物体変形処理方法

【目的】コンピュータグラフィックスで弾性物体の移動しながらの弾性変形表現を可能にする。
【構成】物体初期形状と属性情報、初期流速条件、境界条件などを入力した後（ステップ１０，１１）、あらかじめ定めた処理時間に達するまでステップ１２〜１９を繰り返す。ステップ１２では、物体が移動する流体のｎ時刻の流速値を算出する。流体場は離散値系である。物体は複数の格子点で表現する。ステップ１３では、各格子点の移動速度を算出する。ステップ１４，１５では、各格子点の座標値と弾性力を、値が収束するまで補正する。ステップ１６では、各格子点の合力を求め、ステップ１７では、それの流速場へ作用する外部力を求める。そして、ステップ１８でｎ＋１時刻の流体場を算出し、これを用いて、ステップ１９でｎ＋１時刻の各格子点の座標値を算出する。

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、数値シミュレーションやコンピューターグラフィックスの分野において、数理物理的な要因による物体の弾性的な変形を簡便に表示する物体変形処理方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】自然界の様々な無生物や生物などはそれぞれ固有の属性をもっている。粒子の集合体となっているような吹雪、土砂くずれ、血管中の赤血球・白血球等は個々の粒子が変形しながら、しかも衝突を繰り返しながら全体として大きな流れのパターンを形成している。これらの現象を実験装置を作成してその挙動パターンを解析することは必ずしも容易なことではない。よって数値シミュレーションに基づいた解析方法をとることが重要である。このとき数値計算により求められた膨大なデータを直感性のある表示方法で表現することも重要な課題となっており、近年ビジュアラゼーシュンとして注目されている。これはコンピューターグラフィックスの枠組となっている。
【０００３】上述したような赤血球等は、弾性的属性を与えたモデリングが必要である。従来、数値計算においては、有限要素法が広く用いられている。その多くは、図４に示すような座標系が用いられている。即ち、赤血球のように変形する対象物は、固定した座標系４１に置かれ、その周りを血流といった変形を引き起こす対象の座標系４２がもう一つ存在する。ちょうど、これは飛行機の翼の風の流れを風洞実験で行うのと同様の座標設定である。この座標系上で、流体に関しての境界条件と初期条件が与えられて、時間的な流体の動態変化と、弾性体の変形が算出される。これにより、実際の流体と弾性体との力学的な相互作用を推察できる。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】上記従来方法は、変形する弾性体は固定した座標系に置かれており、移動しながらの変形シミュレーションとなっていない。また、変形そのものの程度はいわゆる微小変形理論が適用できる範囲内となっている。これらの制約は、対象の物理方程式の記述の難しさもあるが、むしろ方程式の離散化に伴った数値解法的な問題があるために生じる。変形が大きくなる程、各時間ステップ毎に、準安定な解を求めにくくなることが知られている。対象を厳密に物理方程式で記述できたとしても、対象の幾何学的な構造そのものを補正する手段を導入しないとシミュレーションはうまくいかない。これは、対象を離散化した際、限られた格子点数で対象を近似形成する自体に大きな制約が存在することに起因している。
【０００５】対象が移動しながら、しかも弾性的なシミュレーションは、移動体が、湾曲した経路や障害物、移動体同士の衝突を表現するために重要な手法である。対象が固定した座標系に置かれていると、このような連続した表現は困難となる。また、微小変形理論の枠組を超えた対象の大きな変形を許容する手法も同時に必要である。
【０００６】本発明の目的は、数値シミュレーションやコンピューターグラフィックスにおいて、対象物の移動しながらの弾性変形表現を可能とする物体変形処理方法を提供することにある。
【０００７】
【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するため、本発明の物体変形処理方法は、変形・移動する物体の初期の形状と属性情報を入力するステップと、初期流速の条件と境界条件を入力するステップと、第ｎ時刻の流速を流体を記述する方程式から算出するステップと、弾性体の格子点の移動速度を格子点近傍の流速と補間関数より算出するステップと、格子点の座標値をニュートン法などの非線形計算式により補正するステップと、格子点の座標値と格子点にかかる力について反復補正しながら収束判定を行うステップと、補正された格子点座標値により、各格子点における合力を算出するステップと、該合力による格子点近傍の流速場への外部力を補間関数を用いて算出するステップと、ナビエ・ストークス方程式などの流体運動方程式中の外部力項に前ステップより求めた既知量を代入して、第ｎ＋１時刻の流速場を算出するステップと、第ｎ＋１時刻の流速場を用いて各格子点の第ｎ＋１時刻の座標値を算出するステップと、所定の計算時刻に達しているかどうかを判定するステップとからなることを特徴とする。
【０００８】
【作用】本発明では、移動しながら大きく変形する弾性体の簡便な表現として、各時刻における弾性体の各格子点の座標値について、弾性体に与えられた属性情報に基づいた各格子点にかかわる力との間で、反復計算を施すことで、各時刻における準安定な座標値を決定する弾性力が算出される。このとき、各格子点にかかる弾性力は、反復計算における補正される座標値の関数となっている。さらに、流体を記述する方程式（流体運動方程式）中の外部力項に各格子点上の弾性力を代入することで、各格子点の移動速度は、格子点近傍の流速場に影響を与えるような流速として算出される。このようにして、格子点の移動量は、格子点近傍の流速に時間幅をかけ算することにより定まる。これにより、移動しながら、しかも力学的な相互作用により変形する弾性体の表現が可能となる。
【０００９】
【実施例】以下、本発明の一実施例について図面により説明する。
【００１０】図１は本発明の物体変形処理方法の一実施例の処理フローチャートである。ステップ１２〜１９に用いる主な数式を〔数１〕乃至〔数５〕に示し、そのパラメータの説明を〔数６〕にまとめて示す。
【００１１】
【数１】

【００１２】
【数２】

【００１３】
【数３】

【００１４】
【数４】

【００１５】
【数５】

【００１６】
【数６】

【００１７】さて、ステップ１０では、変形・移動する物体の初期の形状と属性情報を入力する。格子点番号、格子点の初期座標値も、このステップ１０で与えられる。ステップ１１では、初期流速の条件と境界条件を入力する。
【００１８】ステップ１２では、第ｎ時刻の流速を流体を記述する方程式（流体運動方程式）から算出する。ここでは、流体運動方程式として、（４）式のナビエ・ストークス方程式中を用いる。ステップ１２では、（４）式中、ｎはｎ−１、ｎ＋１はｎと置き換えて、第ｎ時刻の流速を算出する。
【００１９】ステップ１３では、対象物体である弾性体の各格子点の移動速度を、ステップ１２で求まった格子点近傍の流速と補間関数より算出する。この算出法の詳細については後述する。
【００２０】ステップ１４では、格子点の座標値を非線形計算式（ここではニュートン法を用いる）により補正し、これを格子点の座標値と格子値にかかる力が収束するまで繰り返す（ステップ１５）。即ち、（１）式の右辺において、格子点ｋ番目の時刻ｔにおける位置、移動速度、格子点にかかる力から、補正される格子点の座標値を（１）式の左辺として求める。（１）式中の「＊」は反復回数である。なお、ステップ１４における収束判定の基準は、一般に用いられているような反復時の計算誤差に対するパーセンテージで与えられる。これは計算精度と計算コストとの間で、使用する者の目的・用途により決定される。
【００２１】ステップ１６では、ステップ１４で補正された各格子点座標値により、各格子点における合力を算出する。これを表わしたのが（２）式で、補正された各格子点座標値は、（２）式により弾性力が補正される。
【００２２】ステップ１７では、ステップ１６で算出された格子点の合力が格子点近傍の流速場へ作用する力（外部力）を、補間関数を用いて算出する。（３）式がこの算出式で、各格子点に加わっている弾性力が、その近傍の流体へ外部力として、補間関数を介して算出される。
【００２３】ステップ１８は、流体運動方程式を記述する（４）式のナビエ・ストークス方程式中の外部力項にステップ１７で求めた既知量を代入して、第ｎ＋１時刻の流速場を算出する。ただし、（４）式は差分法により離散化されることを示している。
【００２４】ステップ１９では、ステップ１８で求めた第ｎ＋１時刻の流速場を用いて、(５)式により、各格子点の第ｎ＋１時刻の座標値を補間関数を介して算出する。
【００２５】以上のステップ１２〜１９をあらかじめ定めた計算時間まで繰り返し、処理を終了とする（ステップ２０）。
【００２６】図２に、血管中を流れながら、非一様の流体場との相互作用により変形する赤血球を想定したシミュレーションの様子を示す。図中、２１は赤血球、２２が赤血球を構成する格子点、２３が補間関数である。
【００２７】図３は、補間関数の特性を示す。ここでは、格子点から、流体の解析格子で２つの格子を半径とする距離内の値により相互作用表現することを示している。この補間関数は、いわば重みづけ表現をとっているが、重みづけの総和は常に１になるような関数を選択している。これにより、補間関数による値の変化に影響を及ぼさないようにしてある。
【００２８】図４は、弾性体の格子点にかかる力表現を説明する図である。便宜上、ここでは、弾性体上の２つの格子点のみを示す。格子点は、それぞれｋ１、ｋ２の番号が与えられ、格子点間には、ｌという番号が割り当てられている。この図に関して、２つの格子点ｋ１，ｋ２がつくる基本量を〔数７〕に示す。
【００２９】
【数７】

【００３０】これにより、結合点としての格子点ｋにかかる合力は、〔数８〕のように表現できる。ここでは、フックの法則に従う弾性力が与えられる。
【００３１】
【数８】

【００３２】次に、図１のステップ１４，１５で適用されるニュートン法について説明する。いま、第ｎ時刻における第ｋ番目の格子点の座標値を〔数９〕で示し、弾性力の格子点への影響を〔数１０〕で表現する。
【００３３】
【数９】

【００３４】
【数１０】

【００３５】〔数１０〕の２式■，■より、補正される格子点の力は〔数１１〕で示され、補正される格子点の座標値の関数となっていることを示す。
【００３６】
【数１１】

【００３７】〔数１１〕の第ｋ番目における力表現を、弾性体を構成するすべての格子点に関してマトリックス表現すると、〔数１２〕のようになる。
【００３８】
【数１２】

【００３９】〔数１２〕は、ある格子点にかかる力を補正すると、格子点の座標値が変わり、座標値が変わると、かかる力が変化することを示しているので、非線形系であることは明らかである。
【００４０】ニュートン法を用いて、〔数１２〕の非線形方程式を解くにあたり、まず、テイラー展開によって〔数１２〕を線形に近似すると、〔数１３〕のようになる。
【００４１】
【数１３】

【００４２】〔数１３〕中には、１階の偏微分項が現われる。〔数１４〕は、これを成分について表記してある。
【００４３】
【数１４】

【００４４】〔数１３〕と〔数１４〕より、ニュートン法を適用して、力に関して反復形式をつくると、
【００４５】
【数１５】

【００４６】のようになる。反復における初期値は、第ｎ時刻における、格子点の位置から算出される各格子点にかかる力である。
【００４７】図５は、本発明による処理イメージを示す。これは、弾性リング５１が、分岐のある流路５２を移動しながら、大きく変形していく様子を示したものである。なお、５３は格子点である。図５（ａ）では、円形の弾性リング５１のまわりには、流体がリングの形状に応じた流れの乱れが生じている。ある時間が達つと、図５（ｂ）に示すように、流路の狭まった形状に応じた変形に応じた変形が生じ、そのときのリング５１の周りの流れパターンは変化している。
【００４８】図７は、本物体変形処理方法を実施する計算機環境を示す構成図で、キーボードやマウスからなる入力装置７１、ディスプレイなどの出力装置７２、コンピュータ本体（ＣＰＵ）の処理装置７３、各種パラメータや格子点情報を格納するメモリ装置７４からなる。ここで、格子点情報は、格子点番号、格子点座標値、移動速度、弾性力などで構成される。処理装置７３は、図１のステップ１２〜１９を繰り返し実行して、メモリ装置７４内の格子点情報（座標値、弾性力など）を更新し、逐次、その内容を読み出し、対象物体が移動しながら変形する様子を出力装置７２に表示出力する。
【００４９】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、数値シミュレーションやコンピューターグラフィックスの計算過程において、流体とり力学的相互作用により弾性体が移動しながら変形する現象を簡易な方法により実現できるため、物理的にしばしば見られる現象の数値シミュレーションやコンピューターグラフィックスでのより弾性的属性を有する物体一般の変形表現を幅広く扱えるようになる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施例の処理フローチャートである。
【図２】本発明によるシミュレーションの様子を想定した図である。
【図３】補間関数の一例を示す図である。
【図４】弾性体の格子点にかかる力表現を説明する図である。
【図５】本発明による弾性体の移動と変形の様子を示す図である。
【図６】従来技術による弾性体の力学的相互作用を説明する座標系である。
【図７】本発明方法を実施するハードウェア構成図である。
【符号の説明】
１２流速値の算出
１３各格子点の移動速度の算出
１４各格子点の座標値の補正
１６各格子点の合力の算出
１７外部力の算出
１８流速場の算出
１９次時刻の各格子点の座標値の算出

【特許請求の範囲】
【請求項１】計算機の環境下における、移動物体の変形処理方法であって、変形・移動する弾性物体の初期の形状と属性情報を入力するステップと、初期流速の条件と境界条件を入力するステップと、第ｎ時刻の流速を流体を記述する方程式から算出するステップと、弾性物体の格子点の移動速度を格子点近傍の流速と補間関数より算出するステップと、格子点の座標値を非線形計算式により補正するステップと、格子点の座標値と格子点にかかる力について反復補正しながら収束判定を行うステップと、補正された格子点座標値により、各格子点における合力を算出するステップと、格子点近傍の流速場への外部力を補間関数を用いて算出するステップと、流体を記述する方程式中の外部力項に前ステップより求めた既知量を代入して、第ｎ＋１時刻の流速場を算出するステップと、第ｎ＋１時刻の流速場を用いて各格子点の第ｎ＋１時刻の座標値を算出するステップと、所定の計算時刻に達しているかどうかを判定するステップと、を有することを特徴とする物体変形処理方法。
【請求項２】格子点にかかる力と格子点の座標値との間で非線形計算式としてニュートン法を用いて補正処理を行うことを特徴とする請求項１記載の物体変形処理方法。
【請求項３】格子点にかかる力を補間関数を用いて、流体を記述するナビエ・ストークス方程式の外部力項にその効果を反映させることを特徴とする請求項１記載の物体変形処理方法。
【請求項４】格子点の次の時間ステップの位置を、各格子点近傍の変化した流速場に基づいて算出することを特徴とする、請求項１と２記載の物体変形処理方法。

【図１】