ． １９８７ Ｍａｙ−Ｊｕｎ；１１ （３）： ４９９−５０５； および Ｓｃｈａｄ ＬＲ， Ｅｈｒｉｃｋｅ ＨＨ， Ｗｏｗｒａ Ｂ， Ｌａｙｅｒ Ｇ， Ｅｎｇｅｎｈａｒｔ Ｒ， Ｋａｕｃｚｏｒ ＨＵ， Ｚａｂｅｌ ＨＪ， Ｂｒｉｘ Ｇ， Ｌｏｒｅｎｚ ＷＪ．らによる“Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｎｇｉｏｇｒａｐｈｙ ｆｏｒ ｒａｄｉｏｓｕｒｇｉｃａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｏｆ ｃｅｒｅｂｒａｌ ａｒｔｅｒｉｏｖｅｎｏｕｓ ｍａｌｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．” Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ．１９９２； １０ （４）： ６０９−２１．を参照されたい。
【０００９】
結論スキームは、
（１）参照符として定位フレームを利用すること（Ｍａｕｒｅｒ ＣＲ Ｊｒ， Ａｂｏｕｔａｎｏｓ ＧＢ， Ｄａｗａｎｔ ＢＭ，Ｇａｄａｍｓｅｔｔｙ Ｓ， Ｍａｒｇｏｌｉｎ ＲＡ， Ｍａｃｉｕｎａｓ ＲＪ， Ｆｉｔｚｐａｔｒｉｃｋ ＪＭ．による“Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ＭＲ ｏｎ ｉｍａｇｅ ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ．” Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｓｓｉｓｔ Ｔｏｍｏｇｒ． １９９６ Ｊｕｌ−Ａｕｇ ； ２０ （４）： ６６６− ７９； 及び Ｍｏｅｒｉａｎｄ ＭＡ， Ｂｅｅｒｓｍａ Ｒ， Ｂｈａｇｗａｎｄｉｅｎ Ｒ， Ｗｉｊｒｄｅｍａｎ ＨＫ， Ｂａｋｋｅｒ ＣＪ．による“Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ ｉｎ １．５ Ｔ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｅｓ ｆｏｒ ｕｓｅ ｉｎ ｒａｄｉｏｔｈｅｒａｐｙ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ．” Ｐｈｙｓ Ｍｅｄ Ｂｉｏｌ． １９９５ Ｏｃｔ ； ４０ （１０）：１６５１−４を参照されたい）、
（２）ＣＴ及びＭＲＩから模型映像を計算すること（Ｆｒａｎｓｓｏｎ Ａ， Ａｎｄｒｅｏ Ｐ， Ｐｏｔｔｅｒ Ｒ．による“Ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ＭＲ ｉｍａｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ ｉｎ ｒａｄｉｏｔｈｅｒａｐｙ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ．”Ｓｔｒａｈｌｅｎｔｈｅｒ Ｏｎｋｏｌ． ２００１ Ｆｅｂ；１７７ （２）： ５９− ７３； 及び Ｙｕ Ｃ， Ｐｅｔｒｏｖｉｃｈ Ｚ， Ａｐｕｚｚｏ ＭＬ， Ｌｕｘｔｏｎ Ｇ．による“Ａｎ ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｌｅｋｓｅｌｌ ｓｔｅｒｅｏｔａｃｔｉｃ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ．” Ｊ Ａｐｐｌ Ｃｌｉｎ Ｍｅｄ Ｐｈｙｓ． ２００１ Ｗｉｎｔｅｒ； ２（１） ： ４２−５０を参照されたい）、
（３）通常、適切な造成剤で充たされたチューブのアレイからなる特定のＭＲＩ模型を映像化すること（Ｂａｋｋｅｒ ＣＪ，Ｍｏｅｒｌａｎｄ ＭＡ， Ｂｈａｇｗａｎｄｉｅｎ Ｒ， Ｂｅｅｒｓｍａ Ｒ．による“Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍａｃｈｉｎｅ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｎｄ ｏｂｊｅｃｔ−ｉｎｄｕｃｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ２ＤＦＴ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ．” Ｍａｇｎ ＲｅｓｏｎＩｍａｇｉｎｇ． １９９２ ； １０ （４）： ５９７− ６０８；と、Ｍｉｚｏｗａｋｉ Ｔ， Ｎａｇａｔａ Ｙ， Ｏｋａｊｉｍａ Ｋ， Ｍｕｒａｔａ Ｒ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ， Ｋｏｋｕｂｏ Ｍ， Ｈｉｒａｏｋａ Ｍ， Ａｂｅ Ｍ．による“Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ａｎ ＭＲ ｓｉｍｕｌａｔｏｒ ： ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｌｉｎｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．” Ｒａｄｉｏｌｏｇｙ．１９９６ Ｊｕｎ ； １９９ （３）： ８５５−６０；と、Ｗｏｏ ＪＨ， Ｋｉｍ ＹＳ， ＫｉｍＳＩ．による“Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ＭＲ ｉｍａｇｅｓ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｈａｎｔｏｍ ｓｔｕｄｉｅｓ．” Ｓｔｕｄ Ｈｅａｌｔｈ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｉｎｆｏｒｍ． １９９９ ； ６２： ３８８−９．；及び Ｔａｎｎｅｒｅｔ らによる前述論文を参照されたい。）
を含む。
【００１０】
後のＭｉｚｏｗａｋｉらの論文（Ｍｉｚｏｗａｋｉ Ｔ， Ｎａｇａｔａ Ｙ， Ｏｋａｊｉｍａ Ｋ， Ｋｏｋｕｂｏ Ｍ， Ｎｅｇｏｒｏ Ｙ， Ａｒａｋｉ Ｎ， Ｈｉｒａｏｋａ Ｍ．による“Ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｈａｎｔｏｍ ｓｔｕｄｉｅｓ．” ＲａｄｉｏｔｈｅｒＯｎｃｏｌ． ２０００ Ｎｏｖ； ５７ （２）： ２３７−４２）は、模型研究に係る重要な問題を示唆する。彼ら自身の模型を基礎にした訂正の再現性を査定した後、著者は、このような訂正は限定された状況でのみ有効であり得ると結論付けている。
【００１１】
磁場写像は、誘導された位相シフトによるゆがみを判断する別の方法である（Ｃｈａｎｇ Ｈ， Ｆｉｔｚｐａｔｒｉｃｋ ＪＭ．による“Ａ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ．” ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ． Ｍｅｄ． Ｉｍａｇｉｎｇ， １１： ３１９−３２９，１９９２ ；と、Ｃｈｅｎ ＮＫ，Ｗｙｒｗｉｃｚ ＡＭ．による“Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｅｃｈｏ ｐｌａｎａｒ ｉｍａｇｉｎｇ．” Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｍｅｄ． ２００１ Ｍａｒ； ４５ （３）： ５２５−８；と、及び“Ｃｕｓａｃｋ Ｒ， Ｂｒｅｔｔ Ｍ， Ｏｓｓｗａｌｄ Ｋ．による“Ａｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｍａｐｓ ｔｏ ｕｎｄｉｓｔｏｒｔ ｅｃｈｏ−ｐｌａｎａｒ ｉｍａｇｅｓ．” Ｎｅｕｒｏｉｍａｇｅ．２００３ Ｊａｎ ；１８ （１） ： １２７−４２を、参照されたい。）。とりわけ、Ｃｈａｎｇらのアプローチは、異なる勾配強度を利用する２つの映像の取得を信頼する。異なる映像間の誘導位相シフトから、勾配磁場のゆがみ映像は計算可能であり、映像も訂正され得る。２平面勾配を利用して誘導されるゆがみを訂正する後処理方法を含む特定の問題のための別の訂正スキームが提案されている（Ｌｉｕ Ｈによる“Ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｉｍａｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｂｉｐｌａｎａｒ ｐｌａｎａｒ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｃｏｉｌ．” Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｉｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｂｉｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｍｅｄｉｃｉｎｅ， １０： ７５−７９， ２０００を参照されたい）。とにかく、これらアプローチは、絶縁のＭＲＩシステムの一部のために、特に勾配を識別し、モデル化し若しくは訂正することを試みる際の限定された利用に関する。
【００１２】
最近の論文（Ｌａｎｇｌｏｉｓ Ｓ， Ｄｅｓｖｉｇｎｅｓ Ｍ， Ｃｏｎｓｔａｎｓ ＪＭ， Ｒｅｖｅｎｕ Ｍ．による“ＭＲＩ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ： ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｎｏｎ−ｌｉｎｅａｒ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ．” Ｊ Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ． １９９９ Ｊｕｎ； ９ （６）： ８２１−３１を参照されたい）では、対向するＺ勾配のためのヘルモルツ対、若しくは横軸勾配のためのゴレイ構成のいずれかの勾配コイルを取り扱うことを基にした非線形勾配により誘導された、強度変動及び幾何学的ゆがみの両方の訂正のための方法が、提示されている。しかしながら、このアプローチは、強度訂正のための勾配磁場の非線形成分を定数として取り扱い、大きい模型（１辺約２０ｃｍの立方体）を訂正することによって非線形誘導のゆがみの訂正を実証する。選択された勾配のジオメトリーに対しては２次項のみが重要であるとも仮定される。直径に対する長さが意義ある比率（＞２）である勾配に対しては、このアプローチは有用であるが、より高次の勾配磁場の不純項を伴う現行の高速勾配では、有用さは限定される。
【００１３】
最近の特許（Ｋｒｉｅｇ Ｒ， Ｓｃｈｒｅｃｋ Ｏ．による２００２年１２月３１日発行の米国特許第６，５０１，２７３号を参照されたい）では、一般的な確固たる方法を開発するには球面調和関数が有用であることが示唆されているが、説明は何ら無い。別の特許出願（２００２年７月１８日発行のＺｈｕ Ｙによる米国特許出願番号第２００２／０９３３３４号を参照されたい）は、仮定された非線形を基にしたｋ−空間を再構築する方法を示唆する。提示される方法は、凡そ１０１４の３重積分を含み、従って実用の値が限定される。実際、この特許公開では、公知の基本的な欠陥が強調される、つまり、実用上の値に関する方法は、基礎としてＦＦＴを利用しなければならない、ということを認識していないことである。
【００１４】
前者の特許から、勾配の非線形のための映像のゆがみを訂正する一般的な方法を求める確固たる要求が存在する、ということがわかる。特に、問題に対する厳密なアプローチを基にした、臨床医が映像解析に自信を持てる方法を求める要求が存在する。
【００１５】
本発明の一つの実施形態は、勾配の非線形性により誘導される映像のゆがみを訂正する一般的な方法を提示する。とりわけ、方法はとの勾配構成にも利用できる。
【００１６】
非線形の問題に加えて、後で説明する分析技術を開発する過程にて、通常のＭＲＩシステムの磁場生成デバイスは（ｉ）実質的に転置された対称点を持ち、即ち、対称点は共通の中心を共有せず（不一致中心問題）、更に（ｉｉ）理想の幾何学的配置からの実質的な偏差を持ち、即ち、個別の磁場生成デバイスに関する個別のデカルト座標系は、転置された中心を有することに加えて、相互に対して、及び／又はＭＲＩシステムの全体のデカルト座標系に対して、回転し得る（軸不整列問題）、ということが気付かれた。それら自身の並進の及び回転の不整列は、ＭＲ映像にゆがみを生じる。磁場生成デバイスに対する巻き上げ及び／又は設計上のエラーは、ゆがみの別の源である（巻き上げエラー問題）。他の実施形態によって、本発明は、ゆがみのこれら源に係る問題を取り扱う。
【００１７】
［本発明の概要］
本発明は、核磁気共鳴（ＮＭＲ）断層撮影装置での勾配非線形によるＭＲ映像のゆがみ、及び／又は、装置の磁場生成デバイスの並進の及び／又は回転の不整列によるゆがみ、及び／又は、磁場生成デバイスの巻き上げ及び／又は設計のエラーによるゆがみを、訂正する方法を提示する。装置は通常、公知のように、所望の大きさの実質的に一定の主要（Ｂ０）磁場を生成する（必要ならばシムコイルを伴う）磁石と、勾配磁場を生成する勾配コイルを含む。方法は主要磁場をデコンボルーションする冒頭のステップを含む。磁場は、球面調和関数の基準セットを用いてデコンボルーションされてもよいが、他の適切な基準セットが用いられてもよい。デコンボルーションは、ＭＲＩ装置により定義される原点、例えば、映像領域の中心を利用して、実施される。
【００１８】
勾配コイルは、一定の電流を用いて、個別に励起されるのが、即ち、一度に一つ励磁されるのが好ましい。通常、コイルを焼き切らないために、低電流が加えられる。個々の一定に励磁された勾配コイルに対して、同じ原点を利用して磁場が再度デコンボルーションされるのが好ましい。勾配磁場は線形であるように意図されているので、原点及びそれに関連する軸と一致する、対称点及び軸を有する完全な勾配磁石に対して、デコンボルーションから単一の調和関数係数が、例えばＸ勾配磁石に対するａ（１，１）係数、Ｙ勾配磁石に対するｂ（１，１）係数、Ｚ勾配磁石に対するａ（１，０）係数が生じる（以降、“一次係数”という）。勾配のみとその不純性及び／又は配列エラーなどの効果を得るために、第１のデコンボルーションから取得される（場合により必要に応じてシミングされる）主要磁石の調和関数が、減ぜられる。結果は、勾配コイルに対する球面調和関数係数、即ち、以下にて説明し請求項で言及するコイルに対する“ａ”及び“ｂ”の係数のセットである。一次係数以外の実質的な値を伴う係数の存在は、勾配磁石、及び／又は非一致対称ポイント、及び／又は、回転軸、及び／又は、巻き上げ又は設計のエラーにおける非線形性を示す。
【００１９】
個々の勾配コイル夫々に対して、球面調和関数係数を得ることが好ましいが、場合によっては、システムの対称性により、別のコイルのための勾配コイルのうちの一つに対して取得された球面調和関数係数が利用され得ることもある。例えば、ｘ、ｙ、ｚ座標系のｚ軸に沿ったＢ０に対して、及び（ｉ）（シミングの後の）主要（Ｂ０）コイル、（ｉｉ）相互間、及び（ｉｉｉ）映像領域の中心と、同じ若しくは事実上同じ対称点を有するＸ勾配、Ｙ勾配、及びＺ勾配に対して、更に、磁場生成デバイスのための調整された軸及び巻き上げ／設計エラーの低いレベルに対して、ｚ勾配コイルと、ｘ若しくはｙコイルのうちの一つと対してのみ、計測が為されてもよく、このとき計測されるｘ若しくはｙコイルに対する球面調和関数係数が非計測コイルのために使われてもよい。同様に、個々のＭＲＩマシンに対し設置されシミングされる際に、球面調和関数係数を取得するのが最も好ましい。しかしながら、ＭＲＩマシンの特定のシリーズ若しくはモデルの代表的サンプルに対して得られた一般的な係数が、所望であれば利用されてもよい。このことにならって、計測された係数ではなく、理論上の係数が用いられてもよいが、好ましいくはない。
【００２０】
一般的ルールとして、例えば、ｘ、ｙ、及びｚ勾配コイルの夫々のための計測が為されるほど、更に、特定のマシンに対して例えば設置とシミングの後の個別のマシンに対して計測が為されるほど、勾配ベースのゆがみの訂正は良くなる。しかしながら、このような一般的ルールはさておき、本発明は、球面調和関数係数のセットが最適な係数でなくとも、利益がある。結局、本発明の訂正の技術を利用するのに要求されるのは、訂正されるべきＭＲＩ映像を生成するのに利用される勾配磁石の各々に対して、どのような方法であっても取得された、球面調和関数係数のセットのみである。実際には、これらのセットは、本発明の訂正方法を実施する際に利用するために、例えばコンピュータシステムのハードドライブ上のルックアップテーブル内に格納される。
【００２１】
通常の実施形態では、本発明は、非線形、不一致センタ、軸不整列、若しくは巻き上げエラー問題のうちの一つ若しくはそれ以上を示す、勾配を利用する時間領域データを取得し、高速フーリエ変換を用いて訂正されていない時間領域データを変換して映像空間でゆがんだ映像を提示することを、含む。ゆがみの源若しくは原因は公知である（即ち、上記で計算される非一次調和関数である）から、それらは映像空間映像を訂正するのに利用される。
【００２２】
特に、第１の実施形態（概略図８の左コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用する繰り返しの写像を用いて決定されることを特徴とする方法である。
【００２３】
好ましくは、繰り返しの写像は、以下の数９８の式の形態であり、数９９の式で設定されるタイプの“停止”パラメータを利用するのが好ましい。例えば、停止パラメータの適切な値は１０−３であり、この値は訂正映像を提示するのには十分に小さい値である。一般に、停止パラメータが小さくなるほど、訂正の時間は長くかかることになる。例えば、１０−３の基準値に到達するには約３回の繰り返しが求められ、計算時間が約２秒となる。例えば、計算時間を２．５秒まで増加すると、例えばより低い値である１０−４の容易に到達する。一般に、２回と４回の繰り返しの間が、計算時間と十分な映像訂正との間の合理的な折衷案として好ましい。本発明の本実施形態、又は繰り返し及び／若しくは停止パラメータを含む他の実施形態の実施において、他の停止パラメータ及び繰り返しの数も、勿論、利用できる。
【００２４】
第２の実施形態（概略図８の中央コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用することを特徴とする方法である。
【００２５】
非線形方程式のシステムは、初期（ｘ’，ｙ’，ｚ’）値として（ｘ’０＝ｘ，ｙ’０＝ｙ，ｚ’０＝ｚ）を用いて（例えば、レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術、若しくは非線形最小化技術を用いて）繰り返し解かれるのが、好ましい。このとき、エラー関数、及び非線形方程式のシステムは以下の形態であり、
【数２】
ここで、
（ａ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられ、
【数３】
（ｂ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）の式（以下参照）で用いられるａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｃ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｄ）
【数４】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形及び非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数５】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００２６】
個々の勾配磁石及び（シミングの後の）主要（Ｂ０）磁石は、不一致中心問題、軸不整列問題、及び巻き上げエラーの問題（以降、“基本ケース”と言う）から実際上制約されないならば、上記サブ段落（ｄ）における総和は、所望であればｎ＝０でなくｎ＝１から始められる、ということに着目されるべきである。というのは、低次項はゼロ、若しくは事実上ゼロに等しい、即ち、それらの大きさはゼロ、若しくは他の項と比べて数値上小さいからである。
【００２７】
これらの好適な実施形態では、εはε＝Ｒｅｓ×１０−３の関係を充たし、ここでＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、Ａｉｍａｇｅは映像の領域（例えば、表示スクリーン上の２次元映像）であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数である。
【００２８】
本発明の第１の実施形態に関しては、εのより大きい値又はより小さい値を発明の実施において利用でき、より大きい値は計算時間の減少ということになり、より小さい値は計算時間の増加ということになる。
【００２９】
本発明の前述の第１及び第２の実施形態において、データ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことが好ましい。
【００３０】
本発明の第１及び第２の実施形態は、映像座標系がｘ、ｙ、ｚ座標系に対応する３次元映像を訂正する形で説明された。本発明に係るこれらの実施形態は、任意の３次元映像、即ち、映像座標軸がｘ、ｙ、ｚ座標系に関して任意の方向に向けられている３次元映像で、用いられてもよい。そのような３次元映像は、例えば、脳の映像内の人工物を回避する際、特に鼻構造内の空気の存在に関連する人工物を回避する際に有用である。任意の３次元映像は、映像ボリュームを、ｘ、ｙ、ｚ座標系に対して回転するデカルト座標系と関連付ける、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石に対する値を選択することによって、実際には達成される。
【００３１】
関連する形状が図１Ａで示され、図１Ａでは（ζ１，ζ２，ζ３）は任意の座標を表し、点Ｏにおいてζ１とζ２は互いに直交し、更にζ３は点Ｏを通りζ１とζ２により定義される平面に直交する。この図では、θ（０≦θ≦π）はＯζ３とＯＺとの間の角度であり、Ψ（０≦Ψ≦２π）はＯＡとＯＸの間の角度であり、Φ（０≦Φ≦２π）はＯＡとＯζ１の間の角度であり、ＯＡは平面Ｏζ１ζ２と平面ＯＸＹとの交差線である。
【００３２】
ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換は、以下の形であり、
【数６】
ここで、
【数７】
であり、
【数８】
は方向余弦である。
【００３３】
方程式ｒ＝Ａζ、及びζ＝Ａ−１ｒは、座標系ｒと座標系ζとの間の完全な関係を与える。
【００３４】
このような任意の方向の３次元映像に対して、訂正は、
（１）ζ座標系で任意の方向の映像を取り、
（２）ｒ＝Ａζ変換を用いて、ζ座標系をｒ座標系に変換し、
（３）本発明の第１若しくは第２の実施形態をのうちのいずれかの訂正方法を用いて、ｒ座標系で映像を訂正し、
（４）ζ＝Ａ−１ｒ変換を用いて、ｒ座標系をζ座標系に変換することによって、
実施される。
【００３５】
その後、訂正された映像はζ座標系で表示され得る。
【００３６】
第３の実施形態（概略図８の右コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され（例えば、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は、ｘ，ｙ，及びｚ方向の夫々の映像ポイント数を基礎にして選択され）、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数９】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数１０】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて、決定されることを特徴とする方法である。
【００３７】
量ΔｔＸ、ΔｔＹ及びΔｔＺは、以下の理由のため“等価な時間ステップ”を、上記で表している。空間位置を符号化するため、勾配を利用する。それが読み取り勾配であれば、アナログからデジタルへのコンバータ（ＡＤＣ）のサンプリング率により決定されるので、時間の問題は生じない。しかし、これは、一つの方向、例えばｙ方向を符号化するに過ぎない。他の方向、例えばｘ方向がいかに符号化されるかを問わねばならない。
【００３８】
１９７６年Ｅｒｎｓｔにより提案されたオリジナルの回転ゆがみ実験では、第２の勾配（位相勾配）（及び第３の勾配）が一定の勾配強度で適用され、個々の勾配の２５６回のインクリメントが取得された。勾配強度がＧであり時間インクリメントがｔであるならば、このことは、勾配強度Ｇを伴うが０・ｔ・Ｇから２５５・ｔ・Ｇまでの時間インクリメントを伴うｘ勾配の２５６回の適用が取られたことを意味する。ｘ座標ｘを伴うポイントに対する位相シフトは従ってｘ・Ｇ・ｎ・ｔであり、ここでｎは時間におけるステップである。これにγを×と、ラジアン単位系における位相シフトとなる。
【００３９】
しかし、時間に関して、固定値の、所謂Ｔに対して勾配が段階化（ステップ化）されても、同じ結果が得られる。ｇが勾配ステップサイズであれば、一定の勾配ステップのｎ回のインクリメントの後の位相シフトはｎ・ｇ・Ｔ・ｘである。即ち、ｎ・ｇ・Ｔ・ｘ＝ｘ・Ｇ・ｎ・ｔである。従って、一定の勾配に対して時間がインクリメントされても、一定の時間に対して勾配がインクリメントされても、同じ位相符号化の結果となる。本発明及び請求項の第３の実施形態に関する上記記述では、“等価の時間”というフレーズが利用されるのは、この意味である。
【００４０】
本発明のこの形態のある好適な実施形態は、以下のように特徴付けられる。
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）ＧＸＬ＝ａＸ（１，１）、ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１）、及びＧＺＬ＝ａＺ（１，０）であり、
（ｃ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、以下の式で与えられ、
【数１１】
ここで、ηＸ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、ηＹ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、及びηＺ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、以下の式で与えられ、
【数１２】
ここで、
【数１３】
は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、
更に
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスであり、ｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数１４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられる
【数１５】
という特徴である。
【００４１】
基本ケースに対して、ｘ、ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分に対して上記のように設定される式の各々の最初の２つの項は、ゼロ若しくは実際上ゼロである。
【００４２】
他の好適な実施形態では、補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする。
【数１６】
【００４３】
更なる好適な実施形態では、補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数１７】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数１８】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数１９】
ベクトルρは以下の形であり、
【数２０】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数２１】
ここで、
【数２２】
であり、
【数２３】
であることを特徴とする。
【００４４】
これらの実施形態の関係では、
（ａ）補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことが好ましく、
及び／又は、
（ｂ）補間法が、
（ｉ）ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用される、又は、
（ｉｉ）ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、そのサブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内である。
【００４５】
本発明の第１及び第２の形態と同様に、本発明の第３の形態が、任意の３次元映像に対する訂正画像を取得するのに利用できる。周波数で表現すれば、変換は以下のようになる。
【数２４】
ここで、
【数２５】
であり、Ａは上記と同じである。
【００４６】
このケースに対する訂正は、
（１）周波数ω（ζ１，ζ２，ζ３）の項で、任意の方向の映像を取ること、
（２）ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａω（ζ１，ζ２，ζ３）の変換を用いて、ω（ζ１，ζ２，ζ３）周波数から周波数ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）へ変換すること、
（３）本発明の第３の形態の訂正方法を用いて、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）周波数空間内で映像を訂正すること、及び、
（４）ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝Ａ−１ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の変換を用いて、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）周波数からω（ζ１，ζ２，ζ３）周波数へ変換し戻すこと
によって、実施される。
【００４７】
この後、訂正された映像は、ζ座標系で表示され得る。
【００４８】
本発明の第１、第２、及び第３の形態に関して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が訂正された画像として表示されるのが好ましい。図９に示すように、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成することが更に好ましい。
【数２６】
上式にて、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標である。適切な補間法手順の例は、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含む。計算されると、訂正された映像として、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が表示されるのが、好ましい。任意の３次元映像のケースの場合、補間法は、変換し戻すステップの前若しくは後のいずれかにて、訂正された映像に関して為されればよい。
【００４９】
前述の本発明の第３の形態は、３次元映像に関する。以下の第３の形態は、２次元スライス映像に関する。概して言うと、第４、第５、及び第６の形態は、第１、第２、及び第３の形態に概ね対応する訂正の技術を利用するが、３次元ではなく２次元である。図１Ｂは、本発明のこれら２次元の形態での議論で用いられた座標の用語を示す。
【００５０】
本発明の第１、第３の形態と同様に、本発明の第４、第５、及び第６の形態のための磁気共鳴映像システムは、（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ，ｙ，ｚ−座標系”）の原点を定義し、夫々、勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む。
【００５１】
図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対するスライス選択勾配は、以下の式で定義され得る。
【数２７】
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数２８】
はスライス選択勾配の大きさであり、スライス勾配の軸方向は、
【数２９】
であり、ここで、
【数３０】
である。
【００５２】
横方向、冠状及び矢状のスライスは、以下のように対応する。
横方向：
【数３１】
【数３２】
冠状：
【数３３】
矢状：
【数３４】
【００５３】
更に、図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対する位相符号化勾配は、以下の式で定義され得る。
【数３５】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数３６】
は位相符号化勾配の大きさであり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数３７】
であり、ここで、
【数３８】
である。
【００５４】
最後に、図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対する読み取り勾配は、以下の式で定義され得る。
【数３９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数４０】
は読み取り勾配の大きさであり、読み取り勾配の軸方向は、
【数４１】
であり、ここで、
【数４２】
である。
【００５５】
このように定義される座標系（ζ１，ζ２，ζ３）は、座標系（ｘ，ｙ，ｚ）のＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形組み合わせであると見られる。新しい座標系（ζ１，ζ２，ζ３）は、（ｘ，ｙ，ｚ）座標系と同じ原点を有し、座標系間の変換は以下のように記述される。
【数４３】
ここで、Ａは、以下のように与えられるスライス回転行列である。
【数４４】
【００５６】
Ａ−１は逆行列であり、
【数４５】
である。
【００５７】
この変換において、ｒ０＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）Ｔは、以下の式による（ｘ，ｙ，ｚ）座標系におけるスライスポジションである。
【数４６】
また、（０，０，ζ３）は、以下の式による（ζ１，ζ２，ζ３）座標系のスライス軸ζ３に沿ったスライスポジションである。
【数４７】
【００５８】
上述のように、ｘ，ｙ，ｚ座標系におけるＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の磁場の線形部分は、（ＧＸＬ＝ａＸ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ｃＺ（１，０））により与えられる。Ｇ１及びＧ２勾配（明細書及び請求項では、夫々、“Ｇ１勾配”及び“Ｇ２勾配”、若しくは“勾配（Ｇ１，Ｇ２）”とも表している）の線形部分は、以下のように記述され得る。
【数４８】
【００５９】
前述の用語を用いると、第４の形態に係る本発明は、（ｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
上記Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、夫々勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）を有する磁場を生成し、
上記方法は、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標である、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を利用する繰り返しの写像を用いて、決定されるステップを
含む。
【００６０】
本発明のこの形態のある好適な実施形態では、繰り返しの写像が以下の形態であり、
【数４９】
ここで、
【数５０】
であり、ここでｎは繰り返しの数でありη１（ζ１，ζ２）＝η１（ζ１，ζ２，ζ３）及びη２（ζ１，ζ２）＝η２（ζ１，ζ２，ζ３）は以下の式で与えられ、
【数５１】
ここで、
（ａ）ｒ、θ及びΦは、ζ１，ζ２及びζ３座標系と同じ原点に対して定義され、以下の式で与えられ、
【数５２】
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５３】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数５４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００６１】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及びＺ（０，０）磁場成分は、ゼロ若しくは実質的にゼロである。
【００６２】
繰り返しの写像が以下の条件を満たすまで継続されることが好ましい。
【数５５】
ここで、例えば、ε＝１０−３である。この場合、繰り返しの数は通常２以上であり且つ４以下である。
【００６３】
第５の形態として、本発明は、（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、上述のように定義される（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数５６】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用するような、ステップと
を含むことを特徴とする方法を、提示する。
【００６４】
好適には、非線形方程式のシステムが、初期値（ζ’１，ζ’２）としてのζ’１（０）＝ζ１及びζ’２（０）＝ζ２と、以下の形態の非線形方程式のエラー関数及びシステムを用いて（例えば、レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術、若しくは非線形最小技術を用いて）、反復して解かれ、
【数５７】
ここで、
（ａ）（ｒ’，θ’，Φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は以下のように関係付けられ、
【数５８】
であり、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５９】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の線形と非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数６０】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００６５】
基本ケースに対して、上記サブパラグラフ（ｃ）の総和は、所望であればｎ＝０でなくｎ＝１から始めてもよい。
【００６６】
本発明の第２の形態と同様に、εは、ε＝Ｒｅｓ×１０−３の関係式を充たすのが好ましい。ここで、Ｒｅｓは、Ｒｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数である。
【００６７】
第６の形態として、本発明は、（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２は、上述のζ^１及びζ^２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、上述のζ^１及びζ^２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであり、等価の時間は本発明の上述の第３の形態に関して述べた意味を有しているような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ^１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ^２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数６１】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数６２】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて決定されるような、ステップと
を含む。
【００６８】
本発明のこの形態のある好適な実施形態は、以下のように特徴付けられる。
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）
【数６３】
であり、
（ｃ）ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数６４】
ここで、η１（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びη２（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数６５】
ここで、
【数６６】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数６７】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｒ’，θ’，φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は、以下の式で関連づけられる。
【数６８】
【数６９】
【００６９】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及びＺ（０，０）磁場成分の大きさは、ゼロ若しくは実質的にゼロである。
【００７０】
他の好適な実施形態では、補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数である。
【数７０】
【００７１】
更なる好適な実施形態では、補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数７１】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数７２】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数７３】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数７４】
行列Ａは以下の形態である。
【数７５】
【００７２】
これらの実施形態に関連して、
（ａ）補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含み、
（ｂ）補間法が、
（ｉ）ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用され、若しくは、
（ｉｉ）ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、そのサブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内である。
【００７３】
本発明の第１、第２、及び第３の形態と同様に、訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）が表示されるのが好ましい。更に、以下の補間法を実施して、ρ（ζ’１，ζ’２）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）が生成されるのが好ましい。
【数７６】
上式で、Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標である。
【００７４】
適切な補間法手順の例は、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含む。計算されると、映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）は、訂正された映像として表示されるのが好ましい。
【００７５】
上記にて詳細に議論したように、本発明の前述の６個の形態の各々に関して、望んだとしても磁石の全ては実際には計測できず、及び／又は、磁石の一部若しくは全てに対して理論値が利用されることになるが、一定の電流で勾配磁石の各々を単独で操作することによって、球面調和関数係数が得られるのが好ましい。実際には、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配コイルの球面調和関数係数は、映像訂正計算での利用に対して即座に利用可能となるように、磁気共鳴映像を処理するために使用されるコンピュータシステムに格納されるのが、好ましい。
【００７６】
更に、前述の６個の形態に対して、以下の事項が銘記されるべきである
（１）磁気共鳴映像システムにより定義されるｘ、ｙ、ｘ座標系の原点は、概略、映像領域の中心であるが、所望であれば別の位置でもよい（以下のセクション（Ｖ）（Ｅ）参照）。この原点を利用して主要磁石及び勾配磁石の両方に対する球面調和関数係数を決定することにより、主要磁石に対して決定される球面調和関数によって表される、主要磁石の生成する磁場の不均等性は、係数ごとに勾配磁石に対する係数から主要磁石に対する係数を差し引くことだけで勾配磁石の非線形性を決定するのに、容易に斟酌され得る。例えば、主要磁石に対するａ（０，０）係数は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の各々に対するａ（０，０）係数から差し引かれ得る、などである。このような差は、存在し得る不一致の中心、軸の不整列、及び／又は巻き上げエラー問題に関する勾配磁石情報に対する低次数の係数とも、自動的に組み合わさるものである。
【００７７】
（２）本発明により与えられる訂正された映像は、概略、ゆがみが全くないというものではない。特に、それら訂正された映像は、勾配磁石における非線形性やＭＲシステムにおける他の原因から、幾分かのゆがみを未だ含むものである。
【００７８】
（３）本発明に係る前述の形態に関する訂正された映像のゆがみにおいて、当初のシミングされた磁石での映像形成のための磁場要求を満たすのに求められる特別なシミングは、勾配磁場における不均等性、不整列性、及び／又は巻き上げエラーの全体効果よりも、ずっと少ないと想定される。
【００７９】
前述の映像訂正技術は、スライス方向での位相符号化を用いる３次元取得から生じる映像のゆがみを訂正するのに、最も効果的である。この方法は、２次元取得に対して完全なゆがみ訂正を与えるものではない。なぜなら、スライス組成の間、どのスピンが励磁するか、これらのスピンが対称のスライスに属するのか、理想的でない勾配磁場が影響するからである。２次元取得に対して別の方法で見られると、前述の方法は、平面ゆがみを訂正すると考えられるが、スライス選択問題を訂正すると考えられない。
【００８０】
前述し例で示したように（特に、表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの調和関数係数参照）、勾配磁石は、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）成分に対応する実質的な調和関数係数によって特徴付けられることが、本発明に関して見出されている。即ち、実際の勾配磁石は、概略、上記の“基本ケース”の状況を満足しない。
【００８１】
更に一般的には、磁場生成デバイス、即ち、主要（Ｂ０）磁石の各々、及び３つの勾配磁石の各々は、デバイスに対する軸系を定義する対称ポイントを有する。主要磁石の場合、磁場は対称ポイントに関して対称であり、勾配磁石に対しては非対称である。
【００８２】
主要磁石に対して、対称ポイントは、主要コイル（若しくは主要コイル束）の製造者により指定される磁石内径の中心ポイント考えられる。磁石内径は通常ｚ軸に沿って位置すると考えられる。この中心ポイントは計算されるポイントであり、ワイヤ巻き上げプロセス及び／又は超伝導温度までの磁石の冷却の間に、計算上の対称ポイントは動いてしまう。それにもかかわらず、全体の本体の磁石に対して、この方法が通常利用される。ある場合には、主要磁石に対する対称ポイントは、計測によって、とりわけ、ｚ軸に沿って共鳴周波数（及び磁場）をプロットし、結果としてのプロットの空間的な中心ポイントを取ることによって、見出される。
【００８３】
ｚ軸に沿う主要磁石の対称点（以降、“ＯＢＺ”という）を決定するためにどの方法が用いられても、主要磁石に対するｙ軸は、水平磁石に対して直交する方向であり“ＯＢＺ”を通過する軸であると、通常考えられ、一方ｘ軸は、“ＯＢＺ”を通過しｚ及びｙの両方の軸に直交する軸であるよ、通常考えられる。
【００８４】
勾配磁石のどの一つに対しても、ＯＢＺと（例えば）ＯＧＺが共通の中心であり、ＧＺが電流でエネルギを与えられるのならば、勾配磁石の電流の符号が逆方向になるときに一致対称ポイントに配置される（例えば、水を含む）小さいテストサンプルからの信号の（周波数変更の）シフトは無いということに留意することによって、勾配磁石の対称ポイントがＯＢＺと共通の中心となり得る。
【００８５】
公差を含む、製造における考慮事項のために、ＭＲＩシステムにおいては、４つの対称ポイントＯＢＺ、ＯＧＺ、ＯＧＹ、ＯＺＸはＭＲＩシステムの原点と全て一致するということは殆ど生じにくい。このことにより、対称ポイントが原点に存在しない磁場生成デバイスに対する調和関数展開式のａ（０，０）及び／又はｂ（０，０）項が生じる。更に、同じ次数のクロス項、即ち、巻き上げ／設計エラー、及び／又は、勾配磁石に対するｘ及びｙ軸がＭＲＩシステムの全体のデカルト座標に対して回転するという事実から発生する、ａ（１，０）及び／又はｂ（１，０）項も存在し得る。
【００８６】
特に、公知技術では、これらの低次数項は、とりわけ重要であると考えられていなかった。前述の米国特許第６５０１２７３号を参照されたい。
【００８７】
従って、第７の形態において、ＭＲＩシステムの磁場生成デバイス、即ち、システムの主要勾配及びＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の、対称ポイント及び／又は関連する軸の訂正プロセス、移行上の及び／又は回転上の不整列、更にはそれらデバイスの巻き上げ及び／又は設計のエラーまでを、少なくとも相当程度まで、考慮することによって、本発明はＭＲＩ映像の勾配ベースのゆがみを訂正する。
【００８８】
言い換えると、本発明のこの形態は、磁場生成デバイスの少なくとも他の一つのものの対称ポイント及び／又は関連する軸と共に、磁場生成デバイスの少なくとも一つのものの対称ポイント及び／又は関連する軸の、移行上の及び／又は回転上の不整列を、考慮に入れる。この訂正は、磁場生成デバイス自身の基本的な不均質性の訂正を上回る且つ下回るものである。即ち、磁場生成デバイスはそれ自身、有効に均質である磁場、即ち、主要磁石の場合の対称磁場、若しくは勾配磁場の場合の非対称磁場を、生成するのであるが、生成デバイスの対称ポイント及び／又は関連する軸の、移行上の及び／又は回転上の不整列のために、結果として生成される映像に未だゆがみは存在し得る。ゆがみの減少したレベルを有する磁気共鳴映像を生成するように、本発明はこの問題を認識し方向付けている。
【００８９】
例えば、勾配磁石及び／又は主要磁石により生成される磁場のためのＸ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）を含み、例えば本発明の第１から第６の形態に係る訂正された映像を生成する調和関数展開式を利用することによって、本発明のこの形態が実施されることが好ましい。ゆがみを訂正するための他の方法も、所望であれば本発明のこの形態に関して利用され得る。
【００９０】
特に、例えば、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）磁場成分に対応する調和関数係数が決定され、ＭＲ映像を訂正するのに利用される。例えば、これら係数に対する数値、若しくはこれら係数を利用して決定されるパラメータに対する数値は、コンピュータメモリに格納され映像を訂正するのに利用され得る。
【００９１】
本発明の第７の形態は以下のように示され得る。座標系の原点を定義し、（ｉ）主要磁石と（ｉｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）（例えば、３次元、若しくは２次元データセット）を取得するステップと、
（Ｂ）ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数を生成するステップと、
（Ｃ）以下の（ｉ）〜（ｉｉｉ）の係数から構成されるグループから選択された少なくとも一つの係数（及び、好ましくは、一つ以上の係数、例えば、Ｘ勾配磁石係数の少なくとも一つ、Ｙ勾配磁石係数の少なくとも一つ、及び／又はＺ勾配磁石係数の少なくとも一つ）を利用して、訂正されていない映像関数から、訂正された映像関数を生成するステップを含む方法である。
（ｉ）Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉ）Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉｉ）Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
【００９２】
最大の大きさを有する係数は映像を訂正するのに最大の効果を有し、従ってそれらのより大きい係数はステップ（Ｃ）の映像訂正を実施するのに利用されるのが好ましい。最大の大きさを伴う係数のための表２などのテーブルを調査して、このようなより大きい係数が選択され、ステップ（Ｃ）でこれら係数を利用し、その際まず最も大きい２若しくは３の係数から始めてそこから所望に従い継続する。
【００９３】
最大の係数のみ利用してうまくいくとしても、一般的には、全ての上述の係数を利用するのが好ましい。けだし、追加の計算時間は最小限だからである。
【００９４】
上記係数の一つ又はそれ以上（又は全て）はコンピュータメモリに格納され（若しくはそれら係数から導出される値がコンピュータメモリに格納され）、ステップ（Ｃ）にて訂正されていない映像関すから訂正された映像関数を生成する際にメモリから引き出されるのが好ましい。
【００９５】
本発明の付加的な特徴及び利点は、以下の詳細な説明で示されており、更に部分的にはその記述から当業者には明白であり、若しくは本明細書に記載する発明を実施することで認識され得るものである。添付の図面は本発明の更なる理解を進めるべく与えられているものであり、本明細書に組み込まれてその一部を構成する。前述の概略の記述及び以降の詳細な説明は、本発明の例示に過ぎず、本発明の本質若しくは特徴を理解するために概観若しくは枠組を与えることが意図されている、ということが理解されるべきである。
【００９６】
［発明の詳細な説明］
Ａ．磁気共鳴映像
磁気共鳴映像（ＭＲＩ）では、映像、即ち映像データ（ｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ））と、データ、即ち“ｋ”空間（ｋ＝（ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ））は、フーリエ変換と結びつく。パルスシーケンスの間、磁場勾配はｋ−空間の範囲を生成する決定的な役割を演じる。３直交勾配のセットの存在の全体サンプルの単一ｒｆ励振からの信号は、３次元フーリエ変換として記載され得る。
【００９７】
【数７７】
【００９８】
ここで、ｓ（ｋ）はｋ−空間の信号でありρ（ｒ）は映像空間でのスピン密度である。再構築映像、ρ~（ｒ）は計測データｓｍ（ｋ）の逆フーリエ変換である。
【００９９】
【数７８】
【０１００】
ｋの３つの潜在的な時間依存の成分は、個々の勾配成分の積分に関連し、
【０１０１】
【数７９】
【０１０２】
ここで、γは定数であり、（Ｇｘ、Ｇｙ、Ｇｚ）は磁気勾配である。
【０１０３】
勾配磁場が線形でないならば、勾配磁場も非線形成分の関数であり、位置ベクトルｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ）に依存する。標準的なＭＲ映像の方法では、時間領域信号は単一の時間割合でサンプルされ、ｋ−空間は、印加される仮定の線形の勾配磁場に基づいてサンプルされる。従って、映像空間は周波数により符号化される。
【０１０４】
勾配磁場が映像空間で非線形であれば、このデータ収集方法では、周波数の符号化か非線形であるため、幾何学的にゆがんだ映像となる。即ち、非線形勾配磁場分布が映像内に直接写像されると、ゆがみが生じる。正確な勾配磁場プロファイルを知ることが、この幾何学的な映像ゆがみの問題を解決する中心である。
【０１０５】
Ｂ．勾配磁場分布の記述
勾配磁場分布を正確に記述することは単純な仕事ではない。勾配コイルの同じ設計に対しても、巻き上げエラーは、予想された磁場からの変動を誘導してしまう。
【０１０６】
上述のように、最適方法は、映像空間の有限のポイントで、特定の勾配コイルセットによって生成される実際の磁場の強さを計測することである。磁場分布を正確に記述するように関数が構築され得る。
【０１０７】
一般的に、ラプラス方程式∇２Ｂｘ＝０を満足する基礎的な関数（例えば、球面調和関数、円柱調和関数、楕円調和関数など）が利用され得る。特に、Ｂｘを表す関数は以下のようになる。
【０１０８】
【数８０】
【０１０９】
ここで、（ｘ１、ｘ２、ｘ３）は特定の座標系であり、βはラプラス方程式を満足する基本関数であり、ｃは展開式で形成される係数である。
【０１１０】
基本関数として球面調和関数を用いて磁場を展開するのは、好ましいアプローチである。Ｅｃｃｌｅｓ ＣＤ， Ｃｒｏｚｉｅｒ Ｓ， Ｗｅｓｔｐｈａｌ Ｍ， Ｄｏｄｄｒｅｌｌ ＤＭ．による“Ｔｅｍｐｏｒａｌ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ−ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｄｄｙ−ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｐｕｌｓｅｓ．” Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ， Ａ １０３： １３５−１４１，１９９３．を参照されたい。
【０１１１】
勾配コイルで生成される磁場Ｂｚは、以下のように球面座標で書かれ得る。
【０１１２】
【数８１】
【０１１３】
ここで、ＢＶ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，Φ）は、特定のＢｚ勾配磁場（ｘ、ｙ、及びｚ勾配の夫々に対するＶ＝Ｘ、Ｙ、及びＺ）の階数ｎ及び次数ｍの球面調和展開であり、ａＶ（ｎ，ｍ）とｂＶ（ｎ，ｍ）は球面調和係数でありＰ（ｎ，ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、ｒはＭＲＩシステムの原点からの半径距離である。有限数の項であれば、式（数８１）の総和は、真の勾配磁場Ｂｚの概算に過ぎない。
【０１１４】
磁場の不純性を記述するため、球面調和関数でコンボルーションを利用する方法論は、上述のＥｃｃｌｅらの文献に既に示されている。一般的に、ＤＳＶ（直径球体ボリューム）の多重面サンプリングは、過度のサンプリングを保証し要求される勾配の不純性の評価を正確にするために、実施される。磁石は、２３次の調和関数を生成する２４面までの面で、通常写像される。利用する勾配のセット及び設計のパラメータに依存して、勾配の不純性は、少なくとも８面のプロットを要求する７次まで展開し得る。図２Ａ及び図２Ｂは、主要磁石及び勾配磁場を写像するための適切な磁場計測位置を示す。
【０１１５】
概算の勾配磁場での最大のエラーが所与の値（以下参照）より低くなるように、映像ボリューム全体での勾配の分布を概算することは、有用である。デコンボルーションが８より低い次元で実施されると、図２Ｃに示すように映像ボリュームをサンプルすることがより正確になる。図２Ｃにおいてドットはサンプルポイントを示す。
【０１１６】
非線形の最良の適合方法が、係数ａＶ（ｎ，ｍ）及びｂＶ（ｎ，ｍ）を解析するのに用いられ、再生成の磁場Ｂ〜ｘ及び真の磁場Ｂｘが以下の関係にあることを保証する。
【０１１７】
【数８２】
【０１１８】
ここで、Ｄｄｓｖは、映像空間を覆うｄｓｖの領域を表し、εは５％以下が好ましいエラーパラメータである。ここでは、ｄｓｖは勾配の直径球体ボリュームのことであり、主要磁場ではない。
【０１１９】
上述のように、勾配コイルの同じ設計に対しても、巻き上げエラーは想定された磁場からの変動を誘導し、従って、映像ゆがみを訂正するために、勾配コイルの巻き上げパターンを基にした理論的な磁場展開を用いるだけでは、少なくともある程度まで、不正確となる。それにもかかわらず、所望であれば、本発明は理論的な磁場展開と共に実施し得る。しかしながら、特定の勾配コイルにより生成される実際の磁場強さを、映像空間内の有限個数のポイントで計測し、このサンプリングを用いて、計測された磁場分布を正確に記述する関数、特に球面調和展開を構築することは、好適なアプローチである。
【０１２０】
Ｃ．勾配磁場、映像空間及びｋ−空間
勾配磁場Ｂｘ（ｒ）についてわかると、勾配は以下のように定義される。
【０１２１】
【数８３】
【０１２２】
ここで、ｖ∈（ｘ、ｙ、ｚ）、Ｂｚｖは、特定のコイル成分により生成される全体勾配磁場であり、ＢｚｖＬは、デカルト座標ｖに対して所望の第１次数の調和関数のみ有する線形勾配磁場であり、ＢｚｖＮは、高次の調和関数により定義される非線形勾配磁場であり、Ｇｖ（ｒ）は、特定の勾配成分を表し、Ｇｖｚは、コイル内の電流で生成される線形勾配を表す定数であり、ＧｖＮ（ｒ）は、勾配磁場への非線形の寄与を表す空間関数の関数である。自由空間で完全に線形の勾配を生成することは経験的に不可能であるから、従って、ＧｖＮ項は常に生じる。
【０１２３】
ＭＲ収集の間、実際の時間依存の勾配は以下のようになる。
【０１２４】
【数８４】
【０１２５】
ここで、ζｖ（ｔ）は、勾配パルスシーケンス時間長、勾配切換、及び位相符号化勾配長のインクリメントを含む、勾配成分の活性を制御する時間の関数である。｛ζｘ（ｔ），ζｙ（ｔ），ζｚ（ｔ）｝のセットは、ｋ−空間の全範囲をカバーすることになる。数８４では、非線形勾配の動きがζｖ（ｔ）から独立していることを銘記することが重要であり、このことは、ｋ−空間がどのようにカバーしていても（サンプルしていても）、幾何学的な映像のゆがみは同じ、即ち一定である、ということである。このことは以下に示すアペンディックスでより詳細に扱われる。アペンディックスは、ｋ−空間での特定の方向をサンプルするために、位相符号化勾配をインクリメントする効果を分析する。
【０１２６】
勾配コイルで生成される勾配磁場は、以下のように線形及び非線形の勾配の項で表現され得る。
【０１２７】
【数８５】
【０１２８】
このような磁場で処理するスピンのラーモア周波数は以下の通りである。
【０１２９】
【数８６】
【０１３０】
数８６は、ある方向に沿った特定のロケーションでのスピンの配置と、空間内のそのロケーションでの歳差運動の速度に関連する。このような関連は、特定方向に沿った周波数符号化として知られる。
【０１３１】
数７７及び数７８は以下の式になる。
【数８７】
ここでｒ’は次の通りである。
【数８８】
【０１３２】
従って、非線形勾配がｋ−空間をサンプルするのに利用されるとき、実際の映像空間はｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）であり、ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）ではない。更に、ｋ−空間サンプリングはベクトルｋ＝（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）ではなくｋ’＝（ｋｘ’，ｋｙ’，ｋｚ’）で表され、以下のようになる。
【０１３３】
【数８９】
【０１３４】
数８８及び数８９の式は、ｋ−空間の線形サンプリングと非線形サンプリングの間の関係である。幾何学的にゆがんだ映像は、数８８の完成を利用して、映像空間で訂正され得る。
【０１３５】
Ｄ．ゆがんだ映像を訂正する
前記を利用して、本発明に係る映像ゆがみ補正のために、多数のアプローチが利用できる。個々のアプローチでは、時間変数データは、線形変換、特に、高速フーリエ変換を利用して、変換される。高速フーリエ変換技術の参考文献は、Ｏ． Ｅ． Ｂｒｉｇｈａｍ． Ｔｈｅ Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ， Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ， Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ， １９７４ ａｎｄ Ｎｕｓｓｂａｕｍｅｒ， Ｈ． Ｊ． １９８２， ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ （Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ）を含み、その内容は本明細書に参照の上組み込まれる。
【０１３６】
映像ゆがみ補正を実施する基本的なアプローチと考えられ得るものにおいて、数８８を直接利用する代わりに、ゆがみのない映像空間の変換が、非線形方程式のシステムを解くことによって実施される。
【数９０】
ここで、Ｂｚ（ｒ’）＝［Ｂｚｘ（ｒ’），Ｂｚｙ（ｒ’），Ｂｚｚ（ｒ’）］、
ＢｚＬ（ｒ）＝［ｘＧｘＬ，ｙＧｙＬ，ｚＧｚＬ］である。
【０１３７】
方向ベクトルを有する所与の映像ポイントに対して、数９０は新しい映像ポイントｒ’を生成する。幾何学的にゆがんだ映像は新しい映像空間ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を用いて訂正される。
【０１３８】
図３及び図４は処理を示す。図３（ａ）は像化されるべき球体を示し、図３（ｂ）は非線形勾配を生成する勾配磁石の利用の結果として得られたゆがんだ映像を示す。図４（ａ）は図３（ｂ）のゆがんだ映像であり、図４（ｂ）は新しい映像空間ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を利用して得られた訂正された映像を示す。
【０１３９】
数９０のセットは、以下のように書かれ得る。
【０１４０】
【数９１】
【０１４１】
ここで、｛Ｂｚｘ（ｒ’，θ’，φ’），Ｂｚｙ（ｒ’，θ’，φ’），Ｂｚｚ（ｒ’，θ’，φ’）｝は、それらの調和展開を有する。従って、（ｒ’，θ’，φ’）は、非線形の数９１を解くことで、見出され得る。よって、（ｒ’，θ’，φ’）の座標は、以下の式を利用して（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に変換され得る。
【０１４２】
【数９２】
【０１４３】
特定の時間従属勾配スキームζ（ｙ）に対して、ｋ−空間をサンプルするために、数９０は次のようになる。
【０１４４】
【数９３】
【０１４５】
これは常に、数９０と同じ形態で書き直され得る。数９３は、映像の幾何学的ゆがみが、ｋ−空間範囲が生成される時間的方法（以下に説明するアペンディックス参照）から独立していることを示している。従って、ゆがみの性質は勾配コイルそのもの自身にのみ依存する。勾配磁場が確率されると、映像の訂正は常に得られ得る。
【０１４６】
Ｅ．ＭＲＩシステムの原点
公知のように、ＭＲＩシステムは以下の３つの主要なハードウエア構成要素を含む。
（１）場ベクトルが、共通して指定されるｚ方向に向けられるＢ０磁場を生成する主要磁石。
（２）夫々磁場Ｂｘ、Ｂｙ及びＢｚを生成するＸ勾配磁石、Ｙ勾配磁石及びＺ勾配磁石からなる直交勾配磁石。これらのベクトル磁場は全てｚ方向であり、夫々勾配Ｇｘ＝∂Ｂｘ／∂ｘ、Ｇｙ＝∂Ｂｙ／∂ｙ、Ｇｚ＝∂Ｂｚ／∂ｚ生成するよう意図されている。
（３）Ｂ１磁場を生成し、ｚ方向に直交する磁場のための場ベクトルを伴う、ＲＦコイル。
【０１４７】
上述のように、本発明はＢ０、及びＧｘ、Ｇｙ及びＧｚに関連する。
【０１４８】
ＭＲＩの設計において、主要磁石はそれ自身に基づいて設計される。有用なＢ０場領域は、直径感知ボリューム（ＤＳＶ）又は利益あるボリューム（ＶＯＩ）と一般に称され、それ自身を定義する中心（原点）、例えばＯ０を有する。
【０１４９】
Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、それぞれから及び主要磁石から分離するように設計されている。設計の過程では、最終のＭＲＩシステム内でこれらの磁石が空間的に互いに適合するように、調節が為される必要がある。そのＤＳＶ若しくはＶＯＩも、夫々それら自身の中心（原点）、例えばＯｘ，Ｏｙ，及びＯｚを有する。
【０１５０】
製造の過程では、主要磁石は通常それ自身に基づいて組み立てられる。Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、一つのユニットとして通常組み立てられる。しかしながら、エンジニアリングの限界から、磁石の中心Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚは、単一の中心点ＯＧで本質的に決して一致せず、勾配磁場生成デバイスも純然たるものにならない。
【０１５１】
勾配磁石が主要磁石の中に嵌め込まれると、エンジニアリング処理は、勾配磁石の一つの中心を参照中心（例えばＯｘ）として利用する傾向がある。この中心と主要磁石中心との間の差は、組み立てプロセスの間に最小化される。
【０１５２】
どのＭＲＩも映像領域の固定中心（原点）、例えばＯＩを有する。システムでは、全ての映像ソフトウエアは、ＯＩにてその座標参照中心（原点）を有し、全ての映像データは、原点ＯＩに関する座標位置（ｘ，ｙ，ｚ）にて与えられる。この出願及び請求項では、ＭＲＩシステムで定義される原点はＯＩが好ましい。
【０１５３】
ＯＩは、Ｏ０と同じポイントでもよく、ＯＩとＯ０は、小さい差で分離していてもよい。しかしながら、Ｏ０と、Ｏｘ、Ｏｙ、Ｏｚの各々とは本質的に一致することがないため、中心の全体セット、即ち、ＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚは、本質的に決して同じポイントにならない。
【０１５４】
更に、現実世界では、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚの正確な位置を見出すのは非常に困難である。多くのファクタが中心位置に影響する。例えば、主要磁石設計では、Ｏ０は磁場の対称ポイントである。しかしながら、磁石設置後には、環境上の影響や受動的なシミングの影響がある。これらの影響は対称性に非常に背くものである。従って、現実のＢ０磁場の完全な３次元対称ポイントは決して見出され得ない。
【０１５５】
主要及び勾配磁場を写像する場合、磁場カメラの中心Ｏｃは、映像領域の中心ＯＩにできるだけ近い位置であるのが好ましい。更に、Ｏｃは個別の磁場プロットの間で変動すべきではない。そのような磁場プロット分析から得られる調和係数は、勾配磁場の非線形性の影響の真の計測値（映像における幾何学的ゆがみ）を与える。
【０１５６】
これらの考察を俯瞰すると、ＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚが同じポイントであるか否か、勾配磁場生成デバイスが完全に純然たるものであるか、若しくは、勾配磁場の軸がシステムの且つ磁場の軸と完全に一致しているかは、磁場プロット計測が全て同じ原点即ちＯｃを参照している限り、問題とはならない。ＭＲ映像が真の磁場を表現するためにＯＩを参照するので、ＯｃはＯＩと同じポイントであるべきである。ＭＲＩシステムはレーザマーカと、該マーカの位置を示すデータディスプレイを提供するので、ＯＩは見出し易く、磁場カメラの中心ＯｃをＯＩと整列させるのは容易である。
【０１５７】
上述にて十全に議論したように、本発明に関しては、勾配磁石の映像ゆがみ効果の全てが考慮されるのが好ましい。従って、本発明の好適な実施形態では、訂正プロセスで含まれるのは、非線形勾配磁場効果に対処する高次項即ち調和関数だけでなく、一致することのないＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚに関連する低次項即ち調和関数をも含む訂正である。更に、磁場生成デバイスの回転上の不正配列及び／又はこれらのデバイスの巻き上げ／設計のエラーも含む。
【０１５８】
ＭＲＩシステムの原点に関する上記の考察は、線形システム及び非線形システムの両方に適用される。
【０１５９】
［好適な実施形態の説明］
図５〜図１０は、本発明に係るゆがんだＭＲ映像を訂正する好適な処理を示す。
【０１６０】
図５は、勾配磁場の非線形性の判定（図５ステップ（Ｉ））から、ゆがんだＭＲ映像の表示（図５ステップ（ＩＶ））までの本発明の全体処理を示す一般的なフローチャートである。図６〜図９は夫々、図５のステップ（Ｉ）からステップＩＶまでを詳細に示すものである。図１０は、２次元データのための方法のバリエーション（図５ステップ（Ｖ）参照、及び上記発明の第４〜第６の形態も参照）と任意に方向付けされる３次元映像化（図５ステップ（Ｖ）参照、及び上記発明の第１〜第３の形態も参照）を示す。以下の議論はこれらの図で用いられる数学的術語を示す。
【０１６１】
上記数８３を参照して（図６も参照）、磁場の線形及び非線形の成分は、以下の数９４及び数９５により夫々与えられる。ここでは、便宜上、上述の式のバリエーションとして、サブスクリプトｚはＢｚから落としている。
【０１６２】
【数９４】
【数９５】
【０１６３】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０）、Ｘ（１，０）、Ｙ（０，０）、Ｙ（１，０）及びＺ（０，０）磁場成分の大きさは、ゼロ若しくは事実上ゼロである。
【０１６４】
ここから、以下の項を定義することが有用である（図７参照）
【０１６５】
【数９６】
【０１６６】
映像ゆがみの訂正は以下のように単純に書かれる。
【０１６７】
【数９７】
【０１６８】
数９７は、以下のプロセスを介して（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に対して繰り返して解かれ得る（図８、特に最初のコラムを参照。上述の発明の第１の形態も参照）
【０１６９】
【数９８】
【０１７０】
個々の段階でエラー項は以下のように計算される。
【０１７１】
【数９９】
【０１７２】
後の繰り返しの間のこのエラー項の変動が臨界の許容度（例えば、０．０１）を下回れば、繰り返しは停止する。５及び７次の離散解に対して、これは、２．９４（０．００５８）及び２．７２（０．００５３）の平均（標準偏差）の繰り返しに等しいものとなる。
【０１７３】
図８に示されるように、データ空間からのデータについて直接計算を実施することの代案として、データ空間からのデータについて繰り返し計算をしてもよい（図８中央コラム参照。上述の発明の第２の形態も参照。）し、訂正された映像が周波数空間データの補間により取得されてもよい（図８最後のコラム参照。上述の発明の第３の形態も参照。）。
【０１７４】
前述の処理では、非線形勾配磁場の依存性から生じる強度変動に対して、訂正はしないし、同一の幾何学的寸法を有するピクセルを生じるものではない。
【０１７５】
方法が視覚データ分析で最も有用となるには、２次元映像データにおけるピクセルの寸法、若しくは３次元データにおけるボクセル寸法は、幾何学的に等しくなければならない。従って、規則正しいセットのポイント（ｌＸ’Δｘ’，ｌＹ’Δｙ’，ｌＺ’Δｚ’）にて、映像が要求される。後続の操作は、幾何学的なゆがみボクセル（若しくはピクセル）寸法変動の両方を訂正するように、適用される。（ｘ，ｙ，ｚ）座標系における訂正された座標は以下のように定義される。
【０１７６】
【数１００】
このポイントから、数１００に表現される変形に対する離散解を利用して映像データの単純な非線形質量保存リサンプリングが、上述のＬａｎｇｌｏｉｓらによるものとして、要求される。図９は更に、規則正しいセットのポイントにて訂正された映像を得るための特定のアプローチを記述する。
【０１７７】
勾配を基にしたゆがみを訂正するための前述の方法は、種々の計算ステップを実施する適切なプログラミングで構成されるデジタルコンピュータ上で行われるのが好ましい。プログラミングは、公知の種々のプログラミング言語でなされ得る。科学計算を実施するのに特に適しており、ＭＡＴＨＬＡＢなどの一般目的の科学計算パッケージと比較して１００対１の率で計算時間を減少できるＣ＋＋言語が、好ましいプログラミング言語である。利用できる他の言語は、ＦＯＲＴＡＮ、ＢＡＳＩＣ、ＰＡＳＣＡＬ、Ｃ等である。プログラムは、プログラムが符号化される磁気ディスク、光ディスクなどのコンピュータ利用可能媒体を含む製造品として、実体化されうる。
【０１７８】
コンピュータシステムは、ＤＩＧＩＴＡＬ ＥＱＵＩＰＭＥＮＴ ＣＯＲＰＯＲＡＴＩＯＮ，ＩＢＭ，ＨＥＷＬＥＴＴ−ＰＡＣＫＡＲＤ，ＳＵＮ ＭＩＣＲＯＳＹＳＴＥＭＳ，ＳＧＩなどにより製造されるコンピュータや周辺機器などの、一般目的科学用コンピュータ及びそれに繋がる周辺機器を含む。コンピュータシステムは、ＭＲＩマシンの操作を制御しマシンから得られる映像データを記録し処理するための、ＭＲＩマシンにより利用されるのと同じシステムであってもよい。システムは、データを入力する手段と、電子的形態および視覚的形態の両方で映像訂正プロセスの結果を出力する手段とを含むべきである。出力は、更なる分析及び／又は後続の表示のために、ディスクドライブ、テープドライブなどで蓄えられてもよい。
【０１７９】
［例示］
本発明がより十分に理解され実践に移行されるために、以下の例示及び添付の図面によって、本発明の好適な実施形態を説明する。これらの特定の例示が添付の請求項の範囲を限定することを意図されていないことが理解されるべきである。
【０１８０】
Ａ．例１
ドイツのＳＩＥＭＥＮＳ ＡＫＴＩＥＮＧＥＳＥＬＬＳＣＨＡＦＴで製造された高速ＳＯＮＡＴＡ勾配のセットを分析した。ＳＯＮＡＴＡのセットはＯＸＦＯＲＤ ＭＡＧＮＥＴ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ４Ｔ 全体ボディ磁石に対してインターフェースをとるものであり、勾配の不均質性は、２４面の球面調和デコンボルーションＮＭＲプロットを利用して計測された。シミングされた磁石が最初にプロットされ、Ｘ及びＺ勾配の夫々に一定電流が印加される２つの更なるプロットがそれに続いた。シミングされた磁場のための調和関数が、勾配で生成されたものから引かれた。この場合、単純化のために、Ｘ及びＹ勾配ゆがみは同一であると仮定した。
【０１８１】
対象の調和関数は、表１Ａに示す。４次の調和関数のみが示される。けだし、映像訂正にはこれで十分だからである。参照のため、表１Ｂは７次の調和関数を示す。Ｘ、Ｙ及びＺ勾配のための磁場分布は図１１で示す。
【０１８２】
勾配は不均質な磁場を生成することはこれらの等磁線プロットから明白であり、そのような勾配がＭＲＩで使われると映像のゆがみが生じがちである。
【０１８３】
結果を視覚化するために、以下のパラメータを導入することが有用である。どんな勾配磁場に対しても、線形勾配成分の性質は以下のように計測される。
【０１８４】
【数１０１】
ここで、ｒｄｓｖはＤＳＶの半径である。勾配磁場の非線形性の効果は、ＳＯＮＡＴＡ勾配に対して有効なｄｓｖが１０ｃｍ以下の半径となる範囲まで、映像ボリュームが増加するのと合わせて、増加する（以下に示すように、有効な映像空間は楕円ボリュームにより最も良く記述される）。より古い全体ボディのＭＲＩ器具内で、パラメータΓは、映像ｄｓｖ全体で所望の値の５％の範囲内である。しかしながら、ＳＯＮＡＴＡ勾配セットの折衷の線形性はΓ関数のプロットを示す図１２で示される。非線形性は直ちに明白である。特に、図は、非線形の性質はＭＲＩシステムの原点からの変位と共に増加することを、示す。
【０１８５】
この勾配セットは勾配の線形性を最適化するために明確には設計されたのではないということが理解されなければならない。これらの勾配により提示される優れた立ち上がり時間を達成するように、明白に妥協が為された。そのような立ち上がり時間は、心臓映像や、ＥＰＩに対して短いインターエコーの間隔を要求する他の方法にとって、重要である。
【０１８６】
表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃは、Ｘ及びＹ勾配磁石が相互に９０°転位したに過ぎないと仮定することなく、２４面の球面調和デコンボルーションＮＭＲプロットにより得られたこれらの高速ＳＯＮＡＴＡ勾配磁石に対する第２のセットの調和係数を示す。０次調和関数はこれらテーブル（表）に含まれる。
【０１８７】
特に、表２Ａ及び２Ｂは、夫々Ｘ及びＹ勾配磁石に対する調和係数を与え、表２Ｃは、Ｚ勾配磁石に対する係数を与える。表２Ｂ及び２Ｃは実質的なａ（０，０）係数を含み、表２Ａはこの係数に対して小さいがゼロではない係数を含み、その全ては、ＭＲＩシステムの原点から外れた中心を少なくとも有する３つの勾配磁石を示す、ということが着目されるべきである。勾配磁場の非線形性を訂正することに関して、勾配磁石の対称ポイント内のこのオフセットは、少なくとも数９５のａ（０，０）項を単に含むことによって、容易に処理される。Ｘ勾配磁石に対する表２Ａの係数の符号と表１Ａ及び１Ｂの係数の符号の差異は、磁場プロットに対する勾配コイルで用いられる電流の方向のためである。
【０１８８】
訂正の速度を増すために、５ｍｍの規則正しいスペーシングを伴う件の領域（ｘ、ｙ及びｚの原点から＋／−１２０ｍｍ）におけるベクトルのグリッド関数として表現される離散解は、球面調和係数のセットから生成され得る。ボリュームにおける各々のベクトルは、各々のポイントにおいて前の段落で示した方法を利用し結果のデルタデータを蓄積して解に向かって繰り返すことによって、生成される（数９７〜数１００参照）。
【０１８９】
この変形ベクトルのセットは、空間の範囲内のどのデータセットにも適用可能である。このアプローチを利用して２５６３の映像を非線形でサンプルし直すのに掛かる時間は、平均の計算機ハードウエア（ＲＩＳＣ３００Ｍｈｚ）を利用すると２０分以下であり、５ｍｍの３次元磁場の生成は、数秒のオーダに過ぎない。質量保存の再サンプルは、再サンプルの一部として変形磁場の一つを加えて、ヤコビアン行列式の単純な掛け算を介して上記離散技術を用いて、容易に達せられ得る、ということに着目することが重要である。このタイプの再サンプルは“質量保存再サンプル”としばしば称される。
【０１９０】
Ｂ．例２
例１で議論したように、ＳＯＮＡＴＡ勾配セットのＸ、Ｙ、Ｚ勾配の球面調和デコンボルーションは、４Ｔにて実行した。同じ勾配の不純性は全ての製造されたＳＯＮＡＴＡ勾配と共に存在し、４Ｔにおける勾配の調和デコンボルーションは１．５Ｔ ＳＩＥＭＥＮＳ ＳＯＮＡＴＡスキャナを用いて取得される映像を訂正するのに利用できる、と仮定した。さもなければ、上述のように、所与のスキャナのための特定の勾配が、写像され、一覧表に蓄えられ、ゆがんだ映像を訂正するのに利用されるべきである。
【０１９１】
勾配の線形性を評価する映像実験は、ドイツのＢＲＵＫＥＲ ＭＥＤＩＣＡＬにより製造された模型を用いて、実施された。この模型は完全に平坦である端部を有する円筒からなる。模型の直径は１８．５ｃｍであり深さは３ｃｍである。模型の範囲内には、ポイントマーカがあり、ポイントマーカの間のスペーシングは、メイングリッドに対して、公知の距離、即ち２ｃｍである。映像化は、２５６×２５６の視覚磁場（マトリクスサイズ５１２×５１２）を伴うターボスピンシーケンスを用いて１．５Ｔで実施された。スライス厚さは５ｍｍに設定され、ＴＲは５００ｍｓに設定され、ＴＥは２５ｍｓに設定された。
【０１９２】
磁石のＸＹ平面内に配置される模型の映像化では、完全な円の映像を生成すべきである。同様に、ポイントマーカは、Ｘ、Ｙ、及びＺ軸に沿って模型を固定された距離動かすことによって、勾配の映像ボリュームを写像するのに、利用され得る。模型は図１３に示される。
【０１９３】
図１４（ａ）はＸＹ平面でスライスされた模型の２次元映像であり、模型の中心は映像領域、即ちＭＲＩシステムの原点に配置されている。映像内にグリッドマーカが表れていることに注目すべきである。円は比較のためにこの映像上に重ねられており、重大なゆがみがあることが明白である。
【０１９４】
映像は、表１Ａにリストされた調和関数及び上述の数９０の方法を用いて、訂正された。特に、数９８の繰り返しのアプローチは、数９９の１％の停止パラメータと共に、利用した。というのは、このことは概念上の実験の証明であるからである。実際には、０．１％若しくはそれ以下の停止パラメータが一般的にはより好ましい。結果の訂正された映像は図１４ｂに示される。重ねられた円は今度は映像に一致することに着目されたい。映像の背景も訂正され、勾配の非線形勾配の性質がＭＲＩシステムの原点から更に離れたポイントに対して劇的に増加していることを示している。
【０１９５】
より大きいボリュームに関して非線形性を調査するために、ＭＲＩシステムの原点における模型により得られる映像からのグリッドマーカは、着目され、模型は再映像化されたが、その中心はｚ軸に沿って１０ｃｍ移動した。グリッドマーカ位置を再計測した。結果は図１５に示す。図１５では白丸は、再配置された模型を映像化することから得られるグリッドマーカの位置を示す。ドットは、図１４（ａ）で映像を訂正するのに用いられたのと同じ訂正を適用するのに際して、白丸が動かされた位置である。
【０１９６】
図１５は、ＳＯＮＡＴＡ勾配の有効なｄｓｖが、Ｚ軸に沿うがＸ及びＹ方向の限定された均一の範囲での延長部を有する、楕円のボリュームに制限される、ということを明確に示す。図１５を生成するのに利用される処理は、表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの調和係数を用いて繰り返した。この実験の結果は図１６に示す。図１５とこの図とを比較すると、Ｖ勾配磁石とＹ勾配磁石の調和関数は互いに単に９０°転位したものに過ぎないという仮定が不適当であるため、図１６の訂正がよりずっと正確であることが明らかになる。寧ろ、最も高い訂正のレベルに到達するためには、個々の勾配コイルセットは個別に写像されなければならない。更に、図１６では、ａ（０，０）とｂ（０，０）の調和関数項が含まれる、即ち、とりわけ、この訂正は、主要磁石及び勾配磁石は、ＭＲＩシステムの原点と一致する対称ポイントを有すると、仮定するものではない。
【０１９７】
［補遺］
映像化の実験では、ｋ−空間サンプリングは、２次元映像化に対して少なくとも一つの勾配の、３次元映像化に対して少なくとも２つの勾配の、強度をインクリメントすることによって、実施される。ｋ−空間の寸法は、一定の読み取り勾配により常に決定される。ここで、インクリメント、勾配インクリメントのステップサイズ、若しくは勾配の立ち上がり時間は、ゆがみに影響するのか、という疑問が生じる。換言すれば、インクリメントされた勾配に対してさえ数９３は一般に正確なのであろうか、ということである。
【０１９８】
一定時間Ｔに対して適用される立ち上がり及び立ち下がり時間ｔ２を有する勾配の場合を考察する。立ち上がり及び立ち下がりの間の勾配の変化率が一定であるとする。更に、勾配スケーリング係数がαとする。即ちαは、勾配により誘導されるｋ−空間の符号化を取得するのに勾配がインクリメントされる量を表す。
【０１９９】
表３では、立ち上がり時間、時間に関する勾配、スケーリング係数の効果に対する、有効な勾配、勾配磁場及びスケーリングの効果が与えられている。この表（テーブル）から、勾配ゆがみ係数は時間従属から常に分離され得るということが、明白にわかる。
【０２００】
［結論］
本発明の方法は、勾配の非線形性による誘導される映像ゆがみを訂正する。このゆがみは、高速勾配セットを利用する意義のある映像の生成に対して重大な問題を提示する。マトリクスの並進、反らし及びねじりを用いると、ゆがみを訂正することは可能であるが、かような試みは常に経験的なものになってしまう。本発明によると、勾配磁場が適切な展開式によって定量化されるならば、勾配セットの正確な特徴が映像を訂正するのに利用可能となり得、高速フーリエ変換技術を採用して映像データを生成し、臨床の設定で該技術を型に嵌めて利用できる。
【０２０１】
本発明の方法は、磁場生成デバイスの並進の及び／又は回転の不整列に関連するゆがみや、デバイス内の巻き上げ及び／又は設計エラーに関連するゆがみも、訂正する。勾配磁場内の非線形性の訂正と同様に、これらの訂正は、臨床の設定においてＭＲ映像化のより有効な利用を可能にする。
【０２０２】
本発明の特定の実施形態を説明し提示したが、本発明の範囲及び精神から乖離しない種々の修正が、前述の開示から当業者には明白であるということが理解されるべきである。
【表１Ａ】
【表１Ｂ】
【表２Ａ−１】
【表２Ａ−２】
【表２Ｂ−１】
【表２Ｂ−２】
【表２Ｃ−１】
【表２Ｃ−２】
【表３】
【図面の簡単な説明】
【０２０３】
【図１Ａ】任意に方向付けられた３Ｄ映像を記述する典型的な座標系を示す概略図である。
【図１Ｂ】斜めのスライスの空間方向付けを記述するための典型的な座標系を示す概略図である。
【図２Ａ】２４の経線平面のための典型的なサンプル位置を示す。ドットは磁場計測位置である。
【図２Ｂ】典型的な正距方位図の回転を示す。ドットは磁場計測位置である。
【図２Ｃ】デコンボルーションが８より低い次数で実施される場合、勾配磁場の最適の球面調和関数分析に利用されるサンプル配置を示す。
【図３】３次元の幾何学的なゆがみ映像を示し、図３（ａ）は完全形状を示し、図３（ｂ）は表１の調和関数を有する非線形勾配によって生じるゆがみ映像を示す。
【図４】ゆがみ映像を訂正する映像空間の変換を示し、図４（ａ）はｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）空間の３次元の幾何学軟骨ゆがみ映像を示し、図４（ｂ）はｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）空間の訂正された映像を示す。訂正された映像は表１Ａの調和関数を利用して得られる。
【図５】勾配磁場の非線形の判定から、訂正されたＭＲＩ映像を表示するまでの、本発明の全体処理を示す一般的なフローチャートである。
【図６】球面調和関数展開式の項の勾配磁場の非線形性を判断するステップを示す特定のフローチャートである。
【図７】勾配磁場の線形及び非線形成分を表す好適なアプローチを示す特定のフローチャートである。
【図８】“データ空間からのデータに基づく直接計算”、“データ空間からのデータに基づく繰り返し計算”及び“周波数空間データの補間法”と称する３つの好適な訂正方法を示す特定のフローチャートである。
【図９】訂正されたデータポイントが一様に分布されない訂正された映像を表示する好適なアプローチを示す特定のフローチャートである。
【図１０】斜めスライス、映像、及び（ｉｉ）任意に方向付けられた３Ｄ映像を含む、（ｉ）スライスの訂正に適用される方法のバリエーションを示す特定のフローチャートである。
【図１１】ＳＯＮＡＴＡの勾配のセットに対する半径１８ｃｍの球面上の磁場分布を示す。図１１（ａ）はＸ勾配磁場を示す。図１１（ｂ）は（Ｘと同じだが９０°回転している）Ｙ勾配磁場を示す、図１１（ｃ）はＺ勾配磁場を示す。これら磁場分布のための支配的な調和関数に対する係数値は、表１Ａに示される。
【図１２】表１Ａからの調和関数を利用する半径１８ｃｍの球面におけるΓ（ｒ）プロットを示す。図１２（ａ）、（ｂ）及び（ｃ）は、夫々、Ｘ勾配、Ｙ勾配、及びＺ勾配の結果を示す。
【図１３】ＢＲＵＫＥＲ属性制御保証模型を示す。グリッドマーカは位置１に示され、模型全体で見られる。数字２〜７で示される他のマーカは、他の特定パルスシーケンスの属性制御目的のためのものである。
【図１４】図１３の模型のオリジナル映像（図１４（ａ））と、模型の中心が映像領域の中心にあった本発明によって得られた訂正映像（図１４（ｂ））とを示す。
【図１５】図１３に示す模型を利用してＸＺ平面で計測されたグリッドポイントの空間配置を示す。白丸は計測位置であり、黒丸は本発明の調和関数の訂正方法と表１Ａの係数を利用した訂正位置である。
【図１６】図１３に示す模型を利用してＸＺ平面で計測されたグリッドポイントの空間配置を示す。白丸は計測位置であり、黒丸は本発明の調和関数の訂正方法と表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの係数を利用した訂正位置である。次元はｍｍである。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
［発明の分野］
本発明は、磁気共鳴映像法（ＭＲＩ）に関する。特に、本発明は、（ｉ）非線形勾配（以降、“非線形問題”と称する）、（ｉｉ）一つ又は複数のＭＲシステムの磁場生成デバイス、即ち、主要（Ｂ０）磁石、Ｘ勾配磁石、Ｙ勾配磁石及びＺ勾配磁石の対称ポイントの配置の不適切（以降、“不一致中心問題”と称する）、（ｉｉｉ）磁場生成デバイスの理想の幾何学的配置からのずれ（以降、“軸不整列問題”と称する）、及び（ｉｖ）磁場生成デバイスの巻き上げ及び／又は設計エラー（以降、“巻き上げエラー問題”と称する）などの、ＭＲＩ画像への効果を補償する球面調和関数のデコンボルーションの方法の利用に関する。
【０００２】
［発明の背景］
磁気共鳴映像法の画像の質は、画像を生成するのに利用される個々の器具部品の同質性に依存する。大量の画像において必要な同質性を有するマグネットの設計及び開発に、多くの留意が払われてきた。真の値から画像のゆがみや強度変動があれば、磁場同質性の変動は明らかである。無線周波数（ｒｆ）コイルに不均等性があれば、核スピンの非一様な励起となり更に強度変動となってしまい、一方で、パルス状の磁場勾配の印加からの勾配磁場の線形からのずれは、画像の変形や歪みを誘発する。
【０００３】
特に、磁気鏡面映像法の質は、物理的配置が空間的に符号化される正確性に依存する。ＭＲＩデータが、定位固定のために日常的に利用されているので、映像を保証する長期間の萎縮の研究及び機能研究には歪みが無く、不均等性は重大である。既に公知であるこの不均等性の原理的な機械依存の源は、渦電流、勾配非線形、Ｂ０及びＢ１の不均等性である。タナーエスエフ、フィニガンディジェイ、クーブイエス、マイルスピー、デアナリディピー、リーチエムオーの、歪み訂正ＭＲ画像を利用する骨盤の放射線療法立案、システムの歪みの除去、Ｐｈｙｓ Ｍｅｄ Ｂｉｏｌ．２０００ Ａｕｇ：２１１７−３２を参照されたい。
【０００４】
後で詳細に議論するように、一つの形態に係る本発明は、非線形勾配の効果を計算し除去する分析方法に関する。小径の高速の勾配に近年の興味が向けられているため、非線形勾配が採り上げられた。
【０００５】
特に、２００μ秒以下の立ち上がり時間を有する勾配の開発に、近年の重要な興味が向けられている。抹消神経刺激は短い立ち上がり時間の制限的な特徴であるが、その勾配は、心臓の高速エコー二次元映像（ＥＰＩ）と脳の拡散テンソル映像での利用が見出されている。短い立ち上がり時間を達成し、末梢神経刺激を回避するために、勾配の設計者は、勾配の長さを制限し、巻き数を限定する。所望の速度を有するパルスシーケンスの実現には適切であるが、これらの限定条件は勾配磁場での増大する非線形性という望まれない結果を有することになる。結果はゆがんだ映像となる。
【０００６】
特に、非線形のパルス状の磁場勾配は、信号の不正確な空間符号化のために画像歪みを誘発する。磁場勾配が線形であると仮定すれば、ｋ−空間が線形でサンプルされ高速フーリエ変換（ＦＦＴ）が再構築に適合的であるということになる。しかしながら、勾配の線形からの偏差は非線形のデータサンプリングとなり、映像空間符号化でのエラーとなってしまう。非線形フーリエ変換ではこのデータは正確に映像に変換される。不運なことに、非線形フーリエ変換は、ＦＦＴに比べて、Ｎ／ｌｏｇ２Ｎにより計算時間が大きく増加してしまい、このことによりリアルタイムの映像生成が計算法上禁制と成ってしまう。
【０００７】
後で説明するが、本発明のある実施形態はこの問題を意図しており、勾配非線形により誘発される映像のゆがみを訂正する一般的な分析方法を提示する。該分析方法は、（１）どの勾配構成にも利用でき、（２）確固としたものであり、（３）重要なことであるが映像再構築のための方法としてＦＦＴを維持する。
【０００８】
ＭＲＩのゆがみを写像し訂正することはこれまで考察されてきたし、勾配コイルにより生成される勾配の非線形性により誘発される映像ゆがみを訂正するための多くの試みがなされてきた。シャド（Ｓｃｈａｄ）らによる２つの初期の論文は、２Ｄ模型で見られる“ピンクッション”効果を議論する。Ｓｃｈａｄ Ｌ， Ｌｏｔｔ Ｓ， Ｓｃｈｍｉｔｔ Ｆ， Ｓｔｕｒｍ Ｖ， Ｌｏｒｅｎｚ ＷＪ．らによる“Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ： ａ ｐｒｅｒｅｑｕｉｓｉｔｅ ｆｏｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｓｔｅｒｅｏｔａｘｙ．” Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｓｓｉｓｔ Ｔｏｍｏｇｒ． １９８７ Ｍａｙ−Ｊｕｎ；１１ （３）： ４９９−５０５； および Ｓｃｈａｄ ＬＲ， Ｅｈｒｉｃｋｅ ＨＨ， Ｗｏｗｒａ Ｂ， Ｌａｙｅｒ Ｇ， Ｅｎｇｅｎｈａｒｔ Ｒ， Ｋａｕｃｚｏｒ ＨＵ， Ｚａｂｅｌ ＨＪ， Ｂｒｉｘ Ｇ， Ｌｏｒｅｎｚ ＷＪ．らによる“Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｎｇｉｏｇｒａｐｈｙ ｆｏｒ ｒａｄｉｏｓｕｒｇｉｃａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｏｆ ｃｅｒｅｂｒａｌ ａｒｔｅｒｉｏｖｅｎｏｕｓ ｍａｌｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．” Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ．１９９２； １０ （４）： ６０９−２１．を参照されたい。
【０００９】
結論スキームは、
（１）参照符として定位フレームを利用すること（Ｍａｕｒｅｒ ＣＲ Ｊｒ， Ａｂｏｕｔａｎｏｓ ＧＢ， Ｄａｗａｎｔ ＢＭ，Ｇａｄａｍｓｅｔｔｙ Ｓ， Ｍａｒｇｏｌｉｎ ＲＡ， Ｍａｃｉｕｎａｓ ＲＪ， Ｆｉｔｚｐａｔｒｉｃｋ ＪＭ．による“Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ＭＲ ｏｎ ｉｍａｇｅ ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ．” Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｓｓｉｓｔ Ｔｏｍｏｇｒ． １９９６ Ｊｕｌ−Ａｕｇ ； ２０ （４）： ６６６− ７９； 及び Ｍｏｅｒｉａｎｄ ＭＡ， Ｂｅｅｒｓｍａ Ｒ， Ｂｈａｇｗａｎｄｉｅｎ Ｒ， Ｗｉｊｒｄｅｍａｎ ＨＫ， Ｂａｋｋｅｒ ＣＪ．による“Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ ｉｎ １．５ Ｔ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｅｓ ｆｏｒ ｕｓｅ ｉｎ ｒａｄｉｏｔｈｅｒａｐｙ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ．” Ｐｈｙｓ Ｍｅｄ Ｂｉｏｌ． １９９５ Ｏｃｔ ； ４０ （１０）：１６５１−４を参照されたい）、
（２）ＣＴ及びＭＲＩから模型映像を計算すること（Ｆｒａｎｓｓｏｎ Ａ， Ａｎｄｒｅｏ Ｐ， Ｐｏｔｔｅｒ Ｒ．による“Ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ＭＲ ｉｍａｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ ｉｎ ｒａｄｉｏｔｈｅｒａｐｙ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｐｌａｎｎｉｎｇ．”Ｓｔｒａｈｌｅｎｔｈｅｒ Ｏｎｋｏｌ． ２００１ Ｆｅｂ；１７７ （２）： ５９− ７３； 及び Ｙｕ Ｃ， Ｐｅｔｒｏｖｉｃｈ Ｚ， Ａｐｕｚｚｏ ＭＬ， Ｌｕｘｔｏｎ Ｇ．による“Ａｎ ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｌｅｋｓｅｌｌ ｓｔｅｒｅｏｔａｃｔｉｃ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ．” Ｊ Ａｐｐｌ Ｃｌｉｎ Ｍｅｄ Ｐｈｙｓ． ２００１ Ｗｉｎｔｅｒ； ２（１） ： ４２−５０を参照されたい）、
（３）通常、適切な造成剤で充たされたチューブのアレイからなる特定のＭＲＩ模型を映像化すること（Ｂａｋｋｅｒ ＣＪ，Ｍｏｅｒｌａｎｄ ＭＡ， Ｂｈａｇｗａｎｄｉｅｎ Ｒ， Ｂｅｅｒｓｍａ Ｒ．による“Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍａｃｈｉｎｅ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｎｄ ｏｂｊｅｃｔ−ｉｎｄｕｃｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ２ＤＦＴ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ．” Ｍａｇｎ ＲｅｓｏｎＩｍａｇｉｎｇ． １９９２ ； １０ （４）： ５９７− ６０８；と、Ｍｉｚｏｗａｋｉ Ｔ， Ｎａｇａｔａ Ｙ， Ｏｋａｊｉｍａ Ｋ， Ｍｕｒａｔａ Ｒ，Ｙａｍａｍｏｔｏ Ｍ， Ｋｏｋｕｂｏ Ｍ， Ｈｉｒａｏｋａ Ｍ， Ａｂｅ Ｍ．による“Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ａｎ ＭＲ ｓｉｍｕｌａｔｏｒ ： ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｌｉｎｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．” Ｒａｄｉｏｌｏｇｙ．１９９６ Ｊｕｎ ； １９９ （３）： ８５５−６０；と、Ｗｏｏ ＪＨ， Ｋｉｍ ＹＳ， ＫｉｍＳＩ．による“Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ＭＲ ｉｍａｇｅｓ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｈａｎｔｏｍ ｓｔｕｄｉｅｓ．” Ｓｔｕｄ Ｈｅａｌｔｈ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｉｎｆｏｒｍ． １９９９ ； ６２： ３８８−９．；及び Ｔａｎｎｅｒｅｔ らによる前述論文を参照されたい。）
を含む。
【００１０】
後のＭｉｚｏｗａｋｉらの論文（Ｍｉｚｏｗａｋｉ Ｔ， Ｎａｇａｔａ Ｙ， Ｏｋａｊｉｍａ Ｋ， Ｋｏｋｕｂｏ Ｍ， Ｎｅｇｏｒｏ Ｙ， Ａｒａｋｉ Ｎ， Ｈｉｒａｏｋａ Ｍ．による“Ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｈａｎｔｏｍ ｓｔｕｄｉｅｓ．” ＲａｄｉｏｔｈｅｒＯｎｃｏｌ． ２０００ Ｎｏｖ； ５７ （２）： ２３７−４２）は、模型研究に係る重要な問題を示唆する。彼ら自身の模型を基礎にした訂正の再現性を査定した後、著者は、このような訂正は限定された状況でのみ有効であり得ると結論付けている。
【００１１】
磁場写像は、誘導された位相シフトによるゆがみを判断する別の方法である（Ｃｈａｎｇ Ｈ， Ｆｉｔｚｐａｔｒｉｃｋ ＪＭ．による“Ａ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ａｃｃｕｒａｔｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ．” ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ． Ｍｅｄ． Ｉｍａｇｉｎｇ， １１： ３１９−３２９，１９９２ ；と、Ｃｈｅｎ ＮＫ，Ｗｙｒｗｉｃｚ ＡＭ．による“Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｅｃｈｏ ｐｌａｎａｒ ｉｍａｇｉｎｇ．” Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｍｅｄ． ２００１ Ｍａｒ； ４５ （３）： ５２５−８；と、及び“Ｃｕｓａｃｋ Ｒ， Ｂｒｅｔｔ Ｍ， Ｏｓｓｗａｌｄ Ｋ．による“Ａｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｍａｐｓ ｔｏ ｕｎｄｉｓｔｏｒｔ ｅｃｈｏ−ｐｌａｎａｒ ｉｍａｇｅｓ．” Ｎｅｕｒｏｉｍａｇｅ．２００３ Ｊａｎ ；１８ （１） ： １２７−４２を、参照されたい。）。とりわけ、Ｃｈａｎｇらのアプローチは、異なる勾配強度を利用する２つの映像の取得を信頼する。異なる映像間の誘導位相シフトから、勾配磁場のゆがみ映像は計算可能であり、映像も訂正され得る。２平面勾配を利用して誘導されるゆがみを訂正する後処理方法を含む特定の問題のための別の訂正スキームが提案されている（Ｌｉｕ Ｈによる“Ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｉｍａｇｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｂｉｐｌａｎａｒ ｐｌａｎａｒ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｃｏｉｌ．” Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｉｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｂｉｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｍｅｄｉｃｉｎｅ， １０： ７５−７９， ２０００を参照されたい）。とにかく、これらアプローチは、絶縁のＭＲＩシステムの一部のために、特に勾配を識別し、モデル化し若しくは訂正することを試みる際の限定された利用に関する。
【００１２】
最近の論文（Ｌａｎｇｌｏｉｓ Ｓ， Ｄｅｓｖｉｇｎｅｓ Ｍ， Ｃｏｎｓｔａｎｓ ＪＭ， Ｒｅｖｅｎｕ Ｍ．による“ＭＲＩ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ： ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｎｏｎ−ｌｉｎｅａｒ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ．” Ｊ Ｍａｇｎ Ｒｅｓｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ． １９９９ Ｊｕｎ； ９ （６）： ８２１−３１を参照されたい）では、対向するＺ勾配のためのヘルモルツ対、若しくは横軸勾配のためのゴレイ構成のいずれかの勾配コイルを取り扱うことを基にした非線形勾配により誘導された、強度変動及び幾何学的ゆがみの両方の訂正のための方法が、提示されている。しかしながら、このアプローチは、強度訂正のための勾配磁場の非線形成分を定数として取り扱い、大きい模型（１辺約２０ｃｍの立方体）を訂正することによって非線形誘導のゆがみの訂正を実証する。選択された勾配のジオメトリーに対しては２次項のみが重要であるとも仮定される。直径に対する長さが意義ある比率（＞２）である勾配に対しては、このアプローチは有用であるが、より高次の勾配磁場の不純項を伴う現行の高速勾配では、有用さは限定される。
【００１３】
最近の特許（Ｋｒｉｅｇ Ｒ， Ｓｃｈｒｅｃｋ Ｏ．による２００２年１２月３１日発行の米国特許第６，５０１，２７３号を参照されたい）では、一般的な確固たる方法を開発するには球面調和関数が有用であることが示唆されているが、説明は何ら無い。別の特許出願（２００２年７月１８日発行のＺｈｕ Ｙによる米国特許出願番号第２００２／０９３３３４号を参照されたい）は、仮定された非線形を基にしたｋ−空間を再構築する方法を示唆する。提示される方法は、凡そ１０１４の３重積分を含み、従って実用の値が限定される。実際、この特許公開では、公知の基本的な欠陥が強調される、つまり、実用上の値に関する方法は、基礎としてＦＦＴを利用しなければならない、ということを認識していないことである。
【００１４】
前者の特許から、勾配の非線形のための映像のゆがみを訂正する一般的な方法を求める確固たる要求が存在する、ということがわかる。特に、問題に対する厳密なアプローチを基にした、臨床医が映像解析に自信を持てる方法を求める要求が存在する。
【００１５】
本発明の一つの実施形態は、勾配の非線形性により誘導される映像のゆがみを訂正する一般的な方法を提示する。とりわけ、方法はとの勾配構成にも利用できる。
【００１６】
非線形の問題に加えて、後で説明する分析技術を開発する過程にて、通常のＭＲＩシステムの磁場生成デバイスは（ｉ）実質的に転置された対称点を持ち、即ち、対称点は共通の中心を共有せず（不一致中心問題）、更に（ｉｉ）理想の幾何学的配置からの実質的な偏差を持ち、即ち、個別の磁場生成デバイスに関する個別のデカルト座標系は、転置された中心を有することに加えて、相互に対して、及び／又はＭＲＩシステムの全体のデカルト座標系に対して、回転し得る（軸不整列問題）、ということが気付かれた。それら自身の並進の及び回転の不整列は、ＭＲ映像にゆがみを生じる。磁場生成デバイスに対する巻き上げ及び／又は設計上のエラーは、ゆがみの別の源である（巻き上げエラー問題）。他の実施形態によって、本発明は、ゆがみのこれら源に係る問題を取り扱う。
【００１７】
［本発明の概要］
本発明は、核磁気共鳴（ＮＭＲ）断層撮影装置での勾配非線形によるＭＲ映像のゆがみ、及び／又は、装置の磁場生成デバイスの並進の及び／又は回転の不整列によるゆがみ、及び／又は、磁場生成デバイスの巻き上げ及び／又は設計のエラーによるゆがみを、訂正する方法を提示する。装置は通常、公知のように、所望の大きさの実質的に一定の主要（Ｂ０）磁場を生成する（必要ならばシムコイルを伴う）磁石と、勾配磁場を生成する勾配コイルを含む。方法は主要磁場をデコンボルーションする冒頭のステップを含む。磁場は、球面調和関数の基準セットを用いてデコンボルーションされてもよいが、他の適切な基準セットが用いられてもよい。デコンボルーションは、ＭＲＩ装置により定義される原点、例えば、映像領域の中心を利用して、実施される。
【００１８】
勾配コイルは、一定の電流を用いて、個別に励起されるのが、即ち、一度に一つ励磁されるのが好ましい。通常、コイルを焼き切らないために、低電流が加えられる。個々の一定に励磁された勾配コイルに対して、同じ原点を利用して磁場が再度デコンボルーションされるのが好ましい。勾配磁場は線形であるように意図されているので、原点及びそれに関連する軸と一致する、対称点及び軸を有する完全な勾配磁石に対して、デコンボルーションから単一の調和関数係数が、例えばＸ勾配磁石に対するａ（１，１）係数、Ｙ勾配磁石に対するｂ（１，１）係数、Ｚ勾配磁石に対するａ（１，０）係数が生じる（以降、“一次係数”という）。勾配のみとその不純性及び／又は配列エラーなどの効果を得るために、第１のデコンボルーションから取得される（場合により必要に応じてシミングされる）主要磁石の調和関数が、減ぜられる。結果は、勾配コイルに対する球面調和関数係数、即ち、以下にて説明し請求項で言及するコイルに対する“ａ”及び“ｂ”の係数のセットである。一次係数以外の実質的な値を伴う係数の存在は、勾配磁石、及び／又は非一致対称ポイント、及び／又は、回転軸、及び／又は、巻き上げ又は設計のエラーにおける非線形性を示す。
【００１９】
個々の勾配コイル夫々に対して、球面調和関数係数を得ることが好ましいが、場合によっては、システムの対称性により、別のコイルのための勾配コイルのうちの一つに対して取得された球面調和関数係数が利用され得ることもある。例えば、ｘ、ｙ、ｚ座標系のｚ軸に沿ったＢ０に対して、及び（ｉ）（シミングの後の）主要（Ｂ０）コイル、（ｉｉ）相互間、及び（ｉｉｉ）映像領域の中心と、同じ若しくは事実上同じ対称点を有するＸ勾配、Ｙ勾配、及びＺ勾配に対して、更に、磁場生成デバイスのための調整された軸及び巻き上げ／設計エラーの低いレベルに対して、ｚ勾配コイルと、ｘ若しくはｙコイルのうちの一つと対してのみ、計測が為されてもよく、このとき計測されるｘ若しくはｙコイルに対する球面調和関数係数が非計測コイルのために使われてもよい。同様に、個々のＭＲＩマシンに対し設置されシミングされる際に、球面調和関数係数を取得するのが最も好ましい。しかしながら、ＭＲＩマシンの特定のシリーズ若しくはモデルの代表的サンプルに対して得られた一般的な係数が、所望であれば利用されてもよい。このことにならって、計測された係数ではなく、理論上の係数が用いられてもよいが、好ましいくはない。
【００２０】
一般的ルールとして、例えば、ｘ、ｙ、及びｚ勾配コイルの夫々のための計測が為されるほど、更に、特定のマシンに対して例えば設置とシミングの後の個別のマシンに対して計測が為されるほど、勾配ベースのゆがみの訂正は良くなる。しかしながら、このような一般的ルールはさておき、本発明は、球面調和関数係数のセットが最適な係数でなくとも、利益がある。結局、本発明の訂正の技術を利用するのに要求されるのは、訂正されるべきＭＲＩ映像を生成するのに利用される勾配磁石の各々に対して、どのような方法であっても取得された、球面調和関数係数のセットのみである。実際には、これらのセットは、本発明の訂正方法を実施する際に利用するために、例えばコンピュータシステムのハードドライブ上のルックアップテーブル内に格納される。
【００２１】
通常の実施形態では、本発明は、非線形、不一致センタ、軸不整列、若しくは巻き上げエラー問題のうちの一つ若しくはそれ以上を示す、勾配を利用する時間領域データを取得し、高速フーリエ変換を用いて訂正されていない時間領域データを変換して映像空間でゆがんだ映像を提示することを、含む。ゆがみの源若しくは原因は公知である（即ち、上記で計算される非一次調和関数である）から、それらは映像空間映像を訂正するのに利用される。
【００２２】
特に、第１の実施形態（概略図８の左コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用する繰り返しの写像を用いて決定されることを特徴とする方法である。
【００２３】
好ましくは、繰り返しの写像は、以下の数９８の式の形態であり、数９９の式で設定されるタイプの“停止”パラメータを利用するのが好ましい。例えば、停止パラメータの適切な値は１０−３であり、この値は訂正映像を提示するのには十分に小さい値である。一般に、停止パラメータが小さくなるほど、訂正の時間は長くかかることになる。例えば、１０−３の基準値に到達するには約３回の繰り返しが求められ、計算時間が約２秒となる。例えば、計算時間を２．５秒まで増加すると、例えばより低い値である１０−４の容易に到達する。一般に、２回と４回の繰り返しの間が、計算時間と十分な映像訂正との間の合理的な折衷案として好ましい。本発明の本実施形態、又は繰り返し及び／若しくは停止パラメータを含む他の実施形態の実施において、他の停止パラメータ及び繰り返しの数も、勿論、利用できる。
【００２４】
第２の実施形態（概略図８の中央コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用することを特徴とする方法である。
【００２５】
非線形方程式のシステムは、初期（ｘ’，ｙ’，ｚ’）値として（ｘ’０＝ｘ，ｙ’０＝ｙ，ｚ’０＝ｚ）を用いて（例えば、レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術、若しくは非線形最小化技術を用いて）繰り返し解かれるのが、好ましい。このとき、エラー関数、及び非線形方程式のシステムは以下の形態であり、
【数２】
ここで、
（ａ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられ、
【数３】
（ｂ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）の式（以下参照）で用いられるａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｃ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｄ）
【数４】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形及び非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数５】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００２６】
個々の勾配磁石及び（シミングの後の）主要（Ｂ０）磁石は、不一致中心問題、軸不整列問題、及び巻き上げエラーの問題（以降、“基本ケース”と言う）から実際上制約されないならば、上記サブ段落（ｄ）における総和は、所望であればｎ＝０でなくｎ＝１から始められる、ということに着目されるべきである。というのは、低次項はゼロ、若しくは事実上ゼロに等しい、即ち、それらの大きさはゼロ、若しくは他の項と比べて数値上小さいからである。
【００２７】
これらの好適な実施形態では、εはε＝Ｒｅｓ×１０−３の関係を充たし、ここでＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、Ａｉｍａｇｅは映像の領域（例えば、表示スクリーン上の２次元映像）であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数である。
【００２８】
本発明の第１の実施形態に関しては、εのより大きい値又はより小さい値を発明の実施において利用でき、より大きい値は計算時間の減少ということになり、より小さい値は計算時間の増加ということになる。
【００２９】
本発明の前述の第１及び第２の実施形態において、データ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことが好ましい。
【００３０】
本発明の第１及び第２の実施形態は、映像座標系がｘ、ｙ、ｚ座標系に対応する３次元映像を訂正する形で説明された。本発明に係るこれらの実施形態は、任意の３次元映像、即ち、映像座標軸がｘ、ｙ、ｚ座標系に関して任意の方向に向けられている３次元映像で、用いられてもよい。そのような３次元映像は、例えば、脳の映像内の人工物を回避する際、特に鼻構造内の空気の存在に関連する人工物を回避する際に有用である。任意の３次元映像は、映像ボリュームを、ｘ、ｙ、ｚ座標系に対して回転するデカルト座標系と関連付ける、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石に対する値を選択することによって、実際には達成される。
【００３１】
関連する形状が図１Ａで示され、図１Ａでは（ζ１，ζ２，ζ３）は任意の座標を表し、点Ｏにおいてζ１とζ２は互いに直交し、更にζ３は点Ｏを通りζ１とζ２により定義される平面に直交する。この図では、θ（０≦θ≦π）はＯζ３とＯＺとの間の角度であり、Ψ（０≦Ψ≦２π）はＯＡとＯＸの間の角度であり、Φ（０≦Φ≦２π）はＯＡとＯζ１の間の角度であり、ＯＡは平面Ｏζ１ζ２と平面ＯＸＹとの交差線である。
【００３２】
ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換は、以下の形であり、
【数６】
ここで、
【数７】
であり、
【数８】
は方向余弦である。
【００３３】
方程式ｒ＝Ａζ、及びζ＝Ａ−１ｒは、座標系ｒと座標系ζとの間の完全な関係を与える。
【００３４】
このような任意の方向の３次元映像に対して、訂正は、
（１）ζ座標系で任意の方向の映像を取り、
（２）ｒ＝Ａζ変換を用いて、ζ座標系をｒ座標系に変換し、
（３）本発明の第１若しくは第２の実施形態をのうちのいずれかの訂正方法を用いて、ｒ座標系で映像を訂正し、
（４）ζ＝Ａ−１ｒ変換を用いて、ｒ座標系をζ座標系に変換することによって、
実施される。
【００３５】
その後、訂正された映像はζ座標系で表示され得る。
【００３６】
第３の実施形態（概略図８の右コラム参照）では、本発明は次のような方法を提示する。（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され（例えば、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は、ｘ，ｙ，及びｚ方向の夫々の映像ポイント数を基礎にして選択され）、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数９】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数１０】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて、決定されることを特徴とする方法である。
【００３７】
量ΔｔＸ、ΔｔＹ及びΔｔＺは、以下の理由のため“等価な時間ステップ”を、上記で表している。空間位置を符号化するため、勾配を利用する。それが読み取り勾配であれば、アナログからデジタルへのコンバータ（ＡＤＣ）のサンプリング率により決定されるので、時間の問題は生じない。しかし、これは、一つの方向、例えばｙ方向を符号化するに過ぎない。他の方向、例えばｘ方向がいかに符号化されるかを問わねばならない。
【００３８】
１９７６年Ｅｒｎｓｔにより提案されたオリジナルの回転ゆがみ実験では、第２の勾配（位相勾配）（及び第３の勾配）が一定の勾配強度で適用され、個々の勾配の２５６回のインクリメントが取得された。勾配強度がＧであり時間インクリメントがｔであるならば、このことは、勾配強度Ｇを伴うが０・ｔ・Ｇから２５５・ｔ・Ｇまでの時間インクリメントを伴うｘ勾配の２５６回の適用が取られたことを意味する。ｘ座標ｘを伴うポイントに対する位相シフトは従ってｘ・Ｇ・ｎ・ｔであり、ここでｎは時間におけるステップである。これにγを×と、ラジアン単位系における位相シフトとなる。
【００３９】
しかし、時間に関して、固定値の、所謂Ｔに対して勾配が段階化（ステップ化）されても、同じ結果が得られる。ｇが勾配ステップサイズであれば、一定の勾配ステップのｎ回のインクリメントの後の位相シフトはｎ・ｇ・Ｔ・ｘである。即ち、ｎ・ｇ・Ｔ・ｘ＝ｘ・Ｇ・ｎ・ｔである。従って、一定の勾配に対して時間がインクリメントされても、一定の時間に対して勾配がインクリメントされても、同じ位相符号化の結果となる。本発明及び請求項の第３の実施形態に関する上記記述では、“等価の時間”というフレーズが利用されるのは、この意味である。
【００４０】
本発明のこの形態のある好適な実施形態は、以下のように特徴付けられる。
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）ＧＸＬ＝ａＸ（１，１）、ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１）、及びＧＺＬ＝ａＺ（１，０）であり、
（ｃ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、以下の式で与えられ、
【数１１】
ここで、ηＸ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、ηＹ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、及びηＺ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、以下の式で与えられ、
【数１２】
ここで、
【数１３】
は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、
更に
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスであり、ｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数１４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられる
【数１５】
という特徴である。
【００４１】
基本ケースに対して、ｘ、ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分に対して上記のように設定される式の各々の最初の２つの項は、ゼロ若しくは実際上ゼロである。
【００４２】
他の好適な実施形態では、補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする。
【数１６】
【００４３】
更なる好適な実施形態では、補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数１７】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数１８】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数１９】
ベクトルρは以下の形であり、
【数２０】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数２１】
ここで、
【数２２】
であり、
【数２３】
であることを特徴とする。
【００４４】
これらの実施形態の関係では、
（ａ）補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことが好ましく、
及び／又は、
（ｂ）補間法が、
（ｉ）ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用される、又は、
（ｉｉ）ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、そのサブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内である。
【００４５】
本発明の第１及び第２の形態と同様に、本発明の第３の形態が、任意の３次元映像に対する訂正画像を取得するのに利用できる。周波数で表現すれば、変換は以下のようになる。
【数２４】
ここで、
【数２５】
であり、Ａは上記と同じである。
【００４６】
このケースに対する訂正は、
（１）周波数ω（ζ１，ζ２，ζ３）の項で、任意の方向の映像を取ること、
（２）ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａω（ζ１，ζ２，ζ３）の変換を用いて、ω（ζ１，ζ２，ζ３）周波数から周波数ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）へ変換すること、
（３）本発明の第３の形態の訂正方法を用いて、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）周波数空間内で映像を訂正すること、及び、
（４）ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝Ａ−１ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の変換を用いて、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）周波数からω（ζ１，ζ２，ζ３）周波数へ変換し戻すこと
によって、実施される。
【００４７】
この後、訂正された映像は、ζ座標系で表示され得る。
【００４８】
本発明の第１、第２、及び第３の形態に関して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が訂正された画像として表示されるのが好ましい。図９に示すように、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成することが更に好ましい。
【数２６】
上式にて、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標である。適切な補間法手順の例は、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含む。計算されると、訂正された映像として、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が表示されるのが、好ましい。任意の３次元映像のケースの場合、補間法は、変換し戻すステップの前若しくは後のいずれかにて、訂正された映像に関して為されればよい。
【００４９】
前述の本発明の第３の形態は、３次元映像に関する。以下の第３の形態は、２次元スライス映像に関する。概して言うと、第４、第５、及び第６の形態は、第１、第２、及び第３の形態に概ね対応する訂正の技術を利用するが、３次元ではなく２次元である。図１Ｂは、本発明のこれら２次元の形態での議論で用いられた座標の用語を示す。
【００５０】
本発明の第１、第３の形態と同様に、本発明の第４、第５、及び第６の形態のための磁気共鳴映像システムは、（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ，ｙ，ｚ−座標系”）の原点を定義し、夫々、勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む。
【００５１】
図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対するスライス選択勾配は、以下の式で定義され得る。
【数２７】
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数２８】
はスライス選択勾配の大きさであり、スライス勾配の軸方向は、
【数２９】
であり、ここで、
【数３０】
である。
【００５２】
横方向、冠状及び矢状のスライスは、以下のように対応する。
横方向：
【数３１】
【数３２】
冠状：
【数３３】
矢状：
【数３４】
【００５３】
更に、図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対する位相符号化勾配は、以下の式で定義され得る。
【数３５】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数３６】
は位相符号化勾配の大きさであり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数３７】
であり、ここで、
【数３８】
である。
【００５４】
最後に、図１Ｂの形状を基にして、斜めスライスに対する読み取り勾配は、以下の式で定義され得る。
【数３９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、
【数４０】
は読み取り勾配の大きさであり、読み取り勾配の軸方向は、
【数４１】
であり、ここで、
【数４２】
である。
【００５５】
このように定義される座標系（ζ１，ζ２，ζ３）は、座標系（ｘ，ｙ，ｚ）のＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形組み合わせであると見られる。新しい座標系（ζ１，ζ２，ζ３）は、（ｘ，ｙ，ｚ）座標系と同じ原点を有し、座標系間の変換は以下のように記述される。
【数４３】
ここで、Ａは、以下のように与えられるスライス回転行列である。
【数４４】
【００５６】
Ａ−１は逆行列であり、
【数４５】
である。
【００５７】
この変換において、ｒ０＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）Ｔは、以下の式による（ｘ，ｙ，ｚ）座標系におけるスライスポジションである。
【数４６】
また、（０，０，ζ３）は、以下の式による（ζ１，ζ２，ζ３）座標系のスライス軸ζ３に沿ったスライスポジションである。
【数４７】
【００５８】
上述のように、ｘ，ｙ，ｚ座標系におけるＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の磁場の線形部分は、（ＧＸＬ＝ａＸ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ｃＺ（１，０））により与えられる。Ｇ１及びＧ２勾配（明細書及び請求項では、夫々、“Ｇ１勾配”及び“Ｇ２勾配”、若しくは“勾配（Ｇ１，Ｇ２）”とも表している）の線形部分は、以下のように記述され得る。
【数４８】
【００５９】
前述の用語を用いると、第４の形態に係る本発明は、（ｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
上記Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、夫々勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）を有する磁場を生成し、
上記方法は、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標である、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を利用する繰り返しの写像を用いて、決定されるステップを
含む。
【００６０】
本発明のこの形態のある好適な実施形態では、繰り返しの写像が以下の形態であり、
【数４９】
ここで、
【数５０】
であり、ここでｎは繰り返しの数でありη１（ζ１，ζ２）＝η１（ζ１，ζ２，ζ３）及びη２（ζ１，ζ２）＝η２（ζ１，ζ２，ζ３）は以下の式で与えられ、
【数５１】
ここで、
（ａ）ｒ、θ及びΦは、ζ１，ζ２及びζ３座標系と同じ原点に対して定義され、以下の式で与えられ、
【数５２】
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５３】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数５４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００６１】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及びＺ（０，０）磁場成分は、ゼロ若しくは実質的にゼロである。
【００６２】
繰り返しの写像が以下の条件を満たすまで継続されることが好ましい。
【数５５】
ここで、例えば、ε＝１０−３である。この場合、繰り返しの数は通常２以上であり且つ４以下である。
【００６３】
第５の形態として、本発明は、（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、上述のように定義される（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数５６】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用するような、ステップと
を含むことを特徴とする方法を、提示する。
【００６４】
好適には、非線形方程式のシステムが、初期値（ζ’１，ζ’２）としてのζ’１（０）＝ζ１及びζ’２（０）＝ζ２と、以下の形態の非線形方程式のエラー関数及びシステムを用いて（例えば、レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術、若しくは非線形最小技術を用いて）、反復して解かれ、
【数５７】
ここで、
（ａ）（ｒ’，θ’，Φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は以下のように関係付けられ、
【数５８】
であり、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５９】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の線形と非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数６０】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである。
【００６５】
基本ケースに対して、上記サブパラグラフ（ｃ）の総和は、所望であればｎ＝０でなくｎ＝１から始めてもよい。
【００６６】
本発明の第２の形態と同様に、εは、ε＝Ｒｅｓ×１０−３の関係式を充たすのが好ましい。ここで、Ｒｅｓは、Ｒｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数である。
【００６７】
第６の形態として、本発明は、（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライス（例えば、横方向、冠状、矢状、若しくは斜方向のスライス）のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２は、上述のζ^１及びζ^２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、上述のζ^１及びζ^２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであり、等価の時間は本発明の上述の第３の形態に関して述べた意味を有しているような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ^１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ^２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数６１】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数６２】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて決定されるような、ステップと
を含む。
【００６８】
本発明のこの形態のある好適な実施形態は、以下のように特徴付けられる。
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）
【数６３】
であり、
（ｃ）ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数６４】
ここで、η１（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びη２（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数６５】
ここで、
【数６６】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数６７】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｒ’，θ’，φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は、以下の式で関連づけられる。
【数６８】
【数６９】
【００６９】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及びＺ（０，０）磁場成分の大きさは、ゼロ若しくは実質的にゼロである。
【００７０】
他の好適な実施形態では、補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数である。
【数７０】
【００７１】
更なる好適な実施形態では、補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数７１】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数７２】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数７３】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数７４】
行列Ａは以下の形態である。
【数７５】
【００７２】
これらの実施形態に関連して、
（ａ）補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含み、
（ｂ）補間法が、
（ｉ）ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用され、若しくは、
（ｉｉ）ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、そのサブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内である。
【００７３】
本発明の第１、第２、及び第３の形態と同様に、訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）が表示されるのが好ましい。更に、以下の補間法を実施して、ρ（ζ’１，ζ’２）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）が生成されるのが好ましい。
【数７６】
上式で、Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標である。
【００７４】
適切な補間法手順の例は、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含む。計算されると、映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）は、訂正された映像として表示されるのが好ましい。
【００７５】
上記にて詳細に議論したように、本発明の前述の６個の形態の各々に関して、望んだとしても磁石の全ては実際には計測できず、及び／又は、磁石の一部若しくは全てに対して理論値が利用されることになるが、一定の電流で勾配磁石の各々を単独で操作することによって、球面調和関数係数が得られるのが好ましい。実際には、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配コイルの球面調和関数係数は、映像訂正計算での利用に対して即座に利用可能となるように、磁気共鳴映像を処理するために使用されるコンピュータシステムに格納されるのが、好ましい。
【００７６】
更に、前述の６個の形態に対して、以下の事項が銘記されるべきである
（１）磁気共鳴映像システムにより定義されるｘ、ｙ、ｘ座標系の原点は、概略、映像領域の中心であるが、所望であれば別の位置でもよい（以下のセクション（Ｖ）（Ｅ）参照）。この原点を利用して主要磁石及び勾配磁石の両方に対する球面調和関数係数を決定することにより、主要磁石に対して決定される球面調和関数によって表される、主要磁石の生成する磁場の不均等性は、係数ごとに勾配磁石に対する係数から主要磁石に対する係数を差し引くことだけで勾配磁石の非線形性を決定するのに、容易に斟酌され得る。例えば、主要磁石に対するａ（０，０）係数は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の各々に対するａ（０，０）係数から差し引かれ得る、などである。このような差は、存在し得る不一致の中心、軸の不整列、及び／又は巻き上げエラー問題に関する勾配磁石情報に対する低次数の係数とも、自動的に組み合わさるものである。
【００７７】
（２）本発明により与えられる訂正された映像は、概略、ゆがみが全くないというものではない。特に、それら訂正された映像は、勾配磁石における非線形性やＭＲシステムにおける他の原因から、幾分かのゆがみを未だ含むものである。
【００７８】
（３）本発明に係る前述の形態に関する訂正された映像のゆがみにおいて、当初のシミングされた磁石での映像形成のための磁場要求を満たすのに求められる特別なシミングは、勾配磁場における不均等性、不整列性、及び／又は巻き上げエラーの全体効果よりも、ずっと少ないと想定される。
【００７９】
前述の映像訂正技術は、スライス方向での位相符号化を用いる３次元取得から生じる映像のゆがみを訂正するのに、最も効果的である。この方法は、２次元取得に対して完全なゆがみ訂正を与えるものではない。なぜなら、スライス組成の間、どのスピンが励磁するか、これらのスピンが対称のスライスに属するのか、理想的でない勾配磁場が影響するからである。２次元取得に対して別の方法で見られると、前述の方法は、平面ゆがみを訂正すると考えられるが、スライス選択問題を訂正すると考えられない。
【００８０】
前述し例で示したように（特に、表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの調和関数係数参照）、勾配磁石は、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）成分に対応する実質的な調和関数係数によって特徴付けられることが、本発明に関して見出されている。即ち、実際の勾配磁石は、概略、上記の“基本ケース”の状況を満足しない。
【００８１】
更に一般的には、磁場生成デバイス、即ち、主要（Ｂ０）磁石の各々、及び３つの勾配磁石の各々は、デバイスに対する軸系を定義する対称ポイントを有する。主要磁石の場合、磁場は対称ポイントに関して対称であり、勾配磁石に対しては非対称である。
【００８２】
主要磁石に対して、対称ポイントは、主要コイル（若しくは主要コイル束）の製造者により指定される磁石内径の中心ポイント考えられる。磁石内径は通常ｚ軸に沿って位置すると考えられる。この中心ポイントは計算されるポイントであり、ワイヤ巻き上げプロセス及び／又は超伝導温度までの磁石の冷却の間に、計算上の対称ポイントは動いてしまう。それにもかかわらず、全体の本体の磁石に対して、この方法が通常利用される。ある場合には、主要磁石に対する対称ポイントは、計測によって、とりわけ、ｚ軸に沿って共鳴周波数（及び磁場）をプロットし、結果としてのプロットの空間的な中心ポイントを取ることによって、見出される。
【００８３】
ｚ軸に沿う主要磁石の対称点（以降、“ＯＢＺ”という）を決定するためにどの方法が用いられても、主要磁石に対するｙ軸は、水平磁石に対して直交する方向であり“ＯＢＺ”を通過する軸であると、通常考えられ、一方ｘ軸は、“ＯＢＺ”を通過しｚ及びｙの両方の軸に直交する軸であるよ、通常考えられる。
【００８４】
勾配磁石のどの一つに対しても、ＯＢＺと（例えば）ＯＧＺが共通の中心であり、ＧＺが電流でエネルギを与えられるのならば、勾配磁石の電流の符号が逆方向になるときに一致対称ポイントに配置される（例えば、水を含む）小さいテストサンプルからの信号の（周波数変更の）シフトは無いということに留意することによって、勾配磁石の対称ポイントがＯＢＺと共通の中心となり得る。
【００８５】
公差を含む、製造における考慮事項のために、ＭＲＩシステムにおいては、４つの対称ポイントＯＢＺ、ＯＧＺ、ＯＧＹ、ＯＺＸはＭＲＩシステムの原点と全て一致するということは殆ど生じにくい。このことにより、対称ポイントが原点に存在しない磁場生成デバイスに対する調和関数展開式のａ（０，０）及び／又はｂ（０，０）項が生じる。更に、同じ次数のクロス項、即ち、巻き上げ／設計エラー、及び／又は、勾配磁石に対するｘ及びｙ軸がＭＲＩシステムの全体のデカルト座標に対して回転するという事実から発生する、ａ（１，０）及び／又はｂ（１，０）項も存在し得る。
【００８６】
特に、公知技術では、これらの低次数項は、とりわけ重要であると考えられていなかった。前述の米国特許第６５０１２７３号を参照されたい。
【００８７】
従って、第７の形態において、ＭＲＩシステムの磁場生成デバイス、即ち、システムの主要勾配及びＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石の、対称ポイント及び／又は関連する軸の訂正プロセス、移行上の及び／又は回転上の不整列、更にはそれらデバイスの巻き上げ及び／又は設計のエラーまでを、少なくとも相当程度まで、考慮することによって、本発明はＭＲＩ映像の勾配ベースのゆがみを訂正する。
【００８８】
言い換えると、本発明のこの形態は、磁場生成デバイスの少なくとも他の一つのものの対称ポイント及び／又は関連する軸と共に、磁場生成デバイスの少なくとも一つのものの対称ポイント及び／又は関連する軸の、移行上の及び／又は回転上の不整列を、考慮に入れる。この訂正は、磁場生成デバイス自身の基本的な不均質性の訂正を上回る且つ下回るものである。即ち、磁場生成デバイスはそれ自身、有効に均質である磁場、即ち、主要磁石の場合の対称磁場、若しくは勾配磁場の場合の非対称磁場を、生成するのであるが、生成デバイスの対称ポイント及び／又は関連する軸の、移行上の及び／又は回転上の不整列のために、結果として生成される映像に未だゆがみは存在し得る。ゆがみの減少したレベルを有する磁気共鳴映像を生成するように、本発明はこの問題を認識し方向付けている。
【００８９】
例えば、勾配磁石及び／又は主要磁石により生成される磁場のためのＸ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）を含み、例えば本発明の第１から第６の形態に係る訂正された映像を生成する調和関数展開式を利用することによって、本発明のこの形態が実施されることが好ましい。ゆがみを訂正するための他の方法も、所望であれば本発明のこの形態に関して利用され得る。
【００９０】
特に、例えば、Ｘ（０，０），Ｘ（１，０），Ｙ（０，０），Ｙ（１，０），及び／又はＺ（０，０）磁場成分に対応する調和関数係数が決定され、ＭＲ映像を訂正するのに利用される。例えば、これら係数に対する数値、若しくはこれら係数を利用して決定されるパラメータに対する数値は、コンピュータメモリに格納され映像を訂正するのに利用され得る。
【００９１】
本発明の第７の形態は以下のように示され得る。座標系の原点を定義し、（ｉ）主要磁石と（ｉｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）（例えば、３次元、若しくは２次元データセット）を取得するステップと、
（Ｂ）ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数を生成するステップと、
（Ｃ）以下の（ｉ）〜（ｉｉｉ）の係数から構成されるグループから選択された少なくとも一つの係数（及び、好ましくは、一つ以上の係数、例えば、Ｘ勾配磁石係数の少なくとも一つ、Ｙ勾配磁石係数の少なくとも一つ、及び／又はＺ勾配磁石係数の少なくとも一つ）を利用して、訂正されていない映像関数から、訂正された映像関数を生成するステップを含む方法である。
（ｉ）Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉ）Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉｉ）Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
【００９２】
最大の大きさを有する係数は映像を訂正するのに最大の効果を有し、従ってそれらのより大きい係数はステップ（Ｃ）の映像訂正を実施するのに利用されるのが好ましい。最大の大きさを伴う係数のための表２などのテーブルを調査して、このようなより大きい係数が選択され、ステップ（Ｃ）でこれら係数を利用し、その際まず最も大きい２若しくは３の係数から始めてそこから所望に従い継続する。
【００９３】
最大の係数のみ利用してうまくいくとしても、一般的には、全ての上述の係数を利用するのが好ましい。けだし、追加の計算時間は最小限だからである。
【００９４】
上記係数の一つ又はそれ以上（又は全て）はコンピュータメモリに格納され（若しくはそれら係数から導出される値がコンピュータメモリに格納され）、ステップ（Ｃ）にて訂正されていない映像関すから訂正された映像関数を生成する際にメモリから引き出されるのが好ましい。
【００９５】
本発明の付加的な特徴及び利点は、以下の詳細な説明で示されており、更に部分的にはその記述から当業者には明白であり、若しくは本明細書に記載する発明を実施することで認識され得るものである。添付の図面は本発明の更なる理解を進めるべく与えられているものであり、本明細書に組み込まれてその一部を構成する。前述の概略の記述及び以降の詳細な説明は、本発明の例示に過ぎず、本発明の本質若しくは特徴を理解するために概観若しくは枠組を与えることが意図されている、ということが理解されるべきである。
【００９６】
［発明の詳細な説明］
Ａ．磁気共鳴映像
磁気共鳴映像（ＭＲＩ）では、映像、即ち映像データ（ｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ））と、データ、即ち“ｋ”空間（ｋ＝（ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ））は、フーリエ変換と結びつく。パルスシーケンスの間、磁場勾配はｋ−空間の範囲を生成する決定的な役割を演じる。３直交勾配のセットの存在の全体サンプルの単一ｒｆ励振からの信号は、３次元フーリエ変換として記載され得る。
【００９７】
【数７７】
【００９８】
ここで、ｓ（ｋ）はｋ−空間の信号でありρ（ｒ）は映像空間でのスピン密度である。再構築映像、ρ~（ｒ）は計測データｓｍ（ｋ）の逆フーリエ変換である。
【００９９】
【数７８】
【０１００】
ｋの３つの潜在的な時間依存の成分は、個々の勾配成分の積分に関連し、
【０１０１】
【数７９】
【０１０２】
ここで、γは定数であり、（Ｇｘ、Ｇｙ、Ｇｚ）は磁気勾配である。
【０１０３】
勾配磁場が線形でないならば、勾配磁場も非線形成分の関数であり、位置ベクトルｒ＝（ｘ、ｙ、ｚ）に依存する。標準的なＭＲ映像の方法では、時間領域信号は単一の時間割合でサンプルされ、ｋ−空間は、印加される仮定の線形の勾配磁場に基づいてサンプルされる。従って、映像空間は周波数により符号化される。
【０１０４】
勾配磁場が映像空間で非線形であれば、このデータ収集方法では、周波数の符号化か非線形であるため、幾何学的にゆがんだ映像となる。即ち、非線形勾配磁場分布が映像内に直接写像されると、ゆがみが生じる。正確な勾配磁場プロファイルを知ることが、この幾何学的な映像ゆがみの問題を解決する中心である。
【０１０５】
Ｂ．勾配磁場分布の記述
勾配磁場分布を正確に記述することは単純な仕事ではない。勾配コイルの同じ設計に対しても、巻き上げエラーは、予想された磁場からの変動を誘導してしまう。
【０１０６】
上述のように、最適方法は、映像空間の有限のポイントで、特定の勾配コイルセットによって生成される実際の磁場の強さを計測することである。磁場分布を正確に記述するように関数が構築され得る。
【０１０７】
一般的に、ラプラス方程式∇２Ｂｘ＝０を満足する基礎的な関数（例えば、球面調和関数、円柱調和関数、楕円調和関数など）が利用され得る。特に、Ｂｘを表す関数は以下のようになる。
【０１０８】
【数８０】
【０１０９】
ここで、（ｘ１、ｘ２、ｘ３）は特定の座標系であり、βはラプラス方程式を満足する基本関数であり、ｃは展開式で形成される係数である。
【０１１０】
基本関数として球面調和関数を用いて磁場を展開するのは、好ましいアプローチである。Ｅｃｃｌｅｓ ＣＤ， Ｃｒｏｚｉｅｒ Ｓ， Ｗｅｓｔｐｈａｌ Ｍ， Ｄｏｄｄｒｅｌｌ ＤＭ．による“Ｔｅｍｐｏｒａｌ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ−ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｄｄｙ−ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｐｕｌｓｅｓ．” Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ， Ａ １０３： １３５−１４１，１９９３．を参照されたい。
【０１１１】
勾配コイルで生成される磁場Ｂｚは、以下のように球面座標で書かれ得る。
【０１１２】
【数８１】
【０１１３】
ここで、ＢＶ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，Φ）は、特定のＢｚ勾配磁場（ｘ、ｙ、及びｚ勾配の夫々に対するＶ＝Ｘ、Ｙ、及びＺ）の階数ｎ及び次数ｍの球面調和展開であり、ａＶ（ｎ，ｍ）とｂＶ（ｎ，ｍ）は球面調和係数でありＰ（ｎ，ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、ｒはＭＲＩシステムの原点からの半径距離である。有限数の項であれば、式（数８１）の総和は、真の勾配磁場Ｂｚの概算に過ぎない。
【０１１４】
磁場の不純性を記述するため、球面調和関数でコンボルーションを利用する方法論は、上述のＥｃｃｌｅらの文献に既に示されている。一般的に、ＤＳＶ（直径球体ボリューム）の多重面サンプリングは、過度のサンプリングを保証し要求される勾配の不純性の評価を正確にするために、実施される。磁石は、２３次の調和関数を生成する２４面までの面で、通常写像される。利用する勾配のセット及び設計のパラメータに依存して、勾配の不純性は、少なくとも８面のプロットを要求する７次まで展開し得る。図２Ａ及び図２Ｂは、主要磁石及び勾配磁場を写像するための適切な磁場計測位置を示す。
【０１１５】
概算の勾配磁場での最大のエラーが所与の値（以下参照）より低くなるように、映像ボリューム全体での勾配の分布を概算することは、有用である。デコンボルーションが８より低い次元で実施されると、図２Ｃに示すように映像ボリュームをサンプルすることがより正確になる。図２Ｃにおいてドットはサンプルポイントを示す。
【０１１６】
非線形の最良の適合方法が、係数ａＶ（ｎ，ｍ）及びｂＶ（ｎ，ｍ）を解析するのに用いられ、再生成の磁場Ｂ〜ｘ及び真の磁場Ｂｘが以下の関係にあることを保証する。
【０１１７】
【数８２】
【０１１８】
ここで、Ｄｄｓｖは、映像空間を覆うｄｓｖの領域を表し、εは５％以下が好ましいエラーパラメータである。ここでは、ｄｓｖは勾配の直径球体ボリュームのことであり、主要磁場ではない。
【０１１９】
上述のように、勾配コイルの同じ設計に対しても、巻き上げエラーは想定された磁場からの変動を誘導し、従って、映像ゆがみを訂正するために、勾配コイルの巻き上げパターンを基にした理論的な磁場展開を用いるだけでは、少なくともある程度まで、不正確となる。それにもかかわらず、所望であれば、本発明は理論的な磁場展開と共に実施し得る。しかしながら、特定の勾配コイルにより生成される実際の磁場強さを、映像空間内の有限個数のポイントで計測し、このサンプリングを用いて、計測された磁場分布を正確に記述する関数、特に球面調和展開を構築することは、好適なアプローチである。
【０１２０】
Ｃ．勾配磁場、映像空間及びｋ−空間
勾配磁場Ｂｘ（ｒ）についてわかると、勾配は以下のように定義される。
【０１２１】
【数８３】
【０１２２】
ここで、ｖ∈（ｘ、ｙ、ｚ）、Ｂｚｖは、特定のコイル成分により生成される全体勾配磁場であり、ＢｚｖＬは、デカルト座標ｖに対して所望の第１次数の調和関数のみ有する線形勾配磁場であり、ＢｚｖＮは、高次の調和関数により定義される非線形勾配磁場であり、Ｇｖ（ｒ）は、特定の勾配成分を表し、Ｇｖｚは、コイル内の電流で生成される線形勾配を表す定数であり、ＧｖＮ（ｒ）は、勾配磁場への非線形の寄与を表す空間関数の関数である。自由空間で完全に線形の勾配を生成することは経験的に不可能であるから、従って、ＧｖＮ項は常に生じる。
【０１２３】
ＭＲ収集の間、実際の時間依存の勾配は以下のようになる。
【０１２４】
【数８４】
【０１２５】
ここで、ζｖ（ｔ）は、勾配パルスシーケンス時間長、勾配切換、及び位相符号化勾配長のインクリメントを含む、勾配成分の活性を制御する時間の関数である。｛ζｘ（ｔ），ζｙ（ｔ），ζｚ（ｔ）｝のセットは、ｋ−空間の全範囲をカバーすることになる。数８４では、非線形勾配の動きがζｖ（ｔ）から独立していることを銘記することが重要であり、このことは、ｋ−空間がどのようにカバーしていても（サンプルしていても）、幾何学的な映像のゆがみは同じ、即ち一定である、ということである。このことは以下に示すアペンディックスでより詳細に扱われる。アペンディックスは、ｋ−空間での特定の方向をサンプルするために、位相符号化勾配をインクリメントする効果を分析する。
【０１２６】
勾配コイルで生成される勾配磁場は、以下のように線形及び非線形の勾配の項で表現され得る。
【０１２７】
【数８５】
【０１２８】
このような磁場で処理するスピンのラーモア周波数は以下の通りである。
【０１２９】
【数８６】
【０１３０】
数８６は、ある方向に沿った特定のロケーションでのスピンの配置と、空間内のそのロケーションでの歳差運動の速度に関連する。このような関連は、特定方向に沿った周波数符号化として知られる。
【０１３１】
数７７及び数７８は以下の式になる。
【数８７】
ここでｒ’は次の通りである。
【数８８】
【０１３２】
従って、非線形勾配がｋ−空間をサンプルするのに利用されるとき、実際の映像空間はｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）であり、ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）ではない。更に、ｋ−空間サンプリングはベクトルｋ＝（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）ではなくｋ’＝（ｋｘ’，ｋｙ’，ｋｚ’）で表され、以下のようになる。
【０１３３】
【数８９】
【０１３４】
数８８及び数８９の式は、ｋ−空間の線形サンプリングと非線形サンプリングの間の関係である。幾何学的にゆがんだ映像は、数８８の完成を利用して、映像空間で訂正され得る。
【０１３５】
Ｄ．ゆがんだ映像を訂正する
前記を利用して、本発明に係る映像ゆがみ補正のために、多数のアプローチが利用できる。個々のアプローチでは、時間変数データは、線形変換、特に、高速フーリエ変換を利用して、変換される。高速フーリエ変換技術の参考文献は、Ｏ． Ｅ． Ｂｒｉｇｈａｍ． Ｔｈｅ Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ， Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ， Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ， １９７４ ａｎｄ Ｎｕｓｓｂａｕｍｅｒ， Ｈ． Ｊ． １９８２， ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ （Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ）を含み、その内容は本明細書に参照の上組み込まれる。
【０１３６】
映像ゆがみ補正を実施する基本的なアプローチと考えられ得るものにおいて、数８８を直接利用する代わりに、ゆがみのない映像空間の変換が、非線形方程式のシステムを解くことによって実施される。
【数９０】
ここで、Ｂｚ（ｒ’）＝［Ｂｚｘ（ｒ’），Ｂｚｙ（ｒ’），Ｂｚｚ（ｒ’）］、
ＢｚＬ（ｒ）＝［ｘＧｘＬ，ｙＧｙＬ，ｚＧｚＬ］である。
【０１３７】
方向ベクトルを有する所与の映像ポイントに対して、数９０は新しい映像ポイントｒ’を生成する。幾何学的にゆがんだ映像は新しい映像空間ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を用いて訂正される。
【０１３８】
図３及び図４は処理を示す。図３（ａ）は像化されるべき球体を示し、図３（ｂ）は非線形勾配を生成する勾配磁石の利用の結果として得られたゆがんだ映像を示す。図４（ａ）は図３（ｂ）のゆがんだ映像であり、図４（ｂ）は新しい映像空間ｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を利用して得られた訂正された映像を示す。
【０１３９】
数９０のセットは、以下のように書かれ得る。
【０１４０】
【数９１】
【０１４１】
ここで、｛Ｂｚｘ（ｒ’，θ’，φ’），Ｂｚｙ（ｒ’，θ’，φ’），Ｂｚｚ（ｒ’，θ’，φ’）｝は、それらの調和展開を有する。従って、（ｒ’，θ’，φ’）は、非線形の数９１を解くことで、見出され得る。よって、（ｒ’，θ’，φ’）の座標は、以下の式を利用して（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に変換され得る。
【０１４２】
【数９２】
【０１４３】
特定の時間従属勾配スキームζ（ｙ）に対して、ｋ−空間をサンプルするために、数９０は次のようになる。
【０１４４】
【数９３】
【０１４５】
これは常に、数９０と同じ形態で書き直され得る。数９３は、映像の幾何学的ゆがみが、ｋ−空間範囲が生成される時間的方法（以下に説明するアペンディックス参照）から独立していることを示している。従って、ゆがみの性質は勾配コイルそのもの自身にのみ依存する。勾配磁場が確率されると、映像の訂正は常に得られ得る。
【０１４６】
Ｅ．ＭＲＩシステムの原点
公知のように、ＭＲＩシステムは以下の３つの主要なハードウエア構成要素を含む。
（１）場ベクトルが、共通して指定されるｚ方向に向けられるＢ０磁場を生成する主要磁石。
（２）夫々磁場Ｂｘ、Ｂｙ及びＢｚを生成するＸ勾配磁石、Ｙ勾配磁石及びＺ勾配磁石からなる直交勾配磁石。これらのベクトル磁場は全てｚ方向であり、夫々勾配Ｇｘ＝∂Ｂｘ／∂ｘ、Ｇｙ＝∂Ｂｙ／∂ｙ、Ｇｚ＝∂Ｂｚ／∂ｚ生成するよう意図されている。
（３）Ｂ１磁場を生成し、ｚ方向に直交する磁場のための場ベクトルを伴う、ＲＦコイル。
【０１４７】
上述のように、本発明はＢ０、及びＧｘ、Ｇｙ及びＧｚに関連する。
【０１４８】
ＭＲＩの設計において、主要磁石はそれ自身に基づいて設計される。有用なＢ０場領域は、直径感知ボリューム（ＤＳＶ）又は利益あるボリューム（ＶＯＩ）と一般に称され、それ自身を定義する中心（原点）、例えばＯ０を有する。
【０１４９】
Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、それぞれから及び主要磁石から分離するように設計されている。設計の過程では、最終のＭＲＩシステム内でこれらの磁石が空間的に互いに適合するように、調節が為される必要がある。そのＤＳＶ若しくはＶＯＩも、夫々それら自身の中心（原点）、例えばＯｘ，Ｏｙ，及びＯｚを有する。
【０１５０】
製造の過程では、主要磁石は通常それ自身に基づいて組み立てられる。Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石は、一つのユニットとして通常組み立てられる。しかしながら、エンジニアリングの限界から、磁石の中心Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚは、単一の中心点ＯＧで本質的に決して一致せず、勾配磁場生成デバイスも純然たるものにならない。
【０１５１】
勾配磁石が主要磁石の中に嵌め込まれると、エンジニアリング処理は、勾配磁石の一つの中心を参照中心（例えばＯｘ）として利用する傾向がある。この中心と主要磁石中心との間の差は、組み立てプロセスの間に最小化される。
【０１５２】
どのＭＲＩも映像領域の固定中心（原点）、例えばＯＩを有する。システムでは、全ての映像ソフトウエアは、ＯＩにてその座標参照中心（原点）を有し、全ての映像データは、原点ＯＩに関する座標位置（ｘ，ｙ，ｚ）にて与えられる。この出願及び請求項では、ＭＲＩシステムで定義される原点はＯＩが好ましい。
【０１５３】
ＯＩは、Ｏ０と同じポイントでもよく、ＯＩとＯ０は、小さい差で分離していてもよい。しかしながら、Ｏ０と、Ｏｘ、Ｏｙ、Ｏｚの各々とは本質的に一致することがないため、中心の全体セット、即ち、ＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚは、本質的に決して同じポイントにならない。
【０１５４】
更に、現実世界では、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚの正確な位置を見出すのは非常に困難である。多くのファクタが中心位置に影響する。例えば、主要磁石設計では、Ｏ０は磁場の対称ポイントである。しかしながら、磁石設置後には、環境上の影響や受動的なシミングの影響がある。これらの影響は対称性に非常に背くものである。従って、現実のＢ０磁場の完全な３次元対称ポイントは決して見出され得ない。
【０１５５】
主要及び勾配磁場を写像する場合、磁場カメラの中心Ｏｃは、映像領域の中心ＯＩにできるだけ近い位置であるのが好ましい。更に、Ｏｃは個別の磁場プロットの間で変動すべきではない。そのような磁場プロット分析から得られる調和係数は、勾配磁場の非線形性の影響の真の計測値（映像における幾何学的ゆがみ）を与える。
【０１５６】
これらの考察を俯瞰すると、ＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚが同じポイントであるか否か、勾配磁場生成デバイスが完全に純然たるものであるか、若しくは、勾配磁場の軸がシステムの且つ磁場の軸と完全に一致しているかは、磁場プロット計測が全て同じ原点即ちＯｃを参照している限り、問題とはならない。ＭＲ映像が真の磁場を表現するためにＯＩを参照するので、ＯｃはＯＩと同じポイントであるべきである。ＭＲＩシステムはレーザマーカと、該マーカの位置を示すデータディスプレイを提供するので、ＯＩは見出し易く、磁場カメラの中心ＯｃをＯＩと整列させるのは容易である。
【０１５７】
上述にて十全に議論したように、本発明に関しては、勾配磁石の映像ゆがみ効果の全てが考慮されるのが好ましい。従って、本発明の好適な実施形態では、訂正プロセスで含まれるのは、非線形勾配磁場効果に対処する高次項即ち調和関数だけでなく、一致することのないＯＩ、Ｏ０、Ｏｘ、Ｏｙ及びＯｚに関連する低次項即ち調和関数をも含む訂正である。更に、磁場生成デバイスの回転上の不正配列及び／又はこれらのデバイスの巻き上げ／設計のエラーも含む。
【０１５８】
ＭＲＩシステムの原点に関する上記の考察は、線形システム及び非線形システムの両方に適用される。
【０１５９】
［好適な実施形態の説明］
図５〜図１０は、本発明に係るゆがんだＭＲ映像を訂正する好適な処理を示す。
【０１６０】
図５は、勾配磁場の非線形性の判定（図５ステップ（Ｉ））から、ゆがんだＭＲ映像の表示（図５ステップ（ＩＶ））までの本発明の全体処理を示す一般的なフローチャートである。図６〜図９は夫々、図５のステップ（Ｉ）からステップＩＶまでを詳細に示すものである。図１０は、２次元データのための方法のバリエーション（図５ステップ（Ｖ）参照、及び上記発明の第４〜第６の形態も参照）と任意に方向付けされる３次元映像化（図５ステップ（Ｖ）参照、及び上記発明の第１〜第３の形態も参照）を示す。以下の議論はこれらの図で用いられる数学的術語を示す。
【０１６１】
上記数８３を参照して（図６も参照）、磁場の線形及び非線形の成分は、以下の数９４及び数９５により夫々与えられる。ここでは、便宜上、上述の式のバリエーションとして、サブスクリプトｚはＢｚから落としている。
【０１６２】
【数９４】
【数９５】
【０１６３】
基本ケースに対して、Ｘ（０，０）、Ｘ（１，０）、Ｙ（０，０）、Ｙ（１，０）及びＺ（０，０）磁場成分の大きさは、ゼロ若しくは事実上ゼロである。
【０１６４】
ここから、以下の項を定義することが有用である（図７参照）
【０１６５】
【数９６】
【０１６６】
映像ゆがみの訂正は以下のように単純に書かれる。
【０１６７】
【数９７】
【０１６８】
数９７は、以下のプロセスを介して（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に対して繰り返して解かれ得る（図８、特に最初のコラムを参照。上述の発明の第１の形態も参照）
【０１６９】
【数９８】
【０１７０】
個々の段階でエラー項は以下のように計算される。
【０１７１】
【数９９】
【０１７２】
後の繰り返しの間のこのエラー項の変動が臨界の許容度（例えば、０．０１）を下回れば、繰り返しは停止する。５及び７次の離散解に対して、これは、２．９４（０．００５８）及び２．７２（０．００５３）の平均（標準偏差）の繰り返しに等しいものとなる。
【０１７３】
図８に示されるように、データ空間からのデータについて直接計算を実施することの代案として、データ空間からのデータについて繰り返し計算をしてもよい（図８中央コラム参照。上述の発明の第２の形態も参照。）し、訂正された映像が周波数空間データの補間により取得されてもよい（図８最後のコラム参照。上述の発明の第３の形態も参照。）。
【０１７４】
前述の処理では、非線形勾配磁場の依存性から生じる強度変動に対して、訂正はしないし、同一の幾何学的寸法を有するピクセルを生じるものではない。
【０１７５】
方法が視覚データ分析で最も有用となるには、２次元映像データにおけるピクセルの寸法、若しくは３次元データにおけるボクセル寸法は、幾何学的に等しくなければならない。従って、規則正しいセットのポイント（ｌＸ’Δｘ’，ｌＹ’Δｙ’，ｌＺ’Δｚ’）にて、映像が要求される。後続の操作は、幾何学的なゆがみボクセル（若しくはピクセル）寸法変動の両方を訂正するように、適用される。（ｘ，ｙ，ｚ）座標系における訂正された座標は以下のように定義される。
【０１７６】
【数１００】
このポイントから、数１００に表現される変形に対する離散解を利用して映像データの単純な非線形質量保存リサンプリングが、上述のＬａｎｇｌｏｉｓらによるものとして、要求される。図９は更に、規則正しいセットのポイントにて訂正された映像を得るための特定のアプローチを記述する。
【０１７７】
勾配を基にしたゆがみを訂正するための前述の方法は、種々の計算ステップを実施する適切なプログラミングで構成されるデジタルコンピュータ上で行われるのが好ましい。プログラミングは、公知の種々のプログラミング言語でなされ得る。科学計算を実施するのに特に適しており、ＭＡＴＨＬＡＢなどの一般目的の科学計算パッケージと比較して１００対１の率で計算時間を減少できるＣ＋＋言語が、好ましいプログラミング言語である。利用できる他の言語は、ＦＯＲＴＡＮ、ＢＡＳＩＣ、ＰＡＳＣＡＬ、Ｃ等である。プログラムは、プログラムが符号化される磁気ディスク、光ディスクなどのコンピュータ利用可能媒体を含む製造品として、実体化されうる。
【０１７８】
コンピュータシステムは、ＤＩＧＩＴＡＬ ＥＱＵＩＰＭＥＮＴ ＣＯＲＰＯＲＡＴＩＯＮ，ＩＢＭ，ＨＥＷＬＥＴＴ−ＰＡＣＫＡＲＤ，ＳＵＮ ＭＩＣＲＯＳＹＳＴＥＭＳ，ＳＧＩなどにより製造されるコンピュータや周辺機器などの、一般目的科学用コンピュータ及びそれに繋がる周辺機器を含む。コンピュータシステムは、ＭＲＩマシンの操作を制御しマシンから得られる映像データを記録し処理するための、ＭＲＩマシンにより利用されるのと同じシステムであってもよい。システムは、データを入力する手段と、電子的形態および視覚的形態の両方で映像訂正プロセスの結果を出力する手段とを含むべきである。出力は、更なる分析及び／又は後続の表示のために、ディスクドライブ、テープドライブなどで蓄えられてもよい。
【０１７９】
［例示］
本発明がより十分に理解され実践に移行されるために、以下の例示及び添付の図面によって、本発明の好適な実施形態を説明する。これらの特定の例示が添付の請求項の範囲を限定することを意図されていないことが理解されるべきである。
【０１８０】
Ａ．例１
ドイツのＳＩＥＭＥＮＳ ＡＫＴＩＥＮＧＥＳＥＬＬＳＣＨＡＦＴで製造された高速ＳＯＮＡＴＡ勾配のセットを分析した。ＳＯＮＡＴＡのセットはＯＸＦＯＲＤ ＭＡＧＮＥＴ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ４Ｔ 全体ボディ磁石に対してインターフェースをとるものであり、勾配の不均質性は、２４面の球面調和デコンボルーションＮＭＲプロットを利用して計測された。シミングされた磁石が最初にプロットされ、Ｘ及びＺ勾配の夫々に一定電流が印加される２つの更なるプロットがそれに続いた。シミングされた磁場のための調和関数が、勾配で生成されたものから引かれた。この場合、単純化のために、Ｘ及びＹ勾配ゆがみは同一であると仮定した。
【０１８１】
対象の調和関数は、表１Ａに示す。４次の調和関数のみが示される。けだし、映像訂正にはこれで十分だからである。参照のため、表１Ｂは７次の調和関数を示す。Ｘ、Ｙ及びＺ勾配のための磁場分布は図１１で示す。
【０１８２】
勾配は不均質な磁場を生成することはこれらの等磁線プロットから明白であり、そのような勾配がＭＲＩで使われると映像のゆがみが生じがちである。
【０１８３】
結果を視覚化するために、以下のパラメータを導入することが有用である。どんな勾配磁場に対しても、線形勾配成分の性質は以下のように計測される。
【０１８４】
【数１０１】
ここで、ｒｄｓｖはＤＳＶの半径である。勾配磁場の非線形性の効果は、ＳＯＮＡＴＡ勾配に対して有効なｄｓｖが１０ｃｍ以下の半径となる範囲まで、映像ボリュームが増加するのと合わせて、増加する（以下に示すように、有効な映像空間は楕円ボリュームにより最も良く記述される）。より古い全体ボディのＭＲＩ器具内で、パラメータΓは、映像ｄｓｖ全体で所望の値の５％の範囲内である。しかしながら、ＳＯＮＡＴＡ勾配セットの折衷の線形性はΓ関数のプロットを示す図１２で示される。非線形性は直ちに明白である。特に、図は、非線形の性質はＭＲＩシステムの原点からの変位と共に増加することを、示す。
【０１８５】
この勾配セットは勾配の線形性を最適化するために明確には設計されたのではないということが理解されなければならない。これらの勾配により提示される優れた立ち上がり時間を達成するように、明白に妥協が為された。そのような立ち上がり時間は、心臓映像や、ＥＰＩに対して短いインターエコーの間隔を要求する他の方法にとって、重要である。
【０１８６】
表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃは、Ｘ及びＹ勾配磁石が相互に９０°転位したに過ぎないと仮定することなく、２４面の球面調和デコンボルーションＮＭＲプロットにより得られたこれらの高速ＳＯＮＡＴＡ勾配磁石に対する第２のセットの調和係数を示す。０次調和関数はこれらテーブル（表）に含まれる。
【０１８７】
特に、表２Ａ及び２Ｂは、夫々Ｘ及びＹ勾配磁石に対する調和係数を与え、表２Ｃは、Ｚ勾配磁石に対する係数を与える。表２Ｂ及び２Ｃは実質的なａ（０，０）係数を含み、表２Ａはこの係数に対して小さいがゼロではない係数を含み、その全ては、ＭＲＩシステムの原点から外れた中心を少なくとも有する３つの勾配磁石を示す、ということが着目されるべきである。勾配磁場の非線形性を訂正することに関して、勾配磁石の対称ポイント内のこのオフセットは、少なくとも数９５のａ（０，０）項を単に含むことによって、容易に処理される。Ｘ勾配磁石に対する表２Ａの係数の符号と表１Ａ及び１Ｂの係数の符号の差異は、磁場プロットに対する勾配コイルで用いられる電流の方向のためである。
【０１８８】
訂正の速度を増すために、５ｍｍの規則正しいスペーシングを伴う件の領域（ｘ、ｙ及びｚの原点から＋／−１２０ｍｍ）におけるベクトルのグリッド関数として表現される離散解は、球面調和係数のセットから生成され得る。ボリュームにおける各々のベクトルは、各々のポイントにおいて前の段落で示した方法を利用し結果のデルタデータを蓄積して解に向かって繰り返すことによって、生成される（数９７〜数１００参照）。
【０１８９】
この変形ベクトルのセットは、空間の範囲内のどのデータセットにも適用可能である。このアプローチを利用して２５６３の映像を非線形でサンプルし直すのに掛かる時間は、平均の計算機ハードウエア（ＲＩＳＣ３００Ｍｈｚ）を利用すると２０分以下であり、５ｍｍの３次元磁場の生成は、数秒のオーダに過ぎない。質量保存の再サンプルは、再サンプルの一部として変形磁場の一つを加えて、ヤコビアン行列式の単純な掛け算を介して上記離散技術を用いて、容易に達せられ得る、ということに着目することが重要である。このタイプの再サンプルは“質量保存再サンプル”としばしば称される。
【０１９０】
Ｂ．例２
例１で議論したように、ＳＯＮＡＴＡ勾配セットのＸ、Ｙ、Ｚ勾配の球面調和デコンボルーションは、４Ｔにて実行した。同じ勾配の不純性は全ての製造されたＳＯＮＡＴＡ勾配と共に存在し、４Ｔにおける勾配の調和デコンボルーションは１．５Ｔ ＳＩＥＭＥＮＳ ＳＯＮＡＴＡスキャナを用いて取得される映像を訂正するのに利用できる、と仮定した。さもなければ、上述のように、所与のスキャナのための特定の勾配が、写像され、一覧表に蓄えられ、ゆがんだ映像を訂正するのに利用されるべきである。
【０１９１】
勾配の線形性を評価する映像実験は、ドイツのＢＲＵＫＥＲ ＭＥＤＩＣＡＬにより製造された模型を用いて、実施された。この模型は完全に平坦である端部を有する円筒からなる。模型の直径は１８．５ｃｍであり深さは３ｃｍである。模型の範囲内には、ポイントマーカがあり、ポイントマーカの間のスペーシングは、メイングリッドに対して、公知の距離、即ち２ｃｍである。映像化は、２５６×２５６の視覚磁場（マトリクスサイズ５１２×５１２）を伴うターボスピンシーケンスを用いて１．５Ｔで実施された。スライス厚さは５ｍｍに設定され、ＴＲは５００ｍｓに設定され、ＴＥは２５ｍｓに設定された。
【０１９２】
磁石のＸＹ平面内に配置される模型の映像化では、完全な円の映像を生成すべきである。同様に、ポイントマーカは、Ｘ、Ｙ、及びＺ軸に沿って模型を固定された距離動かすことによって、勾配の映像ボリュームを写像するのに、利用され得る。模型は図１３に示される。
【０１９３】
図１４（ａ）はＸＹ平面でスライスされた模型の２次元映像であり、模型の中心は映像領域、即ちＭＲＩシステムの原点に配置されている。映像内にグリッドマーカが表れていることに注目すべきである。円は比較のためにこの映像上に重ねられており、重大なゆがみがあることが明白である。
【０１９４】
映像は、表１Ａにリストされた調和関数及び上述の数９０の方法を用いて、訂正された。特に、数９８の繰り返しのアプローチは、数９９の１％の停止パラメータと共に、利用した。というのは、このことは概念上の実験の証明であるからである。実際には、０．１％若しくはそれ以下の停止パラメータが一般的にはより好ましい。結果の訂正された映像は図１４ｂに示される。重ねられた円は今度は映像に一致することに着目されたい。映像の背景も訂正され、勾配の非線形勾配の性質がＭＲＩシステムの原点から更に離れたポイントに対して劇的に増加していることを示している。
【０１９５】
より大きいボリュームに関して非線形性を調査するために、ＭＲＩシステムの原点における模型により得られる映像からのグリッドマーカは、着目され、模型は再映像化されたが、その中心はｚ軸に沿って１０ｃｍ移動した。グリッドマーカ位置を再計測した。結果は図１５に示す。図１５では白丸は、再配置された模型を映像化することから得られるグリッドマーカの位置を示す。ドットは、図１４（ａ）で映像を訂正するのに用いられたのと同じ訂正を適用するのに際して、白丸が動かされた位置である。
【０１９６】
図１５は、ＳＯＮＡＴＡ勾配の有効なｄｓｖが、Ｚ軸に沿うがＸ及びＹ方向の限定された均一の範囲での延長部を有する、楕円のボリュームに制限される、ということを明確に示す。図１５を生成するのに利用される処理は、表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの調和係数を用いて繰り返した。この実験の結果は図１６に示す。図１５とこの図とを比較すると、Ｖ勾配磁石とＹ勾配磁石の調和関数は互いに単に９０°転位したものに過ぎないという仮定が不適当であるため、図１６の訂正がよりずっと正確であることが明らかになる。寧ろ、最も高い訂正のレベルに到達するためには、個々の勾配コイルセットは個別に写像されなければならない。更に、図１６では、ａ（０，０）とｂ（０，０）の調和関数項が含まれる、即ち、とりわけ、この訂正は、主要磁石及び勾配磁石は、ＭＲＩシステムの原点と一致する対称ポイントを有すると、仮定するものではない。
【０１９７】
［補遺］
映像化の実験では、ｋ−空間サンプリングは、２次元映像化に対して少なくとも一つの勾配の、３次元映像化に対して少なくとも２つの勾配の、強度をインクリメントすることによって、実施される。ｋ−空間の寸法は、一定の読み取り勾配により常に決定される。ここで、インクリメント、勾配インクリメントのステップサイズ、若しくは勾配の立ち上がり時間は、ゆがみに影響するのか、という疑問が生じる。換言すれば、インクリメントされた勾配に対してさえ数９３は一般に正確なのであろうか、ということである。
【０１９８】
一定時間Ｔに対して適用される立ち上がり及び立ち下がり時間ｔ２を有する勾配の場合を考察する。立ち上がり及び立ち下がりの間の勾配の変化率が一定であるとする。更に、勾配スケーリング係数がαとする。即ちαは、勾配により誘導されるｋ−空間の符号化を取得するのに勾配がインクリメントされる量を表す。
【０１９９】
表３では、立ち上がり時間、時間に関する勾配、スケーリング係数の効果に対する、有効な勾配、勾配磁場及びスケーリングの効果が与えられている。この表（テーブル）から、勾配ゆがみ係数は時間従属から常に分離され得るということが、明白にわかる。
【０２００】
［結論］
本発明の方法は、勾配の非線形性による誘導される映像ゆがみを訂正する。このゆがみは、高速勾配セットを利用する意義のある映像の生成に対して重大な問題を提示する。マトリクスの並進、反らし及びねじりを用いると、ゆがみを訂正することは可能であるが、かような試みは常に経験的なものになってしまう。本発明によると、勾配磁場が適切な展開式によって定量化されるならば、勾配セットの正確な特徴が映像を訂正するのに利用可能となり得、高速フーリエ変換技術を採用して映像データを生成し、臨床の設定で該技術を型に嵌めて利用できる。
【０２０１】
本発明の方法は、磁場生成デバイスの並進の及び／又は回転の不整列に関連するゆがみや、デバイス内の巻き上げ及び／又は設計エラーに関連するゆがみも、訂正する。勾配磁場内の非線形性の訂正と同様に、これらの訂正は、臨床の設定においてＭＲ映像化のより有効な利用を可能にする。
【０２０２】
本発明の特定の実施形態を説明し提示したが、本発明の範囲及び精神から乖離しない種々の修正が、前述の開示から当業者には明白であるということが理解されるべきである。
【表１Ａ】
【表１Ｂ】
【表２Ａ−１】
【表２Ａ−２】
【表２Ｂ−１】
【表２Ｂ−２】
【表２Ｃ−１】
【表２Ｃ−２】
【表３】
【図面の簡単な説明】
【０２０３】
【図１Ａ】任意に方向付けられた３Ｄ映像を記述する典型的な座標系を示す概略図である。
【図１Ｂ】斜めのスライスの空間方向付けを記述するための典型的な座標系を示す概略図である。
【図２Ａ】２４の経線平面のための典型的なサンプル位置を示す。ドットは磁場計測位置である。
【図２Ｂ】典型的な正距方位図の回転を示す。ドットは磁場計測位置である。
【図２Ｃ】デコンボルーションが８より低い次数で実施される場合、勾配磁場の最適の球面調和関数分析に利用されるサンプル配置を示す。
【図３】３次元の幾何学的なゆがみ映像を示し、図３（ａ）は完全形状を示し、図３（ｂ）は表１の調和関数を有する非線形勾配によって生じるゆがみ映像を示す。
【図４】ゆがみ映像を訂正する映像空間の変換を示し、図４（ａ）はｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）空間の３次元の幾何学軟骨ゆがみ映像を示し、図４（ｂ）はｒ’＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）空間の訂正された映像を示す。訂正された映像は表１Ａの調和関数を利用して得られる。
【図５】勾配磁場の非線形の判定から、訂正されたＭＲＩ映像を表示するまでの、本発明の全体処理を示す一般的なフローチャートである。
【図６】球面調和関数展開式の項の勾配磁場の非線形性を判断するステップを示す特定のフローチャートである。
【図７】勾配磁場の線形及び非線形成分を表す好適なアプローチを示す特定のフローチャートである。
【図８】“データ空間からのデータに基づく直接計算”、“データ空間からのデータに基づく繰り返し計算”及び“周波数空間データの補間法”と称する３つの好適な訂正方法を示す特定のフローチャートである。
【図９】訂正されたデータポイントが一様に分布されない訂正された映像を表示する好適なアプローチを示す特定のフローチャートである。
【図１０】斜めスライス、映像、及び（ｉｉ）任意に方向付けられた３Ｄ映像を含む、（ｉ）スライスの訂正に適用される方法のバリエーションを示す特定のフローチャートである。
【図１１】ＳＯＮＡＴＡの勾配のセットに対する半径１８ｃｍの球面上の磁場分布を示す。図１１（ａ）はＸ勾配磁場を示す。図１１（ｂ）は（Ｘと同じだが９０°回転している）Ｙ勾配磁場を示す、図１１（ｃ）はＺ勾配磁場を示す。これら磁場分布のための支配的な調和関数に対する係数値は、表１Ａに示される。
【図１２】表１Ａからの調和関数を利用する半径１８ｃｍの球面におけるΓ（ｒ）プロットを示す。図１２（ａ）、（ｂ）及び（ｃ）は、夫々、Ｘ勾配、Ｙ勾配、及びＺ勾配の結果を示す。
【図１３】ＢＲＵＫＥＲ属性制御保証模型を示す。グリッドマーカは位置１に示され、模型全体で見られる。数字２〜７で示される他のマーカは、他の特定パルスシーケンスの属性制御目的のためのものである。
【図１４】図１３の模型のオリジナル映像（図１４（ａ））と、模型の中心が映像領域の中心にあった本発明によって得られた訂正映像（図１４（ｂ））とを示す。
【図１５】図１３に示す模型を利用してＸＺ平面で計測されたグリッドポイントの空間配置を示す。白丸は計測位置であり、黒丸は本発明の調和関数の訂正方法と表１Ａの係数を利用した訂正位置である。
【図１６】図１３に示す模型を利用してＸＺ平面で計測されたグリッドポイントの空間配置を示す。白丸は計測位置であり、黒丸は本発明の調和関数の訂正方法と表２Ａ、２Ｂ及び２Ｃの係数を利用した訂正位置である。次元はｍｍである。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用する繰り返しの写像を用いて決定されることを特徴とする方法。
【請求項２】
ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
繰り返しの写像は、
【数１】
の形態であり、ここで、
【数２】
であり、ｎは繰り返しの数であり、ηｘ（ｘ，ｙ，ｚ）、ηｙ（ｘ，ｙ，ｚ）、及びηｚ（ｘ，ｙ，ｚ）は、以下のように与えられ、
【数３】
更に、
（ａ）（ｒ，θ，φ）は以下の式で（ｘ，ｙ，ｚ）に関係付けられ、
【数４】
（ｂ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５】
はＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数６】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
繰り返しの写像が以下の状況が満足されるまで継続され、
【数７】
εは予め定められた定数であり、ｎは繰り返しの数であることを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
ε＝１０−３であることを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
繰り返しの数が２以上であり且つ４以下であることを特徴とする請求項４に記載の方法。
【請求項６】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項７】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項８】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数８】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項９】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１３】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数９】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１１に記載の方法。
【請求項１４】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１０】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１３に記載の方法。
【請求項１６】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１１】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用することを特徴とする方法。
【請求項１８】
ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
非線形方程式のシステムは、初期（ｘ’，ｙ’，ｚ’）値として（ｘ’０＝ｘ，ｙ’０＝ｙ，ｚ’０＝ｚ）を用いて繰り返し解かれ、
エラー関数、及び非線形方程式のシステムは以下の形態であり、
【数１２】
ここで、
（ａ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられ、
【数１３】
（ｂ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数１４】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形及び非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数１５】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである
請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２１】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２２】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２３】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２４】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数１６】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２５】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２４に記載の方法。
【請求項２７】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２８】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２７に記載の方法。
【請求項２９】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１７】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項２７に記載の方法。
【請求項３０】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２９に記載の方法。
【請求項３１】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１８】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項３２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項３１に記載の方法。
【請求項３３】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数１９】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数２０】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて、決定されることを特徴とする方法。
【請求項３４】
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）ＧＸＬ＝ａＸ（１，１）、ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１）、及びＧＺＬ＝ａＺ（１，０）であり、
（ｃ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、以下の式で与えられ、
【数２１】
ここで、ηＸ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、ηＹ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、及びηＺ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、以下の式で与えられ、
【数２２】
ここで、
【数２３】
は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、
更に
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスであり、ｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数２４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられる
【数２５】
請求項３３に記載の方法。
【請求項３５】
補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【数２６】
【請求項３６】
補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数２７】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数２８】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数２９】
ベクトルρは以下の形であり、
【数３０】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数３１】
ここで、
【数３２】
であり、
【数３３】
であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項３８】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項３９】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項４０】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４１】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数３４】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４２】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項４１に記載の方法。
【請求項４３】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４２に記載の方法。
【請求項４４】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数３５】
ここで、
【数３６】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数３７】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項４２に記載の方法。
【請求項４５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４４に記載の方法。
【請求項４６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数３８】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項４４に記載の方法。
【請求項４７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４６に記載の方法。
【請求項４８】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数３９】
ここで、
【数４０】
【数４１】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数４２】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数４３】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｚ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４９】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４８に記載の方法。
【請求項５０】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数４４】
であり、ここで、
【数４５】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数４６】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数４７】
であり、ここで、
【数４８】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数４９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数５０】
であり、ここで、
【数５１】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を利用する繰り返しの写像を用いて、決定されるステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項５１】
繰り返しの写像が以下の形態であり、
【数５２】
ここで、
【数５３】
であり、ここでｎは繰り返しの数でありη１（ζ１，ζ２）＝η１（ζ１，ζ２，ζ３）及びη２（ζ１，ζ２）＝η２（ζ１，ζ２，ζ３）は以下の式で与えられ、
【数５４】
ここで、
（ａ）ｒ、θ及びΦは、ζ１，ζ２及びζ３座標系と同じ原点に対して定義され、以下の式で与えられ、
【数５５】
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５６】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数５７】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである
ことを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５２】
繰り返しの写像が以下の条件を満たすまで継続されることを特徴とする請求項５１に記載の方法。
【数５８】
【請求項５３】
ε＝１０−３であることを特徴とする請求項５２に記載の方法。
【請求項５４】
繰り返しの数が２以上であり且つ４以下であることを特徴とする請求項５３に記載の方法。
【請求項５５】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数５９】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項５６に記載の方法。
【請求項５８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５６に記載の方法。
【請求項５９】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数６０】
であり、ここで、
【数６１】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数６２】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数６３】
であり、ここで、
【数６４】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数６５】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数６６】
であり、ここで、
【数６７】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数６８】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用するような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項６０】
非線形方程式のシステムが、初期値（ζ’１，ζ’２）としてのζ’１（０）＝ζ１及びζ’２（０）＝ζ２と、以下の形態の非線形方程式のエラー関数及びシステムを用いて、反復して解かれ、
【数６９】
ここで、
（ａ）（ｒ’，θ’，Φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は以下のように関係付けられ、
【数７０】
であり、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数７１】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の線形と非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数７２】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである
ことを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６１】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項６０に記載の方法。
【請求項６２】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項６０に記載の方法。
【請求項６３】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６４】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６５】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数７３】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６６】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項６５に記載の方法。
【請求項６７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項６５に記載の方法。
【請求項６８】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２はζ１及びζ２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、ζ１及びζ２は、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の夫々読み取り及び位相符号化座標であり、ここで、
（ａ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数７４】
であり、ここで、
【数７５】
であり、
（ｂ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数７６】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数７７】
であり、ここで、
【数７８】
であり、
（ｃ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数７９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数８０】
であり、ここで、
【数８１】
であり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、ζ＾１及びζ＾２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ１）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ＾１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ＾２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数８２】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数８３】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて決定されるような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項６９】
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）
【数８４】
であり、
（ｃ）ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数８５】
ここで、η１（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びη２（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数８６】
ここで、
【数８７】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数８８】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｒ’，θ’，φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は、以下の式で関連づけられることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数８９】
【請求項７０】
補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数９０】
【請求項７１】
補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数９１】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数９２】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数９３】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数９４】
行列Ａは以下の形態であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数９５】
【請求項７２】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７３】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７４】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【請求項７６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数９６】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【請求項７７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項７８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項７９】
座標系の原点を定義し、（ｉ）主要磁石と（ｉｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数を生成するステップと、
（Ｃ）以下の（ｉ）〜（ｉｉｉ）の係数から構成されるグループから選択された少なくとも一つの係数を利用して、訂正されていない映像関数から、訂正された映像関数を生成するステップを含む方法。
（ｉ）Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉ）Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉｉ）Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
【請求項８０】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８１】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８２】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８３】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８４】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８５】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８６】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、
Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つと、
Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つと、
Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを
含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８７】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、
Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てと、
Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てと、
Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを
含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８８】
上記の少なくとも一つの係数、即ち導出された数値がコンピュータメモリに格納され、ステップ（Ｃ）の実行の間にメモリから引き出されることを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８９】
ステップ（Ａ）で取得されたデータセットが、目的物のための３次元データを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９０】
ステップ（Ａ）で取得されたデータセットが、目的物のための２次元データを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９１】
ステップ（Ｂ）が、ＭＲデータセットに関して高速フーリエ変換を実行するステップを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９２】
ステップ（Ｃ）で生成された訂正された映像を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９３】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用する繰り返しの写像を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９４】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数９７】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用し、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９５】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９６】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９７】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９８】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数９８】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数９９】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９９】
補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【数１００】
【請求項１００】
補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数１０１】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数１０２】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数１０３】
ベクトルρは以下の形であり、
【数１０４】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数１０５】
ここで、
【数１０６】
であり、
【数１０７】
であることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０１】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０２】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０３】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０４】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数１０８】
ここで、
【数１０９】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数１１０】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０４に記載の方法。
【請求項１０６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１１１】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１０４に記載の方法。
【請求項１０７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０６に記載の方法。
【請求項１０８】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数１１２】
ここで、
【数１１３】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数１１４】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１１５】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０９】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０８に記載の方法。
【請求項１１０】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１１１】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項９３、９４若しくは９８のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１１２】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数１１６】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項９３、９４若しくは９８のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１１３】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１１２に記載の方法。
【請求項１１４】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１２に記載の方法。
【請求項１１５】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１１６】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１５に記載の方法。
【請求項１１７】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１１７】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１１５に記載の方法。
【請求項１１８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１７に記載の方法。
【請求項１１９】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１１８】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１２０】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１９に記載の方法。
【請求項１２１】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１１９】
であり、ここで、
【数１２０】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２１】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１２２】
であり、ここで、
【数１２３】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２４】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１２５】
であり、ここで、
【数１２６】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を利用する繰り返しの写像を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであるような、ステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項１２２】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１２７】
であり、ここで、
【数１２８】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２９】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１３０】
であり、ここで、
【数１３１】
及び、
【数１３２】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１３３】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１３４】
であり、ここで、
【数１３５】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１３６】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用し、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであるような、ステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項１２３】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２４】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２５】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２６】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２はζ１及びζ２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、ζ１及びζ２は、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の夫々読み取り及び位相符号化座標であり、ここで、
（ａ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１３７】
であり、ここで、
【数１３８】
であり、
（ｂ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１３９】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１４０】
であり、ここで、
【数１４１】
であり、
（ｃ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１４２】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１４３】
であり、ここで、
【数１４４】
であり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、ζ＾１及びζ＾２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ＾１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ＾２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数１４５】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数１４６】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を満たす基本セットに対するものであるような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項１２７】
補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項１２６に記載の方法。
【数１４７】
【請求項１２８】
補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数１４８】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数１４９】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数１５０】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数１５１】
行列Ａは以下の形態であることを特徴とする請求項１２６に記載の方法。
【数１５２】
【請求項１２９】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３０】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３１】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１２１、１２２若しくは１２６のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１３３】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数１５３】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１２１、１２２若しくは１２６のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１３４】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項１３５】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項１】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用する繰り返しの写像を用いて決定されることを特徴とする方法。
【請求項２】
ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
繰り返しの写像は、
【数１】
の形態であり、ここで、
【数２】
であり、ｎは繰り返しの数であり、ηｘ（ｘ，ｙ，ｚ）、ηｙ（ｘ，ｙ，ｚ）、及びηｚ（ｘ，ｙ，ｚ）は、以下のように与えられ、
【数３】
更に、
（ａ）（ｒ，θ，φ）は以下の式で（ｘ，ｙ，ｚ）に関係付けられ、
【数４】
（ｂ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５】
はＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数６】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
繰り返しの写像が以下の状況が満足されるまで継続され、
【数７】
εは予め定められた定数であり、ｎは繰り返しの数であることを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
ε＝１０−３であることを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
繰り返しの数が２以上であり且つ４以下であることを特徴とする請求項４に記載の方法。
【請求項６】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項７】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項８】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数８】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項９】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１３】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数９】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１１に記載の方法。
【請求項１４】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１０】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１３に記載の方法。
【請求項１６】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１１】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用することを特徴とする方法。
【請求項１８】
ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
非線形方程式のシステムは、初期（ｘ’，ｙ’，ｚ’）値として（ｘ’０＝ｘ，ｙ’０＝ｙ，ｚ’０＝ｚ）を用いて繰り返し解かれ、
エラー関数、及び非線形方程式のシステムは以下の形態であり、
【数１２】
ここで、
（ａ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられ、
【数１３】
（ｂ）（ＧＸＬ＝ａｘ（１，１），ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１），ＧＺＬ＝ａＺ（１，０））は、夫々Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数１４】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）の線形及び非線形部分を表し、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数１５】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つである
請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１８に記載の方法。
【請求項２１】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２２】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２３】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２４】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数１６】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２５】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２４に記載の方法。
【請求項２７】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項２８】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２７に記載の方法。
【請求項２９】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１７】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項２７に記載の方法。
【請求項３０】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項２９に記載の方法。
【請求項３１】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１８】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
【請求項３２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項３１に記載の方法。
【請求項３３】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数１９】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数２０】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて、決定されることを特徴とする方法。
【請求項３４】
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）ＧＸＬ＝ａＸ（１，１）、ＧＹＬ＝ｂＹ（１，１）、及びＧＺＬ＝ａＺ（１，０）であり、
（ｃ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、以下の式で与えられ、
【数２１】
ここで、ηＸ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、ηＹ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）、及びηＺ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、以下の式で与えられ、
【数２２】
ここで、
【数２３】
は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、
更に
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスであり、ｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数２４】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の値と（ｒ’，θ’，φ’）の値は以下の式で関係付けられる
【数２５】
請求項３３に記載の方法。
【請求項３５】
補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【数２６】
【請求項３６】
補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数２７】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数２８】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数２９】
ベクトルρは以下の形であり、
【数３０】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数３１】
ここで、
【数３２】
であり、
【数３３】
であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項３７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項３８】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項３９】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項３６に記載の方法。
【請求項４０】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４１】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数３４】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４２】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項４１に記載の方法。
【請求項４３】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４２に記載の方法。
【請求項４４】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数３５】
ここで、
【数３６】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数３７】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項４２に記載の方法。
【請求項４５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４４に記載の方法。
【請求項４６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数３８】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項４４に記載の方法。
【請求項４７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４６に記載の方法。
【請求項４８】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数３９】
ここで、
【数４０】
【数４１】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数４２】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数４３】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｚ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項３３に記載の方法。
【請求項４９】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項４８に記載の方法。
【請求項５０】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数４４】
であり、ここで、
【数４５】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数４６】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数４７】
であり、ここで、
【数４８】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数４９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数５０】
であり、ここで、
【数５１】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を利用する繰り返しの写像を用いて、決定されるステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項５１】
繰り返しの写像が以下の形態であり、
【数５２】
ここで、
【数５３】
であり、ここでｎは繰り返しの数でありη１（ζ１，ζ２）＝η１（ζ１，ζ２，ζ３）及びη２（ζ１，ζ２）＝η２（ζ１，ζ２，ζ３）は以下の式で与えられ、
【数５４】
ここで、
（ａ）ｒ、θ及びΦは、ζ１，ζ２及びζ３座標系と同じ原点に対して定義され、以下の式で与えられ、
【数５５】
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数５６】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ，θ，φ）は、以下の式で与えられ、
【数５７】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである
ことを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５２】
繰り返しの写像が以下の条件を満たすまで継続されることを特徴とする請求項５１に記載の方法。
【数５８】
【請求項５３】
ε＝１０−３であることを特徴とする請求項５２に記載の方法。
【請求項５４】
繰り返しの数が２以上であり且つ４以下であることを特徴とする請求項５３に記載の方法。
【請求項５５】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数５９】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項５０に記載の方法。
【請求項５７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項５６に記載の方法。
【請求項５８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５６に記載の方法。
【請求項５９】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数６０】
であり、ここで、
【数６１】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数６２】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数６３】
であり、ここで、
【数６４】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数６５】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数６６】
であり、ここで、
【数６７】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数６８】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を使用するような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項６０】
非線形方程式のシステムが、初期値（ζ’１，ζ’２）としてのζ’１（０）＝ζ１及びζ’２（０）＝ζ２と、以下の形態の非線形方程式のエラー関数及びシステムを用いて、反復して解かれ、
【数６９】
ここで、
（ａ）（ｒ’，θ’，Φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は以下のように関係付けられ、
【数７０】
であり、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｃ）
【数７１】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配の線形と非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数７２】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトｖはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つである
ことを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６１】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項６０に記載の方法。
【請求項６２】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項６０に記載の方法。
【請求項６３】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６４】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６５】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数７３】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項５９に記載の方法。
【請求項６６】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項６５に記載の方法。
【請求項６７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項６５に記載の方法。
【請求項６８】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２はζ１及びζ２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、ζ１及びζ２は、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の夫々読み取り及び位相符号化座標であり、ここで、
（ａ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数７４】
であり、ここで、
【数７５】
であり、
（ｂ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数７６】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数７７】
であり、ここで、
【数７８】
であり、
（ｃ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数７９】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数８０】
であり、ここで、
【数８１】
であり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、ζ＾１及びζ＾２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ１）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ＾１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ＾２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数８２】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数８３】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する球面調和関数展開式の係数（“球面調和関数係数”）を用いて決定されるような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項６９】
（ａ）ａｖ（ｎ，ｍ）とｂｖ（ｎ，ｍ）が球面調和関数係数であり、
サブスクリプトＶはＸ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｂ）
【数８４】
であり、
（ｃ）ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数８５】
ここで、η１（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びη２（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、以下の式で与えられ、
【数８６】
ここで、
【数８７】
は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場の非線形部分を表し、そこでは、
（ｉ）ｍ及びｎは総和のインデックスでありｍ≦ｎの関係を充たし、
（ｉｉ）Ｂｖ（ｎ，ｍ）（ｒ’，θ’，φ’）は、以下の式で与えられ、
【数８８】
ここでＰ（ｎ、ｍ）（ｃｏｓθ’）は関連するルジャンドル関数であり、サブスクリプトＶは、Ｘ、Ｙ及びＺのうちの一つであり、
（ｉｉｉ）（ｒ’，θ’，φ’）及び（ζ’１，ζ’２，ζ’３）の値は、以下の式で関連づけられることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数８９】
【請求項７０】
補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数９０】
【請求項７１】
補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数９１】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数９２】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数９３】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数９４】
行列Ａは以下の形態であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【数９５】
【請求項７２】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７３】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７４】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項７１に記載の方法。
【請求項７５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【請求項７６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数９６】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項６８に記載の方法。
【請求項７７】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項７８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項７９】
座標系の原点を定義し、（ｉ）主要磁石と（ｉｉ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含む磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数を生成するステップと、
（Ｃ）以下の（ｉ）〜（ｉｉｉ）の係数から構成されるグループから選択された少なくとも一つの係数を利用して、訂正されていない映像関数から、訂正された映像関数を生成するステップを含む方法。
（ｉ）Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉ）Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
（ｉｉｉ）Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数。
【請求項８０】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８１】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８２】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８３】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８４】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８５】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８６】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、
Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つと、
Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つと、
Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の少なくとも一つを
含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８７】
ステップ（Ｃ）で利用される少なくとも一つの係数が、
Ｘ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てと、
Ｙ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，０），ａ（１，１）及びｂ（１，０）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てと、
Ｚ勾配磁石に対する球面調和関数係数ａ（０，０），ｂ（０，０），ａ（１，１），ｂ（１，０）及びｂ（１，１）、即ち、球面調和関数以外の基本セットがラプラス方程式を解くのに利用されるならば生じる対応の係数の全てを
含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８８】
上記の少なくとも一つの係数、即ち導出された数値がコンピュータメモリに格納され、ステップ（Ｃ）の実行の間にメモリから引き出されることを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項８９】
ステップ（Ａ）で取得されたデータセットが、目的物のための３次元データを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９０】
ステップ（Ａ）で取得されたデータセットが、目的物のための２次元データを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９１】
ステップ（Ｂ）が、ＭＲデータセットに関して高速フーリエ変換を実行するステップを含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９２】
ステップ（Ｃ）で生成された訂正された映像を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７９に記載の方法。
【請求項９３】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用する繰り返しの写像を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９４】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）を生成するステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）から、訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップを含み、
座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、（ｘ，ｙ，ｚ）における映像関数の値に対するｘ，ｙ，ｚ座標系の訂正された位置を表し、
上記（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、エラー関数ｆ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数９７】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用し、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９５】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９６】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９７】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項９４に記載の方法。
【請求項９８】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石を利用してデータ空間で３次元にて目的物のための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍＸΔｔＸ、ｍＹΔｔＹ、ｍＺΔｔＺ）の形態であり、
（ｉ）ｍＸ、ｍＹ、及びｍＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向のデータポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔｔＸ、ΔｔＹ、及びΔｔＺは、夫々ｘ、ｙ、及びｚ方向の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）ΔωＸＬ、ΔωＹＬ及びΔωＺＬが、夫々ωＸＬ、ωＹＬ及びωＺＬ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ωＸＬ＝γｘＧＸＬ，ωＹＬ＝γｙＧＹＬ，ωＺＬ＝γｚＧＺＬであり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）ＧＸＬ、ＧＹＬ、及びＧＺＬは、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石がｘ、ｙ、ｚ座標系のｘ、ｙ、及びｚ方向の純粋な線形勾配磁場を生成するならばＸ、Ｙ、及びＺ勾配磁石から生じる周波数範囲を、ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，及びｌＺΔωＺＬが夫々有するように、ｌＸ、ｌＹ、及びｌＺの範囲は選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数９８】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを用いて、訂正されていない映像関数ρ（ｌＸΔωＸＬ，ｌＹΔωＹＬ，ｌＺΔωＺＬ）から、ｘ、ｙ、ｚ座標系の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を生成するステップであって、
【数９９】
（ｉ）ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、夫々（ｘ’，ｙ’，ｚ’）の関数であり、
（ｉｉ）ρ（ωＸＮ，ωＹＮ，ωＺＮ）は、所望のρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に等しいような、ステップとを含み、
ＧＸＬ、ＧＹＬ、ＧＺＬ、ωＸＮ，ωＹＮ，及びωＺＮは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであることを特徴とする方法。
【請求項９９】
補間法関数Ｌが、以下のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【数１００】
【請求項１００】
補間法関数Ｌが、以下のような形態であり、
【数１０１】
ここで、
（ａ）ΨＸ（ｌＸ），ΨＹ（ｌＹ）及びΨＺ（ｌＺ）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌＸ，ｌＹ，ｌＺ）は、以下の行列方程式を充たす係数であり、
【数１０２】
ここで、ベクトルＣは以下の形であり、
【数１０３】
ベクトルρは以下の形であり、
【数１０４】
更に、マトリクスＡは以下の形であり、
【数１０５】
ここで、
【数１０６】
であり、
【数１０７】
であることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０１】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０２】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０３】
補間法が、ＭＲデータセットに関する３次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項１００に記載の方法。
【請求項１０４】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数１０８】
ここで、
【数１０９】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数１１０】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０５】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０４に記載の方法。
【請求項１０６】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１１１】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１０４に記載の方法。
【請求項１０７】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０６に記載の方法。
【請求項１０８】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、ｘ，ｙ，ｚ座標系とζ座標系の間の変換（“ｘｙｚ−ζ変換”）は、以下の形であり、
【数１１２】
ここで、
【数１１３】
であり、ｃは方向余弦であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数空間における訂正されていない映像関数を生成し、その後、（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数空間における訂正されていない映像関数が、（ωζ１，ωζ２，ωζ２）周波数から（ωＸ，ωＹ，ωＺ）周波数への以下の変換により生成され、
【数１１４】
ここで、ω（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝［ωＸ，ωＹ，ωＺ］Ｔ，ω（ζ１，ζ２，ζ３）＝［ωζ１，ωζ２，ωζ３］Ｔ，及びＡはＡマトリクス（Ａｍａｔｒｉｘ）であり、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１１５】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘｙｚ−ζ変換を用いて、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９８に記載の方法。
【請求項１０９】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１０８に記載の方法。
【請求項１１０】
ステップ（Ａ）のデータ空間が、
（ａ）ｋ−空間、
（ｂ）時間空間、
（ｃ）位相空間、
（ｄ）周波数空間、
（ｅ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う位相空間、若しくは、
（ｆ）少なくとも一つの座標方向に沿う時間空間と少なくとも一つの他の座標方向に沿う周波数空間を
含むことを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１１１】
訂正された映像としてρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項９３、９４若しくは９８のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１１２】
以下の補間法を実施してρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を生成するステップを更に含み、
【数１１６】
Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項９３、９４若しくは９８のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１１３】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１１２に記載の方法。
【請求項１１４】
訂正された映像としてρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１２に記載の方法。
【請求項１１５】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、ステップ（Ｃ）の訂正された映像関数ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１１６】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１５に記載の方法。
【請求項１１７】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を生成するステップを更に含み、
【数１１７】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２，ζ”３）はζ座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１１５に記載の方法。
【請求項１１８】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２，ζ”３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１７に記載の方法。
【請求項１１９】
（ａ）ステップ（Ａ）において、ＭＲデータセットが、ｘ、ｙ、ｚ座標系と共通の原点を有するが該座標系に関して回転されているデカルト座標系ζで取得され、ζ座標系の軸は（ζ１，ζ２，ζ３）であり、
（ｂ）ステップ（Ｂ）において、３次元高速フーリエ変換がζ座標系のＭＲデータセットに関して実施され訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２，ζ３）を生成し、その後、ζ座標系からｘ、ｙ、ｚ座標系への変換により、訂正されていない映像関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ）がρ（ζ１，ζ２，ζ３）から生成され、
（ｃ）ステップ（Ｃ）の後、以下の補間法を実施して、ρ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から、一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）が生成され、
【数１１８】
ここで、Ｈは補間法関数であり、（ｘ”，ｙ”，ｚ”）はｘ、ｙ、ｘ座標系で一様に分布されたポイント座標であり、
（ｄ）その後、ｘ、ｙ、ｚ座標系からζ座標系への変換によって、映像関数ρ（ｘ”，ｙ”，ｚ”）から、ζ座標系の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）が生成されることを特徴とする請求項９３又は９４に記載の方法。
【請求項１２０】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１１９に記載の方法。
【請求項１２１】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１１９】
であり、ここで、
【数１２０】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２１】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１２２】
であり、ここで、
【数１２３】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２４】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１２５】
であり、ここで、
【数１２６】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を利用する繰り返しの写像を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであるような、ステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項１２２】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）を生成するステップであって、
ζ１とζ２は夫々、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系の読み取り及び位相符号化座標であり、そこでは、
（ｉ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１２７】
であり、ここで、
【数１２８】
であり、
（ｉｉ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１２９】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１３０】
であり、ここで、
【数１３１】
及び、
【数１３２】
であり、
（ｉｉｉ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１３３】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１３４】
であり、ここで、
【数１３５】
であるような、ステップと、
（Ｃ）訂正されていない映像関数ρ（ζ１，ζ２）から、訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、座標（ζ’１，ζ’２）は（ζ１，ζ２）における映像関数の値に対する（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の訂正された位置を表し、上記（ζ’１，ζ’２）座標は、エラー関数ｆ（ζ’１，ζ’２）が以下の関係式を満足するように非線形方程式のシステムを解くことによって決定され、
【数１３６】
ここで、εは予め定められた定数であり、
更に、非線形方程式のシステムは、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を使用し、上記展開式及び係数はラプラス方程式を充たす基本セットに対するものであるような、ステップを
含むことを特徴とする方法。
【請求項１２３】
レーベンベルグ−マーカード非線形曲線あてはめ技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２４】
非線形最小技術が、非線形方程式のシステムを解く際に用いられることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２５】
ε＝Ｒｅｓ×１０−３であり、ＲｅｓはＲｅｓ＝Ａｉｍａｇｅ／Ｎｐｉｘで与えられる映像の解像度であり、
Ａｉｍａｇｅは映像の領域であり、Ｎｐｉｘは映像を構成するピクセルの全数であることを特徴とする請求項１２２に記載の方法。
【請求項１２６】
（ｉ）夫々勾配（Ｇｘ，Ｇｙ，Ｇｚ）を有する磁場を生成するＸ、Ｙ及びＺ勾配磁石を含み、（ｉｉ）（ｘ，ｙ，ｚ）座標系（“ｘ、ｙ、ｚ座標系”）の原点を定義する磁気共鳴映像法システムを利用して目的物の映像を形成する方法であって、
（Ａ）Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石の線形組み合わせを利用して、データ空間で２次元にて目的物のスライスのための磁気共鳴信号データセット（“ＭＲデータセット”）を取得するステップであって、
ＭＲデータセットはｓ（ｍ１Δｔ１、ｍ１Δｔ１）の形態であり、
（ｉ）ｍ１及びｍ２はζ１及びζ２方向のｋ−空間データポイントのための夫々インデックスであり、ζ１及びζ２は、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の夫々読み取り及び位相符号化座標であり、ここで、
（ａ）スライス選択勾配は、Ｇ３＝（ｐＸ３ＧＸ，ｐＹ３ＧＹ，ｐＺ３ＧＺ）により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
ここで（ｐＸ３，ｐＹ３，ｐＺ３）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、スライス勾配の軸方向は、
【数１３７】
であり、ここで、
【数１３８】
であり、
（ｂ）スライスに対する位相符号化勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ１，ζ３）座標系で与えられ、
【数１３９】
ここで（ｐＸ２，ｐＹ２，ｐＺ２）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、位相符号化勾配の軸方向は、
【数１４０】
であり、ここで、
【数１４１】
であり、
（ｃ）スライスに対する読み取り勾配は、以下の式により、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で与えられ、
【数１４２】
ここで（ｐＸ１，ｐＹ１，ｐＺ１）は、夫々Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石（ＧＸ，ＧＹ，ＧＺ）の勾配強度係数であり、読み取り勾配の軸方向は、
【数１４３】
であり、ここで、
【数１４４】
であり、
（ｉｉ）Δｔ１及びΔｔ２は夫々、ζ＾１及びζ＾２に対するｋ−空間の等価の時間ステップであるような、ステップと、
（Ｂ）上記データセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することを含むプロセスによって、ＭＲデータセットから訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）を生成するステップであって、
上記の訂正されていない映像関数は、周波数空間で（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）により与えられる周波数ポイントのセットにおいて存在し、そこでは、
（ｉ）ｌ１、及びｌ２が、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ポイントに対するインデックスであり、
（ｉｉ）Δω１Ｌ及びΔω２Ｌが、夫々ω１Ｌ及びω２Ｌ方向の周波数ステップであり、
（ｉｉｉ）ω１Ｌ＝γＧ１Ｌ・ζ１，ω２Ｌ＝γＧ２Ｌ・ζ２であり、ここで、
（ａ）γは定数で、
（ｂ）（Ｇ１Ｌ，Ｇ２Ｌ）は、Ｘ、Ｙ、及びＺ勾配磁石により生成される磁場の勾配（Ｇ１，Ｇ２）の線形部分を表し、
（ｉｖ）Ｇ１勾配がζ＾１方向で純粋に線形であるならばＧ１勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、Ｇ２勾配がζ＾２方向で純粋に線形であるならばＧ２勾配から生じる周波数範囲を、ｌ１Δω１Ｌが有するように、ｌ１の範囲が選択され、
（ｖ）高速フーリエ変換は以下の形態であるような、ステップと、
【数１４５】
（Ｃ）以下の形態の周波数空間の補間法関数Ｌを利用して、訂正されていない映像関数ρ（ｌ１Δω１Ｌ，ｌ２Δω２Ｌ）から、（ζ１，ζ２，ζ３）座標系の（ζ’１，ζ’２，ζ’３）における周波数空間の訂正された映像関数ρ（ζ’１，ζ’２）を生成するステップであって、
【数１４６】
ここで、
（ｉ）ρ（ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３），ω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３））は所望のρ（ζ’１，ζ’２）であり、
（ｉｉ）Ｇ１Ｌ、Ｇ２Ｌ、ω１Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）、及びω２Ｎ（ζ’１，ζ’２，ζ’３）は、Ｘ、Ｙ及びＺ勾配磁石により生成される磁場に対する展開式の係数を用いて決定され、上記展開式及び係数はラプラス方程式を満たす基本セットに対するものであるような、ステップと
を含むことを特徴とする方法。
【請求項１２７】
補間法関数Ｌが以下の式のようなＳＩＮＣ関数であることを特徴とする請求項１２６に記載の方法。
【数１４７】
【請求項１２８】
補間法関数Ｌが以下の形態であり、
【数１４８】
ここで、
（ａ）Ψ１（ｌ１）及びΨ２（ｌ２）は、直交基本関数であり、
（ｂ）Ｃ（ｌ１，ｌ２）は、以下の行列方程式を満たす係数であり、
【数１４９】
ここで、ベクトルＣは以下の形態であり、
【数１５０】
ベクトルρは以下の形態であり、
【数１５１】
行列Ａは以下の形態であることを特徴とする請求項１２６に記載の方法。
【数１５２】
【請求項１２９】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３０】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントの全てに適用されることを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３１】
補間法が、ＭＲデータセットに関する２次元高速フーリエ変換を実施することにより得られるデータポイントのサブセットに適用され、
上記サブセットは映像化される目的物の対象領域の近傍内であることを特徴とする請求項１２８に記載の方法。
【請求項１３２】
訂正された映像としてρ（ζ’１，ζ’２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項１２１、１２２若しくは１２６のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１３３】
以下の補間法を実施してρ（ζ’１，ζ’２）から一様のピクセル寸法を有する映像関数ρ（ζ”１，ζ”２）を生成するステップを更に含み、
【数１５３】
Ｈは補間法関数であり、（ζ”１，ζ”２）は（ζ１，ζ２，ζ３）座標系で一様に分布されたポイント座標であることを特徴とする請求項１２１、１２２若しくは１２６のうちのいずれか一に記載の方法。
【請求項１３４】
補間法が、ラグランジェ補間法、ニュートン補間法、差分補間法、エルミート補間法、スプライン補間法、若しくはそれらの組み合わせを含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【請求項１３５】
訂正された映像としてρ（ζ”１，ζ”２）を表示するステップを更に含むことを特徴とする請求項７６に記載の方法。
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【公表番号】特表２００６−５１２１１６（Ｐ２００６−５１２１１６Ａ）
【公表日】平成１８年４月１３日（２００６．４．１３）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００４−５６２３８６（Ｐ２００４−５６２３８６）
【出願日】平成１５年１２月２２日（２００３．１２．２２）
【国際出願番号】ＰＣＴ／ＡＵ２００３／００１７０７
【国際公開番号】ＷＯ２００４／０５９３３５
【国際公開日】平成１６年７月１５日（２００４．７．１５）
【出願人】（５０００２０７６０）ザ・ユニバーシティ・オブ・クイーンズランド (20)
【Ｆターム（参考）】
【公表日】平成１８年４月１３日（２００６．４．１３）
【国際特許分類】
【出願日】平成１５年１２月２２日（２００３．１２．２２）
【国際出願番号】ＰＣＴ／ＡＵ２００３／００１７０７
【国際公開番号】ＷＯ２００４／０５９３３５
【国際公開日】平成１６年７月１５日（２００４．７．１５）
【出願人】（５０００２０７６０）ザ・ユニバーシティ・オブ・クイーンズランド (20)
【Ｆターム（参考）】
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