一対の回折光学要素を備える光学デバイス
本発明は、相互に平行に連続して配置された、特別に設計された板状の一対の回折光学要素を有する光学デバイスを提供する。２つの回折光学要素を連続状態で且つ特定の距離をあけて相互に平行に配置することにより、その組み合わせが単一の回折光学要素に光学的に対応し、また同様の役割を果たすことができ、レンズ、アキシコン、位相シフタ、またはらせん状位相板として機能する。一方の回折光学要素が他方に対して共通の中心軸を中心として回転すると、焦点距離、屈折力、ヘリカルインデックス、または位相シフト量のような光学デバイスの特性が連続的に変化する。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一対の回折光学要素を有し、連続的に光学特性が変化可能な特別な光学要素として機能する光学デバイスに関する。
【背景技術】
【０００２】
回折光学要素（以下、ＤＯＥと称する）は、一般には、ガラス、プラスチックなどから作製された光学的に透明な平板の形であり、極めて微細な位相変調のために特別に設計された位相パターンが形成されている。特定の目的のために、ＤＯＥは商業的に使用することができ、例えば、ラインまたはパターンジェネレータ、ホログラムプロジェクタ、レーザビームプロファイルコンバータ、レンズ、レンズアレイ、アキシコン（例えば、リング状プリズム）、またはその他のものとして機能する。例えば、回折レンズ（フレネルレンズ）は、高級カメラの光学系に、標準的な屈折レンズと組み合わせて商業的に使用されている。ＤＯＥ−レンズの１つの利点は、薄いガラスプレートから構成される、または標準的なガラスレンズの表面をコーティングすることのみで構成されることにより、非常に薄くて軽量であることである。さらに、ＤＯＥの好適に設計された分散特性が上述の標準的な屈折ガラスの光学系を補正する場合、色誤差なしの分散フリーの光学系を構成することができる。
【０００３】
Ａ．Ｗ．Ｌｏｈｍａｎｎ著の「Ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｖａｒｉｆｏｃａｌ ｌｅｎｓｅｓ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．９、１６６９−１６７１（１９７０））には、２つの回折要素の横方向シフトに基づく回折ズームレンズ系が開示されている。Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、Ｚ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ著の「Ｄｉｆｆｒａｃｔｉｖｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｐｏｗｅｒ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．３２、４３１７−４３２２（１９９３））には、符号化された単純位相波面を備えた複数の回折構造体の相互移動に基づいて屈折力を変更可能な回折要素の作製について述べられている。相互移動として、一方の回折構造体が他方に対して平行移動する、または回転する、もしくはそのサイズが変化する。位相回折格子の相互回転されるキノフォームの重ね合わせが線形位相を備えた共役波面を発生させることが記載されており、特定の角度単位で反対方向にキノフォームが回転することにより、力可変のＲｉｓｌｅｙ−Ｈｅｒｓｃｈｅｌプリズムに相当する回折が起こる。
【発明の概要】
【０００４】
本発明の目的は、連続的に特性が変化する特別な光学要素として機能し、コンパクトなサイズであって高い効率である光学デバイスを提供することである。さらにまた、この光学デバイスは、光学特性それぞれのあらゆる変化についての光学要素の精度を向上させる。
【０００５】
これらの目的は、請求項の特徴によって達成される。
【０００６】
本発明は、一対の特別に設計された回折光学要素（ＤＯＥｓ）を連続的に位置変更（ａｒｒａｎｇｅ）するという概念に基づいている。ＤＯＥは、通常、直径が約５０ｍｍまたはそれより小さい、もしくは１ｍｍぐらいの円板である。２つのＤＯＥを連続して且つ特定の距離、好ましくは１０μｍまたはそれより小さい距離をあけて平行に配置することにより、その組み合わせは、単一のＤＯＥに光学的に対応し、また同様の役割を果たすことができ、例えば特定の焦点距離を備えたレンズとして機能する。一方のＤＯＥが他方に対して共通の中心軸を中心として回転する場合、回折レンズの焦点距離のような光学デバイスの特定の特性が、設計されたどおりに有利な方向に連続的に変化する。
【０００７】
本発明は、特に、２つのＤＯＥの相互回転によって焦点距離が広い範囲で連続的に変化する回折レンズ、いわゆるフレネルレンズとして機能する一対のＤＯＥの構造について記載する。このようなレンズは、例えば結像（ｉｍａｇｉｎｇ）（カメラ、望遠鏡、顕微鏡）のために、またはビーム投射の目的（例えば、プロジェクタ、オーバーヘッドプロジェクタ、レーザスキャナ）のために、屈折ガラスレンズと同様に使用されるが、焦点距離が可変であるという付加的な利点を備えている。これにより、結像用途において、レンズの位置を軸方向にシフトすることによってその役割を果たすかさばるズーム光学系を使用する代わりとして、レンズの屈折力を変化させることによって焦点を合わせることができる、人間の目のように機能する光学系を構成することができる。その上、本発明のデバイスは、横方向に関してコンパクトな構造を提供する。
【０００８】
類似して、一対のＤＯＥは、回折アキシコン、すなわち、屈折によって光のリング（ｒｉｎｇ）を発生し、ＤＯＥ対の相互回転によって屈折力が変化するおおむね球形のプリズムとして機能するように構成可能である。アキシコンは、ビームシェイピング（ｓｈａｐｉｎｇ）目的のための科学的用途において、例えば特殊化された顕微鏡の照明光学系（ＳＴＥＤ）のために、原子トラッピング、光ピンセット、ファイバーカップリング光学系、またはその他の分野において、重要な光学要素である。
【０００９】
さらに、本発明に係るＤＯＥ対は、２つのＤＯＥの相互回転角によって位相シフト量を極めて正確に調整可能な単純位相シフタ（ｐｕｒｅ ｐｈａｓｅ ｓｈｉｆｔｅｒ）として機能することができる。このようなデバイスはまた、一方のＤＯＥが他方に対して連続的に回転する場合、光ビームの極めて正確な周波数シフタとして使用できる。このような極めて正確な位相シフタおよび周波数シフタは、多くの用途に適用でき、例えば、波長スケールで物体の変化を定量的に測定するために使用される光学干渉計に用いられる。
【００１０】
本発明の別の実施形態は、入射光ビームをヘリカルチャージ（ｈｅｌｉｃａｌ ｃｈａｒｇｅ）が可変ないわゆるドーナツ状モードビームに変換する、ヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）が調整可能ないわゆるらせん状位相板として機能するＤＯＥ対の構造である。このようならせん状位相板は、微細粒子に伝達される角運動量を運ぶ光ビームを作り出せるため、例えば原子トラッピングや光ピンセットのような科学的用途において重要な要素である。特に今日では、このようならせん状位相板は、光学式位相差顕微鏡の分野における新手法では必要不可欠な要素になっている。
【００１１】
ＤＯＥの相互回転を原因として、光学的特性が組み合わせＤＯＥの他の部分と異なる組み合わせＤＯＥの部分（ｓｅｃｔｉｏｎ）が形成され、例えば、光学デバイスがレンズとして機能する場合は、焦点距離が異なる。この影響を回避するために、本発明の光学デバイスはさらに、不要な光学特性を持つ扇形領域（セクタ：ｓｅｃｔｏｒ）を覆う扇形状の吸収体（ａｂｓｏｒｂｅｒ）を有する。不要な光学特性を持つ扇形領域の形成は、回折光学要素の中心から縁に向かって延びる径方向の直線に沿って現れる位相形状における不連続性（ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ）を除くことによって回避することが可能である。このことは、ＤＯＥの計算の最中に、位相形状を表す透過関数の変数（ａｒｇｕｍｅｎｔ）を丸めること（ｒｏｕｎｄｉｎｇ）によって実行することができる。さらに、本発明の実施形態は、例えば製造工程上の限界の結果として個々のＤＯＥの効率が１００％より小さい場合、光学デバイスから放出された不要光を十分に減少させる。
【００１２】
全ての用途において、ＤＯＥは、組み合わせることにより、いわゆるブレーズド位相回折格子構造体、例えば、全体としての回折効率がほとんど１００％であるのこぎり歯形状の回折格子を生み出すように好適に設計される。好適には、本発明の光学デバイスの２つのＤＯＥは、特定の回転角では互いに鏡像であって、言い換えれば、同一のマスター要素の２つのコピーであり、それらのコピーを、位相形状が形成されている側のＤＯＥの「面」同士が対向した状態で互いに相手の裏側に配置するだけである。したがって、一方のＤＯＥの光学的位相伝達関数は、他方に対して幾何学的に対称である。言い換えると、２つの同一要素が位相形状の形成面同士が対向した状態で使用されるため、生産コストが減少する。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
本発明は、次に示す複数の図面を参照しつつ、以下の詳細で説明されている。
【図１】本発明に係る光学デバイスの原理的な機構を示す図
【図２】組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つフレネルレンズとして機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図３】各相互回転角における、図２の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図４】図２に示すものと同様に、組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つフレネルレンズとして機能する、扇形領域の形成の影響が生じないように改良された２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図５】各相互回転角における、図４の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図６】２つのＤＯＥ間の相互回転角の関数である、扇形領域の形成を回避したフレネルレンズの回折効率と屈折力とのプロット図
【図７】屈折力がオフセットされた焦点可変フレネルレンズとして機能する組み合わせＤＯＥを提供する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図８】組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つアキシコンとして機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図９】ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝５のらせん状位相要素の側面視と上面視の図
【図１０】互いに相手の裏側に接近して対向状態に配置された、ヘリカルインデックスがｍ＝１の２つの同一らせん状位相板を示す図
【図１１】本発明の実施形態に係る、シグナル対ノイズが最適化されたＤＯＥの原理を示す図
【図１２】ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝−１のらせん状位相要素の位相パターンと（上段）、フォーカスレンズ項およびデフォーカスレンズ項が重ねられた同一の位相関数（下段）とを示す図
【図１３】組み合わせた後に２つのＤＯＥ間の相互回転角によって線形的に決定されるヘリカルインデックスが可変ならせん状位相要素として機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図１４】各相互回転角における、図１３の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図１５】図１３に示すようなヘリカルインデックスが可変な同一らせん状位相要素を提供し、発散レンズ項および収束レンズ項をそれぞれが備えている第１および第２のＤＯＥを重ねることによってシグナル対ノイズ比が大きく増加した、最適化された一対のＤＯＥを示す図
【発明を実施するための形態】
【００１４】
（回折光学要素の原理）
ＤＯＥ（ｄｉｆｆｒａｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ）は、商業的に使用可能な、透明材料に微小の位相構造（ｐｈａｓｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）を構成してなる光学要素である。これらは、レンズ、レンズアレイ、または平面光波の照射によって特定のパターン（直線、十字線、ドットの配列など）を投影するように設計されているホログラム（いわゆるキノフォーム（ｋｉｎｏｆｏｒｍｓ））として機能することができる。ＤＯＥの各ピクセルは、入射光ビームの位相を０から２πの間でシフトする。したがって、このようなＤＯＥに入射平面波が照射されると、ＤＯＥ板の裏側からの出力波は、設計どおりの波面変調を受ける。対応するＤＯＥｓは、それらが所望の目的を達成できるように、よく知られたアルゴリズム（例えば、キノフォームアルゴリズム、Ｇｅｒｃｈｂｅｒｇ−Ｓａｘｔｏｎアルゴニズムなど）によって算出される。そのアルゴリズムの出力は、所望のＤＯＥのいわゆる透過関数Ｔ（ｘ，ｙ）に対応し、この場合は、数式Ｔ（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ（ｘ，ｙ））の「位相−オンリ−地形（ｐｈａｓｅ−ｏｎｌｙ−ｌａｎｄｓｃａｐｅ）」である。Φ（ｘ，ｙ）は０から２πの範囲のピクセル配列であって、対応する点を通過するときに光ビームが取得する位相シフト量に対応する。
【００１５】
次のプロセスステップにおいて、算出された位相地形（ｐｈａｓｅ ｌａｎｄｓｃａｐｅｓ）が、フォトリソグラフィー、電子ビームリソグラフィー、または機械式のマイクロ機械加工（ダイヤモンドターニング加工）などの技術によって材料に形成される。これにより、材料の各点が入射光線の位相を所望の位相量遅延する。これは、変調表面形状により（例えば、エッチングされた石英板）、または、例えばフォトポリマーフィルムのように平面を備えた材料の空間的に変調された屈折率によって達成される。各ピクセルの代表的なサイズは０．１〜３ミクロンの間の範囲であって、ＤＯＥの代表直径は２〜１０ｍｍのオーダである。
【００１６】
コンピュータが生み出したＤＯＥと標準的なホログラム（物体波と参照波とを重ね合わせることによって記録されたホログラム）との大きな違いは、算出されたＤＯＥの位相構造が一般的に正弦曲線ではない、すなわち、局所的にのこぎり歯状格子のように見えるΦ（ｘ，ｙ）の構造であることである。この特徴により、ＤＯＥｓの回折効率は、好適に設計されているのであれば、入射光の１００％に達する。これに対して位相ホログラムの場合、（対称性を有する格子構造であるため）、回折効率は最大でも４０％である。
【００１７】
図１は、本発明に係る光学デバイスの原理的な機構を示している。２つのＤＯＥが小さい間隔をあけて互いに相手の裏側に配置されている。これらは、表面に対して直交する中心軸を中心として相互的に回転される。このＤＯＥの組み合わせは、相互回転角によって決定される予め指定された方向に、入射光波の波面を操作する。
【００１８】
透過関数がＴ１（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ１（ｘ，ｙ））のＤＯＥと透過関数がＴ２（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ２（ｘ，ｙ））のＤＯＥとが、概ね光の波長のオーダと同じくらい十分に小さい距離をあけて互いに相手の裏側に直接的に配置されている場合、２つの隣接するＤＯＥの組み合わせは、光学的には、数式１に示す透過関数の単一のＤＯＥに対応する。すなわち、組み合わせＤＯＥの位相地形は、数式２のようになる。
【数１】
【数２】
【００１９】
したがって、２つのＤＯＥの組み合わせは、２つのＤＯＥが相互的に回転する場合、連続的に変化する、様々な特定の目的に応じることができる透過関数を得ることができる。基本的な原理はある程度はモアレ効果に関連しており、このことは、例えば、Ｓ．Ｂａｒａ、Ｚ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ、Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、およびＶ．Ｍｏｒｅｎｏ著の「Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｇｒｉｄｓ ｆｏｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｖｅ ｍｏｉｒｅ ｐａｔｔｅｒｎｓ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．３０，１２５８−１２６２（１９９１））、Ｊ．Ｍ．Ｂｕｒｃｈ、Ｄ．Ｃ．Ｗｉｌｌｉａｍｓ著の「Ｖａｒｉｆｏｃａｌ ｍｏｉｒｅ ｚｏｎｅ ｐｌａｔｅｓ ｆｏｒ ｓｔｒａｉｇｈｔｎｅｓｓ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．１６，２４４５−２４５０（１９７７）、またはＺ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ、Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、Ａ．Ｍｉｒａ、Ｒ．Ｈｅｎａｏ、Ｓ．Ｂａｒａ著の「Ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｍｏｉｒｅ ｚｏｎｅ ｐｌａｔｅｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｏｃｕｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｏａｔａｔｉｏｎｓ」（Ｏｐｔ．Ｅｘｐｒｅｓｓ １３，９１８−９２５（２００５））において議論されている。モアレ効果において、格子定数が同じような微細な２つの回折格子構造体の組み合わせは、微視変調回折格子構造体を生み出す。しかしながら、標準的なモアレ効果は、位相構造体ではなく吸収性（ａｂｓｏｒｐｔｉｖｅ）によって発生し、また、一般的には、組み合わせ透過関数の範囲内において「ブレーズド」位相回折格子構造体を作らず、モアレ構造体の全体的な効率は数パーセントに制限される。
【００２０】
（可変焦点フレネルレンズ）
特別に設計された連続する２つのＤＯＥのセットは、相互回転により、広い（選択可能な）範囲内において焦点距離を連続的に変化させることができる高効率（ほとんど１００％）のフレネルゾーン板（すなわちレンズ）として機能することができる。このような焦点距離が変更可能な光学レンズ要素は、カメラ、顕微鏡、アイピース（ｅｙｅ−ｐｉｅｃｅｓ）、望遠鏡のような結像系や、ファイバーカプラ、光学式バーコードスキャナ、光学式マニピュレータなどのビーム制御の用途において、重くてスペースを消費する、ガラスレンズから作られたズーム光学系の代わりにすることができる。
【００２１】
２つのＤＯＥの対応する透過関数は、数式３に基づいて算出される。
【数３】
ｘ，ｙは、点（ｘ，ｙ）の直交座標であって、板の中心がｘ＝０，ｙ＝０の原点に対応する。また、ｒ（ｘ，ｙ）＝（ｘ２＋ｙ２）１／２とθ（ｘ，ｙ）＝ａｎｇｌｅ（ｘ＋ｉｙ）は、同一点における極座標に対応する。以下に示すように、定数ａは、組み合わせＤＯＥ光学系の屈折力に比例する。これらの透過関数から２つのＤＯＥを作製するためには、各点におけるこれらの位相を計算する必要があり、また、その結果が、０〜２πの間の範囲内の位相値配列からなるようなｍｏｄｕｌｏ（２π）から得られる必要がある。２つのＤＯＥの対応する位相パターンは、ゼロにプロットされる。
【００２２】
図２において、また後述の全ての更なるＤＯＥのプロットにおいて、白と黒の間の濃淡値（ｇｒｅｙ ｖａｌｕｅ）は、０と２πの間の範囲の位相値に対応する。２つの透過関数Ｔｌｅｎｓ１、Ｔｌｅｎｓ２は、複素共役である。ＤＯＥの対称性考慮とＤＯＥの図２の画像は、２つのＤＯＥが互いに鏡像であることを示している（これら両方が９０度単位で回転される場合）。したがって、同一の透過関数Ｔｌｅｎｓ１を持つ２つの同一のＤＯＥが使用される。これらが対面配置されている場合に２つのＤＯＥのうちの第２の方が上下逆さまに反転されると、これは、所望の鏡像された関数Ｔｌｅｎｓ２に正確に対応する。第２のＤＯＥ（透過関数Ｔｌｅｎｓ２を持つ）が−２πと２πの間の範囲で調整される特定の角度φ単位で回転すると、組み合わせＤＯＥのトータルの透過関数は数式４のようになる。
【数４】
【００２３】
ここで留意すべきは、透過関数Ｔｃｏｍｂｉは、数式５に示す屈折力を持つ理想的なレンズのそれと正確に対応することである。
【数５】
（ジオプタにおいて、焦点距離ｆの逆数に対応）、λは光の波長である。したがって、屈折力の変化は、２つのＤＯＥ間の相互回転角によって線形的に決まる、すなわち、ｄｆ−１／ｄφ＝ａλ／πである。
【００２４】
組み合わせＤＯＥ光学系の対応する位相透過関数（ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）は、それが非対称ののこぎり歯状の位相格子構造であるため（ｍｏｄｕｌｏ ２π演算が原因で）、非限定（ｕｎｌｉｍｉｔｅｄ）の回折効率をもつ理想的なレンズのキノフォームのそれに対応する。すなわち、このようなＤＯＥ要素は、不要光の寄与を発生せずに、まさしく「標準的」なガラスレンズのように、所望の光の波長のために使用することができる。
【００２５】
組み合わせＤＯＥ光学系によって作り出される対応する位相パターンが図３にプロットされている。上段は回転角φが−７５、−３０、−１５度、下段は＋１５、＋３０、＋７０のものである。また、位相値は、０から２πの間の範囲の位相に正確に対応する濃淡値（ｇｒａｙ−ｖａｌｕｅｓ）としてプロットされている。
【００２６】
図３は、第２のＤＯＥの回転が、その回転方向によって決定されるプラスまたはマイナスの屈折力を持つフレネルレンズを生み出すことを示している（プラスとマイナスの屈折力は、径方向の位相の変化により、プロットにおいて区別される）。
【００２７】
興味深いことに、図３からわかるように、所望のフレネルレンズに加えて、組み合わせＤＯＥの扇形領域（セクタ：ｓｅｃｔｏｒ）は、違う焦点距離を持つフレネルレンズのパターンを示しているようである。この扇形領域は、２つのＤＯＥの中心からπの極角方向に現れるこれらの径方向の直線の間の領域からなる。これらの扇形領域が現れる理由は、数式５に定義される位相の周期性、すなわち、一方のＤＯＥの他方に対するφの角回転が、角度φ±２π（この数字は｜φ±２π｜＜２πを満たすように選択される必要がある）の回転と区別ができないからである。この２つの場合、数式５によれば、屈折力がｆ１−１＝ａφλ／πとｆ２−１＝−ａ（φ±２π）λ／πとにそれぞれ異なる２つのフレネルレンズが得られる。回転角φが−２πと２πとの間の範囲で調整されるため、対応する２つの焦点距離ｆ１とｆ２は、φ＝πを除いて、常に異なる符号になるとともに異なる絶対値になる。φ＝πの場合、屈折力の絶対値が等しい凸形状のフレネルレンズと凹形状のフレネルレンズとして機能する、２つの半球からなる組み合わせＤＯＥを生み出す。
【００２８】
この影響は、結像用途においては妨げになるが、相互回転角が２πの全範囲に比べて相当に小さい範囲に限定されているのであれば、それは減少する。さらに、レンズの「悪い（ｗｒｏｎｇ）」扇形領域が、ＤＯＥの前に位置する扇形状のアブソーバによって覆われる。しかしながら、２つの扇形領域の屈折力が大きく異なり、また符号も異なるため、ＤＯＥ対は、マスキングすることなく、様々な実用的な用途に使用することが可能である。
【００２９】
（扇形領域の形成を回避する可変焦点フレネルレンズ）
本発明はさらに、このような扇形領域の形成を回避する方法を提供する。不要な扇形領域の出現は、数式３（Ｔ１，２＝ｅｘｐ［±ｉａｒ２θ］）に係る２つのＤＯＥを作製するための数式が、θ＝πからθ＝−πに推移するときにおいて不連続である、すなわち、各ＤＯＥの中心から左側縁までの径方向の直線において不連続である（図２参照）ことが原因である。しかしながら、ＤＯＥでのこの不連続な直線は、ＤＯＥを生み出すための数式を数式６のようにわずかに変更すれば、回避することができる。ｒｏｕｎｄ｛・・・｝演算は、変数をすぐ上の整数値に丸めること（ｒｏｕｎｄｉｎｇ）を意味する。
【数６】
【００３０】
図４に、２つのＤＯＥの対応する位相パターンの例がプロットされている。この位相パターンは、図２に示す第１の方法のものと類似するように見えるが、位相のエッジに「粗さ」が現れている。一方、θ＝πの径方向直線に不連続性が現れていない。２つのＤＯＥは、鏡面対称であるという特性を今もなお持つ、すなわち、一方が上下逆さまに反転され且つ他方の表面に対して対面配置されている場合、これらは同一の位相構造である。
【００３１】
その組み合わせＤＯＥ光学系の対応する位相値が、図５にプロットされている。上段は回転角度φが−７５、−３０、−１５度、下段は＋１５、＋３０、＋７０のものである。
【００３２】
図に示すように、扇形領域が形成されていない。相互回転角φがプラスからマイナスに変化するとき、屈折力はマイナスからプラスに完全に滑らかに推移し、相互回転角が小さい場合（例えば、図５に示すφ＝−３０からφ＝３０の範囲）ほぼ「完璧」なブレーズドフレネルレンズを形成する。しかしながら、相互回転角が大きい場合（例えば、φ＝７５）、組み合わせフレネルレンズはわずかに効率が小さくなり、すなわち、対応するのこぎり歯状回折格子が、滑らかさを維持する代わりに、バイナリ化（ｂｉｎａｒｉｚｅｄ）していく。
【００３３】
このような挙動の理由は、上述のケースと同様に、φの角回転とφ±２πの角回転との間に、回転角の潜在的な曖昧性が存在するからである。これら２つのケースは、事実上、屈折力がそれぞれｆ１−１＝ａφλ／πとｆ２−１＝−ａ（φ±２π）λ／π（｜φ±２π｜＜２π）の２つの重ね合わせフレネルレンズを形成する。２つのレンズの相対的な寄与は、相互回転角の関数として変化し、すなわち、角度φが小さい場合はｆ１が主に寄与し、それに対して角度が１８０度より大きい（または−１８０度より小さい）場合はｆ２が優位に立つ。したがって、組み合わせＤＯＥの回折挙動は、凸レンズと凹レンズとの重ね合わせとして機能するバイナリ（ｂｉｎａｒｙ）フレネルレンズの回折挙動と類似する。しかし、両者には違いがあって、２つの重ね合わせレンズの回折効率と屈折力が異なる。
【００３４】
図６は、−３６０度から３６０度の間の範囲の相互回転角の関数である、２つの重ね合わせレンズの回折効率の演算値を示している。ボックスの左下コーナと右下コーナとを接続するｃｏｓ２形状（ｃｏｓ２−ｓｈａｐｅ）の曲線は、望ましいフレネルレンズの回折効率に対応する。その効率は、相互回転角がゼロ、屈折力もゼロのときに最大になり、−９０度と９０度の間の区間ではなだらかに（１５％未満）減少する。これに対し、この区間における、第２の重ね合わせフレネルレンズの効率は１５％未満である。さらに、この不要なレンズの屈折力は、第１のレンズと大きく異なり、すなわち、ｆ２−１の最大値±２ａλに近い。興味深いことに、相互回転角がゼロのときの第２レンズの屈折力は、ｆ２−１＝＋２ａλからｆ２−１＝−２ａλにジャンプする。しかしながら、ジャンプ位置で対応するレンズの効率は消えているが、このジャンプは実験の現実の結果ではない。
【００３５】
図６のグラフは、２つのＤＯＥの相互回転が−９０度と９０度の間の角度のであれば、組み合わせフレネルレンズの効率が１５％の低い損失で済むことを示している。
【００３６】
２つのＤＯＥの一方が他方に対して一定の速度で連続的に回転する場合、対応するフレネルレンズは、焦点距離の調整可能な範囲で周期的に走査（ｓｃａｎｎｉｎｇ）する。これは、結像系（検査カメラ）やビーム走査系（バーコードリーダなど）に応用できる。例えば、シャッタを使用する結像系に組み込まれた周期的に回転するＤＯＥは、シャッタの開放とＤＯＥの回転との間の相対的位相によって決定される特定の距離内にある物体に焦点が合うようなＤＯＥの回転で位相固定される（すなわち、シャッタが、ＤＯＥが特定の角度位置であるときに常に開く）。シャッタが電子式である場合（例えば、開放可能なイメージインテンシファイア）、焦点調節は、電子機器によって、ＤＯＥの回転とシャッタの開放との間の位相を単に変化させることによって単純に制御される。
【００３７】
実際には、２つのＤＯＥの組み合わせによって変化されるフレネルレンズの最大限に利用可能な焦点範囲は、数式５、すなわち、ｆ−１＝ａφλ／πによって与えられ、φは−２πから２πの間の範囲で変化する。しかしながら、定数ａの最大値は、物質的なＤＯＥの分解能によって限界が存在する。ピクセル配列として形成される回折格子を解像するためには、２つの隣接するピクセル間の最大位相シフト量をπより小さくする必要がある。すなわち、数式７を満たす必要がある。
【数７】
ｐは１つのＤＯＥピクセルの最小サイズであって、主として屈折法によって限定される。第１の条件は径方向の位相分解能に関し、第２の条件は接線方向の位相分解能に関する。ＤＯＥが作り出すフレネルレンズに関して、第１の条件の方が、第２の条件に比べて常に制限されることが分かっており、したがって、以下では、それが唯一の条件とみなされる。
【００３８】
フレネルレンズを作製するＤＯＥの透過関数がＴ１，２＝ｅｘｐ［±ｉａｒ２θ]であるため、Φ＝ａｒ２θが得られる。これと数式７とにより、数式８の条件が得られる。
【数８】
ｒｍａｘはＤＯＥの最大半径であり、θｍａｘは最大極角である。θが−πからπの間の範囲に限定される場合、θｍａｘはπに対応し、その条件は数式９のようになる。
【数９】
したがって、特定のＤＯＥに関するａの最大値ａｍａｘは、そのピクセルの分解能とその最大所望半径との両方によって決まる。数式５によれば、ａｍａｘを持つ組み合わせＤＯＥレンズの屈折力はｆ−１＝ａｍａｘφλ／πになる。上述において、８５％のオーダまたはそれ以上の効率を得るためには、回転角φは−π／２から＋π／２の間の間に限定すべきことを示した。したがって、φ＝π／２を代入すると、数式１０の制限が得られる。
【数１０】
【数１１】
数式１１は、±９０度の相互回転角のときに達成され、且つ８５％より大きい回折効率を得ることができる、組み合わせＤＯＥ光学系の達成可能な最小の焦点距離である。
【００３９】
実例として、標準ピクセルサイズｐ＝１μｍ、直径２ｒｍａｘ＝５ｍｍのＤＯＥは、波長が５００ｎｍである場合、−５０〜５０ジオプタの範囲（±２ｃｍ〜±∞の焦点距離に対応）で調整可能な屈折力をもつ。このことは、この利用範囲の制限が、ファクタ２（ｆａｃｔｏｒ ２）のみにより、同一条件での単一−ＤＯＥ−フレネルレンズに関する制限より厳しいことを示している。すなわち、上述の例において、単一のＤＯＥは１ｃｍの最小焦点距離を持つ。
【００４０】
多くの場合、ゼロ近傍で対称的にレンズの屈折力が変化することは望まれないが、特定のオフセット値近傍では望まれることがある。これは、組み合わせＤＯＥ要素が「標準的な」ガラスレンズの裏側に直接的に配置されて、屈折力を「オフセット」することにより達成される。また一方、それは、組み合わせＤＯＥ要素で直接的にオフセットすることによっても達成される。
【００４１】
これは、２つのＤＯＥの透過関数の両方にオフセットレンズ項（ｏｆｆｓｅｔ ｌｅｎｓ ｔｅｒｍ）を掛け算することによって、すなわち数式１２によって行われる。それぞれに要求オフセット焦点距離ｆｏｆｆｓの半値が含まれている。
【数１２】
【００４２】
これは、組み合わせＤＯＥが、ｆｏｆｆｓに対応するオフセット焦点距離をもつけれども、特に相互回転角の関数である屈折力の変化が等しく且つ効率が等しい状態で、上述したように相互回転角の関数としてその焦点距離を変化させることを示している。有利に、２つの要素が互いに鏡像（特定の相対的回転において）であるため、対面状態で配置される、且つ透過関数Ｔｌｅｎｓ１である同一の２つの要素を作製すればよい。組み合わせ後にオフセット屈折力を持つ焦点可変フレネルレンズを形成する２つのＤＯＥの例が、図７に示されている。
【００４３】
（屈折力が可変なアキシコン）
調整可能なフレネルレンズと同様に、特別に設計された２つのＤＯＥの別のセットは、相互回転角によって屈折力が調整可能なアキシコン（またはアキシコンレンズ）として機能することができる。このようなアキシコンは、主に、ファイバーカプラ、光ピンセット、または、小さい焦点の軸方向領域を拡張すること（いわゆる「ベッセルビーム」）ができるレーザカッタシステムのためのビーム制御の用途に必要とされる。
【００４４】
２つのＤＯＥの透過関数を計算する数式は数式１３である。
【数１３】
【００４５】
このような透過関数に対応するＤＯＥの例が図８（Ａ）にプロットされている。上述と同様に、これら２つのＤＯＥの組み合わせによって形成されたアキシコンの屈折力は、定数ａと、相互回転角φとに比例する。図８（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示す全てのＤＯＥは、第１のＤＯＥと同一の第２のＤＯＥが上下さかさまに反転されて組み合わせられる必要がある。
【００４６】
２５度の角度で相互回転した後のＴａｘｉ１とＴａｘｉ２の組み合わせＤＯＥの例が図８（Ｄ）に示されている。この場合、相互回転角に対応する角度広がりを持ち、異なる屈折力を備えるアキシコンレンズを含んでいる不要な扇形領域が形成されている。上述と同様に、このような扇形領域の形成は、その数式に丸め込み演算を組み込むことによって、すなわち数式１４によって避けることができる。
【数１４】
【００４７】
さらに、相互回転角が２５度の例が図８（Ｅ）にプロットされている。上述と同様に、第１のアキシコン構造体に重ねられた、異なる屈折力を持つ第２のアキシコン構造体が現れている。しかしながら、第２のアキシコン構造体の相対的効率は、相互回転角が−９０度から９０度の間の範囲に制限されるのであれば、１５％より下である。
【００４８】
最終的に、「アキシコンレンズ」、すなわち、焦点力ｆｏｆｆｓが固定の「標準的」な合焦レンズまたは発散レンズに重ね合わせられた屈折力が可変のアキシコンを作り出すことが求められる。このような要素を得るための対応する数式１５を示す。
【数１５】
対応するＤＯＥの例は、０（Ｃ）にプロットされる。
【００４９】
このような構造体は、要素の裏側から特定の距離の位置で焦点が合う入射平面光波からリング形状の光強度分布を生み出すことができる。さらに、このような構造体は、所望のアキシコン形状の光照射野（ｌｉｇｈｔ ｆｉｅｌｄ）が回折しない残留光と異なる発散をするという利点を有する。このような残留光は、組み合わせＤＯＥ要素のゼロ次の回折次数に対応し、ＤＯＥが完璧に作製されたものでない場合、例えば、算出された位相値が物質的なＤＯＥ構造体に完全に再構築されない場合に現れる。所望のアキシコン状の回折光と不要なゼロ次数の非回折光（すなわち透過光）とは発散が異なるため、この２つの成分は、例えば、非回折光の焦点面に開口絞りを設けることによって簡単に分離することができる。
【００５０】
（連続的に調整可能な位相および周波数シフタ）
２つの連続する、特別に設計されたＤＯＥは、相互回転したとき、正確に、連続的に調整可能な位相シフタとして機能することができる。このような位相シフト能力は、例えば、光干渉法、干渉顕微鏡法、ホログラフィの分野、また、様々な科学的分野（原子トラッピングなどにおいて、永続的な光波を連続的に位相シフトするような）において必要とされている。ＤＯＥ光学系はまた、ＤＯＥの一方が他方に対して連続的に回転すれば、連続的に透過光ビームの周波数をシフトするシフタとして機能することができる。
【００５１】
このような周波数シフタは、干渉法（ヘトロダイン干渉法）の分野や科学的用途に必要とされる。
【００５２】
この目的のために、対応するＤＯＥは、数式１６の透過関数によって定義される、いわゆるらせん状位相板からなる。
【数１６】
ヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）（ときどき「ヘリカルチャージ（ｈｅｌｉｃａｌ ｃｈａｒｇｅ）」として表示される）ｍは整数である。ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝５とであるらせん状位相板の例が図９にプロットされている。
【００５３】
２つの同一のらせん状位相板がお互いに相手の裏側に接近した状態で対面配置された場合、これらの有効なヘリカルインデックスの符号は反対になり、組み合わせＤＯＥは、可変位相シフタとして機能する。ｍ＝１の場合の組み合わせＤＯＥの例が図１０に示されている。図１０に示すように、ヘリカルインデックスがｍ＝１の２つの同一のらせん状位相板が、お互いに相手の裏側に接近した状態で対面配置されている。一方のＤＯＥが他方に対して上下逆さまに反転しているため、このような配置における２つのＤＯＥの有効なヘリシティ（ｈｅｌｉｃｉｔｉｅｓ）は異符号となる。一方のＤＯＥが他方に対して回転した場合、透過光波の位相は、０から２πの間の範囲で連続的にシフトする。
【００５４】
一方のＤＯＥが他方に対して角度φ回転すると、組み合わせ透過関数は数式１７のようになる。
【数１７】
したがって、その組み合わせ透過関数は、組み合わせＤＯＥ要素を通過する入射波上に誘発される静的な平面位相シフト量ｍφに対応する。
【００５５】
２つの要素の一方が一定の各周波数ωｒｏｔで連続的に回転した場合、数式１７の静的な回転角φはωｒｏｔｔに置換され、光学系は周波数シフタとして機能し、入射光ビームの光周波数ωｉｎは、数式１８に示すωｏｕｔに変化する。
【数１８】
【００５６】
周波数（または位相）のシフト量の符号は、回転方向によって選択される。数式１７および１８は、ヘリカルインデックスｍが固有の「ギヤ−トランスミッション（ｇｅａｒ−ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ）」係数の役割をすることを示しており、すなわち、透過ビームの位相または周波数のシフト量それぞれは、係数ｍに対して回転するＤＯＥの回転角または回転周波数を掛け算したものに対応する。
【００５７】
（相対的効率が増加した組み合わせＤＯＥ）
上述の位相シフタのようにＤＯＥ対が好適に作製された場合、対状態の２つのＤＯＥの両方、および組み合わせＤＯＥ要素はｑ＝１００％の効率を有する、すなわち、目的方向に方向付けされない入射波面が全くない。もし、物質的なＤＯＥ要素の実質的な限界を原因として、各ピクセルの実際の位相シフト量が計画値に正確に対応しない場合、２つのＤＯＥそれぞれ、および組み合わせＤＯＥの回折効率は減少する。２つのＤＯＥのそれぞれで光が誤操作される主の不要な寄与は、いわゆるゼロ次の回折次数であって、すなわち、影響を受けることなくただＤＯＥを透過するだけのわずかの光である。このゼロ次数の寄与が小さくても、全ての透過波には大きな影響があって、コーヒレントに残留光に干渉するため、通常はその結果として、ＤＯＥが相互的に回転する場合、透過光波の空間強度変調は変化する。
【００５８】
「標準的」なＤＯＥ対の場合、それぞれのＤＯＥの効率（対応する方向に変調される入射光Ｉｉｎの一部（ｆｒａｃｔｉｏｎ）Ｉｍｏｄとして定義される効率、すなわち、ｑ＝Ｉｍｏｄ／Ｉｉｎ）はｑ＜１であり、組み合わせＤＯＥのトータルの効率はｑ２であって、一方、全ての残留光からなる不要な光波Ｉｎｏｉｓｅの効率は、１−ｑ２である。したがって、標準的なＤＯＥ対の「シグナル対ノイズ」比は、数式１９によって与えられる。
【数１９】
【００５９】
しかしながら、２つの鏡面対称の要素からなるためにＤＯＥ対の特性を犠牲にすることにより、ＤＯＥ対の性能が大きく向上する方法が存在する。この考えは、２つの波成分に分かれる異なるビームを導入することにより、所望の操作光波から不要なゼロ次数の寄与を分離することである。例えば、この場合、正確に操作されたビームが、その発散が変化することなく組み合わせＤＯＥ要素を透過する。一方、不要な寄与が強く発散し、ＤＯＥの裏側からある程度離れた位置で「希釈」する。
【００６０】
これは、強発散レンズ項を２つのＤＯＥの一方に重ねることにより、これに対して、他方が第１のＤＯＥの効果を正確に相殺する強収束レンズを重ねられることにより、達成される。したがって、所定の光波は、２つのＤＯＥを通過した後、全体的な発散が変わっておらず、これに対して、２つのＤＯＥの一方でのみ回折したゼロ次数のビーム成分は発散する。所望波と同様に発散し続ける外乱（ｄｉｓｔｕｒｂｉｎｇ）ビーム成分は、ゼロ次数（すなわち非回折）光としてＤＯＥの両方を通過する。しかしながら、この影響が現れる可能性は、ＤＯＥがレンズ項がない状態で作製された場合には線形的に減少するのに比べて、ＤＯＥの効率の関数として二次的に減少する。この方法の原理が図１１にスケッチされている。
【００６１】
図１１は正確な縮尺ではないが、２つのＤＯＥの間の実際の距離は、実際のビームが広がることがないように、可能な限り短くされている。図は２つのＤＯＥのセットを示し、第１のＤＯＥには発散レンズ項が重ねられ（適合された位相形状に加えて）、これに対して、第２のＤＯＥは、屈折力の絶対値が同一の収束レンズ項が重ねられている。図の（Ａ）は理想のケースを示しており、光波は両方のＤＯＥによって所望の１次の回折次数に回折される。その結果、出力波は、入射波と同じように発散し、付加的に所望の誘起位相面変調を受ける。個々のＤＯＥでの回折効率をｑと仮定すると、トータルの回折効率はｑ２である。
【００６２】
図１１のスケッチ（Ｂ），（Ｃ）は２番目に高い可能性のシチュエーションを示しており、回折は２つのＤＯＥの一方のみで起こり、これに対して他方のＤＯＥは波が単に透過する。この両方のシチュエーションにおいて、出力波は発散し、図１１（Ａ）に示す所望のシグナル波から簡単に分離される。
【００６３】
図１１の最後のスケッチ（Ｄ）は、シグナル波と同じように発散し、且つ「ノイズ」として機能する不要光の寄与のみの発生を示している。それは、回折されることなく両方のＤＯＥを透過する入射波の一部からなる。このシチュエーションでの対応する効率は（１−ｑ）２である。したがって、最適化されたＤＯＥ対の全体的な「シグナル対ノイズ」Ｓｏｐｔｉｍａｌは数式２０のようになる。
【数２０】
したがって、最適化されたＤＯＥ対と標準的なＤＯＥ対（数式１９）との間におけるシグナル対ノイズ比の増加は、数式２１のようになる。
【数２１】
【００６４】
収束／発散ＤＯＥ対の増加された性能の一例として、単一のＤＯＥそれぞれが９０％（ｑ＝０．９）の回折効率を持つと、入射光の１０％が回折せずにゼロ次数に伝わるケースが議論されている。他の回折次数への回折は、ブレーズドＤＯＥ構造体であるため無視することができる。
【００６５】
このケースの場合、標準的なＤＯＥ対（数式１９に係る）のシグナル対ノイズ比は、Ｓｎｏｒｍａｌ＝４．３となる。一方、最適化されたＤＯＥ対（数式２０に係る）の対応するシグナル対ノイズ比は、Ｓｏｐｔｉｍａｌ＝８１であって、およそ２０倍に相当する。この方法を上述の連続的な位相シフタや連続的な周波数シフタに応用すれば、２つのＤＯＥの対応する透過関数は、数式２２のようになる。
【数２２】
【００６６】
ｆｄｉｖは、重ね合わせられる収束フレネルレンズと発散フレネルレンズの焦点距離であって、好適には、ＤＯＥ対の後方で発散することによって不要なビーム成分の早い「希釈」を実現するために、実際的に可能である限り小さくされる。
【００６７】
組み合わせＤＯＥ要素は、数式１６によって表される「標準的」なＤＯＥ対とは異なり、相互回転角φの関数であって同一である透過Ｔｃｏｍｂｉ＝ｅｘｐ（−ｉｍφ）を持つ。「標準的」なＤＯＥ対と最適化された対の対応するＤＯＥ要素が図１２において比較されている。図１２は、ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝−１のらせん状位相要素の位相パターン（上段）と、フォーカスレンズ項が重ねられた、またデフォーカスレンズ項が重ねられた同一の位相関数（下段）とを示している。下段のＤＯＥ対によって作り出された位相／周波数シフタは、所望に位相がシフトされた波成分と残りの非回折成分との間の相対的効率が著しく増加する。
【００６８】
（ヘリカルインデックスが可変ならせん状位相要素のためのＤＯＥ対）
らせん状位相要素は、いわゆるドーナツビームを発生させるためのビーム成形の分野において重要なアプリケーションであって、光トラッピング（レーザピンセットや原子トラップ）のために、また角運動量を微細粒子に伝達するために（光ポンプ）、特に最近では顕微鏡法や干渉分光法の分野のらせん状位相差画像法のために使用される。
【００６９】
２つの連続するＤＯＥのセットは、２つのＤＯＥの相互回転角を調整することにより、選択された範囲において連続的に調整可能な（また逆も可能な）ヘリカルチャージを備えるらせん状位相要素として機能することができる。
【００７０】
対応するＤＯＥの基本的な透過関数は数式２３のように与えられる。
【数２３】
ａは定数であって、回転角の関数である組み合わせＤＯＥのヘリカルインデックスの変化を決定する。したがって、相互回転角がφである場合の組み合わせＤＯＥの透過関数は、数式２４のようになる。
【数２４】
【００７１】
これは、−ａφ２（第２のファクタ）だけシフトする付加的な単純な位相シフタに組み合わせられた、ヘリカルインデックスがｍ＝２ａφ（第１のファクタ）のらせん状位相板の透過関数に対応する。このような組み合わせＤＯＥが干渉分光法に使用されず、モードコンバータとして使用される場合、位相シフト項は無視され、組み合わせらせん状位相要素のヘリカルインデックスが、相互回転角φによって線形的に決定される。
【００７２】
数式２４に係る透過関数を持つＤＯＥのセットの例を図１３に示す。
【００７３】
ＤＯＥの中心近傍領域の分解能は最も厳しく要求される。その結果としての、２つのＤＯＥを重ねた後の組み合わせ透過関数が図１４に示されている。図１４は、相互回転角が−２５，−５，−１．５，＋１．５，＋５，＋２５の場合を示している。対応する透過関数それぞれは、ヘリカルインデックスがおおよそ−１３，−３，−１，＋１，＋３，＋１３であるらせん状位相要素に対応する。
【００７４】
図３の扇形領域の形成と同様の、扇形領域の形成が起こっている。その理由もまた同様であって、すなわち、この扇形領域の形成は、組み合わせＤＯＥの透過関数の数式２４内の回転角φの曖昧性を原因とする。すなわち、φの回転とφ±２πの回転とを区別することができない。そのために、組み合わせらせん状位相要素が同時に２つのヘリカルインデックスを持ち、不要な第２のインデックスが、２つのＤＯＥの相互回転角の反映である扇形領域に含まれる。したがって、ＤＯＥの設計において大きい係数ａを使用することにより、かなり小さい相互回転角でヘリカルインデックスの変化が大きいＤＯＥ要素を作製し、それにより、不要な扇形領域を多くの実際の用途において無視できる面積にする。
【００７５】
上述されたＤＯＥを最適化する方法と同様に、２つのＤＯＥに発散レンズ項や収束レンズ項（焦点距離±ｆｄｉｖ）を重ねることにより、シグナル対ノイズ比を増加させることができる。この場合、２つの最適化された透過関数は、数式２５のようになる。
【数２５】
【００７６】
これらの透過関数によって算出された２つのＤＯＥの例が図１５に示されている。
【００７７】
組み合わせＤＯＥの透過関数は、上述の一対のＤＯＥ（図１３参照）のものと対応するが、個々のＤＯＥの回折効率が１より小さければ、数式２１によって与えられるシグナル対ノイズ比は増加する。
【００７８】
上述の詳細な説明において、連続的に調整可能な位相シフタと、調整可能なフレネルゾーン板およびアキシコンと、調整可能ならせん状位相要素のような、ここまで説明してきた２つの連続するＤＯＥの相互回転によって完全に制御される光学要素の設計は、光学系の様々な課題を解決する技術的な方法を提供する。以下には、上述で言及された用途と異なる用途のための技術的解決法が記載されている。
【００７９】
（焦点距離が連続的に調整可能なレンズとしてのフレネルゾーンプレート）
このようなレンズは技術的用途において多くの需要がある。一例として、このようなレンズを備えることにより、複数の光学要素の間の距離を調整することなく（レンズを軸方向にシフトさせることなく）、結像レンズの焦点距離を調整することによって、−人間の目のように−、焦点をあわせる結像系の実現が可能である。可変焦点レンズの生産は、今もなお研究段階であるが、レンズとして液体の滴（ｄｒｏｐｓ）を使用する方法がある。滴の曲率は、電場を印加することによって制御される。類似の方法では、電場によって曲げられる、２つの液体の界面を使用する。ようやくになって、焦点可変レンズとして機能することができる、特別に設計された液晶システムが存在する。本発明と比較すると、これらの方法の全ては、複雑で手間がかかるものであり、また焦点面を周期的に走査することができない（ＤＯＥの一方を他方に対して連続的に回転させることにより）。これらの方法において、相互回転することによって焦点可変ゾーンプレートを実現する２つのモアレパターンの対が使用されるが、その効率は１６％が限界である。一方、本願発明は、略１００％の効率が可能である。
【００８０】
（屈折力を調整可能なアキシコン）
屈折力が調整可能なアキシコン（主にビーム制御の用途で必要とされる）を実現する技術的方法は、上述で言及したものと類似する。この場合もやはり、モアレパターンを使用する上述の要素を実現する方法が提案されているが、効率は１６％が限界である。
【００８１】
（ヘリカルチャージが可変ならせん状位相要素）
ドーナッツビームを発生するための、または空間フィルタリングを目的とするらせん状位相要素は、通常、ホログラムとして、またはＤＯＥとして作製される。しかしながら、この場合、対応するヘリカルチャージは可変ではない。ヘリカルチャージが可変ならせん状位相要素は、プログラム化されて高解像度の標準的な液晶ディスプレイ、またはカスタマイズされた液晶ディスプレイで動作する。両方法は非常に高コストである。また、機械的な方法を用いてらせん状プレキシグラスディスクの変形を制御することによって可変型らせん状位相要素を作り出すことが報告されている。しかしながら、この方法は、非常に複雑な機械および生産方法を必要とする。
【００８２】
（干渉計などのための位相シフタおよび周波数シフタ）
標準的な位相のシフトの用途に関し、既知の解決法では、ピエゾに搭載されたミラーによって、または、ビーム路内に一対の補足的なガラスのくさび（ｗｅｄｇｅ）を挿入することによって、もしくは、水平軸または鉛直軸を中心として傾くことができるガラスプレートを挿入することによって光路長をシフトする。これらの方法は全て、位相のシフトが連続的でないという欠点がある。すなわち、位相シフトを続けて行う前に、使用される光学要素が「停止位置」から「開始位置」に戻る必要がある。このことによってこれらの方法は、本発明に係るＤＯＥの連続的な相互回転によって得られる調整可能な周波数シフタになりえない。
【００８３】
連続的な位相シフトを実現する既知の方法は、２つの４分の１波長板と１つの半波長板とを組み合わせてビーム路内において相互回転させることによる、いわゆるＰａｎｃｈａｒａｔｎａｍ位相を使用することである。しかしながら、本発明と大きく異なっている。Ｐａｎｃｈａｒａｔｎａｍ法は、光を特定の偏光状態にすることが可能なだけである。本発明の特有の利点は、位相シフトが高精度であって、「ギヤトランスミッション」を実現すること、すなわち、ｆＨｚで空間的に回転したときに＋／−ｎｆの周波数シフトを実行するＤＯＥ対を作り出すことができることである（ｎはＤＯＥの設計によって決定される整数であって、１０００までの値である）。
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一対の回折光学要素を有し、連続的に光学特性が変化可能な特別な光学要素として機能する光学デバイスに関する。
【背景技術】
【０００２】
回折光学要素（以下、ＤＯＥと称する）は、一般には、ガラス、プラスチックなどから作製された光学的に透明な平板の形であり、極めて微細な位相変調のために特別に設計された位相パターンが形成されている。特定の目的のために、ＤＯＥは商業的に使用することができ、例えば、ラインまたはパターンジェネレータ、ホログラムプロジェクタ、レーザビームプロファイルコンバータ、レンズ、レンズアレイ、アキシコン（例えば、リング状プリズム）、またはその他のものとして機能する。例えば、回折レンズ（フレネルレンズ）は、高級カメラの光学系に、標準的な屈折レンズと組み合わせて商業的に使用されている。ＤＯＥ−レンズの１つの利点は、薄いガラスプレートから構成される、または標準的なガラスレンズの表面をコーティングすることのみで構成されることにより、非常に薄くて軽量であることである。さらに、ＤＯＥの好適に設計された分散特性が上述の標準的な屈折ガラスの光学系を補正する場合、色誤差なしの分散フリーの光学系を構成することができる。
【０００３】
Ａ．Ｗ．Ｌｏｈｍａｎｎ著の「Ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｖａｒｉｆｏｃａｌ ｌｅｎｓｅｓ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．９、１６６９−１６７１（１９７０））には、２つの回折要素の横方向シフトに基づく回折ズームレンズ系が開示されている。Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、Ｚ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ著の「Ｄｉｆｆｒａｃｔｉｖｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｐｏｗｅｒ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．３２、４３１７−４３２２（１９９３））には、符号化された単純位相波面を備えた複数の回折構造体の相互移動に基づいて屈折力を変更可能な回折要素の作製について述べられている。相互移動として、一方の回折構造体が他方に対して平行移動する、または回転する、もしくはそのサイズが変化する。位相回折格子の相互回転されるキノフォームの重ね合わせが線形位相を備えた共役波面を発生させることが記載されており、特定の角度単位で反対方向にキノフォームが回転することにより、力可変のＲｉｓｌｅｙ−Ｈｅｒｓｃｈｅｌプリズムに相当する回折が起こる。
【発明の概要】
【０００４】
本発明の目的は、連続的に特性が変化する特別な光学要素として機能し、コンパクトなサイズであって高い効率である光学デバイスを提供することである。さらにまた、この光学デバイスは、光学特性それぞれのあらゆる変化についての光学要素の精度を向上させる。
【０００５】
これらの目的は、請求項の特徴によって達成される。
【０００６】
本発明は、一対の特別に設計された回折光学要素（ＤＯＥｓ）を連続的に位置変更（ａｒｒａｎｇｅ）するという概念に基づいている。ＤＯＥは、通常、直径が約５０ｍｍまたはそれより小さい、もしくは１ｍｍぐらいの円板である。２つのＤＯＥを連続して且つ特定の距離、好ましくは１０μｍまたはそれより小さい距離をあけて平行に配置することにより、その組み合わせは、単一のＤＯＥに光学的に対応し、また同様の役割を果たすことができ、例えば特定の焦点距離を備えたレンズとして機能する。一方のＤＯＥが他方に対して共通の中心軸を中心として回転する場合、回折レンズの焦点距離のような光学デバイスの特定の特性が、設計されたどおりに有利な方向に連続的に変化する。
【０００７】
本発明は、特に、２つのＤＯＥの相互回転によって焦点距離が広い範囲で連続的に変化する回折レンズ、いわゆるフレネルレンズとして機能する一対のＤＯＥの構造について記載する。このようなレンズは、例えば結像（ｉｍａｇｉｎｇ）（カメラ、望遠鏡、顕微鏡）のために、またはビーム投射の目的（例えば、プロジェクタ、オーバーヘッドプロジェクタ、レーザスキャナ）のために、屈折ガラスレンズと同様に使用されるが、焦点距離が可変であるという付加的な利点を備えている。これにより、結像用途において、レンズの位置を軸方向にシフトすることによってその役割を果たすかさばるズーム光学系を使用する代わりとして、レンズの屈折力を変化させることによって焦点を合わせることができる、人間の目のように機能する光学系を構成することができる。その上、本発明のデバイスは、横方向に関してコンパクトな構造を提供する。
【０００８】
類似して、一対のＤＯＥは、回折アキシコン、すなわち、屈折によって光のリング（ｒｉｎｇ）を発生し、ＤＯＥ対の相互回転によって屈折力が変化するおおむね球形のプリズムとして機能するように構成可能である。アキシコンは、ビームシェイピング（ｓｈａｐｉｎｇ）目的のための科学的用途において、例えば特殊化された顕微鏡の照明光学系（ＳＴＥＤ）のために、原子トラッピング、光ピンセット、ファイバーカップリング光学系、またはその他の分野において、重要な光学要素である。
【０００９】
さらに、本発明に係るＤＯＥ対は、２つのＤＯＥの相互回転角によって位相シフト量を極めて正確に調整可能な単純位相シフタ（ｐｕｒｅ ｐｈａｓｅ ｓｈｉｆｔｅｒ）として機能することができる。このようなデバイスはまた、一方のＤＯＥが他方に対して連続的に回転する場合、光ビームの極めて正確な周波数シフタとして使用できる。このような極めて正確な位相シフタおよび周波数シフタは、多くの用途に適用でき、例えば、波長スケールで物体の変化を定量的に測定するために使用される光学干渉計に用いられる。
【００１０】
本発明の別の実施形態は、入射光ビームをヘリカルチャージ（ｈｅｌｉｃａｌ ｃｈａｒｇｅ）が可変ないわゆるドーナツ状モードビームに変換する、ヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）が調整可能ないわゆるらせん状位相板として機能するＤＯＥ対の構造である。このようならせん状位相板は、微細粒子に伝達される角運動量を運ぶ光ビームを作り出せるため、例えば原子トラッピングや光ピンセットのような科学的用途において重要な要素である。特に今日では、このようならせん状位相板は、光学式位相差顕微鏡の分野における新手法では必要不可欠な要素になっている。
【００１１】
ＤＯＥの相互回転を原因として、光学的特性が組み合わせＤＯＥの他の部分と異なる組み合わせＤＯＥの部分（ｓｅｃｔｉｏｎ）が形成され、例えば、光学デバイスがレンズとして機能する場合は、焦点距離が異なる。この影響を回避するために、本発明の光学デバイスはさらに、不要な光学特性を持つ扇形領域（セクタ：ｓｅｃｔｏｒ）を覆う扇形状の吸収体（ａｂｓｏｒｂｅｒ）を有する。不要な光学特性を持つ扇形領域の形成は、回折光学要素の中心から縁に向かって延びる径方向の直線に沿って現れる位相形状における不連続性（ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ）を除くことによって回避することが可能である。このことは、ＤＯＥの計算の最中に、位相形状を表す透過関数の変数（ａｒｇｕｍｅｎｔ）を丸めること（ｒｏｕｎｄｉｎｇ）によって実行することができる。さらに、本発明の実施形態は、例えば製造工程上の限界の結果として個々のＤＯＥの効率が１００％より小さい場合、光学デバイスから放出された不要光を十分に減少させる。
【００１２】
全ての用途において、ＤＯＥは、組み合わせることにより、いわゆるブレーズド位相回折格子構造体、例えば、全体としての回折効率がほとんど１００％であるのこぎり歯形状の回折格子を生み出すように好適に設計される。好適には、本発明の光学デバイスの２つのＤＯＥは、特定の回転角では互いに鏡像であって、言い換えれば、同一のマスター要素の２つのコピーであり、それらのコピーを、位相形状が形成されている側のＤＯＥの「面」同士が対向した状態で互いに相手の裏側に配置するだけである。したがって、一方のＤＯＥの光学的位相伝達関数は、他方に対して幾何学的に対称である。言い換えると、２つの同一要素が位相形状の形成面同士が対向した状態で使用されるため、生産コストが減少する。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
本発明は、次に示す複数の図面を参照しつつ、以下の詳細で説明されている。
【図１】本発明に係る光学デバイスの原理的な機構を示す図
【図２】組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つフレネルレンズとして機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図３】各相互回転角における、図２の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図４】図２に示すものと同様に、組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つフレネルレンズとして機能する、扇形領域の形成の影響が生じないように改良された２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図５】各相互回転角における、図４の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図６】２つのＤＯＥ間の相互回転角の関数である、扇形領域の形成を回避したフレネルレンズの回折効率と屈折力とのプロット図
【図７】屈折力がオフセットされた焦点可変フレネルレンズとして機能する組み合わせＤＯＥを提供する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図８】組み合わせた後に相互回転角によって決定される屈折力を持つアキシコンとして機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図９】ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝５のらせん状位相要素の側面視と上面視の図
【図１０】互いに相手の裏側に接近して対向状態に配置された、ヘリカルインデックスがｍ＝１の２つの同一らせん状位相板を示す図
【図１１】本発明の実施形態に係る、シグナル対ノイズが最適化されたＤＯＥの原理を示す図
【図１２】ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝−１のらせん状位相要素の位相パターンと（上段）、フォーカスレンズ項およびデフォーカスレンズ項が重ねられた同一の位相関数（下段）とを示す図
【図１３】組み合わせた後に２つのＤＯＥ間の相互回転角によって線形的に決定されるヘリカルインデックスが可変ならせん状位相要素として機能する、２つのＤＯＥの位相パターンを示す図
【図１４】各相互回転角における、図１３の２つのＤＯＥを重ね合わせた結果として生じた位相パターンを示す図
【図１５】図１３に示すようなヘリカルインデックスが可変な同一らせん状位相要素を提供し、発散レンズ項および収束レンズ項をそれぞれが備えている第１および第２のＤＯＥを重ねることによってシグナル対ノイズ比が大きく増加した、最適化された一対のＤＯＥを示す図
【発明を実施するための形態】
【００１４】
（回折光学要素の原理）
ＤＯＥ（ｄｉｆｆｒａｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ）は、商業的に使用可能な、透明材料に微小の位相構造（ｐｈａｓｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）を構成してなる光学要素である。これらは、レンズ、レンズアレイ、または平面光波の照射によって特定のパターン（直線、十字線、ドットの配列など）を投影するように設計されているホログラム（いわゆるキノフォーム（ｋｉｎｏｆｏｒｍｓ））として機能することができる。ＤＯＥの各ピクセルは、入射光ビームの位相を０から２πの間でシフトする。したがって、このようなＤＯＥに入射平面波が照射されると、ＤＯＥ板の裏側からの出力波は、設計どおりの波面変調を受ける。対応するＤＯＥｓは、それらが所望の目的を達成できるように、よく知られたアルゴリズム（例えば、キノフォームアルゴリズム、Ｇｅｒｃｈｂｅｒｇ−Ｓａｘｔｏｎアルゴニズムなど）によって算出される。そのアルゴリズムの出力は、所望のＤＯＥのいわゆる透過関数Ｔ（ｘ，ｙ）に対応し、この場合は、数式Ｔ（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ（ｘ，ｙ））の「位相−オンリ−地形（ｐｈａｓｅ−ｏｎｌｙ−ｌａｎｄｓｃａｐｅ）」である。Φ（ｘ，ｙ）は０から２πの範囲のピクセル配列であって、対応する点を通過するときに光ビームが取得する位相シフト量に対応する。
【００１５】
次のプロセスステップにおいて、算出された位相地形（ｐｈａｓｅ ｌａｎｄｓｃａｐｅｓ）が、フォトリソグラフィー、電子ビームリソグラフィー、または機械式のマイクロ機械加工（ダイヤモンドターニング加工）などの技術によって材料に形成される。これにより、材料の各点が入射光線の位相を所望の位相量遅延する。これは、変調表面形状により（例えば、エッチングされた石英板）、または、例えばフォトポリマーフィルムのように平面を備えた材料の空間的に変調された屈折率によって達成される。各ピクセルの代表的なサイズは０．１〜３ミクロンの間の範囲であって、ＤＯＥの代表直径は２〜１０ｍｍのオーダである。
【００１６】
コンピュータが生み出したＤＯＥと標準的なホログラム（物体波と参照波とを重ね合わせることによって記録されたホログラム）との大きな違いは、算出されたＤＯＥの位相構造が一般的に正弦曲線ではない、すなわち、局所的にのこぎり歯状格子のように見えるΦ（ｘ，ｙ）の構造であることである。この特徴により、ＤＯＥｓの回折効率は、好適に設計されているのであれば、入射光の１００％に達する。これに対して位相ホログラムの場合、（対称性を有する格子構造であるため）、回折効率は最大でも４０％である。
【００１７】
図１は、本発明に係る光学デバイスの原理的な機構を示している。２つのＤＯＥが小さい間隔をあけて互いに相手の裏側に配置されている。これらは、表面に対して直交する中心軸を中心として相互的に回転される。このＤＯＥの組み合わせは、相互回転角によって決定される予め指定された方向に、入射光波の波面を操作する。
【００１８】
透過関数がＴ１（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ１（ｘ，ｙ））のＤＯＥと透過関数がＴ２（ｘ，ｙ）＝ｅｘｐ（ｉΦ２（ｘ，ｙ））のＤＯＥとが、概ね光の波長のオーダと同じくらい十分に小さい距離をあけて互いに相手の裏側に直接的に配置されている場合、２つの隣接するＤＯＥの組み合わせは、光学的には、数式１に示す透過関数の単一のＤＯＥに対応する。すなわち、組み合わせＤＯＥの位相地形は、数式２のようになる。
【数１】
【数２】
【００１９】
したがって、２つのＤＯＥの組み合わせは、２つのＤＯＥが相互的に回転する場合、連続的に変化する、様々な特定の目的に応じることができる透過関数を得ることができる。基本的な原理はある程度はモアレ効果に関連しており、このことは、例えば、Ｓ．Ｂａｒａ、Ｚ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ、Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、およびＶ．Ｍｏｒｅｎｏ著の「Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｇｒｉｄｓ ｆｏｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｖｅ ｍｏｉｒｅ ｐａｔｔｅｒｎｓ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．３０，１２５８−１２６２（１９９１））、Ｊ．Ｍ．Ｂｕｒｃｈ、Ｄ．Ｃ．Ｗｉｌｌｉａｍｓ著の「Ｖａｒｉｆｏｃａｌ ｍｏｉｒｅ ｚｏｎｅ ｐｌａｔｅｓ ｆｏｒ ｓｔｒａｉｇｈｔｎｅｓｓ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ」（Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．１６，２４４５−２４５０（１９７７）、またはＺ．Ｊａｒｏｓｚｅｗｉｃｚ、Ａ．Ｋｏｌｏｄｚｉｅｊｃｚｙｋ、Ａ．Ｍｉｒａ、Ｒ．Ｈｅｎａｏ、Ｓ．Ｂａｒａ著の「Ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｍｏｉｒｅ ｚｏｎｅ ｐｌａｔｅｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｏｃｕｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｏａｔａｔｉｏｎｓ」（Ｏｐｔ．Ｅｘｐｒｅｓｓ １３，９１８−９２５（２００５））において議論されている。モアレ効果において、格子定数が同じような微細な２つの回折格子構造体の組み合わせは、微視変調回折格子構造体を生み出す。しかしながら、標準的なモアレ効果は、位相構造体ではなく吸収性（ａｂｓｏｒｐｔｉｖｅ）によって発生し、また、一般的には、組み合わせ透過関数の範囲内において「ブレーズド」位相回折格子構造体を作らず、モアレ構造体の全体的な効率は数パーセントに制限される。
【００２０】
（可変焦点フレネルレンズ）
特別に設計された連続する２つのＤＯＥのセットは、相互回転により、広い（選択可能な）範囲内において焦点距離を連続的に変化させることができる高効率（ほとんど１００％）のフレネルゾーン板（すなわちレンズ）として機能することができる。このような焦点距離が変更可能な光学レンズ要素は、カメラ、顕微鏡、アイピース（ｅｙｅ−ｐｉｅｃｅｓ）、望遠鏡のような結像系や、ファイバーカプラ、光学式バーコードスキャナ、光学式マニピュレータなどのビーム制御の用途において、重くてスペースを消費する、ガラスレンズから作られたズーム光学系の代わりにすることができる。
【００２１】
２つのＤＯＥの対応する透過関数は、数式３に基づいて算出される。
【数３】
ｘ，ｙは、点（ｘ，ｙ）の直交座標であって、板の中心がｘ＝０，ｙ＝０の原点に対応する。また、ｒ（ｘ，ｙ）＝（ｘ２＋ｙ２）１／２とθ（ｘ，ｙ）＝ａｎｇｌｅ（ｘ＋ｉｙ）は、同一点における極座標に対応する。以下に示すように、定数ａは、組み合わせＤＯＥ光学系の屈折力に比例する。これらの透過関数から２つのＤＯＥを作製するためには、各点におけるこれらの位相を計算する必要があり、また、その結果が、０〜２πの間の範囲内の位相値配列からなるようなｍｏｄｕｌｏ（２π）から得られる必要がある。２つのＤＯＥの対応する位相パターンは、ゼロにプロットされる。
【００２２】
図２において、また後述の全ての更なるＤＯＥのプロットにおいて、白と黒の間の濃淡値（ｇｒｅｙ ｖａｌｕｅ）は、０と２πの間の範囲の位相値に対応する。２つの透過関数Ｔｌｅｎｓ１、Ｔｌｅｎｓ２は、複素共役である。ＤＯＥの対称性考慮とＤＯＥの図２の画像は、２つのＤＯＥが互いに鏡像であることを示している（これら両方が９０度単位で回転される場合）。したがって、同一の透過関数Ｔｌｅｎｓ１を持つ２つの同一のＤＯＥが使用される。これらが対面配置されている場合に２つのＤＯＥのうちの第２の方が上下逆さまに反転されると、これは、所望の鏡像された関数Ｔｌｅｎｓ２に正確に対応する。第２のＤＯＥ（透過関数Ｔｌｅｎｓ２を持つ）が−２πと２πの間の範囲で調整される特定の角度φ単位で回転すると、組み合わせＤＯＥのトータルの透過関数は数式４のようになる。
【数４】
【００２３】
ここで留意すべきは、透過関数Ｔｃｏｍｂｉは、数式５に示す屈折力を持つ理想的なレンズのそれと正確に対応することである。
【数５】
（ジオプタにおいて、焦点距離ｆの逆数に対応）、λは光の波長である。したがって、屈折力の変化は、２つのＤＯＥ間の相互回転角によって線形的に決まる、すなわち、ｄｆ−１／ｄφ＝ａλ／πである。
【００２４】
組み合わせＤＯＥ光学系の対応する位相透過関数（ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）は、それが非対称ののこぎり歯状の位相格子構造であるため（ｍｏｄｕｌｏ ２π演算が原因で）、非限定（ｕｎｌｉｍｉｔｅｄ）の回折効率をもつ理想的なレンズのキノフォームのそれに対応する。すなわち、このようなＤＯＥ要素は、不要光の寄与を発生せずに、まさしく「標準的」なガラスレンズのように、所望の光の波長のために使用することができる。
【００２５】
組み合わせＤＯＥ光学系によって作り出される対応する位相パターンが図３にプロットされている。上段は回転角φが−７５、−３０、−１５度、下段は＋１５、＋３０、＋７０のものである。また、位相値は、０から２πの間の範囲の位相に正確に対応する濃淡値（ｇｒａｙ−ｖａｌｕｅｓ）としてプロットされている。
【００２６】
図３は、第２のＤＯＥの回転が、その回転方向によって決定されるプラスまたはマイナスの屈折力を持つフレネルレンズを生み出すことを示している（プラスとマイナスの屈折力は、径方向の位相の変化により、プロットにおいて区別される）。
【００２７】
興味深いことに、図３からわかるように、所望のフレネルレンズに加えて、組み合わせＤＯＥの扇形領域（セクタ：ｓｅｃｔｏｒ）は、違う焦点距離を持つフレネルレンズのパターンを示しているようである。この扇形領域は、２つのＤＯＥの中心からπの極角方向に現れるこれらの径方向の直線の間の領域からなる。これらの扇形領域が現れる理由は、数式５に定義される位相の周期性、すなわち、一方のＤＯＥの他方に対するφの角回転が、角度φ±２π（この数字は｜φ±２π｜＜２πを満たすように選択される必要がある）の回転と区別ができないからである。この２つの場合、数式５によれば、屈折力がｆ１−１＝ａφλ／πとｆ２−１＝−ａ（φ±２π）λ／πとにそれぞれ異なる２つのフレネルレンズが得られる。回転角φが−２πと２πとの間の範囲で調整されるため、対応する２つの焦点距離ｆ１とｆ２は、φ＝πを除いて、常に異なる符号になるとともに異なる絶対値になる。φ＝πの場合、屈折力の絶対値が等しい凸形状のフレネルレンズと凹形状のフレネルレンズとして機能する、２つの半球からなる組み合わせＤＯＥを生み出す。
【００２８】
この影響は、結像用途においては妨げになるが、相互回転角が２πの全範囲に比べて相当に小さい範囲に限定されているのであれば、それは減少する。さらに、レンズの「悪い（ｗｒｏｎｇ）」扇形領域が、ＤＯＥの前に位置する扇形状のアブソーバによって覆われる。しかしながら、２つの扇形領域の屈折力が大きく異なり、また符号も異なるため、ＤＯＥ対は、マスキングすることなく、様々な実用的な用途に使用することが可能である。
【００２９】
（扇形領域の形成を回避する可変焦点フレネルレンズ）
本発明はさらに、このような扇形領域の形成を回避する方法を提供する。不要な扇形領域の出現は、数式３（Ｔ１，２＝ｅｘｐ［±ｉａｒ２θ］）に係る２つのＤＯＥを作製するための数式が、θ＝πからθ＝−πに推移するときにおいて不連続である、すなわち、各ＤＯＥの中心から左側縁までの径方向の直線において不連続である（図２参照）ことが原因である。しかしながら、ＤＯＥでのこの不連続な直線は、ＤＯＥを生み出すための数式を数式６のようにわずかに変更すれば、回避することができる。ｒｏｕｎｄ｛・・・｝演算は、変数をすぐ上の整数値に丸めること（ｒｏｕｎｄｉｎｇ）を意味する。
【数６】
【００３０】
図４に、２つのＤＯＥの対応する位相パターンの例がプロットされている。この位相パターンは、図２に示す第１の方法のものと類似するように見えるが、位相のエッジに「粗さ」が現れている。一方、θ＝πの径方向直線に不連続性が現れていない。２つのＤＯＥは、鏡面対称であるという特性を今もなお持つ、すなわち、一方が上下逆さまに反転され且つ他方の表面に対して対面配置されている場合、これらは同一の位相構造である。
【００３１】
その組み合わせＤＯＥ光学系の対応する位相値が、図５にプロットされている。上段は回転角度φが−７５、−３０、−１５度、下段は＋１５、＋３０、＋７０のものである。
【００３２】
図に示すように、扇形領域が形成されていない。相互回転角φがプラスからマイナスに変化するとき、屈折力はマイナスからプラスに完全に滑らかに推移し、相互回転角が小さい場合（例えば、図５に示すφ＝−３０からφ＝３０の範囲）ほぼ「完璧」なブレーズドフレネルレンズを形成する。しかしながら、相互回転角が大きい場合（例えば、φ＝７５）、組み合わせフレネルレンズはわずかに効率が小さくなり、すなわち、対応するのこぎり歯状回折格子が、滑らかさを維持する代わりに、バイナリ化（ｂｉｎａｒｉｚｅｄ）していく。
【００３３】
このような挙動の理由は、上述のケースと同様に、φの角回転とφ±２πの角回転との間に、回転角の潜在的な曖昧性が存在するからである。これら２つのケースは、事実上、屈折力がそれぞれｆ１−１＝ａφλ／πとｆ２−１＝−ａ（φ±２π）λ／π（｜φ±２π｜＜２π）の２つの重ね合わせフレネルレンズを形成する。２つのレンズの相対的な寄与は、相互回転角の関数として変化し、すなわち、角度φが小さい場合はｆ１が主に寄与し、それに対して角度が１８０度より大きい（または−１８０度より小さい）場合はｆ２が優位に立つ。したがって、組み合わせＤＯＥの回折挙動は、凸レンズと凹レンズとの重ね合わせとして機能するバイナリ（ｂｉｎａｒｙ）フレネルレンズの回折挙動と類似する。しかし、両者には違いがあって、２つの重ね合わせレンズの回折効率と屈折力が異なる。
【００３４】
図６は、−３６０度から３６０度の間の範囲の相互回転角の関数である、２つの重ね合わせレンズの回折効率の演算値を示している。ボックスの左下コーナと右下コーナとを接続するｃｏｓ２形状（ｃｏｓ２−ｓｈａｐｅ）の曲線は、望ましいフレネルレンズの回折効率に対応する。その効率は、相互回転角がゼロ、屈折力もゼロのときに最大になり、−９０度と９０度の間の区間ではなだらかに（１５％未満）減少する。これに対し、この区間における、第２の重ね合わせフレネルレンズの効率は１５％未満である。さらに、この不要なレンズの屈折力は、第１のレンズと大きく異なり、すなわち、ｆ２−１の最大値±２ａλに近い。興味深いことに、相互回転角がゼロのときの第２レンズの屈折力は、ｆ２−１＝＋２ａλからｆ２−１＝−２ａλにジャンプする。しかしながら、ジャンプ位置で対応するレンズの効率は消えているが、このジャンプは実験の現実の結果ではない。
【００３５】
図６のグラフは、２つのＤＯＥの相互回転が−９０度と９０度の間の角度のであれば、組み合わせフレネルレンズの効率が１５％の低い損失で済むことを示している。
【００３６】
２つのＤＯＥの一方が他方に対して一定の速度で連続的に回転する場合、対応するフレネルレンズは、焦点距離の調整可能な範囲で周期的に走査（ｓｃａｎｎｉｎｇ）する。これは、結像系（検査カメラ）やビーム走査系（バーコードリーダなど）に応用できる。例えば、シャッタを使用する結像系に組み込まれた周期的に回転するＤＯＥは、シャッタの開放とＤＯＥの回転との間の相対的位相によって決定される特定の距離内にある物体に焦点が合うようなＤＯＥの回転で位相固定される（すなわち、シャッタが、ＤＯＥが特定の角度位置であるときに常に開く）。シャッタが電子式である場合（例えば、開放可能なイメージインテンシファイア）、焦点調節は、電子機器によって、ＤＯＥの回転とシャッタの開放との間の位相を単に変化させることによって単純に制御される。
【００３７】
実際には、２つのＤＯＥの組み合わせによって変化されるフレネルレンズの最大限に利用可能な焦点範囲は、数式５、すなわち、ｆ−１＝ａφλ／πによって与えられ、φは−２πから２πの間の範囲で変化する。しかしながら、定数ａの最大値は、物質的なＤＯＥの分解能によって限界が存在する。ピクセル配列として形成される回折格子を解像するためには、２つの隣接するピクセル間の最大位相シフト量をπより小さくする必要がある。すなわち、数式７を満たす必要がある。
【数７】
ｐは１つのＤＯＥピクセルの最小サイズであって、主として屈折法によって限定される。第１の条件は径方向の位相分解能に関し、第２の条件は接線方向の位相分解能に関する。ＤＯＥが作り出すフレネルレンズに関して、第１の条件の方が、第２の条件に比べて常に制限されることが分かっており、したがって、以下では、それが唯一の条件とみなされる。
【００３８】
フレネルレンズを作製するＤＯＥの透過関数がＴ１，２＝ｅｘｐ［±ｉａｒ２θ]であるため、Φ＝ａｒ２θが得られる。これと数式７とにより、数式８の条件が得られる。
【数８】
ｒｍａｘはＤＯＥの最大半径であり、θｍａｘは最大極角である。θが−πからπの間の範囲に限定される場合、θｍａｘはπに対応し、その条件は数式９のようになる。
【数９】
したがって、特定のＤＯＥに関するａの最大値ａｍａｘは、そのピクセルの分解能とその最大所望半径との両方によって決まる。数式５によれば、ａｍａｘを持つ組み合わせＤＯＥレンズの屈折力はｆ−１＝ａｍａｘφλ／πになる。上述において、８５％のオーダまたはそれ以上の効率を得るためには、回転角φは−π／２から＋π／２の間の間に限定すべきことを示した。したがって、φ＝π／２を代入すると、数式１０の制限が得られる。
【数１０】
【数１１】
数式１１は、±９０度の相互回転角のときに達成され、且つ８５％より大きい回折効率を得ることができる、組み合わせＤＯＥ光学系の達成可能な最小の焦点距離である。
【００３９】
実例として、標準ピクセルサイズｐ＝１μｍ、直径２ｒｍａｘ＝５ｍｍのＤＯＥは、波長が５００ｎｍである場合、−５０〜５０ジオプタの範囲（±２ｃｍ〜±∞の焦点距離に対応）で調整可能な屈折力をもつ。このことは、この利用範囲の制限が、ファクタ２（ｆａｃｔｏｒ ２）のみにより、同一条件での単一−ＤＯＥ−フレネルレンズに関する制限より厳しいことを示している。すなわち、上述の例において、単一のＤＯＥは１ｃｍの最小焦点距離を持つ。
【００４０】
多くの場合、ゼロ近傍で対称的にレンズの屈折力が変化することは望まれないが、特定のオフセット値近傍では望まれることがある。これは、組み合わせＤＯＥ要素が「標準的な」ガラスレンズの裏側に直接的に配置されて、屈折力を「オフセット」することにより達成される。また一方、それは、組み合わせＤＯＥ要素で直接的にオフセットすることによっても達成される。
【００４１】
これは、２つのＤＯＥの透過関数の両方にオフセットレンズ項（ｏｆｆｓｅｔ ｌｅｎｓ ｔｅｒｍ）を掛け算することによって、すなわち数式１２によって行われる。それぞれに要求オフセット焦点距離ｆｏｆｆｓの半値が含まれている。
【数１２】
【００４２】
これは、組み合わせＤＯＥが、ｆｏｆｆｓに対応するオフセット焦点距離をもつけれども、特に相互回転角の関数である屈折力の変化が等しく且つ効率が等しい状態で、上述したように相互回転角の関数としてその焦点距離を変化させることを示している。有利に、２つの要素が互いに鏡像（特定の相対的回転において）であるため、対面状態で配置される、且つ透過関数Ｔｌｅｎｓ１である同一の２つの要素を作製すればよい。組み合わせ後にオフセット屈折力を持つ焦点可変フレネルレンズを形成する２つのＤＯＥの例が、図７に示されている。
【００４３】
（屈折力が可変なアキシコン）
調整可能なフレネルレンズと同様に、特別に設計された２つのＤＯＥの別のセットは、相互回転角によって屈折力が調整可能なアキシコン（またはアキシコンレンズ）として機能することができる。このようなアキシコンは、主に、ファイバーカプラ、光ピンセット、または、小さい焦点の軸方向領域を拡張すること（いわゆる「ベッセルビーム」）ができるレーザカッタシステムのためのビーム制御の用途に必要とされる。
【００４４】
２つのＤＯＥの透過関数を計算する数式は数式１３である。
【数１３】
【００４５】
このような透過関数に対応するＤＯＥの例が図８（Ａ）にプロットされている。上述と同様に、これら２つのＤＯＥの組み合わせによって形成されたアキシコンの屈折力は、定数ａと、相互回転角φとに比例する。図８（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示す全てのＤＯＥは、第１のＤＯＥと同一の第２のＤＯＥが上下さかさまに反転されて組み合わせられる必要がある。
【００４６】
２５度の角度で相互回転した後のＴａｘｉ１とＴａｘｉ２の組み合わせＤＯＥの例が図８（Ｄ）に示されている。この場合、相互回転角に対応する角度広がりを持ち、異なる屈折力を備えるアキシコンレンズを含んでいる不要な扇形領域が形成されている。上述と同様に、このような扇形領域の形成は、その数式に丸め込み演算を組み込むことによって、すなわち数式１４によって避けることができる。
【数１４】
【００４７】
さらに、相互回転角が２５度の例が図８（Ｅ）にプロットされている。上述と同様に、第１のアキシコン構造体に重ねられた、異なる屈折力を持つ第２のアキシコン構造体が現れている。しかしながら、第２のアキシコン構造体の相対的効率は、相互回転角が−９０度から９０度の間の範囲に制限されるのであれば、１５％より下である。
【００４８】
最終的に、「アキシコンレンズ」、すなわち、焦点力ｆｏｆｆｓが固定の「標準的」な合焦レンズまたは発散レンズに重ね合わせられた屈折力が可変のアキシコンを作り出すことが求められる。このような要素を得るための対応する数式１５を示す。
【数１５】
対応するＤＯＥの例は、０（Ｃ）にプロットされる。
【００４９】
このような構造体は、要素の裏側から特定の距離の位置で焦点が合う入射平面光波からリング形状の光強度分布を生み出すことができる。さらに、このような構造体は、所望のアキシコン形状の光照射野（ｌｉｇｈｔ ｆｉｅｌｄ）が回折しない残留光と異なる発散をするという利点を有する。このような残留光は、組み合わせＤＯＥ要素のゼロ次の回折次数に対応し、ＤＯＥが完璧に作製されたものでない場合、例えば、算出された位相値が物質的なＤＯＥ構造体に完全に再構築されない場合に現れる。所望のアキシコン状の回折光と不要なゼロ次数の非回折光（すなわち透過光）とは発散が異なるため、この２つの成分は、例えば、非回折光の焦点面に開口絞りを設けることによって簡単に分離することができる。
【００５０】
（連続的に調整可能な位相および周波数シフタ）
２つの連続する、特別に設計されたＤＯＥは、相互回転したとき、正確に、連続的に調整可能な位相シフタとして機能することができる。このような位相シフト能力は、例えば、光干渉法、干渉顕微鏡法、ホログラフィの分野、また、様々な科学的分野（原子トラッピングなどにおいて、永続的な光波を連続的に位相シフトするような）において必要とされている。ＤＯＥ光学系はまた、ＤＯＥの一方が他方に対して連続的に回転すれば、連続的に透過光ビームの周波数をシフトするシフタとして機能することができる。
【００５１】
このような周波数シフタは、干渉法（ヘトロダイン干渉法）の分野や科学的用途に必要とされる。
【００５２】
この目的のために、対応するＤＯＥは、数式１６の透過関数によって定義される、いわゆるらせん状位相板からなる。
【数１６】
ヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）（ときどき「ヘリカルチャージ（ｈｅｌｉｃａｌ ｃｈａｒｇｅ）」として表示される）ｍは整数である。ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝５とであるらせん状位相板の例が図９にプロットされている。
【００５３】
２つの同一のらせん状位相板がお互いに相手の裏側に接近した状態で対面配置された場合、これらの有効なヘリカルインデックスの符号は反対になり、組み合わせＤＯＥは、可変位相シフタとして機能する。ｍ＝１の場合の組み合わせＤＯＥの例が図１０に示されている。図１０に示すように、ヘリカルインデックスがｍ＝１の２つの同一のらせん状位相板が、お互いに相手の裏側に接近した状態で対面配置されている。一方のＤＯＥが他方に対して上下逆さまに反転しているため、このような配置における２つのＤＯＥの有効なヘリシティ（ｈｅｌｉｃｉｔｉｅｓ）は異符号となる。一方のＤＯＥが他方に対して回転した場合、透過光波の位相は、０から２πの間の範囲で連続的にシフトする。
【００５４】
一方のＤＯＥが他方に対して角度φ回転すると、組み合わせ透過関数は数式１７のようになる。
【数１７】
したがって、その組み合わせ透過関数は、組み合わせＤＯＥ要素を通過する入射波上に誘発される静的な平面位相シフト量ｍφに対応する。
【００５５】
２つの要素の一方が一定の各周波数ωｒｏｔで連続的に回転した場合、数式１７の静的な回転角φはωｒｏｔｔに置換され、光学系は周波数シフタとして機能し、入射光ビームの光周波数ωｉｎは、数式１８に示すωｏｕｔに変化する。
【数１８】
【００５６】
周波数（または位相）のシフト量の符号は、回転方向によって選択される。数式１７および１８は、ヘリカルインデックスｍが固有の「ギヤ−トランスミッション（ｇｅａｒ−ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ）」係数の役割をすることを示しており、すなわち、透過ビームの位相または周波数のシフト量それぞれは、係数ｍに対して回転するＤＯＥの回転角または回転周波数を掛け算したものに対応する。
【００５７】
（相対的効率が増加した組み合わせＤＯＥ）
上述の位相シフタのようにＤＯＥ対が好適に作製された場合、対状態の２つのＤＯＥの両方、および組み合わせＤＯＥ要素はｑ＝１００％の効率を有する、すなわち、目的方向に方向付けされない入射波面が全くない。もし、物質的なＤＯＥ要素の実質的な限界を原因として、各ピクセルの実際の位相シフト量が計画値に正確に対応しない場合、２つのＤＯＥそれぞれ、および組み合わせＤＯＥの回折効率は減少する。２つのＤＯＥのそれぞれで光が誤操作される主の不要な寄与は、いわゆるゼロ次の回折次数であって、すなわち、影響を受けることなくただＤＯＥを透過するだけのわずかの光である。このゼロ次数の寄与が小さくても、全ての透過波には大きな影響があって、コーヒレントに残留光に干渉するため、通常はその結果として、ＤＯＥが相互的に回転する場合、透過光波の空間強度変調は変化する。
【００５８】
「標準的」なＤＯＥ対の場合、それぞれのＤＯＥの効率（対応する方向に変調される入射光Ｉｉｎの一部（ｆｒａｃｔｉｏｎ）Ｉｍｏｄとして定義される効率、すなわち、ｑ＝Ｉｍｏｄ／Ｉｉｎ）はｑ＜１であり、組み合わせＤＯＥのトータルの効率はｑ２であって、一方、全ての残留光からなる不要な光波Ｉｎｏｉｓｅの効率は、１−ｑ２である。したがって、標準的なＤＯＥ対の「シグナル対ノイズ」比は、数式１９によって与えられる。
【数１９】
【００５９】
しかしながら、２つの鏡面対称の要素からなるためにＤＯＥ対の特性を犠牲にすることにより、ＤＯＥ対の性能が大きく向上する方法が存在する。この考えは、２つの波成分に分かれる異なるビームを導入することにより、所望の操作光波から不要なゼロ次数の寄与を分離することである。例えば、この場合、正確に操作されたビームが、その発散が変化することなく組み合わせＤＯＥ要素を透過する。一方、不要な寄与が強く発散し、ＤＯＥの裏側からある程度離れた位置で「希釈」する。
【００６０】
これは、強発散レンズ項を２つのＤＯＥの一方に重ねることにより、これに対して、他方が第１のＤＯＥの効果を正確に相殺する強収束レンズを重ねられることにより、達成される。したがって、所定の光波は、２つのＤＯＥを通過した後、全体的な発散が変わっておらず、これに対して、２つのＤＯＥの一方でのみ回折したゼロ次数のビーム成分は発散する。所望波と同様に発散し続ける外乱（ｄｉｓｔｕｒｂｉｎｇ）ビーム成分は、ゼロ次数（すなわち非回折）光としてＤＯＥの両方を通過する。しかしながら、この影響が現れる可能性は、ＤＯＥがレンズ項がない状態で作製された場合には線形的に減少するのに比べて、ＤＯＥの効率の関数として二次的に減少する。この方法の原理が図１１にスケッチされている。
【００６１】
図１１は正確な縮尺ではないが、２つのＤＯＥの間の実際の距離は、実際のビームが広がることがないように、可能な限り短くされている。図は２つのＤＯＥのセットを示し、第１のＤＯＥには発散レンズ項が重ねられ（適合された位相形状に加えて）、これに対して、第２のＤＯＥは、屈折力の絶対値が同一の収束レンズ項が重ねられている。図の（Ａ）は理想のケースを示しており、光波は両方のＤＯＥによって所望の１次の回折次数に回折される。その結果、出力波は、入射波と同じように発散し、付加的に所望の誘起位相面変調を受ける。個々のＤＯＥでの回折効率をｑと仮定すると、トータルの回折効率はｑ２である。
【００６２】
図１１のスケッチ（Ｂ），（Ｃ）は２番目に高い可能性のシチュエーションを示しており、回折は２つのＤＯＥの一方のみで起こり、これに対して他方のＤＯＥは波が単に透過する。この両方のシチュエーションにおいて、出力波は発散し、図１１（Ａ）に示す所望のシグナル波から簡単に分離される。
【００６３】
図１１の最後のスケッチ（Ｄ）は、シグナル波と同じように発散し、且つ「ノイズ」として機能する不要光の寄与のみの発生を示している。それは、回折されることなく両方のＤＯＥを透過する入射波の一部からなる。このシチュエーションでの対応する効率は（１−ｑ）２である。したがって、最適化されたＤＯＥ対の全体的な「シグナル対ノイズ」Ｓｏｐｔｉｍａｌは数式２０のようになる。
【数２０】
したがって、最適化されたＤＯＥ対と標準的なＤＯＥ対（数式１９）との間におけるシグナル対ノイズ比の増加は、数式２１のようになる。
【数２１】
【００６４】
収束／発散ＤＯＥ対の増加された性能の一例として、単一のＤＯＥそれぞれが９０％（ｑ＝０．９）の回折効率を持つと、入射光の１０％が回折せずにゼロ次数に伝わるケースが議論されている。他の回折次数への回折は、ブレーズドＤＯＥ構造体であるため無視することができる。
【００６５】
このケースの場合、標準的なＤＯＥ対（数式１９に係る）のシグナル対ノイズ比は、Ｓｎｏｒｍａｌ＝４．３となる。一方、最適化されたＤＯＥ対（数式２０に係る）の対応するシグナル対ノイズ比は、Ｓｏｐｔｉｍａｌ＝８１であって、およそ２０倍に相当する。この方法を上述の連続的な位相シフタや連続的な周波数シフタに応用すれば、２つのＤＯＥの対応する透過関数は、数式２２のようになる。
【数２２】
【００６６】
ｆｄｉｖは、重ね合わせられる収束フレネルレンズと発散フレネルレンズの焦点距離であって、好適には、ＤＯＥ対の後方で発散することによって不要なビーム成分の早い「希釈」を実現するために、実際的に可能である限り小さくされる。
【００６７】
組み合わせＤＯＥ要素は、数式１６によって表される「標準的」なＤＯＥ対とは異なり、相互回転角φの関数であって同一である透過Ｔｃｏｍｂｉ＝ｅｘｐ（−ｉｍφ）を持つ。「標準的」なＤＯＥ対と最適化された対の対応するＤＯＥ要素が図１２において比較されている。図１２は、ヘリカルインデックスがｍ＝１とｍ＝−１のらせん状位相要素の位相パターン（上段）と、フォーカスレンズ項が重ねられた、またデフォーカスレンズ項が重ねられた同一の位相関数（下段）とを示している。下段のＤＯＥ対によって作り出された位相／周波数シフタは、所望に位相がシフトされた波成分と残りの非回折成分との間の相対的効率が著しく増加する。
【００６８】
（ヘリカルインデックスが可変ならせん状位相要素のためのＤＯＥ対）
らせん状位相要素は、いわゆるドーナツビームを発生させるためのビーム成形の分野において重要なアプリケーションであって、光トラッピング（レーザピンセットや原子トラップ）のために、また角運動量を微細粒子に伝達するために（光ポンプ）、特に最近では顕微鏡法や干渉分光法の分野のらせん状位相差画像法のために使用される。
【００６９】
２つの連続するＤＯＥのセットは、２つのＤＯＥの相互回転角を調整することにより、選択された範囲において連続的に調整可能な（また逆も可能な）ヘリカルチャージを備えるらせん状位相要素として機能することができる。
【００７０】
対応するＤＯＥの基本的な透過関数は数式２３のように与えられる。
【数２３】
ａは定数であって、回転角の関数である組み合わせＤＯＥのヘリカルインデックスの変化を決定する。したがって、相互回転角がφである場合の組み合わせＤＯＥの透過関数は、数式２４のようになる。
【数２４】
【００７１】
これは、−ａφ２（第２のファクタ）だけシフトする付加的な単純な位相シフタに組み合わせられた、ヘリカルインデックスがｍ＝２ａφ（第１のファクタ）のらせん状位相板の透過関数に対応する。このような組み合わせＤＯＥが干渉分光法に使用されず、モードコンバータとして使用される場合、位相シフト項は無視され、組み合わせらせん状位相要素のヘリカルインデックスが、相互回転角φによって線形的に決定される。
【００７２】
数式２４に係る透過関数を持つＤＯＥのセットの例を図１３に示す。
【００７３】
ＤＯＥの中心近傍領域の分解能は最も厳しく要求される。その結果としての、２つのＤＯＥを重ねた後の組み合わせ透過関数が図１４に示されている。図１４は、相互回転角が−２５，−５，−１．５，＋１．５，＋５，＋２５の場合を示している。対応する透過関数それぞれは、ヘリカルインデックスがおおよそ−１３，−３，−１，＋１，＋３，＋１３であるらせん状位相要素に対応する。
【００７４】
図３の扇形領域の形成と同様の、扇形領域の形成が起こっている。その理由もまた同様であって、すなわち、この扇形領域の形成は、組み合わせＤＯＥの透過関数の数式２４内の回転角φの曖昧性を原因とする。すなわち、φの回転とφ±２πの回転とを区別することができない。そのために、組み合わせらせん状位相要素が同時に２つのヘリカルインデックスを持ち、不要な第２のインデックスが、２つのＤＯＥの相互回転角の反映である扇形領域に含まれる。したがって、ＤＯＥの設計において大きい係数ａを使用することにより、かなり小さい相互回転角でヘリカルインデックスの変化が大きいＤＯＥ要素を作製し、それにより、不要な扇形領域を多くの実際の用途において無視できる面積にする。
【００７５】
上述されたＤＯＥを最適化する方法と同様に、２つのＤＯＥに発散レンズ項や収束レンズ項（焦点距離±ｆｄｉｖ）を重ねることにより、シグナル対ノイズ比を増加させることができる。この場合、２つの最適化された透過関数は、数式２５のようになる。
【数２５】
【００７６】
これらの透過関数によって算出された２つのＤＯＥの例が図１５に示されている。
【００７７】
組み合わせＤＯＥの透過関数は、上述の一対のＤＯＥ（図１３参照）のものと対応するが、個々のＤＯＥの回折効率が１より小さければ、数式２１によって与えられるシグナル対ノイズ比は増加する。
【００７８】
上述の詳細な説明において、連続的に調整可能な位相シフタと、調整可能なフレネルゾーン板およびアキシコンと、調整可能ならせん状位相要素のような、ここまで説明してきた２つの連続するＤＯＥの相互回転によって完全に制御される光学要素の設計は、光学系の様々な課題を解決する技術的な方法を提供する。以下には、上述で言及された用途と異なる用途のための技術的解決法が記載されている。
【００７９】
（焦点距離が連続的に調整可能なレンズとしてのフレネルゾーンプレート）
このようなレンズは技術的用途において多くの需要がある。一例として、このようなレンズを備えることにより、複数の光学要素の間の距離を調整することなく（レンズを軸方向にシフトさせることなく）、結像レンズの焦点距離を調整することによって、−人間の目のように−、焦点をあわせる結像系の実現が可能である。可変焦点レンズの生産は、今もなお研究段階であるが、レンズとして液体の滴（ｄｒｏｐｓ）を使用する方法がある。滴の曲率は、電場を印加することによって制御される。類似の方法では、電場によって曲げられる、２つの液体の界面を使用する。ようやくになって、焦点可変レンズとして機能することができる、特別に設計された液晶システムが存在する。本発明と比較すると、これらの方法の全ては、複雑で手間がかかるものであり、また焦点面を周期的に走査することができない（ＤＯＥの一方を他方に対して連続的に回転させることにより）。これらの方法において、相互回転することによって焦点可変ゾーンプレートを実現する２つのモアレパターンの対が使用されるが、その効率は１６％が限界である。一方、本願発明は、略１００％の効率が可能である。
【００８０】
（屈折力を調整可能なアキシコン）
屈折力が調整可能なアキシコン（主にビーム制御の用途で必要とされる）を実現する技術的方法は、上述で言及したものと類似する。この場合もやはり、モアレパターンを使用する上述の要素を実現する方法が提案されているが、効率は１６％が限界である。
【００８１】
（ヘリカルチャージが可変ならせん状位相要素）
ドーナッツビームを発生するための、または空間フィルタリングを目的とするらせん状位相要素は、通常、ホログラムとして、またはＤＯＥとして作製される。しかしながら、この場合、対応するヘリカルチャージは可変ではない。ヘリカルチャージが可変ならせん状位相要素は、プログラム化されて高解像度の標準的な液晶ディスプレイ、またはカスタマイズされた液晶ディスプレイで動作する。両方法は非常に高コストである。また、機械的な方法を用いてらせん状プレキシグラスディスクの変形を制御することによって可変型らせん状位相要素を作り出すことが報告されている。しかしながら、この方法は、非常に複雑な機械および生産方法を必要とする。
【００８２】
（干渉計などのための位相シフタおよび周波数シフタ）
標準的な位相のシフトの用途に関し、既知の解決法では、ピエゾに搭載されたミラーによって、または、ビーム路内に一対の補足的なガラスのくさび（ｗｅｄｇｅ）を挿入することによって、もしくは、水平軸または鉛直軸を中心として傾くことができるガラスプレートを挿入することによって光路長をシフトする。これらの方法は全て、位相のシフトが連続的でないという欠点がある。すなわち、位相シフトを続けて行う前に、使用される光学要素が「停止位置」から「開始位置」に戻る必要がある。このことによってこれらの方法は、本発明に係るＤＯＥの連続的な相互回転によって得られる調整可能な周波数シフタになりえない。
【００８３】
連続的な位相シフトを実現する既知の方法は、２つの４分の１波長板と１つの半波長板とを組み合わせてビーム路内において相互回転させることによる、いわゆるＰａｎｃｈａｒａｔｎａｍ位相を使用することである。しかしながら、本発明と大きく異なっている。Ｐａｎｃｈａｒａｔｎａｍ法は、光を特定の偏光状態にすることが可能なだけである。本発明の特有の利点は、位相シフトが高精度であって、「ギヤトランスミッション」を実現すること、すなわち、ｆＨｚで空間的に回転したときに＋／−ｎｆの周波数シフトを実行するＤＯＥ対を作り出すことができることである（ｎはＤＯＥの設計によって決定される整数であって、１０００までの値である）。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
相互に平行に連続して配置された一対の回折光学要素を有する光学デバイスであって、
回折光学要素は表面に位相形状が形成され、
一対の回折光学要素は組み合わせ状態でレンズ、アキシコン、位相シフタ、またはらせん状位相板として機能し、
１つまたは両方の回折光学要素が表面と直交する軸を中心として相対的に回転するように構成され、
その回転によって光学デバイスの光学特性が連続的に変化する光学デバイス。
【請求項２】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でレンズとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が焦点距離である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項３】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でアキシコンとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が屈折力である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項４】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でらせん状位相板として機能する場合、
連続的に変化する光学特性がヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項５】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態で位相シフタとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が位相シフト量である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項６】
回折光学要素が、直径が５０ｍｍまたはそれ以下の円板である上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項７】
回折光学要素が、１０μｍまたはそれ以下の間隔をあけて配置されている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項８】
回折光学要素に形成されている位相形状が、１０μｍまたはそれ以下、好ましくは光の波長のオーダ、またはより大きいサイズのピクセルを備えている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項９】
一方の回折光学要素の位相形状が、他方の回折光学要素の位相形状の鏡像である上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１０】
回折光学要素の位相形状が、複素透過関数によって表される上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１１】
透過関数の変数を丸めることにより、回折光学要素の中心から縁に延びる直線に沿った回折光学要素の位相形状での不連続性を回避する請求項１０に係る光学デバイス。
【請求項１２】
一対の回折光学要素の扇形領域を覆う扇形状の吸収体をさらに有する上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１３】
扇形状の吸収体によって覆われる扇形領域が、一方の回折光学要素の他方に対する回転角に対応する角度を持つ上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１４】
一方の回折光学要素が、９０度と−９０度の間の角度で他方に対して相対的に回転するように構成されている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１５】
一方の回折光学要素が、光学デバイスの光学特性が連続的に変化するように連続的に回転するように構成されている請求項１から１３に係る光学デバイス。
【請求項１６】
一対の回折光学要素が、協働して、レンズ、アキシコン、らせん状位相板、位相シフタの中の少なくとも２つの組み合わせとして機能する上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１７】
一方の回折光学要素の位相形状に強発散レンズに対応する位相形状が重ねられ、
他方の回折光学要素の位相形状に強発散レンズの効果を相殺する強収束レンズの位相形状が重ねられている請求項３，４，または５に従属する請求項６から１６のいずれか１つに係る光学デバイス。
【請求項１】
相互に平行に連続して配置された一対の回折光学要素を有する光学デバイスであって、
回折光学要素は表面に位相形状が形成され、
一対の回折光学要素は組み合わせ状態でレンズ、アキシコン、位相シフタ、またはらせん状位相板として機能し、
１つまたは両方の回折光学要素が表面と直交する軸を中心として相対的に回転するように構成され、
その回転によって光学デバイスの光学特性が連続的に変化する光学デバイス。
【請求項２】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でレンズとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が焦点距離である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項３】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でアキシコンとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が屈折力である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項４】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態でらせん状位相板として機能する場合、
連続的に変化する光学特性がヘリカルインデックス（ｈｅｌｉｃａｌ ｉｎｄｅｘ）である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項５】
一対の回折光学要素が組み合わせ状態で位相シフタとして機能する場合、
連続的に変化する光学特性が位相シフト量である請求項１に係る光学デバイス。
【請求項６】
回折光学要素が、直径が５０ｍｍまたはそれ以下の円板である上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項７】
回折光学要素が、１０μｍまたはそれ以下の間隔をあけて配置されている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項８】
回折光学要素に形成されている位相形状が、１０μｍまたはそれ以下、好ましくは光の波長のオーダ、またはより大きいサイズのピクセルを備えている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項９】
一方の回折光学要素の位相形状が、他方の回折光学要素の位相形状の鏡像である上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１０】
回折光学要素の位相形状が、複素透過関数によって表される上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１１】
透過関数の変数を丸めることにより、回折光学要素の中心から縁に延びる直線に沿った回折光学要素の位相形状での不連続性を回避する請求項１０に係る光学デバイス。
【請求項１２】
一対の回折光学要素の扇形領域を覆う扇形状の吸収体をさらに有する上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１３】
扇形状の吸収体によって覆われる扇形領域が、一方の回折光学要素の他方に対する回転角に対応する角度を持つ上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１４】
一方の回折光学要素が、９０度と−９０度の間の角度で他方に対して相対的に回転するように構成されている上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１５】
一方の回折光学要素が、光学デバイスの光学特性が連続的に変化するように連続的に回転するように構成されている請求項１から１３に係る光学デバイス。
【請求項１６】
一対の回折光学要素が、協働して、レンズ、アキシコン、らせん状位相板、位相シフタの中の少なくとも２つの組み合わせとして機能する上記請求項のいずれかに係る光学デバイス。
【請求項１７】
一方の回折光学要素の位相形状に強発散レンズに対応する位相形状が重ねられ、
他方の回折光学要素の位相形状に強発散レンズの効果を相殺する強収束レンズの位相形状が重ねられている請求項３，４，または５に従属する請求項６から１６のいずれか１つに係る光学デバイス。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８Ａ】
【図８Ｂ】
【図８Ｃ】
【図８Ｄ】
【図８Ｅ】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８Ａ】
【図８Ｂ】
【図８Ｃ】
【図８Ｄ】
【図８Ｅ】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【公表番号】特表２０１０−５３３８９５（Ｐ２０１０−５３３８９５Ａ）
【公表日】平成２２年１０月２８日（２０１０．１０．２８）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２０１０−５１７２７２（Ｐ２０１０−５１７２７２）
【出願日】平成１９年７月２０日（２００７．７．２０）
【国際出願番号】ＰＣＴ／ＥＰ２００７／００６４９０
【国際公開番号】ＷＯ２００９／０１２７８９
【国際公開日】平成２１年１月２９日（２００９．１．２９）
【出願人】（５１００１９０５９）メディツィーニシェ・ウニヴェルジテート・インスブルック (2)
【氏名又は名称原語表記】ＭＥＤＩＺＩＮＩＳＣＨＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＥＴ ＩＮＮＳＢＲＵＣＫ
【Ｆターム（参考）】
【公表日】平成２２年１０月２８日（２０１０．１０．２８）
【国際特許分類】
【出願日】平成１９年７月２０日（２００７．７．２０）
【国際出願番号】ＰＣＴ／ＥＰ２００７／００６４９０
【国際公開番号】ＷＯ２００９／０１２７８９
【国際公開日】平成２１年１月２９日（２００９．１．２９）
【出願人】（５１００１９０５９）メディツィーニシェ・ウニヴェルジテート・インスブルック (2)
【氏名又は名称原語表記】ＭＥＤＩＺＩＮＩＳＣＨＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＥＴ ＩＮＮＳＢＲＵＣＫ
【Ｆターム（参考）】
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