逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置
【課題】原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置を提供する。
【解決手段】テーブル作成部４は、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したＨテーブルを作成する。逆変換部５は、Ｈテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求める。
【解決手段】テーブル作成部４は、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したＨテーブルを作成する。逆変換部５は、Ｈテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求める。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置に関し、特に再生核と正則化法用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
逆ラプラス変換は、電気電子工学、油田の調査、画像処理をはじめとする様々な分野で広く応用されている。従来、コンピュータを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出するためには、複素積分の数値計算による方法や、ラプラス変換表を用いた方法が用いられていた。しかしながら、このような従来の方法では、丸め誤差または離散化誤差などの計算誤差が生じ、数値的に不安定（ill-conditioned)であるという問題がある。
【０００３】
このような数値的不安定性を解消する手法として、再生核と正則化法に基づいて逆ラプラス変換の数値解を求める方法が提案されている（たとえば、非特許文献１を参照）。この方法では、逆ラプラス変換の数値解が、再生核ヒルベルト空間での最良近似函数として求めることができる。
【非特許文献１】松浦他、"Numerical Real Inversion formulas of the Laplace Transform by Using a Fredholm Integral Equation of the Second Kind"、日本数学会、２００７年度年会、応用数学分科会、講演アブストラクト、p.69-72
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、上記の再生核と正則化法を用いる手法では、原像が原点で零、かつ原像の導函数が増大しない絶対連続函数からなる再生核空間を考えており、原像がこれら２つの条件を満たす場合に対してのみ適用可能である。
【０００５】
それゆえに、本発明の目的は、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、再生核と正則化法を用いて、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換プログラムは、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するために、コンピュータに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、作成したテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
【０００７】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ｂ１）で表わされ、
【０００８】
【数１】
【０００９】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ２）で表わされ、
【００１０】
【数２】
【００１１】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ３）の条件が成立し、
【００１２】
【数３】
【００１３】
第二種積分方程式は、式（Ｂ４）で表わされ、
【００１４】
【数４】
【００１５】
内積は、式（Ｂ５）で表わされる。
【００１６】
【数５】
【００１７】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ６）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ７）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ８）で表わされる。
【００１８】
【数６】
【００１９】
好ましくは、コンピュータは、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、テーブルを作成するステップおよび原像の数値解を算出するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００２０】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００２１】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００２２】
好ましくは、テーブルを作成するステップは、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ９）〜（Ｂ１４）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【００２３】
【数７】
【００２４】
連立方程式は、式（Ｂ１５）で表わされ、式（Ｂ１６）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ１５）の解を算出するステップと、
【００２５】
【数８】
【００２６】
式（Ｂ１７）に従って、式（Ｂ１５）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含み、
【００２７】
【数９】
【００２８】
原像の数値解を算出するステップは、テーブルを参照して、式（Ｂ１８）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj)から、原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップを含む。
【００２９】
【数１０】
【００３０】
本発明のある局面に係るテーブル作成プログラムは、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するためのテーブルを作成するために、コンピュータに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、作成したテーブルを記憶部に保存するステップとを実行させる。
【００３１】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは式（Ｂ１９）で表わされ、
【００３２】
【数１１】
【００３３】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ２０）で表わされ、
【００３４】
【数１２】
【００３５】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ２１）の条件が成立し、
【００３６】
【数１３】
【００３７】
第二種積分方程式は、式（Ｂ２２）で表わされる。
【００３８】
【数１４】
【００３９】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ２３）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ２４）で表わされる。
【００４０】
【数１５】
【００４１】
好ましくは、コンピュータは、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、テーブルを作成するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００４２】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００４３】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００４４】
好ましくは、テーブルを作成するステップは、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ２５）〜（Ｂ３０）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【００４５】
【数１６】
【００４６】
連立方程式は、式（Ｂ３１）で表わされ、式（Ｂ３２）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ３１）の解を算出するステップと、
【００４７】
【数１７】
【００４８】
式（Ｂ３３）に従って、式（Ｂ３１）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含む。
【００４９】
【数１８】
【００５０】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
【００５１】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、内積は、式（Ｂ３４）で表わされ、
【００５２】
【数１９】
【００５３】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ３５）で表わされ、
【００５４】
【数２０】
【００５５】
内積は、式（Ｂ３６）で表わされ、
【００５６】
【数２１】
【００５７】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備えたコンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ３７）で表わされ、
【００５８】
【数２２】
【００５９】
内積は、式（Ｂ３８）で表わされ、
【００６０】
【数２３】
【００６１】
原像の数値解を出力するステップとを実行させ、原像の数値解を算出するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００６２】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、式（Ｂ３９）に従って、第二種積分方程式の数値解とラプラス変換像Ｆ（ｐj）から原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップと、
【００６３】
【数２４】
【００６４】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換装置は、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出する逆ラプラス変換装置であって、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するテーブル作成部と、作成したテーブルを記憶する記憶部と、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出する逆変換部と、原像の数値解を出力する出力部とを備える。
【００６５】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは式（Ｂ４０）で表わされ、
【００６６】
【数２５】
【００６７】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ４１）で表わされ、
【００６８】
【数２６】
【００６９】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ４２）の条件が成立し、
【００７０】
【数２７】
【００７１】
第二種積分方程式は、式（Ｂ４３）で表わされ、
【００７２】
【数２８】
【００７３】
内積は、式（Ｂ４４）で表わされる。
【００７４】
【数２９】
【００７５】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ４５）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ４６）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ４７）で表わされる。
【００７６】
【数３０】
【００７７】
テーブル作成部および逆変換部とは、共通して、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、演算器は、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算を行なう。
【００７８】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブル作成部は、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶し、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出する。
【００７９】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブル作成部は、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶し、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出する。
【００８０】
好ましくは、テーブル作成部は、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ４８）〜（Ｂ５３）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算し、
【００８１】
【数３１】
【００８２】
連立方程式は、式（Ｂ５４）で表わされ、テーブル作成部は、式（Ｂ５５）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ５４）の解を算出し、
【００８３】
【数３２】
【００８４】
テーブル作成部は、さらに式（Ｂ５６）に従って、式（Ｂ５４）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成し、
【００８５】
【数３３】
【００８６】
逆変換部は、テーブルを参照して、式（Ｂ５７）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj）から原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する。
【００８７】
【数３４】
【発明の効果】
【００８８】
本発明によれば、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、再生核と正則化法を用いて、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００８９】
以下、本発明に係る実施の形態について図面を参照して説明する。
［第１の実施形態］
まず、第１の実施形態における逆ラプラス変換の基本的なアルゴリズムについて説明する。
【００９０】
（再生核空間理論を用いた逆ラプラス変換）
ある自然な函数空間の函数ｆ（ｔ）のラプラス変換は、式（１）で表わされる。式（１）の逆変換を考えると、通常はＢｒｏｍｗｉｃｈ積分による複素解析的な逆変換公式を考えるが、正の実軸上の値のみを用いた逆変換を求めたい場合がある。このような正の実軸上の値のみを用いた逆変換は実逆ラプラス変換と呼ばれる。また、ｆ（ｔ）は原像、Ｆ（Ｐ）をラプラス変換像と呼ばれる。
【００９１】
【数３５】
【００９２】
式（２）で表わされる正の実軸Ｒ+上の有限ノルムを持ち、ｆ（０）＝０を満たす絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkを考える。この重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、原像の導函数ｆ（ｔ）′が増大する場合も包含している。
【００９３】
【数３６】
【００９４】
この重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、式（３）で表わされる再生核Ｋ（ｔ，ｔ′）を有する。
【００９５】
【数３７】
【００９６】
このとき、重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈk上の重み付き二乗可積分空間Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）への線形写像（Ｌｆ）（ｐ）ｐは有界であって、式（４）が成立する。
【００９７】
【数３８】
【００９８】
式（４）から、一般論に従って、以下が成立する。
チホノフ正則化とは、任意のｇ∈Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）と任意の正則化パラメータａ＞０に対して、式（５）の右辺を最小化することである。重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈk上で、重み付き二乗可積分空間Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）を観測空間としたチホノフ正則化によって、式（６）で表わされる最良近似函数ｆa（ｔ）が導かれる。
【００９９】
【数３９】
【０１００】
ここで、Ｋa（・，ｔ）は、式（７）〜（９）で表わされる。
【０１０１】
【数４０】
【０１０２】
上述の重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、ｆ（０）＝０を満たすことを条件としている。ｆ（０）≠０なる函数ｆ（ｔ）についても、上述の重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkの特性が利用できるように、軟化子函数Ｒs（ｐ）を用いて、式（６）の最良近似函数ｆa（ｔ）を修正する。修正最良近似函数ｆa,s（ｔ）は、式（１０）で表わされる。ここで、ｓは、軟化子パラメータである。
【０１０３】
【数４１】
【０１０４】
さて、式（９）のｔについてラプラス変換をとり、ｔ′を改めてｔとおくと、式（１１）が得られる。
【０１０５】
【数４２】
【０１０６】
式（１２）および（１３）を用いると、式（１１）から式（１４）が成立する。式（１４）は、書き下すと、式（１５）のように表わされる。また、式（１０）から、式（１６）が成立する。
【０１０７】
【数４３】
【０１０８】
式（１４）は、未知の函数が積分の中に現れており、第二種積分方程式と呼ばれる。修正最良近似函数ｆa,ε（ｔ）は、第二種積分方程式の解と、軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積である式（１６）で表わされる。本発明の実施形態の逆ラプラス変換では、修正最良近似函数ｆa,ε（ｔ）を原像ｆ（ｔ）の近似解として求める。
【０１０９】
（具体的な函数の形）
さて、函数ρ（ｔ）、ｕ（ｐ）、Ｒs（ｐ）の具体例として、式（１７）〜（１９）をで表わされるものを用いることができる。
【０１１０】
【数４４】
【０１１１】
さて、函数ρ（ｔ）が、式（１７）で表わされる場合には、式（３）は、式（２０）のように表わされる。
【０１１２】
【数４５】
【０１１３】
さらに、式（２０）から、以下の式（２１）が成立する。
【０１１４】
【数４６】
【０１１５】
さらに、式（１４）は、式（２２）および（２３）のように表わされ、式（１６）は、式（２４）のように表わされる。
【０１１６】
【数４７】
【０１１７】
（離散化）
式（２２）〜（２４）をコンピュータで計算するために離散化を行なう。離散化の方法として、ここでは、計算を簡略化するためニストレーム法を用いる。
【０１１８】
積分区間の上限Ｕ、下限Ｌ、積分のサンプル数ｎ、正則化パラメータａを用いて、式（２５）〜（２８）に従って、以下の変数ｈ、ｘj、ｐj、ｗjを定義する。
【０１１９】
【数４８】
【０１２０】
式（２５）〜式（２８）を用いて、式（２２）を離散化すると式（２９）が得られ、式（２４）を離散化すると式（３０）が得られる。
【０１２１】
【数４９】
【０１２２】
したがって、式（２９）の連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、それらを式（３０）に代入することによって、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）が得られる。
【０１２３】
（式（２９）の連立方程式の解法）
式（２９）の連立方程式の解を求める方法として、ここでは、以下の方法を用いる。
【０１２４】
まず、式（３１）、（３２）に示すように以下の変数ｑj、ａijを用いる。このとき、式（３３）、（３４）が成り立つ。
【０１２５】
【数５０】
【０１２６】
これらの変数を用いると、式（２９）は、式（３５）のように変形される。式（３５）を行列の形に書き直すと、式（３６）のようになり、係数行列Ａを式（３７）で定義することができる。
【０１２７】
【数５１】
【０１２８】
係数行列ＡをＬＵ分解し、前進代入および後退代入することによって、式（３６）の解、つまり式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を得ることができる。また、変数ｑjを用いると、式（３０）は、式（３８）のように変形することができる。
【０１２９】
【数５２】
【０１３０】
（構成）
図１は、本発明の実施形態の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【０１３１】
図１を参照して、この逆ラプラス変換装置１は、コンピュータを用いて実現されるものであって、入力部２と、メインメモリ６と、ＣＰＵ３（Central Processing Unit）と、出力部１３とを備える。メインメモリ６は、プログラム記憶部７と、変数記憶部８と、Ｈテーブル記憶部１２と、三角行列記憶部９とを含む。ＣＰＵ３は、テーブル作成部４および逆変換部５として機能する。
【０１３２】
入力部２は、サンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａ、軟化子パラメータｓ、ラプラス変換像Ｆ（ｐi)などを入力するものであり、たとえばキーボードなどで実現されている。
【０１３３】
出力部１３は、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を外部、たとえば表示装置１４に出力する。表示装置１４では、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）が文字またはグラフの形で表示される。
【０１３４】
プログラム記憶部７は、コンピュータを逆ラプラス変換装置１として機能させるための逆ラプラス変換プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア９９を通じて、外部からインストールすることができる。
【０１３５】
テーブル作成部４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（２２）および式（２３）で表わされる第二種積分方程式を離散化して得られる式（３５）の連立方程式の解を数値計算で求め、数値計算に基づいて得られる第二種積分方程式の数値解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記述する。テーブル作成部４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（３７）で示される係数行列Ａを上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの積に分解して、上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの要素を三角行列記憶部９に記憶させ、計算範囲内のすべてのｔについて、三角行列記憶部９に記憶されている上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの要素の値に基づいて、式（３５）の解を算出する。
【０１３６】
Ｈテーブル記憶部１２は、テーブル作成部４で作成された図２で示されるようなＨテーブルを記憶する。
【０１３７】
逆変換部５は、Ｈテーブルを参照して、式（２４）を離散化した式（３８）を数値計算することにより、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する。
【０１３８】
変数記憶部８は、テーブル作成部４によるテーブル作成処理および逆変換部５による逆ラプラス変換による原像の数値解を算出するのに必要な数値計算の変数の値を記憶する。
【０１３９】
三角行列記憶部９は、テーブル作成部４において、式（３５）の連立方程式の解を計算する際に作成された下三角行列Ｌおよび上三角行列Ｕを記憶する。
【０１４０】
（Ｈテーブルの作成手順）
図３は、第１の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１４１】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ１０１）。
【０１４２】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０２）。
【０１４３】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０３）。
【０１４４】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０４）。
【０１４５】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０５）。
【０１４６】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０６）。
【０１４７】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ＋ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるｑj×ａijを計算する（ステップＳ１０７）。
【０１４８】
次に、テーブル作成部４は、係数行列ＡをＬＵ分解して、上三角行列Ｕおよび下三角行列Ｌの各要素の値を三角行列記憶部９に保存する（ステップＳ１０８）。
【０１４９】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ１０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１１０）。
【０１５０】
次に、テーブル作成部４は、三角行列記憶部９に記憶されている上三角行列Ｕおよび下三角行列Ｌの要素の値をもとに、前進代入および後退代入によって、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８内に記憶する（ステップＳ１１１）。
【０１５１】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ１１２）。
【０１５２】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ１１３でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ１１３でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ１１４）、ステップＳ１１０からの処理を繰返す。
【０１５３】
（Ｈテーブルを用いた逆ラプラス変換の数値解の算出手順）
図４は、第１の実施形態におけるＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する手順を表わすフローチャートである。
【０１５４】
まず、外部から、入力部２に軟化子パラメータｓが入力される（ステップＳ２００）。
次に、逆変換部５は、ｔ＝ｔ0に設定する（ステップＳ２０１）。
【０１５５】
次に、逆変換部５は、ｊ＝０、ＳＵＭ＝０に設定する（ステップＳ２０２）。
次に、逆変換部５は、ＨテーブルからＨjn,a,tを読出し、変数記憶部８からｐj、ｑj、ｈを読み出す（ステップＳ２０３）。
【０１５６】
次に、外部から、入力部２にラプラス変換像Ｆ（ｐj）が入力される（ステップＳ２０４）。
【０１５７】
次に、逆変換部５は、ＳＵＭ＝ＳＵＭ＋（π／２）×ｈ×Ｆ（ｐj)×（１／ｓ2ｐj2）｛ｅｘｐ（−ｓｐj）−１｝2×ｐj×Ｈjn,a,t ×ｑj×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算し、計算結果を変数記憶部８に保存する（ステップＳ２０５）。
【０１５８】
次に、逆変換部５は、ｊがｎと異なるならば（ステップＳ２０６でＮＯ）、ｊを１だけ増加させて（ステップＳ２０７）、ステップＳ２０３からの処理を繰返す。
【０１５９】
逆変換部５は、ｊがｎと等しければ（ステップＳ２０６でＹＥＳ）、逆ラプラス変換値ｆa,s(n)（ｔ）＝ＳＵＭとする（ステップＳ２０８）。
【０１６０】
次に、逆変換部５は、ｔがｔmと等しければ（ステップＳ２０９でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ２０９でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ２１０）、ステップＳ２０２からの処理を繰返す。
【０１６１】
以上のように、第１の実施形態の逆ラプラス変換装置によれば、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる。また、式（３６）の連立方程式の係数行列Ａがｔに依存しない性質を利用して、係数行列Ａを一度だけＬＵ分解し、分解して得られた下三角行列Ｌと上三角行列Ｕの各要素の値を記憶しておき、すべてのｔについて、この記憶してある下三角行列Ｌと上三角行列Ｕの要素の値を用いて、連立方程式の解を算出するので、ｔが変わるごとに係数行列ＡをＬＵ分解するのに比べて計算量を削減することができる。
【０１６２】
また、連立方程式の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝は、式（２９）を参照すると、ラプラス変換像Ｆ（ｐi）に依存しない。したがって、一度だけ式（３６）の解を計算しておき保存しておけば、どのようなＦ（ｐi）の逆ラプラス変換を求める場合にも利用することができるという特徴がある。
【０１６３】
［第１の実施形態の変形例］
本発明の実施形態では、第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列ＡをＬＵ分解することによって連立方程式を解いたが、これに限定するものではなく、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、連立方程式を解いてもよい。
【０１６４】
図５は、第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
図５を参照して、この逆ラプラス変換装置８１は、第１の実施形態のラプラス変換装置１と相違する点は、テーブル作成部８４と、逆行列記憶部８９である。
【０１６５】
テーブル作成部８４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（２２）および式（２３）で表わされる第二種積分方程式を離散化して得られる式（３５）の連立方程式の解を数値計算で求め、数値計算に基づいて得られる第二種積分方程式の数値解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに書込む。テーブル作成部８４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（３７）で示される係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、逆行列Ａ-1の要素の値を逆行列記憶部８９に記憶させ、計算範囲内のすべてのｔについて、逆行列記憶部８９に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、式（３５）の解を算出する。
【０１６６】
逆行列記憶部８９は、テーブル作成部４において、式（３５）の連立方程式の解を計算する際に作成された逆行列Ａ-1の各要素の値を記憶する。
【０１６７】
（Ｈテーブルの作成手順）
図６は、第１の実施形態の変形例おけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１６８】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ５０１）。
【０１６９】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０２）。
【０１７０】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０３）。
【０１７１】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０４）。
【０１７２】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０５）。
【０１７３】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０６）。
【０１７４】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ＋ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるｑj×ａijを計算する（ステップＳ５０７）。
【０１７５】
次に、テーブル作成部４は、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、逆行列Ａ-1の各要素の値を逆行列記憶部８９に保存する（ステップＳ５０８）。
【０１７６】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ５０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５１０）。
【０１７７】
次に、テーブル作成部４は、逆行列記憶部８９に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値をもとに、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８内に記憶する（ステップＳ５１１）。
【０１７８】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ５１２）。
【０１７９】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ５１３でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ５１３でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ５１４）、ステップＳ５１０からの処理を繰返す。
【０１８０】
以上のように、第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置によれば、式（３６）の連立方程式の係数行列Ａがｔに依存しない性質を利用して、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を一度だけ計算して、逆行列Ａ-1の要素の値を記憶しておき、すべてのｔについて、この記憶してある逆行列Ａ-1の要素の値を用いて、連立方程式の解を算出するので、ｔが変わるごとに係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算するのに比べて計算量を削減することができる。
【０１８１】
［第２の実施形態］
第２の実施形態は、式（２９）を変形することによって、係数行列Ａの代わりに対称行列Ａ′を用いて、第二種積分方程式を離散化して連立方程式の解を算出する逆ラプラス変換装置に関する。
【０１８２】
（式（２３）の連立方程式の解法）
第１の実施形態と同様に、式（３１）〜（３４）で表わされる変数ｑj、aijを用いる。
【０１８３】
第２の実施形態では、式（２９）を式（３９）のように変形する。
【０１８４】
【数５３】
【０１８５】
式（４０）のように、Ｈi′n,a,tを定義すると、式（３９）は、式（４１）のように変形される。式（４１）を行列の形に書き直すと、式（４２）のようになり、行列Ａ′を式（４３）のように定義することができる。
【０１８６】
【数５４】
【０１８７】
行列Ａ′は、対称行列であり、行列Ａ′をコレスキー分解することによって、式（４２）の解を得ることができる。式（４２）の解｛Ｈi′n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝から、式（４４）を用いて、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝が得られる。
【０１８８】
【数５５】
【０１８９】
（Ｈテーブルの作成手順）
図７は、第２の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１９０】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ３０１）。
【０１９１】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０２）。
【０１９２】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０３）。
【０１９３】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０４）。
【０１９４】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０５）。
【０１９５】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０６）。
【０１９６】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ／ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分をａijとする（ステップＳ３０７）。
【０１９７】
次に、テーブル作成部４は、係数行列Ａをコレスキー分解して、下三角行列Ｌ、および上三角行列ＬT（Ｔは、転置を表わす）の各要素を三角行列記憶部９に保存する（ステップＳ３０８）。
【０１９８】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ３０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３１０）。
【０１９９】
次に、テーブル作成部４は、三角行列記憶部９に記憶されている下三角行列Ｌおよび上三角行列ＬTをもとに、前進代入および後退代入によって、式（４１）の解｛Ｈi′n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８に記憶する（ステップＳ３１１）。
【０２００】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎについて、Ｈi n,a,t＝Ｈi′n,a,t／ｑiを計算して、変数記憶部８に記憶する（ステップＳ３１２）。
【０２０１】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解である｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ３１３）。
【０２０２】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ３１４でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ３１４でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ３１５）、ステップＳ３１０からの処理を繰返す。
【０２０３】
以上のように、第２の実施形態の逆ラプラス変換装置によれば、第１の実施形態と同様の効果に加えて、さらに第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列Ａを対称行列Ａ′に変換し、コレスキー分解を利用して連立方程式の解を算出することができるので、第１の実施形態よりもさらに計算量を削減できる。
【０２０４】
［第３の実施形態］
第３の実施形態は、第１の実施形態または第２の実施形態における、連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝および逆ラプラス変換の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を求める演算を多倍長で行なう装置に関する。以下では、第２の実施形態の演算を多倍長で行なう場合について説明するが、第１の実施形態の演算でも同様である。
【０２０５】
（構成）
図８は、第３の実施形態のＣＰＵ３の具体的な構成を表わす図である。
【０２０６】
図８を参照して、ＣＰＵ３は、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とを備える。図１では、ＣＰＵ３は、テーブル作成部４および逆変換部５として機能するとして説明した。図１と図８の関係を説明すると、テーブル作成部４および逆変換部５の機能を具体的に実現するのが、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７である。つまり、テーブル作成部４および逆変換部５とは、共通に、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とを備える。言い換えると、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とは、プログラム記憶部７に格納された逆ラプラス変換プログラムにしたがって、第１または第２の実施形態で説明したＨテーブルの作成と、逆ラプラス変換の数値解の算出を行なう。
【０２０７】
演算器５４は、加算、減算、乗算、除算、ビットの論理演算、およびビットシフト演算などを行なう。
【０２０８】
汎用レジスタ群５６は、１６個の汎用レジスタＲＡＸ、ＲＢＸ、ＲＣＸ、ＲＤＸ、ＲＳＩ、ＲＤＩ、ＲＢＰ、ＲＳＰ、Ｒ８、Ｒ９、Ｒ１０、Ｒ１１、Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ１４、Ｒ１５を含む。図８において、かっこ内は、アセンブラ言語において指定されるレジスタの名前を表わす。各レジスタは、６４ビット長である。
【０２０９】
図９は、フラグレジスタ５７の具体的な構成を表わす図である。
図９を参照して、フラグレジスタ５７の最下位ビットに、直前の演算において、汎用レジスタ群５６の各汎用レジスタの最上位ビット（６４ビット目）において、次の上位ビットへの繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを表わすキャリーフラグＣＦの値が保持される。キャリーフラグＣＦの値が「１」の場合には、繰上りまたは繰下がりが生じたことを示し、キャリーフラグＣＦの値が「０」の場合には、繰上りまたは繰下がりが生じなかったことを示す。
【０２１０】
演算器５４による加算には、繰上がり付き加算と繰上りなし加算とがある。Ｘ＋Ｙを繰上り加算する場合には、演算器５４は、ＸとＹとキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果に繰上りが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、加算結果に繰上りが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。一方、Ｘ＋Ｙを繰上りなし加算する場合には、演算器５４は、ＸとＹとを加算し、加算結果に繰上りが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、加算結果に繰上りが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。
【０２１１】
演算器５４による減算にも、繰下がり付き減算と繰下がりなし減算とがある。Ｘ−Ｙを繰下がり減算する場合には、演算器５４は、ＸからＹおよびキャリーフラグＣＦの値を減算し、減算結果に繰下がりが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、減算結果に繰下がりが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。一方、Ｘ−Ｙを繰下がりなし減算する場合には、演算器５４は、ＸからＹを減算し、減算結果に繰下がりが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、減算結果に繰下がりが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。
【０２１２】
図８の逆ラプラス変換装置で演算の対象となる数値、たとえば、ｎ、Ｕ、Ｌ、ａ、ｈ、ｓ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、係数行列Ａの要素、係数行列Ａをコレスキー分解したＬおよびＬT、Ｈ（ｐi，ｔ）、Ｈi′n,a,t、Ｈin,a,t、Ｆ（ｐj)、Ｓ、ｆa,s(n)（ｔ）などの数値は、浮動小数点形式で表わされる。
【０２１３】
図１０（ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、図８の逆ラプラス変換装置において演算の対象となる数値の表現を説明するための図である。
【０２１４】
図１０（ａ）に示されるように、数値は、浮動小数点形式で表現される。符号部が「０」の場合は正の数を表わし、符号部が「１」の場合は負の数を表わす。仮数部のみが多倍長６４ｎビット（ｎは２以上の自然数）で表わされる。指数部および符号部は、６４ビットで表わされる。
【０２１５】
図１０（ｂ）、（ｃ）に示されるように、仮数部の整数部の値は、通常は「１」であるが、加算および減算時には、小数点の位置を合わせるために仮数部のビットがシフトされる。仮数部の小数点の位置がＫビットだけ左にシフトすると、指数部の値がＫだけ減少する。逆に、仮数部の小数点の位置がＫビットだけ右にシフトすると、指数部の値がＫだけ増加する。
【０２１６】
図１０（ｂ）、（ｃ）に示されるように、汎用レジスタ群５６の６４ビットの各汎用レジスタを用いて演算を行なうために、メインメモリ６に要素数ｎの配列ａが確保される。仮数部は、６４ビットごとに区切られて、区切られた各６４ビットが配列ａの各要素に格納される。たとえば、最上位から６４個のビットが配列の要素ａ［０］に格納され、次の６４個のビットが配列の要素ａ［１］に格納される。下位側のビットを格納する配列から、順次演算が行なわれる。
【０２１７】
（本発明の実施形態の加算処理）
本発明の実施形態における仮数部の加算処理について説明する。
【０２１８】
図１１は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４の加算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２１９】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂとを加算して、加算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２２０】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定する。
【０２２１】
２行目では、制御部５３は、最上位ビットでの繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒａｘの値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰上りなし）に初期化する。
【０２２２】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ８にロードする。
【０２２３】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ１０にロードする。
【０２２４】
８行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ８内のデータとレジスタ％ｒ１０内のデータと、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒ１０に保存するとともに、加算により繰上りがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰上りがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２２５】
９行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒ１０内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２２６】
１０行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１１行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２２７】
１３行目では、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝「０」）と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒａｘに保存する。したがって、レジスタ％ｒａｘには、最上位ビットでの繰上りの有無を表わす情報が保持される。
【０２２８】
（参考：キャリーフラグを利用しない加算処理）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおける仮数部の加算処理について説明する。
【０２２９】
図１２は、Ａｌｐｈａの加算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２３０】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂとを加算して、加算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２３１】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０２３２】
２行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２３３】
３行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２３４】
４行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２３５】
６行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄０の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定する。
【０２３６】
９行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０２３７】
１０行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ＄２にロードする。
【０２３８】
１２行目では、演算器５４は、加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータとレジスタ＄２内のデータとを加算し、加算結果をレジスタ＄５に保存する。
【０２３９】
１３行目では、演算器５４は、１２行目の加算により繰上りがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄５内のデータ（＝加算結果ｃ）がレジスタ＄２内のデータ（＝ｂ）よりも小さい場合には、繰上りがあったことがわかるので、レジスタ＄２３に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上りがないことがわかるので、レジスタ＄２３に「０」を格納する。
【０２４０】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄５内のデータ（＝加算結果）と、レジスタ＄０内に格納されている１回前のループでの繰上りの有無を表わすデータとを加算して、加算結果をレジスタ＄６に格納する。
【０２４１】
１６行目では、演算器５４は、１５行目の加算により繰上りがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄６内のデータがレジスタ＄０内のデータよりも小さい場合には、繰上りがあったことがわかるので、レジスタ＄０に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上りがないことがわかるので、レジスタ＄０に「０」を格納する。
【０２４２】
１８行目では、制御部５３は、レジスタ＄６内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２４３】
１９行目では、演算器５４は、レジスタ＄０内のデータと、レジスタ＄２３内のデータとの論理和をレジスタ＄０に格納することにより、１３行目の繰上り判定の結果と１６行目の繰上り判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄０内のデータとレジスタ＄２３内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０２４４】
２１行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２４５】
２２行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２４６】
２３行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２４７】
２５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
２６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２４８】
（加算処理の比較）
図１１と図１２を比較すると、図１１の８行目の繰上り付き加算命令ａｄｃｑと同等の機能を実現するために、図１２では、１２行目の加算命令ａｄｄｑと、１３行目の比較命令ｃｍｐｌｔ、１５行目の加算命令ａｄｄｑと、１６行目の比較命令ｃｍｐｌｔと、１９行目の論理和命令ｏｒの５つの命令が必要となる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、仮数部の加算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０２４９】
（減算処理）
本発明の実施形態における仮数部の減算処理について説明する。
【０２５０】
図１３は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４の減算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２５１】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａから、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂを減算して、減算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２５２】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定する。
【０２５３】
２行目では、制御部５３は、最上位ビットでの繰下がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒａｘの値を「０」（つまり、繰下がりなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰下がりなし）に初期化する。
【０２５４】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ８にロードする。
【０２５５】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ１０にロードする。
【０２５６】
８行目では、演算器５４は、繰下がり付き減算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ８内のデータから、レジスタ％ｒ１０内のデータおよびフラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを減算し、減算結果をレジスタ％ｒ１０に保存するとともに、減算により繰下がりがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰下がりがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２５７】
９行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒ１０内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２５８】
１０行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１１行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２５９】
１３行目では、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝「０」）と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒａｘに保存する。したがって、レジスタ％ｒａｘには、最上位ビットでの繰り下がりの有無を表わす情報が保持される。
【０２６０】
（参考：キャリーフラグを利用しない減算処理）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおける仮数部の減算処理について説明する。
【０２６１】
図１４は、Ａｌｐｈａの減算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２６２】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａから、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂと減算して、減算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２６３】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０２６４】
２行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２６５】
３行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２６６】
４行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２６７】
６行目では、制御部５３は、繰下がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄０の値を「０」（つまり、繰下がりなし）に設定する。
【０２６８】
９行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０２６９】
１０行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ＄２にロードする。
【０２７０】
１２行目では、演算器５４は、減算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータからレジスタ＄２内のデータを減算し、減算結果をレジスタ＄５に保存する。
【０２７１】
１３行目では、演算器５４は、１２行目の減算により繰下がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄１内のデータ（＝ａ）がレジスタ＄２内のデータ（＝ｂ）よりも小さい場合には、繰下がりがあったことがわかるので、レジスタ＄６に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰下がりがないことがわかるので、レジスタ＄６に「０」を格納する。
【０２７２】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄５内のデータ（＝減算結果）から、レジスタ＄０内に格納されている１回前のループでの繰下がりの有無を表わすデータを減算して、減算結果をレジスタ＄７に格納する。
【０２７３】
１６行目では、演算器５４は、１５行目の減算により繰下がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄５内のデータがレジスタ＄０内のデータよりも小さい場合には、繰下がりがあったことがわかるので、レジスタ＄０に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰下がりがないことがわかるので、レジスタ＄０に「０」を格納する。
【０２７４】
１８行目では、制御部５３は、レジスタ＄７内の減算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２７５】
１９行目では、演算器５４は、レジスタ＄０内のデータと、レジスタ＄６内のデータとの論理和をレジスタ＄０に格納することにより、１３行目の繰下がり判定の結果と１６行目の繰下がり判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄０内のデータとレジスタ＄６内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０２７６】
２１行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２７７】
２２行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２７８】
２３行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２７９】
２５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
２６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２８０】
（減算処理の比較）
図１３と図１４を比較すると、図１３の８行目の繰下がり付き減算命令ｓｂｂｑと同等の機能を実現するために、図１４では、１２行目の減算命令ｓｕｂｑと、１３行目の比較命令ｃｍｐｌｔ、１５行目の減算命令ｓｕｂｑと、１６行目の比較命令ｃｍｐｌｔと、１９行目の論理和命令ｏｒの５つの命令が必要となる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、加算部の減算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０２８１】
（乗算処理）
まず、本発明の実施形態で用いる乗算の基本的な処理内容を説明する。図１５に示すように、要素数４の配列Ａと、要素数４の配列Ｂとの乗算を考える。配列Ａ［０］のデータがａ0、配列Ａ［１］のデータがａ1、配列Ａ［２］のデータがａ2、配列Ａ［３］のデータがａ3とする。配列Ｂ［０］のデータがｂ0、配列Ｂ［１］のデータがｂ1、配列Ｂ［２］のデータがｂ2、配列Ｂ［３］のデータがｂ3とする。ａ0、ａ1、ａ2、ａ3、ｂ0、ｂ1、ｂ2、ｂ3のデータ長は、それぞれ６４ビットである。図１５に示すように、配列Ａと、ｂ0、ｂ1、ｂ2、ｂ3それぞれとの乗算結果は、６４×５ビットとなる。配列Ａと配列Ｂとを乗算すると、乗算結果は６４×８ビットとなる。
【０２８２】
浮動小数点表現の仮数部の積を求めることを考えた場合、このような６４×８ビットがすべて必要になるわけではない。下位のビットは、実際上無視しても、計算精度に大きな影響はない。
【０２８３】
本発明の実施形態では、要素数ｎの配列Ａ（つまり６４×ｎビット）と、要素数ｎの配列Ｂ（つまり６４×ｎビット）との乗算では、上位半分の６４×ｎビットのみを求めて、要素数ｎの配列Ｃに格納する。
【０２８４】
図１５で示される配列Ａと配列Ｂの乗算の場合には、上位から６４×４ビットだけを求める。この場合、Ａ×ｂ3の計算では、ａ0×ｂ3の計算は必要だが、ａ1×ｂ3、ａ2×ｂ3、ａ3×ｂ3の計算は省略することができる。一方、Ａ×ｂ0の計算では、ａ0×ｂ0、ａ1×ｂ0、ａ2×ｂ0、ａ3×ｂ0のすべての計算が必要となる。
【０２８５】
図１６は、本発明の実施形態における乗算処理の内容を表わす図である。
図１６を参照して、この乗算処理は、要素数ｎの配列Ａ（各要素は６４ビット）と、要素数ｎの配列Ｂ（各要素は６４ビット）とを乗算して、乗算結果のうち上位半分の６４×ｎビットを、要素数ｎの配列Ｃに格納する。
【０２８６】
８行目のｍｕｌ＿ａｄｄは、配列Ａの先頭から（ｎ−ｉ）個の要素（Ａ［０］、・・・、Ａ［ｎ−ｉ−１］）と、配列Ｂ［ｉ］とを乗算して、乗算結果を配列Ｃ′［ｉ］から後ろに加えるルーチンである。たとえば、図１７に示すように、ｎが４で、ｉが３の場合には、Ｂ［３］（＝ｂ3）とＡ［０］（＝ａ0）の乗算だけが行なわれて、乗算結果が配列Ｃ′［３］から後ろに加えられる。
【０２８７】
（本発明の実施形態のｍｕｌ＿ａｄｄ）
図１８は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４のｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語から、ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２８８】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の変数ｂとを乗算して、乗算結果をメインメモリ６内の要素数ｎ＋１の配列ｃに加算する命令である。
【０２８９】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに乗数ｂの値を設定し、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定する。
【０２９０】
１行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒ９の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰上りなし）に初期化する。
【０２９１】
２行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒｄｘ内の乗数ｂの値をレジスタ％ｒ８に格納する。
【０２９２】
５行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒａｘにロードする。
【０２９３】
６行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝ａ［ｉ−１］）と、レジスタ％ｒ８内のデータ（＝ｂ）とを乗算する。乗算結果の上位ビットはレジスタ％ｒｄｘに格納され、乗算結果の下位ビットはレジスタ％ｒａｘに格納される。
【０２９４】
９行目では、演算器５４は、繰上りなし加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ９に格納されている前回のループによる繰上りの有無を表わすデータと、レジスタ％ｒｄｘに格納されている乗算結果の上位ビットとを加算して、加算結果をレジスタ％ｒｄｘに格納する。この加算では、繰上りが生じないので、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９５】
１０行目では、演算器５４は、繰上りなし加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒａｘに格納されている乗算結果の下位ビットと、メインメモリ６内の配列ｃ［ｉ］とを加算して、加算結果をメインメモリ６内の配列ｃ［ｉ］に格納する。この加算によって、繰上りが生じた場合は、キャリーフラグＣＦは「１」となり、繰上りが生じなかった場合は、キャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９６】
１１行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒ９の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定する。
【０２９７】
１２行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値と、レジスタ％ｒｄｘに格納されている乗算結果の上位ビットと、メインメモリ６内の配列ｃ［ｉ−１］とを加算して、加算結果をメインメモリ６内の配列ｃ［ｉ−１］に格納するとともに、加算により繰上りがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰上りがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２９８】
１３行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒ９内の繰上りの有無を表わす情報と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算して、加算結果をレジスタ％ｒ９に格納する。この加算では、繰上りが生じないので、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９９】
１５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０３００】
（参考：キャリーフラグを利用しないｍｕｌ＿ａｄｄ）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおけるｍｕｌ＿ａｄｄについて説明する。
【０３０１】
図１９は、Ａｌｐｈａのｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語から、ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０３０２】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の変数ｂとを乗算して、乗算結果をメインメモリ６内の要素数ｎ＋１の配列ｃに加算するルーチンである。
【０３０３】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に乗数ｂの値を設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０３０４】
１行目では、制御部５３は、繰上がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄２３の値を「０」（つまり、繰上がりなし）に設定する。
【０３０５】
２行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０３０６】
３行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０３０７】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０３０８】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｃ［ｉ］をレジスタ＄２１にロードする。
【０３０９】
８行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］をレジスタ＄２０にロードする。
【０３１０】
１０行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のａ［ｉ−１］とレジスタ＄１８内のｂとを乗算して、乗算結果の下位６４ビットの値をレジスタ＄２に格納する。
【０３１１】
１１行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のａ［ｉ−１］とレジスタ＄１８内のｂとを乗算して、乗算結果の上位６４ビットの値をレジスタ＄１に格納する。
【０３１２】
１３行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内の乗算結果の上位６４ビットと、レジスタ＄２３に格納されている１回前のループでの繰上りの有無を表わすデータとを加算して、加算結果をレジスタ＄１に格納する。
【０３１３】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄２内の乗算結果の下位６４ビットと、レジスタ＄２１内のｃ［ｉ］とを加算して、レジスタ＄２１に格納する。
【０３１４】
１６行目では、制御部５３は、１５行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２１内のデータ（＝ｃ［ｉ］）がレジスタ＄２内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄２に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄２に「０」を格納する。
【０３１５】
１８行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内の乗算結果の上位６４ビット（１３行目で繰上り処理されたもの）と、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］とを加算して、レジスタ＄２０に格納する。
【０３１６】
１９行目では、制御部５３は、１８行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２０内のデータ（＝ｃ［ｉ−１］）がレジスタ＄１内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄１に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄１に「０」を格納する。
【０３１７】
２１行目では、演算器５４は、レジスタ＄２内の１５行目の加算の繰上りの有無を表わすデータと、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］（上位６４ビットが加算後のもの）とを加算して、レジスタ＄２０に格納する。
【０３１８】
２２行目では、制御部５３は、２１行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２０内のデータ（＝ｃ［ｉ−１］）がレジスタ＄２内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄２に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄２に「０」を格納する。
【０３１９】
２４行目では、制御部５３は、レジスタ＄２１内のｃ［ｉ］をメインメモリ６内の領域に保存する。
【０３２０】
２５行目では、制御部５３は、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］をメインメモリ６内の領域に保存する。
【０３２１】
２６行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータと、レジスタ＄２内のデータとの論理和をレジスタ＄２３に格納することにより、１９行目の繰上がり判定の結果と２２行目の繰上がり判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄１内のデータとレジスタ＄２内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０３２２】
２８行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０３２３】
２９行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０３２４】
３１行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
３２行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０３２５】
（ｍｕｌ＿ａｄｄおよび乗算処理の比較）
図１８と図１９とを比較すると、図１８では、ループ内部の命令数が７であるのに対して、図１９では、ループ内部の命令数が１８である。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、配列と配列の１要素との乗算であるｍｕｌ＿ａｄｄの命令数を削減することができることがわかる。その結果、キャリーフラグＣＦを利用することにより、仮数部を表わす配列と配列の乗算の命令数も削減できる。
【０３２６】
（除算処理）
本発明の実施形態では、古典的なニュートン法により除算を行なう。ｘ＝ａ／ｂを求めるために、まず、１／ｂを求め、その結果にａを乗ずる。１／ｂを求めるために、ｆ（ｘ）＝（１／ｘ）−ｂについてニュートン法を適用する。このとき、ニュートン法の漸化式は、たとえば、以下の式（４５）、（４６）で与えられる。
【０３２７】
ｘ0＝１ ・・・（４５）
ｘn+1＝ｘn−ｆ（xn）/ｆ′(ｘn）＝ｘn×（２−ｂ×ｘn） ・・・（４６）
図２０は、ニュートン法を用いた除算処理の内容を説明するための図である。図２１は、図２０中のサブルーチンｃｍｐの内容を表わす図である。
【０３２８】
図２０において、２１行目は、ｑ＝ｂ×ｘnの乗算を実行するルーチンである。
２２行目は、ｑ＝（２−ｑ）の減算を実行するルーチンである。
【０３２９】
２３行目は、ｑ＝ｘn×ｑの乗算を実行するルーチンである。
２５行目および２６行目において、ｘn+1（＝ｑ）がｘnと等しければ、２０行目〜３０行目のループを抜ける。
【０３３０】
３２行目は、ｘn、すなわち（１／ｂ）にａを乗ずるルーチンである。
（除算処理の比較）
図２０の２１行目、２３行目、３２行目の乗算ルーチンmulを実行するＣＰＵ３がＡＭＤ６４の場合では、図１６および図１８に示されるものであるのに対して、ＣＰＵ３がＡｌｐｈａの場合では、図１６および図１９に示されるものである。両者を比較すると、ＣＰＵ３がＡＭＤ６４の方が、命令数が少ないことがわかる。
【０３３１】
また、図２０の２２行目の減算ルーチンsubを実行するＣＰＵ３がＡＭＤ６４の場合では、図１３に示されるものであるのに対して、ＣＰＵ３がＡｌｐｈａの場合では、図１４に示されるものである。両者を比較すると、ＣＰＵ３がＡＭＤ６４の方が、命令数が少ないことがわかる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、仮数部の除算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０３３２】
（計算の精度についての実験結果）
本発明の実施の形態では、仮数部が６４×ｎビットで表わされるが、ｎを大きくすることで、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度に影響する正則化パラメータａの値を小さくすることができる。以下では、正則化パラメータａの大きさによって、ｆa,s(n)（ｔ）がどのように変化するかの実験結果を説明する。ｆ（ｔ）がステップ函数の場合に、ラプラス変換像Ｆ（ｐi）が解析的に求まるが、これを用いて、実験を行なった。
【０３３３】
図２２（ａ）は、正則化パラメータａ＝１０-1、１０-4、１０-8、１０-12のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。図２２（ｂ）は、正則化パラメータａ＝１０-100、１０-400のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【０３３４】
これらの図から、正則化パラメータａを小さくするほど、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度が増加することがわかる。図２２内のステップ函数の場合には、正則化パラメータａは、少なくとも１０-100ぐらい小さくなくては有効な逆ラプラス変換像が得られないことがわかる。正則化パラメータａの値をこのような小さな値にして、かつ現実的な時間内で逆ラプラス変換像を算出するためには、本発明の実施形態で説明したように、キャリーフラグＣＦを用いて命令数を大幅に削減した多倍長演算が必要不可欠となる。
【０３３５】
また、本発明の実施の形態では、式（６）を修正した式（１０）を用いることによって、ｆ（０）が０以外の函数についても、逆ラプラス変換の値を高精度で求めることができるという特徴がある。以下では、軟化子パラメータｓの大きさによって、ｆa,s(n)（ｔ）がどのように変化するかの実験結果を説明する。ここでは、式（４７）、（４８）で表される函数ｆ（ｔ）を実験に用いた。
【０３３６】
０＜ｔ＜１において、ｆ（ｔ）＝１ ・・・（４７）
１＜ｔにおいて、ｆ（ｔ）＝０ （４８）
図２３（ａ）は、ｓ＝０．１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図であり、図２３（ｂ）は、ｓ＝０．０１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【０３３７】
これらの図から、軟化子パラメータｓを小さくするほど、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度が増加することがわかる。軟化子パラメータｓを目的に応じて適当な値に設定することによって、ｆ（０）が０以外の函数について、逆ラプラス変換の値を高精度で求めることができる。
【０３３８】
［第４の実施形態］
第４の実施形態は、Ｈテーブルを作成する処理と、Ｈテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する処理とを別個の装置で行なう構成に関するものである。
【０３３９】
図２４は、Ｈテーブルを作成する逆ラプラス変換用テーブル作成装置の構成を表わす図である。図２４の逆ラプラス変換用テーブル作成装置は、コンピュータで実現されるものであり、図２４において、図１と同一の構成要素については同一の符号を付している。
【０３４０】
図２４を参照して、ＣＰＵ６３は、第１〜第３の実施形態と異なり、テーブル作成部４としてのみ機能する。
【０３４１】
入力部６２は、第１〜第３の実施形態と異なり、Ｈテーブルの作成に必要なサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される。
【０３４２】
プログラム記憶部６５には、第１〜第３の実施形態と異なり、コンピュータをテーブル作成部４として機能させるための逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア６７を通じて、外部からインストールすることができる。
【０３４３】
変数記憶部６６には、第１〜第３の実施形態と異なり、Ｈテーブル作成にのみ必要な変数が記憶される。
【０３４４】
メインメモリ６４内のＨテーブル記憶部１２に記憶されているＨテーブルと、変数記憶部６６に記憶されている変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）は、リムーマブルメディア６７に出力することができる。これにより、リムーマブルメディア６７に記憶されたＨテーブルおよび変数を他の装置のメインメモリに送り記憶させることで、他の装置で、Ｈテーブルおよび変数ｈ、ｐi、ｑiを利用することができる。
【０３４５】
図２５は、逆ラプラス変換の数値解を算出する逆ラプラス変換の数値解算出装置の構成を表わす図である。図２５の逆ラプラス変換の数値解算出装置は、コンピュータで実現されるものであり、図２５において、図１と同一の構成要素については同一の符号を付している。
【０３４６】
図２５を参照して、ＣＰＵ７３は、第１〜第３の実施形態と個なり、逆変換部５としてのみ機能する。
【０３４７】
入力部７２は、第１〜第３の実施形態と異なり、逆ラプラス変換の数値解算出のために必要なラプラス変換像Ｆ（ｐi)と、軟化子パラメータｓとが入力される。
【０３４８】
プログラム記憶部７５には、第１〜第３の実施形態と異なり、コンピュータを逆変換部５および出力部１３として機能させるための逆ラプラス変換の数値解算出プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア７７を通じて、外部からインストールすることができる。
【０３４９】
リムーマブルメディア７７に記憶されているＨテーブルと、変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）は、それぞれメインメモリ７４内のＨテーブル記憶部１２と、変数記憶部７６に出力することができる。これにより、図２４の装置で作成されてリムーマブルメディア６７に記憶されたＨテーブルおよび変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）を、図２５の装置で利用することができる。
【０３５０】
以上のように、第４の実施形態では、Ｈテーブルの作成と、逆ラプラス変換の数値解の算出とを別個の装置で行なうことができるので、Ｈテーブルの作成を高速の計算機で行なってユーザに提供し、ユーザは、自身のパソコン上で提供を受けたＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出を行なうようにすることができる。
【０３５１】
（変形例）
本発明は、上記の実施の形態に限定されるものではなく、たとえば以下のような変形例を含む。
【０３５２】
（１） テーブルに記述する情報
本発明の第４の実施形態では、図２４の逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を記述したＨテーブルと、ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）とをリムーバブルメディアに出力して、図２５の逆ラプラス変換の数値解算出装置でこれを利用したが、これに限定するものではない。たとえば、逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、Ｈテーブルだけをリムーバブルメディアに出力し、逆ラプラス変換の数値解算出装置では、ｎ、Ｕ、Ｌを入力して、ｈ、ｐi、ｑjを再計算するものとしてもよい。また、逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、ｈ×ｐi×Ｈi n,a,t×ｑiを計算して、計算結果を記述したテーブルとｐiとをリムーバブルメディアに出力し、逆ラプラス変換の数値解算出装置で、これらを利用して、式（３８）で表わされる計算をより簡単に計算するようにしてもよい。
【０３５３】
（２） 離散化の手法
本発明の実施形態で説明した式（２２）〜（２４）を離散化する手法は、様々な方法があり、式（２５）〜（３６）はその一例にすぎず、その他の方法で行なってもよい。
【０３５４】
（３） ６４ビットレジスタ
本発明の第３の実施形態では、ＣＰＵが６４ビット長のレジスタを備える場合を例にして説明したが、これは一例であって、Ｋビット長（Ｋは自然数）のレジスタ、たとえば１６ビット長、３２ビット長、１２８ビット長などのレジスタであってもよい。
【０３５５】
（４） ＬＵ分解
本発明の第１の実施形態では、第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列ＡをＬＵ分解したが、これに限定するものではなく、下三角行列と上三角行列の積に分解できるものなら、どのような分解方法であってもよい。
【０３５６】
今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は上記した説明ではなくて特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。
【図面の簡単な説明】
【０３５７】
【図１】第１の実施形態の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【図２】Ｈテーブルを表わす図である。
【図３】第１の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図４】第１の実施形態におけるＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する手順を表わすフローチャートである。
【図５】第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【図６】第１の実施形態の変形例におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図７】第２の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図８】第３の実施形態のＣＰＵの具体的な構成を表わす図である。
【図９】フラグレジスタの具体的な構成を表わす図である。
【図１０】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、図８の逆ラプラス変換装置において演算の対象となる数値の表現を説明するための図である。
【図１１】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４の加算処理の内容を表わす図である。
【図１２】Ａｌｐｈａの加算処理の内容を表わす図である。
【図１３】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４の減算処理の内容を表わす図である。
【図１４】Ａｌｐｈａの減算処理の内容を表わす図である。
【図１５】本発明の実施形態で用いる乗算処理の内容を説明するための図である。
【図１６】本発明の実施形態における乗算処理の内容を表わす図である。
【図１７】本発明の実施形態で用いる乗算処理の内容を説明するための図である。
【図１８】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４のｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。
【図１９】Ａｌｐｈａのｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。
【図２０】ニュートン法を用いた除算処理の内容を説明するための図である。
【図２１】図２０中のサブルーチンｃｍｐの内容を表わす図である。
【図２２】（ａ）は、正則化パラメータａ＝１０-1、１０-4、１０-8、１０-12のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。（ｂ）は、正則化パラメータａ＝１０-100、１０-400のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【図２３】（ａ）は、ｓ＝０．１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図であり、（ｂ）は、ｓ＝０．０１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【図２４】Ｈテーブルを作成する逆ラプラス変換用テーブル作成装置の構成を表わす図である。
【図２５】逆ラプラス変換の数値解を算出する逆ラプラス変換の数値解算出装置の構成を表わす図である。
【符号の説明】
【０３５８】
１，８１ 逆ラプラス変換装置、６１ 逆ラプラス変換用テーブル作成装置、７１ 逆ラプラス変換数値解算出装置、２，６２，７２ 入力部、３，６３ ＣＰＵ、４，８４ テーブル作成部、５ 逆変換部、６，６４，７４ メインメモリ、７，６５，７５ プログラム記憶部、８，６６，７６ 変数記憶部、９ 三角行列記憶部、１２ Ｈテーブル記憶部、１３ 出力部、１４ 表示装置、６７，７７，９９ リムーバブルメディア、５３ 制御部、５４ 演算器、５６ 汎用レジスタ群、５７ フラグレジスタ、８９ 逆行列記憶部。
【技術分野】
【０００１】
本発明は、逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置に関し、特に再生核と正則化法用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
逆ラプラス変換は、電気電子工学、油田の調査、画像処理をはじめとする様々な分野で広く応用されている。従来、コンピュータを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出するためには、複素積分の数値計算による方法や、ラプラス変換表を用いた方法が用いられていた。しかしながら、このような従来の方法では、丸め誤差または離散化誤差などの計算誤差が生じ、数値的に不安定（ill-conditioned)であるという問題がある。
【０００３】
このような数値的不安定性を解消する手法として、再生核と正則化法に基づいて逆ラプラス変換の数値解を求める方法が提案されている（たとえば、非特許文献１を参照）。この方法では、逆ラプラス変換の数値解が、再生核ヒルベルト空間での最良近似函数として求めることができる。
【非特許文献１】松浦他、"Numerical Real Inversion formulas of the Laplace Transform by Using a Fredholm Integral Equation of the Second Kind"、日本数学会、２００７年度年会、応用数学分科会、講演アブストラクト、p.69-72
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、上記の再生核と正則化法を用いる手法では、原像が原点で零、かつ原像の導函数が増大しない絶対連続函数からなる再生核空間を考えており、原像がこれら２つの条件を満たす場合に対してのみ適用可能である。
【０００５】
それゆえに、本発明の目的は、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、再生核と正則化法を用いて、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる逆ラプラス変換プログラム、逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラム、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム、および逆ラプラス変換装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換プログラムは、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するために、コンピュータに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、作成したテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
【０００７】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ｂ１）で表わされ、
【０００８】
【数１】
【０００９】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ２）で表わされ、
【００１０】
【数２】
【００１１】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ３）の条件が成立し、
【００１２】
【数３】
【００１３】
第二種積分方程式は、式（Ｂ４）で表わされ、
【００１４】
【数４】
【００１５】
内積は、式（Ｂ５）で表わされる。
【００１６】
【数５】
【００１７】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ６）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ７）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ８）で表わされる。
【００１８】
【数６】
【００１９】
好ましくは、コンピュータは、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、テーブルを作成するステップおよび原像の数値解を算出するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００２０】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００２１】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００２２】
好ましくは、テーブルを作成するステップは、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ９）〜（Ｂ１４）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【００２３】
【数７】
【００２４】
連立方程式は、式（Ｂ１５）で表わされ、式（Ｂ１６）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ１５）の解を算出するステップと、
【００２５】
【数８】
【００２６】
式（Ｂ１７）に従って、式（Ｂ１５）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含み、
【００２７】
【数９】
【００２８】
原像の数値解を算出するステップは、テーブルを参照して、式（Ｂ１８）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj)から、原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップを含む。
【００２９】
【数１０】
【００３０】
本発明のある局面に係るテーブル作成プログラムは、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するためのテーブルを作成するために、コンピュータに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、作成したテーブルを記憶部に保存するステップとを実行させる。
【００３１】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは式（Ｂ１９）で表わされ、
【００３２】
【数１１】
【００３３】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ２０）で表わされ、
【００３４】
【数１２】
【００３５】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ２１）の条件が成立し、
【００３６】
【数１３】
【００３７】
第二種積分方程式は、式（Ｂ２２）で表わされる。
【００３８】
【数１４】
【００３９】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ２３）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ２４）で表わされる。
【００４０】
【数１５】
【００４１】
好ましくは、コンピュータは、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、テーブルを作成するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００４２】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００４３】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブルを作成するステップは、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶するステップと、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出するステップとを含む。
【００４４】
好ましくは、テーブルを作成するステップは、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ２５）〜（Ｂ３０）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【００４５】
【数１６】
【００４６】
連立方程式は、式（Ｂ３１）で表わされ、式（Ｂ３２）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ３１）の解を算出するステップと、
【００４７】
【数１７】
【００４８】
式（Ｂ３３）に従って、式（Ｂ３１）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含む。
【００４９】
【数１８】
【００５０】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
【００５１】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、内積は、式（Ｂ３４）で表わされ、
【００５２】
【数１９】
【００５３】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ３５）で表わされ、
【００５４】
【数２０】
【００５５】
内積は、式（Ｂ３６）で表わされ、
【００５６】
【数２１】
【００５７】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備えたコンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ３７）で表わされ、
【００５８】
【数２２】
【００５９】
内積は、式（Ｂ３８）で表わされ、
【００６０】
【数２３】
【００６１】
原像の数値解を出力するステップとを実行させ、原像の数値解を算出するステップは、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算器に演算を行なわせるステップを含む。
【００６２】
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、コンピュータに、上記記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、記憶部のテーブルを参照して、式（Ｂ３９）に従って、第二種積分方程式の数値解とラプラス変換像Ｆ（ｐj）から原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップと、
【００６３】
【数２４】
【００６４】
原像の数値解を出力するステップとを実行させる。
本発明のある局面に係る逆ラプラス変換装置は、与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出する逆ラプラス変換装置であって、原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、連立方程式の解に基づく第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するテーブル作成部と、作成したテーブルを記憶する記憶部と、記憶部のテーブルを参照して、第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出する逆変換部と、原像の数値解を出力する出力部とを備える。
【００６５】
好ましくは、正則化パラメータをａとし、軟化子パラメータｓとし、任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは式（Ｂ４０）で表わされ、
【００６６】
【数２５】
【００６７】
重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ｂ４１）で表わされ、
【００６８】
【数２６】
【００６９】
重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ｂ４２）の条件が成立し、
【００７０】
【数２７】
【００７１】
第二種積分方程式は、式（Ｂ４３）で表わされ、
【００７２】
【数２８】
【００７３】
内積は、式（Ｂ４４）で表わされる。
【００７４】
【数２９】
【００７５】
好ましくは、ρ（ｔ）は、式（Ｂ４５）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ｂ４６）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ｂ４７）で表わされる。
【００７６】
【数３０】
【００７７】
テーブル作成部および逆変換部とは、共通して、Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、演算器は、数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、汎用レジスタを用いて演算を行なう。
【００７８】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブル作成部は、行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、逆行列Ａ-1の要素を記憶部に記憶し、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出する。
【００７９】
好ましくは、連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、テーブル作成部は、行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、上三角行列と下三角行列の要素を記憶部に記憶し、計算範囲内のすべてのｔについて、記憶部に記憶されている上三角行列と下三角行列の要素の値に基づいて、連立方程式の解を算出する。
【００８０】
好ましくは、テーブル作成部は、正則化パラメータａおよび軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ｂ４８）〜（Ｂ５３）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算し、
【００８１】
【数３１】
【００８２】
連立方程式は、式（Ｂ５４）で表わされ、テーブル作成部は、式（Ｂ５５）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ｂ５４）の解を算出し、
【００８３】
【数３２】
【００８４】
テーブル作成部は、さらに式（Ｂ５６）に従って、式（Ｂ５４）の解から第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成し、
【００８５】
【数３３】
【００８６】
逆変換部は、テーブルを参照して、式（Ｂ５７）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj）から原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する。
【００８７】
【数３４】
【発明の効果】
【００８８】
本発明によれば、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、再生核と正則化法を用いて、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００８９】
以下、本発明に係る実施の形態について図面を参照して説明する。
［第１の実施形態］
まず、第１の実施形態における逆ラプラス変換の基本的なアルゴリズムについて説明する。
【００９０】
（再生核空間理論を用いた逆ラプラス変換）
ある自然な函数空間の函数ｆ（ｔ）のラプラス変換は、式（１）で表わされる。式（１）の逆変換を考えると、通常はＢｒｏｍｗｉｃｈ積分による複素解析的な逆変換公式を考えるが、正の実軸上の値のみを用いた逆変換を求めたい場合がある。このような正の実軸上の値のみを用いた逆変換は実逆ラプラス変換と呼ばれる。また、ｆ（ｔ）は原像、Ｆ（Ｐ）をラプラス変換像と呼ばれる。
【００９１】
【数３５】
【００９２】
式（２）で表わされる正の実軸Ｒ+上の有限ノルムを持ち、ｆ（０）＝０を満たす絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkを考える。この重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、原像の導函数ｆ（ｔ）′が増大する場合も包含している。
【００９３】
【数３６】
【００９４】
この重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、式（３）で表わされる再生核Ｋ（ｔ，ｔ′）を有する。
【００９５】
【数３７】
【００９６】
このとき、重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈk上の重み付き二乗可積分空間Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）への線形写像（Ｌｆ）（ｐ）ｐは有界であって、式（４）が成立する。
【００９７】
【数３８】
【００９８】
式（４）から、一般論に従って、以下が成立する。
チホノフ正則化とは、任意のｇ∈Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）と任意の正則化パラメータａ＞０に対して、式（５）の右辺を最小化することである。重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈk上で、重み付き二乗可積分空間Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）を観測空間としたチホノフ正則化によって、式（６）で表わされる最良近似函数ｆa（ｔ）が導かれる。
【００９９】
【数３９】
【０１００】
ここで、Ｋa（・，ｔ）は、式（７）〜（９）で表わされる。
【０１０１】
【数４０】
【０１０２】
上述の重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkは、ｆ（０）＝０を満たすことを条件としている。ｆ（０）≠０なる函数ｆ（ｔ）についても、上述の重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkの特性が利用できるように、軟化子函数Ｒs（ｐ）を用いて、式（６）の最良近似函数ｆa（ｔ）を修正する。修正最良近似函数ｆa,s（ｔ）は、式（１０）で表わされる。ここで、ｓは、軟化子パラメータである。
【０１０３】
【数４１】
【０１０４】
さて、式（９）のｔについてラプラス変換をとり、ｔ′を改めてｔとおくと、式（１１）が得られる。
【０１０５】
【数４２】
【０１０６】
式（１２）および（１３）を用いると、式（１１）から式（１４）が成立する。式（１４）は、書き下すと、式（１５）のように表わされる。また、式（１０）から、式（１６）が成立する。
【０１０７】
【数４３】
【０１０８】
式（１４）は、未知の函数が積分の中に現れており、第二種積分方程式と呼ばれる。修正最良近似函数ｆa,ε（ｔ）は、第二種積分方程式の解と、軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積である式（１６）で表わされる。本発明の実施形態の逆ラプラス変換では、修正最良近似函数ｆa,ε（ｔ）を原像ｆ（ｔ）の近似解として求める。
【０１０９】
（具体的な函数の形）
さて、函数ρ（ｔ）、ｕ（ｐ）、Ｒs（ｐ）の具体例として、式（１７）〜（１９）をで表わされるものを用いることができる。
【０１１０】
【数４４】
【０１１１】
さて、函数ρ（ｔ）が、式（１７）で表わされる場合には、式（３）は、式（２０）のように表わされる。
【０１１２】
【数４５】
【０１１３】
さらに、式（２０）から、以下の式（２１）が成立する。
【０１１４】
【数４６】
【０１１５】
さらに、式（１４）は、式（２２）および（２３）のように表わされ、式（１６）は、式（２４）のように表わされる。
【０１１６】
【数４７】
【０１１７】
（離散化）
式（２２）〜（２４）をコンピュータで計算するために離散化を行なう。離散化の方法として、ここでは、計算を簡略化するためニストレーム法を用いる。
【０１１８】
積分区間の上限Ｕ、下限Ｌ、積分のサンプル数ｎ、正則化パラメータａを用いて、式（２５）〜（２８）に従って、以下の変数ｈ、ｘj、ｐj、ｗjを定義する。
【０１１９】
【数４８】
【０１２０】
式（２５）〜式（２８）を用いて、式（２２）を離散化すると式（２９）が得られ、式（２４）を離散化すると式（３０）が得られる。
【０１２１】
【数４９】
【０１２２】
したがって、式（２９）の連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、それらを式（３０）に代入することによって、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）が得られる。
【０１２３】
（式（２９）の連立方程式の解法）
式（２９）の連立方程式の解を求める方法として、ここでは、以下の方法を用いる。
【０１２４】
まず、式（３１）、（３２）に示すように以下の変数ｑj、ａijを用いる。このとき、式（３３）、（３４）が成り立つ。
【０１２５】
【数５０】
【０１２６】
これらの変数を用いると、式（２９）は、式（３５）のように変形される。式（３５）を行列の形に書き直すと、式（３６）のようになり、係数行列Ａを式（３７）で定義することができる。
【０１２７】
【数５１】
【０１２８】
係数行列ＡをＬＵ分解し、前進代入および後退代入することによって、式（３６）の解、つまり式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を得ることができる。また、変数ｑjを用いると、式（３０）は、式（３８）のように変形することができる。
【０１２９】
【数５２】
【０１３０】
（構成）
図１は、本発明の実施形態の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【０１３１】
図１を参照して、この逆ラプラス変換装置１は、コンピュータを用いて実現されるものであって、入力部２と、メインメモリ６と、ＣＰＵ３（Central Processing Unit）と、出力部１３とを備える。メインメモリ６は、プログラム記憶部７と、変数記憶部８と、Ｈテーブル記憶部１２と、三角行列記憶部９とを含む。ＣＰＵ３は、テーブル作成部４および逆変換部５として機能する。
【０１３２】
入力部２は、サンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａ、軟化子パラメータｓ、ラプラス変換像Ｆ（ｐi)などを入力するものであり、たとえばキーボードなどで実現されている。
【０１３３】
出力部１３は、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を外部、たとえば表示装置１４に出力する。表示装置１４では、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）が文字またはグラフの形で表示される。
【０１３４】
プログラム記憶部７は、コンピュータを逆ラプラス変換装置１として機能させるための逆ラプラス変換プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア９９を通じて、外部からインストールすることができる。
【０１３５】
テーブル作成部４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（２２）および式（２３）で表わされる第二種積分方程式を離散化して得られる式（３５）の連立方程式の解を数値計算で求め、数値計算に基づいて得られる第二種積分方程式の数値解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記述する。テーブル作成部４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（３７）で示される係数行列Ａを上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの積に分解して、上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの要素を三角行列記憶部９に記憶させ、計算範囲内のすべてのｔについて、三角行列記憶部９に記憶されている上三角行列Ｕと下三角行列Ｌの要素の値に基づいて、式（３５）の解を算出する。
【０１３６】
Ｈテーブル記憶部１２は、テーブル作成部４で作成された図２で示されるようなＨテーブルを記憶する。
【０１３７】
逆変換部５は、Ｈテーブルを参照して、式（２４）を離散化した式（３８）を数値計算することにより、逆ラプラス変換による原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する。
【０１３８】
変数記憶部８は、テーブル作成部４によるテーブル作成処理および逆変換部５による逆ラプラス変換による原像の数値解を算出するのに必要な数値計算の変数の値を記憶する。
【０１３９】
三角行列記憶部９は、テーブル作成部４において、式（３５）の連立方程式の解を計算する際に作成された下三角行列Ｌおよび上三角行列Ｕを記憶する。
【０１４０】
（Ｈテーブルの作成手順）
図３は、第１の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１４１】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ１０１）。
【０１４２】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０２）。
【０１４３】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０３）。
【０１４４】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０４）。
【０１４５】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０５）。
【０１４６】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１０６）。
【０１４７】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ＋ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるｑj×ａijを計算する（ステップＳ１０７）。
【０１４８】
次に、テーブル作成部４は、係数行列ＡをＬＵ分解して、上三角行列Ｕおよび下三角行列Ｌの各要素の値を三角行列記憶部９に保存する（ステップＳ１０８）。
【０１４９】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ１０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ１１０）。
【０１５０】
次に、テーブル作成部４は、三角行列記憶部９に記憶されている上三角行列Ｕおよび下三角行列Ｌの要素の値をもとに、前進代入および後退代入によって、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８内に記憶する（ステップＳ１１１）。
【０１５１】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ１１２）。
【０１５２】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ１１３でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ１１３でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ１１４）、ステップＳ１１０からの処理を繰返す。
【０１５３】
（Ｈテーブルを用いた逆ラプラス変換の数値解の算出手順）
図４は、第１の実施形態におけるＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する手順を表わすフローチャートである。
【０１５４】
まず、外部から、入力部２に軟化子パラメータｓが入力される（ステップＳ２００）。
次に、逆変換部５は、ｔ＝ｔ0に設定する（ステップＳ２０１）。
【０１５５】
次に、逆変換部５は、ｊ＝０、ＳＵＭ＝０に設定する（ステップＳ２０２）。
次に、逆変換部５は、ＨテーブルからＨjn,a,tを読出し、変数記憶部８からｐj、ｑj、ｈを読み出す（ステップＳ２０３）。
【０１５６】
次に、外部から、入力部２にラプラス変換像Ｆ（ｐj）が入力される（ステップＳ２０４）。
【０１５７】
次に、逆変換部５は、ＳＵＭ＝ＳＵＭ＋（π／２）×ｈ×Ｆ（ｐj)×（１／ｓ2ｐj2）｛ｅｘｐ（−ｓｐj）−１｝2×ｐj×Ｈjn,a,t ×ｑj×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算し、計算結果を変数記憶部８に保存する（ステップＳ２０５）。
【０１５８】
次に、逆変換部５は、ｊがｎと異なるならば（ステップＳ２０６でＮＯ）、ｊを１だけ増加させて（ステップＳ２０７）、ステップＳ２０３からの処理を繰返す。
【０１５９】
逆変換部５は、ｊがｎと等しければ（ステップＳ２０６でＹＥＳ）、逆ラプラス変換値ｆa,s(n)（ｔ）＝ＳＵＭとする（ステップＳ２０８）。
【０１６０】
次に、逆変換部５は、ｔがｔmと等しければ（ステップＳ２０９でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ２０９でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ２１０）、ステップＳ２０２からの処理を繰返す。
【０１６１】
以上のように、第１の実施形態の逆ラプラス変換装置によれば、原像の導函数が増大する場合、または原像が原点で零でない場合においても、逆ラプラス変換の数値解を計算することができる。また、式（３６）の連立方程式の係数行列Ａがｔに依存しない性質を利用して、係数行列Ａを一度だけＬＵ分解し、分解して得られた下三角行列Ｌと上三角行列Ｕの各要素の値を記憶しておき、すべてのｔについて、この記憶してある下三角行列Ｌと上三角行列Ｕの要素の値を用いて、連立方程式の解を算出するので、ｔが変わるごとに係数行列ＡをＬＵ分解するのに比べて計算量を削減することができる。
【０１６２】
また、連立方程式の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝は、式（２９）を参照すると、ラプラス変換像Ｆ（ｐi）に依存しない。したがって、一度だけ式（３６）の解を計算しておき保存しておけば、どのようなＦ（ｐi）の逆ラプラス変換を求める場合にも利用することができるという特徴がある。
【０１６３】
［第１の実施形態の変形例］
本発明の実施形態では、第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列ＡをＬＵ分解することによって連立方程式を解いたが、これに限定するものではなく、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、連立方程式を解いてもよい。
【０１６４】
図５は、第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
図５を参照して、この逆ラプラス変換装置８１は、第１の実施形態のラプラス変換装置１と相違する点は、テーブル作成部８４と、逆行列記憶部８９である。
【０１６５】
テーブル作成部８４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（２２）および式（２３）で表わされる第二種積分方程式を離散化して得られる式（３５）の連立方程式の解を数値計算で求め、数値計算に基づいて得られる第二種積分方程式の数値解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに書込む。テーブル作成部８４は、プログラム記憶部７内の逆ラプラス変換プログラムにしたがって、式（３７）で示される係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、逆行列Ａ-1の要素の値を逆行列記憶部８９に記憶させ、計算範囲内のすべてのｔについて、逆行列記憶部８９に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、式（３５）の解を算出する。
【０１６６】
逆行列記憶部８９は、テーブル作成部４において、式（３５）の連立方程式の解を計算する際に作成された逆行列Ａ-1の各要素の値を記憶する。
【０１６７】
（Ｈテーブルの作成手順）
図６は、第１の実施形態の変形例おけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１６８】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ５０１）。
【０１６９】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０２）。
【０１７０】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０３）。
【０１７１】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０４）。
【０１７２】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０５）。
【０１７３】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５０６）。
【０１７４】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ＋ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるｑj×ａijを計算する（ステップＳ５０７）。
【０１７５】
次に、テーブル作成部４は、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算して、逆行列Ａ-1の各要素の値を逆行列記憶部８９に保存する（ステップＳ５０８）。
【０１７６】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ５０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ５１０）。
【０１７７】
次に、テーブル作成部４は、逆行列記憶部８９に記憶されている逆行列Ａ-1の要素の値をもとに、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８内に記憶する（ステップＳ５１１）。
【０１７８】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ５１２）。
【０１７９】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ５１３でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ５１３でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ５１４）、ステップＳ５１０からの処理を繰返す。
【０１８０】
以上のように、第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置によれば、式（３６）の連立方程式の係数行列Ａがｔに依存しない性質を利用して、係数行列Ａの逆行列Ａ-1を一度だけ計算して、逆行列Ａ-1の要素の値を記憶しておき、すべてのｔについて、この記憶してある逆行列Ａ-1の要素の値を用いて、連立方程式の解を算出するので、ｔが変わるごとに係数行列Ａの逆行列Ａ-1を計算するのに比べて計算量を削減することができる。
【０１８１】
［第２の実施形態］
第２の実施形態は、式（２９）を変形することによって、係数行列Ａの代わりに対称行列Ａ′を用いて、第二種積分方程式を離散化して連立方程式の解を算出する逆ラプラス変換装置に関する。
【０１８２】
（式（２３）の連立方程式の解法）
第１の実施形態と同様に、式（３１）〜（３４）で表わされる変数ｑj、aijを用いる。
【０１８３】
第２の実施形態では、式（２９）を式（３９）のように変形する。
【０１８４】
【数５３】
【０１８５】
式（４０）のように、Ｈi′n,a,tを定義すると、式（３９）は、式（４１）のように変形される。式（４１）を行列の形に書き直すと、式（４２）のようになり、行列Ａ′を式（４３）のように定義することができる。
【０１８６】
【数５４】
【０１８７】
行列Ａ′は、対称行列であり、行列Ａ′をコレスキー分解することによって、式（４２）の解を得ることができる。式（４２）の解｛Ｈi′n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝から、式（４４）を用いて、式（２９）の解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝が得られる。
【０１８８】
【数５５】
【０１８９】
（Ｈテーブルの作成手順）
図７は、第２の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【０１９０】
まず、外部から、入力部２にサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される（ステップＳ３０１）。
【０１９１】
次に、テーブル作成部４は、ｈ＝（Ｕ−Ｌ）／ｎを計算して、ｈの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０２）。
【０１９２】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｘj＝Ｌ＋ｊ×ｈを計算して、ｘjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０３）。
【０１９３】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｐj＝ｅｘｐ｛（π／２）×sinh（ｘj）｝を計算して、ｐjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０４）。
【０１９４】
次に、テーブル作成部４は、ｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ｑj＝ｐj×cosh（ｘj）を計算して、ｑjの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０５）。
【０１９５】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて、ａij＝（π／２）×（２／（ｐi＋ｐj）3）×｛１＋（ｐi＋ｐj）＋（ｐi＋ｐj）2／２｝×ｅｘｐ（−ｐj−１／ｐj）を計算して、ａijの値を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３０６）。
【０１９６】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎ、およびｊ＝０、１、２、・・・、ｎについて係数行列Ａの成分を計算する。テーブル作成部４は、ｉ＝ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分であるａ／ｑi×ａiiを計算し、ｉ≠ｊのときには、係数行列Ａのｉｊ成分をａijとする（ステップＳ３０７）。
【０１９７】
次に、テーブル作成部４は、係数行列Ａをコレスキー分解して、下三角行列Ｌ、および上三角行列ＬT（Ｔは、転置を表わす）の各要素を三角行列記憶部９に保存する（ステップＳ３０８）。
【０１９８】
次に、テーブル作成部４は、ｔ＝ｔ0（初期値）とする（ステップＳ３０９）。
次に、テーブル作成部４は、Ｈ（ｐi，ｔ）＝（２／ｐi3）×［１＋ｐi＋ｐi2／２−ｅｘｐ（−ｔｐi）×｛１＋ｐi（ｔ＋１）＋ｐi2（ｔ＋１）2／２｝］を計算し、Ｈ（ｐi，ｔ）を変数記憶部８に保存する（ステップＳ３１０）。
【０１９９】
次に、テーブル作成部４は、三角行列記憶部９に記憶されている下三角行列Ｌおよび上三角行列ＬTをもとに、前進代入および後退代入によって、式（４１）の解｛Ｈi′n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を求めて、変数記憶部８に記憶する（ステップＳ３１１）。
【０２００】
次に、テーブル作成部４は、ｉ＝０、１、２、・・・、ｎについて、Ｈi n,a,t＝Ｈi′n,a,t／ｑiを計算して、変数記憶部８に記憶する（ステップＳ３１２）。
【０２０１】
次に、テーブル作成部４は、変数記憶部８内の式（２９）の解である｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝をＨテーブルに記憶する（ステップＳ３１３）。
【０２０２】
次に、テーブル作成部４は、ｔがｔm（終了値）と等しければ（ステップＳ３１４でＹＥＳ）終了し、ｔがｔm（終了値）と異なるならば（ステップＳ３１４でＮＯ）、ｔをΔｔだけ増加させて（ステップＳ３１５）、ステップＳ３１０からの処理を繰返す。
【０２０３】
以上のように、第２の実施形態の逆ラプラス変換装置によれば、第１の実施形態と同様の効果に加えて、さらに第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列Ａを対称行列Ａ′に変換し、コレスキー分解を利用して連立方程式の解を算出することができるので、第１の実施形態よりもさらに計算量を削減できる。
【０２０４】
［第３の実施形態］
第３の実施形態は、第１の実施形態または第２の実施形態における、連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝および逆ラプラス変換の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を求める演算を多倍長で行なう装置に関する。以下では、第２の実施形態の演算を多倍長で行なう場合について説明するが、第１の実施形態の演算でも同様である。
【０２０５】
（構成）
図８は、第３の実施形態のＣＰＵ３の具体的な構成を表わす図である。
【０２０６】
図８を参照して、ＣＰＵ３は、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とを備える。図１では、ＣＰＵ３は、テーブル作成部４および逆変換部５として機能するとして説明した。図１と図８の関係を説明すると、テーブル作成部４および逆変換部５の機能を具体的に実現するのが、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７である。つまり、テーブル作成部４および逆変換部５とは、共通に、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とを備える。言い換えると、制御部５３と、演算器５４と、汎用レジスタ群５６と、フラグレジスタ５７とは、プログラム記憶部７に格納された逆ラプラス変換プログラムにしたがって、第１または第２の実施形態で説明したＨテーブルの作成と、逆ラプラス変換の数値解の算出を行なう。
【０２０７】
演算器５４は、加算、減算、乗算、除算、ビットの論理演算、およびビットシフト演算などを行なう。
【０２０８】
汎用レジスタ群５６は、１６個の汎用レジスタＲＡＸ、ＲＢＸ、ＲＣＸ、ＲＤＸ、ＲＳＩ、ＲＤＩ、ＲＢＰ、ＲＳＰ、Ｒ８、Ｒ９、Ｒ１０、Ｒ１１、Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ１４、Ｒ１５を含む。図８において、かっこ内は、アセンブラ言語において指定されるレジスタの名前を表わす。各レジスタは、６４ビット長である。
【０２０９】
図９は、フラグレジスタ５７の具体的な構成を表わす図である。
図９を参照して、フラグレジスタ５７の最下位ビットに、直前の演算において、汎用レジスタ群５６の各汎用レジスタの最上位ビット（６４ビット目）において、次の上位ビットへの繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを表わすキャリーフラグＣＦの値が保持される。キャリーフラグＣＦの値が「１」の場合には、繰上りまたは繰下がりが生じたことを示し、キャリーフラグＣＦの値が「０」の場合には、繰上りまたは繰下がりが生じなかったことを示す。
【０２１０】
演算器５４による加算には、繰上がり付き加算と繰上りなし加算とがある。Ｘ＋Ｙを繰上り加算する場合には、演算器５４は、ＸとＹとキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果に繰上りが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、加算結果に繰上りが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。一方、Ｘ＋Ｙを繰上りなし加算する場合には、演算器５４は、ＸとＹとを加算し、加算結果に繰上りが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、加算結果に繰上りが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。
【０２１１】
演算器５４による減算にも、繰下がり付き減算と繰下がりなし減算とがある。Ｘ−Ｙを繰下がり減算する場合には、演算器５４は、ＸからＹおよびキャリーフラグＣＦの値を減算し、減算結果に繰下がりが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、減算結果に繰下がりが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。一方、Ｘ−Ｙを繰下がりなし減算する場合には、演算器５４は、ＸからＹを減算し、減算結果に繰下がりが生じた場合には、キャリーフラグＣＦの値を「１」にし、減算結果に繰下がりが生じなかった場合には、キャリーフラグＣＦの値を「０」にする。
【０２１２】
図８の逆ラプラス変換装置で演算の対象となる数値、たとえば、ｎ、Ｕ、Ｌ、ａ、ｈ、ｓ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、係数行列Ａの要素、係数行列Ａをコレスキー分解したＬおよびＬT、Ｈ（ｐi，ｔ）、Ｈi′n,a,t、Ｈin,a,t、Ｆ（ｐj)、Ｓ、ｆa,s(n)（ｔ）などの数値は、浮動小数点形式で表わされる。
【０２１３】
図１０（ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、図８の逆ラプラス変換装置において演算の対象となる数値の表現を説明するための図である。
【０２１４】
図１０（ａ）に示されるように、数値は、浮動小数点形式で表現される。符号部が「０」の場合は正の数を表わし、符号部が「１」の場合は負の数を表わす。仮数部のみが多倍長６４ｎビット（ｎは２以上の自然数）で表わされる。指数部および符号部は、６４ビットで表わされる。
【０２１５】
図１０（ｂ）、（ｃ）に示されるように、仮数部の整数部の値は、通常は「１」であるが、加算および減算時には、小数点の位置を合わせるために仮数部のビットがシフトされる。仮数部の小数点の位置がＫビットだけ左にシフトすると、指数部の値がＫだけ減少する。逆に、仮数部の小数点の位置がＫビットだけ右にシフトすると、指数部の値がＫだけ増加する。
【０２１６】
図１０（ｂ）、（ｃ）に示されるように、汎用レジスタ群５６の６４ビットの各汎用レジスタを用いて演算を行なうために、メインメモリ６に要素数ｎの配列ａが確保される。仮数部は、６４ビットごとに区切られて、区切られた各６４ビットが配列ａの各要素に格納される。たとえば、最上位から６４個のビットが配列の要素ａ［０］に格納され、次の６４個のビットが配列の要素ａ［１］に格納される。下位側のビットを格納する配列から、順次演算が行なわれる。
【０２１７】
（本発明の実施形態の加算処理）
本発明の実施形態における仮数部の加算処理について説明する。
【０２１８】
図１１は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４の加算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２１９】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂとを加算して、加算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２２０】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定する。
【０２２１】
２行目では、制御部５３は、最上位ビットでの繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒａｘの値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰上りなし）に初期化する。
【０２２２】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ８にロードする。
【０２２３】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ１０にロードする。
【０２２４】
８行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ８内のデータとレジスタ％ｒ１０内のデータと、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒ１０に保存するとともに、加算により繰上りがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰上りがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２２５】
９行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒ１０内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２２６】
１０行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１１行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２２７】
１３行目では、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝「０」）と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒａｘに保存する。したがって、レジスタ％ｒａｘには、最上位ビットでの繰上りの有無を表わす情報が保持される。
【０２２８】
（参考：キャリーフラグを利用しない加算処理）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおける仮数部の加算処理について説明する。
【０２２９】
図１２は、Ａｌｐｈａの加算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２３０】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂとを加算して、加算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２３１】
ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０２３２】
２行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２３３】
３行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２３４】
４行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２３５】
６行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄０の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定する。
【０２３６】
９行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０２３７】
１０行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ＄２にロードする。
【０２３８】
１２行目では、演算器５４は、加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータとレジスタ＄２内のデータとを加算し、加算結果をレジスタ＄５に保存する。
【０２３９】
１３行目では、演算器５４は、１２行目の加算により繰上りがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄５内のデータ（＝加算結果ｃ）がレジスタ＄２内のデータ（＝ｂ）よりも小さい場合には、繰上りがあったことがわかるので、レジスタ＄２３に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上りがないことがわかるので、レジスタ＄２３に「０」を格納する。
【０２４０】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄５内のデータ（＝加算結果）と、レジスタ＄０内に格納されている１回前のループでの繰上りの有無を表わすデータとを加算して、加算結果をレジスタ＄６に格納する。
【０２４１】
１６行目では、演算器５４は、１５行目の加算により繰上りがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄６内のデータがレジスタ＄０内のデータよりも小さい場合には、繰上りがあったことがわかるので、レジスタ＄０に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上りがないことがわかるので、レジスタ＄０に「０」を格納する。
【０２４２】
１８行目では、制御部５３は、レジスタ＄６内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２４３】
１９行目では、演算器５４は、レジスタ＄０内のデータと、レジスタ＄２３内のデータとの論理和をレジスタ＄０に格納することにより、１３行目の繰上り判定の結果と１６行目の繰上り判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄０内のデータとレジスタ＄２３内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０２４４】
２１行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２４５】
２２行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２４６】
２３行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２４７】
２５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
２６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２４８】
（加算処理の比較）
図１１と図１２を比較すると、図１１の８行目の繰上り付き加算命令ａｄｃｑと同等の機能を実現するために、図１２では、１２行目の加算命令ａｄｄｑと、１３行目の比較命令ｃｍｐｌｔ、１５行目の加算命令ａｄｄｑと、１６行目の比較命令ｃｍｐｌｔと、１９行目の論理和命令ｏｒの５つの命令が必要となる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、仮数部の加算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０２４９】
（減算処理）
本発明の実施形態における仮数部の減算処理について説明する。
【０２５０】
図１３は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４の減算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２５１】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａから、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂを減算して、減算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２５２】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定する。
【０２５３】
２行目では、制御部５３は、最上位ビットでの繰下がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒａｘの値を「０」（つまり、繰下がりなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰下がりなし）に初期化する。
【０２５４】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ８にロードする。
【０２５５】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒ１０にロードする。
【０２５６】
８行目では、演算器５４は、繰下がり付き減算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ８内のデータから、レジスタ％ｒ１０内のデータおよびフラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを減算し、減算結果をレジスタ％ｒ１０に保存するとともに、減算により繰下がりがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰下がりがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２５７】
９行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒ１０内の加算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２５８】
１０行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１１行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２５９】
１３行目では、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝「０」）と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算し、加算結果をレジスタ％ｒａｘに保存する。したがって、レジスタ％ｒａｘには、最上位ビットでの繰り下がりの有無を表わす情報が保持される。
【０２６０】
（参考：キャリーフラグを利用しない減算処理）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおける仮数部の減算処理について説明する。
【０２６１】
図１４は、Ａｌｐｈａの減算処理の内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語からｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２６２】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａから、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ｂと減算して、減算結果をメインメモリ６内の要素数ｎの配列ｃに蓄積するルーチンである。
【０２６３】
ｓｕｂ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に配列ｂへのポインタを設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０２６４】
２行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２６５】
３行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２６６】
４行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２６７】
６行目では、制御部５３は、繰下がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄０の値を「０」（つまり、繰下がりなし）に設定する。
【０２６８】
９行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０２６９】
１０行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｂ［ｉ−１］の値をレジスタ＄２にロードする。
【０２７０】
１２行目では、演算器５４は、減算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータからレジスタ＄２内のデータを減算し、減算結果をレジスタ＄５に保存する。
【０２７１】
１３行目では、演算器５４は、１２行目の減算により繰下がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄１内のデータ（＝ａ）がレジスタ＄２内のデータ（＝ｂ）よりも小さい場合には、繰下がりがあったことがわかるので、レジスタ＄６に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰下がりがないことがわかるので、レジスタ＄６に「０」を格納する。
【０２７２】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄５内のデータ（＝減算結果）から、レジスタ＄０内に格納されている１回前のループでの繰下がりの有無を表わすデータを減算して、減算結果をレジスタ＄７に格納する。
【０２７３】
１６行目では、演算器５４は、１５行目の減算により繰下がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄５内のデータがレジスタ＄０内のデータよりも小さい場合には、繰下がりがあったことがわかるので、レジスタ＄０に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰下がりがないことがわかるので、レジスタ＄０に「０」を格納する。
【０２７４】
１８行目では、制御部５３は、レジスタ＄７内の減算結果を、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］の領域に保存する。
【０２７５】
１９行目では、演算器５４は、レジスタ＄０内のデータと、レジスタ＄６内のデータとの論理和をレジスタ＄０に格納することにより、１３行目の繰下がり判定の結果と１６行目の繰下がり判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄０内のデータとレジスタ＄６内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０２７６】
２１行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０２７７】
２２行目では、制御部５３は、配列ｂ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１８に格納する。
【０２７８】
２３行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０２７９】
２５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
２６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０２８０】
（減算処理の比較）
図１３と図１４を比較すると、図１３の８行目の繰下がり付き減算命令ｓｂｂｑと同等の機能を実現するために、図１４では、１２行目の減算命令ｓｕｂｑと、１３行目の比較命令ｃｍｐｌｔ、１５行目の減算命令ｓｕｂｑと、１６行目の比較命令ｃｍｐｌｔと、１９行目の論理和命令ｏｒの５つの命令が必要となる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、加算部の減算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０２８１】
（乗算処理）
まず、本発明の実施形態で用いる乗算の基本的な処理内容を説明する。図１５に示すように、要素数４の配列Ａと、要素数４の配列Ｂとの乗算を考える。配列Ａ［０］のデータがａ0、配列Ａ［１］のデータがａ1、配列Ａ［２］のデータがａ2、配列Ａ［３］のデータがａ3とする。配列Ｂ［０］のデータがｂ0、配列Ｂ［１］のデータがｂ1、配列Ｂ［２］のデータがｂ2、配列Ｂ［３］のデータがｂ3とする。ａ0、ａ1、ａ2、ａ3、ｂ0、ｂ1、ｂ2、ｂ3のデータ長は、それぞれ６４ビットである。図１５に示すように、配列Ａと、ｂ0、ｂ1、ｂ2、ｂ3それぞれとの乗算結果は、６４×５ビットとなる。配列Ａと配列Ｂとを乗算すると、乗算結果は６４×８ビットとなる。
【０２８２】
浮動小数点表現の仮数部の積を求めることを考えた場合、このような６４×８ビットがすべて必要になるわけではない。下位のビットは、実際上無視しても、計算精度に大きな影響はない。
【０２８３】
本発明の実施形態では、要素数ｎの配列Ａ（つまり６４×ｎビット）と、要素数ｎの配列Ｂ（つまり６４×ｎビット）との乗算では、上位半分の６４×ｎビットのみを求めて、要素数ｎの配列Ｃに格納する。
【０２８４】
図１５で示される配列Ａと配列Ｂの乗算の場合には、上位から６４×４ビットだけを求める。この場合、Ａ×ｂ3の計算では、ａ0×ｂ3の計算は必要だが、ａ1×ｂ3、ａ2×ｂ3、ａ3×ｂ3の計算は省略することができる。一方、Ａ×ｂ0の計算では、ａ0×ｂ0、ａ1×ｂ0、ａ2×ｂ0、ａ3×ｂ0のすべての計算が必要となる。
【０２８５】
図１６は、本発明の実施形態における乗算処理の内容を表わす図である。
図１６を参照して、この乗算処理は、要素数ｎの配列Ａ（各要素は６４ビット）と、要素数ｎの配列Ｂ（各要素は６４ビット）とを乗算して、乗算結果のうち上位半分の６４×ｎビットを、要素数ｎの配列Ｃに格納する。
【０２８６】
８行目のｍｕｌ＿ａｄｄは、配列Ａの先頭から（ｎ−ｉ）個の要素（Ａ［０］、・・・、Ａ［ｎ−ｉ−１］）と、配列Ｂ［ｉ］とを乗算して、乗算結果を配列Ｃ′［ｉ］から後ろに加えるルーチンである。たとえば、図１７に示すように、ｎが４で、ｉが３の場合には、Ｂ［３］（＝ｂ3）とＡ［０］（＝ａ0）の乗算だけが行なわれて、乗算結果が配列Ｃ′［３］から後ろに加えられる。
【０２８７】
（本発明の実施形態のｍｕｌ＿ａｄｄ）
図１８は、フラグレジスタ５７を備えるＣＰＵ３の一例であるＡＭＤ６４のｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語から、ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０２８８】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の変数ｂとを乗算して、乗算結果をメインメモリ６内の要素数ｎ＋１の配列ｃに加算する命令である。
【０２８９】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、レジスタ％ｒｄｉに配列ｃへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｓｉに配列ａへのポインタを設定し、レジスタ％ｒｄｘに乗数ｂの値を設定し、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ％ｒｃｘにｎの値を設定する。
【０２９０】
１行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒ９の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定するとともに、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」（つまり、繰上りなし）に初期化する。
【０２９１】
２行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒｄｘ内の乗数ｂの値をレジスタ％ｒ８に格納する。
【０２９２】
５行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ％ｒａｘにロードする。
【０２９３】
６行目では、制御部５３は、レジスタ％ｒａｘ内のデータ（＝ａ［ｉ−１］）と、レジスタ％ｒ８内のデータ（＝ｂ）とを乗算する。乗算結果の上位ビットはレジスタ％ｒｄｘに格納され、乗算結果の下位ビットはレジスタ％ｒａｘに格納される。
【０２９４】
９行目では、演算器５４は、繰上りなし加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒ９に格納されている前回のループによる繰上りの有無を表わすデータと、レジスタ％ｒｄｘに格納されている乗算結果の上位ビットとを加算して、加算結果をレジスタ％ｒｄｘに格納する。この加算では、繰上りが生じないので、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９５】
１０行目では、演算器５４は、繰上りなし加算を実行する。すなわち、演算器５４は、レジスタ％ｒａｘに格納されている乗算結果の下位ビットと、メインメモリ６内の配列ｃ［ｉ］とを加算して、加算結果をメインメモリ６内の配列ｃ［ｉ］に格納する。この加算によって、繰上りが生じた場合は、キャリーフラグＣＦは「１」となり、繰上りが生じなかった場合は、キャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９６】
１１行目では、制御部５３は、繰上りの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ％ｒ９の値を「０」（つまり、繰上りなし）に設定する。
【０２９７】
１２行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値と、レジスタ％ｒｄｘに格納されている乗算結果の上位ビットと、メインメモリ６内の配列ｃ［ｉ−１］とを加算して、加算結果をメインメモリ６内の配列ｃ［ｉ−１］に格納するとともに、加算により繰上りがあった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「１」に設定し、繰上りがなかった場合に、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値を「０」に設定する。
【０２９８】
１３行目では、演算器５４は、繰上り付き加算を実行する。すなわち、演算器５４は、即値「０」と、レジスタ％ｒ９内の繰上りの有無を表わす情報と、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦの値とを加算して、加算結果をレジスタ％ｒ９に格納する。この加算では、繰上りが生じないので、フラグレジスタ５７内のキャリーフラグＣＦは「０」となる。
【０２９９】
１５行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
１６行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０３００】
（参考：キャリーフラグを利用しないｍｕｌ＿ａｄｄ）
次に、比較のために、フラグレジスタ５７を備えないＣＰＵ３の一例であるＡｌｐｈａにおけるｍｕｌ＿ａｄｄについて説明する。
【０３０１】
図１９は、Ａｌｐｈａのｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。同図は、Ｃ言語から、ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）で呼び出されるアセンブラルーチンを表わす図である。
【０３０２】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）は、メインメモリ６内の要素数ｎの配列ａと、メインメモリ６内の変数ｂとを乗算して、乗算結果をメインメモリ６内の要素数ｎ＋１の配列ｃに加算するルーチンである。
【０３０３】
ｍｕｌ＿ａｄｄ（ｃ，ａ，ｂ，ｎ）が呼び出されると、制御部５３は、カウンタｉの値を保持するためのレジスタ＄１９にｎの値を設定し、レジスタ＄１７に配列ａへのポインタを設定し、レジスタ＄１８に乗数ｂの値を設定し、レジスタ＄１６に配列ｃへのポインタを設定する。
【０３０４】
１行目では、制御部５３は、繰上がりの有無を表わす情報を保持するためのレジスタ＄２３の値を「０」（つまり、繰上がりなし）に設定する。
【０３０５】
２行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０３０６】
３行目では、制御部５３は、配列ａ［ｎ］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０３０７】
６行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のａ［ｉ−１］の値をレジスタ＄１にロードする。
【０３０８】
７行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｃ［ｉ］をレジスタ＄２１にロードする。
【０３０９】
８行目では、制御部５３は、メインメモリ６内のｃ［ｉ−１］をレジスタ＄２０にロードする。
【０３１０】
１０行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のａ［ｉ−１］とレジスタ＄１８内のｂとを乗算して、乗算結果の下位６４ビットの値をレジスタ＄２に格納する。
【０３１１】
１１行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のａ［ｉ−１］とレジスタ＄１８内のｂとを乗算して、乗算結果の上位６４ビットの値をレジスタ＄１に格納する。
【０３１２】
１３行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内の乗算結果の上位６４ビットと、レジスタ＄２３に格納されている１回前のループでの繰上りの有無を表わすデータとを加算して、加算結果をレジスタ＄１に格納する。
【０３１３】
１５行目では、演算器５４は、レジスタ＄２内の乗算結果の下位６４ビットと、レジスタ＄２１内のｃ［ｉ］とを加算して、レジスタ＄２１に格納する。
【０３１４】
１６行目では、制御部５３は、１５行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２１内のデータ（＝ｃ［ｉ］）がレジスタ＄２内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄２に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄２に「０」を格納する。
【０３１５】
１８行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内の乗算結果の上位６４ビット（１３行目で繰上り処理されたもの）と、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］とを加算して、レジスタ＄２０に格納する。
【０３１６】
１９行目では、制御部５３は、１８行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２０内のデータ（＝ｃ［ｉ−１］）がレジスタ＄１内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄１に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄１に「０」を格納する。
【０３１７】
２１行目では、演算器５４は、レジスタ＄２内の１５行目の加算の繰上りの有無を表わすデータと、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］（上位６４ビットが加算後のもの）とを加算して、レジスタ＄２０に格納する。
【０３１８】
２２行目では、制御部５３は、２１行目の加算により繰上がりがあったか否かを調べる。すなわち、制御部５３は、レジスタ＄２０内のデータ（＝ｃ［ｉ−１］）がレジスタ＄２内のデータよりも小さい場合には、繰上がりがあったことがわかるので、レジスタ＄２に「１」を格納し、それ以外の場合には、繰上がりがないことがわかるので、レジスタ＄２に「０」を格納する。
【０３１９】
２４行目では、制御部５３は、レジスタ＄２１内のｃ［ｉ］をメインメモリ６内の領域に保存する。
【０３２０】
２５行目では、制御部５３は、レジスタ＄２０内のｃ［ｉ−１］をメインメモリ６内の領域に保存する。
【０３２１】
２６行目では、演算器５４は、レジスタ＄１内のデータと、レジスタ＄２内のデータとの論理和をレジスタ＄２３に格納することにより、１９行目の繰上がり判定の結果と２２行目の繰上がり判定の結果とを統合する。このようにして判定結果が統合できるのは、レジスタ＄１内のデータとレジスタ＄２内のデータの両方が「１」となる場合は、ありえないからである。
【０３２２】
２８行目では、制御部５３は、配列ａ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１７に格納する。
【０３２３】
２９行目では、制御部５３は、配列ｃ［ｉ−２］のアドレスを計算して、それをレジスタ＄１６に格納する。
【０３２４】
３１行目では、演算器５４は、カウンタｉを「１」だけ減らす。
３２行目では、制御部５３は、カウンタｉが「０」の場合には、ループを抜け、カウンタｉが「０」以外の場合には、ループの先頭に戻るように制御する。
【０３２５】
（ｍｕｌ＿ａｄｄおよび乗算処理の比較）
図１８と図１９とを比較すると、図１８では、ループ内部の命令数が７であるのに対して、図１９では、ループ内部の命令数が１８である。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、配列と配列の１要素との乗算であるｍｕｌ＿ａｄｄの命令数を削減することができることがわかる。その結果、キャリーフラグＣＦを利用することにより、仮数部を表わす配列と配列の乗算の命令数も削減できる。
【０３２６】
（除算処理）
本発明の実施形態では、古典的なニュートン法により除算を行なう。ｘ＝ａ／ｂを求めるために、まず、１／ｂを求め、その結果にａを乗ずる。１／ｂを求めるために、ｆ（ｘ）＝（１／ｘ）−ｂについてニュートン法を適用する。このとき、ニュートン法の漸化式は、たとえば、以下の式（４５）、（４６）で与えられる。
【０３２７】
ｘ0＝１ ・・・（４５）
ｘn+1＝ｘn−ｆ（xn）/ｆ′(ｘn）＝ｘn×（２−ｂ×ｘn） ・・・（４６）
図２０は、ニュートン法を用いた除算処理の内容を説明するための図である。図２１は、図２０中のサブルーチンｃｍｐの内容を表わす図である。
【０３２８】
図２０において、２１行目は、ｑ＝ｂ×ｘnの乗算を実行するルーチンである。
２２行目は、ｑ＝（２−ｑ）の減算を実行するルーチンである。
【０３２９】
２３行目は、ｑ＝ｘn×ｑの乗算を実行するルーチンである。
２５行目および２６行目において、ｘn+1（＝ｑ）がｘnと等しければ、２０行目〜３０行目のループを抜ける。
【０３３０】
３２行目は、ｘn、すなわち（１／ｂ）にａを乗ずるルーチンである。
（除算処理の比較）
図２０の２１行目、２３行目、３２行目の乗算ルーチンmulを実行するＣＰＵ３がＡＭＤ６４の場合では、図１６および図１８に示されるものであるのに対して、ＣＰＵ３がＡｌｐｈａの場合では、図１６および図１９に示されるものである。両者を比較すると、ＣＰＵ３がＡＭＤ６４の方が、命令数が少ないことがわかる。
【０３３１】
また、図２０の２２行目の減算ルーチンsubを実行するＣＰＵ３がＡＭＤ６４の場合では、図１３に示されるものであるのに対して、ＣＰＵ３がＡｌｐｈａの場合では、図１４に示されるものである。両者を比較すると、ＣＰＵ３がＡＭＤ６４の方が、命令数が少ないことがわかる。以上のことから、本発明の実施形態のようにキャリーフラグＣＦを利用することにより、それを利用しない場合と比べて、仮数部の除算処理の命令数を削減することができることがわかる。
【０３３２】
（計算の精度についての実験結果）
本発明の実施の形態では、仮数部が６４×ｎビットで表わされるが、ｎを大きくすることで、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度に影響する正則化パラメータａの値を小さくすることができる。以下では、正則化パラメータａの大きさによって、ｆa,s(n)（ｔ）がどのように変化するかの実験結果を説明する。ｆ（ｔ）がステップ函数の場合に、ラプラス変換像Ｆ（ｐi）が解析的に求まるが、これを用いて、実験を行なった。
【０３３３】
図２２（ａ）は、正則化パラメータａ＝１０-1、１０-4、１０-8、１０-12のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。図２２（ｂ）は、正則化パラメータａ＝１０-100、１０-400のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【０３３４】
これらの図から、正則化パラメータａを小さくするほど、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度が増加することがわかる。図２２内のステップ函数の場合には、正則化パラメータａは、少なくとも１０-100ぐらい小さくなくては有効な逆ラプラス変換像が得られないことがわかる。正則化パラメータａの値をこのような小さな値にして、かつ現実的な時間内で逆ラプラス変換像を算出するためには、本発明の実施形態で説明したように、キャリーフラグＣＦを用いて命令数を大幅に削減した多倍長演算が必要不可欠となる。
【０３３５】
また、本発明の実施の形態では、式（６）を修正した式（１０）を用いることによって、ｆ（０）が０以外の函数についても、逆ラプラス変換の値を高精度で求めることができるという特徴がある。以下では、軟化子パラメータｓの大きさによって、ｆa,s(n)（ｔ）がどのように変化するかの実験結果を説明する。ここでは、式（４７）、（４８）で表される函数ｆ（ｔ）を実験に用いた。
【０３３６】
０＜ｔ＜１において、ｆ（ｔ）＝１ ・・・（４７）
１＜ｔにおいて、ｆ（ｔ）＝０ （４８）
図２３（ａ）は、ｓ＝０．１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図であり、図２３（ｂ）は、ｓ＝０．０１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【０３３７】
これらの図から、軟化子パラメータｓを小さくするほど、ｆa,s(n)（ｔ）の計算精度が増加することがわかる。軟化子パラメータｓを目的に応じて適当な値に設定することによって、ｆ（０）が０以外の函数について、逆ラプラス変換の値を高精度で求めることができる。
【０３３８】
［第４の実施形態］
第４の実施形態は、Ｈテーブルを作成する処理と、Ｈテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する処理とを別個の装置で行なう構成に関するものである。
【０３３９】
図２４は、Ｈテーブルを作成する逆ラプラス変換用テーブル作成装置の構成を表わす図である。図２４の逆ラプラス変換用テーブル作成装置は、コンピュータで実現されるものであり、図２４において、図１と同一の構成要素については同一の符号を付している。
【０３４０】
図２４を参照して、ＣＰＵ６３は、第１〜第３の実施形態と異なり、テーブル作成部４としてのみ機能する。
【０３４１】
入力部６２は、第１〜第３の実施形態と異なり、Ｈテーブルの作成に必要なサンプル数ｎ、上限値Ｕ、下限値Ｌ、正則化パラメータａが入力される。
【０３４２】
プログラム記憶部６５には、第１〜第３の実施形態と異なり、コンピュータをテーブル作成部４として機能させるための逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア６７を通じて、外部からインストールすることができる。
【０３４３】
変数記憶部６６には、第１〜第３の実施形態と異なり、Ｈテーブル作成にのみ必要な変数が記憶される。
【０３４４】
メインメモリ６４内のＨテーブル記憶部１２に記憶されているＨテーブルと、変数記憶部６６に記憶されている変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）は、リムーマブルメディア６７に出力することができる。これにより、リムーマブルメディア６７に記憶されたＨテーブルおよび変数を他の装置のメインメモリに送り記憶させることで、他の装置で、Ｈテーブルおよび変数ｈ、ｐi、ｑiを利用することができる。
【０３４５】
図２５は、逆ラプラス変換の数値解を算出する逆ラプラス変換の数値解算出装置の構成を表わす図である。図２５の逆ラプラス変換の数値解算出装置は、コンピュータで実現されるものであり、図２５において、図１と同一の構成要素については同一の符号を付している。
【０３４６】
図２５を参照して、ＣＰＵ７３は、第１〜第３の実施形態と個なり、逆変換部５としてのみ機能する。
【０３４７】
入力部７２は、第１〜第３の実施形態と異なり、逆ラプラス変換の数値解算出のために必要なラプラス変換像Ｆ（ｐi)と、軟化子パラメータｓとが入力される。
【０３４８】
プログラム記憶部７５には、第１〜第３の実施形態と異なり、コンピュータを逆変換部５および出力部１３として機能させるための逆ラプラス変換の数値解算出プログラムが記憶されている。逆ラプラス変換の数値解算出プログラムは、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk - Read Only Memory）などのコンピュータ読取り可能な記録媒体であるリムーマブルメディア７７を通じて、外部からインストールすることができる。
【０３４９】
リムーマブルメディア７７に記憶されているＨテーブルと、変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）は、それぞれメインメモリ７４内のＨテーブル記憶部１２と、変数記憶部７６に出力することができる。これにより、図２４の装置で作成されてリムーマブルメディア６７に記憶されたＨテーブルおよび変数ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）を、図２５の装置で利用することができる。
【０３５０】
以上のように、第４の実施形態では、Ｈテーブルの作成と、逆ラプラス変換の数値解の算出とを別個の装置で行なうことができるので、Ｈテーブルの作成を高速の計算機で行なってユーザに提供し、ユーザは、自身のパソコン上で提供を受けたＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出を行なうようにすることができる。
【０３５１】
（変形例）
本発明は、上記の実施の形態に限定されるものではなく、たとえば以下のような変形例を含む。
【０３５２】
（１） テーブルに記述する情報
本発明の第４の実施形態では、図２４の逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、連立方程式の解｛Ｈi n,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を記述したＨテーブルと、ｈ、ｐi、ｑi（ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ）とをリムーバブルメディアに出力して、図２５の逆ラプラス変換の数値解算出装置でこれを利用したが、これに限定するものではない。たとえば、逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、Ｈテーブルだけをリムーバブルメディアに出力し、逆ラプラス変換の数値解算出装置では、ｎ、Ｕ、Ｌを入力して、ｈ、ｐi、ｑjを再計算するものとしてもよい。また、逆ラプラス変換用テーブル作成装置が、ｈ×ｐi×Ｈi n,a,t×ｑiを計算して、計算結果を記述したテーブルとｐiとをリムーバブルメディアに出力し、逆ラプラス変換の数値解算出装置で、これらを利用して、式（３８）で表わされる計算をより簡単に計算するようにしてもよい。
【０３５３】
（２） 離散化の手法
本発明の実施形態で説明した式（２２）〜（２４）を離散化する手法は、様々な方法があり、式（２５）〜（３６）はその一例にすぎず、その他の方法で行なってもよい。
【０３５４】
（３） ６４ビットレジスタ
本発明の第３の実施形態では、ＣＰＵが６４ビット長のレジスタを備える場合を例にして説明したが、これは一例であって、Ｋビット長（Ｋは自然数）のレジスタ、たとえば１６ビット長、３２ビット長、１２８ビット長などのレジスタであってもよい。
【０３５５】
（４） ＬＵ分解
本発明の第１の実施形態では、第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式を構成する係数行列ＡをＬＵ分解したが、これに限定するものではなく、下三角行列と上三角行列の積に分解できるものなら、どのような分解方法であってもよい。
【０３５６】
今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は上記した説明ではなくて特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。
【図面の簡単な説明】
【０３５７】
【図１】第１の実施形態の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【図２】Ｈテーブルを表わす図である。
【図３】第１の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図４】第１の実施形態におけるＨテーブルを用いて逆ラプラス変換の数値解を算出する手順を表わすフローチャートである。
【図５】第１の実施形態の変形例の逆ラプラス変換装置の構成を表わす図である。
【図６】第１の実施形態の変形例におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図７】第２の実施形態におけるＨテーブルを作成する手順を表わすフローチャートである。
【図８】第３の実施形態のＣＰＵの具体的な構成を表わす図である。
【図９】フラグレジスタの具体的な構成を表わす図である。
【図１０】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、図８の逆ラプラス変換装置において演算の対象となる数値の表現を説明するための図である。
【図１１】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４の加算処理の内容を表わす図である。
【図１２】Ａｌｐｈａの加算処理の内容を表わす図である。
【図１３】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４の減算処理の内容を表わす図である。
【図１４】Ａｌｐｈａの減算処理の内容を表わす図である。
【図１５】本発明の実施形態で用いる乗算処理の内容を説明するための図である。
【図１６】本発明の実施形態における乗算処理の内容を表わす図である。
【図１７】本発明の実施形態で用いる乗算処理の内容を説明するための図である。
【図１８】フラグレジスタを備えるＣＰＵの一例であるＡＭＤ６４のｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。
【図１９】Ａｌｐｈａのｍｕｌ＿ａｄｄの内容を表わす図である。
【図２０】ニュートン法を用いた除算処理の内容を説明するための図である。
【図２１】図２０中のサブルーチンｃｍｐの内容を表わす図である。
【図２２】（ａ）は、正則化パラメータａ＝１０-1、１０-4、１０-8、１０-12のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。（ｂ）は、正則化パラメータａ＝１０-100、１０-400のときの、計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【図２３】（ａ）は、ｓ＝０．１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図であり、（ｂ）は、ｓ＝０．０１での計算結果ｆa,s(n)（ｔ）を示す図である。
【図２４】Ｈテーブルを作成する逆ラプラス変換用テーブル作成装置の構成を表わす図である。
【図２５】逆ラプラス変換の数値解を算出する逆ラプラス変換の数値解算出装置の構成を表わす図である。
【符号の説明】
【０３５８】
１，８１ 逆ラプラス変換装置、６１ 逆ラプラス変換用テーブル作成装置、７１ 逆ラプラス変換数値解算出装置、２，６２，７２ 入力部、３，６３ ＣＰＵ、４，８４ テーブル作成部、５ 逆変換部、６，６４，７４ メインメモリ、７，６５，７５ プログラム記憶部、８，６６，７６ 変数記憶部、９ 三角行列記憶部、１２ Ｈテーブル記憶部、１３ 出力部、１４ 表示装置、６７，７７，９９ リムーバブルメディア、５３ 制御部、５４ 演算器、５６ 汎用レジスタ群、５７ フラグレジスタ、８９ 逆行列記憶部。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するために、コンピュータに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、
前記作成したテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換プログラム。
【請求項２】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、
軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ１）で表わされ、
【数１】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ２）で表わされ、
【数２】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ３）の条件が成立し、
【数３】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ４）で表わされ、
【数４】
前記内積は、式（Ａ５）で表わされる、
【数５】
請求項１記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項３】
ρ（ｔ）は、式（Ａ６）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ７）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ａ８）で表わされる、
【数６】
請求項２記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項４】
前記コンピュータは、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記テーブルを作成するステップおよび前記原像の数値解を算出するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項５】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項６】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項７】
前記テーブルを作成するステップは、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ９）〜（Ａ１４）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【数７】
前記連立方程式は、式（Ａ１５）で表わされ、
式（Ａ１６）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ１５）の解を算出するステップと、
【数８】
式（Ａ１７）に従って、式（Ａ１５）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含み、
【数９】
前記原像の数値解を算出するステップは、前記テーブルを参照して、式（Ａ１８）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj)から、前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップを含む、
【数１０】
請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項８】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するためのテーブルを作成するために、コンピュータに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、
前記作成したテーブルを記憶部に保存するステップとを実行させるテーブル作成プログラム。
【請求項９】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ１９）で表わされ、
【数１１】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ２０）で表わされ、
【数１２】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ２１）の条件が成立し、
【数１３】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ２２）で表わされる、
【数１４】
請求項８記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１０】
ρ（ｔ）は、式（Ａ２３）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ２４）で表わされる、
【数１５】
請求項９記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１１】
前記コンピュータは、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記テーブルを作成するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１２】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１３】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１４】
前記テーブルを作成するステップは、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ２５）〜（Ａ３０）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【数１６】
前記連立方程式は、式（Ａ３１）で表わされ、
式（Ａ３２）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ３１）の解を算出するステップと、
【数１７】
式（Ａ３３）に従って、式（Ａ３１）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含む、
【数１８】
請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１５】
請求項８に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項８に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１６】
請求項９に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項９に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記内積は、式（Ａ３４）で表わされ、
【数１９】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１７】
請求項１０、１２、１３に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項１０、１２、１３に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ａ３５）で表わされ、
【数２０】
前記内積は、式（Ａ３６）で表わされ、
【数２１】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１８】
請求項１１記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備えたコンピュータに、
請求項１１記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ａ３７）で表わされ、
【数２２】
前記内積は、式（Ａ３８）で表わされ、
【数２３】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させ、
前記原像の数値解を算出するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１９】
請求項１４記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項１４記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、式（Ａ３９）に従って、前記第二種積分方程式の数値解とラプラス変換像Ｆ（ｐj）から前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップと、
【数２４】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項２０】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出する逆ラプラス変換装置であって、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するテーブル作成部と、
前記作成したテーブルを記憶する記憶部と、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出する逆変換部と、
前記原像の数値解を出力する出力部とを備えた逆ラプラス変換装置。
【請求項２１】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、
軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ４０）で表わされ、
【数２５】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ４１）で表わされ、
【数２６】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ４２）の条件が成立し、
【数２７】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ４３）で表わされ、
【数２８】
前記内積は、式（Ａ４４）で表わされる、
【数２９】
請求項２０記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２２】
ρ（ｔ）は、式（Ａ４５）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ４６）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ａ４７）で表わされる、
【数３０】
請求項２１記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２３】
前記テーブル作成部および前記逆変換部とは、共通して、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記演算器は、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて演算を行なう、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２４】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブル作成部は、前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶し、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出する、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２５】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブル作成部は、前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶し、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出する、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２６】
前記テーブル作成部は、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ４８）〜（Ａ５３）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算し、
【数３１】
前記連立方程式は、式（Ａ５４）で表わされ、前記テーブル作成部は、式（Ａ５５）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ５４）の解を算出し、
【数３２】
前記テーブル作成部は、さらに式（Ａ５６）に従って、式（Ａ５４）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成し、
【数３３】
前記逆変換部は、前記テーブルを参照して、式（Ａ５７）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj）から前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する、
【数３４】
請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項１】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するために、コンピュータに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、
前記作成したテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換プログラム。
【請求項２】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、
軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ１）で表わされ、
【数１】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ２）で表わされ、
【数２】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ３）の条件が成立し、
【数３】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ４）で表わされ、
【数４】
前記内積は、式（Ａ５）で表わされる、
【数５】
請求項１記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項３】
ρ（ｔ）は、式（Ａ６）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ７）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ａ８）で表わされる、
【数６】
請求項２記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項４】
前記コンピュータは、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記テーブルを作成するステップおよび前記原像の数値解を算出するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項５】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項６】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項７】
前記テーブルを作成するステップは、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ９）〜（Ａ１４）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【数７】
前記連立方程式は、式（Ａ１５）で表わされ、
式（Ａ１６）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ１５）の解を算出するステップと、
【数８】
式（Ａ１７）に従って、式（Ａ１５）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含み、
【数９】
前記原像の数値解を算出するステップは、前記テーブルを参照して、式（Ａ１８）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj)から、前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップを含む、
【数１０】
請求項３記載の逆ラプラス変換プログラム。
【請求項８】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出するためのテーブルを作成するために、コンピュータに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップと、
前記作成したテーブルを記憶部に保存するステップとを実行させるテーブル作成プログラム。
【請求項９】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ１９）で表わされ、
【数１１】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ２０）で表わされ、
【数１２】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ２１）の条件が成立し、
【数１３】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ２２）で表わされる、
【数１４】
請求項８記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１０】
ρ（ｔ）は、式（Ａ２３）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ２４）で表わされる、
【数１５】
請求項９記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１１】
前記コンピュータは、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記テーブルを作成するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１２】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１３】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブルを作成するステップは、
前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶するステップと、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出するステップとを含む、請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１４】
前記テーブルを作成するステップは、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ２５）〜（Ａ３０）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算するステップと、
【数１６】
前記連立方程式は、式（Ａ３１）で表わされ、
式（Ａ３２）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ３１）の解を算出するステップと、
【数１７】
式（Ａ３３）に従って、式（Ａ３１）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するステップとを含む、
【数１８】
請求項１０記載のテーブル作成プログラム。
【請求項１５】
請求項８に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項８に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１６】
請求項９に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項９に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記内積は、式（Ａ３４）で表わされ、
【数１９】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１７】
請求項１０、１２、１３に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、ラプラス変換像に対する原像の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項１０、１２、１３に記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ａ３５）で表わされ、
【数２０】
前記内積は、式（Ａ３６）で表わされ、
【数２１】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１８】
請求項１１記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備えたコンピュータに、
請求項１１記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数Ｒs（ｐ）を乗じたラプラス変換像Ｆ（ｐ）との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出するステップと、前記軟化子函数Ｒs（ｐ）は、式（Ａ３７）で表わされ、
【数２２】
前記内積は、式（Ａ３８）で表わされ、
【数２３】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させ、
前記原像の数値解を算出するステップは、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて前記演算器に演算を行なわせるステップを含む、逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項１９】
請求項１４記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムによって作成されたテーブルを用いて、逆ラプラス変換の数値解を作成するために、コンピュータに、
請求項１４記載の逆ラプラス変換のためのテーブル作成プログラムで作成されたテーブルが入力され、入力されたテーブルを記憶部に保存するステップと、
前記記憶部のテーブルを参照して、式（Ａ３９）に従って、前記第二種積分方程式の数値解とラプラス変換像Ｆ（ｐj）から前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出するステップと、
【数２４】
前記原像の数値解を出力するステップとを実行させる逆ラプラス変換の数値解算出プログラム。
【請求項２０】
与えられた正則化パラメータと軟化子パラメータのもとで、ラプラス変換像に対する原像の数値解を算出する逆ラプラス変換装置であって、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数からなる重み付き再生核ヒルベルト空間上で、重み付き二乗可積分空間を観測空間としたチホノフ正則化法により導かれる第二種積分方程式を離散化して得られる連立方程式の解を求め、前記連立方程式の解に基づく前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成するテーブル作成部と、
前記作成したテーブルを記憶する記憶部と、
前記記憶部のテーブルを参照して、前記第二種積分方程式の数値解と軟化子函数を乗じたラプラス変換像との重み付き二乗可積分空間での内積を数値計算で求めることにより、原像の数値解を算出する逆変換部と、
前記原像の数値解を出力する出力部とを備えた逆ラプラス変換装置。
【請求項２１】
正則化パラメータをａとし、
軟化子パラメータｓとし、
任意の関数ｇのラプラス変換像をＬｇとし、
数値解を算出する原像に対するラプラス変換像をＦ（ｐ）とし、
軟化子函数をＲs（ｐ）としたときに、
原点で零であり、かつ絶対連続な函数ｆからなる重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkのノルムは、式（Ａ４０）で表わされ、
【数２５】
前記重み付き再生核ヒルベルト空間Ｈkでの再生核Ｋ（ｔ,t′）が式（Ａ４１）で表わされ、
【数２６】
前記重み付き二乗可積分空間は、Ｌ2（Ｒ+，ｕ（ｐ）ｄｐ）で表わされ、
ρ（ｔ）とｕ（ｐ）の間には、式（Ａ４２）の条件が成立し、
【数２７】
前記第二種積分方程式は、式（Ａ４３）で表わされ、
【数２８】
前記内積は、式（Ａ４４）で表わされる、
【数２９】
請求項２０記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２２】
ρ（ｔ）は、式（Ａ４５）で表わされ、ｕ（ｐ）は、式（Ａ４６）で表わされ、Ｒs（ｐ）は、式（Ａ４７）で表わされる、
【数３０】
請求項２１記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２３】
前記テーブル作成部および前記逆変換部とは、共通して、
Ｋビット長（Ｋは自然数）の汎用レジスタと、
直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かを示すフラグを格納するフラグレジスタと、
前記フラグを参照して、直前の演算により繰上りまたは繰下がりが生じたか否かに応じた演算を行なう演算器とを備え、
前記演算器は、前記数値計算の対象となる変数について、その仮数部をＫ×Ｎビット（Ｎは２以上の自然数）の多倍長で表わし、前記変数の仮数部をＫビットごとに区切って、区切られた下位側から順次、前記汎用レジスタを用いて演算を行なう、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２４】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブル作成部は、前記行列Ａの逆行列Ａ-1を算出して、前記逆行列Ａ-1の要素を前記記憶部に記憶し、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記逆行列Ａ-1の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出する、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２５】
前記連立方程式は、Ａｘ＝ｂの形で表わされ、Ａは各要素がｔに依存しない係数行列であり、ｘは連立方程式の解を要素とするベクトルであり、ｂは各要素がｔに依存するベクトルであり、
前記テーブル作成部は、前記行列Ａを上三角行列と下三角行列の積に分解して、前記上三角行列と前記下三角行列の要素を前記記憶部に記憶し、
計算範囲内のすべてのｔについて、前記記憶部に記憶されている前記上三角行列と前記下三角行列の要素の値に基づいて、前記連立方程式の解を算出する、請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【請求項２６】
前記テーブル作成部は、
前記正則化パラメータａおよび前記軟化子パラメータｓと、その他のパラメータｎ、Ｕ、Ｌとから、式（Ａ４８）〜（Ａ５３）に従って、それぞれ変数ｈ、ｘj、ｐj、ｑj、ａij、Ｈ（ｐj, t)を計算し、
【数３１】
前記連立方程式は、式（Ａ５４）で表わされ、前記テーブル作成部は、式（Ａ５５）で表わされる行列Ａをコレスキー分解し、式（Ａ５４）の解を算出し、
【数３２】
前記テーブル作成部は、さらに式（Ａ５６）に従って、式（Ａ５４）の解から前記第二種積分方程式の数値解｛Ｈin,a,t：ｉ＝０，１，２，・・・，ｎ｝を算出し、前記第二種積分方程式の数値解を含む情報を記述したテーブルを作成し、
【数３３】
前記逆変換部は、前記テーブルを参照して、式（Ａ５７）に従って、ラプラス変換像Ｆ（ｐj）から前記原像の数値解ｆa,s(n)（ｔ）を算出する、
【数３４】
請求項２２記載の逆ラプラス変換装置。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【図２３】
【図２４】
【図２５】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【図２３】
【図２４】
【図２５】
【公開番号】特開２００９−６４４２４（Ｐ２００９−６４４２４Ａ）
【公開日】平成２１年３月２６日（２００９．３．２６）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００８−２０３３８４（Ｐ２００８−２０３３８４）
【出願日】平成２０年８月６日（２００８．８．６）
【出願人】（５０４１３２２７２）国立大学法人京都大学 (1,269)
【出願人】（５０４１４５３６４）国立大学法人群馬大学 (352)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２１年３月２６日（２００９．３．２６）
【国際特許分類】
【出願日】平成２０年８月６日（２００８．８．６）
【出願人】（５０４１３２２７２）国立大学法人京都大学 (1,269)
【出願人】（５０４１４５３６４）国立大学法人群馬大学 (352)
【Ｆターム（参考）】
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