光学系の設計方法
【課題】 光学設計に必要な計算時間を短縮することを可能とする。
【解決手段】 光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。
【解決手段】 光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、半導体露光装置、液晶露光装置、カメラ、顕微鏡など、あらゆる光学分野に使用される光学系の設計方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来の光学系は、光軸上に屈折光学素子または、反射光学素子または、それらを複数枚組み合わせたもので構成され、それらの光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)を最適に設計することで収差を補正し、所望の性能を得ていた。
【０００３】
最適なパラメータ値を求めるために、現設計時点での収差値と、その設計値のパラメータをわずかに変化した場合の収差の変化率を求め、それらの値から、最小二乗法または減衰最小二乗法（DLS法）によりもっと良い設計解を得ていた。しかし、収差値は、パラメータ値に対して極めて非線形なために、最小二乗法または減衰最小二乗法による最適値を一回で求められることは稀で、何回も繰り返して計算することにより、所望の性能を得ていた。又、どのような光学系をどのような光学素子で構成するかは、かなりの試行錯誤を必要とし、結果的に光学系の設計には、かなりの計算時間を必要としていた。
【０００４】
ところが、レンズデータの各面間の光線移動式と屈折式を、光線通過位置や、光線の方向余弦で微分して記憶させることにより、パラメータによる微分が可能であることがFederにより示された(J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)、非特許文献１参照)。これによれば、収差のパラメータによる変化率の計算は著しく速くなり、光学系設計全体にかかる時間の大幅な短縮が可能となる。
【０００５】
【非特許文献１】J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、非特許文献１には、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法は示されていない。そこで、本発明は、光学系の設計に必要なこれらの量を微分で求める方法を提供することを課題としている。
【０００７】
また、光軸が偏芯することなどにより、光軸に関して回転非対称な光学系では、非点収差の光線追跡式は使えず、光学系に入射する主光線と、主光線から光学系に入射する角度を微小変化させた光線が像面付近で交差する交点位置から非点収差を計算していた。しかし、この計算方法では、高精度な非点収差位置を求めるためには角度をかなり微小変化しなければならないが、あまり微小であると桁落ちによる計算精度の劣化の問題があった。さらにそれをパラメータで微分するとさらに、計算精度上の問題があった。そこで、本発明は、像面付近で交差する交点位置を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、この問題を解決することを課題としている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
前記課題を解決するための第１の手段は、光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法である。
【０００９】
前記課題を解決するための第２の手段は、光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１０】
前記課題を解決するための第３の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１１】
前記課題を解決するための第４の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【発明の効果】
【００１２】
本発明の光学系の設計方法により、光学系の設計に必要な近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求めることが可能となり、光学設計に必要な計算時間を短縮することが可能となる（第１の手段）。また、光軸に関して非対称な光学系でも非点収差を正確に計算することが可能となる（第３の手段）。さらにこの計算式をパラメータで微分することにより、光軸に関して非対称な光学系でも、光学設計に必要な計算時間が大幅に短縮することが可能となる（第２の手段、第３の手段）。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
先ず、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動を計算するためには、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する必要がある。その方法が理解し易いように、最初に非特許文献１に記載されたFederによる方法を紹介する。
【００１４】
光学系の光軸をｘ軸、子午線軸をｚ軸とし、レンズの第(i-1)面から第i面までを光線が通過するときの光線追跡式について考える。なお、本明細書においては、文章中でベクトル記号を使用するとイメージデータを使用しなければならなくなり煩雑になるので、ベクトルの場合、その前にベクトルである旨を明示して代用することにする。式の中では、ベクトルを太文字で表す。又、行列は文章中では[ ]で示すものとし、式中では太文字で表す。
【００１５】
(i-1)面及びi面の光線通過点を、それぞれ、(i-1)面及びi面の光線の方向余弦を、それぞれ、（Ｘｉ−１，Ｙｉ−１，Ｚｉ−１）、（Ｘｉ，Ｙ１，Ｚ）とする。
【００１６】
光線が通過する面の形状及び、方向余弦の関係式より、ｘｉは ｙｉ，ｚｉより、Ｘｉは、 Ｙｉ、Ｚｉより求められる。
ここで、(i-1)面からi面までの移動の式を、
【００１７】
【数１】
ｉ面での屈折の式（または反射の式）を、
【００１８】
【数２】
とする。そして、(1-1)式,(1-2)式をparameter：ｐで微分する場合のベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ’を以下のように定義する。
【００１９】
【数３】
すると、ベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ'の微分は、次のようにベクトルＹｉ−１、ベクトルＹｉ−１'の微分で表わされる。
【００２０】
【数４】
ただし、
【００２１】
【数５】
となる。
【００２２】
次に像面を(F+1)面とし、[ＣＦ＋１]を単位行列とし、[ＣＦ’]＝[ＣＦ＋１][ＴＦ＋１]、[ＣＦ]＝[ＣＦ’][ＲＦ]、…、[Ｃｉ’]＝[Ｃｉ＋１][Ｔｉ]、[Ｃｉ]＝[Ｃｉ’][Ｒｉ] …(1-11)
とする。 ｐをｉ面でのパラメータとすると、pがシフトしても、ｉ面以前には光線追跡に影響を及ぼさない。つまり１≦ｊ≦ｉ−１のとき、
【００２３】
【数６】
ゆえに、
【００２４】
【数７】
（1-11）より（1-13）は、
【００２５】
【数８】
pがi面での曲率半径ｒｉまたは非球面係数Ｃｉｎならば、
【００２６】
【数９】
以外はゼロになる。従って（1-14）式は、
【００２７】
【数１０】
pが（i−１）面とi面での間隔Ｄｉ−１ならば、
【００２８】
【数１１】
以外はゼロになる。従って（1-14）式は
【００２９】
【数１２】
となる。このように、parameterに依存しない微分行列をあらかじめまとめて記憶しておいて計算することにより、計算時間の節約が可能になる。以上がFederによる方法の概略である。
【００３０】
次に(1-7)〜(1-10)で表わされるような各偏微分要素について、非球面非偏心の光線追跡式の場合に対して示しておく。
先ず、ｘｉはi面での曲率半径および非球面係数により、
【００３１】
【数１３】
となる。ただし、
【００３２】
【数１４】
である。従って、
【００３３】
【数１５】
となり、
【００３４】
【数１６】
と置くと、
【００３５】
【数１７】
となる。また、
【００３６】
【数１８】
とする。これらを用いて、移動式の微分要素を表わすと、
【００３７】
【数１９】
となる。移動式のパラメータによる微分は、パラメータが曲率半径ｒｉの場合、
【００３８】
【数２０】
【００３９】
【数２１】
となる。パラメータが曲率半径ｒｉ−１の場合、
【００４０】
【数２２】
となり、パラメータが非球面係数の場合
【００４１】
【数２３】
となる。またパラメータが間隔Ｄｉ−１の場合、
【００４２】
【数２４】
となる。
次に屈折式の微分要素を示す。光線と屈折面の交点での屈折面の法線の方向余弦を（αｉ、βｉ、γｉ）とすると、
【００４３】
【数２５】
となる。従って、
【００４４】
【数２６】
となる。ただし、
【００４５】
【数２７】
で与えられる。同様にして、
【００４６】
【数２８】
となる。次に、入射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩｉ、出射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩ’ｉ
とすると、
【００４７】
【数２９】
となり、屈折式は、
【００４８】
【数３０】
となる。これらのｙｉによる微分は、
【００４９】
【数３１】
となる。同様にして、
【００５０】
【数３２】
また、方向余弦による微分は、
【００５１】
【数３３】
となる。さらに、
【００５２】
【数３４】
と書き換えることができるので、
【００５３】
【数３５】
となり、屈折式のパラメータによる微分は、
【００５４】
【数３６】
【００５５】
【数３７】
【００５６】
【数３８】
となる。
【００５７】
次に、課題を解決するための第１の手段の実施の形態である計算方法について説明する。そのために、最初に、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する方法を説明する。ここでいう近軸光線追跡式とは、次のようなものである。すなわち、ｉ面と光線の交点の近軸的な位置をｈｉ，ｉ面での光線の光軸となす角をαｉとすると、
【００５８】
【数３９】
ただし、最終面Ｉ＝Ｆでは(２-２)を計算しない。そして、最終面では、光学系の倍率βが指定されている場合、αＦを(２-１)の代わりに、
αＦ＝α０／β …(2-3)
とする。ただし、α０は最初の面に入射する前の近軸的な光線と光軸のなす角度である。
また、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3)を計算しない。
【００５９】
次にGauss像面の位置ｄＦを、光学系の倍率βが指定されていてもいなくても、
ｄＦ＝ｈＦ／αＦ …(2-4)
と計算する。次に光学系の倍率βが指定されていない場合のみ、近軸倍率βを
β＝α０／αＦ …(2-5)
と計算する。なお光学系の倍率βが指定されている場合、最終面のレンズの曲率半径を
【００６０】
【数４０】
と計算する。
次に、近軸光線追跡の微分について説明する。
αｉ, hｉ＋ｈのパラメータｐによる微分のベクトルを、
【００６１】
【数４１】
とする。ただし、最終面では、(２-２)を計算しないので、
【００６２】
【数４２】
と定義する。すると、漸化式
【００６３】
【数４３】
が成立する。ただし[Ｇｉ]は次のような２行２列の微分行列である。
【００６４】
【数４４】
ただし、最終面では、
【００６５】
【数４５】
となる。パラメータｐが、ｉ面の曲率半径ｒｉまたは、間隔ｄｉとすると、ｐがシフトしても、ｉ面以前の近軸光線追跡式には影響を及ぼさないので、
【００６６】
【数４６】
となり、また、近軸光線追跡式においては、
【００６７】
【数４７】
となるので、
【００６８】
【数４８】
となる。(2-15)より、ｄαＦ／ｄｐ、ｄｈＦ／ｄｐが求められると、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3),(2-4)より、Gauss像面のパラメータによる変化率ｄαＦ／ｄｐ、近軸倍率のパラメータによる変化率ｄβ／ｄｐが
【００６９】
【数４９】
として求められる。また、光学系の倍率が指定されている場合、(2-3)より、αＦはパラメータにより変動せず、そして、最終面の曲率半径を変動させて、倍率を一定に保持するので、
【００７０】
【数５０】
となる。次に、個々の偏微分要素を近軸光線追跡式(2-1),(2-2)から求める。先ず、(2-12)の要素は、(2-1),(2-2)より、
【００７１】
【数５１】
となる。次に
【００７２】
【数５２】
の要素を求める。先ず、ｐがi面の曲率半径ｒｉの場合、
【００７３】
【数５３】
次にｐがi面と(i-1)面の間隔Ｄｉの場合、
【００７４】
【数５４】
次に、ｐがi面の２次の非球面係数Ｃｉ１の場合、
【００７５】
【数５５】
以上のようにして、近軸光線式のパラメータによる微分が求められる。
【００７６】
次にFederによる方法で求められた横収差のパラメータによる微分をもとに、Gauss像面の移動による収差の変動を微分で補正する方法について示す。図１において、現在のレンズデータによって、光線ＡＢが最終面ＦからGauss像面に向けて進行したとする。Gauss像面の光軸での位置は最終面ＦからＤＦの距離にあり、Gauss像面での光線到達位置は、光軸からＧＢ＝ｙＦ＋１の距離にある。パラメータｐが微小変動したことによる光線がＡ’Ｂ’とする。一方、パラメータｐが変動したことにより、Gauss像面位置がＤＦからＤＦ＋１’に移動する。すると光線は延長して、Ａ’Ｃ’となる。パラメータｐによる収差変動量は、ＢＢ’＝ΔｙＦでは無くて，Ｂから光軸に平行に引いて移動したGauss像面との交点Ｃ０により、Ｃ０Ｃ’＝ΔｙＦ’となる。図１より明らかなように、ＢＢ’とＣＣ’はほぼ等しく、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｐ、ｄｙＦ／ｄＤＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄＤＦ／ｄｐにより、
【００７７】
【数５６】
であるので、
【００７８】
【数５７】
となり、パラメータｐが微小変動したことによりGauss像面位置が移動したことによる補正された収差のパラメータによる微分は、
【００７９】
【数５８】
となり、同様にして、
となる。近軸光線追跡式の微分とSkew光線追跡式の微分とを区別する目安は、前者が最終面の間隔や曲率半径といったパラメータをパラメータで微分するのに対し、後者は像高や光線の方向余弦をパラメータで微分する量であるということである。
【００８０】
なお光学系の倍率βが指定されている場合、パラメータｐが変動すると、最終面のレンズの曲率半径が(2-6),(2-7)により変動するので、補正された収差のパラメータによる微分は、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｒＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄｒＦ／ｄｐにより、(2-33),(2-34)の式にさらに加えて、
【００８１】
【数５９】
となる。
【００８２】
以上のように、近軸光線追跡とその微分から、収差のパラメータによる微分をパラメータによるGauss像面の移動分だけ補正するまでのアルゴリズムを図２に示す。図２において、先ず演算処理Ｓ１により(2-1),(2-2)のような近軸光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ２により(2-20)〜(2-29)のような近軸微分要素を計算し、(2-8),(2-9),(2-11),(2-12)のような形にまとめる。近軸光線追跡が最終面まで終わると、演算処理Ｓ３により(2-3)〜(2-7)のように近軸量を計算し、演算処理Ｓ４により(2-15)のような近軸のパラメータｐｉによる微分を計算する。次に、skew計算のスケジュールに従って演算処理Ｓ５によりskew光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ６により(1-17)〜(1-85)のようなskew微分要素を計算する。Skew光線追跡が最後まで終わると、演算処理Ｓ７により(1-11)のようにskew微分行列を計算し、演算処理Ｓ８により(1-15)，(1-16)のように収差のパラメータpiによる微分を計算する。最後に収差のパラメータによる微分と近軸微分量から、演算処理Ｓ９により(2-33)〜(2-36)のようなGauss像面移動による補正をする。Skew光線追跡のスケジュールが全て終われば、収差のパラメータによる微分の計算を終了する。
【００８３】
次に、課題を解決する第２の手段の実施の形態である、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法を説明する。主光線がｉ面によって屈折するとき、主光線とｉ面の交点と、メリジオナル（子午的）結像位置との距離をＭｉ，サジタル結像位置との交点をＳｉとし、（i-1）面からｉ面までの光線の長さをＷｉとし、ｉ面に入射する光線と、ｉ面との交点でｉ面との法線とのなす角の余弦をＩ，その法線とｉ面より屈折する光線光線のなす角の余弦をＩ’とし、交点でのメリジオナル的、およびサジタル的曲率半径の逆数をそれぞれ、ρＭおよびρＳとすると、
【００８４】
【数６０】
【００８５】
【数６１】
となる。（3-1）および（3-2）を変形すると、
【００８６】
【数６２】
となる。ただし、
Ｊｉ＝ｎｉＩ’−ｎｉ−１Ｉ …（3-6）
である。従って、parameterｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、または、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１であるとき、ｐｉを変化させても、(i-1)面以前の光線追跡には影響を及ぼさず、(i-1)面からｉ面までの光線の長さＷｉには影響を及ぼす。従って、
【００８７】
【数６３】
となる。そして、ＳｉおよびＭｉのＰｉによる微分は、
【００８８】
【数６４】
となる。
次に、ｄＳｉ＋１／ｄｐｉ及びｄＭｉ＋１／ｄｐｉは、ｄＳｉ／ｄｐｉ及びｄＭｉ／ｄｐｉを用いて、
【００８９】
【数６５】
となるが、後述するように、微分要素を検討することにより、ＷｉやＩ、Ｉ’がｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの関数であることがわかるので、
【００９０】
【数６６】
とすることができる。(3-1),(3-2)式は子午面内での式であるので、（3-13），（3-14）のようにｚ方向の微分を考慮する必要はない。ここで注意すべきことは、(1-22)と同様にして、
【００９１】
【数６７】
であるので、ｊ≧ｉ＋１の場合、
【００９２】
【数６８】
であるが、(1-34),(1-35)から分かるように、ｊ＝ｉの場合は、(3-16)は成立しない。しかも、(1-34),(1-35)から、
【００９３】
【数６９】
であるが、
Ｙｉ−１＝０ …（3-18）
の場合は、(3-17)より、ｄｙｉ／ｄｐｉから、ｄｘｉ／ｄｐｉを求めることはできない。
【００９４】
従って、（3-13），（3-14）のように、ｙｉ、Ｙｉの微分にまとめることができず、ｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの微分で表わすことが必要になる。ｊ≧ｉ＋２の場合、ｙｉ−１、Ｙｉ−１の微分にまとめることが可能になり、
【００９５】
【数７０】
となる。
ｊ面でのｄＭｊ／ｄｐｉ、ｄＳｊ／ｄｐｉ、ｄｙｊ／ｄｐｉ、ｄＹｊ／ｄｐｉを一つのベクトルの成分とすると、(j-1)面でのベクトルとの関係は、次のような偏微分行列により、
【００９６】
【数７１】
となる。(3-21)における部分行列
【００９７】
【数７２】
は、(1-7)、(1-8)でｙ方向成分のみを取った行列により、
【００９８】
【数７３】
となる。
【００９９】
【数７４】
と置き、レンズデータの最終面をF面とすると、F面での微分ベクトルは、
【０１００】
【数７５】
となり、微分行列をＦ面から逆に(i+2)面までかける過程で、次々と非点収差のparameterによる微分が求められるので、計算時間の省略ができる。微分ベクトルのｊ＝ｉ＋１の場合は(3-13),(3-14)より、ｊ＝ｉの場合は(3-9),(3-10)より求められる。次に各微分要素を求める。
＜３−１＞
先ず(3-9),(3-10)のｊ＝ｉの場合の各微分要素を求める。(3-4),(3-5)においてそれぞれ、
【０１０１】
【数７６】
と置くと、(3-11),(3-12)における偏微分要素は、
【０１０２】
【数７７】
および、
【０１０３】
【数７８】
となる。
(3-1-4),(3-1-7)において、
【０１０４】
【数７９】
は、(1-64)より、
【０１０５】
【数８０】
となるので、
【０１０６】
【数８１】
となる。一方、(3-11),(3-12)における全微分要素ｄＷｉ／ｄｐｉは、(3-3)より、
【０１０７】
【数８２】
となる。(3-1-11)において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられる。(3-1-11d)において、
【０１０８】
【数８３】
であるので、
【０１０９】
【数８４】
となる。
【０１１０】
(3-1)，(3-2)はメリジオナル面内での光線追跡なので、z方向は全てゼロとなる。
【０１１１】
従って、(1-58)より、
【０１１２】
【数８５】
となり、(3-1-14)をｐｉで微分して、
【０１１３】
【数８６】
となる。（3-1-15）のｄαｉ／ｄｐｉ、ｄβｉ／ｄｐｉは、
【０１１４】
【数８７】
であるが、
【０１１５】
【数８８】
はそれぞれ、(1-76),(1-51),(1-77),(1-52)である。
ｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、(1-49),(1-21)より、
【０１１６】
【数８９】
より、子午面内ではｙｉ＝ｈｉ、ｚｉ＝０、γｉ＝０であるので、
【０１１７】
【数９０】
となり、
【０１１８】
【数９１】
となる。また、
【０１１９】
【数９２】
は、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-35)により、ｉ面の非球面係数の場合(1-38)により、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(1-48)により与えられる。
なお、球面の場合、
【０１２０】
【数９３】
である。
＜３−２＞
(3-11),(3-12)における
【０１２１】
【数９４】
は、（3-1-3）から（3-1-8）のｉに (i+1)を置き換えたものに等しい。一方
【０１２２】
【数９５】
は、
【０１２３】
【数９６】
と置くと、
【０１２４】
【数９７】
となる。次に(3-11),(3-12)における全微分を求めると、
ｄＳｉ／ｄｐｉ、ｄＭｉ／ｄｐｉは既に求められているが、ｄＷｉ＋１／ｄｐｉは、
【０１２５】
【数９８】
より、
【０１２６】
【数９９】
となる。（3-2-6）において、 (3-16)のように、ｄｘｉ＋１／ｄｐｉをｄｙｉ＋１／ｄｐｉで表わすことはできるが，ｄｘｉ／ｄｐｉをｄｙｉ／ｄｐｉで表わすことはできない。また、
【０１２７】
【数１００】
はそれぞれ、
【０１２８】
【数１０１】
となる。ρＳｉ＋１、ρＭｉ＋１はそれぞれ、(i+1)面のサジタル的およびメリジオナル的曲率半径の逆数なので、球面の場合は
【０１２９】
【数１０２】
であるが、非球面の場合は＜３−４＞を参照されたい。
また、(1-5)および(1-6)より、さらに
【０１３０】
【数１０３】
以外はゼロになることにより、
【０１３１】
【数１０４】
となる。従って、(3-2-6),(3-2-7),(3-2-8),(3-2-9)において、ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉは
【０１３２】
【数１０５】
となる。
【０１３３】
【数１０６】
はそれぞれ，(1-26)，(1-30)，(1-65)より、
【０１３４】
【数１０７】
はそれぞれ、(1-35)または(1-38)，(1-82)，(1-41)または(1-44)より求められる。
【０１３５】
【数１０８】
は(1-58)より求められる。(3-13)、（3-14）において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられ、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(３-1-12)で与えられる。(3-11),(3-12)に(3-2-6),(3-2-7),(3 -2-8),(3-2-9)を代入し、
ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉ、等でまとめると、
【０１３６】
【数１０９】
となる。つまり、(3-13),(3-14)の偏微分要素は、ｊ＝ｉ＋１として、
【０１３７】
【数１１０】
となる。
＜３−３＞
ｊ≧ｉ＋２の場合、
【０１３８】
【数１１１】
において、
【０１３９】
【数１１２】
はそれぞれ、（3-1-3）から（3-1-8）のｉにｊを置き換えたものに等しい。
【０１４０】
【数１１３】
はそれぞれ、(3-2-3),(3-2-4)のｉ＋１にｊを置き換えたものに等しい。また、(3-3),(3-16)より、
【０１４１】
【数１１４】
となり、さらに
【０１４２】
【数１１５】
となるので、(3-3-1),(3-3-2)に(3-3-3)から(3-3-7)を代入して、(3-2-17)〜(3-2-22)を用いて整理すると、
【０１４３】
【数１１６】
となる。つまり、(3-19),(3-20)の微分要素は、
【０１４４】
【数１１７】
となる。
＜３−４＞
非球面の場合、サジタル的曲率半径の逆数は、
【０１４５】
【数１１８】
となる。σｉは(1-20)で表わされる。
(3-4-1)のparameterによる微分は、(1-48)を用いて、
【０１４６】
【数１１９】
となり、
【０１４７】
【数１２０】
となる。ただし、
【０１４８】
【数１２１】
より、
【０１４９】
【数１２２】
となる。ｚ方向の成分がゼロなので、
【０１５０】
【数１２３】
となり、これを代入すると、
【０１５１】
【数１２４】
となる。
【０１５２】
【数１２５】
となり、
【０１５３】
【数１２６】
となる。ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。
ｐｉがｉ面の非球面係数である場合、
【０１５４】
【数１２７】
より、
【０１５５】
【数１２８】
となる。ｄｙｉ／ｄＣ１ｎは、(1-38)により求められる。なお、(3-2-17)における
【０１５６】
【数１２９】
は、
【０１５７】
【数１３０】
となる。
＜３−５＞
メリジオナル的曲率半径の逆数を求めると、非球面の場合、メリジオナル的曲率半径の逆数は、
【０１５８】
【数１３１】
となる。
【０１５９】
【数１３２】
【０１６０】
【数１３３】
より、
【０１６１】
【数１３４】
となる。ここで(1-48)を用いると、
【０１６２】
【数１３５】
となる。また、
【０１６３】
【数１３６】
となる。τｉ、νｉを
【０１６４】
【数１３７】
と定義し、また(1-21)、(3-5-5)に代入すると、
【０１６５】
【数１３８】
となる。ｐが曲率半径ｒｉのとき、
【０１６６】
【数１３９】
となり、(3-5-12),(3-5-13)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-9)と同様に、ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。ｐが非球面係数Ｃｉｎのとき、
【０１６７】
【数１４０】
となり、(3-5-14),(3-4-15)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-11)と同様に、ｄｙｉ／ｄＣｉｎは(1-38)により求められる。なお、(3-2-18)における
【０１６８】
【数１４１】
は、
【０１６９】
【数１４２】
となる。
＜３−６＞
次に反射面の場合の非点収差のパラメータによる微分を求める。反射面の場合、非点収差の追跡式は、
【０１７０】
【数１４３】
となる。
【０１７１】
【数１４４】
と置くと、
【０１７２】
【数１４５】
となる。(3-6-5),(3-6-6)において、
【０１７３】
【数１４６】
はそれぞれ、(3-1-11)または
(3-1-11d),(3-1-15)により求められる。また、(3-11)における偏微分要素は、
【０１７４】
【数１４７】
となる。また、(3-12)における偏微分要素は、
【０１７５】
【数１４８】
＜３−７＞
最後に像面での非点収差のパラメータによる微分の計算方法を示す。像面を（F+1）面とすると、像面からの非点収差は、F面（レンズデータの最終面）での非点収差から、
【０１７６】
【数１４９】
【０１７７】
【数１５０】
のように求められる。ただし、
【０１７８】
【数１５１】
である。(3-7-3)をパラメータｐｉで微分すると、
【０１７９】
【数１５２】
であるので、
【０１８０】
【数１５３】
となる。同様にして、
【０１８１】
【数１５４】
となる。従って最終面での非点収差の偏微分行列は、(3-16)より、
【０１８２】
【数１５５】
となる。Ｆ≧ｉの場合、(3-24)より、
【０１８３】
【数１５６】
Ｆ＝ｉ以外の場合、
【０１８４】
【数１５７】
と置くと、(3-24)より、
【０１８５】
【数１５８】
となる。以上、非点収差のパラメータによる微分の計算方法を図示すると、図３のようになる。図３において、各面の光線追跡中に、演算処理Ｓ１０は(3-9)，(3-10)により計算し、演算処理Ｓ１１は(3-2-17)〜(3-2-20)により、演算処理Ｓ１２は(3-2-21)，(3-2-22)により計算する。演算処理Ｓ１３は
(3-2-3),(3-2-4),(3-3-10)〜(3-3-13),(3-22)により計算する。光線追跡後に、演算処理Ｓ１４は(3-13)，(3-14)により計算し、演算処理Ｓ１５は、(3-7-9)により計算し、最後に演算処理Ｓ１６は(3-7-10)，(3-7-11)により計算する。
【０１８６】
パラメータの変動によりGauss像面が移動した場合、非点収差のパラメータによる微分は、近軸光線追跡の微分により求めたｄＤＦ／ｄｐｉより、
【０１８７】
【数１５９】
となる。
【０１８８】
次に発明を解決するための第３の手段の実施の形態である、非点収差を主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、計算する方法を示す。図４において、入射光線の方向余弦Ｙ０をΔＹ０だけ変動させたとき、Gauss像面ＧＢ０での光線ＡＢが光線Ａ'Ｂ'となる場合、ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＣとする。Ｃから光軸(ｘ軸)に平行に引いた直線とGauss像面との交点をＢ０とする。Gauss面上での到達位置がＧＢ＝ｙＦ＋１からＧＢ’＝ｙＦ＋１＋ΔｙＦ＋１と変化し，∠Ｂ０ＣＢ＝θから∠Ｂ０ＣＢ'＝θ＋Δθと変化した場合、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置をｍとすると、図４により明らかなように、
【０１８９】
【数１６０】
となり、これを方向余弦ＹＦで表わせば、
【０１９０】
【数１６１】
となる。
【０１９１】
【数１６２】
と表わすことができるので、(4-2)より、
【０１９２】
【数１６３】
となる。
【０１９３】
また図５のように、像面付近で子午面(ｘｙ面)内で光軸からθ傾いている光線ＡＢがあるとき、光軸に平行でＡと交差する軸をｘ’軸として、ｘ’軸とGauss像面との交点をＢ０とし、∠Ｂ０ＡＢ＝θとする。入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させたときのGauss像面での光線ＡＢ’の到達位置の変化を
ＢＢ’＝ΔｚＦ＋１、角度の変化を∠ＢＡＢ’＝Δφとし、Ｓ像位置をＡとし、ＡＢ＝ｓ’、ＡＢ０＝ｓとする。図５より明らかなように、
【０１９４】
【数１６４】
ただし、
【０１９５】
【数１６５】
となる。
Δφが微小であることから、
【０１９６】
【数１６６】
と近似でき、(4-6)〜(4-8)より、
【０１９７】
【数１６７】
となり、
【０１９８】
【数１６８】
と表わすことができるので、
【０１９９】
【数１６９】
となる。(4-5),(4-12)におけるＹ０、Ｚ０による微分量は、(1-7)、(1-8)、(1-11)より、
【０２００】
【数１７０】
となる。
【０２０１】
課題を解決するための第４の手段の実施の形態である、非点収差を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより計算する方法を、さらにパラメータで微分する方法について説明する。(4-5)、(4-12)をパラメータｐｉで微分すると、それぞれ、
【０２０２】
【数１７１】
となる。(5-1),(5-2)における1次微分は前記の方法で求められるが、2次微分
【０２０３】
【数１７２】
は次のようにして求められる。すなわち、パラメータpiがi面の曲率半径または非球面係数の場合、
【０２０４】
【数１７３】
となる。(5-3)は行列Ｔｉから行列ＴＦ＋１まで[2(F-i+1)+1]個の行列のｐｉによる全微分を含む項の和である。次に(5-3)における微分行列のパラメータによる全微分を偏微分と漸化式で表わす。その前に、(1-3),(1-4)と同様にして、次のようにベクトルを定義する。
【０２０５】
【数１７４】
すると、微分行列のパラメータによる全微分は以下のようになる。
【０２０６】
【数１７５】
【０２０７】
(5-7)における
【０２０８】
【数１７６】
と,(5-8)における
【０２０９】
【数１７７】
は、２階テンソルの行列をベクトルで微分しているので、３階テンソルになる。(5-6)から(5-10)を(5-3)に代入し、(5-1),(5-2)に代入することにより，非点収差の追跡式を微分するのとは別の方法で、非点収差のパラメータによる微分が得られる。
【実施例】
【０２１０】
以上の計算方法により、図２および図３のようなアルゴリズムを用いることにより、Federの収差のパラメータによる微分がさらに実用的になる。その実施例を次に示す。
【０２１１】
自動修正(DLS法)の計算時間について、収差のパラメータによる微分を差分近似するか、微分するかの違いにより計算時間にどれ程違いがあるか調査するために、レンズ面数が40面の投影レンズで、目標値数が50（その内近軸光線追跡による目標値が2個で、非点収差の目標値が6個）で、パラメータ数を1個から40個まで増やした場合の、両者の方法による自動修正の1サイクル毎の計算時間を測定した。その結果を図６に示す。図６の（１）が差分で、（２）が微分である。差分の場合、パラメータ数にほぼ比例して計算時間が増加しているのに対して、微分の場合は計算時間がほとんど増加しないことがわかる。
またparameter数を10毎増やした場合の計算時間の値を表１に示す。パラメータ数が５個以上ならば、差分による近似よりも微分の方が速く、パラメータ数が40個ならば、微分は差分の約５分の１の計算時間ですむ事がわかった。なお差分と微分とでは、メリットファンクションに大きな違いはないが、
若干微分の方が小さくなる場合が多い。
（表１）
【０２１２】
【表１】
【図面の簡単な説明】
【０２１３】
【図１】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する方法を示す図である。
【図２】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する計算のアルゴリズム図である。
【図３】非点収差のパラメータによる微分を計算する方法を示す図である。
【図４】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてメリジオナル像面移動位置を計算する方法 を示す図である。
【図５】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてサジタル像面移動位置を計算する方法を示す図である。
【図６】自動修正において収差のパラメータによる微分を差分近似するか微分するかによる計算時間の相違を示す図である。
【技術分野】
【０００１】
本発明は、半導体露光装置、液晶露光装置、カメラ、顕微鏡など、あらゆる光学分野に使用される光学系の設計方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来の光学系は、光軸上に屈折光学素子または、反射光学素子または、それらを複数枚組み合わせたもので構成され、それらの光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)を最適に設計することで収差を補正し、所望の性能を得ていた。
【０００３】
最適なパラメータ値を求めるために、現設計時点での収差値と、その設計値のパラメータをわずかに変化した場合の収差の変化率を求め、それらの値から、最小二乗法または減衰最小二乗法（DLS法）によりもっと良い設計解を得ていた。しかし、収差値は、パラメータ値に対して極めて非線形なために、最小二乗法または減衰最小二乗法による最適値を一回で求められることは稀で、何回も繰り返して計算することにより、所望の性能を得ていた。又、どのような光学系をどのような光学素子で構成するかは、かなりの試行錯誤を必要とし、結果的に光学系の設計には、かなりの計算時間を必要としていた。
【０００４】
ところが、レンズデータの各面間の光線移動式と屈折式を、光線通過位置や、光線の方向余弦で微分して記憶させることにより、パラメータによる微分が可能であることがFederにより示された(J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)、非特許文献１参照)。これによれば、収差のパラメータによる変化率の計算は著しく速くなり、光学系設計全体にかかる時間の大幅な短縮が可能となる。
【０００５】
【非特許文献１】J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、非特許文献１には、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法は示されていない。そこで、本発明は、光学系の設計に必要なこれらの量を微分で求める方法を提供することを課題としている。
【０００７】
また、光軸が偏芯することなどにより、光軸に関して回転非対称な光学系では、非点収差の光線追跡式は使えず、光学系に入射する主光線と、主光線から光学系に入射する角度を微小変化させた光線が像面付近で交差する交点位置から非点収差を計算していた。しかし、この計算方法では、高精度な非点収差位置を求めるためには角度をかなり微小変化しなければならないが、あまり微小であると桁落ちによる計算精度の劣化の問題があった。さらにそれをパラメータで微分するとさらに、計算精度上の問題があった。そこで、本発明は、像面付近で交差する交点位置を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、この問題を解決することを課題としている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
前記課題を解決するための第１の手段は、光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法である。
【０００９】
前記課題を解決するための第２の手段は、光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１０】
前記課題を解決するための第３の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【００１１】
前記課題を解決するための第４の手段は、光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法である。
【発明の効果】
【００１２】
本発明の光学系の設計方法により、光学系の設計に必要な近軸的なGauss像面の移動による収差の変動や、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求めることが可能となり、光学設計に必要な計算時間を短縮することが可能となる（第１の手段）。また、光軸に関して非対称な光学系でも非点収差を正確に計算することが可能となる（第３の手段）。さらにこの計算式をパラメータで微分することにより、光軸に関して非対称な光学系でも、光学設計に必要な計算時間が大幅に短縮することが可能となる（第２の手段、第３の手段）。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
先ず、パラメータを微小変化させたことによる近軸的なGauss像面の移動による収差の変動を計算するためには、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する必要がある。その方法が理解し易いように、最初に非特許文献１に記載されたFederによる方法を紹介する。
【００１４】
光学系の光軸をｘ軸、子午線軸をｚ軸とし、レンズの第(i-1)面から第i面までを光線が通過するときの光線追跡式について考える。なお、本明細書においては、文章中でベクトル記号を使用するとイメージデータを使用しなければならなくなり煩雑になるので、ベクトルの場合、その前にベクトルである旨を明示して代用することにする。式の中では、ベクトルを太文字で表す。又、行列は文章中では[ ]で示すものとし、式中では太文字で表す。
【００１５】
(i-1)面及びi面の光線通過点を、それぞれ、(i-1)面及びi面の光線の方向余弦を、それぞれ、（Ｘｉ−１，Ｙｉ−１，Ｚｉ−１）、（Ｘｉ，Ｙ１，Ｚ）とする。
【００１６】
光線が通過する面の形状及び、方向余弦の関係式より、ｘｉは ｙｉ，ｚｉより、Ｘｉは、 Ｙｉ、Ｚｉより求められる。
ここで、(i-1)面からi面までの移動の式を、
【００１７】
【数１】
ｉ面での屈折の式（または反射の式）を、
【００１８】
【数２】
とする。そして、(1-1)式,(1-2)式をparameter：ｐで微分する場合のベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ’を以下のように定義する。
【００１９】
【数３】
すると、ベクトルＹｉ、ベクトルＹｉ'の微分は、次のようにベクトルＹｉ−１、ベクトルＹｉ−１'の微分で表わされる。
【００２０】
【数４】
ただし、
【００２１】
【数５】
となる。
【００２２】
次に像面を(F+1)面とし、[ＣＦ＋１]を単位行列とし、[ＣＦ’]＝[ＣＦ＋１][ＴＦ＋１]、[ＣＦ]＝[ＣＦ’][ＲＦ]、…、[Ｃｉ’]＝[Ｃｉ＋１][Ｔｉ]、[Ｃｉ]＝[Ｃｉ’][Ｒｉ] …(1-11)
とする。 ｐをｉ面でのパラメータとすると、pがシフトしても、ｉ面以前には光線追跡に影響を及ぼさない。つまり１≦ｊ≦ｉ−１のとき、
【００２３】
【数６】
ゆえに、
【００２４】
【数７】
（1-11）より（1-13）は、
【００２５】
【数８】
pがi面での曲率半径ｒｉまたは非球面係数Ｃｉｎならば、
【００２６】
【数９】
以外はゼロになる。従って（1-14）式は、
【００２７】
【数１０】
pが（i−１）面とi面での間隔Ｄｉ−１ならば、
【００２８】
【数１１】
以外はゼロになる。従って（1-14）式は
【００２９】
【数１２】
となる。このように、parameterに依存しない微分行列をあらかじめまとめて記憶しておいて計算することにより、計算時間の節約が可能になる。以上がFederによる方法の概略である。
【００３０】
次に(1-7)〜(1-10)で表わされるような各偏微分要素について、非球面非偏心の光線追跡式の場合に対して示しておく。
先ず、ｘｉはi面での曲率半径および非球面係数により、
【００３１】
【数１３】
となる。ただし、
【００３２】
【数１４】
である。従って、
【００３３】
【数１５】
となり、
【００３４】
【数１６】
と置くと、
【００３５】
【数１７】
となる。また、
【００３６】
【数１８】
とする。これらを用いて、移動式の微分要素を表わすと、
【００３７】
【数１９】
となる。移動式のパラメータによる微分は、パラメータが曲率半径ｒｉの場合、
【００３８】
【数２０】
【００３９】
【数２１】
となる。パラメータが曲率半径ｒｉ−１の場合、
【００４０】
【数２２】
となり、パラメータが非球面係数の場合
【００４１】
【数２３】
となる。またパラメータが間隔Ｄｉ−１の場合、
【００４２】
【数２４】
となる。
次に屈折式の微分要素を示す。光線と屈折面の交点での屈折面の法線の方向余弦を（αｉ、βｉ、γｉ）とすると、
【００４３】
【数２５】
となる。従って、
【００４４】
【数２６】
となる。ただし、
【００４５】
【数２７】
で与えられる。同様にして、
【００４６】
【数２８】
となる。次に、入射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩｉ、出射光線ベクトルと屈折面の法線の内積をＩ’ｉ
とすると、
【００４７】
【数２９】
となり、屈折式は、
【００４８】
【数３０】
となる。これらのｙｉによる微分は、
【００４９】
【数３１】
となる。同様にして、
【００５０】
【数３２】
また、方向余弦による微分は、
【００５１】
【数３３】
となる。さらに、
【００５２】
【数３４】
と書き換えることができるので、
【００５３】
【数３５】
となり、屈折式のパラメータによる微分は、
【００５４】
【数３６】
【００５５】
【数３７】
【００５６】
【数３８】
となる。
【００５７】
次に、課題を解決するための第１の手段の実施の形態である計算方法について説明する。そのために、最初に、近軸光線追跡式のパラメータによる微分を計算する方法を説明する。ここでいう近軸光線追跡式とは、次のようなものである。すなわち、ｉ面と光線の交点の近軸的な位置をｈｉ，ｉ面での光線の光軸となす角をαｉとすると、
【００５８】
【数３９】
ただし、最終面Ｉ＝Ｆでは(２-２)を計算しない。そして、最終面では、光学系の倍率βが指定されている場合、αＦを(２-１)の代わりに、
αＦ＝α０／β …(2-3)
とする。ただし、α０は最初の面に入射する前の近軸的な光線と光軸のなす角度である。
また、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3)を計算しない。
【００５９】
次にGauss像面の位置ｄＦを、光学系の倍率βが指定されていてもいなくても、
ｄＦ＝ｈＦ／αＦ …(2-4)
と計算する。次に光学系の倍率βが指定されていない場合のみ、近軸倍率βを
β＝α０／αＦ …(2-5)
と計算する。なお光学系の倍率βが指定されている場合、最終面のレンズの曲率半径を
【００６０】
【数４０】
と計算する。
次に、近軸光線追跡の微分について説明する。
αｉ, hｉ＋ｈのパラメータｐによる微分のベクトルを、
【００６１】
【数４１】
とする。ただし、最終面では、(２-２)を計算しないので、
【００６２】
【数４２】
と定義する。すると、漸化式
【００６３】
【数４３】
が成立する。ただし[Ｇｉ]は次のような２行２列の微分行列である。
【００６４】
【数４４】
ただし、最終面では、
【００６５】
【数４５】
となる。パラメータｐが、ｉ面の曲率半径ｒｉまたは、間隔ｄｉとすると、ｐがシフトしても、ｉ面以前の近軸光線追跡式には影響を及ぼさないので、
【００６６】
【数４６】
となり、また、近軸光線追跡式においては、
【００６７】
【数４７】
となるので、
【００６８】
【数４８】
となる。(2-15)より、ｄαＦ／ｄｐ、ｄｈＦ／ｄｐが求められると、光学系の倍率が指定されていない場合、(2-3),(2-4)より、Gauss像面のパラメータによる変化率ｄαＦ／ｄｐ、近軸倍率のパラメータによる変化率ｄβ／ｄｐが
【００６９】
【数４９】
として求められる。また、光学系の倍率が指定されている場合、(2-3)より、αＦはパラメータにより変動せず、そして、最終面の曲率半径を変動させて、倍率を一定に保持するので、
【００７０】
【数５０】
となる。次に、個々の偏微分要素を近軸光線追跡式(2-1),(2-2)から求める。先ず、(2-12)の要素は、(2-1),(2-2)より、
【００７１】
【数５１】
となる。次に
【００７２】
【数５２】
の要素を求める。先ず、ｐがi面の曲率半径ｒｉの場合、
【００７３】
【数５３】
次にｐがi面と(i-1)面の間隔Ｄｉの場合、
【００７４】
【数５４】
次に、ｐがi面の２次の非球面係数Ｃｉ１の場合、
【００７５】
【数５５】
以上のようにして、近軸光線式のパラメータによる微分が求められる。
【００７６】
次にFederによる方法で求められた横収差のパラメータによる微分をもとに、Gauss像面の移動による収差の変動を微分で補正する方法について示す。図１において、現在のレンズデータによって、光線ＡＢが最終面ＦからGauss像面に向けて進行したとする。Gauss像面の光軸での位置は最終面ＦからＤＦの距離にあり、Gauss像面での光線到達位置は、光軸からＧＢ＝ｙＦ＋１の距離にある。パラメータｐが微小変動したことによる光線がＡ’Ｂ’とする。一方、パラメータｐが変動したことにより、Gauss像面位置がＤＦからＤＦ＋１’に移動する。すると光線は延長して、Ａ’Ｃ’となる。パラメータｐによる収差変動量は、ＢＢ’＝ΔｙＦでは無くて，Ｂから光軸に平行に引いて移動したGauss像面との交点Ｃ０により、Ｃ０Ｃ’＝ΔｙＦ’となる。図１より明らかなように、ＢＢ’とＣＣ’はほぼ等しく、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｐ、ｄｙＦ／ｄＤＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄＤＦ／ｄｐにより、
【００７７】
【数５６】
であるので、
【００７８】
【数５７】
となり、パラメータｐが微小変動したことによりGauss像面位置が移動したことによる補正された収差のパラメータによる微分は、
【００７９】
【数５８】
となり、同様にして、
となる。近軸光線追跡式の微分とSkew光線追跡式の微分とを区別する目安は、前者が最終面の間隔や曲率半径といったパラメータをパラメータで微分するのに対し、後者は像高や光線の方向余弦をパラメータで微分する量であるということである。
【００８０】
なお光学系の倍率βが指定されている場合、パラメータｐが変動すると、最終面のレンズの曲率半径が(2-6),(2-7)により変動するので、補正された収差のパラメータによる微分は、Federの方法によりskew光線追跡式を微分して求めたｄｙＦ／ｄｒＦと、近軸光線追跡式を微分して求めたｄｒＦ／ｄｐにより、(2-33),(2-34)の式にさらに加えて、
【００８１】
【数５９】
となる。
【００８２】
以上のように、近軸光線追跡とその微分から、収差のパラメータによる微分をパラメータによるGauss像面の移動分だけ補正するまでのアルゴリズムを図２に示す。図２において、先ず演算処理Ｓ１により(2-1),(2-2)のような近軸光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ２により(2-20)〜(2-29)のような近軸微分要素を計算し、(2-8),(2-9),(2-11),(2-12)のような形にまとめる。近軸光線追跡が最終面まで終わると、演算処理Ｓ３により(2-3)〜(2-7)のように近軸量を計算し、演算処理Ｓ４により(2-15)のような近軸のパラメータｐｉによる微分を計算する。次に、skew計算のスケジュールに従って演算処理Ｓ５によりskew光線追跡をし、光線追跡の各面毎に演算処理Ｓ６により(1-17)〜(1-85)のようなskew微分要素を計算する。Skew光線追跡が最後まで終わると、演算処理Ｓ７により(1-11)のようにskew微分行列を計算し、演算処理Ｓ８により(1-15)，(1-16)のように収差のパラメータpiによる微分を計算する。最後に収差のパラメータによる微分と近軸微分量から、演算処理Ｓ９により(2-33)〜(2-36)のようなGauss像面移動による補正をする。Skew光線追跡のスケジュールが全て終われば、収差のパラメータによる微分の計算を終了する。
【００８３】
次に、課題を解決する第２の手段の実施の形態である、非点収差のパラメータによる変化率を微分で求める方法を説明する。主光線がｉ面によって屈折するとき、主光線とｉ面の交点と、メリジオナル（子午的）結像位置との距離をＭｉ，サジタル結像位置との交点をＳｉとし、（i-1）面からｉ面までの光線の長さをＷｉとし、ｉ面に入射する光線と、ｉ面との交点でｉ面との法線とのなす角の余弦をＩ，その法線とｉ面より屈折する光線光線のなす角の余弦をＩ’とし、交点でのメリジオナル的、およびサジタル的曲率半径の逆数をそれぞれ、ρＭおよびρＳとすると、
【００８４】
【数６０】
【００８５】
【数６１】
となる。（3-1）および（3-2）を変形すると、
【００８６】
【数６２】
となる。ただし、
Ｊｉ＝ｎｉＩ’−ｎｉ−１Ｉ …（3-6）
である。従って、parameterｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、または、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１であるとき、ｐｉを変化させても、(i-1)面以前の光線追跡には影響を及ぼさず、(i-1)面からｉ面までの光線の長さＷｉには影響を及ぼす。従って、
【００８７】
【数６３】
となる。そして、ＳｉおよびＭｉのＰｉによる微分は、
【００８８】
【数６４】
となる。
次に、ｄＳｉ＋１／ｄｐｉ及びｄＭｉ＋１／ｄｐｉは、ｄＳｉ／ｄｐｉ及びｄＭｉ／ｄｐｉを用いて、
【００８９】
【数６５】
となるが、後述するように、微分要素を検討することにより、ＷｉやＩ、Ｉ’がｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの関数であることがわかるので、
【００９０】
【数６６】
とすることができる。(3-1),(3-2)式は子午面内での式であるので、（3-13），（3-14）のようにｚ方向の微分を考慮する必要はない。ここで注意すべきことは、(1-22)と同様にして、
【００９１】
【数６７】
であるので、ｊ≧ｉ＋１の場合、
【００９２】
【数６８】
であるが、(1-34),(1-35)から分かるように、ｊ＝ｉの場合は、(3-16)は成立しない。しかも、(1-34),(1-35)から、
【００９３】
【数６９】
であるが、
Ｙｉ−１＝０ …（3-18）
の場合は、(3-17)より、ｄｙｉ／ｄｐｉから、ｄｘｉ／ｄｐｉを求めることはできない。
【００９４】
従って、（3-13），（3-14）のように、ｙｉ、Ｙｉの微分にまとめることができず、ｘｉ、ｙｉ＋１、Ｙｉの微分で表わすことが必要になる。ｊ≧ｉ＋２の場合、ｙｉ−１、Ｙｉ−１の微分にまとめることが可能になり、
【００９５】
【数７０】
となる。
ｊ面でのｄＭｊ／ｄｐｉ、ｄＳｊ／ｄｐｉ、ｄｙｊ／ｄｐｉ、ｄＹｊ／ｄｐｉを一つのベクトルの成分とすると、(j-1)面でのベクトルとの関係は、次のような偏微分行列により、
【００９６】
【数７１】
となる。(3-21)における部分行列
【００９７】
【数７２】
は、(1-7)、(1-8)でｙ方向成分のみを取った行列により、
【００９８】
【数７３】
となる。
【００９９】
【数７４】
と置き、レンズデータの最終面をF面とすると、F面での微分ベクトルは、
【０１００】
【数７５】
となり、微分行列をＦ面から逆に(i+2)面までかける過程で、次々と非点収差のparameterによる微分が求められるので、計算時間の省略ができる。微分ベクトルのｊ＝ｉ＋１の場合は(3-13),(3-14)より、ｊ＝ｉの場合は(3-9),(3-10)より求められる。次に各微分要素を求める。
＜３−１＞
先ず(3-9),(3-10)のｊ＝ｉの場合の各微分要素を求める。(3-4),(3-5)においてそれぞれ、
【０１０１】
【数７６】
と置くと、(3-11),(3-12)における偏微分要素は、
【０１０２】
【数７７】
および、
【０１０３】
【数７８】
となる。
(3-1-4),(3-1-7)において、
【０１０４】
【数７９】
は、(1-64)より、
【０１０５】
【数８０】
となるので、
【０１０６】
【数８１】
となる。一方、(3-11),(3-12)における全微分要素ｄＷｉ／ｄｐｉは、(3-3)より、
【０１０７】
【数８２】
となる。(3-1-11)において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられる。(3-1-11d)において、
【０１０８】
【数８３】
であるので、
【０１０９】
【数８４】
となる。
【０１１０】
(3-1)，(3-2)はメリジオナル面内での光線追跡なので、z方向は全てゼロとなる。
【０１１１】
従って、(1-58)より、
【０１１２】
【数８５】
となり、(3-1-14)をｐｉで微分して、
【０１１３】
【数８６】
となる。（3-1-15）のｄαｉ／ｄｐｉ、ｄβｉ／ｄｐｉは、
【０１１４】
【数８７】
であるが、
【０１１５】
【数８８】
はそれぞれ、(1-76),(1-51),(1-77),(1-52)である。
ｐｉがｉ面の曲率半径や非球面係数であるとき、(1-49),(1-21)より、
【０１１６】
【数８９】
より、子午面内ではｙｉ＝ｈｉ、ｚｉ＝０、γｉ＝０であるので、
【０１１７】
【数９０】
となり、
【０１１８】
【数９１】
となる。また、
【０１１９】
【数９２】
は、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-35)により、ｉ面の非球面係数の場合(1-38)により、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(1-48)により与えられる。
なお、球面の場合、
【０１２０】
【数９３】
である。
＜３−２＞
(3-11),(3-12)における
【０１２１】
【数９４】
は、（3-1-3）から（3-1-8）のｉに (i+1)を置き換えたものに等しい。一方
【０１２２】
【数９５】
は、
【０１２３】
【数９６】
と置くと、
【０１２４】
【数９７】
となる。次に(3-11),(3-12)における全微分を求めると、
ｄＳｉ／ｄｐｉ、ｄＭｉ／ｄｐｉは既に求められているが、ｄＷｉ＋１／ｄｐｉは、
【０１２５】
【数９８】
より、
【０１２６】
【数９９】
となる。（3-2-6）において、 (3-16)のように、ｄｘｉ＋１／ｄｐｉをｄｙｉ＋１／ｄｐｉで表わすことはできるが，ｄｘｉ／ｄｐｉをｄｙｉ／ｄｐｉで表わすことはできない。また、
【０１２７】
【数１００】
はそれぞれ、
【０１２８】
【数１０１】
となる。ρＳｉ＋１、ρＭｉ＋１はそれぞれ、(i+1)面のサジタル的およびメリジオナル的曲率半径の逆数なので、球面の場合は
【０１２９】
【数１０２】
であるが、非球面の場合は＜３−４＞を参照されたい。
また、(1-5)および(1-6)より、さらに
【０１３０】
【数１０３】
以外はゼロになることにより、
【０１３１】
【数１０４】
となる。従って、(3-2-6),(3-2-7),(3-2-8),(3-2-9)において、ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉは
【０１３２】
【数１０５】
となる。
【０１３３】
【数１０６】
はそれぞれ，(1-26)，(1-30)，(1-65)より、
【０１３４】
【数１０７】
はそれぞれ、(1-35)または(1-38)，(1-82)，(1-41)または(1-44)より求められる。
【０１３５】
【数１０８】
は(1-58)より求められる。(3-13)、（3-14）において、ｄｘｉ／ｄｐｉは、ｐｉがｉ面の曲率半径の場合(1-34)で、ｉ面の非球面係数の場合(1-37)で与えられ、(i-1)面の間隔Ｄｉ−１の場合(３-1-12)で与えられる。(3-11),(3-12)に(3-2-6),(3-2-7),(3 -2-8),(3-2-9)を代入し、
ｄｙｉ＋１／ｄｐｉ、ｄＹｉ／ｄｐｉ、等でまとめると、
【０１３６】
【数１０９】
となる。つまり、(3-13),(3-14)の偏微分要素は、ｊ＝ｉ＋１として、
【０１３７】
【数１１０】
となる。
＜３−３＞
ｊ≧ｉ＋２の場合、
【０１３８】
【数１１１】
において、
【０１３９】
【数１１２】
はそれぞれ、（3-1-3）から（3-1-8）のｉにｊを置き換えたものに等しい。
【０１４０】
【数１１３】
はそれぞれ、(3-2-3),(3-2-4)のｉ＋１にｊを置き換えたものに等しい。また、(3-3),(3-16)より、
【０１４１】
【数１１４】
となり、さらに
【０１４２】
【数１１５】
となるので、(3-3-1),(3-3-2)に(3-3-3)から(3-3-7)を代入して、(3-2-17)〜(3-2-22)を用いて整理すると、
【０１４３】
【数１１６】
となる。つまり、(3-19),(3-20)の微分要素は、
【０１４４】
【数１１７】
となる。
＜３−４＞
非球面の場合、サジタル的曲率半径の逆数は、
【０１４５】
【数１１８】
となる。σｉは(1-20)で表わされる。
(3-4-1)のparameterによる微分は、(1-48)を用いて、
【０１４６】
【数１１９】
となり、
【０１４７】
【数１２０】
となる。ただし、
【０１４８】
【数１２１】
より、
【０１４９】
【数１２２】
となる。ｚ方向の成分がゼロなので、
【０１５０】
【数１２３】
となり、これを代入すると、
【０１５１】
【数１２４】
となる。
【０１５２】
【数１２５】
となり、
【０１５３】
【数１２６】
となる。ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。
ｐｉがｉ面の非球面係数である場合、
【０１５４】
【数１２７】
より、
【０１５５】
【数１２８】
となる。ｄｙｉ／ｄＣ１ｎは、(1-38)により求められる。なお、(3-2-17)における
【０１５６】
【数１２９】
は、
【０１５７】
【数１３０】
となる。
＜３−５＞
メリジオナル的曲率半径の逆数を求めると、非球面の場合、メリジオナル的曲率半径の逆数は、
【０１５８】
【数１３１】
となる。
【０１５９】
【数１３２】
【０１６０】
【数１３３】
より、
【０１６１】
【数１３４】
となる。ここで(1-48)を用いると、
【０１６２】
【数１３５】
となる。また、
【０１６３】
【数１３６】
となる。τｉ、νｉを
【０１６４】
【数１３７】
と定義し、また(1-21)、(3-5-5)に代入すると、
【０１６５】
【数１３８】
となる。ｐが曲率半径ｒｉのとき、
【０１６６】
【数１３９】
となり、(3-5-12),(3-5-13)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-9)と同様に、ｄｙｉ／ｄｒｉは(1-35)により求められる。ｐが非球面係数Ｃｉｎのとき、
【０１６７】
【数１４０】
となり、(3-5-14),(3-4-15)を(3-5-11)に代入すれば、求める微分が得られる。(3-4-11)と同様に、ｄｙｉ／ｄＣｉｎは(1-38)により求められる。なお、(3-2-18)における
【０１６８】
【数１４１】
は、
【０１６９】
【数１４２】
となる。
＜３−６＞
次に反射面の場合の非点収差のパラメータによる微分を求める。反射面の場合、非点収差の追跡式は、
【０１７０】
【数１４３】
となる。
【０１７１】
【数１４４】
と置くと、
【０１７２】
【数１４５】
となる。(3-6-5),(3-6-6)において、
【０１７３】
【数１４６】
はそれぞれ、(3-1-11)または
(3-1-11d),(3-1-15)により求められる。また、(3-11)における偏微分要素は、
【０１７４】
【数１４７】
となる。また、(3-12)における偏微分要素は、
【０１７５】
【数１４８】
＜３−７＞
最後に像面での非点収差のパラメータによる微分の計算方法を示す。像面を（F+1）面とすると、像面からの非点収差は、F面（レンズデータの最終面）での非点収差から、
【０１７６】
【数１４９】
【０１７７】
【数１５０】
のように求められる。ただし、
【０１７８】
【数１５１】
である。(3-7-3)をパラメータｐｉで微分すると、
【０１７９】
【数１５２】
であるので、
【０１８０】
【数１５３】
となる。同様にして、
【０１８１】
【数１５４】
となる。従って最終面での非点収差の偏微分行列は、(3-16)より、
【０１８２】
【数１５５】
となる。Ｆ≧ｉの場合、(3-24)より、
【０１８３】
【数１５６】
Ｆ＝ｉ以外の場合、
【０１８４】
【数１５７】
と置くと、(3-24)より、
【０１８５】
【数１５８】
となる。以上、非点収差のパラメータによる微分の計算方法を図示すると、図３のようになる。図３において、各面の光線追跡中に、演算処理Ｓ１０は(3-9)，(3-10)により計算し、演算処理Ｓ１１は(3-2-17)〜(3-2-20)により、演算処理Ｓ１２は(3-2-21)，(3-2-22)により計算する。演算処理Ｓ１３は
(3-2-3),(3-2-4),(3-3-10)〜(3-3-13),(3-22)により計算する。光線追跡後に、演算処理Ｓ１４は(3-13)，(3-14)により計算し、演算処理Ｓ１５は、(3-7-9)により計算し、最後に演算処理Ｓ１６は(3-7-10)，(3-7-11)により計算する。
【０１８６】
パラメータの変動によりGauss像面が移動した場合、非点収差のパラメータによる微分は、近軸光線追跡の微分により求めたｄＤＦ／ｄｐｉより、
【０１８７】
【数１５９】
となる。
【０１８８】
次に発明を解決するための第３の手段の実施の形態である、非点収差を主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分する方法により、計算する方法を示す。図４において、入射光線の方向余弦Ｙ０をΔＹ０だけ変動させたとき、Gauss像面ＧＢ０での光線ＡＢが光線Ａ'Ｂ'となる場合、ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＣとする。Ｃから光軸(ｘ軸)に平行に引いた直線とGauss像面との交点をＢ０とする。Gauss面上での到達位置がＧＢ＝ｙＦ＋１からＧＢ’＝ｙＦ＋１＋ΔｙＦ＋１と変化し，∠Ｂ０ＣＢ＝θから∠Ｂ０ＣＢ'＝θ＋Δθと変化した場合、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置をｍとすると、図４により明らかなように、
【０１８９】
【数１６０】
となり、これを方向余弦ＹＦで表わせば、
【０１９０】
【数１６１】
となる。
【０１９１】
【数１６２】
と表わすことができるので、(4-2)より、
【０１９２】
【数１６３】
となる。
【０１９３】
また図５のように、像面付近で子午面(ｘｙ面)内で光軸からθ傾いている光線ＡＢがあるとき、光軸に平行でＡと交差する軸をｘ’軸として、ｘ’軸とGauss像面との交点をＢ０とし、∠Ｂ０ＡＢ＝θとする。入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させたときのGauss像面での光線ＡＢ’の到達位置の変化を
ＢＢ’＝ΔｚＦ＋１、角度の変化を∠ＢＡＢ’＝Δφとし、Ｓ像位置をＡとし、ＡＢ＝ｓ’、ＡＢ０＝ｓとする。図５より明らかなように、
【０１９４】
【数１６４】
ただし、
【０１９５】
【数１６５】
となる。
Δφが微小であることから、
【０１９６】
【数１６６】
と近似でき、(4-6)〜(4-8)より、
【０１９７】
【数１６７】
となり、
【０１９８】
【数１６８】
と表わすことができるので、
【０１９９】
【数１６９】
となる。(4-5),(4-12)におけるＹ０、Ｚ０による微分量は、(1-7)、(1-8)、(1-11)より、
【０２００】
【数１７０】
となる。
【０２０１】
課題を解決するための第４の手段の実施の形態である、非点収差を、主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより計算する方法を、さらにパラメータで微分する方法について説明する。(4-5)、(4-12)をパラメータｐｉで微分すると、それぞれ、
【０２０２】
【数１７１】
となる。(5-1),(5-2)における1次微分は前記の方法で求められるが、2次微分
【０２０３】
【数１７２】
は次のようにして求められる。すなわち、パラメータpiがi面の曲率半径または非球面係数の場合、
【０２０４】
【数１７３】
となる。(5-3)は行列Ｔｉから行列ＴＦ＋１まで[2(F-i+1)+1]個の行列のｐｉによる全微分を含む項の和である。次に(5-3)における微分行列のパラメータによる全微分を偏微分と漸化式で表わす。その前に、(1-3),(1-4)と同様にして、次のようにベクトルを定義する。
【０２０５】
【数１７４】
すると、微分行列のパラメータによる全微分は以下のようになる。
【０２０６】
【数１７５】
【０２０７】
(5-7)における
【０２０８】
【数１７６】
と,(5-8)における
【０２０９】
【数１７７】
は、２階テンソルの行列をベクトルで微分しているので、３階テンソルになる。(5-6)から(5-10)を(5-3)に代入し、(5-1),(5-2)に代入することにより，非点収差の追跡式を微分するのとは別の方法で、非点収差のパラメータによる微分が得られる。
【実施例】
【０２１０】
以上の計算方法により、図２および図３のようなアルゴリズムを用いることにより、Federの収差のパラメータによる微分がさらに実用的になる。その実施例を次に示す。
【０２１１】
自動修正(DLS法)の計算時間について、収差のパラメータによる微分を差分近似するか、微分するかの違いにより計算時間にどれ程違いがあるか調査するために、レンズ面数が40面の投影レンズで、目標値数が50（その内近軸光線追跡による目標値が2個で、非点収差の目標値が6個）で、パラメータ数を1個から40個まで増やした場合の、両者の方法による自動修正の1サイクル毎の計算時間を測定した。その結果を図６に示す。図６の（１）が差分で、（２）が微分である。差分の場合、パラメータ数にほぼ比例して計算時間が増加しているのに対して、微分の場合は計算時間がほとんど増加しないことがわかる。
またparameter数を10毎増やした場合の計算時間の値を表１に示す。パラメータ数が５個以上ならば、差分による近似よりも微分の方が速く、パラメータ数が40個ならば、微分は差分の約５分の１の計算時間ですむ事がわかった。なお差分と微分とでは、メリットファンクションに大きな違いはないが、
若干微分の方が小さくなる場合が多い。
（表１）
【０２１２】
【表１】
【図面の簡単な説明】
【０２１３】
【図１】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する方法を示す図である。
【図２】Gauss像面が移動した場合の収差のパラメータによる微分を補正する計算のアルゴリズム図である。
【図３】非点収差のパラメータによる微分を計算する方法を示す図である。
【図４】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてメリジオナル像面移動位置を計算する方法 を示す図である。
【図５】光学系に入射する光線の方向余弦が微小変化させてサジタル像面移動位置を計算する方法を示す図である。
【図６】自動修正において収差のパラメータによる微分を差分近似するか微分するかによる計算時間の相違を示す図である。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項２】
光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項３】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項４】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項１】
光学系による収差を、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)で微分してその変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、微分した変化率を、光学系を構成するパラメータが微小変動することによるGauss像面の変動の変化率で補正することを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項２】
光学系による非点収差の、光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)による変化率を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系の非点収差のパラメータによる変化率を、非点収差の光線追跡式を微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項３】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより、非点収差を求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【請求項４】
光学系による非点収差を計算することにより光学系を設計する方法において、光学系に入射する主光線と、光学系に入射する角度を主光線から微小変化させた光線が、像面付近で交差する交点位置を、主光線の像面での到達位置と像面での方向余弦で表し、それらを主光線から光学系に入射する光線の方向余弦で微分することにより非点収差を求め、光学系を構成するパラメータによる変化率を、この非点収差の式をパラメータで微分することにより求めることを特徴とする光学系の設計方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【公開番号】特開２００６−３５０７５９（Ｐ２００６−３５０７５９Ａ）
【公開日】平成１８年１２月２８日（２００６．１２．２８）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００５−１７７２８３（Ｐ２００５−１７７２８３）
【出願日】平成１７年６月１７日（２００５．６．１７）
【出願人】（０００００４１１２）株式会社ニコン (12,601)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成１８年１２月２８日（２００６．１２．２８）
【国際特許分類】
【出願日】平成１７年６月１７日（２００５．６．１７）
【出願人】（０００００４１１２）株式会社ニコン (12,601)
【Ｆターム（参考）】
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