流れ算出方法、流れ算出装置およびプログラム
【課題】対象となる形状を流れる流体の流れについて、計算時間を抑えてより正確な数値解を得る。
【解決手段】対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式を有限要素法で解いた初期数値解を求める初期段階と、前記レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正段階と、前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式を再び有限要素法で解いて再出数値解を求めて出力する再出段階とを備える。
【解決手段】対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式を有限要素法で解いた初期数値解を求める初期段階と、前記レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正段階と、前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式を再び有限要素法で解いて再出数値解を求めて出力する再出段階とを備える。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法、流れ算出装置およびプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
空気軸受等の対象となる形状を流れる流体の流れを算出する方法として、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で数値的に解く方法がある（非特許文献１から３）。しかしながら、ナビエ・ストークス方程式を直接的に解く方法は、計算に要する時間が非常に長い。たとえば、数十ｍｍ角の空気軸受の流れを計算するのに、数十時間から数百時間を要することもある。そこで、他の方法として、ナビエ・ストークスを近似したレイノルズ方程式を有限要素法で数値的に解く方法もある。
【非特許文献１】「気体軸受 設計ガイドブック」十合晋一著 共立出版
【非特許文献２】「有限要素法による表面絞り形静圧空気軸受けの解析」Lin Gang 慶応大
【非特許文献３】「静圧気体軸受けにおけるナビエ・ストークス方程式に基づいた数値解析」精密工学会
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
しかしながら、レイノルズ方程式は流れの乱れを平均化した近似なので、乱れの影響が大きい流れについては、数値解に生じる誤差が大きくなる。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
上記課題を解決するために、本発明の第１の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期段階（Ｓ２１２）と、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正段階（Ｓ２１６）と、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出段階（Ｓ２１８）とを備える。
【０００５】
本発明の第２の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出装置（２００）であって、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期値算出部（２１０）と、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正部（２３０）と、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出値算出部（２４０）とを備える。
【０００６】
本発明の第３の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出するコンピュータを制御するプログラムであって、コンピュータに、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期手順、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正手順、および、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出手順を実行させるプログラムが提供される。
【０００７】
なお、上記の発明の概要は、本発明の必要な特徴の全てを列挙したものではない。また、これらの特徴群のサブコンビネーションもまた、発明となりうる。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００８】
以下、発明の実施の形態を通じて本発明を説明するが、以下の実施形態は特許請求の範囲にかかる発明を限定するものではない。また、実施形態の中で説明されている特徴の組み合わせの全てが発明の解決手段に必須であるとは限らない。
【０００９】
図１は、本実施形態により流れが計算される対象となる空気軸受１００の一例を示す斜視図であり、図２は、その断面図である。空気軸受１００は、軸受本体１１０と、対向部材１６０の対向面１７０に対向する軸受面１３０、流体の一例としての空気が流れる流路１２０、流路１２０における軸受面１３０側の端部に設けられた給気口１５０、給気口１５０の周囲に配されたポケット部１４０を有する。流路１２０を通って供給された圧縮空気が給気口１５０、ポケット部１４０および軸受面１３０に流れることによって、空気軸受１００が対向部材１６０を支持する。ここで、図１および図２に示す流路１２０は、給気口１５０に向かって先細の径を有すると共に給気口１５０の先端にポケット部１４０を有する、オリフィス絞りの形状を有する。
【００１０】
図１および図２に示す空気軸受１００に流れる空気の流れを計算する方法として、空気が従うナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解く有限体積法がある。この有限体積法は、空気軸受１００を微小な体積要素に分割し、所与の計算条件の下で当該体積要素が従う方程式を数値的に解く。ここで、計算条件には、各体積要素の節点（ノードともいう）の座標、流体の物性である粘性、密度、圧縮性および温度、並びに、境界条件である給気圧および大気圧等が含まれる。また、ナビエ・ストークス方程式における乱流をモデル化する方法として、例えば、ｋ−ε法がある。これらを用いて、空気軸受１００の各点での空気の圧力分布、流速等が計算される。
【００１１】
上記有限体積法は、計算を簡略にするための仮定条件やモデル化がほとんどないので計算の精度が高い。一方で、上記有限体積法は、節点が三次元空間に配されるのでその数が多く、さらに、乱流を考慮しているので計算式が複雑になり、結果として計算時間が長くなる。例えば、空気軸受１００の外形が数十ｍｍ角程度の大きさの場合に、節点の数は数万から数十万個となり、計算時間は数十時間から数百時間に及ぶ。そこで、本実施形態は、計算時間を長くすることなく、対象となる形状に対する流れをより正確に算出することを目的とする。
【００１２】
図３は、本実施形態の流れ算出装置２００のブロック図を示す。流れ算出装置２００は、初期値算出部２１０と、関係算出部２２０と、補正部２３０と、再出値算出部２４０と、計算値格納部２５０とを備える。また、流れ算出装置２００は、パーソナルコンピュータ等であって、記憶媒体またはネットワークからプログラムがインストールされることにより、上記初期値算出部２１０から計算値格納部２５０の手順を実行してもよい。
【００１３】
初期値算出部２１０は、空気軸受１００の形状等を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める。レイノルズ方程式の流れを数値的に解く方法の一例として、有限要素法を用いる。関係算出部２２０は、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解と、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解と、の関係を、空気軸受１００の形状毎に求める。補正部２３０は、関係算出部２２０により算出された上記関係に基づいて、初期値算出部２１０により算出された初期数値解を補正した補正解を求める。再出値算出部２４０は、補正部２３０により補正された補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式を再び有限要素法で解いて再出数値解を求めて計算値格納部２５０に出力する。計算値格納部２５０は、再出値算出部２４０により算出された再出数値解を格納するとともに、外部からの要求に応じてこれをディスプレイ、プリンタ等に出力する。
【００１４】
さらに、関係算出部２２０は、参照値算出部２２２と関係格納部２２４とを有する。参照値算出部２２２は、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で数値的に解く。また、関係格納部２２４は、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解と、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解と、の関係を格納する。ここで、図３に示す関係算出部２２０は、上記関係を補正関数の形で決定し、関係格納部２２４に格納する。
【００１５】
図４は、流れ算出装置２００が補正関数を決定する動作（Ｓ１００）のフローチャートの一例である。この補正関数は、空気軸受１００の絞りの形状毎に算出される。以下、図１および図２に示す空気軸受１００の絞りの形状として、オリフィス絞りについて計算するものとする。
【００１６】
まず、初期値算出部２１０は、計算の対象とする形状パターンを含む計算条件を外部から取得し、関係算出部２２０に受け渡す（Ｓ１１０）。この計算条件は、一旦、関係算出部２２０の関係格納部２２４に格納されてもよい。以下、初期値算出部２１０は当該計算条件に基づいてレイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解を求めるとともに、参照値算出部２２２が当該計算条件に基づいてナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解を求める。
【００１７】
初期値算出部２１０は、計算条件に基づいて、パラメータを設定する（Ｓ１１２）。ここで、パラメータの一例は、図１における軸受間距離ｈ、および、流路１２０に供給される供給圧Ｐｓであり、初期値として０が設定される。
【００１８】
次に、初期値算出部２１０は当該パラメータを含む計算条件で、レイノルズ方程式を有限要素法（以下、ＲＡ−ＦＥＭ法という）を用いて数値的に解く（Ｓ１１４）。ここで、レイノルズ方程式は、ナビエ・ストークス方程式に、等温流、層流、および、流れのＺ方向の成分は均一、との仮定条件をおいた近似式である。
【００１９】
また、初期値算出部２１０は、有限要素法として形状パターンを二次元の要素に分解して計算する。この場合に、初期値算出部２１０は、計算条件として、二次元的に配列された要素の節点のＸＹ座標、絞りの形状を示すデータ、絞りに連結されたポケット部１４０の深さおよび大きさ、流体の物性として粘性および密度、境界条件として給気圧Ｐｓおよび大気圧Ｐａ、並びに、上記パラメータとして軸受間距離ｈを用いる。この計算条件を用いて、初期値算出部２１０は、空気軸受１００の節点毎の圧力分布を算出する。なお、ステップＳ１１４の計算において、空気軸受１００が数十ｍｍ角の大きさである場合に、節点の数は数百から数千個であり、計算時間は数分である。
【００２０】
さらに、初期値算出部２１０は、パラメータの値を変えて上記計算を繰り返す（Ｓ１１６：Ｙｅｓ）。初期値算出部２１０は、所定のパラメータの値で計算が終わった場合に（Ｓ１１６：Ｎｏ）、算出した数値解を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１１８）。ここで、さらに、初期値算出部２１０は圧力分布の和をとることにより、軸受間距離ｈに対する負荷容量を算出してもよいし、さらに、軸受間距離ｈに対する負荷容量の差分をとることにより、軸受の剛性を算出してもよい。さらに、初期値算出部２１０は、連続の式を用いて流量を算出してもよい。
【００２１】
また、参照値算出部２２２は、計算条件に基づいて、ステップＳ１１２のパラメータに対応するパラメータの値を設定する（Ｓ１２２）。次に、参照値算出部２２２は当該パラメータを含む計算条件で、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法（以下、ＮＳ−ＦＶＭ法という）を用いて数値的に解く（Ｓ１２４）。この場合に、参照値算出部２２２は、計算条件として、三次元的に配列された要素の節点のＸＹＺ座標、流体の物性として粘性、密度、圧縮性および温度、並びに、境界条件として給気圧Ｐｓおよび大気圧Ｐａを用いる。ここで、例えば上記パラメータが軸受間距離ｈの場合に、当該パラメータは節点の座標に反映される。また、絞りの形状に関する情報も、節点の座標に織り込まれる。この計算条件を用いて、参照値算出部２２２は、空気軸受１００の節点毎の圧力分布、流速および温度を算出する。参照値算出部２２２は、ＮＳ−ＦＶＭ法を用いる計算プログラムとして、例えばＳｔａｒ−ＣＤ（登録商標）を用いてもよい。
【００２２】
さらに、参照値算出部２２２は、パラメータの値を変えて上記計算を繰り返す（Ｓ１２６：Ｙｅｓ）。参照値算出部２２２は、所定のパラメータの値で計算が終わった場合に（Ｓ１２６：Ｎｏ）、算出した数値解を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１１８）。ここで、さらに、参照値算出部２２２は圧力分布の和をとることにより、軸受間距離ｈに対する負荷容量を算出してもよいし、さらに、軸受間距離ｈに対する負荷容量の差分をとることにより、軸受の剛性を算出してもよい。さらに、関係算出部２２０は、上記流速または圧力分布から流量を算出してもよい。
【００２３】
関係算出部２２０は、ステップＳ１１８で書き出された数値解をＳ１２８で書き出された数値解に補正する補正関数を決めるべく、関数の型を設定する（Ｓ１３０）。この場合に関係算出部２２０は、例えば下記数１に示すような三次曲面の関数を用いる。これにより、簡便に補正関数を決定することができる。
【数１】
【００２４】
ただし、ａからｊは曲面の係数であり、ｘはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０の圧力であり、ｙはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０付近の流速であり、ｚは対応する計算条件でＮＳ−ＦＶＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力とＲＡ−ＦＥＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力との比である。
【００２５】
上記数１に代えて、下記数２に示すような有理関数を用いてもよい。これにより、空気の流れの乱れを考慮した非線形な関係に対しても、よりよい補正関数を決定することができる。
【数２】
【００２６】
ただし、ａからｐは曲面の係数であり、ｘはＲＡ−ＦＥＭで算出された給気口１５０の圧力であり、ｙはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０付近の流速であり、ｚは対応する計算条件でＮＳ−ＦＶＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力とＲＡ−ＦＥＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力との比である。
【００２７】
関係算出部２２０は、ステップＳ１３０で設定した関数がステップＳ１１８およびＳ１２８で関係格納部２２４に書き出された数値解にフィットするように、各係数を決定することにより、補正関数を決定する（Ｓ１３２）。この場合に関係算出部２２０は、例えば最小二乗法により各係数を決定する。
【００２８】
さらに関係算出部２２０は、ステップＳ１３２で決定した補正関数を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１３４）。例えば関係算出部２２０は、絞りの形状を示す名称と、ステップＳ１３０で設定された関数型とに対応付けて、当該関数の係数を関係格納部２２４に格納する。なお、上記ステップＳ１３０において、補正関数の関数型は、空気軸受１００の形状毎に、数値解のフィット性がよくなるように選択されることが好ましい。
【００２９】
上記ステップＳ１００の動作によれば、流れ算出装置２００は、空気軸受１００の形状毎に、レイノルズ方程式を数値的に解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を数値的に解いた数値解との組を作り、当該組を内挿することにより、関係を示す関数を求める。これにより、上記ステップＳ１１４、Ｓ１２４で実際に求めた数値解以外の部分についても、当該補正関数を用いた補正をすることができる。
【００３０】
図５は、ＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との差の一例を示す。図５において、図１および図２に示すオリフィス絞りの形状において、給気圧Ｐｓを０．４ＭＰａ、軸受間距離ｈを７μｍとしたときの、ＲＡ−ＦＥＭ法およびＮＳ−ＦＶＭ法による給気口１５０の絶対圧力を給気口１５０の中心からの距離に対して示した。
【００３１】
図５から明らかな通り、ＮＳ−ＦＶＭ法では給気口１５０付近で大きな圧力降下が生じているが、給気口１５０付近以外で、ＮＳ−ＦＶＭ法とＲＡ−ＦＥＭ法の圧力分布は同様の変化を示している。また、軸受間距離ｈを変えて同様の計算をしたところ、軸受間距離ｈが大きいほどＮＳ−ＦＶＭ法による給気口１５０の圧力降下が大きいことが分かった。ＮＳ−ＦＶＭ法とＲＡ−ＦＥＭ法との比較により、これらの圧力降下は給気口１５０付近での流れの乱れによると推測される。よって、ＲＡ−ＦＥＭ法で求まる給気口１５０付近の圧力と流量とを変数として、ＮＳ−ＦＶＭ法で求まる給気口１５０付近の圧力を補正する補正関数を用いることが好ましい。なお、上記ステップＳ１００において上記ＲＡ−ＦＥＭ法の給気口１５０付近の圧力をＮＳ−ＦＶＭ法の給気口１５０付近の圧力に補正する補正関数を算出したので、当該補正関数は、結果的に、軸受間距離が大きいほど、初期数値解を大きく補正する。
【００３２】
図６および図７は、他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。図６に示す空気軸受１００は、流路１２０から給気口１５０へ向かって先細りの形状を有し、給気口１５０が軸受面１３０に開口する、自成絞りである。また、図７に示す空気軸受１００は、流路１２０から給気口１５０まで同じ径であって、給気口１５０の先端において軸受面１３０から窪んだポケット部１４０を有する、表面絞りである。
【００３３】
これら、図６および図７に対しても上記図４に示す補正関数が決定され、関係格納部２２４に格納される。なお、図７についてはＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との間にあまり差がない場合には、補正関数を用いて補正しなくてもよい。
【００３４】
図８は、流れ算出装置２００が空気軸受１００の流れを算出する動作（Ｓ２００）のフローチャートの一例である。図８の動作（Ｓ２００）は、図４の動作（Ｓ１００）により補正関数が決定された後に、ユーザ等から流れ算出装置２００に空気軸受１００の流れを算出する要求があった場合に開始する。
【００３５】
まず、初期値算出部２１０は、空気軸受１００の形状等を含む計算条件を取得し（Ｓ２１０）、当該計算条件でレイノルズ方程式を有限要素法で解いた給気口１５０の圧力および流速の初期数値解を求める（Ｓ２１２）。計算条件の取得および初期数値解の算出の動作は、図４におけるステップＳ１１０およびＳ１１４と同じであるので、説明を省略する。
【００３６】
次に、補正部２３０は、関係格納部２２４に格納された補正関数を読み出す（Ｓ２１４）。この場合に、補正部２３０は初期値算出部２１０が取得した計算条件に含まれる形状に関する情報、例えば、絞りの形状を示す名称に対応付けられた補正関数を読み出す。
【００３７】
さらに、補正部２３０は、読み出した補正関数にステップＳ２１０で算出された圧力および流速の初期数値解を代入することにより、圧力の補正値を算出する（Ｓ２１６）。例えば、数１または数２を補正関数の型とする場合に、補正部２３０は、補正関数に上記圧力および流速を代入することにより給気口１５０の圧力の比ｚを求め、当該比ｚを上記圧力に掛け算することにより給気口１５０の圧力の補正値を算出する。
【００３８】
再出値算出部２４０は、圧力の補正値を計算条件に用いて、レイノルズ方程式を有限要素法で解いて再出数値解を求め（Ｓ２１８）、計算値格納部２５０に書き込む（Ｓ２２０）。この場合に、再出値算出部２４０は、例えば境界条件としての給気圧Ｐｓを当該圧力の補正値に置き換えて、他の条件はステップＳ２１２と同じにして、再出数値解を求める。これにより、レイノルズ方程式に乱れの影響を部分的に考慮した流れを求めることができる。
【００３９】
ここで、ステップＳ２１２からＳ２１８までの計算は、空気軸受１００の外形が数十ｍｍ角であれば、数分である。よって、上記実施形態によれば、計算条件のいずれか、例えば給気圧Ｐｓをパラメータとして、それぞれのパラメータの値における圧力分布および負荷容量等を、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で計算するのに比べて、短時間で算出することができる。また、ステップＳ１００で補正関数を求めるのに用いたパラメータの刻みよりもより細かい刻みで計算をすることができる。
【００４０】
さらに、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解を、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で計算した数値解に基づく補正関数により補正するので、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解に生じる誤差を補正して小さくした再出数値解を得ることができる。特に、軸受面１３０と対向面１７０との軸受間距離ｈが大きいほど乱れの影響が大きくてレイノルズ方程式の誤差が大きくなるが、上記実施形態によれば、補正関数が結果的に軸受間距離が大きいほど初期数値解を大きく補正する。よって、本実施形態によれば、軸受間距離ｈが大きい場合であっても、誤差の小さい再出数値解を得ることができる。
【００４１】
なお、図８に示す実施形態において、再出値算出部２４０が再出数値解を算出して計算値格納部２５０に格納することによりステップＳ２００の動作が終了している。これに加えて、再出値算出部２４０がパラメータの複数の値に対応して複数の再出数値解を算出して、そのうちに求める数値解が得られた場合に、当該数値解がえられたパラメータの値を含む計算条件に対応する計算条件にて、参照値算出部２２２が、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で再度解いた再々数値解を求めてもよい。これにより、より正確に数値解を検証することができる。
【実施例】
【００４２】
図９は、流れ算出装置２００で求めた負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。計算の対象とした形状は、外形が直径４０ｍｍの円、ポケット部１４０が直径１０ｍｍおよび深さ１０μｍ、給気口１５０が直径０．２ｍｍの円のオリフィス絞りである。負荷容量比は、ＮＳ−ＦＶＭ法で求めた負荷容量を、流れ算出装置２００で求めた負荷容量で除した値であり、１に近いほど流れ算出装置２００で求めた負荷容量の値が正確であることを示す。図９に示す通り、給気圧０．４ＭＰａに対して、軸受間距離ｈが大きくなっても２割程度に誤差が収まっている。
【００４３】
図１０は、比較例として、補正をしないＲＡ−ＦＥＭ法で計算した負荷容量に基づいて、負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。負荷容量比は、ＮＳ−ＦＶＭ法で求めた負荷容量を、ステップＳ２１２と同様のＲＡ−ＦＥＭ法で求めた負荷容量、すなわちステップＳ２１４以降の補正をしないで求めた負荷容量、で除した値である。図１０に示す通り、負荷容量比は、軸受間距離ｈが大きくなるに従って大きく変動し、軸受間距離ｈが１５μｍに至っては６割の誤差が生じている。
【００４４】
図９と図１０との比較により、流れ算出装置２００は、流れの乱れの影響を補正関数を用いて部分的に考慮することにより、より正確な流れの数値解を求めることができることがわかる。
【００４５】
以上、本実施形態によれば、空気軸受１００の流体の流れについて、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解を、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解に基づく補正関数により補正するので、計算時間を増やすことなく、誤差を小さくした数値解を得ることができる。ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを各パラメータの値を所望の数だけ設定して数値的に解く方法に比べて、数百から数千分の１の計算コストで、正確な計算結果を得ることができる。特に、軸受面１３０と対向面１７０との軸受間距離ｈが大きいほど乱れの影響が大きくてレイノルズ方程式の誤差が大きくなるが、上記実施形態によれば、補正関数が結果的に軸受間距離が大きいほど初期数値解を大きく補正する。よって、本実施形態によれば、軸受間距離ｈが大きい場合であっても、誤差の小さい再出数値解を得ることができる。
【００４６】
なお、上記実施形態において、有限体積法を用いてナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解いたが、数値的に解く方法はこれに限られない。他の方法として、有限差分法、有限要素法、境界要素法等を用いて、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解いてもよい。また、上記実施形態において、有限要素法を用いてレイノルズ方程式の流れを数値的に解いたが、数値的に解く方法はこれに限られない。他の方法として、有限差分法、境界要素法等を用いて、レイノルズ方程式の流れを数値的に解いてもよい。
【００４７】
以上、本発明を実施の形態を用いて説明したが、本発明の技術的範囲は上記実施の形態に記載の範囲には限定されない。上記実施の形態に、多様な変更または改良を加えることが可能であることが当業者に明らかである。その様な変更または改良を加えた形態も本発明の技術的範囲に含まれ得ることが、特許請求の範囲の記載から明らかである。
【００４８】
特許請求の範囲、明細書、および図面中において示した装置、システム、プログラム、および方法における動作、手順、ステップ、および段階等の各処理の実行順序は、特段「より前に」、「先立って」等と明示しておらず、また、前の処理の出力を後の処理で用いるのでない限り、任意の順序で実現しうることに留意すべきである。特許請求の範囲、明細書、および図面中の動作フローに関して、便宜上「まず、」、「次に、」等を用いて説明したとしても、この順で実施することが必須であることを意味するものではない。
【図面の簡単な説明】
【００４９】
【図１】本実施形態により流れが計算される対象となる空気軸受１００の一例を示す斜視図である。
【図２】図１の空気軸受１００の断面図である。
【図３】本実施形態の流れ算出装置２００のブロック図を示す。
【図４】流れ算出装置２００が補正関数を決定する動作（Ｓ１００）のフローチャートの一例である。
【図５】ＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との差の一例を示す。
【図６】他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。
【図７】他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。
【図８】流れ算出装置２００が空気軸受１００の流れを算出する動作（Ｓ２００）のフローチャートの一例である。
【図９】流れ算出装置２００で求めた負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。
【図１０】比較例として、補正をしないＲＡ−ＦＥＭ法で計算した負荷容量に基づいて、負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。
【符号の説明】
【００５０】
１００ 空気軸受、１１０ 軸受本体、１２０ 流路、１３０ 軸受面、１４０ ポケット部、１５０ 給気口、１６０ 対向部材、１７０ 対向面、２００ 流れ算出装置、２１０ 初期値算出部、２２０ 関係算出部、２２２ 参照値算出部、２２４ 関係格納部、２３０ 補正部、２４０ 再出値算出部、２５０ 計算値格納部
【技術分野】
【０００１】
本発明は、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法、流れ算出装置およびプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
空気軸受等の対象となる形状を流れる流体の流れを算出する方法として、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で数値的に解く方法がある（非特許文献１から３）。しかしながら、ナビエ・ストークス方程式を直接的に解く方法は、計算に要する時間が非常に長い。たとえば、数十ｍｍ角の空気軸受の流れを計算するのに、数十時間から数百時間を要することもある。そこで、他の方法として、ナビエ・ストークスを近似したレイノルズ方程式を有限要素法で数値的に解く方法もある。
【非特許文献１】「気体軸受 設計ガイドブック」十合晋一著 共立出版
【非特許文献２】「有限要素法による表面絞り形静圧空気軸受けの解析」Lin Gang 慶応大
【非特許文献３】「静圧気体軸受けにおけるナビエ・ストークス方程式に基づいた数値解析」精密工学会
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
しかしながら、レイノルズ方程式は流れの乱れを平均化した近似なので、乱れの影響が大きい流れについては、数値解に生じる誤差が大きくなる。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
上記課題を解決するために、本発明の第１の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期段階（Ｓ２１２）と、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正段階（Ｓ２１６）と、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出段階（Ｓ２１８）とを備える。
【０００５】
本発明の第２の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出装置（２００）であって、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期値算出部（２１０）と、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正部（２３０）と、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出値算出部（２４０）とを備える。
【０００６】
本発明の第３の態様においては、対象となる形状を流れる流体の流れを算出するコンピュータを制御するプログラムであって、コンピュータに、形状および流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期手順、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、初期数値解を補正した補正解を求める補正手順、および、補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出手順を実行させるプログラムが提供される。
【０００７】
なお、上記の発明の概要は、本発明の必要な特徴の全てを列挙したものではない。また、これらの特徴群のサブコンビネーションもまた、発明となりうる。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００８】
以下、発明の実施の形態を通じて本発明を説明するが、以下の実施形態は特許請求の範囲にかかる発明を限定するものではない。また、実施形態の中で説明されている特徴の組み合わせの全てが発明の解決手段に必須であるとは限らない。
【０００９】
図１は、本実施形態により流れが計算される対象となる空気軸受１００の一例を示す斜視図であり、図２は、その断面図である。空気軸受１００は、軸受本体１１０と、対向部材１６０の対向面１７０に対向する軸受面１３０、流体の一例としての空気が流れる流路１２０、流路１２０における軸受面１３０側の端部に設けられた給気口１５０、給気口１５０の周囲に配されたポケット部１４０を有する。流路１２０を通って供給された圧縮空気が給気口１５０、ポケット部１４０および軸受面１３０に流れることによって、空気軸受１００が対向部材１６０を支持する。ここで、図１および図２に示す流路１２０は、給気口１５０に向かって先細の径を有すると共に給気口１５０の先端にポケット部１４０を有する、オリフィス絞りの形状を有する。
【００１０】
図１および図２に示す空気軸受１００に流れる空気の流れを計算する方法として、空気が従うナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解く有限体積法がある。この有限体積法は、空気軸受１００を微小な体積要素に分割し、所与の計算条件の下で当該体積要素が従う方程式を数値的に解く。ここで、計算条件には、各体積要素の節点（ノードともいう）の座標、流体の物性である粘性、密度、圧縮性および温度、並びに、境界条件である給気圧および大気圧等が含まれる。また、ナビエ・ストークス方程式における乱流をモデル化する方法として、例えば、ｋ−ε法がある。これらを用いて、空気軸受１００の各点での空気の圧力分布、流速等が計算される。
【００１１】
上記有限体積法は、計算を簡略にするための仮定条件やモデル化がほとんどないので計算の精度が高い。一方で、上記有限体積法は、節点が三次元空間に配されるのでその数が多く、さらに、乱流を考慮しているので計算式が複雑になり、結果として計算時間が長くなる。例えば、空気軸受１００の外形が数十ｍｍ角程度の大きさの場合に、節点の数は数万から数十万個となり、計算時間は数十時間から数百時間に及ぶ。そこで、本実施形態は、計算時間を長くすることなく、対象となる形状に対する流れをより正確に算出することを目的とする。
【００１２】
図３は、本実施形態の流れ算出装置２００のブロック図を示す。流れ算出装置２００は、初期値算出部２１０と、関係算出部２２０と、補正部２３０と、再出値算出部２４０と、計算値格納部２５０とを備える。また、流れ算出装置２００は、パーソナルコンピュータ等であって、記憶媒体またはネットワークからプログラムがインストールされることにより、上記初期値算出部２１０から計算値格納部２５０の手順を実行してもよい。
【００１３】
初期値算出部２１０は、空気軸受１００の形状等を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める。レイノルズ方程式の流れを数値的に解く方法の一例として、有限要素法を用いる。関係算出部２２０は、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解と、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解と、の関係を、空気軸受１００の形状毎に求める。補正部２３０は、関係算出部２２０により算出された上記関係に基づいて、初期値算出部２１０により算出された初期数値解を補正した補正解を求める。再出値算出部２４０は、補正部２３０により補正された補正解を計算条件に用いて、レイノルズ方程式を再び有限要素法で解いて再出数値解を求めて計算値格納部２５０に出力する。計算値格納部２５０は、再出値算出部２４０により算出された再出数値解を格納するとともに、外部からの要求に応じてこれをディスプレイ、プリンタ等に出力する。
【００１４】
さらに、関係算出部２２０は、参照値算出部２２２と関係格納部２２４とを有する。参照値算出部２２２は、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で数値的に解く。また、関係格納部２２４は、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解と、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解と、の関係を格納する。ここで、図３に示す関係算出部２２０は、上記関係を補正関数の形で決定し、関係格納部２２４に格納する。
【００１５】
図４は、流れ算出装置２００が補正関数を決定する動作（Ｓ１００）のフローチャートの一例である。この補正関数は、空気軸受１００の絞りの形状毎に算出される。以下、図１および図２に示す空気軸受１００の絞りの形状として、オリフィス絞りについて計算するものとする。
【００１６】
まず、初期値算出部２１０は、計算の対象とする形状パターンを含む計算条件を外部から取得し、関係算出部２２０に受け渡す（Ｓ１１０）。この計算条件は、一旦、関係算出部２２０の関係格納部２２４に格納されてもよい。以下、初期値算出部２１０は当該計算条件に基づいてレイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解を求めるとともに、参照値算出部２２２が当該計算条件に基づいてナビエ・ストークス方程式を有限体積法で解いた数値解を求める。
【００１７】
初期値算出部２１０は、計算条件に基づいて、パラメータを設定する（Ｓ１１２）。ここで、パラメータの一例は、図１における軸受間距離ｈ、および、流路１２０に供給される供給圧Ｐｓであり、初期値として０が設定される。
【００１８】
次に、初期値算出部２１０は当該パラメータを含む計算条件で、レイノルズ方程式を有限要素法（以下、ＲＡ−ＦＥＭ法という）を用いて数値的に解く（Ｓ１１４）。ここで、レイノルズ方程式は、ナビエ・ストークス方程式に、等温流、層流、および、流れのＺ方向の成分は均一、との仮定条件をおいた近似式である。
【００１９】
また、初期値算出部２１０は、有限要素法として形状パターンを二次元の要素に分解して計算する。この場合に、初期値算出部２１０は、計算条件として、二次元的に配列された要素の節点のＸＹ座標、絞りの形状を示すデータ、絞りに連結されたポケット部１４０の深さおよび大きさ、流体の物性として粘性および密度、境界条件として給気圧Ｐｓおよび大気圧Ｐａ、並びに、上記パラメータとして軸受間距離ｈを用いる。この計算条件を用いて、初期値算出部２１０は、空気軸受１００の節点毎の圧力分布を算出する。なお、ステップＳ１１４の計算において、空気軸受１００が数十ｍｍ角の大きさである場合に、節点の数は数百から数千個であり、計算時間は数分である。
【００２０】
さらに、初期値算出部２１０は、パラメータの値を変えて上記計算を繰り返す（Ｓ１１６：Ｙｅｓ）。初期値算出部２１０は、所定のパラメータの値で計算が終わった場合に（Ｓ１１６：Ｎｏ）、算出した数値解を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１１８）。ここで、さらに、初期値算出部２１０は圧力分布の和をとることにより、軸受間距離ｈに対する負荷容量を算出してもよいし、さらに、軸受間距離ｈに対する負荷容量の差分をとることにより、軸受の剛性を算出してもよい。さらに、初期値算出部２１０は、連続の式を用いて流量を算出してもよい。
【００２１】
また、参照値算出部２２２は、計算条件に基づいて、ステップＳ１１２のパラメータに対応するパラメータの値を設定する（Ｓ１２２）。次に、参照値算出部２２２は当該パラメータを含む計算条件で、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法（以下、ＮＳ−ＦＶＭ法という）を用いて数値的に解く（Ｓ１２４）。この場合に、参照値算出部２２２は、計算条件として、三次元的に配列された要素の節点のＸＹＺ座標、流体の物性として粘性、密度、圧縮性および温度、並びに、境界条件として給気圧Ｐｓおよび大気圧Ｐａを用いる。ここで、例えば上記パラメータが軸受間距離ｈの場合に、当該パラメータは節点の座標に反映される。また、絞りの形状に関する情報も、節点の座標に織り込まれる。この計算条件を用いて、参照値算出部２２２は、空気軸受１００の節点毎の圧力分布、流速および温度を算出する。参照値算出部２２２は、ＮＳ−ＦＶＭ法を用いる計算プログラムとして、例えばＳｔａｒ−ＣＤ（登録商標）を用いてもよい。
【００２２】
さらに、参照値算出部２２２は、パラメータの値を変えて上記計算を繰り返す（Ｓ１２６：Ｙｅｓ）。参照値算出部２２２は、所定のパラメータの値で計算が終わった場合に（Ｓ１２６：Ｎｏ）、算出した数値解を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１１８）。ここで、さらに、参照値算出部２２２は圧力分布の和をとることにより、軸受間距離ｈに対する負荷容量を算出してもよいし、さらに、軸受間距離ｈに対する負荷容量の差分をとることにより、軸受の剛性を算出してもよい。さらに、関係算出部２２０は、上記流速または圧力分布から流量を算出してもよい。
【００２３】
関係算出部２２０は、ステップＳ１１８で書き出された数値解をＳ１２８で書き出された数値解に補正する補正関数を決めるべく、関数の型を設定する（Ｓ１３０）。この場合に関係算出部２２０は、例えば下記数１に示すような三次曲面の関数を用いる。これにより、簡便に補正関数を決定することができる。
【数１】
【００２４】
ただし、ａからｊは曲面の係数であり、ｘはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０の圧力であり、ｙはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０付近の流速であり、ｚは対応する計算条件でＮＳ−ＦＶＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力とＲＡ−ＦＥＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力との比である。
【００２５】
上記数１に代えて、下記数２に示すような有理関数を用いてもよい。これにより、空気の流れの乱れを考慮した非線形な関係に対しても、よりよい補正関数を決定することができる。
【数２】
【００２６】
ただし、ａからｐは曲面の係数であり、ｘはＲＡ−ＦＥＭで算出された給気口１５０の圧力であり、ｙはＲＡ−ＦＥＭ法で算出された給気口１５０付近の流速であり、ｚは対応する計算条件でＮＳ−ＦＶＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力とＲＡ−ＦＥＭ法を用いて算出された給気口１５０の圧力との比である。
【００２７】
関係算出部２２０は、ステップＳ１３０で設定した関数がステップＳ１１８およびＳ１２８で関係格納部２２４に書き出された数値解にフィットするように、各係数を決定することにより、補正関数を決定する（Ｓ１３２）。この場合に関係算出部２２０は、例えば最小二乗法により各係数を決定する。
【００２８】
さらに関係算出部２２０は、ステップＳ１３２で決定した補正関数を関係格納部２２４に書き出す（Ｓ１３４）。例えば関係算出部２２０は、絞りの形状を示す名称と、ステップＳ１３０で設定された関数型とに対応付けて、当該関数の係数を関係格納部２２４に格納する。なお、上記ステップＳ１３０において、補正関数の関数型は、空気軸受１００の形状毎に、数値解のフィット性がよくなるように選択されることが好ましい。
【００２９】
上記ステップＳ１００の動作によれば、流れ算出装置２００は、空気軸受１００の形状毎に、レイノルズ方程式を数値的に解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を数値的に解いた数値解との組を作り、当該組を内挿することにより、関係を示す関数を求める。これにより、上記ステップＳ１１４、Ｓ１２４で実際に求めた数値解以外の部分についても、当該補正関数を用いた補正をすることができる。
【００３０】
図５は、ＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との差の一例を示す。図５において、図１および図２に示すオリフィス絞りの形状において、給気圧Ｐｓを０．４ＭＰａ、軸受間距離ｈを７μｍとしたときの、ＲＡ−ＦＥＭ法およびＮＳ−ＦＶＭ法による給気口１５０の絶対圧力を給気口１５０の中心からの距離に対して示した。
【００３１】
図５から明らかな通り、ＮＳ−ＦＶＭ法では給気口１５０付近で大きな圧力降下が生じているが、給気口１５０付近以外で、ＮＳ−ＦＶＭ法とＲＡ−ＦＥＭ法の圧力分布は同様の変化を示している。また、軸受間距離ｈを変えて同様の計算をしたところ、軸受間距離ｈが大きいほどＮＳ−ＦＶＭ法による給気口１５０の圧力降下が大きいことが分かった。ＮＳ−ＦＶＭ法とＲＡ−ＦＥＭ法との比較により、これらの圧力降下は給気口１５０付近での流れの乱れによると推測される。よって、ＲＡ−ＦＥＭ法で求まる給気口１５０付近の圧力と流量とを変数として、ＮＳ−ＦＶＭ法で求まる給気口１５０付近の圧力を補正する補正関数を用いることが好ましい。なお、上記ステップＳ１００において上記ＲＡ−ＦＥＭ法の給気口１５０付近の圧力をＮＳ−ＦＶＭ法の給気口１５０付近の圧力に補正する補正関数を算出したので、当該補正関数は、結果的に、軸受間距離が大きいほど、初期数値解を大きく補正する。
【００３２】
図６および図７は、他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。図６に示す空気軸受１００は、流路１２０から給気口１５０へ向かって先細りの形状を有し、給気口１５０が軸受面１３０に開口する、自成絞りである。また、図７に示す空気軸受１００は、流路１２０から給気口１５０まで同じ径であって、給気口１５０の先端において軸受面１３０から窪んだポケット部１４０を有する、表面絞りである。
【００３３】
これら、図６および図７に対しても上記図４に示す補正関数が決定され、関係格納部２２４に格納される。なお、図７についてはＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との間にあまり差がない場合には、補正関数を用いて補正しなくてもよい。
【００３４】
図８は、流れ算出装置２００が空気軸受１００の流れを算出する動作（Ｓ２００）のフローチャートの一例である。図８の動作（Ｓ２００）は、図４の動作（Ｓ１００）により補正関数が決定された後に、ユーザ等から流れ算出装置２００に空気軸受１００の流れを算出する要求があった場合に開始する。
【００３５】
まず、初期値算出部２１０は、空気軸受１００の形状等を含む計算条件を取得し（Ｓ２１０）、当該計算条件でレイノルズ方程式を有限要素法で解いた給気口１５０の圧力および流速の初期数値解を求める（Ｓ２１２）。計算条件の取得および初期数値解の算出の動作は、図４におけるステップＳ１１０およびＳ１１４と同じであるので、説明を省略する。
【００３６】
次に、補正部２３０は、関係格納部２２４に格納された補正関数を読み出す（Ｓ２１４）。この場合に、補正部２３０は初期値算出部２１０が取得した計算条件に含まれる形状に関する情報、例えば、絞りの形状を示す名称に対応付けられた補正関数を読み出す。
【００３７】
さらに、補正部２３０は、読み出した補正関数にステップＳ２１０で算出された圧力および流速の初期数値解を代入することにより、圧力の補正値を算出する（Ｓ２１６）。例えば、数１または数２を補正関数の型とする場合に、補正部２３０は、補正関数に上記圧力および流速を代入することにより給気口１５０の圧力の比ｚを求め、当該比ｚを上記圧力に掛け算することにより給気口１５０の圧力の補正値を算出する。
【００３８】
再出値算出部２４０は、圧力の補正値を計算条件に用いて、レイノルズ方程式を有限要素法で解いて再出数値解を求め（Ｓ２１８）、計算値格納部２５０に書き込む（Ｓ２２０）。この場合に、再出値算出部２４０は、例えば境界条件としての給気圧Ｐｓを当該圧力の補正値に置き換えて、他の条件はステップＳ２１２と同じにして、再出数値解を求める。これにより、レイノルズ方程式に乱れの影響を部分的に考慮した流れを求めることができる。
【００３９】
ここで、ステップＳ２１２からＳ２１８までの計算は、空気軸受１００の外形が数十ｍｍ角であれば、数分である。よって、上記実施形態によれば、計算条件のいずれか、例えば給気圧Ｐｓをパラメータとして、それぞれのパラメータの値における圧力分布および負荷容量等を、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で計算するのに比べて、短時間で算出することができる。また、ステップＳ１００で補正関数を求めるのに用いたパラメータの刻みよりもより細かい刻みで計算をすることができる。
【００４０】
さらに、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解を、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で計算した数値解に基づく補正関数により補正するので、レイノルズ方程式を有限要素法で解いた数値解に生じる誤差を補正して小さくした再出数値解を得ることができる。特に、軸受面１３０と対向面１７０との軸受間距離ｈが大きいほど乱れの影響が大きくてレイノルズ方程式の誤差が大きくなるが、上記実施形態によれば、補正関数が結果的に軸受間距離が大きいほど初期数値解を大きく補正する。よって、本実施形態によれば、軸受間距離ｈが大きい場合であっても、誤差の小さい再出数値解を得ることができる。
【００４１】
なお、図８に示す実施形態において、再出値算出部２４０が再出数値解を算出して計算値格納部２５０に格納することによりステップＳ２００の動作が終了している。これに加えて、再出値算出部２４０がパラメータの複数の値に対応して複数の再出数値解を算出して、そのうちに求める数値解が得られた場合に、当該数値解がえられたパラメータの値を含む計算条件に対応する計算条件にて、参照値算出部２２２が、ナビエ・ストークス方程式を有限体積法で再度解いた再々数値解を求めてもよい。これにより、より正確に数値解を検証することができる。
【実施例】
【００４２】
図９は、流れ算出装置２００で求めた負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。計算の対象とした形状は、外形が直径４０ｍｍの円、ポケット部１４０が直径１０ｍｍおよび深さ１０μｍ、給気口１５０が直径０．２ｍｍの円のオリフィス絞りである。負荷容量比は、ＮＳ−ＦＶＭ法で求めた負荷容量を、流れ算出装置２００で求めた負荷容量で除した値であり、１に近いほど流れ算出装置２００で求めた負荷容量の値が正確であることを示す。図９に示す通り、給気圧０．４ＭＰａに対して、軸受間距離ｈが大きくなっても２割程度に誤差が収まっている。
【００４３】
図１０は、比較例として、補正をしないＲＡ−ＦＥＭ法で計算した負荷容量に基づいて、負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。負荷容量比は、ＮＳ−ＦＶＭ法で求めた負荷容量を、ステップＳ２１２と同様のＲＡ−ＦＥＭ法で求めた負荷容量、すなわちステップＳ２１４以降の補正をしないで求めた負荷容量、で除した値である。図１０に示す通り、負荷容量比は、軸受間距離ｈが大きくなるに従って大きく変動し、軸受間距離ｈが１５μｍに至っては６割の誤差が生じている。
【００４４】
図９と図１０との比較により、流れ算出装置２００は、流れの乱れの影響を補正関数を用いて部分的に考慮することにより、より正確な流れの数値解を求めることができることがわかる。
【００４５】
以上、本実施形態によれば、空気軸受１００の流体の流れについて、レイノルズ方程式の流れを解いた数値解を、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解に基づく補正関数により補正するので、計算時間を増やすことなく、誤差を小さくした数値解を得ることができる。ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを各パラメータの値を所望の数だけ設定して数値的に解く方法に比べて、数百から数千分の１の計算コストで、正確な計算結果を得ることができる。特に、軸受面１３０と対向面１７０との軸受間距離ｈが大きいほど乱れの影響が大きくてレイノルズ方程式の誤差が大きくなるが、上記実施形態によれば、補正関数が結果的に軸受間距離が大きいほど初期数値解を大きく補正する。よって、本実施形態によれば、軸受間距離ｈが大きい場合であっても、誤差の小さい再出数値解を得ることができる。
【００４６】
なお、上記実施形態において、有限体積法を用いてナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解いたが、数値的に解く方法はこれに限られない。他の方法として、有限差分法、有限要素法、境界要素法等を用いて、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを数値的に解いてもよい。また、上記実施形態において、有限要素法を用いてレイノルズ方程式の流れを数値的に解いたが、数値的に解く方法はこれに限られない。他の方法として、有限差分法、境界要素法等を用いて、レイノルズ方程式の流れを数値的に解いてもよい。
【００４７】
以上、本発明を実施の形態を用いて説明したが、本発明の技術的範囲は上記実施の形態に記載の範囲には限定されない。上記実施の形態に、多様な変更または改良を加えることが可能であることが当業者に明らかである。その様な変更または改良を加えた形態も本発明の技術的範囲に含まれ得ることが、特許請求の範囲の記載から明らかである。
【００４８】
特許請求の範囲、明細書、および図面中において示した装置、システム、プログラム、および方法における動作、手順、ステップ、および段階等の各処理の実行順序は、特段「より前に」、「先立って」等と明示しておらず、また、前の処理の出力を後の処理で用いるのでない限り、任意の順序で実現しうることに留意すべきである。特許請求の範囲、明細書、および図面中の動作フローに関して、便宜上「まず、」、「次に、」等を用いて説明したとしても、この順で実施することが必須であることを意味するものではない。
【図面の簡単な説明】
【００４９】
【図１】本実施形態により流れが計算される対象となる空気軸受１００の一例を示す斜視図である。
【図２】図１の空気軸受１００の断面図である。
【図３】本実施形態の流れ算出装置２００のブロック図を示す。
【図４】流れ算出装置２００が補正関数を決定する動作（Ｓ１００）のフローチャートの一例である。
【図５】ＲＡ−ＦＥＭ法の数値解とＮＳ−ＦＶＭ法の数値解との差の一例を示す。
【図６】他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。
【図７】他の対象としての空気軸受１００を示す断面図である。
【図８】流れ算出装置２００が空気軸受１００の流れを算出する動作（Ｓ２００）のフローチャートの一例である。
【図９】流れ算出装置２００で求めた負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。
【図１０】比較例として、補正をしないＲＡ−ＦＥＭ法で計算した負荷容量に基づいて、負荷容量比を軸受間距離ｈに対して表したグラフである。
【符号の説明】
【００５０】
１００ 空気軸受、１１０ 軸受本体、１２０ 流路、１３０ 軸受面、１４０ ポケット部、１５０ 給気口、１６０ 対向部材、１７０ 対向面、２００ 流れ算出装置、２１０ 初期値算出部、２２０ 関係算出部、２２２ 参照値算出部、２２４ 関係格納部、２３０ 補正部、２４０ 再出値算出部、２５０ 計算値格納部
【特許請求の範囲】
【請求項１】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期段階と、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正段階と、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出段階と
を備える流れ算出方法。
【請求項２】
前記レイノルズ方程式の数値解とナビエ・ストークス方程式の数値解との関係を、前記形状毎に求める関係算出段階をさらに備える請求項１に記載の流れ算出方法。
【請求項３】
前記関係算出段階は、前記形状として前記対象に前記流体が供給される絞りの形状毎に前記関係を算出する請求項２に記載の流れ算出方法。
【請求項４】
前記関係算出段階は、前記絞りの形状としてオリフィス絞り、自成絞りおよびスロット絞りのそれぞれについて前記関係を算出する請求項３に記載の流れ算出方法。
【請求項５】
前記関係算出段階は、前記形状毎に、前記計算条件のいずれかをパラメータとして前記レイノルズ方程式を数値的に解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を数値的に解いた数値解との組を作り、当該組を内挿することにより、前記関係を示す関数を求める請求項２から４のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項６】
前記関係算出段階は、前記レイノルズ方程式の圧力および流速の数値解と、前記ナビエ・ストークス方程式の圧力の数値解と、の関係を算出し、
前記初期段階は、圧力および流速の前記初期数値解を算出し、
前記補正段階は、前記圧力および前記流速の前記初期数値解から前記関係に基づいて圧力の補正解を算出し、
前記再出段階は、前記圧力の補正解を計算条件に用いて再出数値解を算出する請求項２から５のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項７】
前記初期段階および前記再出段階は、前記形状に関する条件として前記対象に設けられた軸受間距離の大きさを含み、
前記補正段階は、前記軸受間距離が大きいほど、前記初期数値解を大きく補正する請求項１から６のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項８】
前記再出段階で用いられた前記計算条件に対応する計算条件にて、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた再々数値解を求める再々出段階をさらに備える請求項１から７のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項９】
前記対象は空気軸受である請求項１から８のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項１０】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出装置であって、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期値算出部と、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正部と、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出値算出部と
を備える流れ算出装置。
【請求項１１】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出するコンピュータを制御するプログラムであって、前記コンピュータに、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期手順、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正手順、および、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出手順
を実行させるプログラム。
【請求項１】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出方法であって、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期段階と、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正段階と、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出段階と
を備える流れ算出方法。
【請求項２】
前記レイノルズ方程式の数値解とナビエ・ストークス方程式の数値解との関係を、前記形状毎に求める関係算出段階をさらに備える請求項１に記載の流れ算出方法。
【請求項３】
前記関係算出段階は、前記形状として前記対象に前記流体が供給される絞りの形状毎に前記関係を算出する請求項２に記載の流れ算出方法。
【請求項４】
前記関係算出段階は、前記絞りの形状としてオリフィス絞り、自成絞りおよびスロット絞りのそれぞれについて前記関係を算出する請求項３に記載の流れ算出方法。
【請求項５】
前記関係算出段階は、前記形状毎に、前記計算条件のいずれかをパラメータとして前記レイノルズ方程式を数値的に解いた数値解とナビエ・ストークス方程式を数値的に解いた数値解との組を作り、当該組を内挿することにより、前記関係を示す関数を求める請求項２から４のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項６】
前記関係算出段階は、前記レイノルズ方程式の圧力および流速の数値解と、前記ナビエ・ストークス方程式の圧力の数値解と、の関係を算出し、
前記初期段階は、圧力および流速の前記初期数値解を算出し、
前記補正段階は、前記圧力および前記流速の前記初期数値解から前記関係に基づいて圧力の補正解を算出し、
前記再出段階は、前記圧力の補正解を計算条件に用いて再出数値解を算出する請求項２から５のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項７】
前記初期段階および前記再出段階は、前記形状に関する条件として前記対象に設けられた軸受間距離の大きさを含み、
前記補正段階は、前記軸受間距離が大きいほど、前記初期数値解を大きく補正する請求項１から６のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項８】
前記再出段階で用いられた前記計算条件に対応する計算条件にて、ナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた再々数値解を求める再々出段階をさらに備える請求項１から７のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項９】
前記対象は空気軸受である請求項１から８のいずれかに記載の流れ算出方法。
【請求項１０】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出する流れ算出装置であって、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期値算出部と、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正部と、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出値算出部と
を備える流れ算出装置。
【請求項１１】
対象となる形状を流れる流体の流れを算出するコンピュータを制御するプログラムであって、前記コンピュータに、
前記形状および前記流体についての条件を含む計算条件でレイノルズ方程式の流れを解いた初期数値解を求める初期手順、
前記レイノルズ方程式の流れを解いた数値解とナビエ・ストークス方程式の三次元流れを解いた数値解との関係に基づいて、前記初期数値解を補正した補正解を求める補正手順、および、
前記補正解を計算条件に用いて、前記レイノルズ方程式の流れを再び解いて再出数値解を求めて出力する再出手順
を実行させるプログラム。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【公開番号】特開２０１０−２１０２８１（Ｐ２０１０−２１０２８１Ａ）
【公開日】平成２２年９月２４日（２０１０．９．２４）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００９−５３９９３（Ｐ２００９−５３９９３）
【出願日】平成２１年３月６日（２００９．３．６）
【出願人】（０００００４１１２）株式会社ニコン (12,601)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２２年９月２４日（２０１０．９．２４）
【国際特許分類】
【出願日】平成２１年３月６日（２００９．３．６）
【出願人】（０００００４１１２）株式会社ニコン (12,601)
【Ｆターム（参考）】
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