歯車

【課題】インボリュート歯形における背反する特性のそれぞれを改善する。
【解決手段】インボリュート歯形においては、基礎円半径を小さくすると噛み合い損失は低減する一方、噛み合い率が悪化する。基礎円半径が異なるインボリュート歯形の微小区間をつなげた歯形、特に、歯車の回転角の連続的な変化に対し、連続的に変化する基礎円半径を用いた歯形３０Ａを採用する。これにより、噛み合い損失を低減しつつ、噛み合い率をインボリュート歯形に比して改善することができる。

【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は歯車、特にその歯形曲線に関する。
【背景技術】
【０００２】
製作上の容易性、汎用性の高さ等からインボリュート歯形を有する歯車（インボリュート歯車）が広く普及している。インボリュート歯車においては、基礎円半径を小さくする、すなわち圧力角を大きくすることで、噛み合い損失が低減することが知られている。また、基礎円半径を小さくすることで、歯元の歯厚が増加するため、歯の曲げ強度も向上する。一方、基礎円半径を小さくすると、噛み合い長さが減少し、噛み合い率が減少する。噛み合い率の減少により、歯車に起因する振動、騒音が悪化する場合がある。
【０００３】
このように従来のインボリュート歯車においては、噛み合い損失および歯の曲げ強度と、噛み合い率は背反する事象である。下記特許文献１の歯車においては、歯元側と歯末側で異なる圧力角とする技術が記載されている。小歯車の歯元側の圧力角を歯末側より大きくして歯元強度と増すと共に、歯末側の歯たけを長くして、噛み合い率を増加させている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２００１−２７１８８９号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
上記特許文献１では、噛み合い率を増加させるために歯たけを長くしている。しかし、歯たけの増加は、歯車の大形化、重量増を招く。
【０００６】
本発明は、噛み合い損失、歯の曲げ強度および噛み合い率等の特性の変更に関し柔軟性を有する歯車を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明の歯車は、インボリュート歯形を応用した歯車である。インボリュート歯形においては、歯形を決定する際のパラメータの一つである基礎円半径が固定の値である。これに対し、本発明の歯車においては、基礎円半径が、歯面上の歯形方向における位置に対応して変化する。この変化は、歯面上の位置の歯形方向に沿った連続的な変化に対応して連続的である。言い換えれば、本発明の歯形は、基礎円半径の異なるインボリュート歯形の一部である微小な区間を継ぎ合わせて形成された歯形である。
【０００８】
基礎円半径は、歯形方向の端部、すなわち歯先および歯元で大きく、中央部分で小さくすることができる。これと逆に、歯形方向の端部で小さく中央部で大きくすることもできる。
【０００９】
上記の歯形により、平歯車またははす歯歯車を形成することができる。
【００１０】
さらに、変化する基礎円半径を、歯車の回転角に関して余弦関数または二次関数で表されるものとすることができる。
【発明の効果】
【００１１】
歯車に要求される特性を高い次元でバランスさせることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】インボリュート歯形における基礎円半径の差異の説明図である。
【図２】インボリュート歯形において基礎円半径を変えたときの接触点軌跡の違いを示す図である。
【図３】基礎円半径の変化の例を示す図である。
【図４】接触点とインボリュート歯形の関係を示す図である。
【図５】基礎円半径を変化させた歯形の一例を示す図である。
【図６】図５に示す歯形の接触点軌跡を示す図である。
【図７】基礎円半径を変化させた歯形の他の例を示す図である。
【図８】図７に示す歯形の接触点軌跡を示す図である。
【図９】図５，７に示す歯形の基礎円半径の変化を示す図である。
【図１０】図５，７に示す歯形の圧力角の変化を示す図である。
【図１１】図５，７に示される歯形を有する歯車の特性、特に噛み合い率と噛み合い損失をインボリュート歯形と比較した図である。
【図１２】パラメータの説明図である。
【図１３】図５，７に示される歯形を有する歯車の特性、特に歯元曲げ応力をインボリュート歯形と比較した図である。
【図１４】図５，７に示される歯形の有する歯車の特性、特に接触応力をインボリュート歯形と比較した図である。
【図１５】図５，７に示す歯形を用いてはす歯歯車を構成したときのねじれ角の変化を示す図である。
【図１６】図５，７に示される歯形を用いて構成されたはす歯歯車の噛み合い率をインボリュートはす歯歯形と、比較した図である。
【図１７】図５，７に示される歯形を用いて構成されたはす歯歯車の特性、特に噛み合い率と噛み合い損失をインボリュートはす歯歯車と比較した図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、本発明の実施形態を、図面に従って説明する。図１、図２は、基礎円半径の異なるインボリュート歯形１０Ａ，１０Ｂに関する説明図である。図１において、半径が大きい場合（Ｒ_b1）の歯形１０Ａ、基礎円１２Ａおよび接触点軌跡１４Ａが実線で示され、半径が小さい場合（Ｒ_b1' ）の歯形１０Ｂ、基礎円１２Ｂ、接触点軌跡１４Ｂが破線で表されている。インボリュート歯車においては、接触点軌跡１４Ａ，１４Ｂは直線である。基礎円半径Ｒ_b1と、圧力角αの関係は、歯数をｚ₁、モジュールをｍとすると、次式で表される。
Ｒ_b1＝（ｚ₁ｍcosα）／２
【００１４】
図２は、基礎円半径を変化させたときの、噛み合い長さの変化の様子を示す図である。図２において、第１歯車の歯先の軌跡が符号１６₁ で、相手側である第２歯車の歯先の軌跡が符号１６₂で示されている。基礎円半径が大きい場合には、歯形１０Ａが図中符号１０Ａ-1で示す位置から、接触点がピッチ点Ｐとなる符号１０Ａ-0で示す位置を通過して、符号１０Ａ-2の位置に達するまで噛み合いが継続し、この間の接触点軌跡１４Ａの長さが噛み合い長さＬとなる。基礎円半径が小さい場合には、歯形１０Ｂが図中符号１０Ｂ-1で示す位置から、接触点がピッチ点Ｐとなる符号１０Ｂ-0で示す位置を通過して、符号１０Ｂ-2の位置に達するまで噛み合いが継続し、この間の接触点軌跡１４Ｂの長さが噛み合い長さＬ’となる。図から理解できるように、インボリュート歯形においては、基礎円半径が小さくなると、噛み合い長さが短くなることが分かる。噛み合い長さが短くなると、正面噛み合い率は小さくなり、歯車の噛み合い周期に伴う振動、騒音が悪化する場合がある。
【００１５】
一方、基礎円半径を小さくすると、歯元の歯厚は大きくなるので、歯元の曲げ剛性は高くなる。また、インボリュート歯車において、滑り率は、接触点軌跡１４Ａ，１４Ｂ上の、ピッチ点Ｐから歯先１６₁ ，１６₂までの距離が大きくなると、大きくなる。したがって、基礎円半径が大きい場合の方が、滑り率が大きく、このため、滑りによる損失も大きくなる。
【００１６】
このように、インボリュート歯形においては、基礎円半径を小さくすると、歯元の曲げ剛性、滑り率は改善される一方で、正面噛み合い率が悪化する。本実施形態の歯車においては、基礎円半径を固定値とせず、変化させることで、歯元の曲げ剛性、滑り率、正面噛み合い率等を高い次元でバランスさせることが可能となる。
【００１７】
表１に、本実施形態の歯車の比較対象とする一般的なインボリュート歯車の諸元を示す。以下においては、この歯車を基準として本実施形態の歯車の特性ついて検討し、この歯車を基準歯車と記して説明する。まず、平歯車（ねじれ角が０）について検討し、次にはす歯歯車、特にその重なり噛み合い率について検討する。
【００１８】
【表１】

【００１９】
図３は、基礎円半径の変化の様子を示す図である。実線１８は、表１の歯車Ｉ（基準歯車）の基礎円半径Ｒ_b10を示している。破線２０は、実線１８に比して小さくした基礎円半径Ｒ_b11（固定値）を示している。この小さい基礎円半径を有するインボリュート歯車を以降、小基礎円歯車と記す。鎖線２２が本実施形態の歯車の基礎円半径を示す。本実施形態の歯車は、歯車の回転角θ₁に関して、基礎円半径Ｒ_b1が変化する。基礎円半径は、回転角の連続的な変化に対して連続的に変化するものである。さらに、基礎円半径の変化が滑らかに変化するものとすることができる。基礎円半径を、例えば、次の式（１）のように余弦関数により定めるようにできる。
【００２０】
【数１】

【００２１】
式（１）において、Ｒ_b10は基準歯車の基礎円半径である。Δは基礎円半径の変化率であり、Δ＝（Ｒ_b10−Ｒ_b11）／Ｒ_b10で表される。θ_1hは歯先接触時の回転角である。相手側の歯車の基礎円半径は、次の式（２）で定める。
【００２２】
【数２】

【００２３】
基礎円半径が変化する場合の歯形形状および接触点軌跡の算出は、例えば日本機械学会論文集Ｃ編、６２巻６０３号、pp.235-240で紹介された接線極座標によるインボリュート歯車の計算式が利用できる。図４に接線極座標系を示す歯車１，２のそれぞれの回転軸線をｚ₁軸、ｚ₂軸とし、歯車の回転方向に右ねじを回した時にねじが進む向きをそれぞれｚ₁軸、ｚ₂軸の正の向きと定める。図４においては、ｚ₁軸は紙面の奧向きが正、ｚ₂軸は紙面の手前向きが正となる。以下、歯車１に関する座標系、変数に付いては「 ₁」を添え、歯車２に付いては「 ₂」添える。ｚ₁軸、ｚ₂軸のそれぞれに直交する共通の軸をｖ₁軸、ｖ₂軸とする。ｖ₁軸、ｖ₂軸の向きは、ｚ₁軸からｚ₂軸に向かう向きを正とする。ｚ₁軸とｖ₁軸のそれぞれに直交し、ｖ₁軸をｚ₁軸に向けて回転させたとき右ねじの進む方向を正とするｕ₁軸を定める。ｖ₂軸をｚ₂軸に向けて回転させたときの右ねじの進む方向を正とするｕ₂軸を定める。歯車１の歯形は、次式で表される。
【００２４】
【数３】

【００２５】
式（３），（４）おいて、基礎円半径Ｒ_b1をθ₁，ξ₁の任意の関数で表すと、基礎円半径が変化する歯形形状およびその歯形を有する接触点軌跡が得られる。歯形形状は、θ₁＝０としてξ₁を変化させると、ピッチ点にて接触する歯形を計算することができる。ここで、ξ₁＝０の点はピッチ点と交わる歯形上の点である。接触点軌跡は、ξ₁＝０としてθ₁を変化させると計算できる。平歯車であれば、歯形はｚ₁軸に関して一定であるので、歯幅中央断面（ｚ₁₀＝０）において、歯形を計算すればよく、基礎円筒ねじれ角ψ_b1は、ψ_b1＝０である。θ₁＝０とおくことにより、歯車１がピッチ点で接触した状態を示す。上記式（３），（４）において、ｚ₁₀＝θ₁＝ψ_b1＝０とすると、次式を得る。
【００２６】
【数４】

【００２７】
次に、基礎円半径をθ₁、ξ₁の余弦関数として表す。歯形を計算する場合には、ξ₁の関数として表した基礎円半径Ｒ_b1(ξ₁)を使用する。
【００２８】
【数５】

【００２９】
式（５）を式（３）’、（４）’に代入して、ξ₁を（−θ_1h，θ_1h）の範囲で変化させれば、歯形形状を座標（ｕ₁，ｖ₁）で表現できる。
【００３０】
図４において、実線で表されている歯形は、歯先Ｐhおよび歯元Ｐtにおけるインボリュート歯形である。つまり、図３のθ₁＝−θ_1h，θ_1hにおける基礎円半径Ｒ_b11のインボリュート歯形を示す。破線で表されている歯形は、ピッチ点Ｐ0（θ₁＝θ₁₀）におけるインボリュート歯形、鎖線で表されている歯形は、ピッチ点と歯先の間の任意の点Ｐi（θ₁＝θ_1i）におけるインボリュート歯形を示す。歯車１の回転に伴い基礎円半径が連続的に変化し、各接触点をつなぐと接触点軌跡が得られる。また、各回転角における歯形をつなげると基礎円半径が変化している歯形形状を得る。
【００３１】
図５は、基礎円半径が変化する平歯車の歯形の一例を示す図である。式（１）または式（５）において、Δ＝０．１としたときの歯形３０Ａが示されている。図に示されるようにピッチ点Ｐより歯元側では凸形状、歯先側では凹形状となっている。
【００３２】
図６は、接触点軌跡を示す図である。本実施形態の歯形３０Ａの場合の接触点軌跡３２Ａ、基準歯車の歯形による接触点軌跡３２Ｓが示されている。噛み合い開始時の歯面の位置が符号３０Ａ-1で示され、噛み合い終了時の歯面の位置が歯形３０Ａ-2で示される。接触点がピッチ点Ｐ0となったときの歯面の位置が歯形３０Ａ-0で示される。また、符号３４₁，３４₂で示す円弧が歯先の軌跡であり、符号３６で示す円弧がピッチ円である。
【００３３】
歯面上の任意の点は、噛み合い開始から終了までの噛み合い期間中に１回相手側の歯車と接触する。つまり、歯面上の任意の点が接触点となるのは、噛み合い期間中に１回であり、そのときの回転角θ₁は特定される。つまり、歯面上の任意の点と、この点が接触点となるときの歯車の回転角は、一対一の関係にある。また、基礎円半径Ｒ_b1は、上述のように回転角θ₁に対して連続的に変化するよう定められている。そして、歯面上の点が、歯形に沿ってその位置を連続的に変化させるとき、その点の位置に対応する基礎円半径は連続的に変化する。
【００３４】
図６において、歯面上の任意の点ＣNが接触点となったときの歯面の位置が符号３０Ａ-Nで示されている。このときの回転角θ₁Nは、歯面３０Ａ-N上のピッチ点を点ＰNとすると、弧Ｐ0ＰNが中心を見込む角となる。点ＣNが歯面上を移動すると、点ＣNを接触点とするための歯面３０Ａ-Nも移動し、回転角θ₁Nも変化する。基礎円半径Ｒ_b1もあらかじめ定められた関係、例えば式（１）に従って変化する。点ＣNの位置が歯形に沿って連続的に変化するとき、接触点軌跡３２Ａが連続的であるから、回転角θ₁Nも連続的に変化する。回転角に対し、基礎円半径が連続的に変化するように定めているので、結局、点ＣNの位置が歯形に沿って連続的に変化すると、これに対応する基礎円半径も連続的に変化する。
【００３５】
また、回転角θ₁と基礎円半径Ｒ_b1の関係が定められているから、任意の回転角におけるインボリュート歯形を特定することができる。そして、この回転角における接触点は、前記インボリュート歯形上の点である。
【００３６】
基礎円半径Ｒ_b1の変化を、例えば次の式（６）により定めることができる。
【００３７】
【数６】

【００３８】
式（６）は、上記の式（１）の余弦関数の位相をπだけずらしたものである。図７は、式（６）においてΔ＝０．１としたときの歯形３０Ｂを示した図である。図示されるようにピッチ点Ｐより歯元側では凹形状、歯先側では凸形状となっており、これは、図５に示される歯形３０Ａとは凹凸の関係が逆である。
【００３９】
図８は、接触点軌跡を示す図である。本実施形態の歯形３０Ｂの場合の接触点軌跡３２Ｂ、基準歯車の歯形による接触点軌跡３２Ｓが示されている。噛み合い開始時の歯面の位置が符号３０Ｂ-1で示され、噛み合い終了時の歯面の位置が歯形３０Ｂ-2で示される。接触点がピッチ点Ｐ0 となったときの歯面の位置が歯形３０Ｂ-0で示される。符号３４₁，３４₂で示す円弧は、図６と同様の歯先の軌跡である。
【００４０】
図９は、歯形３０Ｂの基礎円半径の変化の様子を示す図である。実線１８、破線２０、曲線２２は、図３と同様に、基準歯車の基礎円半径Ｒ_b10、小基礎円歯車の基礎円半径Ｒ_b11、歯形３０Ａの基礎円半径を示している。曲線２３が、歯形３０Ｂの基礎円半径である。図１０は、歯形３０Ａ，３０Ｂの圧力角の変化の様子を示す図である。実線４０が基準歯車の圧力角、破線４２が小基礎円歯車の圧力角、曲線４４が波形３０Ａの圧力角、曲線４６が波形３０Ｂの圧力角を示す。
【００４１】
図５および図７に示す歯形３０Ａ，３０Ｂの特性について、基準歯車、小基礎円歯車と対比して検討する。
【００４２】
図１１は、噛み合い率と噛み合い損失の関係を示す図である。噛み合い損失および正面噛み合い率は、次に示す式（７）および式（８）により算出できる。
【００４３】
【数７】

μは摩擦係数、Ｐは荷重、Ｖは滑り速度、Ｔは伝達トルク、Ｒ_b は基礎円半径、ω₁，ω₂は歯車の角速度、Ｄは接触線長さ、α_tは正面圧力角を表す。接触線長さＤは、ピッチ点から接触点までの距離を表し、図６で説明すれば、ピッチ点Ｐ0と接触点ＣNを結ぶ線分の長さに相当する。
【００４４】
図１１において、各歯車の特性（噛み合い率、噛み合い損失）が基準歯車に対する比で示されている。前述のように、インボリュート歯形においては、噛み合い損失を低減するとこれに対応して、噛み合い率も低下する。図５に示す歯形３０Ａの場合、インボリュート歯車を採用する場合に比して、噛み合い率の低下を抑えることができる。図６に示すように、歯形３０Ａにおいては、歯先の接触点がピッチ点に近づき、すべり速度が低下して、噛み合い損失が低減される。歯先における基礎円半径Ｒ_b1は、図３に示すように小基礎円歯車と等しいことから、歯形３０Ａの歯先の接触点は小基礎円歯車と同じ位置となり、噛み合い損失はほぼ等しくなる。一方、接触点軌跡の長さ（噛み合い長さ）は、軌跡が直線である小基礎円歯車よりも軌跡が曲線となる歯形３０Ａの方が長くなり、この効果によって噛み合い率が改善される。歯形３０Ｂの場合、噛み合い損失は小基礎円歯車と同等であるが、噛み合い率は改善されず、かえって悪化している。これは、式（８）に示されるように、法線ピッチが圧力角の関数となることから、歯形３０Ｂにおいては、接触点軌跡の長さの増加よりも法線ピッチの増加の影響が大きいためである。
【００４５】
次に、歯元曲げ強度について検討する。曲げ応力σ_b は次の式（９）で算出される。
【数８】

【００４６】
式中の各パラメータは図１２に示される。図１２（ａ）には基準歯車が、（ｂ）には小基礎円歯車、図５，７に記載された歯形３０Ａ，３０Ｂの歯車が示されている。ｓ_fは危険断面歯厚であり、相手側歯車の歯先が接触する位置における歯厚、ｓは歯先歯厚、Ｐ_nは歯先荷重、λは歯先荷重の向き、ｈは歯先荷重の延長線が歯厚中心線に交わる点の危険断面からの高さ、ｂは歯幅である。
【００４７】
図１３は、各歯車の歯元曲げ応力σ_b を示す図である。この図においても、各歯車の特性（歯元曲げ応力）は、基準歯車に対する比として表されている。小基礎円歯車、歯形３０Ａの歯車、歯形３０Ｂの歯車いずれも、基準歯車に対して基礎円半径を小さくしているために歯元の歯厚が増加し、歯元曲げ応力が改善されている。
【００４８】
次に、ヘルツ接触応力について検討する。ヘルツ応力は次の式（１０）により算出される。
【数９】

【００４９】
式中、Ｐ_Uは単位歯幅当たりの荷重、Ｅはヤング率、Ｒは相対曲率半径である。図１４は、各歯車のヘルツ応力の歯形上平均値を示す図である。この図においても、各歯車の特性（ヘルツ応力）は、基準歯車に対する比として表されている。歯形３０Ｂの歯車において、歯面同士の接触が凹面と凸面との接触となるため、相対曲率半径Ｒが大きくなり、歯面強度を向上することができる。
【００５０】
以上は、平歯車の検討であるが、はす歯歯車においては、特に重なり噛み合い率を考慮して噛み合い率の検討を行う必要がある。基礎円半径（および正面圧力角α_t）が変化する本実施形態の歯車においては、歯車の回転角に関して、ねじれ角が変化し、重なり噛み合い率がインボリュート歯車の場合とは異なってくる。ねじれ角β（θ₁）は、次の式（１１）で表される。
【００５１】
【数１０】

【００５２】
ψ_b1は基礎円筒上のねじれ角であり一定値としている。図１５に回転角θ₁とねじれ角βの関係を示す。図１５に示されるように従来の歯車の場合、ねじれ角βは一定であるが、本実施形態の歯形３０Ａ，３０Ｂでは変化する。噛み合い率は、次の式（１２）で算出される。歯形３０Ａでは、図１５に示すように、ねじれ角が基準歯車より増加するために、重なり噛み合い率が増加する。歯形３０Ｂでは、ねじれ角が減少するために重なり噛み合い率は低下する。
【００５３】
【数１１】

【００５４】
図１６は、各歯車の噛み合い率を比較した図である。歯形３０Ａにおいては、基準歯車とほぼ同等の噛み合い率を達成している。はす歯歯車において、図１７は、噛み合い損失と噛み合い率の関係を示す図である。歯形３０Ａの歯車においては、基準歯車に対し、噛み合い損失を低減しつつ、噛み合い率を同等とすることが可能になる。
【００５５】
以上のように、基礎円半径を変化させた歯形を採用することにより、従来のインボリュート歯車に対して、背反していた特性をバランス良く改善することができる。例えば、上述の歯形３０Ａを採用すれば、噛み合い率を維持したまま、噛み合い損失を低減することが可能となる。また、歯形３０Ｂを採用すれば、噛み合い損失およびヘルツ接触応力の両者を改善することができる。
【００５６】
基礎円半径を定める関数は、上述した余弦関数に限らず、連続かつ滑らかな関数であればよい。例えば二次関数であってよい。二次関数の場合、上述の余弦関数と同様、回転角θ₁＝０（ピッチ点）において極大または極小となるようにしてよい。また、上述の余弦関数は、回転角θ₁＝０（ピッチ点）に関して対称な関数であったが、余弦関数、二次関数とも非対称であってもよい。
【符号の説明】
【００５７】
３０Ａ，３０Ｂ歯形、３２Ａ，３２Ｂ，３２Ｓ接触点軌跡、３４₁，３４₂ 歯先線。

【特許請求の範囲】
【請求項１】
異なる基礎円半径を有するインボリュート歯形を歯形方向に繋いで形成した歯形を有する歯車であって、基礎円半径は歯形方向に沿って連続的に変化する、歯車。
【請求項２】
請求項１に記載の歯車であって、基礎円半径が、歯形方向の端部で大きく、中央部で小さい、歯車。
【請求項３】
請求項１に記載の歯車であって、基礎円半径が、歯形方向の端部で小さく、中央部で大きい、歯車。
【請求項４】
前記歯車が平歯車である、請求項１〜３のいずれか１項に記載の歯車。
【請求項５】
前記歯車がはす歯歯車である、請求項１〜３のいずれか１項に記載の歯車。
【請求項６】
請求項４または５に記載の歯車であって、基礎円半径が、歯車の回転角に関して余弦関数で表される、歯車。
【請求項７】
請求項４または５に記載の歯車であって、基礎円半径が、歯車の回転角に関して二次関数で表される、歯車。

【図１】