ヴォラティリティの推定装置、及びそのコンピュータプログラム、並びにヴォラティリティ推定方法
【課題】実際の株価プロセスのように、高周波雑音が存在するような状況においても、高周波雑音を除去してヴォラティリティ推定を行えるようにする。
【解決手段】ランダムプロセスにおける離散的な観測点ｔkでの観測データＸ（ｔk）に基づいて、前記観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定する装置であって、各観測点間の時間間隔Δよりも微細な時間間隔の補助観測点ｔikで観測された補助観測データＸ（ｔik）によって前記観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）を平滑化することができる。本装置は、平滑化された観測データを用いて、前記観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定することができる。
【解決手段】ランダムプロセスにおける離散的な観測点ｔkでの観測データＸ（ｔk）に基づいて、前記観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定する装置であって、各観測点間の時間間隔Δよりも微細な時間間隔の補助観測点ｔikで観測された補助観測データＸ（ｔik）によって前記観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）を平滑化することができる。本装置は、平滑化された観測データを用いて、前記観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定することができる。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ヴォラティリティの推定装置、及びそのコンピュータプログラム、並びにヴォラティリティ推定方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
ヴォラティリティ（volatility）は、株価のような確率過程（ランダムプロセス）の変動状況を示す指標であり、各種オプションのような金融派生商品の適切な価格付けや、ポートフォリオの評価の作業、さらにはポートフォリオの最適化構築作業に必須のパラメータである。
【０００３】
株価変動プロセスのような時系列の資産価格プロセスｐ（ｔ）は、ブラック−ショールズモデルにおいては、下記伊藤過程によって表される。
【数１】
ここで、Ｗ（ｔ）は、ブラウン運動であり、σがヴォラティリティである。
【０００４】
上記式において、ヴォラティリティσは、理論上は、定数として与えられる。しかし、実際には、ヴォラティリティは定数ではなく、時間の関数である。したがって、観測データであるｐ（ｔ）から、ヴォラティリティσを推定することが重要な問題となる。
【０００５】
従来のヴォラティリティの推定手法としては、ヴォラティリティの積分形（Integrated Volatility）を求めるものが一般的である。ヴォラティリティの積分形を求めれば、その積分形を微分することによって、スポット・ヴォラティリティ（spot volatility）を求めることができる。しかし、この方法で、スポット・ヴォラティリティを求めると、数値微分の演算が必要となるため、推定精度が低くなる。
【０００６】
一方、スポット・ヴォラティリティを直接推定する方法も数学的には提案されているが、従来の手法では、コンピュータで演算した場合に、処理時間が非常に長くなり実際に用いることができなかった。
また、従来の手法では、観測データが一周期（例えば、オプションの満期までの期間）分得られた後でなければ、ヴォラティリティを推定することができず、リアルタイム性に欠けていた。
【０００７】
これに対し、本発明者他は、非特許文献１において、ヴォラティリティ（スポット・ヴォラティリティ）の推定を各時点においてほぼリアルタイムで行うことができるスキームを提案している。提案するスキームでは、演算量が少ないためリアルタイム性に優れ、しかも、比較的高精度で推定を行うことができる。
【０００８】
ここで、スポット・ヴォラティリティを推定する問題は、図７に示すように、１周期の観測区間［０，Ｔ］内の複数の観測点ｔk（０≦ｋ≦Ｎ）における観測データＸ（ｔk）が与えられたときに、各観測点ｔkにおけるヴォラティリティを求めるものである。
【０００９】
そして、非特許文献１において提案するヴォラティリティの推定式（推定スキーム）は、下記式の通りである。なお、下記式では、ヴォラティリティを、σに代えて、ｂで表している（以下、同様）。
【数２】
【００１０】
上記式によれば、図８に示すように、ある観測点ｔkにおけるΔkＸ／Δｔを、ｔk-M〜ｔk+Mの範囲のΔk+λＸ／Δｔ（−Ｍ≦λ≦Ｍ）で平滑化することにより、ヴォラティリティの推定誤差を最小化することができる。なお、非特許文献１では、Ｍの値（平滑化のウィンドウサイズ）を大きくすることによって、推定誤差を小さくできることをシミュレーションによって確認した結果も示している。
【非特許文献１】S.Ogawa and K.Wakayama "On a real-time scheme for the estimation of volatility", Monte Carlo Methods and Appl., Vol.13, No.2(2007),pp.99-116
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
非特許文献１のヴォラティリティ推定スキームは、数学的（理論的）には成立しているが、このスキームを、実際の観測データに適用するには、更なる考慮が必要であることに、本発明者は思い至った。
【００１２】
すなわち、従来の推定スキームにおいては、観測データＸ（ｔk）は、伊藤過程によって示される確率過程ｐ（ｔ）そのものであると仮定している。
一方、実際の株価価格プロセスのような観測データＸ（ｔk）は、下記式のように高周波雑音（微細構造雑音；microstructure noise）Ｚ（ｔk）によって乱されている。
【数３】
【００１３】
上記式のように、株価価格プロセスｐ（ｔk）等の観測データＸ（ｔk）は、常に、ノイズＺ（ｔk）とともに観測される。
このノイズＺ（ｔk）は、非常に高い周波数のランダムプロセスである。つまり、任意のｋについて、Ｚ（ｔk）は、独立（互いに無関係）である。
【００１４】
このようなノイズＺ（ｔk）を含む観測データＸ（ｔk）を、従来の推定スキームに適用すると、平滑化に用いる観測点数が増加すると、その分、ノイズＺ（ｔk）が加算され、従来の推定スキームによって求められるヴォラティリティ推定値の誤差が増大することになる。
このため、従来の推定スキームを実際の観測データに適用することは困難である。
【００１５】
そこで、本発明は、実際の株価プロセスのように、高周波雑音が存在するような状況においても、高周波雑音を除去してヴォラティリティ推定を行えるようにすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１６】
本発明は、ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する装置であって、各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得して記憶する補助観測データ記憶手段（３１ａ）と、前記補助観測データ記憶手段（３１ａ）から前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得し、取得した補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出する第１の演算手段（３１ｃ）と、第１の演算手段（３１ｃ）によって得られた各観測点（ｔk）の平滑化観測データを記憶する平滑化データ記憶手段（３２ａ）と、前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定するための演算を行う第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）と、を備えていることを特徴とするヴォラティリティ推定装置である。
【００１７】
上記本発明によれば、観測点間の時間間隔よりも微細な時間間隔の補助観測点で観測された補助観測データがあるため、観測点近傍の補助観測データを用いて、当該観測点の観測データを平滑化することが可能である。したがって、観測データに高周波雑音が含まれていても、高周波雑音を低減することができる。
【００１８】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、ヴォラティリティを推定しようとする対象観測点（ｔk）の次の観測点（ｔk+1）における平滑化観測データと、前記対象観測点（ｔk）における平滑化観測データと、の差分を、各観測点間の前記時間間隔（Δ）で除した演算値を、前記対象観測点（ｔk）近傍の他の観測点について求めた前記演算値によって平滑化することで、ヴォラティリティの推定値を算出するものであるのが好ましい。
【００１９】
前記第１の演算手段（３１ｃ）は、前記観測点（ｔk）よりも過去の補助観測データ（Ｘ（ｔik））だけを用いて平滑化するものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定を、よりリアルタイムに行うことができる。
【００２０】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、前記対象観測点（ｔk）よりも過去の観測点について求めた前記演算値だけを用いて平滑化をするものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定を、よりリアルタイムに行うことができる。
【００２１】
前記第１の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））と前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の補助観測点（ｔik）の総数（２Ｍ＋１）で除する演算を含むものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定精度をより高めることができる。
【００２２】
前記第２の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）について求めた前記演算値と前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）について求めた前記演算値との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）の総数（２Ｌ＋１）で除する演算を含むものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定精度をより高めることができる。
【００２３】
他の観点からみた本発明は、コンピュータを、前記ヴォラティリティ推定装置として機能させるためのコンピュータプログラムである。
【００２４】
さらに他の観点からみた本発明は、ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を、コンピュータが実行する方法であって、各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を記憶するステップと、前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出して記憶するステップと、前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を行って、その推定値を出力するステップと、を含むことを特徴とするヴォラティリティ推定方法である。
【発明の効果】
【００２５】
本発明によれば、観測データに高周波雑音が含まれていても、高周波雑音を低減することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２６】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。
以下では、非特許文献１の推定スキームを、ノイズＺ（ｔ）が含まれる実際の観測データＸ（ｔ）に適用できるようにするため、観測データＸ（ｔ）に含まれるノイズＺ（ｔ）の影響を抑えつつ、観測データＸ（ｔ）からヴォラティリティ推定値を求めるための新たな推定スキーム（推定式）について説明する。
ここで提案する新たな推定スキームは、多段階平滑化処理によってヴォラティリティ推定値を求める。この多段階平滑化処理は、第１段目の平滑化処理と第２段目の平滑化処理とを含む。以下では、観測データに含まれるノイズについて説明した後、第１段目平滑化処理及び第２段目平滑化処理について数学的に説明する。さらに、その後、実施形態に係るヴォラティリティ推定装置について説明する。
【００２７】
［１．本発明の数学的な説明］
［１．１ 微細構造雑音（Micorstructure Noise）］
ここでは、株価の変動プロセスなどの価格プロセス（確率過程）ｐ（ｔ）の観測データＸ（ｔ）に含まれるノイズ（微細構造雑音）Ｚを、次の通り仮定する。
【数４】
【００２８】
なお、ヴォラティリティ推定に関する多くの文献において、ノイズＺ（ｔ）は、価格プロセスｐ（ｔ）と独立であると仮定している。しかし、本発明においては、そのような仮定は必要なく、Ｚ（ｔ）とｐ（ｔ）とは独立であってもよいし、独立でなくてもよい。
【００２９】
［１．２ 第１段目の平滑化］
ここで、観測データＸ（ｔ）におけるノイズの影響を抑えるため、ヴォラティリティを推定するための本来の観測点｛ｔk｝の時間間隔Δよりも、微細な時間間隔の補助観測点として、｛ｔik，０≦ｋ≦Ｎ，０≦ｉ≦２Ｍ｝を導入する（図１参照）。
第１段目の平滑化では、本来の観測点｛ｔk｝近傍の補助観測点｛ｔik｝における２Ｍ個（複数の）補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を用いて、本来の観測点｛ｔk｝における観測データＸ（ｔk）の平滑化を行い、ノイズの影響を抑えた観測データを得る。
【００３０】
ここで、本来の観測点｛ｔk｝は、下記式によって表される。
【数５】
【００３１】
時間間隔Δよりも微細時間間隔の補助観測点｛ｔik｝は、下記式によって表される。なお、なお、ここでの微細時間間隔は、Δ／２Ｍである。また、下記式において、補助観測点｛ｔik｝は、本来の観測点｛ｔk｝を含むものとなっているが、本来の観測点｛ｔk｝を含まなくても良い。
【数６】
【００３２】
また、ここでは、（補助）観測データＸ（ｔik）に関し、以下の表記を採用する。
【数７】
【００３３】
さらに、価格プロセスｐ（ｔ）に関し、以下の表記を採用する。
【数８】
【００３４】
さらにまた、ノイズＺ（ｔ）に関し、以下の表記を採用する。
【数９】
【００３５】
そして、第１段目の平滑化処理（Ｘ（ｔk）の平滑化）は、下記のように表される。
【数１０】
【００３６】
ｐ、Ｚについても、上記式と同様に、
【数１１】
が定義される。
【００３７】
なお、第１段目の平滑化の上記式では、補助観測点｛ｔik｝は、本来の観測点ｔkについて、対称的となっているが、本来の観測点ｔkのマイナス側（過去側）や、プラス側（将来側）だけにあってもよい。
将来側の補助観測データによる平滑化と、過去側の補助観測データによる平滑化は、下記のように表される。
【数１２】
以下では、補助観測点｛ｔik｝が、本来の観測点ｔkについて、対称的となっている場合の平滑化について説明するが、これは、表記上の便宜によるものであり、本発明を限定するものではない。
【００３８】
また、第１段目の平滑化の本質は、ある観測点ｔk近傍の補助観測データＸ（ｔik）で、当該観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）を平滑化することであり、上記［数１０］や［数１２］の演算式に限定されるものではない。
例えば、図１では、観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）を平滑化するための補助観測データＸ（ｔik）として、観測点ｔk-1と観測点ｔk+1との間にある補助観測データを用いたが、一つ前の観測点ｔk-1よりもマイナス側（過去側）の補助観測データや、次の観測点ｔk+1よりもプラス側（将来側）の補助観測データを用いても良い。
【００３９】
さて、［数１０］の第１段目の平滑化の式に基づいて、観測データＸ（ｔk）の平滑化を行うと、平滑化された観測データは、［数３］の式より、下記のように表される。
【数１３】
【００４０】
第１段目の平滑化を行うことにより、観測データに含まれるノイズは、下記のように低減される。
【数１４】
【００４１】
さて、［数１３］の式について、区間［ｔk，ｔk+1］での変化分をとると、下記のように表される。
【数１５】
【００４２】
ここで、シンボルΔikは、［ｔik，ｔik+1］における差分操作を表しており、例えば、下記式のとおりである。
【数１６】
【００４３】
したがって、［数１５］の式より、下記式が得られる。
【数１７】
【００４４】
また、価格プロセスｐ（ｔ）の定義より、下記式が得られる。
【数１８】
【００４５】
上記式は、オイラー・丸山スキームを適用することにより、下記のように表される。
【数１９】
【００４６】
さて、上記式におけるエラーｅの強度の評価のため、係数ａ（・），ｂ（・）の正則（regularity）について、下記の仮定をおく。
（仮定） 係数ｂ（・）は、Ｌ2（Ω）−ｓｅｎｓｅにおいてオーダα∈［０，１］のヘルダー連続であり、Ｅ｜ｂ（ｔ）−ｂ（ｓ）｜2 ≦ Ｌ2B｜ｔ−ｓ｜2αとなる定数ＬBが存在する。
【００４７】
上記条件の下では、［数１９］の式におけるエラー項ｅは、ｉ，ｋにおいて統一的に下記評価を満足する。
【数２０】
なお、上記評価式において、シンボル“α∧１／２”は、２つの値の最小値を表す。
【００４８】
上記のように、［数１０］ないし［数１２］の式で第１段目の平滑化を行うと、誤差（エラー）を小さくすることができる。
【００４９】
［１．３ 第２段目の平滑化］
第２段目の平滑化処理では、第１段目の平滑化処理で得られた
【数２１】
を、非特許文献１記載の推定スキームに適用して、ヴォラティリティ推定値を求める。
第１段目の平滑化処理によって、観測データＸ（ｔ）から高周波雑音Ｚ（ｔ）の影響が除去されているため、観測データＸ（ｔ）に高周波雑音Ｚ（ｔ）が含まれていても非特許文献１記載の推定スキーム（本実施形態における第２段目の平滑化）が適用可能となっている。
【００５０】
第２段目の平滑化処理の本質は、ある観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定するために、当該観測点ｔkにおける
【数２２】
を、当該観測点ｔk近傍の複数（２Ｌ個）の観測点ｔk+l-L（ｔk-L〜ｔk+L）おける
【数２３】
によって、平滑化することである（図２参照）。
【００５１】
第２段目の平滑化処理の好ましい演算式は、下記式の通りである。
【数２４】
【００５２】
上記式では、将来分のＬ個の平滑化観測データが必要となるため、ある程度のリアルタイム性を有しているものの、完全なリアルタイム性には欠ける。第２段目の平滑化処理の演算を完全にリアルタイムで行うには、過去の２Ｌ個（複数個）の平滑化観測データを用いて行えばよく、その演算式は、下記の通りである。
【数２５】
【００５３】
［２． ヴォラティリティ推定装置］
図３〜図６は、実施形態に係るヴォラティリティ推定装置１及びその処理手順を示している。このヴォラティリティ推定装置１は、時系列の株価データなどの価格プロセスにおける各観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）から、各観測点ｔkにおけるヴォラティリティｂ2（ｔk）の推定値を求めるものである。この推定は、先の数外的説明に従って実行される。
【００５４】
本装置１では、ヴォラティリティを推定すべき本来の観測点｛ｔk｝での観測データ｛Ｘ（ｔk）｝の他、観測点｛ｔk｝の時間間隔Δよりも微細な時間間隔で観測した補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を、観測データとして取り扱う。
【００５５】
本実施形態においては、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝は、各観測点ｔkについて２Ｍ個必要とされるため、観測区間［０，Ｔ］（例えば、オプション満期までの区間）における観測点ｔkの数をＮとした場合、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝の総数は、２Ｍ×Ｎ個となる。ただし、各観測点｛ｔk｝について使用する補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を観測点｛ｔk｝間で共通化した場合、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝の総数は、２Ｍ×Ｎ個よりも少なくても良い。
【００５６】
［２．１ 装置構成］
図３に示すように、本装置は、ヴォラティリティ推定の処理を行うコンピュータプログラム１を、ハードディスクなどの記憶装置に記憶したコンピュータ２によって構成されている。
コンピュータ２は、ＣＰＵ２１、ＲＡＭ・ＲＯＭなどの内部記憶装置２２、ハードディスクなどの外部記憶装置２３、外部からデータの入力を受け付ける入力装置２４、外部へデータを出力するための出力装置２５などを有している。
【００５７】
［２．２コンピュータプログラムの機能］
図４は、本装置の機能を示すブロック図である。これらの機能は、前記プログラム１がコンピュータ２において実行されることにより発揮される。
【００５８】
［２．２．１ 観測データの平滑化処理部（第１段目の平滑化処理）］
図４に示すように、本装置は、時系列の株価データなどの観測データＸ（ｔk）と補助観測データＸ（ｔik）とを受け取って観測データＸ（ｔk）の平滑化処理を行う平滑化処理部３１を備えている。
平滑化処理部３１は、前述の第１段目の平滑化処理を行うためのものであり、当該平滑化処理によって、観測データ（ｔk）に含まれている高周波雑音Ｚ（ｔk）を除去することができる。
【００５９】
ここで、観測データＸ（ｔk）は、離散的な観測点ｔkにおいて観測されたデータ（株価）である。各観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）は、値の切り捨て、切り上げ、又は丸めによって、真値ｐ（ｔ）とのずれを含んでいる。このような、切り捨て、切り上げ、又は丸めは、各観測点ｔkにおいて相互に無関係に独立して発生する。これが、高周波雑音Ｚ（ｔk）となる。
【００６０】
平滑化処理部３１は、ヴォラティリティ推定のために、ある観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）が与えられた場合、その観測点ｔk近傍の補助観測データＸ（ｔik）を用いて、その観測データＸ（ｔk）の平滑化を行う。
【００６１】
図５に示すように、平滑化処理部３１は、時間間隔Δで逐次発生する観測データＸ（ｔk）を取得して蓄積するための観測データＸ（ｔk）用のバッファ（記憶部）３１ａと、観測データＸ（ｔk）よりも微細時間間隔で逐次発生する補助観測データＸ（ｔik）を取得して蓄積するための補助観測データＸ（ｔik）用バッファ（記憶部）３１ｂと、を備えている。
また、平滑化処理部３１は、バッファ３１ａ，３１ｂに蓄積されたデータを用いて、観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）を平滑化する演算を行う演算部３１ｃを備えている。この演算部３１ｃは、［数１０］又は［数１２］の演算式に従って、演算を行う。
【００６２】
具体的には、図１に示すように、演算部３１ｃは、ある観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）が、バッファ３１ａから与えられた場合、バッファ３１ｂから、観測点ｔk近傍の２Ｍ個の補助観測データＸ（ｔik）を取得して演算を行う。
ここで、Ｍは、観測区間［０，Ｔ］（例えば、オプション満期までの区間）における観測点ｔkの数Ｎよりも、（十分に）多いのが好ましい。このようにすることで、ヴォラティリティ推定値の推定誤差を小さくすることができる。
【００６３】
より完全なリアルタイム性を重視する場合、観測点ｔkよりも過去の補助観測データＸ（ｔik）だけをバッファ３１ｂから取得する。
【００６４】
リアルタイム性が多少損なわれてもよい場合、過去の補助観測データＸ（ｔik）だけでなく、将来の補助観測データＸ（ｔik）を用いて平滑化してもよい。この場合、演算部３１ｃは、観測点ｔkよりも将来において発生する補助観測データＸ（ｔik）がバッファ３１ｂに蓄積されるまで待機し、必要な補助観測データＸ（ｔik）が蓄積されたら、それをバッファ３１ｂから取得し、平滑化を行う。
【００６５】
［２．２．２ 平滑化観測データに基づくヴォラティリティ推定（第２段目の平滑化処理）］
図４に示すように、本装置は、平滑化された観測データに基づいて、ヴォラティリティ推定（第２段目の平滑化処理）を行うヴォラティリティ推定部３２を備えている。
【００６６】
ヴォラティリティ推定部３２は、平滑化処理部３１から出力された平滑化観測データを蓄積する平滑化観測データ用バッファ（記憶部）３２ａを備えている。このバッファ３２ａは、過去の各観測点ｔkにおける平滑化観測データが蓄積される。
【００６７】
また、ヴォラティリティ推定部３２は、ヴォラティリティを推定すべき観測点ｔkにおける平滑化観測データと、その次の観測点ｔk+1における平滑化観測データと、の差分を求める差分演算部３２ｂを備えている。
【００６８】
差分演算部３２によって算出された差分値は、差分用バッファ（記憶部）３２ｃに蓄積される。このバッファ３２ｃには、各観測点について算出された差分値が蓄積される。
【００６９】
さらに、ヴォラティリティ推定部３２は、前記差分値を用いて、［数２４］又は［数２５］の演算式に従って、ヴォラティリティ推定値を算出する推定値演算部３２ｄを備えている。
具体的には、推定値演算部３２ｄは、ヴォラティリティを推定しようとする観測点ｔkの差分値の他、その近傍の２Ｌ個（複数個）の観測点における差分値をバッファ３２ｃから取得し、取得した差分値を用いて、［数２４］又は［数２５］の演算式に従った演算を行い、ヴォラティリティ推定値を出力する。
ここで、Ｌは、観測区間［０，Ｔ］における観測点ｔkの数Ｎよりも、（十分に）少ないのが好ましい。このようにすることで、ヴォラティリティ推定値の推定誤差を小さくすることができる。
【００７０】
より完全なリアルタイム性を求める場合、推定値演算部３２ｄは、［数２５］の演算式に従い、観測点ｔkよりも過去側（マイナス側）の観測点における差分値をバッファ３２ｃから取得して、演算を行えばよい。
一方、リアルタイム性が多少損なわれてもよい場合、過去の観測点における差分値だけでなく、将来の観測点における差分値を用いて平滑化してもよい。この場合、推定値演算部３２ｄは、観測点ｔkよりも将来の観測点における差分値がバッファ３２ｃに蓄積されるまで待機し、必要な差分値が蓄積されたら、それをバッファ３２ｃから取得し、ヴォラティリティの推定を行う。
【００７１】
推定値演算部３２ｄは、ヴォラティリティの推定値を演算するとそれを出力する。出力されたヴォラティリティ推定値は、精度が高く、各種オプションのような金融派生商品の適切な価格付けや、ポートフォリオの評価の作業、さらにはポートフォリオの最適化構築作業を適切に行うことができる。
【００７２】
なお、本発明は、上記実施形態に限定されるものではなく、様々な変形が可能である。
例えば、上記実施形態において、本来の観測点の時間間隔や補助観測点の時間間隔は、表記の都合上、等間隔としたが、等間隔である必要はなく、不規則な間隔であってもよい。
【００７３】
また、上記実施形態では、第１段目の平滑化のための演算において、２Ｍ＋１個のＸ（ｔik）の総和（２Ｍ個の補助観測点及び１個の本来の観測点の総和）を、その総数（２Ｍ＋１）で除することによって、２Ｍ＋１個のＸ（ｔik）の単純平均を求めているが、平滑化はこれに限られるものではなく、例えば、重み付き平均を求めることによる平滑化であってもよい。さらに、第２段目の平滑化においても、単純平均ではなく、重み付き平均を求めて、平滑化を行っても良い。
【００７４】
さらに、上記実施形態では、一つのランダムプロセス（一銘柄の株価の時系列データ）に関するヴォラティリティを求めているが、本発明は、複数（ｎ個）のランダムプロセスからなるｎ次元のプロセスに適用することも可能である。
【図面の簡単な説明】
【００７５】
【図１】本来の観測点ｔkと補助観測点ｔikとを示す図である。
【図２】第２の平滑化区間を示す図である。
【図３】コンピュータのハードウェア構成を示す図である。
【図４】ヴォラティリティ推定装置の機能ブロック図である。
【図５】平滑化処理部のブロック図である。
【図６】ヴォラティリティ推定部のブロック図である。
【図７】従来の推定スキームにおける観測区間と観測点を示す図である。
【図８】従来の推定スキームにおける平滑化区間を示す図である。
【符号の説明】
【００７６】
３１ 平滑化処理部
３１ａ 観測データ用バッファ
３１ｂ 補助観測データ用バッファ
３１ｃ 演算部
３２ ヴォラティリティ推定部
３２ａ 平滑化観測データ用バッファ
３２ｂ 差分演算部
３２ｃ 差分用バッファ
３３ｄ 推定値演算部
ｔk 本来の観測点
ｔik 補助観測点
Ｘ（ｔk） 本来の観測データ
Ｘ（ｔik） 補助観測データ
Δ 本来の観測点間の時間間隔
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ヴォラティリティの推定装置、及びそのコンピュータプログラム、並びにヴォラティリティ推定方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
ヴォラティリティ（volatility）は、株価のような確率過程（ランダムプロセス）の変動状況を示す指標であり、各種オプションのような金融派生商品の適切な価格付けや、ポートフォリオの評価の作業、さらにはポートフォリオの最適化構築作業に必須のパラメータである。
【０００３】
株価変動プロセスのような時系列の資産価格プロセスｐ（ｔ）は、ブラック−ショールズモデルにおいては、下記伊藤過程によって表される。
【数１】
ここで、Ｗ（ｔ）は、ブラウン運動であり、σがヴォラティリティである。
【０００４】
上記式において、ヴォラティリティσは、理論上は、定数として与えられる。しかし、実際には、ヴォラティリティは定数ではなく、時間の関数である。したがって、観測データであるｐ（ｔ）から、ヴォラティリティσを推定することが重要な問題となる。
【０００５】
従来のヴォラティリティの推定手法としては、ヴォラティリティの積分形（Integrated Volatility）を求めるものが一般的である。ヴォラティリティの積分形を求めれば、その積分形を微分することによって、スポット・ヴォラティリティ（spot volatility）を求めることができる。しかし、この方法で、スポット・ヴォラティリティを求めると、数値微分の演算が必要となるため、推定精度が低くなる。
【０００６】
一方、スポット・ヴォラティリティを直接推定する方法も数学的には提案されているが、従来の手法では、コンピュータで演算した場合に、処理時間が非常に長くなり実際に用いることができなかった。
また、従来の手法では、観測データが一周期（例えば、オプションの満期までの期間）分得られた後でなければ、ヴォラティリティを推定することができず、リアルタイム性に欠けていた。
【０００７】
これに対し、本発明者他は、非特許文献１において、ヴォラティリティ（スポット・ヴォラティリティ）の推定を各時点においてほぼリアルタイムで行うことができるスキームを提案している。提案するスキームでは、演算量が少ないためリアルタイム性に優れ、しかも、比較的高精度で推定を行うことができる。
【０００８】
ここで、スポット・ヴォラティリティを推定する問題は、図７に示すように、１周期の観測区間［０，Ｔ］内の複数の観測点ｔk（０≦ｋ≦Ｎ）における観測データＸ（ｔk）が与えられたときに、各観測点ｔkにおけるヴォラティリティを求めるものである。
【０００９】
そして、非特許文献１において提案するヴォラティリティの推定式（推定スキーム）は、下記式の通りである。なお、下記式では、ヴォラティリティを、σに代えて、ｂで表している（以下、同様）。
【数２】
【００１０】
上記式によれば、図８に示すように、ある観測点ｔkにおけるΔkＸ／Δｔを、ｔk-M〜ｔk+Mの範囲のΔk+λＸ／Δｔ（−Ｍ≦λ≦Ｍ）で平滑化することにより、ヴォラティリティの推定誤差を最小化することができる。なお、非特許文献１では、Ｍの値（平滑化のウィンドウサイズ）を大きくすることによって、推定誤差を小さくできることをシミュレーションによって確認した結果も示している。
【非特許文献１】S.Ogawa and K.Wakayama "On a real-time scheme for the estimation of volatility", Monte Carlo Methods and Appl., Vol.13, No.2(2007),pp.99-116
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
非特許文献１のヴォラティリティ推定スキームは、数学的（理論的）には成立しているが、このスキームを、実際の観測データに適用するには、更なる考慮が必要であることに、本発明者は思い至った。
【００１２】
すなわち、従来の推定スキームにおいては、観測データＸ（ｔk）は、伊藤過程によって示される確率過程ｐ（ｔ）そのものであると仮定している。
一方、実際の株価価格プロセスのような観測データＸ（ｔk）は、下記式のように高周波雑音（微細構造雑音；microstructure noise）Ｚ（ｔk）によって乱されている。
【数３】
【００１３】
上記式のように、株価価格プロセスｐ（ｔk）等の観測データＸ（ｔk）は、常に、ノイズＺ（ｔk）とともに観測される。
このノイズＺ（ｔk）は、非常に高い周波数のランダムプロセスである。つまり、任意のｋについて、Ｚ（ｔk）は、独立（互いに無関係）である。
【００１４】
このようなノイズＺ（ｔk）を含む観測データＸ（ｔk）を、従来の推定スキームに適用すると、平滑化に用いる観測点数が増加すると、その分、ノイズＺ（ｔk）が加算され、従来の推定スキームによって求められるヴォラティリティ推定値の誤差が増大することになる。
このため、従来の推定スキームを実際の観測データに適用することは困難である。
【００１５】
そこで、本発明は、実際の株価プロセスのように、高周波雑音が存在するような状況においても、高周波雑音を除去してヴォラティリティ推定を行えるようにすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１６】
本発明は、ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する装置であって、各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得して記憶する補助観測データ記憶手段（３１ａ）と、前記補助観測データ記憶手段（３１ａ）から前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得し、取得した補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出する第１の演算手段（３１ｃ）と、第１の演算手段（３１ｃ）によって得られた各観測点（ｔk）の平滑化観測データを記憶する平滑化データ記憶手段（３２ａ）と、前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定するための演算を行う第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）と、を備えていることを特徴とするヴォラティリティ推定装置である。
【００１７】
上記本発明によれば、観測点間の時間間隔よりも微細な時間間隔の補助観測点で観測された補助観測データがあるため、観測点近傍の補助観測データを用いて、当該観測点の観測データを平滑化することが可能である。したがって、観測データに高周波雑音が含まれていても、高周波雑音を低減することができる。
【００１８】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、ヴォラティリティを推定しようとする対象観測点（ｔk）の次の観測点（ｔk+1）における平滑化観測データと、前記対象観測点（ｔk）における平滑化観測データと、の差分を、各観測点間の前記時間間隔（Δ）で除した演算値を、前記対象観測点（ｔk）近傍の他の観測点について求めた前記演算値によって平滑化することで、ヴォラティリティの推定値を算出するものであるのが好ましい。
【００１９】
前記第１の演算手段（３１ｃ）は、前記観測点（ｔk）よりも過去の補助観測データ（Ｘ（ｔik））だけを用いて平滑化するものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定を、よりリアルタイムに行うことができる。
【００２０】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、前記対象観測点（ｔk）よりも過去の観測点について求めた前記演算値だけを用いて平滑化をするものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定を、よりリアルタイムに行うことができる。
【００２１】
前記第１の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））と前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の補助観測点（ｔik）の総数（２Ｍ＋１）で除する演算を含むものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定精度をより高めることができる。
【００２２】
前記第２の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）について求めた前記演算値と前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）について求めた前記演算値との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）の総数（２Ｌ＋１）で除する演算を含むものであるのが好ましい。この場合、ヴォラティリティ推定精度をより高めることができる。
【００２３】
他の観点からみた本発明は、コンピュータを、前記ヴォラティリティ推定装置として機能させるためのコンピュータプログラムである。
【００２４】
さらに他の観点からみた本発明は、ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を、コンピュータが実行する方法であって、各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を記憶するステップと、前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出して記憶するステップと、前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を行って、その推定値を出力するステップと、を含むことを特徴とするヴォラティリティ推定方法である。
【発明の効果】
【００２５】
本発明によれば、観測データに高周波雑音が含まれていても、高周波雑音を低減することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２６】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。
以下では、非特許文献１の推定スキームを、ノイズＺ（ｔ）が含まれる実際の観測データＸ（ｔ）に適用できるようにするため、観測データＸ（ｔ）に含まれるノイズＺ（ｔ）の影響を抑えつつ、観測データＸ（ｔ）からヴォラティリティ推定値を求めるための新たな推定スキーム（推定式）について説明する。
ここで提案する新たな推定スキームは、多段階平滑化処理によってヴォラティリティ推定値を求める。この多段階平滑化処理は、第１段目の平滑化処理と第２段目の平滑化処理とを含む。以下では、観測データに含まれるノイズについて説明した後、第１段目平滑化処理及び第２段目平滑化処理について数学的に説明する。さらに、その後、実施形態に係るヴォラティリティ推定装置について説明する。
【００２７】
［１．本発明の数学的な説明］
［１．１ 微細構造雑音（Micorstructure Noise）］
ここでは、株価の変動プロセスなどの価格プロセス（確率過程）ｐ（ｔ）の観測データＸ（ｔ）に含まれるノイズ（微細構造雑音）Ｚを、次の通り仮定する。
【数４】
【００２８】
なお、ヴォラティリティ推定に関する多くの文献において、ノイズＺ（ｔ）は、価格プロセスｐ（ｔ）と独立であると仮定している。しかし、本発明においては、そのような仮定は必要なく、Ｚ（ｔ）とｐ（ｔ）とは独立であってもよいし、独立でなくてもよい。
【００２９】
［１．２ 第１段目の平滑化］
ここで、観測データＸ（ｔ）におけるノイズの影響を抑えるため、ヴォラティリティを推定するための本来の観測点｛ｔk｝の時間間隔Δよりも、微細な時間間隔の補助観測点として、｛ｔik，０≦ｋ≦Ｎ，０≦ｉ≦２Ｍ｝を導入する（図１参照）。
第１段目の平滑化では、本来の観測点｛ｔk｝近傍の補助観測点｛ｔik｝における２Ｍ個（複数の）補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を用いて、本来の観測点｛ｔk｝における観測データＸ（ｔk）の平滑化を行い、ノイズの影響を抑えた観測データを得る。
【００３０】
ここで、本来の観測点｛ｔk｝は、下記式によって表される。
【数５】
【００３１】
時間間隔Δよりも微細時間間隔の補助観測点｛ｔik｝は、下記式によって表される。なお、なお、ここでの微細時間間隔は、Δ／２Ｍである。また、下記式において、補助観測点｛ｔik｝は、本来の観測点｛ｔk｝を含むものとなっているが、本来の観測点｛ｔk｝を含まなくても良い。
【数６】
【００３２】
また、ここでは、（補助）観測データＸ（ｔik）に関し、以下の表記を採用する。
【数７】
【００３３】
さらに、価格プロセスｐ（ｔ）に関し、以下の表記を採用する。
【数８】
【００３４】
さらにまた、ノイズＺ（ｔ）に関し、以下の表記を採用する。
【数９】
【００３５】
そして、第１段目の平滑化処理（Ｘ（ｔk）の平滑化）は、下記のように表される。
【数１０】
【００３６】
ｐ、Ｚについても、上記式と同様に、
【数１１】
が定義される。
【００３７】
なお、第１段目の平滑化の上記式では、補助観測点｛ｔik｝は、本来の観測点ｔkについて、対称的となっているが、本来の観測点ｔkのマイナス側（過去側）や、プラス側（将来側）だけにあってもよい。
将来側の補助観測データによる平滑化と、過去側の補助観測データによる平滑化は、下記のように表される。
【数１２】
以下では、補助観測点｛ｔik｝が、本来の観測点ｔkについて、対称的となっている場合の平滑化について説明するが、これは、表記上の便宜によるものであり、本発明を限定するものではない。
【００３８】
また、第１段目の平滑化の本質は、ある観測点ｔk近傍の補助観測データＸ（ｔik）で、当該観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）を平滑化することであり、上記［数１０］や［数１２］の演算式に限定されるものではない。
例えば、図１では、観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）を平滑化するための補助観測データＸ（ｔik）として、観測点ｔk-1と観測点ｔk+1との間にある補助観測データを用いたが、一つ前の観測点ｔk-1よりもマイナス側（過去側）の補助観測データや、次の観測点ｔk+1よりもプラス側（将来側）の補助観測データを用いても良い。
【００３９】
さて、［数１０］の第１段目の平滑化の式に基づいて、観測データＸ（ｔk）の平滑化を行うと、平滑化された観測データは、［数３］の式より、下記のように表される。
【数１３】
【００４０】
第１段目の平滑化を行うことにより、観測データに含まれるノイズは、下記のように低減される。
【数１４】
【００４１】
さて、［数１３］の式について、区間［ｔk，ｔk+1］での変化分をとると、下記のように表される。
【数１５】
【００４２】
ここで、シンボルΔikは、［ｔik，ｔik+1］における差分操作を表しており、例えば、下記式のとおりである。
【数１６】
【００４３】
したがって、［数１５］の式より、下記式が得られる。
【数１７】
【００４４】
また、価格プロセスｐ（ｔ）の定義より、下記式が得られる。
【数１８】
【００４５】
上記式は、オイラー・丸山スキームを適用することにより、下記のように表される。
【数１９】
【００４６】
さて、上記式におけるエラーｅの強度の評価のため、係数ａ（・），ｂ（・）の正則（regularity）について、下記の仮定をおく。
（仮定） 係数ｂ（・）は、Ｌ2（Ω）−ｓｅｎｓｅにおいてオーダα∈［０，１］のヘルダー連続であり、Ｅ｜ｂ（ｔ）−ｂ（ｓ）｜2 ≦ Ｌ2B｜ｔ−ｓ｜2αとなる定数ＬBが存在する。
【００４７】
上記条件の下では、［数１９］の式におけるエラー項ｅは、ｉ，ｋにおいて統一的に下記評価を満足する。
【数２０】
なお、上記評価式において、シンボル“α∧１／２”は、２つの値の最小値を表す。
【００４８】
上記のように、［数１０］ないし［数１２］の式で第１段目の平滑化を行うと、誤差（エラー）を小さくすることができる。
【００４９】
［１．３ 第２段目の平滑化］
第２段目の平滑化処理では、第１段目の平滑化処理で得られた
【数２１】
を、非特許文献１記載の推定スキームに適用して、ヴォラティリティ推定値を求める。
第１段目の平滑化処理によって、観測データＸ（ｔ）から高周波雑音Ｚ（ｔ）の影響が除去されているため、観測データＸ（ｔ）に高周波雑音Ｚ（ｔ）が含まれていても非特許文献１記載の推定スキーム（本実施形態における第２段目の平滑化）が適用可能となっている。
【００５０】
第２段目の平滑化処理の本質は、ある観測点ｔkにおけるヴォラティリティを推定するために、当該観測点ｔkにおける
【数２２】
を、当該観測点ｔk近傍の複数（２Ｌ個）の観測点ｔk+l-L（ｔk-L〜ｔk+L）おける
【数２３】
によって、平滑化することである（図２参照）。
【００５１】
第２段目の平滑化処理の好ましい演算式は、下記式の通りである。
【数２４】
【００５２】
上記式では、将来分のＬ個の平滑化観測データが必要となるため、ある程度のリアルタイム性を有しているものの、完全なリアルタイム性には欠ける。第２段目の平滑化処理の演算を完全にリアルタイムで行うには、過去の２Ｌ個（複数個）の平滑化観測データを用いて行えばよく、その演算式は、下記の通りである。
【数２５】
【００５３】
［２． ヴォラティリティ推定装置］
図３〜図６は、実施形態に係るヴォラティリティ推定装置１及びその処理手順を示している。このヴォラティリティ推定装置１は、時系列の株価データなどの価格プロセスにおける各観測点ｔkの観測データＸ（ｔk）から、各観測点ｔkにおけるヴォラティリティｂ2（ｔk）の推定値を求めるものである。この推定は、先の数外的説明に従って実行される。
【００５４】
本装置１では、ヴォラティリティを推定すべき本来の観測点｛ｔk｝での観測データ｛Ｘ（ｔk）｝の他、観測点｛ｔk｝の時間間隔Δよりも微細な時間間隔で観測した補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を、観測データとして取り扱う。
【００５５】
本実施形態においては、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝は、各観測点ｔkについて２Ｍ個必要とされるため、観測区間［０，Ｔ］（例えば、オプション満期までの区間）における観測点ｔkの数をＮとした場合、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝の総数は、２Ｍ×Ｎ個となる。ただし、各観測点｛ｔk｝について使用する補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝を観測点｛ｔk｝間で共通化した場合、補助観測データ｛Ｘ（ｔik）｝の総数は、２Ｍ×Ｎ個よりも少なくても良い。
【００５６】
［２．１ 装置構成］
図３に示すように、本装置は、ヴォラティリティ推定の処理を行うコンピュータプログラム１を、ハードディスクなどの記憶装置に記憶したコンピュータ２によって構成されている。
コンピュータ２は、ＣＰＵ２１、ＲＡＭ・ＲＯＭなどの内部記憶装置２２、ハードディスクなどの外部記憶装置２３、外部からデータの入力を受け付ける入力装置２４、外部へデータを出力するための出力装置２５などを有している。
【００５７】
［２．２コンピュータプログラムの機能］
図４は、本装置の機能を示すブロック図である。これらの機能は、前記プログラム１がコンピュータ２において実行されることにより発揮される。
【００５８】
［２．２．１ 観測データの平滑化処理部（第１段目の平滑化処理）］
図４に示すように、本装置は、時系列の株価データなどの観測データＸ（ｔk）と補助観測データＸ（ｔik）とを受け取って観測データＸ（ｔk）の平滑化処理を行う平滑化処理部３１を備えている。
平滑化処理部３１は、前述の第１段目の平滑化処理を行うためのものであり、当該平滑化処理によって、観測データ（ｔk）に含まれている高周波雑音Ｚ（ｔk）を除去することができる。
【００５９】
ここで、観測データＸ（ｔk）は、離散的な観測点ｔkにおいて観測されたデータ（株価）である。各観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）は、値の切り捨て、切り上げ、又は丸めによって、真値ｐ（ｔ）とのずれを含んでいる。このような、切り捨て、切り上げ、又は丸めは、各観測点ｔkにおいて相互に無関係に独立して発生する。これが、高周波雑音Ｚ（ｔk）となる。
【００６０】
平滑化処理部３１は、ヴォラティリティ推定のために、ある観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）が与えられた場合、その観測点ｔk近傍の補助観測データＸ（ｔik）を用いて、その観測データＸ（ｔk）の平滑化を行う。
【００６１】
図５に示すように、平滑化処理部３１は、時間間隔Δで逐次発生する観測データＸ（ｔk）を取得して蓄積するための観測データＸ（ｔk）用のバッファ（記憶部）３１ａと、観測データＸ（ｔk）よりも微細時間間隔で逐次発生する補助観測データＸ（ｔik）を取得して蓄積するための補助観測データＸ（ｔik）用バッファ（記憶部）３１ｂと、を備えている。
また、平滑化処理部３１は、バッファ３１ａ，３１ｂに蓄積されたデータを用いて、観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）を平滑化する演算を行う演算部３１ｃを備えている。この演算部３１ｃは、［数１０］又は［数１２］の演算式に従って、演算を行う。
【００６２】
具体的には、図１に示すように、演算部３１ｃは、ある観測点ｔkにおける観測データＸ（ｔk）が、バッファ３１ａから与えられた場合、バッファ３１ｂから、観測点ｔk近傍の２Ｍ個の補助観測データＸ（ｔik）を取得して演算を行う。
ここで、Ｍは、観測区間［０，Ｔ］（例えば、オプション満期までの区間）における観測点ｔkの数Ｎよりも、（十分に）多いのが好ましい。このようにすることで、ヴォラティリティ推定値の推定誤差を小さくすることができる。
【００６３】
より完全なリアルタイム性を重視する場合、観測点ｔkよりも過去の補助観測データＸ（ｔik）だけをバッファ３１ｂから取得する。
【００６４】
リアルタイム性が多少損なわれてもよい場合、過去の補助観測データＸ（ｔik）だけでなく、将来の補助観測データＸ（ｔik）を用いて平滑化してもよい。この場合、演算部３１ｃは、観測点ｔkよりも将来において発生する補助観測データＸ（ｔik）がバッファ３１ｂに蓄積されるまで待機し、必要な補助観測データＸ（ｔik）が蓄積されたら、それをバッファ３１ｂから取得し、平滑化を行う。
【００６５】
［２．２．２ 平滑化観測データに基づくヴォラティリティ推定（第２段目の平滑化処理）］
図４に示すように、本装置は、平滑化された観測データに基づいて、ヴォラティリティ推定（第２段目の平滑化処理）を行うヴォラティリティ推定部３２を備えている。
【００６６】
ヴォラティリティ推定部３２は、平滑化処理部３１から出力された平滑化観測データを蓄積する平滑化観測データ用バッファ（記憶部）３２ａを備えている。このバッファ３２ａは、過去の各観測点ｔkにおける平滑化観測データが蓄積される。
【００６７】
また、ヴォラティリティ推定部３２は、ヴォラティリティを推定すべき観測点ｔkにおける平滑化観測データと、その次の観測点ｔk+1における平滑化観測データと、の差分を求める差分演算部３２ｂを備えている。
【００６８】
差分演算部３２によって算出された差分値は、差分用バッファ（記憶部）３２ｃに蓄積される。このバッファ３２ｃには、各観測点について算出された差分値が蓄積される。
【００６９】
さらに、ヴォラティリティ推定部３２は、前記差分値を用いて、［数２４］又は［数２５］の演算式に従って、ヴォラティリティ推定値を算出する推定値演算部３２ｄを備えている。
具体的には、推定値演算部３２ｄは、ヴォラティリティを推定しようとする観測点ｔkの差分値の他、その近傍の２Ｌ個（複数個）の観測点における差分値をバッファ３２ｃから取得し、取得した差分値を用いて、［数２４］又は［数２５］の演算式に従った演算を行い、ヴォラティリティ推定値を出力する。
ここで、Ｌは、観測区間［０，Ｔ］における観測点ｔkの数Ｎよりも、（十分に）少ないのが好ましい。このようにすることで、ヴォラティリティ推定値の推定誤差を小さくすることができる。
【００７０】
より完全なリアルタイム性を求める場合、推定値演算部３２ｄは、［数２５］の演算式に従い、観測点ｔkよりも過去側（マイナス側）の観測点における差分値をバッファ３２ｃから取得して、演算を行えばよい。
一方、リアルタイム性が多少損なわれてもよい場合、過去の観測点における差分値だけでなく、将来の観測点における差分値を用いて平滑化してもよい。この場合、推定値演算部３２ｄは、観測点ｔkよりも将来の観測点における差分値がバッファ３２ｃに蓄積されるまで待機し、必要な差分値が蓄積されたら、それをバッファ３２ｃから取得し、ヴォラティリティの推定を行う。
【００７１】
推定値演算部３２ｄは、ヴォラティリティの推定値を演算するとそれを出力する。出力されたヴォラティリティ推定値は、精度が高く、各種オプションのような金融派生商品の適切な価格付けや、ポートフォリオの評価の作業、さらにはポートフォリオの最適化構築作業を適切に行うことができる。
【００７２】
なお、本発明は、上記実施形態に限定されるものではなく、様々な変形が可能である。
例えば、上記実施形態において、本来の観測点の時間間隔や補助観測点の時間間隔は、表記の都合上、等間隔としたが、等間隔である必要はなく、不規則な間隔であってもよい。
【００７３】
また、上記実施形態では、第１段目の平滑化のための演算において、２Ｍ＋１個のＸ（ｔik）の総和（２Ｍ個の補助観測点及び１個の本来の観測点の総和）を、その総数（２Ｍ＋１）で除することによって、２Ｍ＋１個のＸ（ｔik）の単純平均を求めているが、平滑化はこれに限られるものではなく、例えば、重み付き平均を求めることによる平滑化であってもよい。さらに、第２段目の平滑化においても、単純平均ではなく、重み付き平均を求めて、平滑化を行っても良い。
【００７４】
さらに、上記実施形態では、一つのランダムプロセス（一銘柄の株価の時系列データ）に関するヴォラティリティを求めているが、本発明は、複数（ｎ個）のランダムプロセスからなるｎ次元のプロセスに適用することも可能である。
【図面の簡単な説明】
【００７５】
【図１】本来の観測点ｔkと補助観測点ｔikとを示す図である。
【図２】第２の平滑化区間を示す図である。
【図３】コンピュータのハードウェア構成を示す図である。
【図４】ヴォラティリティ推定装置の機能ブロック図である。
【図５】平滑化処理部のブロック図である。
【図６】ヴォラティリティ推定部のブロック図である。
【図７】従来の推定スキームにおける観測区間と観測点を示す図である。
【図８】従来の推定スキームにおける平滑化区間を示す図である。
【符号の説明】
【００７６】
３１ 平滑化処理部
３１ａ 観測データ用バッファ
３１ｂ 補助観測データ用バッファ
３１ｃ 演算部
３２ ヴォラティリティ推定部
３２ａ 平滑化観測データ用バッファ
３２ｂ 差分演算部
３２ｃ 差分用バッファ
３３ｄ 推定値演算部
ｔk 本来の観測点
ｔik 補助観測点
Ｘ（ｔk） 本来の観測データ
Ｘ（ｔik） 補助観測データ
Δ 本来の観測点間の時間間隔
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する装置であって、
各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得して記憶する補助観測データ記憶手段（３１ａ）と、
前記補助観測データ記憶手段（３１ａ）から前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得し、取得した補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出する第１の演算手段（３１ｃ）と、
第１の演算手段（３１ｃ）によって得られた各観測点（ｔk）の平滑化観測データを記憶する平滑化データ記憶手段（３２ａ）と、
前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定するための演算を行う第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）と、
を備えていることを特徴とするヴォラティリティ推定装置。
【請求項２】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、
ヴォラティリティを推定しようとする対象観測点（ｔk）の次の観測点（ｔk+1）における平滑化観測データと、前記対象観測点（ｔk）における平滑化観測データと、の差分を、各観測点間の前記時間間隔（Δ）で除した演算値を、前記対象観測点（ｔk）近傍の他の観測点について求めた前記演算値によって平滑化することで、ヴォラティリティの推定値を算出するものである
請求項１記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項３】
前記第１の演算手段（３１ｃ）は、前記観測点（ｔk）よりも過去の補助観測データ（Ｘ（ｔik））だけを用いて平滑化するものである請求項１又は２記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項４】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、前記対象観測点（ｔk）よりも過去の観測点について求めた前記演算値だけを用いて平滑化をするものである請求項２記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項５】
前記第１の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））と前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の補助観測点（ｔik）の総数（２Ｍ＋１）で除する演算を含むものである請求項１〜４のいずれか１項に記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項６】
前記第２の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）について求めた前記演算値と前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）について求めた前記演算値との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）の総数（２Ｌ＋１）で除する演算を含むものである請求項２又は４記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項７】
コンピュータを、請求項１〜６のいずれかに記載のヴォラティリティ推定装置として機能させるためのコンピュータプログラム。
【請求項８】
ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を、コンピュータが実行する方法であって、
各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を記憶するステップと、
前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出して記憶するステップと、
前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を行って、その推定値を出力するステップと、
を含むことを特徴とするヴォラティリティ推定方法。
【請求項１】
ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する装置であって、
各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得して記憶する補助観測データ記憶手段（３１ａ）と、
前記補助観測データ記憶手段（３１ａ）から前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））を取得し、取得した補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出する第１の演算手段（３１ｃ）と、
第１の演算手段（３１ｃ）によって得られた各観測点（ｔk）の平滑化観測データを記憶する平滑化データ記憶手段（３２ａ）と、
前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定するための演算を行う第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）と、
を備えていることを特徴とするヴォラティリティ推定装置。
【請求項２】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、
ヴォラティリティを推定しようとする対象観測点（ｔk）の次の観測点（ｔk+1）における平滑化観測データと、前記対象観測点（ｔk）における平滑化観測データと、の差分を、各観測点間の前記時間間隔（Δ）で除した演算値を、前記対象観測点（ｔk）近傍の他の観測点について求めた前記演算値によって平滑化することで、ヴォラティリティの推定値を算出するものである
請求項１記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項３】
前記第１の演算手段（３１ｃ）は、前記観測点（ｔk）よりも過去の補助観測データ（Ｘ（ｔik））だけを用いて平滑化するものである請求項１又は２記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項４】
前記第２の演算手段（３２ｂ，３２ｃ，３２ｄ）は、前記対象観測点（ｔk）よりも過去の観測点について求めた前記演算値だけを用いて平滑化をするものである請求項２記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項５】
前記第１の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））と前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の補助観測点（ｔik）の総数（２Ｍ＋１）で除する演算を含むものである請求項１〜４のいずれか１項に記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項６】
前記第２の演算手段による平滑化は、前記観測点（ｔk）について求めた前記演算値と前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）について求めた前記演算値との総和を求め、当該総和を、前記観測点（ｔk）及び前記観測点（ｔk）近傍の観測点（ｔk+l-L）の総数（２Ｌ＋１）で除する演算を含むものである請求項２又は４記載のヴォラティリティ推定装置。
【請求項７】
コンピュータを、請求項１〜６のいずれかに記載のヴォラティリティ推定装置として機能させるためのコンピュータプログラム。
【請求項８】
ランダムプロセスにおける離散的な観測点（ｔk）での観測データ（Ｘ（ｔk））に基づいて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を、コンピュータが実行する方法であって、
各観測点間の時間間隔（Δ）よりも微細な時間間隔の補助観測点（ｔik）で観測された補助観測データ（Ｘ（ｔik））を記憶するステップと、
前記観測点（ｔk）近傍の補助観測データ（Ｘ（ｔik））によって前記観測点（ｔk）における観測データ（Ｘ（ｔk））を平滑化した平滑化観測データを算出して記憶するステップと、
前記平滑化データ記憶手段（３２ａ）に記憶されている平滑化観測データを用いて、前記観測点（ｔk）におけるヴォラティリティを推定する演算を行って、その推定値を出力するステップと、
を含むことを特徴とするヴォラティリティ推定方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【公開番号】特開２０１０−３１９６（Ｐ２０１０−３１９６Ａ）
【公開日】平成２２年１月７日（２０１０．１．７）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００８−１６２８１０（Ｐ２００８−１６２８１０）
【出願日】平成２０年６月２３日（２００８．６．２３）
【出願人】（５９３００６６３０）学校法人立命館 (359)
【公開日】平成２２年１月７日（２０１０．１．７）
【国際特許分類】
【出願日】平成２０年６月２３日（２００８．６．２３）
【出願人】（５９３００６６３０）学校法人立命館 (359)
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