浮き屋根のポンツーン応力予測方法
【課題】 ポンツーンの周方向応力に加えて子午線方向の応力も解析可能とする。
【解決手段】 浮き屋根式タンクの貯蔵液体４のスロッシングに伴う浮き屋根５の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、モード展開法による非線形常微分方程式を導出して、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式を求める。更に、上記浮き屋根５の振動によるデッキ６の半径方向の縮みを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えるときのポンツーン７の変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、その非線形項を、先に求めた浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式に加えた式を求めて、この式による応答解析を行うことで、ポンツーン７の楕円化変形応力を求める。
【解決手段】 浮き屋根式タンクの貯蔵液体４のスロッシングに伴う浮き屋根５の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、モード展開法による非線形常微分方程式を導出して、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式を求める。更に、上記浮き屋根５の振動によるデッキ６の半径方向の縮みを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えるときのポンツーン７の変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、その非線形項を、先に求めた浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式に加えた式を求めて、この式による応答解析を行うことで、ポンツーン７の楕円化変形応力を求める。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、石油タンク等の貯蔵液体の上に浮き屋根を設けてなる形式の浮き屋根式タンクにて、タンク内部の貯蔵液体に生じるスロッシングに伴って浮き屋根が振動する際に、該浮き屋根のデッキの縮みによりポンツーンを楕円形に変形させるように作用する応力を予測するために用いる浮き屋根のポンツーン応力予測方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
気化する虞が比較的低い流体である原油や石油を貯蔵する大型のタンクとしては、浮き屋根式の貯蔵タンクが多く用いられている。
【０００３】
図９はシングルデッキ形式の浮き屋根式タンクの一般的な構成を示すもので、基礎上に据え付けられた底板２と、該底板２の上側に立設された円筒状の側板３とからなる上部の開放された平底円筒型のタンク本体１を備え、更に、上記タンク本体１の内部に貯蔵された液体４の液面上に浮かべて使用する浮き屋根５を備えた構成としてある。上記浮き屋根５は、中央部のデッキ６の外周に、浮力を与えるためのポンツーン７を設けた構成としてある。８は上記浮き屋根５のデッキ６の上面における径方向所要間隔位置に補強のために設けたスチフナ、９は上記浮き屋根５の外周と上記側板３の内周面との隙間を埋めるためのシール機構、１０は雨水の流入を抑えるためのウェザーシールドである。
【０００４】
ところで、地震発生時に、その地震波が上記浮き屋根式タンクのスロッシング周期成分を含む場合、上記浮き屋根式タンク内の貯蔵液体４にスロッシングが励起される。更に、上記浮き屋根式タンク内の貯蔵液体４のスロッシングは、浮き屋根５のピッチング振動を引き起こす。
【０００５】
その際、上記浮き屋根式タンクが、１０万キロリットル級の半径の大きいタンクである場合は、貯蔵液体４のスロッシングの周方向波数１、半径方向２次のモードが、地震動の長周期成分に共振することがある。このような共振が生じると、上記浮き屋根５では、鉛直方向の変位はあまり大きくならないが、該浮き屋根５のデッキ６の面外たわみ変形の勾配により、加振方向に沿って該デッキ６の半径方向の縮みが生じるため、該デッキ６の外周に設けてあるポンツーン７が楕円化し、この楕円化によってポンツーン７の一部に降伏座屈等の損傷が生じることとなる損傷モードが懸念されている。
【０００６】
そのため、浮き屋根式タンクにおいては、上記浮き屋根５のポンツーン７の損傷を未然に防止できるようにするために、タンク内の貯蔵液体４のスロッシングに起因する浮き屋根５のデッキ６の半径方向の縮みに伴い該デッキ６外周のポンツーン７が楕円化変形することを予測して評価することが重要な課題となっている。
【０００７】
上記浮き屋根式タンクの浮き屋根５におけるポンツーン７の楕円化変形を予測するための手法としては、市販の有限要素解析ソフトを用いて解析を行う手法が従来一般的に採られている。
【０００８】
なお、本発明者等は、浮き屋根式タンクにおける浮き屋根５に生じる過大応力を予測するために、浮き屋根式タンクの浮き屋根５について、変分原理から基礎式を導き、次に、モード展開法によって時間に関する非線形常微分方程式を導いて、この非線形常微分方程式を解くことで、上記浮き屋根５に作用する応力を算出できるようにした浮き屋根式タンクにおける浮き屋根の過大応力予測方法を提案している（たとえば、特許文献１参照）。
【０００９】
更に、本発明者等は、上記浮き屋根の過大応力予測方法で用いている解析的手法を、スロッシングにより浮き屋根５のポンツーン７に対し楕円形に変形させるように作用する応力の解析に発展させた浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法を提案している（たとえば、特許文献２、非特許文献１参照）。
【００１０】
これは、デッキ６の縮みによるデッキ６外周の半径方向変位を、あらゆる周方向位置でポンツーン７全体に強制変位として与えることにより、該ポンツーン７に作用する応力を予測するようにしてある。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１１】
【特許文献１】特開２００９−１１３８２０号公報
【特許文献２】特開２００９−１１３８２４号公報
【非特許文献】
【００１２】
【非特許文献１】内海雅彦、石田和雄，「非線形スロッシングによる石油タンク浮き屋根の振動に関する研究、第３報：デッキの縮みによるポンツーンの楕円化変形」，圧力技術，社団法人 日本高圧力技術協会，２００８年，第４６巻，第５号，ｐ．２８５−２９３
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
ところが、浮き屋根式タンクの浮き屋根５のデッキ６の縮みによるポンツーン７の楕円化変形を予測するために従来一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法では、計算に数日を要する等、計算時間が多くかかり、又、コストが嵩むというのが実状である。
【００１４】
なお、上記特許文献１に示された浮き屋根の過大応力予測方法で用いている解析的手法を発展させた上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法は、ポンツーン７の周方向に作用する応力の予測に有効である。
【００１５】
しかし、上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法は、ポンツーン７に作用する応力を予測する際、デッキ６の縮みによるデッキ６外周の半径方向変位を、ポンツーン７全体に強制変位として与えるようにしてあることから、ポンツーン７の断面形状のひずみ等の該ポンツーン７の変位の局所的挙動の予測が難しく、したがって、ポンツーン７の変位の局所的挙動による応力は解析結果に反映されていないというのが実状である。
【００１６】
そこで、本発明は、上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法を更に発展させて、ポンツーンの局所的な強制変位に対するポンツーンの変形解を求めることにより、ポンツーンの変位の局所的挙動についても予測することができて、浮き屋根のポンツーンが楕円化変形する際における周方向の変形だけでなく子午線方向（浮き屋根の半径方向に沿う鉛直面内における方向）の変形についても精度よく解析できるようにするための浮き屋根のポンツーン応力予測方法を提供しようとするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
本発明は、上記課題を解決するために、請求項１に対応して、浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測するようにする。
【００１８】
又、上記構成において、浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求めるときに、先ず、上記デッキの縮みによるポンツーンの半径方向の縮みの強制変位を求め、該求められたポンツーンの半径方向の縮みを周方向成分に分け、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位と、上記デッキの縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解いた後、上記未知数である上記ポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位を、上記強制変位で表し、この強制変位で表されたポンツーンの変位の関数として、該ポンツーンのひずみエネルギを求めるようにする。
【発明の効果】
【００１９】
本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、以下のような優れた効果を発揮する。
（１）浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測するようにしてあるので、浮き屋根式タンクを設計する際、地震等による加振による貯蔵液体のスロッシングにより、浮き屋根のデッキが加振方向に沿って半径方向の縮みを生じ、該デッキの外周に設けてあるポンツーンが楕円化変形する場合の該ポンツーンの各部に作用するようになる応力を予測することができる。
（２）しかも、上記ポンツーンの各部について、周方向変形に加え、子午線方向の変形も考慮した状態で、該ポンツーンに作用する応力を精度よく解析できる。よって、上記ポンツーンの各部に作用すると予測される応力が、該ポンツーンの各部の設計に基づく降伏応力、座屈応力を超えるか否かを判断することができるようになるため、該ポンツーンについて、より安全側の設計を行うことが可能になる。
（３）更に、従来、一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法に比して、応力値の予測に要する計算時間・コストを大きく低減することができる。したがって、上記従来の市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法では数日の計算時間を要していた解析であっても、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法により数秒で実施することが可能になる。
（４）更には、従来の有限要素解析ソフトを用いる解析予測不可能であったポンツーンの断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大についても、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、予測することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
【図１】本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法の導出に用いた解析モデルを示すもので、（ａ）は浮き屋根式タンクの概略切断側面図、（ｂ）は浮き屋根の詳細形状を示す切断側面図である。
【図２】ポンツーンのシェル要素の変位成分を示す図である。
【図３】浮き屋根のシェル要素に関する局所座標を示す図である。
【図４】ポンツーンに作用する応力の参照位置を示す図である。
【図５】周方向波数１、半径方向２次のスロッシングモードによるデッキの変形の時間応答（ｔ）を示すもので、（ａ）は半径方向の縮み（Contraction）を、（ｂ）は面外変形（Out-of-plane deformation）をそれぞれ示す図である。
【図６】ポンツーンにおける図４の位置Ｐ９での周方向膜応力の応答（Stress）を示すもので、（ａ）は時間応答（ｔ）、（ｂ）は（ａ）のｔ＝３１ｓにおける周分布変化（Circumferential cood）をそれぞれ示す図である。
【図７】ポンツーン各部における周方向応力（Stress）を示すもので、（ａ）はポンツーン下板（Bottom）について、（ｂ）はポンツーン上板（Top）について、（ｃ）は外リム（Outer rim）について、（ｄ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも下方（Inner rim（under deck））について、（ｅ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも上方（Inner rim（above deck））について、膜応力と曲げ応力の解析結果をそれぞれ示す図である。
【図８】ポンツーン各部における子午線方向の曲げ応力（Stress）を示すもので、（ａ）はポンツーン下板（Bottom）について、（ｂ）はポンツーン上板（Top）について、（ｃ）は外リム（Outer rim）について、（ｄ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも下方（Inner rim（under deck））について、（ｅ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも上方（Inner rim（above deck））についての解析結果をそれぞれ示す図である。
【図９】浮き屋根式タンクの一般的な構成を示す概略切断側面図である。
【発明を実施するための形態】
【００２１】
以下、本発明を実施するための形態を図面を参照して説明する。
【００２２】
図１（ａ）（ｂ）及び図２は本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法の実施の一形態を示すもので、以下のようにしてある。
【００２３】
１．１ 解析モデル
ここで、先ず、本発明の導出に用いる解析モデルについて説明する。すなわち、図１（ａ）（ｂ）に示す解析モデルは、図９に示したと同様の構成としてある円筒形の浮き屋根式タンクを、該タンク本体１の底板２の中心を原点Ｏとするｘｙｚ座標空間内に配置して、任意の
【数１】
での断面が示してある。
【００２４】
浮き屋根５は、中央部のデッキ６と、浮力を得るためにその周囲に設置されたポンツーン７とからなる構成としてある。上記ポンツーン７は、径方向（内外方向）に所要間隔を隔てて同心円状に配置した内リム７ａと外リム７ｂの上端部同士の間に、リング状のポンツーン上板（天井板）７ｃを気密に接合し、且つ上記内リム７ａと外リム７ｂの下端部同士の間に、リング状のポンツーン下板（底板）７ｄを気密に接合して中空構造としてあり、上記内リム７ａの内周面における上下方向の所要高さ位置に、上記デッキ６の外周端部を連結するようにしてある。更に、上記ポンツーン７には、図１（ｂ）に示す如く、内部における径方向所要間隔位置に隔壁１１をそれぞれ設けた構成としてある。
【００２５】
図１（ａ）におけるａは円筒形のタンク本体１の半径、ｈは静的平衡時の貯蔵液体４の深さである。又、図１（ｂ）におけるｂは浮き屋根５の半径、ｂ１はデッキ６の半径、ｂ２，ｂ３，ｂ４はポンツーン７内部における各隔壁１１の径方向の配列間隔、Ｈはポンツーン７の外リム７ｂの高さ寸法、Ｈ１はポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６取付位置から該内リム７ａの上端までの上下方向寸法、Ｈ２はポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６取付位置から該内リム７ａの下端までの上下方向寸法である。上記浮き屋根式タンクの詳細諸元については、実施例で後述する数値例題と共に示す。
【００２６】
上記浮き屋根５は、軸対称な弾性シェル構造としてモデル化する。図２はシェル要素ｉｊの変位成分を示す図である。
【００２７】
又、浮き屋根５とタンク本体１の側板３との間には、シール機構９（図９参照）が設けてあり、浮き屋根５の外周でのｒ方向変位に対し、単位面積当たり、
【数２】
のばね力、及び、減衰力が浮き屋根５の半径方向にそれぞれ作用するものとする。貯蔵液体４の液体運動は非圧縮完全流体の渦無し流れとし、タンクの側板３と底板２は剛体とする。
【００２８】
１．２ 基礎方程式の変分表示
次に、上記構成としてある浮き屋根式タンクについて、以下に示すように、基礎方程式の変分表示を行う。
【００２９】
本発明の予測方法では、液体−弾性体系の非線形振動解析に解析的手法を導入するため、ガレルキン法を用いる。このために、基礎方程式系の変分表示が必要である。そこで、先ず、貯蔵液体４の単位体積当たりのラグランジュアンに等しい液圧を、速度ポテンシャルで次のように表す。
【数３】
【００３０】
液体のラグランジュアンと，円錐台シェル要素でモデル化した浮き屋根５のラグランジュアンとの和をとって系全体のラグランジュアンを求め、この作用積分の変分をとると、特許文献１の浮き屋根式タンクにおける浮き屋根の過大応力予測方法の解析的手法で説明した手続（詳細は特許文献１における式（６）の導出手順を参照）によって次のような基礎方程式系の変分表示が導かれる。
【数４】
【００３１】
上記式（２）において、速度ポテンシャル、浮き屋根変位、任意時間関数の変分は、任意且つ独立であるから、これらの変分に関する係数が０となる条件が要求される。これらの要求条件が基礎方程式、境界条件を与える。すなわち、上記式（２）の第１項は、液体領域内での連続条件に対応するラプラス方程式
【数５】
である。
【００３２】
又、上記式（２）の第２項、第３項は、剛と仮定された貯蔵液体４とタンク本体１の境界面（側板３及び底板２）でその法線方向の流速が０になる境界条件
【数６】
である。
【００３３】
上記式（２）における第２行は、貯蔵液体４と浮き屋根５の境界面で双方の法線方向の振動速度が等しい条件である。又、上記式（２）の第３行〜第６行は、液圧を受ける浮き屋根５の運動方程式、第７行における最後の項は、非圧縮性の仮定に基づく貯蔵液体４の体積一定条件である。
【００３４】
なお、上記式（２）の第５行は地震加速度による慣性力、第６行はシール機構９（図９参照）による減衰力のシェル要素に対する仮想仕事を表し、該シール機構９（図９参照）のばね力は、第３行の剛性行列によって考慮している。
【００３５】
１．３ モード展開法による非線形常微分方程式の導出
モード展開法による非線形常微分方程式の導出を行う場合は、変分原理となる上記式（２）を、ガレルキン法により、時間に関する常微分方程式に変換する。すなわち、未知量をモード関数で展開した形で表して式（２）に代入することにより、展開係数（未知の時間関数で一般化座標と呼ばれる）に関する非線形常微分方程式を導く。速度ポテンシャルを、境界条件の式（４）を満たすラプラス方程式（３）の解として次のように表す。
【数７】
【００３６】
浮き屋根５の節点変位ベクトルを、各周方向波数成分ごとに、貯蔵液体４と非接触時のモードで展開した形として、以下のように表す。
【数８】
【００３７】
更に、このモードと一般化座標を用いて浮き屋根５の任意位置での変位を、以下のように表わすことができる。
【数９】
【００３８】
上記式（５）〜式（７）を変分原理の式（２）に代入することにより、一般化座標に関する非線形常微分方程式を導く。この際、特許文献１で説明した手続により、第２近似解を得るための非線形方程式系は、各周方向波数ｍ＝０，１，２について次の形に行列表示できる。
【数１０】
係数行列，非線形項の表記は省略する。
【００３９】
Ｇ１は、周方向波数１の一般化座標３個の積、周方向波数１及び０の一般化座標の積、周方向波数１及び２の一般化座標の積を含んだ形となる。
【００４０】
Ｇ０及びＧ２は、周方向波数１の一般化座標２個の積を含んだ形となる。
【００４１】
したがって、周方向波数１の一般化座標を第１近似として、周方向波数０，２の一般化座標は第２近似、Ｇ１は第３近似、Ｇ０，Ｇ２は第２近似の大きさである。
【００４２】
以上により、上記式（８）は、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で、貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式となる。
【００４３】
１．４ デッキの縮みによるポンツーン楕円化変形応力の予測
次に、デッキ６の縮みに起因して生じるポンツーン７の楕円化変形に伴う応力について求める。
【００４４】
周方向波数１、半径方向２次のモードによるデッキ６の面外たわみ変形のモード展開式は、上記式（７）より次式によって与えられる。
【数１１】
【００４５】
この面外たわみによるデッキの半径方向の縮みは次のように計算される。
【数１２】
【００４６】
上記式（１０）に関しては、下記の２点が重要である。
【００４７】
（Ａ）：式（１０）によって計算したデッキ６の縮みが、非特許文献１の図６に示すように、過去の文献の結果と合うことを検証している。
（Ｂ）：ｘ方向加振の場合には、Ｅ１２ｙ（ｔ）＝０となるので、式（１０）で
【数１３】
は生じず、
【数１４】
が等しくなる。すなわち、デッキ６の縮みは，ポンツーン７の楕円化変形に関与する周方向波数２の成分を含み、軸対称変形を表す周方向波数０の成分も同等なレベルに含む。このことが、周方向波数０，２の成分を共に考慮して設計することを要求する消防基準に合う。
【００４８】
これらの２点に基づき、上記特許文献２では、デッキ６の縮みＳを、ポンツーン７全体に強制変位として与える方法が提案されている。
【００４９】
これに対し、本発明の予測方法では、デッキ６の縮みＳを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えるものとする。この強制変位に対するポンツーン７の変位によるポンツーン７のひずみエネルギの変分の変化Δ（δＵ）をガレルキン法により一般化座標に関する非線形関数に変換し、上記式（８）の右辺に加える。右辺に加える理由は、上記式（８）の左辺マイナス右辺＝０の式が、ラグランジュアンの変分＝０から得られたものであり、ひずみエネルギのラグランジュアンに対する寄与がマイナスであるためである。
【００５０】
以上の点に鑑みて、式（１０）を次のように書く。
【数１５】
【００５１】
ポンツーン７に関するＦＥＭ方程式は、各（ｍ，β）成分について次の形に得られる。
【数１６】
【数１７】
【００５２】
上記式（１４）より、上記ポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位は、該結合部の変位で次のように表される。
【数１８】
【００５３】
上記デッキ６との結合部を固定した条件下でのポンツーン７の固有振動数は、低次のスロッシング固有振動数に比べて高いので、上記式（１６）では右辺第１項が支配的である。したがって、次式を得る。
【数１９】
【００５４】
式（１５）及び式（１７）は次のように書ける。
【数２０】
【００５５】
このようにして、デッキ６の縮みによるデッキ６とポンツーン７の結合部の半径方向変位の、（ｍ，β）成分Ｈｍβ（ｔ）によるポンツーンシェルの変形が求まる。したがって、シェル要素の任意位置での変位の
【数２１】
（図２に定義された局所座標方向）の成分が、次のような（ｍ，β）成分の重ね合わせの形に表される。
【数２２】
【００５６】
ひずみエネルギの変分は，次式によって与えられる。
【数２３】
【数２４】
【００５７】
ｕ，ｖ，ｗは、式（７）の全体座標に関する成分を局所座標に関する成分に変換することにより、次のような同様な形に表せる。
【数２５】
【００５８】
上記式（２１）より、ひずみエネルギの変分の、デッキ６の半径方向の縮みによる変化は、次のようになる。
【数２６】
【００５９】
上記式（２０）と式（２３）を上記式（２４）に代入することにより、Δ（δＵ）を一般化座標で表す。この計算は、上記式（２４）が多くの項を有するため、多大な計算労苦を要する。そこで、モード関数を適切に定義して式（２０）及び式（２３）を次のように表記する。
【数２７】
【００６０】
ひずみエネルギの変分を上記式（２１）のように添え字ｊを導入して記すことにより、このような効率的な定式化が行える。
【００６１】
式（２４）の［ ］中の第１項から生じる時間に依存する因数は、
【数２８】
である。又、周方向モード関数の直交性より、ｍ＝ｍ１＝０とｍ＝ｍ１＝２の項が生じる。これらの項は、式（１２）より
【数２９】
の形である。変分を受ける一般化座標が周方向波数１であるため、
【数３０】
の形をもった非線形項（第３近似の大きさ）が、式（８）のｍ＝１の式の右辺非線形項に加算される。
【００６２】
一方、式（２４）の［ ］中の第２項から生じる時間に依存する因数は、
【数３１】
で、ｍ＝ｍ１＝０、ｍ＝ｍ１＝２としたものである。これらの因数は、式（１２）より
【数３２】
の形である。変分を受ける一般化座標が周方向波数０，２であるため、
【数３３】
の形をもった非線形項が(第２近似の大きさ)が式（８）のｍ＝０，２の式の右辺非線形項に加算される。
【００６３】
以上の構成としてある本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、浮き屋根式タンクについて、タンク本体１の底板２の中心を原点Ｏとするｘｙｚ座標空間内に配置した解析モデルについて、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することで、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式（式（８））を求める。
【００６４】
更に、加振に起因する周方向波数１、半径方向２次のモードによるデッキ６の面外たわみ変形による半径方向の縮みを求め（式（１０））、この求められたデッキ６の半径方向の縮みＳを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に対するポンツーン７の変位によるポンツーン７のひずみエネルギの変分の変化Δ（δＵ）を、ガレルキン法により一般化座標に関する非線形関数に変換する。
【００６５】
具体的には、上記デッキ６の縮みによるポンツーン７の半径方向の縮みの強制変位を求め（式（１０））、この求められたポンツーン７の半径方向の縮みを、周方向成分に分け（式（１１）〜式（１３））、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位と、上記デッキ６の縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解き（式（１４）、式（１５））、その後、未知数である上記ポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位を、上記強制変位で表す（式（１６））。これにより、ポンツーン７におけるすべての変位が分かるようになるため、該ポンツーン７のひずみエネルギを変位の関数として表すことで、ポンツーン７全体のひずみエネルギを求める。
【００６６】
しかる後、上記において求めたポンツーン７のひずみエネルギを、上記浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式（式（８））に加えた式を求めることにより、この式を解いてポンツーン７の各部に作用すると予測される応力を求めることができるようにしてある。
【００６７】
したがって、浮き屋根式タンクを設計する際、地震等による加振によりタンク内の貯蔵液体４のスロッシングにより、浮き屋根５のデッキ６が加振方向に沿って半径方向の縮みを生じ、該デッキ６の外周に設けてあるポンツーン７が楕円化変形するときに、該ポンツーン７の各部に作用するようになる応力を予測することができるようになる。
【００６８】
しかも、後述するように上記ポンツーン７の各部について、周方向の変形に加えて、子午線方向の変形をも考慮した状態で、該ポンツーン７に作用する応力について精度よく解析できるようになる。よって、上記ポンツーン７の各部に作用すると予測される応力が、該ポンツーン７の各部の設計に基づく降伏応力、座屈応力を超えるか否かを判断することができるようになるため、該ポンツーン７について、より安全側の設計を行うことが可能になる。
【００６９】
更に、従来、一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法は多くの計算時間・コストを要するため、正確な計算は変位よりも応力に対してより難しくなる。
【００７０】
これに対し、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法による解析は、後述するように過去の破損事例を裏付ける応力値の予測に要する計算時間・コストを、モード展開手法による非線形解析手法により、大きく低減することができる。したがって、上記従来の市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法は数日の計算時間を要するが、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法による解析は数秒で実施することができる。
【００７１】
しかも、ポンツーン７を曲がり梁で近似する理論、消防法技術基準の計算法では、ポンツーン断面形状の変化が梁としての曲げ剛性を支配する断面２次モーメントの変化に現れるに過ぎないため、ポンツーン７の断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大については予測不可能であるが、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、後述する数値例題の結果より明らかなように、ポンツーン７の内リム７ａ、外リム７ｂ、ポンツーン上板７ｃ、ポンツーン下板７ｄについて板やシェルとしての変形を考慮できるため、上記のようにポンツーン７の断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大についても予測することが可能になる。
【００７２】
なお、本発明は、上記実施の形態にのみ限定されるものではなく、シングルデッキ型の浮き屋根を備えて、ポンツーンの楕円化変形応力の予測を所望する浮き屋根式タンクであれば、後述する実施例の表１に示す計算諸元の形状以外の形状の浮き屋根式タンクにおける浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力の予測にも適用できること、その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内で種々変更を加え得ることは勿論である。
【実施例】
【００７３】
２．数値例題
以下、本発明者等が実施した実機の一般形状に近い数値例題を用いて具体的に本発明の有効性について検証した結果について説明する。
【００７４】
図１（ａ）（ｂ）に示した如き構成としてある浮き屋根式タンクについて、１２万キロリットル級の実機の一般形状を想定して計算諸元を以下の表１のように設定した。
【表１】
【００７５】
減衰は、
【数３４】
を式（２）の圧力項に付加し、定数μを式（５）によって与えられるφの各モード成分ごとに
【数３５】
によって決定することにより導入した。
加振入力は次のように与えた。
【数３６】
ここで、Ｔは加振の周期で次のように計算される。
【数３７】
応力に関しては、図３のようにシェル要素の子午線方向座標ｓと厚さ方向（板厚方向）座標ζを定義し、厚さ（板厚）をｈｒとして、
膜応力：ζ＝０．５ｈｒとζ＝−０．５ｈｒでの応力を加えて２で割ったもの
曲げ応力：ζ＝０．５ｈｒでの応力値からζ＝−０．５ｈｒでの応力値を引いて２で割ったもの
を参照する。
【００７６】
図４は応力の位置を示す際に参照する。図４において、Ｐ１はポンツーン７の内リム７ａにおける上端に近い位置、Ｐ２はポンツーン上板７ｃにおける内側の端に近い位置、Ｐ３はポンツーン上板７ｃにおける外側の端に近い位置、Ｐ４は外リム７ｂにおける上端に近い位置、Ｐ５は内リム７ａにおける下端に近い位置、Ｐ６はポンツーン下板７ｄにおける内側の端に近い位置、Ｐ７はポンツーン下板７ｄにおける外側の端に近い位置、Ｐ８は外リム７ｂにおける下端に近い位置、Ｐ９及びＰ１０は内リム７ａにおけるデッキ６との結合部（ｚ−ｈ＝０）の位置である。なお、上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部の位置に図示したようにＰ９及びＰ１０を付したのは、後述するように上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部よりも上側と下側に作用する応力を分離して予測する際の便宜のためである。
【００７７】
図５（ａ）（ｂ）に、周方向波数１、半径方向２次のスロッシングモードによる、デッキ６の半径方向縮みと面外変形の時間応答を示す。これらの応答は、非特許文献１の図５で示したものと同じであるが、どの程度のデッキ６の半径方向縮みと面外変形で以下に示す応力が生じるかをみるための便宜のために記載してある。
【００７８】
上記非特許文献１に示されたように、デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７全体に強制変位として与える方法では、位置Ｐ９（図４参照）での周方向膜応力が大きな値に達することを示すことにより、デッキ６の半径方向縮みによって過去に浮き屋根式タンクに生じた破損事故の理論的根拠を得ている。
【００７９】
そこで、上記ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部である位置Ｐ９（図４参照）での周方向膜応力について、本発明の予測方法（デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与える方法）で得た結果を、上記非特許文献１に示された解析結果と比較、検証した。
【００８０】
本発明の予測方法による結果を、図６（ａ）（ｂ）に太線で示す。図６（ａ）は時間応答、図６（ｂ）は時間応答が極大になる時刻ｔ＝３１ｓでの周方向変化を示すものである。図６（ａ）及び図６（ｂ）における細線は、比較として非特許文献１の図９（ｂ）及び図１０における太線で示された解析結果を示したものである。
【００８１】
図６（ａ）（ｂ）により、非特許文献１と本発明の予測方法の双方の手法による結果は概ね一致することが明らかであり、上記ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部での周方向膜応力の評価に関しては、非特許文献１に示された近似手法でも有効であることが確かめられた。
【００８２】
又、図６（ａ）より、ポンツーン７の内リム７ａの周方向膜応力は、図５（ａ）に示されたデッキ６の半径方向縮みに比例して変化することが分かる。これは、上記ポンツーン７の内リム７ａに作用する応力の主因が、上記デッキ６の半径方向縮みにあることを意味するものである。
【００８３】
更に、図６（ｂ）より、上記ポンツーン７の内リム７ａの周方向膜応力の周方向変化は、
【数３８】
を含み、双方の成分の大きさ（周方向変動の平均の絶対値と振幅）は等しいことが確かめられた。これは、デッキ６の半径方向の縮みを与える式（１０）が、その下に記したように、係数の大きさの等しい
【数３９】
を有することに起因するものである。
【００８４】
図７（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）は、ポンツーン７の各部における周方向応力の解析結果を示すものである。各図の横軸は、図７（ａ）はポンツーン下板７ｄにおける位置Ｐ６から位置Ｐ７まで、図７（ｂ）はポンツーン上板７ｃにおける位置Ｐ２から位置Ｐ３まで、図７（ｃ）は外リム７ｂにおける位置Ｐ８から位置Ｐ４まで、図７（ｄ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも下方となる位置Ｐ５から位置Ｐ１０まで、図７（ｅ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも上方となる位置Ｐ９から位置Ｐ１までの部分をそれぞれ示している。各図における太線は膜応力、細線は曲げ応力の結果を示すものである。
【００８５】
上記図７（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）の結果より、ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部、すなわち、図７（ｄ）及び図７（ｅ）のｚ＝ｈ（ｚ−ｈ＝０）の近くを除き、周方向膜応力が周方向曲げ応力より絶対値が大きく支配的であることが分かる。
【００８６】
又、上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部近くでの曲げ応力の負値は、図３より、内側（浮き屋根５の中央側）に凸のたわみが生じることを示している。この結果は、ポンツーン７では内リム７ａがデッキ６の半径方向縮みによって内側に引かれることから妥当である。
【００８７】
更に、図８（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）は、ポンツーン７の各部における子午線方向（内リム７ａ及び外リム７ｂでは浮き屋根５の半径に沿う鉛直面内における上下方向、ポンツーン上板７ｃ及びポンツーン下板７ｄでは浮き屋根５の半径に沿う方向、）の曲げ応力を示すものである。各図の横軸は、図８（ａ）はポンツーン下板７ｄにおける位置Ｐ６から位置Ｐ７まで、図８（ｂ）はポンツーン上板７ｃにおける位置Ｐ２から位置Ｐ３まで、図８（ｃ）は外リム７ｂにおける位置Ｐ８から位置Ｐ４まで、図８（ｄ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも下方となる位置Ｐ５から位置Ｐ１０まで、図８（ｅ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも上方となる位置Ｐ９から位置Ｐ１までの部分をそれぞれ示している。なお、膜応力は、大きさが最大４０ＭＰａ程度と小さいので図示は割愛する。
【００８８】
上記図８（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）の結果より、子午線方向の曲げ応力は、ポンツーン７の内リム７ａとデッキ６との結合部、すなわち、図８（ｄ）及び図８（ｅ）のｚ＝ｈ（ｚ−ｈ＝０）で絶対値が特に大きくなることが分かる。このような曲げ応力の挙動は、非特許文献１に示されたような、デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７全体に強制変位として与える方法では、予測できないものである。
【００８９】
したがって、本発明の予測方法を用いた解析結果からは、ポンツーン７の各部における周方向膜応力と子午線方向曲げ応力の相乗効果によって、非特許文献１に示された方法による解析結果よりもさらに大きな応力がポンツーン７に作用することが予測される。これにより、浮き屋根式タンクにおける浮き屋根５の破損事故の説明や、浮き屋根５のダブルデッキ化工事の必要性の示唆のために、より有効な結果が得られることが判明した。
【００９０】
次に、ポンツーン７に作用する応力に対するポンツーン上板７ｃとポンツーン下板７ｄの勾配（ｄｚ／ｄｒ）の影響について検証した。
【００９１】
表２（ａ）は、本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）での値をそれぞれ示すものである。表１の計算諸元に示してあるように、ポンツーン７におけるポンツーン上板７ｃの勾配ｄｚ／ｄｒが、ｄｚ／ｄｒ＝４ｄｅｇと比較的大きい場合は、上記ポンツーン上板７ｃの内側の端に近い位置Ｐ１とＰ２（図４参照）にそれぞれ作用する周方向膜応力に比較して、該ポンツーン上板７ｃの外側の端に近い位置Ｐ３とＰ４（図４参照）にそれぞれ作用する周方向膜応力の絶対値が小さくなっている。
【００９２】
一方、ポンツーン下板７ｄの勾配ｄｚ／ｄｒは、表１の計算諸元に示してあるように、ｄｚ／ｄｒ＝−０．００２ｄｅｇと微小となっているが、この場合、上記ポンツーン下板７ｄの内側の端に近い位置Ｐ５及びＰ６（図４参照）での周方向膜応力と、該ポンツーン下板７ｄの外側の端に近い位置Ｐ７及びＰ８での応力は同程度の大きさである。
【００９３】
したがって、上記ポンツーン上板７ｃ又はポンツーン下板７ｄのうち、勾配がある（比較的大きく設定されている）方では、外側の端近くでの周方向膜応力が、内側の端近くでの周方向膜応力に比べ絶対値が小さくなる傾向が観察された。以下では、この傾向を勾配効果と称する。
【００９４】
表２（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）は、ポンツーン上板７ｃの勾配（ｄｚ／ｄｒ）ｔｏｐとポンツーン下板７ｄの勾配（ｄｚ／ｄｒ）ｂｏｔｔｏｍを次のように変えた条件１、２、３の下で、上記と同様に本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）での値をそれぞれ示すものである。
【数４０】
【表２】
【００９５】
上記条件１では、表２（ｂ）から分るように、勾配効果が現れない。上記条件３では、表２（ｄ）から明らかなように、勾配がある（比較的大きく設定されている）ポンツーン下板７ｄに関して、勾配効果が現れていることが確認できる。注意すべき点は、上記条件２の場合で、表２（ｃ）から分るように、ポンツーン上板７ｃにもポンツーン下板７ｄにも勾配がある（比較的大きく設定されている）にもかかわらず、勾配効果が現れていない点である。このことから、勾配効果は、ポンツーン７の断面形状が上下方向で対称な場合には現れないことが判明した。
【００９６】
ところで、周方向膜応力の周方向の変化は、図６（ｂ）に示したように、
【数４１】
を含む。そこで、上記勾配効果がどちらの成分によるものかを調べるため、次の場合について、上記と同様に本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）結果を表３、４に示す。
【００９７】
【数４２】
【表３】
【表４】
【００９８】
上記表３及び表４の結果より、勾配効果は、表３の場合にのみ現れていることが明らかである。よって、上記勾配効果は、
【数４３】
の成分に起因することが判明した。
【００９９】
表５（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）は、表２（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）にそれぞれ示したと同様の条件とした場合において、位置Ｐ１，Ｐ４，Ｐ５，Ｐ８での周方向膜応力の周方向変動をフーリエ展開したときの
【数４４】
を示すものである。
【０１００】
【表５】
上記したように、勾配効果は
【数４５】
に対して作用するので、勾配効果によって大きさが低減した位置Ｐ４，Ｐ８（外リム７ｂの上下端）での応力に関しては、ｃ０が小さく、ポンツーン７の楕円化変形に関与する成分ｃ２が支配的になることが確かめられた。
【符号の説明】
【０１０１】
４ 貯蔵液体
５ 浮き屋根
６ デッキ
７ ポンツーン
【技術分野】
【０００１】
本発明は、石油タンク等の貯蔵液体の上に浮き屋根を設けてなる形式の浮き屋根式タンクにて、タンク内部の貯蔵液体に生じるスロッシングに伴って浮き屋根が振動する際に、該浮き屋根のデッキの縮みによりポンツーンを楕円形に変形させるように作用する応力を予測するために用いる浮き屋根のポンツーン応力予測方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
気化する虞が比較的低い流体である原油や石油を貯蔵する大型のタンクとしては、浮き屋根式の貯蔵タンクが多く用いられている。
【０００３】
図９はシングルデッキ形式の浮き屋根式タンクの一般的な構成を示すもので、基礎上に据え付けられた底板２と、該底板２の上側に立設された円筒状の側板３とからなる上部の開放された平底円筒型のタンク本体１を備え、更に、上記タンク本体１の内部に貯蔵された液体４の液面上に浮かべて使用する浮き屋根５を備えた構成としてある。上記浮き屋根５は、中央部のデッキ６の外周に、浮力を与えるためのポンツーン７を設けた構成としてある。８は上記浮き屋根５のデッキ６の上面における径方向所要間隔位置に補強のために設けたスチフナ、９は上記浮き屋根５の外周と上記側板３の内周面との隙間を埋めるためのシール機構、１０は雨水の流入を抑えるためのウェザーシールドである。
【０００４】
ところで、地震発生時に、その地震波が上記浮き屋根式タンクのスロッシング周期成分を含む場合、上記浮き屋根式タンク内の貯蔵液体４にスロッシングが励起される。更に、上記浮き屋根式タンク内の貯蔵液体４のスロッシングは、浮き屋根５のピッチング振動を引き起こす。
【０００５】
その際、上記浮き屋根式タンクが、１０万キロリットル級の半径の大きいタンクである場合は、貯蔵液体４のスロッシングの周方向波数１、半径方向２次のモードが、地震動の長周期成分に共振することがある。このような共振が生じると、上記浮き屋根５では、鉛直方向の変位はあまり大きくならないが、該浮き屋根５のデッキ６の面外たわみ変形の勾配により、加振方向に沿って該デッキ６の半径方向の縮みが生じるため、該デッキ６の外周に設けてあるポンツーン７が楕円化し、この楕円化によってポンツーン７の一部に降伏座屈等の損傷が生じることとなる損傷モードが懸念されている。
【０００６】
そのため、浮き屋根式タンクにおいては、上記浮き屋根５のポンツーン７の損傷を未然に防止できるようにするために、タンク内の貯蔵液体４のスロッシングに起因する浮き屋根５のデッキ６の半径方向の縮みに伴い該デッキ６外周のポンツーン７が楕円化変形することを予測して評価することが重要な課題となっている。
【０００７】
上記浮き屋根式タンクの浮き屋根５におけるポンツーン７の楕円化変形を予測するための手法としては、市販の有限要素解析ソフトを用いて解析を行う手法が従来一般的に採られている。
【０００８】
なお、本発明者等は、浮き屋根式タンクにおける浮き屋根５に生じる過大応力を予測するために、浮き屋根式タンクの浮き屋根５について、変分原理から基礎式を導き、次に、モード展開法によって時間に関する非線形常微分方程式を導いて、この非線形常微分方程式を解くことで、上記浮き屋根５に作用する応力を算出できるようにした浮き屋根式タンクにおける浮き屋根の過大応力予測方法を提案している（たとえば、特許文献１参照）。
【０００９】
更に、本発明者等は、上記浮き屋根の過大応力予測方法で用いている解析的手法を、スロッシングにより浮き屋根５のポンツーン７に対し楕円形に変形させるように作用する応力の解析に発展させた浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法を提案している（たとえば、特許文献２、非特許文献１参照）。
【００１０】
これは、デッキ６の縮みによるデッキ６外周の半径方向変位を、あらゆる周方向位置でポンツーン７全体に強制変位として与えることにより、該ポンツーン７に作用する応力を予測するようにしてある。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１１】
【特許文献１】特開２００９−１１３８２０号公報
【特許文献２】特開２００９−１１３８２４号公報
【非特許文献】
【００１２】
【非特許文献１】内海雅彦、石田和雄，「非線形スロッシングによる石油タンク浮き屋根の振動に関する研究、第３報：デッキの縮みによるポンツーンの楕円化変形」，圧力技術，社団法人 日本高圧力技術協会，２００８年，第４６巻，第５号，ｐ．２８５−２９３
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
ところが、浮き屋根式タンクの浮き屋根５のデッキ６の縮みによるポンツーン７の楕円化変形を予測するために従来一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法では、計算に数日を要する等、計算時間が多くかかり、又、コストが嵩むというのが実状である。
【００１４】
なお、上記特許文献１に示された浮き屋根の過大応力予測方法で用いている解析的手法を発展させた上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法は、ポンツーン７の周方向に作用する応力の予測に有効である。
【００１５】
しかし、上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法は、ポンツーン７に作用する応力を予測する際、デッキ６の縮みによるデッキ６外周の半径方向変位を、ポンツーン７全体に強制変位として与えるようにしてあることから、ポンツーン７の断面形状のひずみ等の該ポンツーン７の変位の局所的挙動の予測が難しく、したがって、ポンツーン７の変位の局所的挙動による応力は解析結果に反映されていないというのが実状である。
【００１６】
そこで、本発明は、上記特許文献２及び非特許文献１に示されている浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力予測方法を更に発展させて、ポンツーンの局所的な強制変位に対するポンツーンの変形解を求めることにより、ポンツーンの変位の局所的挙動についても予測することができて、浮き屋根のポンツーンが楕円化変形する際における周方向の変形だけでなく子午線方向（浮き屋根の半径方向に沿う鉛直面内における方向）の変形についても精度よく解析できるようにするための浮き屋根のポンツーン応力予測方法を提供しようとするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
本発明は、上記課題を解決するために、請求項１に対応して、浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測するようにする。
【００１８】
又、上記構成において、浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求めるときに、先ず、上記デッキの縮みによるポンツーンの半径方向の縮みの強制変位を求め、該求められたポンツーンの半径方向の縮みを周方向成分に分け、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位と、上記デッキの縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解いた後、上記未知数である上記ポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位を、上記強制変位で表し、この強制変位で表されたポンツーンの変位の関数として、該ポンツーンのひずみエネルギを求めるようにする。
【発明の効果】
【００１９】
本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、以下のような優れた効果を発揮する。
（１）浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測するようにしてあるので、浮き屋根式タンクを設計する際、地震等による加振による貯蔵液体のスロッシングにより、浮き屋根のデッキが加振方向に沿って半径方向の縮みを生じ、該デッキの外周に設けてあるポンツーンが楕円化変形する場合の該ポンツーンの各部に作用するようになる応力を予測することができる。
（２）しかも、上記ポンツーンの各部について、周方向変形に加え、子午線方向の変形も考慮した状態で、該ポンツーンに作用する応力を精度よく解析できる。よって、上記ポンツーンの各部に作用すると予測される応力が、該ポンツーンの各部の設計に基づく降伏応力、座屈応力を超えるか否かを判断することができるようになるため、該ポンツーンについて、より安全側の設計を行うことが可能になる。
（３）更に、従来、一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法に比して、応力値の予測に要する計算時間・コストを大きく低減することができる。したがって、上記従来の市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法では数日の計算時間を要していた解析であっても、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法により数秒で実施することが可能になる。
（４）更には、従来の有限要素解析ソフトを用いる解析予測不可能であったポンツーンの断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大についても、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、予測することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
【図１】本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法の導出に用いた解析モデルを示すもので、（ａ）は浮き屋根式タンクの概略切断側面図、（ｂ）は浮き屋根の詳細形状を示す切断側面図である。
【図２】ポンツーンのシェル要素の変位成分を示す図である。
【図３】浮き屋根のシェル要素に関する局所座標を示す図である。
【図４】ポンツーンに作用する応力の参照位置を示す図である。
【図５】周方向波数１、半径方向２次のスロッシングモードによるデッキの変形の時間応答（ｔ）を示すもので、（ａ）は半径方向の縮み（Contraction）を、（ｂ）は面外変形（Out-of-plane deformation）をそれぞれ示す図である。
【図６】ポンツーンにおける図４の位置Ｐ９での周方向膜応力の応答（Stress）を示すもので、（ａ）は時間応答（ｔ）、（ｂ）は（ａ）のｔ＝３１ｓにおける周分布変化（Circumferential cood）をそれぞれ示す図である。
【図７】ポンツーン各部における周方向応力（Stress）を示すもので、（ａ）はポンツーン下板（Bottom）について、（ｂ）はポンツーン上板（Top）について、（ｃ）は外リム（Outer rim）について、（ｄ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも下方（Inner rim（under deck））について、（ｅ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも上方（Inner rim（above deck））について、膜応力と曲げ応力の解析結果をそれぞれ示す図である。
【図８】ポンツーン各部における子午線方向の曲げ応力（Stress）を示すもので、（ａ）はポンツーン下板（Bottom）について、（ｂ）はポンツーン上板（Top）について、（ｃ）は外リム（Outer rim）について、（ｄ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも下方（Inner rim（under deck））について、（ｅ）は内リムにおけるデッキとの結合部よりも上方（Inner rim（above deck））についての解析結果をそれぞれ示す図である。
【図９】浮き屋根式タンクの一般的な構成を示す概略切断側面図である。
【発明を実施するための形態】
【００２１】
以下、本発明を実施するための形態を図面を参照して説明する。
【００２２】
図１（ａ）（ｂ）及び図２は本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法の実施の一形態を示すもので、以下のようにしてある。
【００２３】
１．１ 解析モデル
ここで、先ず、本発明の導出に用いる解析モデルについて説明する。すなわち、図１（ａ）（ｂ）に示す解析モデルは、図９に示したと同様の構成としてある円筒形の浮き屋根式タンクを、該タンク本体１の底板２の中心を原点Ｏとするｘｙｚ座標空間内に配置して、任意の
【数１】
での断面が示してある。
【００２４】
浮き屋根５は、中央部のデッキ６と、浮力を得るためにその周囲に設置されたポンツーン７とからなる構成としてある。上記ポンツーン７は、径方向（内外方向）に所要間隔を隔てて同心円状に配置した内リム７ａと外リム７ｂの上端部同士の間に、リング状のポンツーン上板（天井板）７ｃを気密に接合し、且つ上記内リム７ａと外リム７ｂの下端部同士の間に、リング状のポンツーン下板（底板）７ｄを気密に接合して中空構造としてあり、上記内リム７ａの内周面における上下方向の所要高さ位置に、上記デッキ６の外周端部を連結するようにしてある。更に、上記ポンツーン７には、図１（ｂ）に示す如く、内部における径方向所要間隔位置に隔壁１１をそれぞれ設けた構成としてある。
【００２５】
図１（ａ）におけるａは円筒形のタンク本体１の半径、ｈは静的平衡時の貯蔵液体４の深さである。又、図１（ｂ）におけるｂは浮き屋根５の半径、ｂ１はデッキ６の半径、ｂ２，ｂ３，ｂ４はポンツーン７内部における各隔壁１１の径方向の配列間隔、Ｈはポンツーン７の外リム７ｂの高さ寸法、Ｈ１はポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６取付位置から該内リム７ａの上端までの上下方向寸法、Ｈ２はポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６取付位置から該内リム７ａの下端までの上下方向寸法である。上記浮き屋根式タンクの詳細諸元については、実施例で後述する数値例題と共に示す。
【００２６】
上記浮き屋根５は、軸対称な弾性シェル構造としてモデル化する。図２はシェル要素ｉｊの変位成分を示す図である。
【００２７】
又、浮き屋根５とタンク本体１の側板３との間には、シール機構９（図９参照）が設けてあり、浮き屋根５の外周でのｒ方向変位に対し、単位面積当たり、
【数２】
のばね力、及び、減衰力が浮き屋根５の半径方向にそれぞれ作用するものとする。貯蔵液体４の液体運動は非圧縮完全流体の渦無し流れとし、タンクの側板３と底板２は剛体とする。
【００２８】
１．２ 基礎方程式の変分表示
次に、上記構成としてある浮き屋根式タンクについて、以下に示すように、基礎方程式の変分表示を行う。
【００２９】
本発明の予測方法では、液体−弾性体系の非線形振動解析に解析的手法を導入するため、ガレルキン法を用いる。このために、基礎方程式系の変分表示が必要である。そこで、先ず、貯蔵液体４の単位体積当たりのラグランジュアンに等しい液圧を、速度ポテンシャルで次のように表す。
【数３】
【００３０】
液体のラグランジュアンと，円錐台シェル要素でモデル化した浮き屋根５のラグランジュアンとの和をとって系全体のラグランジュアンを求め、この作用積分の変分をとると、特許文献１の浮き屋根式タンクにおける浮き屋根の過大応力予測方法の解析的手法で説明した手続（詳細は特許文献１における式（６）の導出手順を参照）によって次のような基礎方程式系の変分表示が導かれる。
【数４】
【００３１】
上記式（２）において、速度ポテンシャル、浮き屋根変位、任意時間関数の変分は、任意且つ独立であるから、これらの変分に関する係数が０となる条件が要求される。これらの要求条件が基礎方程式、境界条件を与える。すなわち、上記式（２）の第１項は、液体領域内での連続条件に対応するラプラス方程式
【数５】
である。
【００３２】
又、上記式（２）の第２項、第３項は、剛と仮定された貯蔵液体４とタンク本体１の境界面（側板３及び底板２）でその法線方向の流速が０になる境界条件
【数６】
である。
【００３３】
上記式（２）における第２行は、貯蔵液体４と浮き屋根５の境界面で双方の法線方向の振動速度が等しい条件である。又、上記式（２）の第３行〜第６行は、液圧を受ける浮き屋根５の運動方程式、第７行における最後の項は、非圧縮性の仮定に基づく貯蔵液体４の体積一定条件である。
【００３４】
なお、上記式（２）の第５行は地震加速度による慣性力、第６行はシール機構９（図９参照）による減衰力のシェル要素に対する仮想仕事を表し、該シール機構９（図９参照）のばね力は、第３行の剛性行列によって考慮している。
【００３５】
１．３ モード展開法による非線形常微分方程式の導出
モード展開法による非線形常微分方程式の導出を行う場合は、変分原理となる上記式（２）を、ガレルキン法により、時間に関する常微分方程式に変換する。すなわち、未知量をモード関数で展開した形で表して式（２）に代入することにより、展開係数（未知の時間関数で一般化座標と呼ばれる）に関する非線形常微分方程式を導く。速度ポテンシャルを、境界条件の式（４）を満たすラプラス方程式（３）の解として次のように表す。
【数７】
【００３６】
浮き屋根５の節点変位ベクトルを、各周方向波数成分ごとに、貯蔵液体４と非接触時のモードで展開した形として、以下のように表す。
【数８】
【００３７】
更に、このモードと一般化座標を用いて浮き屋根５の任意位置での変位を、以下のように表わすことができる。
【数９】
【００３８】
上記式（５）〜式（７）を変分原理の式（２）に代入することにより、一般化座標に関する非線形常微分方程式を導く。この際、特許文献１で説明した手続により、第２近似解を得るための非線形方程式系は、各周方向波数ｍ＝０，１，２について次の形に行列表示できる。
【数１０】
係数行列，非線形項の表記は省略する。
【００３９】
Ｇ１は、周方向波数１の一般化座標３個の積、周方向波数１及び０の一般化座標の積、周方向波数１及び２の一般化座標の積を含んだ形となる。
【００４０】
Ｇ０及びＧ２は、周方向波数１の一般化座標２個の積を含んだ形となる。
【００４１】
したがって、周方向波数１の一般化座標を第１近似として、周方向波数０，２の一般化座標は第２近似、Ｇ１は第３近似、Ｇ０，Ｇ２は第２近似の大きさである。
【００４２】
以上により、上記式（８）は、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で、貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式となる。
【００４３】
１．４ デッキの縮みによるポンツーン楕円化変形応力の予測
次に、デッキ６の縮みに起因して生じるポンツーン７の楕円化変形に伴う応力について求める。
【００４４】
周方向波数１、半径方向２次のモードによるデッキ６の面外たわみ変形のモード展開式は、上記式（７）より次式によって与えられる。
【数１１】
【００４５】
この面外たわみによるデッキの半径方向の縮みは次のように計算される。
【数１２】
【００４６】
上記式（１０）に関しては、下記の２点が重要である。
【００４７】
（Ａ）：式（１０）によって計算したデッキ６の縮みが、非特許文献１の図６に示すように、過去の文献の結果と合うことを検証している。
（Ｂ）：ｘ方向加振の場合には、Ｅ１２ｙ（ｔ）＝０となるので、式（１０）で
【数１３】
は生じず、
【数１４】
が等しくなる。すなわち、デッキ６の縮みは，ポンツーン７の楕円化変形に関与する周方向波数２の成分を含み、軸対称変形を表す周方向波数０の成分も同等なレベルに含む。このことが、周方向波数０，２の成分を共に考慮して設計することを要求する消防基準に合う。
【００４８】
これらの２点に基づき、上記特許文献２では、デッキ６の縮みＳを、ポンツーン７全体に強制変位として与える方法が提案されている。
【００４９】
これに対し、本発明の予測方法では、デッキ６の縮みＳを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えるものとする。この強制変位に対するポンツーン７の変位によるポンツーン７のひずみエネルギの変分の変化Δ（δＵ）をガレルキン法により一般化座標に関する非線形関数に変換し、上記式（８）の右辺に加える。右辺に加える理由は、上記式（８）の左辺マイナス右辺＝０の式が、ラグランジュアンの変分＝０から得られたものであり、ひずみエネルギのラグランジュアンに対する寄与がマイナスであるためである。
【００５０】
以上の点に鑑みて、式（１０）を次のように書く。
【数１５】
【００５１】
ポンツーン７に関するＦＥＭ方程式は、各（ｍ，β）成分について次の形に得られる。
【数１６】
【数１７】
【００５２】
上記式（１４）より、上記ポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位は、該結合部の変位で次のように表される。
【数１８】
【００５３】
上記デッキ６との結合部を固定した条件下でのポンツーン７の固有振動数は、低次のスロッシング固有振動数に比べて高いので、上記式（１６）では右辺第１項が支配的である。したがって、次式を得る。
【数１９】
【００５４】
式（１５）及び式（１７）は次のように書ける。
【数２０】
【００５５】
このようにして、デッキ６の縮みによるデッキ６とポンツーン７の結合部の半径方向変位の、（ｍ，β）成分Ｈｍβ（ｔ）によるポンツーンシェルの変形が求まる。したがって、シェル要素の任意位置での変位の
【数２１】
（図２に定義された局所座標方向）の成分が、次のような（ｍ，β）成分の重ね合わせの形に表される。
【数２２】
【００５６】
ひずみエネルギの変分は，次式によって与えられる。
【数２３】
【数２４】
【００５７】
ｕ，ｖ，ｗは、式（７）の全体座標に関する成分を局所座標に関する成分に変換することにより、次のような同様な形に表せる。
【数２５】
【００５８】
上記式（２１）より、ひずみエネルギの変分の、デッキ６の半径方向の縮みによる変化は、次のようになる。
【数２６】
【００５９】
上記式（２０）と式（２３）を上記式（２４）に代入することにより、Δ（δＵ）を一般化座標で表す。この計算は、上記式（２４）が多くの項を有するため、多大な計算労苦を要する。そこで、モード関数を適切に定義して式（２０）及び式（２３）を次のように表記する。
【数２７】
【００６０】
ひずみエネルギの変分を上記式（２１）のように添え字ｊを導入して記すことにより、このような効率的な定式化が行える。
【００６１】
式（２４）の［ ］中の第１項から生じる時間に依存する因数は、
【数２８】
である。又、周方向モード関数の直交性より、ｍ＝ｍ１＝０とｍ＝ｍ１＝２の項が生じる。これらの項は、式（１２）より
【数２９】
の形である。変分を受ける一般化座標が周方向波数１であるため、
【数３０】
の形をもった非線形項（第３近似の大きさ）が、式（８）のｍ＝１の式の右辺非線形項に加算される。
【００６２】
一方、式（２４）の［ ］中の第２項から生じる時間に依存する因数は、
【数３１】
で、ｍ＝ｍ１＝０、ｍ＝ｍ１＝２としたものである。これらの因数は、式（１２）より
【数３２】
の形である。変分を受ける一般化座標が周方向波数０，２であるため、
【数３３】
の形をもった非線形項が(第２近似の大きさ)が式（８）のｍ＝０，２の式の右辺非線形項に加算される。
【００６３】
以上の構成としてある本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、浮き屋根式タンクについて、タンク本体１の底板２の中心を原点Ｏとするｘｙｚ座標空間内に配置した解析モデルについて、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することで、浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式（式（８））を求める。
【００６４】
更に、加振に起因する周方向波数１、半径方向２次のモードによるデッキ６の面外たわみ変形による半径方向の縮みを求め（式（１０））、この求められたデッキ６の半径方向の縮みＳを、ポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に対するポンツーン７の変位によるポンツーン７のひずみエネルギの変分の変化Δ（δＵ）を、ガレルキン法により一般化座標に関する非線形関数に変換する。
【００６５】
具体的には、上記デッキ６の縮みによるポンツーン７の半径方向の縮みの強制変位を求め（式（１０））、この求められたポンツーン７の半径方向の縮みを、周方向成分に分け（式（１１）〜式（１３））、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位と、上記デッキ６の縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解き（式（１４）、式（１５））、その後、未知数である上記ポンツーン７におけるデッキ６との結合部以外の変位を、上記強制変位で表す（式（１６））。これにより、ポンツーン７におけるすべての変位が分かるようになるため、該ポンツーン７のひずみエネルギを変位の関数として表すことで、ポンツーン７全体のひずみエネルギを求める。
【００６６】
しかる後、上記において求めたポンツーン７のひずみエネルギを、上記浮き屋根５の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体４のスロッシングと浮き屋根５の連成振動を支配する式（式（８））に加えた式を求めることにより、この式を解いてポンツーン７の各部に作用すると予測される応力を求めることができるようにしてある。
【００６７】
したがって、浮き屋根式タンクを設計する際、地震等による加振によりタンク内の貯蔵液体４のスロッシングにより、浮き屋根５のデッキ６が加振方向に沿って半径方向の縮みを生じ、該デッキ６の外周に設けてあるポンツーン７が楕円化変形するときに、該ポンツーン７の各部に作用するようになる応力を予測することができるようになる。
【００６８】
しかも、後述するように上記ポンツーン７の各部について、周方向の変形に加えて、子午線方向の変形をも考慮した状態で、該ポンツーン７に作用する応力について精度よく解析できるようになる。よって、上記ポンツーン７の各部に作用すると予測される応力が、該ポンツーン７の各部の設計に基づく降伏応力、座屈応力を超えるか否かを判断することができるようになるため、該ポンツーン７について、より安全側の設計を行うことが可能になる。
【００６９】
更に、従来、一般的に採られていた市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法は多くの計算時間・コストを要するため、正確な計算は変位よりも応力に対してより難しくなる。
【００７０】
これに対し、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法による解析は、後述するように過去の破損事例を裏付ける応力値の予測に要する計算時間・コストを、モード展開手法による非線形解析手法により、大きく低減することができる。したがって、上記従来の市販の有限要素解析ソフトを用いる解析手法は数日の計算時間を要するが、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法による解析は数秒で実施することができる。
【００７１】
しかも、ポンツーン７を曲がり梁で近似する理論、消防法技術基準の計算法では、ポンツーン断面形状の変化が梁としての曲げ剛性を支配する断面２次モーメントの変化に現れるに過ぎないため、ポンツーン７の断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大については予測不可能であるが、本発明の浮き屋根のポンツーン応力予測方法によれば、後述する数値例題の結果より明らかなように、ポンツーン７の内リム７ａ、外リム７ｂ、ポンツーン上板７ｃ、ポンツーン下板７ｄについて板やシェルとしての変形を考慮できるため、上記のようにポンツーン７の断面形状の変化に対する応力の敏感な変化、局所的曲げ応力の増大についても予測することが可能になる。
【００７２】
なお、本発明は、上記実施の形態にのみ限定されるものではなく、シングルデッキ型の浮き屋根を備えて、ポンツーンの楕円化変形応力の予測を所望する浮き屋根式タンクであれば、後述する実施例の表１に示す計算諸元の形状以外の形状の浮き屋根式タンクにおける浮き屋根のポンツーン楕円化変形応力の予測にも適用できること、その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内で種々変更を加え得ることは勿論である。
【実施例】
【００７３】
２．数値例題
以下、本発明者等が実施した実機の一般形状に近い数値例題を用いて具体的に本発明の有効性について検証した結果について説明する。
【００７４】
図１（ａ）（ｂ）に示した如き構成としてある浮き屋根式タンクについて、１２万キロリットル級の実機の一般形状を想定して計算諸元を以下の表１のように設定した。
【表１】
【００７５】
減衰は、
【数３４】
を式（２）の圧力項に付加し、定数μを式（５）によって与えられるφの各モード成分ごとに
【数３５】
によって決定することにより導入した。
加振入力は次のように与えた。
【数３６】
ここで、Ｔは加振の周期で次のように計算される。
【数３７】
応力に関しては、図３のようにシェル要素の子午線方向座標ｓと厚さ方向（板厚方向）座標ζを定義し、厚さ（板厚）をｈｒとして、
膜応力：ζ＝０．５ｈｒとζ＝−０．５ｈｒでの応力を加えて２で割ったもの
曲げ応力：ζ＝０．５ｈｒでの応力値からζ＝−０．５ｈｒでの応力値を引いて２で割ったもの
を参照する。
【００７６】
図４は応力の位置を示す際に参照する。図４において、Ｐ１はポンツーン７の内リム７ａにおける上端に近い位置、Ｐ２はポンツーン上板７ｃにおける内側の端に近い位置、Ｐ３はポンツーン上板７ｃにおける外側の端に近い位置、Ｐ４は外リム７ｂにおける上端に近い位置、Ｐ５は内リム７ａにおける下端に近い位置、Ｐ６はポンツーン下板７ｄにおける内側の端に近い位置、Ｐ７はポンツーン下板７ｄにおける外側の端に近い位置、Ｐ８は外リム７ｂにおける下端に近い位置、Ｐ９及びＰ１０は内リム７ａにおけるデッキ６との結合部（ｚ−ｈ＝０）の位置である。なお、上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部の位置に図示したようにＰ９及びＰ１０を付したのは、後述するように上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部よりも上側と下側に作用する応力を分離して予測する際の便宜のためである。
【００７７】
図５（ａ）（ｂ）に、周方向波数１、半径方向２次のスロッシングモードによる、デッキ６の半径方向縮みと面外変形の時間応答を示す。これらの応答は、非特許文献１の図５で示したものと同じであるが、どの程度のデッキ６の半径方向縮みと面外変形で以下に示す応力が生じるかをみるための便宜のために記載してある。
【００７８】
上記非特許文献１に示されたように、デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７全体に強制変位として与える方法では、位置Ｐ９（図４参照）での周方向膜応力が大きな値に達することを示すことにより、デッキ６の半径方向縮みによって過去に浮き屋根式タンクに生じた破損事故の理論的根拠を得ている。
【００７９】
そこで、上記ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部である位置Ｐ９（図４参照）での周方向膜応力について、本発明の予測方法（デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７におけるデッキ６との結合部にのみ強制変位として与える方法）で得た結果を、上記非特許文献１に示された解析結果と比較、検証した。
【００８０】
本発明の予測方法による結果を、図６（ａ）（ｂ）に太線で示す。図６（ａ）は時間応答、図６（ｂ）は時間応答が極大になる時刻ｔ＝３１ｓでの周方向変化を示すものである。図６（ａ）及び図６（ｂ）における細線は、比較として非特許文献１の図９（ｂ）及び図１０における太線で示された解析結果を示したものである。
【００８１】
図６（ａ）（ｂ）により、非特許文献１と本発明の予測方法の双方の手法による結果は概ね一致することが明らかであり、上記ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部での周方向膜応力の評価に関しては、非特許文献１に示された近似手法でも有効であることが確かめられた。
【００８２】
又、図６（ａ）より、ポンツーン７の内リム７ａの周方向膜応力は、図５（ａ）に示されたデッキ６の半径方向縮みに比例して変化することが分かる。これは、上記ポンツーン７の内リム７ａに作用する応力の主因が、上記デッキ６の半径方向縮みにあることを意味するものである。
【００８３】
更に、図６（ｂ）より、上記ポンツーン７の内リム７ａの周方向膜応力の周方向変化は、
【数３８】
を含み、双方の成分の大きさ（周方向変動の平均の絶対値と振幅）は等しいことが確かめられた。これは、デッキ６の半径方向の縮みを与える式（１０）が、その下に記したように、係数の大きさの等しい
【数３９】
を有することに起因するものである。
【００８４】
図７（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）は、ポンツーン７の各部における周方向応力の解析結果を示すものである。各図の横軸は、図７（ａ）はポンツーン下板７ｄにおける位置Ｐ６から位置Ｐ７まで、図７（ｂ）はポンツーン上板７ｃにおける位置Ｐ２から位置Ｐ３まで、図７（ｃ）は外リム７ｂにおける位置Ｐ８から位置Ｐ４まで、図７（ｄ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも下方となる位置Ｐ５から位置Ｐ１０まで、図７（ｅ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも上方となる位置Ｐ９から位置Ｐ１までの部分をそれぞれ示している。各図における太線は膜応力、細線は曲げ応力の結果を示すものである。
【００８５】
上記図７（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）の結果より、ポンツーン７の内リム７ａにおけるデッキ６との結合部、すなわち、図７（ｄ）及び図７（ｅ）のｚ＝ｈ（ｚ−ｈ＝０）の近くを除き、周方向膜応力が周方向曲げ応力より絶対値が大きく支配的であることが分かる。
【００８６】
又、上記内リム７ａにおけるデッキ６との結合部近くでの曲げ応力の負値は、図３より、内側（浮き屋根５の中央側）に凸のたわみが生じることを示している。この結果は、ポンツーン７では内リム７ａがデッキ６の半径方向縮みによって内側に引かれることから妥当である。
【００８７】
更に、図８（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）は、ポンツーン７の各部における子午線方向（内リム７ａ及び外リム７ｂでは浮き屋根５の半径に沿う鉛直面内における上下方向、ポンツーン上板７ｃ及びポンツーン下板７ｄでは浮き屋根５の半径に沿う方向、）の曲げ応力を示すものである。各図の横軸は、図８（ａ）はポンツーン下板７ｄにおける位置Ｐ６から位置Ｐ７まで、図８（ｂ）はポンツーン上板７ｃにおける位置Ｐ２から位置Ｐ３まで、図８（ｃ）は外リム７ｂにおける位置Ｐ８から位置Ｐ４まで、図８（ｄ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも下方となる位置Ｐ５から位置Ｐ１０まで、図８（ｅ）は内リム７ａにおけるデッキ６よりも上方となる位置Ｐ９から位置Ｐ１までの部分をそれぞれ示している。なお、膜応力は、大きさが最大４０ＭＰａ程度と小さいので図示は割愛する。
【００８８】
上記図８（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）（ｅ）の結果より、子午線方向の曲げ応力は、ポンツーン７の内リム７ａとデッキ６との結合部、すなわち、図８（ｄ）及び図８（ｅ）のｚ＝ｈ（ｚ−ｈ＝０）で絶対値が特に大きくなることが分かる。このような曲げ応力の挙動は、非特許文献１に示されたような、デッキ６の半径方向の縮みをポンツーン７全体に強制変位として与える方法では、予測できないものである。
【００８９】
したがって、本発明の予測方法を用いた解析結果からは、ポンツーン７の各部における周方向膜応力と子午線方向曲げ応力の相乗効果によって、非特許文献１に示された方法による解析結果よりもさらに大きな応力がポンツーン７に作用することが予測される。これにより、浮き屋根式タンクにおける浮き屋根５の破損事故の説明や、浮き屋根５のダブルデッキ化工事の必要性の示唆のために、より有効な結果が得られることが判明した。
【００９０】
次に、ポンツーン７に作用する応力に対するポンツーン上板７ｃとポンツーン下板７ｄの勾配（ｄｚ／ｄｒ）の影響について検証した。
【００９１】
表２（ａ）は、本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）での値をそれぞれ示すものである。表１の計算諸元に示してあるように、ポンツーン７におけるポンツーン上板７ｃの勾配ｄｚ／ｄｒが、ｄｚ／ｄｒ＝４ｄｅｇと比較的大きい場合は、上記ポンツーン上板７ｃの内側の端に近い位置Ｐ１とＰ２（図４参照）にそれぞれ作用する周方向膜応力に比較して、該ポンツーン上板７ｃの外側の端に近い位置Ｐ３とＰ４（図４参照）にそれぞれ作用する周方向膜応力の絶対値が小さくなっている。
【００９２】
一方、ポンツーン下板７ｄの勾配ｄｚ／ｄｒは、表１の計算諸元に示してあるように、ｄｚ／ｄｒ＝−０．００２ｄｅｇと微小となっているが、この場合、上記ポンツーン下板７ｄの内側の端に近い位置Ｐ５及びＰ６（図４参照）での周方向膜応力と、該ポンツーン下板７ｄの外側の端に近い位置Ｐ７及びＰ８での応力は同程度の大きさである。
【００９３】
したがって、上記ポンツーン上板７ｃ又はポンツーン下板７ｄのうち、勾配がある（比較的大きく設定されている）方では、外側の端近くでの周方向膜応力が、内側の端近くでの周方向膜応力に比べ絶対値が小さくなる傾向が観察された。以下では、この傾向を勾配効果と称する。
【００９４】
表２（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）は、ポンツーン上板７ｃの勾配（ｄｚ／ｄｒ）ｔｏｐとポンツーン下板７ｄの勾配（ｄｚ／ｄｒ）ｂｏｔｔｏｍを次のように変えた条件１、２、３の下で、上記と同様に本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）での値をそれぞれ示すものである。
【数４０】
【表２】
【００９５】
上記条件１では、表２（ｂ）から分るように、勾配効果が現れない。上記条件３では、表２（ｄ）から明らかなように、勾配がある（比較的大きく設定されている）ポンツーン下板７ｄに関して、勾配効果が現れていることが確認できる。注意すべき点は、上記条件２の場合で、表２（ｃ）から分るように、ポンツーン上板７ｃにもポンツーン下板７ｄにも勾配がある（比較的大きく設定されている）にもかかわらず、勾配効果が現れていない点である。このことから、勾配効果は、ポンツーン７の断面形状が上下方向で対称な場合には現れないことが判明した。
【００９６】
ところで、周方向膜応力の周方向の変化は、図６（ｂ）に示したように、
【数４１】
を含む。そこで、上記勾配効果がどちらの成分によるものかを調べるため、次の場合について、上記と同様に本発明の予測方法により解析した周方向膜応力の位置Ｐ１〜Ｐ８（図４参照）結果を表３、４に示す。
【００９７】
【数４２】
【表３】
【表４】
【００９８】
上記表３及び表４の結果より、勾配効果は、表３の場合にのみ現れていることが明らかである。よって、上記勾配効果は、
【数４３】
の成分に起因することが判明した。
【００９９】
表５（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）は、表２（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）にそれぞれ示したと同様の条件とした場合において、位置Ｐ１，Ｐ４，Ｐ５，Ｐ８での周方向膜応力の周方向変動をフーリエ展開したときの
【数４４】
を示すものである。
【０１００】
【表５】
上記したように、勾配効果は
【数４５】
に対して作用するので、勾配効果によって大きさが低減した位置Ｐ４，Ｐ８（外リム７ｂの上下端）での応力に関しては、ｃ０が小さく、ポンツーン７の楕円化変形に関与する成分ｃ２が支配的になることが確かめられた。
【符号の説明】
【０１０１】
４ 貯蔵液体
５ 浮き屋根
６ デッキ
７ ポンツーン
【特許請求の範囲】
【請求項１】
浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測することを特徴とする浮き屋根のポンツーン応力予測方法。
【請求項２】
浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求めるときに、先ず、上記デッキの縮みによるポンツーンの半径方向の縮みの強制変位を求め、該求められたポンツーンの半径方向の縮みを周方向成分に分け、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位と、上記デッキの縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解いた後、上記未知数である上記ポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位を、上記強制変位で表し、この強制変位で表されたポンツーンの変位の関数として、該ポンツーンのひずみエネルギを求めるようにする請求項１記載の浮き屋根のポンツーン応力予測方法。
【請求項１】
浮き屋根式タンクの貯蔵液体のスロッシングに伴う浮き屋根の振動について、基礎方程式の変分表示を行い、次いで、モード展開法による非線形常微分方程式を導出することにより、浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式を求め、更に、上記浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求め、該求められた非線形項を、上記浮き屋根の半径方向縮みを考慮しない範囲で貯蔵液体のスロッシングと浮き屋根の連成振動を支配する式に加えてなる式を導出し、該式により応答解析を行うことで、上記ポンツーンに対して楕円形に変形させるように作用する応力を予測することを特徴とする浮き屋根のポンツーン応力予測方法。
【請求項２】
浮き屋根の振動によるデッキの半径方向の縮みを、浮き屋根のポンツーンにおけるデッキとの結合部にのみ強制変位として与えて、該強制変位に伴うポンツーンの変位により生じるひずみエネルギの変分の変化を非線形項として求めるときに、先ず、上記デッキの縮みによるポンツーンの半径方向の縮みの強制変位を求め、該求められたポンツーンの半径方向の縮みを周方向成分に分け、次いで、上記周方向成分を、有限要素法を用いて、未知数であるポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位と、上記デッキの縮みに伴う上記結合部の強制変位に分けて各周方向成分ごとに解いた後、上記未知数である上記ポンツーンにおけるデッキとの結合部以外の変位を、上記強制変位で表し、この強制変位で表されたポンツーンの変位の関数として、該ポンツーンのひずみエネルギを求めるようにする請求項１記載の浮き屋根のポンツーン応力予測方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【公開番号】特開２０１１−１８９９３６（Ｐ２０１１−１８９９３６Ａ）
【公開日】平成２３年９月２９日（２０１１．９．２９）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２０１０−５４８７５（Ｐ２０１０−５４８７５）
【出願日】平成２２年３月１１日（２０１０．３．１１）
【出願人】（０００００００９９）株式会社ＩＨＩ (5,014)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２３年９月２９日（２０１１．９．２９）
【国際特許分類】
【出願日】平成２２年３月１１日（２０１０．３．１１）
【出願人】（０００００００９９）株式会社ＩＨＩ (5,014)
【Ｆターム（参考）】
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