イオン注入分布発生方法
【課題】 イオン注入分布発生方法に関し、２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を近似して簡便なＲｐ、ΔＲｐ及びΔＲｐｔを求める。
【解決手段】 ２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱う。
【解決手段】 ２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱う。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はイオン注入分布発生方法に関し、２次の拡張ＬＳＳ理論におけるモーメントを簡単な解析式で表現し、計算速度を向上するとともにモデル式の組み込みを容易にするための手法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
シリコン集積回路装置において、シリコン基板への不純物の導入はイオン注入で行われるのが一般的である。
このようなシリコン集積回路装置のプロセス構築に際しては、必要な素子構造を得るためのイオン注入条件を決定する必要があるが、このようなイオン注入条件をシミュレーションにより決定することが行われている。
非晶質層へのイオン注入分布を理論的に予想する手段としてＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ がある。これは、入射イオンと基板との相互作用を、核阻止能及び電子阻止能の物理に基づいて、入射イオンの軌跡を追跡していくものである。
【０００３】
この理論は、任意のイオンを任意の基板にイオン注入した場合の一般的な場合にも有効であり、電子阻止能をチューニングすればその精度をさらに向上させることができる。図１４は、計算モデルであり、質量数Ｍ１，原子番号Ｚ１，エネルギーＴ１ｉ（速度ｖ１ｉ）のイオンが、基板を構成する質量数Ｍ２，原子番号Ｚ２の原子と相互作用して伝達するエネルギーＴ２ｆは、散乱角度をΦ、相互作用後のイオンの速度をν１ｉ、基板原子の速度をν２ｉとすると、
Ｔ２ｆ／Ｔ１ｉ＝２Ｍ２ν２ｉ2 ｓｉｎ2 （Φ／２）／〔（１／２）Ｍ１ν１ｉ2 〕
＝（４Ｍ２／Ｍ１）｛〔Ｍ１ｖ１ｉ／（Ｍ１＋Ｍ２）〕2 ／ν１ｉ2 ｝×ｓｉｎ2 （Φ／２）＝〔４Ｍ２Ｍ１／（Ｍ１＋Ｍ２）2 〕ｓｉｎ2 （Φ／２）・・・（１）
と表現される。
【０００４】
ここで、イオンと基板原子の距離をｒ、衝突パラメータをｂ、ポテンシャルエネルギーをＶ（ｒ）とすると、伝達エネルギーＴ２ｆは、下記の式（２）として求まる。
【数１】
つまり、注入されたイオンは、核との相互作用により、
ΔＥｎ＝Ｔ２ｆ
のエネルギーを失う。
【０００５】
また、相互作用に伴う散乱角度Φは、下記の式（３）で表される。
【数２】
ここで、半径ｂの円周上の位置、即ち角度θは、Ｒａｎｄ（ｎ）をｎが０から１の間の乱数とすると、
θ＝２πＲａｎｄ（ｎ）
の関係から求まる。
【０００６】
これにより、衝突後のエネルギーと方向が決まる。次に、新たに注入エネルギーで同様の計算を繰り返し、イオンの軌跡をトレースしていけば良い。しかし、実際の衝突のたびに、上記の式（３）で表される積分を毎回実行するのは計算コストが膨大になるため、ＺｉｅｇｌｅｒはＭａｇｉｃ ｆｏｒｍｕｌａを提案し、この積分を簡単なプロトコルで解いている。また、シミュレータＴＳＵＰＲＭでは、計算結果をテーブル化しその内挿でこの値を評価している。
【０００７】
なお、上記の式（３）における各パラメータを規格化したユニバーサルな変数で表すと、下記の式（４）で表される。
【数３】
但し、ａＢをボーア径とすると、
ρ＝ｒ／ａＵ，
η＝ｂ／ａＵ，
ａＵ＝０．８８５４ａＢ／（Ｚ１0.23 ＋Ｚ２0.23 ）
である。また、エネルギーは、
ε＝Ｅｃ／（Ｚ１Ｚ２ｅ2 ／ａＵ）
Ｅｃ＝（１／２）Ｍc ｖ１ｉ2
１／Ｍｃ＝１／Ｍ１＋１／Ｍ２
である。
また、ポテンシャルエネルギーＶ（ｒ）として、下記のＺｉｅｇｌｅｒ−Ｌｉｔｍａｒｋ−Ｂｉｅｒｓａｋ（ＺＬＢ）のポテンシャルエネルギーを用いる（例えば、非特許文献１参照）。
Ｖ（ｒ）＝（ｅ2 Ｚ１Ｚ２／ｒ）ｆ（ρ）
但し、
【数４】
【０００８】
しかしながら、上述の計算コスト低減の手法を導入しても、Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーションは、粒子の各軌跡を追うため、統計誤差を減らすためには数万個以上の計算をする必要があり、時間がかかるという問題がある。
【０００９】
そこで、電子阻止能Ｓｅ、核阻止能Ｓｎが与えられた時、イオン注入分布が従うべき積分方程式が、Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｓｃｈａｒｆ，Ｓｃｈｉｏｔｔによって提案され（例えば、非特許文献２参照）、このモデルはＬＳＳ理論と呼ばれている。
【００１０】
この理論では、粒子の軌跡を追跡することなしに注入条件が決まれば、積分方程式を解くことによって分布の任意の次数の分布モーメントのエネルギー依存性までを即座に計算できる。
【００１１】
この場合、積分方程式を展開し、微分方程式に還元し、それを解いていく必要があり、そのステップで近似が入る。
即ち、伝達エネルギーが初期エネルギーに比べて小さいと仮定してモーメントをエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、この展開する次数が解くべき微分方程式の階数となる。
【００１２】
また、散乱角度もエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、これは解くべき方程式の係数と関連し階数とは無関係である。解析モデルは一階の線形微分方程式の場合のみ任意の係数で一般的に得られる。
このＬＳＳ理論ではモーメントに関しては１次、散乱角度に関しては２次までＴａｙｌｏｒ展開し、線形１階の微分方程式を解き飛程Ｒの射影Ｒｐ及びそのストラッグリングΔＲｐの解析モデル式を導出している。
【００１３】
ここで、図１５を参照して、ＬＳＳ理論における注入イオンの飛程Ｒに関する積分方程式を説明する。
図１５はイオンの飛程Ｒの模式図であり、エネルギーＥで注入されたイオンは基板原子と相互作用しながらエネルギーを失い方向を変えながら図に示すように進んでいき、全エネルギーを失い基板中で静止する。
【００１４】
この時、イオンが進んだ軌跡の線積分を飛程Ｒとし、飛程Ｒの注入方向への射影をＲｐ、横方向への広がりをＲＴとする。
また、横方向への広がりのｘ成分をΔｘ、ｙ成分をΔｙとする。
なお、横方向への広がりは、図面及び以降の積分方程式或いは微分方程式においてはＲに「垂直記号」のサフィックスを付けた記号で表すが、明細書本文中では、明細書作成の都合上、「ＲＴ」で表す。
【００１５】
表面に垂直にエネルギーＥでイオン注入されたイオンがＲとＲ＋ｄＲの間で止まる確率をＰ（Ｅ，Ｒ）とする。この場合、
【数５】
である。
また、Ｒに関してｍ次のモーメントを
【数６】
と定義する。
【００１６】
イオンが表面からｄＲ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、
ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ ・・・（８）
であり、そのそれぞれの相互作用でイオンのエネルギーは、
Ｅ−Ｔｎ，Ｅ−Ｔｅ
に減少すると仮定する。
ここで、ｄσｎ，ｄσｅは核阻止能及び電子阻止能と関連する微分断面積である。
【００１７】
よって、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーを失って飛程Ｒに止まる確率は、
【数７】
で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ） ・・・（１０）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒ−ｄＲ） ・・・（１１）
となる。よって、
【数８】
となる。
【００１８】
ここで、ｄＲを無限小に持っていく極限を考えると、
【数９】
となる。両辺にＲm をかけてＲについて０から∞まで積分すると、
【数１０】
となる。
【００１９】
式（１４）の左辺を部分積分し、また右辺の積分の順序を入れ換えると、
【数１１】
式（１５）における左辺の第１項は０である。また
【数１２】
と表現するが、これはＲm の期待値に相当する。
【００２０】
ここで、式（１６）を用いると、式（１５）は、
【数１３】
となり、これが飛程Ｒに関するｍ次の積分方程式である。
ここで、飛程Ｒに関しては１次に関してのみ解析する。式（１７）においてｍ＝１とおいて
【数１４】
を得る。これが、飛程Ｒの従うべき積分方程式である。
【００２１】
次に、式１７をＴｎ，Ｔｅ≪Ｅの近似のもとで１次の項までを残し解いていく。この近似は伝達エネルギーが小さいということを仮定をしている。
この場合、核との相互作用に関しては広角散乱を無視する近似に相当し、電子との相互作用に関しては、エネルギーが高いほどＴｅは大きくなる。このため、比較的エネルギーの低い場合に近似の精度は良くなってくる。
この解を１次のものであることを意識して〈Ｒ（Ｅ）〉(1) と表現する。
【００２２】
次に、式（１８）の両辺をＮで割るとともにＴａｙｌｏｒ展開することにより、
【数１５】
となる。ここで、
Ｓｎ＝∫Ｔｎｄσｎ，Ｓｅ＝∫Ｔｅｄσｅ ・・・（２０）
を利用している。式（１９）より、良く知られている、
【数１６】
が導出される。
【００２３】
次に、図１６を参照して、Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係を説明する。
図１６は、Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図であり、エネルギーＥ、角度φで入射したイオンが基板内のＡ点に静止した状況を模式図的に示している。
入射角度０の軸に垂直な面上での横方向の広がりをＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ）とすると、入射方向に垂直な軸に対する射影Ｒｐ（Ｅ）が、入射方向に垂直な面に対する横方向広がりがＲＴ（Ｅ）と考えることができる。よって、
【数１７】
【００２４】
以上の幾何学的関係を基にして、次に、Ｒｐ，ＲＴ，ＲｐＲＴの従うべき積分方程式を導出していく。
エネルギーＥで、角φで散乱されたイオンの射影飛程がＲｐとＲｐ＋ｄＲｐの間で止まる確率をＰｐ（Ｅ，Ｒｐ，ｃｏｓφ）とする。
φ＝０の場合の確率をＰｐ（Ｅ，Ｒｐ）とする。また、Ｒｐに関してｍ次のモーメントを、
【数１８】
と定義する。
【００２５】
入射イオンがｄＲｐ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、飛程Ｒの場合と同様に、
ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ ・・・（２５）
であり、この相互作用でのエネルギーは、
Ｅ−Ｔｎ，Ｅ−Ｔｅ
に減少する。
【００２６】
この場合、電子との相互作用による散乱角は０とみなすので、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーＴｎ，Ｔｅを失ってＲｐに止まる確率は、
【数１９】
で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ） ・・・（２７）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲｐに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒｐ−ｄＲｐ）
・・・（２８）
となる。よって、
【数２０】
となる。
【００２７】
ここで、ｄＲｐを無限小にもっていく極限を考えると、
【数２１】
となり、両辺にＲｍｐをかけてＲｐについて０から∞まで積分すると、
【数２２】
とｍ次の〈Ｒｍｐ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。
【００２８】
次に、分布の横方向への広がりを表すＲＴについて考える。
エネルギーＥ、入射角φで注入されたイオンがＲＴとＲＴ＋ｄＲＴの間に止まる確率をＰＴ（Ｅ，ＲＴ，ｃｏｓφ）とする。
この時、入射角φのイオンがｄＲＴ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、
【数２３】
である。よって、このイオンが相互作用しエネルギーＴｎ，Ｔｅを失ってＲＴに止まる確率は、
【数２４】
で与えられる。
【００２９】
この場合も電子との相互作用では角度の変化はなく、さらにこの場合はＲＴも変化しないことを仮定している。また、ｄＲＴ進む間に衝突しない確率は、
【数２５】
である。この間にエネルギーは失われず、角度も変化しないためＲＴも変化しない。よって、イオンがＲＴに止まる確率は、
【数２６】
となる。
【００３０】
以上より、
【数２７】
となる。
【００３１】
ここで、ｄＲＴを無限小にもっていく極限を考えると、
【数２８】
となり、両辺にＲm ＴをかけてＲＴについて０から∞まで積分すると、
【数２９】
と〈Ｒm Ｔ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。
【００３２】
まず、飛程の射影Ｒｐを求めるために、式（３１）においてｍ＝１とすると下記の式（３９）となる。
【数３０】
ここで、１次のテーラー展開した解を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とおくと、下記の式（４０）となる。
【数３１】
【００３３】
これから、下記の式（４１）が得られる。
【数３２】
但し、α（Ｅ）及びα（Ｅ′）は、下記の式（４２）で表される。
【数３３】
【００３４】
次に、２次のモーメントΔＲｐ及びΔＲｐｔを求めるために、式（３１）及び式（３８）においてｍ＝２とすると下記の式（４３）及び式（４４）となる。
【数３４】
【００３５】
ここで、Ｌｉｎｄｈａｒｔは下記の式（４５）及び式（４６）で定義される変数〈Ｒ2ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ2ｒ（Ｅ）〉を導入した。
【数３５】
【００３６】
〈ΔＲ2ｐ（Ｅ）〉と〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉は、変数〈Ｒ2ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ2ｒ（Ｅ）〉と下記の式（４７）及び式（４８）で関連づけられる。
【数３６】
【００３７】
また、横方向の偏差〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉は〈ΔＸ2 〉と関連し、〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉そのものではない。したがって、
〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉＝〈ΔＸ2 〉＋〈ΔＸ2 〉＝２〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉・・・（４９）
となり、これより、
〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉＝〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉／２ ・・・（５０）
となる。
【００３８】
Ｌｉｎｄｈａｒｔはこれらの変数を導入することにより、下記の式（５１）及び式（５２）の独立な微分方程式を得ることに成功した。
【数３７】
【００３９】
また、深さ方向のイオン注入分布はＲｐとΔＲｐを用いてＧａｕｓｓ分布で大まかに評価できるが、Ｌｉｎｄｈａｒｔは、核阻止能Ｓｎが支配的であるとして微分断面積を解析的に近似して、下記の式（５３）及び式（５４）で表される近似解を得ている。
【数３８】
なお、μは、μ＝Ｍ１／Ｍ２である。
【非特許文献１】Ｊ．Ｆ．Ｚｉｅｇｌｅｒ，Ｊ．Ｐ．Ｂｉｅｒｓａｃｋ，ａｎｄ Ｕ．Ｌｉｔｔｍａｒｋ，Ｔｈｅ ｓｔｏｐｐｉｎｇ ａｎｄ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｉｏｎｓ ｉｎ ｓｏｌｉｄ，Ｐｅｒｇａｍｏｎ，１８８５
【非特許文献２】Ｊ．Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｍ．Ｓｃｈａｒｆｆ，Ｈ．Ｓｃｈｉｏｔｔ，Ｍａｔ．Ｆｔｓ．Ｍｅｄｄ．Ｖｉｄ．Ｓｃｌｓｋ，ｖｏｌ．３３，ｐｐ．１−３９，１９６３
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００４０】
しかし、ＬＳＳ理論では、積分方程式を解く際に近似が必要で、これまでに提案されているモデルではＲｐは問題ないが、ΔＲｐは格段に精度が落ちるか、計算できないという問題がある。
【００４１】
そこで、本発明者は、ＬＳＳ積分方程式の３次の摂動近似計算によりＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーション結果と同程度の精度の解析モデルを得ることに成功している（必要ならば、特願２００８−０６９５０９参照）。
【００４２】
この高精度のモデルから、Ｒｐ及びΔＲｐについては、２次のオーダーのモデルで充分精度が高いことが示された。しかしながら、この解析モデル式は微分項や積分項を含む複雑なものであり、誰もが簡便に扱えるものではなかった。
【００４３】
したがって、２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を近似して簡便なＲｐ、ΔＲｐ及びΔＲｐｔを求めることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００４４】
本発明の一観点によると、エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δｐ(2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うイオン注入分布発生方法が提供される。
【００４５】
また、別の観点によると、上述のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させるシミュレータが提供される。
【００４６】
さらに、別の観点によると、上述イオン注入分布発生方法により〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 、ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) を用いて二次元濃度分布を発生させるシミュレータが提供される。
【発明の効果】
【００４７】
開示のイオン注入分布発生方法によれば、複雑なモデル式を格段に簡便化しているので、計算速度が向上するとともに、計算式の組み込みが簡単になり、さらに、維持も容易になる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４８】
ここで、本発明の前提となる２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）について、予め説明する。まず、１次及び２次の核阻止能について計算しておく。１次の核阻止能Ｓｎ（Ｅ）は、下記の式（５５）で与えられる。
【数３９】
また、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（５６）で与えられる。
【数４０】
【００４９】
ここで、上述のＺＬＢポテンシャルを利用すると、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（５７）で近似される。
【数４１】
【００５０】
この阻止能は高次のものにも拡張され、２次のモーメントに対応する拡張された核阻止能、即ち、エネルギーストラッグリングΩｎ2 は、下記の式（５８）で表される。
【数４２】
但し、ユニバーサルな拡張された核阻止能Ωｎ2 （ε）は下記の式（５９）で表される。
【数４３】
これも、下記の式（６０）で近似的に表現される。
【数４４】
【００５１】
ここで、上記式（２２）及び式（２３）に基づいて、以下の計算で利用する各パラメータＲｐ2 （Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ3 （Ｅ，ｃｏｓφ）、ＲｐＲＴ2 （Ｅ，ｃｏｓφ）を予め下記の通り計算しておく。
【数４５】
【００５２】
ここで、上記の図１６に示したように、空間の対称性から点Ｃの存在する平面上でＣを中心とする半径ＲＴ（Ｅ）の円上の点はＡと等価と考えることができる。
よって、βは０から２πの値を同じ確率で取ると仮定できる。
そこで、式（６１）乃至式（６３）をβに関して０から２πまで積分したものを２πで割りその平均値を評価する。
【００５３】
【数４６】
を参考にしてこれらの平均値は、
【数４７】
となる。
【００５４】
次に、飛程の射影Ｒｐについて、上記の式（３９）を２次まで展開した解を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) とおくと、
【数４８】
となる。
但し、Ωｎ2 ＝∫Ｔｎ2 ｄσｎ，Ωｅ2 ＝∫Ｔｅ2 ｄσｅ
を利用している。なお、一般に、Ωｅ2 ≪Ωｎ2 であるので、実際の計算ではΩｅ2 は無視する。
【００５５】
上記の式（６９）は２階の微分方程式になり、解析的に解くことはできない。そこで摂動近似で２次の近似式〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) と摂動項Δｐ(2) を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ） ・・・（７０）
と表現する。
【００５６】
この式（７０）を上記の式（６９）に代入し、Ω2 とΔｐ(2) の積は３次の微小項と見なして落としたのち、上記の１次展開に関する式（４０）を利用することによって、
【数４９】
が得られ、これより、摂動項Δｐ(2) は、下記の式（７２）で表される。
【数５０】
但し、式（７２）におけるζｐ(2) （Ｅ）は下記の式（７３）で表される。
【数５１】
【００５７】
このように、未知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) と摂動項Δｐ(2) により近似することによって、飛程の射影Ｒｐの２次の摂動モデルによる値〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を数値的に計算することが可能になる。
【００５８】
次に、ΔＲｐとΔＲｐｔについて検討する。
まず、式（５１）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒｃ 2 （Ｅ）〉(2) とおくと、下記の式（７４）が得られる。
【数５２】
ここで、未知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) と摂動項Δｃ2(2)を用いて、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｃ2(2) ・・・（７５）
とおいて、上記の式（７４）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ／Ｎ＝２｛〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）｝／Ｎ であるので、下記の式（７６）となる。
【数５３】
【００５９】
したがって、摂動項Δｃ2(2)は、下記の式（７７）となる。
【数５４】
但し、式（７７）におけるζｃ(2) （Ｅ）は下記の式（７８）で表される。
【数５５】
【００６０】
次に、式（５２）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) とおくと、下記の式（７９）が得られる。
【数５６】
ここでも、未知の〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) と摂動項Δｒ2(2)を用いて、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｒ2(2) ・・・（８０）
とおいて、上記の式（７９）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ／Ｎ＝２｛〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）｝／Ｎ
であるので、下記の式（８１）となる。
【数５７】
【００６１】
したがって、摂動項Δｒ2(2)は、下記の式（８２）となる。
【数５８】
但し、式（８２）におけるζｒ(2) （Ｅ）は下記の式（８３）で表される。
【数５９】
【００６２】
以上のパラメータを用いて、２次の摂動モデルによるΔＲｐ(2) ，ΔＲｐｔ(2) を、Ｌｉｎｄｈａｒｔが１次の摂動モデルで利用したように、
〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉＝〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉＋〈Ｒｐ（Ｅ）〉2
＝｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉＋〈Ｒｒ2（Ｅ）〉｝／３−〈Ｒｐ（Ｅ）〉2
・・・（８４）
〈ＲＴ2 （Ｅ）〉 ＝２｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉−〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉｝／３
・・・（８５）
〈ΔＲｐｔ2 （Ｅ）〉＝〈ＲＴ2 （Ｅ）〉／２ ・・・（８６）
で評価する。但し、２次の場合には、１次と異なり、２次摂動モデルであることを意識して表記すると、上記の式（８４）の第１式は、
〔〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｐ2 (2) 〕
＝〔〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｐ2 (2) （Ｅ）〕
−〔〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）〕2 ・・・（８７）
となる。
また、式（８５）及び式（８６）も同様である。
【００６３】
以上の結果を纏めると、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) 及びΔｐ(2) は、下記の式（８８）で与えられる。
【数６０】
ここで、ζｐ(1) 及びζｐ(2) に関しては、下記の式（８９）及び式（９０）であり、ζｐ(1) の場合が〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) を表し、ζｐ(2) の場合がΔｐ(2) を表す。
【数６１】
【００６４】
また、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) 及びΔｃ2(2)は、下記の式（９１）で与えられる。
【数６２】
ここで、ζｃ2(1)及びζｃ2(2)に関しては、下記の式（９２）及び式（９３）であり、ζｃ2(1)の場合が〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) を表し、ζｃ2(2)の場合がΔｃ2(2)を表す。
【数６３】
【００６５】
また、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) 及びΔｒ2(2)は、下記の式（９４）で与えられる。
【数６４】
ここで、ζｒ2(1)及びζｒ2(2)に関しては、下記の式（９５）及び式（９６）であり、ζｒ2(1)の場合が〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) を表し、ζｒ2(2)の場合がΔｒ2(2)を表す。
【数６５】
【００６６】
以上の２次の拡張ＬＳＳ理論を基にして、各モーメントを飛程Ｒに関連づけていく。ＬＳＩプロセスで利用されるエネルギー領域は通常は数１０ｋｅＶ以下であるがであるが、ウェル形成には１ＭｅＶ程度のＢ，Ｐイオン注入が利用される。そこで、ここでは、Ｂ，Ａｓ，Ｐで１ＭｅＶまでのエネルギー領域の近似モデルを導出していく。
【００６７】
図１（ａ）は注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図であり、Ａｓの飛程Ｒは単調にエネルギーに比例している。Ｐの飛程Ｒもほぼ同様であるが、Ｂの飛程Ｒは１００ｋｅＶ以下とそれ以上では明らかに傾きが異なる。これらの不純物による依存性の違いは電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎの比に依存すると思われる。そこで、両阻止能が同じになるエネルギーＥ１で規格化した状態で依存性をみてみる。
【００６８】
図１（ｂ）は、飛程Ｒの規格化エネルギー依存性の説明図であり、ここでは、飛程ＲもＥ／Ｅ１＝１００における飛程Ｒ（Ｅ／Ｅ１＝１００）で規格化している。図から明らかなように、各不純物におけるＥ１は、Ｂで７ｋｅＶ、Ｐで９８ｅＶ、Ａｓで６９７ｅＶである。よってカバーするエネルギー領域はＢで１５０Ｅ１、Ｐで１０Ｅ１、Ａｓで２Ｅ１程度である。
【００６９】
このような規格化により、Ｂ，Ｐ，ＡｓのＲのエネルギー依存性はほぼユニバーサルな依存性を示す。Ｅ／Ｅ１が１０以下では飛程ＲはエネルギーＥにほぼ比例し、それ以上ではＥ1/2 に比例することが読み取れる。この依存性を後の近似で利用していく。
【００７０】
上記の式（８８）、式（９１）及び式（９４）から分かるように、各モデルは一般形として、下記の式（９７）の項を含む。
【数６６】
ここで、係数νはＲｐでは１、Ｒｃ2 （Ｅ）では０、Ｒｒ2 （Ｅ）では３である。
【００７１】
ここで、積分するエネルギー領域をＳｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）が一定と近似できるように小さくとり、その値をｒｓとおくと、式（９７）においてＳｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）＝ｒｓとすると１／Ｅ′の積分になるので、下記の式（９８）と簡単化される。
【数６７】
【００７２】
後述するように、最終的に導出されるモデル式は任意の領域および領域数を扱うことができるが、ここでは、図２に示すように、Ｅ／Ｅ１＝１，５，１０を区切りの領域とする。１０以上の場合はＲのエネルギー依存性から電子阻止能Ｓｅが支配的、即ち、ｒｓ＝０とする。
【００７３】
上記の式（９７）の結果はＥ′の関数となる。それが、式（９８）の中でＥ′が０からＥまでの範囲で積分される。したがって、式（９７）が式（９８）の中でどのようになっていくかをエネルギーＥとＥ′の領域の場合分けを解析していく。表記の簡単化を図るために、
Ｅ２＝５Ｅ１，Ｅｈ＝１０Ｅ１
とする。Ｅｈはこのエネルギー以降は電子阻止能Ｓｅが支配的として扱う区切りのエネルギーである。
【００７４】
次に、入射エネルギーＥを場合分けして、上記の式（９７）の計算結果を示す。
（ａ）Ｅ≦Ｅ１の場合、下記の式（９９）となる。
【数６８】
【００７５】
（ｂ）Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合はさらに場合分けして、
（ｂ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１００）となり、
【数６９】
（ｂ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０１）となる。
【数７０】
【００７６】
（ｃ）Ｅ２＜Ｅ≦Ｅ１の場合にも場合分けして、
（ｃ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１０２）となり、
【数７１】
（ｃ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０３）となり、さらに、
【数７２】
（ｃ−３）Ｅ２＜Ｅ′≦Ｅｈの場合には、下記の式（１０４）となる。
【数７３】
【００７７】
（ｄ）Ｅ3 ＜Ｅの場合にも場合分けして、
（ｄ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１０５）となり、
【数７４】
（ｄ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０６）となり、さらに、
【数７５】
（ｄ−３）Ｅ２＜Ｅ′≦Ｅｈの場合には、下記の式（１０７）となる。
【数７６】
【００７８】
なお、
（ｅ）Ｅ′＞Ｅｈの場合には、電子阻止能Ｓｅが支配的になり、Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）はほぼ０にかるので、下記の式（１０８）で近似される。
【数７７】
【００７９】
次に、二次の核阻止能（エネルギーストラッグリング）Ωｎ2 について検討する。２次の摂動項の中には二次の核阻止能Ωｎ2 が含まれるが、これを１次の核阻止能Ｓｎと近似的に関連づける。
【００８０】
１次の核阻止能Ｓｎ及び二次の核阻止能Ωｎ2 はそれぞれユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）とユニバーサルなエネルギーストラッグリングΩｎ2 （ε）と、下記の式（１０９）及び式（１１０）で関連づけられる。ここでａＵは上記の式（４）の関連で説明した遮蔽距離、εは換算エネルギーである。
【数７８】
なお、Ｓｎ（ε）、Ωｎ2 （ε）はそれぞれ上記の式（５６）及び式（５９）で与えられ、式中における係数γは、γ＝4Ｍ１Ｍ２／(Ｍ１＋Ｍ２)２である。ここで、ｆ（ρ）はポテンシャルの遮蔽関数であり、拡張ＬＳＳ理論ではＺＢＬのモデル式を利用していた。ここでは、Ωｎ2 をＳｎに関連づけるために、より簡単な遮蔽関数を利用する。
【００８１】
図１（ａ）に示したように、エネルギーの低いところで、飛程ＲがエネルギーＥにほぼ比例するということは、この領域では核阻止能Ｓｎが支配的と考えられるから、〈Ｒ（Ｅ）〉は、下記の式（１１１）で近似される。
【数７９】
【００８２】
つまり、Ｓｎに関していうと、Ｓｎがエネルギーに依存しないということに相当する。Ｓｎがエネルギーに依存しないことはＳｎ（ε）がεに依存しないことと等価である。そのようなＳｎ（ε）を与えるポテンシャルは、
ｆ（ρ）＝κ／ρ ・・・（１１２）
である。
【００８３】
ここでκは適当な正の係数であり、これは以下のように示すことができる。
Ｓｎのｃｏｓ2 の引数の積分をＱとおくと、下記の式（１１３）で表される。
【数８０】
但し、
ｃ2 ＝κ／ε＋η2 ・・・（１１４）
である。
【００８４】
ここで、ρを変数変換して、
ｘ＝１／ρ，ｄｘ＝−ｄρ／ρ2 ・・・（１１５）
とするとの、変域は、
ρ：ρｍｉｎ→∞
ｘ：ｘ０（＝１／ρｍｉｎ）→０
となる。
【００８５】
よって、式（１１３）の積分は、下記の式（１１６）となる。
【数８１】
【００８６】
これより、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（１１７）となる。
【数８２】
ここで、下記の式（１１８）の変数変換を行うと、下記の式（１１９）となる。
ｙ＝εη2 ／κ ・・・（１１８）
【数８３】
但し、式（１１９）におけるＩ２は、下記の式（１２０）である。
【数８４】
【００８７】
一方、エネルギーストラッグリングΩｎ2 （ε）は、同じポテンシャルを用いて下記の式（１２１）となる。
【数８５】
但し、式（１２１）におけるＩ４は、下記の式（１２２）である。
【数８６】
【００８８】
したがって、エネルギーストラッグリングΩｎ 2 （Ｅ）と核阻止能Ｓｎ（Ｅ）の比Ωｎ2 （Ｅ）／Ｓｎ（Ｅ）は、下記の式（１２３）で表される。
【数８７】
【００８９】
これはκに依存しない一般的な形式になっている。しかしながらＩ２及びＩ４はポテンシャルに依存する。したがって拡張ＬＳＳ理論で利用するＺＢＬポテンシャルではこの値と異なる可能性があるので、これを下記の式（１２４）で表されるＺＢＬポテンシャルの場合の値から評価する。
【数８８】
【００９０】
図３（ａ）は、Ｉ４／Ｉ２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図であり、図３（ｂ）は、各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ１との相関図である。この解析でカバーしようとしている１ＭｅＶ以下のエネルギー領域はεで１０-1＜ε＜１０3 に相当する。したがって、その比は１〜０．２程度である。
【００９１】
これを近似的に扱うためにパラメータχを導入する。即ち、上記の式（１２３）にフィッティングパラメータχを加えることによって、下記の式（１２５）が得られる。
【数８９】
また、全阻止能に対する核阻止能の比Ｓｎ（Ｅ）／（Ｓｎ（Ｅ）＋Ｓｅ（Ｅ））を下記の式（１２６）のように、ｒｓで置き換えると、下記の式（１２７）が得られる。
【数９０】
【００９２】
この式（１２７）によりエネルギーストラッグリングΩｎ2 はフィッティングパラメータχにより飛程〈Ｒ（Ｅ）〉と関連付けられる。
なお、ここで表記を簡単化するために、下記の式（１２８）で表されるξｉを導入する。
【数９１】
【００９３】
以上の近似を利用して、次に、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）を簡単化していく。まず、〈Ｒｐ（Ｅ）〉について、上記の式（８８）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ａ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は、
∫ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］−∫Ｆ（ｘ）（ｄｇ（ｘ）／ｄｘ）ｄｘの公式を用いて解くことにより、下記の式（１２９）として得られる。
【数９２】
ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉がＥに比例することを利用している。この式（１２９）から、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) もＥに比例すると近似される。
【００９４】
次に、２次の摂動項Δｐ(2) は、下記の式（１３０）となる。
【数９３】
但し、式（１３０）におけるＮζｐ(2) （Ｅ）は、下記の式（１３１）である。
【数９４】
つまり、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるので、Ｎζｐ(2) （Ｅ）は、エネルギーＥに依存しないと近似することができる。
【００９５】
この式（１３１）を式（１３０）に代入して計算すると、下記の式（１３２）となり、したがって、２次の摂動項Δｐ(2) もエネルギーＥに比例していると近似できる。最初の式における右辺はＥに比例する関数であり、したがって、２回微分で０になる。
【数９５】
【００９６】
（Ａ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３３）となる。
【数９６】
【００９７】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、下記の式（１３４）となる。
【数９７】
この積分を実行する際に、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるのでエネルギーＥに依存しないと近似している。厳密には、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) には（Ｅｐ／Ｅ）の（ｒｓ２μ／２）乗の項が含まれるため正しくない。
【００９８】
しかしながら、もし、ｒｓ１とｒｓ２が等しければこの項は消失する。即ち、（Ｅ１／Ｅ）の（ｒｓ２μ／２）乗の項は微小項であると考えられる。実際は、ｒｓ１とｒｓ２は異なるため、無視はできないが、ここでは簡単化のこの近似を用いて積分している。このため、ｒｓの値はこの近似を救う役割も担っていると考えられる。以後も同様な近似を利用していく。
【００９９】
（Ａ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３５）となる。
【数９８】
【０１００】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、同様にして下記の式（１３６）となる。
【数９９】
【０１０１】
（Ａ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３７）となる。
【数１００】
【０１０２】
ここで、式（１３７）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓｅのみを考慮するので、電子阻止能Ｓｅと関連する飛程Ｒｍａｘを下記の式（１３８）で定義し、
【数１０１】
電子阻止能を下記の式（１３９）とする。
【数１０２】
【０１０３】
上記の式（１３９）を式（１３８）に代入すると、下記の式（１４０）が得られ、これは、Ｅ＞Ｅｈのエネルギー領域では飛程Ｒｍａｘがエネルギーの平方根に比例することを表している。
【数１０３】
【０１０４】
したがって、最後の積分は、下記の式（１４１）となる。
【数１０４】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、
Δｐ(2) ＝Δｐ(2) （Ｅｈ） ・・・（１４２）
となる。
【０１０５】
次に、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉について、上記の式（９１）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｂ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は、下記の式（１４３）として得られる。
【数１０５】
ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉及び〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) がＥに比例することを利用している。また、この式（１４３）から、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) がＥ2 に比例すると近似できることがわかる。
【０１０６】
次に、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１４４）となる。
【数１０６】
但し、式（１４４）におけるＮζｃ2(2)（Ｅ）は、下記の式（１４５）である。
【数１０７】
つまり、Ｎζｃ2(2)（Ｅ）は、エネルギーＥに比例すると近似することができる。
【０１０７】
この式（１４５）を式（１４４）に代入して計算すると、下記の式（１４６）となり、したがって、２次の摂動項Δｃ2 (2) もエネルギーＥ2 に比例する。
【数１０８】
【０１０８】
（Ｂ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１４７）となる。
【数１０９】
【０１０９】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１４８）となる。
【数１１０】
この積分を実行する際に、ζｃ2(2)（Ｅ）はエネルギーＥに比例すると近似している。
【０１１０】
（Ｂ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１４９）となる。
【数１１１】
【０１１１】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１５０）となる。
【数１１２】
【０１１２】
（Ｂ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１５１）となる。
【数１１３】
【０１１３】
ここで、式（１５１）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓｅのみを考慮するので、上述の式（１４１）と同様に、下記の式（１５２）となる。
【数１１４】
【０１１４】
上記の式（１５２）を式（１５１）に代入すると、下記の式（１５３）が得られる。
【数１１５】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、
Δｃ2 (2) ＝Δｃ2 (2) （Ｅｈ） ・・・（１５４）
となる。
【０１１５】
次に、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉について、上記の式（９４）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｃ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は、下記の式（１５５）として得られる。
【数１１６】
【０１１６】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１５６）となる。
【数１１７】
但し、式（１５６）におけるζｒ2(2)（Ｅ）は、下記の式（１５７）である。
【数１１８】
つまり、ζｒ2(2)（Ｅ）は、エネルギーＥに比例する。
【０１１７】
この式（１５７）を式（１５６）に代入して計算すると、下記の式（１５８）となる。
【数１１９】
【０１１８】
（Ｃ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１５９）となる。
【数１２０】
【０１１９】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１６０）となる。
【数１２１】
【０１２０】
（Ｃ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１６１）となる。
【数１２２】
【０１２１】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１６２）となる。
【数１２３】
【０１２２】
（Ｃ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１６３）となる。
【数１２４】
【０１２３】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、
Δｒ2 (2) ＝Δｒ2 (2) （Ｅｈ） ・・・（１６４）
となる。
【０１２４】
以上の説明では、説明を簡単にするために、エネルギー領域をＥ１，Ｅ２＝５Ｅ１，Ｅｈ＝１０Ｅ１と４つに区切ってモデルを導出し、それで充分な精度のモデル式になっていることをみてきた。モデルの導出過程をみると、更に細かく領域を分割して精度を上げることも、荒く分割しておおまかな情報を得ることもできるように一般化しておく。
【０１２５】
図４は、モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図であり、エネルギー領域は、
Ｅ1，ｊ＝ｆｊ×Ｅ１ ・・・（１６５）
で分離する。ｆｊは自然数である必要はないが、j に関して単調増加する数であるとする。ここで
Ｅ１，０＝ｆ０×Ｅ１＝０ ・・・（１６６）
つまり、ｆ０＝０とし、また、電子阻止能が支配的になるとする境界のエネルギーＥ１h はここでは
Ｅ１，ｈ＝ｆｈ×Ｅ１ ・・・（１６７）
と表現しなおす。
【０１２６】
モデルの導出の際にはｆｈ＝１０としていたが、これは任意の値を設定できる。この電子阻止能が支配的な領域では、
ｒｓ＝χ＝０ ・・・（１６８）
とする。すると上述の各モーメントパラメータは以下のように全エネルギー領域で一般的な表現で記述できる。
【数１２５】
【実施例１】
【０１２７】
以上を前提として、ここで、図５乃至図９を参照して、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法を説明する。図５は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートであり、まず、
ａ．基板種、注入不純物種、注入エネルギー、及び、ドーズ量からなる注入条件を入力する。次いで、上記の式（１２９）乃至式（１６４）で説明したように、
ｂ．簡略化した２次の摂動モデルを用いて１次のモーメントである飛程の射影Ｒｐと、２次のモーメントである射影ＲｐのストラッグルΔＲｐ及び横方向のストラッグルΔＲｐｔを求める。次いで、
ｃ．求めたＲｐとΔＲｐから１次元分布のガウス分布を発生させるとともに、Ｒｐ、ΔＲｐ及びΔＲｐｔから２次元のガウス分布を発生させる。
【０１２８】
図６は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図であり、ＳＩＭＳ及び他のモデルと比較したものである。図から明らかなように、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）は実験データであるＳＩＭＳを良く再現している。また、本発明のモデルもＳＩＭＳをほぼ再現できている。
【０１２９】
但し、本発明のモデルでは、３次のモーメントγをγ＝０としているので、分布の非対象性が表現できない。本発明のモデルと２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）の違いはこのγの違いに起因し、ここで扱っているＲｐとΔＲｐに関しては両モデルの一致が良いことが後で示される。なお、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルはピーク位置は合っているが、幅、即ち、ΔＲｐが大分大きくなっている。
【０１３０】
以上の結果から、Ｅ２ＬＳＳは実験データを良く再現していることが分かる。より、広汎なデータに対しても良く一致することが示されているので、そこで、Ｅ２ＬＳＳの各パラメータとの比較で本発明のモデルの精度を評価する。なお、ここでは、５０ｋｅＶ以下の比較的エネルギーの低い領域と、カバーしようとしている最大値１ＭｅＶまでの高エネルギー領域の２つの場合について見ていく。
【０１３１】
図７は、Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図７（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図７（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。なお、区分した各エネルギー領域におけるｒｓ及びχの値は図に示しており、後述するＰ及びＡｓの場合も同様である。なお、ここでは、ｒｓ１＝０．９，ｒｓ２＝０．４，ｒｓ３＝０．２，χ１＝０．６５，χ２＝０．３０，χ３＝０．０５としている。
【０１３２】
図７（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、図７に併せて表示しているＬｉｎｄｈａｒｄのモデル式はＲｐは小さめ、ΔＲｐは大きめになっている。このモデルは核阻止能が支配的と仮定しているため、Ｂの場合のＥ１＝７Ｖ以下では比較的精度が高い。
【０１３３】
また、本発明のモデルは、図７（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、核阻止能が支配的でないこのような領域では大分精度が落ちることが分かる。
【０１３４】
図８は、Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図８（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図８（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図８（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、ΔＲｐは大きめになっているが、Ｂの場合より良い。
【０１３５】
また、本発明のモデルは、図８（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、Ｂの場合と同様に、低エネルギー領域より大分精度が落ちることが分かる。
【０１３６】
図９は、Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図９（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図９（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図９（ａ）に示すように、Ｒｐに関しては本発明のモデルは、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルともほぼＥ２ＬＳＳのデータを再現しているが、全体的に大きめに予想している。ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果をほぼ再現しているが全体に小さめである。Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデル式ΔＲｐは大きめになっている。
【０１３７】
また、本発明のモデルは、図９（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルのＲｐモデルはこの場合は精度が高い。Ａｓの場合はＥ１が６００ｋｅＶ程度のため、核阻止能が支配的という近似が有効なためである。ＬｉｎｄｈａｒｄのΔＲｐに対するモデルはこの場合でも大き目となっている。
【実施例２】
【０１３８】
次に、図１０乃至図１３を参照して、さらなる簡易モデルに関する本発明の実施例２のイオン注入分布発生方法を説明する。ここでは、２次の拡張モデルを簡単化してモデルを導出した。１次のモデルでは精度がΔＲｐの精度が悪いことが指摘されているからである。ここでは、簡易モデルでその精度とオーダーの関係を解析をしていく。
【０１３９】
図１０乃至図１２に２次の拡張ＬＳＳ理論と１次の簡易ＬＳＳ理論の比較を示す。図１０は、ＢのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１０（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１０（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１０（ａ）及び（ｂ）に示すようにＢの場合はＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともに精度が高い。なお、ここでも、ｒｓ１＝０．９，ｒｓ２＝０．４，ｒｓ３＝０．２としている。
【０１４０】
図１１は、ＰのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１１（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１１（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１１（ａ）及び（ｂ）に示すようにＰの場合はＲｐ, ΔＲｐｔの精度は高いが、ΔＲｐは大分小さくなる。
【０１４１】
図１２は、ＡｓのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１２（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１２（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１２（ａ）及び（ｂ）に示すようにＡｓの場合もＲｐ, ΔＲｐｔの精度は高いが、ΔＲｐは大分小さくなり、Ｐの場合より精度が悪くなる傾向を示している。
【０１４２】
ここで、Ｅ＜Ｅ１の低エネルギー領域における１次簡易モデルの各モーメントを具体的に書き下すと、下記の式（１７５）乃至式（１７７）で表される。
【数１２６】
【０１４３】
上記の式（１７５）乃至式（１７７）はさらに簡単に下記の（１７８）乃至式（１８０）で表現される。
【数１２７】
ここで、各係数ｆ（μ）は対応する式から容易にわかる。
【０１４４】
式（１７６）に示すように、〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉の１次の項の分母にμ2 があるため、μが小さい場合はこれが２次の微少量に実効的になり、２次の項と大きさが同程度になることがわかる。このため、μの大きなＢでは精度が高く、小さなＡｓでは精度が悪くなることが理解される。
【０１４５】
これに比較し、式（１７７）に示すように、〈ΔＲｐｔ2 （Ｅ）〉では１次の分母はμであり、この場合は実効的に１次の微少量であり、２次の項よりは大きさを保っていることが理解される。
【０１４６】
以上をより詳しく解析するため、これらの係数の依存性の１次と２次近似の比較を図１３に示す。図１３は、各係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ａ）はＲｐに関する係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ｂ）はΔＲｐ及びΔＲｐｔに関する係数のμ依存性の説明図である。なお、μは上述のようにμ＝Ｍ１／Ｍ２である。
【０１４７】
図１３（ａ）に示すように、Ｒｐにおいては、式（１７５）から分かるように１次の項が常に支配的であるため、Ｒｐは１次近似で充分いい精度が期待できる。
【０１４８】
また、図１３（ｂ）に示すように、ΔＲｐでは、１次近似は大きなμで精度がよくなっていくが、小さなでμは半分程度になってしまうことがわかる。これは、前に指摘したように１次の項のμの最低次数がμ2 であることに起因する。また、同じく図１３（ｂ）に示すように、ΔＲｐｔ（Ｅ）では、ΔＲｐと異なり、μの最低次数がμであることに起因して、全てのμにおいて１次近似の精度が高い。
【０１４９】
この図１３（ｂ）から明らかなように、ΔＲｐとΔＲｐｔはμ〜１．５を境に大小が逆転する。しかしながら、両者はほぼ等しいと見做して良い。これはＲｐの周りで全方散乱が起きていると近似できることを意味する。したがって、
ΔＲｐ≒ΔＲｐｔ
と近似すれば、１次の項のみでモーメントが記述できる。
【０１５０】
即ち、Ｅ＜Ｅ１のエネルギー範囲では、各モーメントは、下記の式（１８１）及び式（１８２）となる。この扱いは、低エネルギー領域のみならず、高エネルギー領域でも良い近似になっている。
【数１２８】
【実施例３】
【０１５１】
次に、イオン濃度分布に関する本発明の実施例３を説明する。本発明者等は、ｘを基板の深さ方向、Φを注入するイオンのドーズ量、Φｃｈａｎをチャネルドーズ量、ｎａ（ｘ）を非晶質パートの分布関数、ｎｃ（ｘ）をチャンネリングパートの分布関数とすると、下記の式で表されるテール関数Ｎ（ｘ）からイオン注入分布を発生させる際に、非晶質層中のイオン分布から抽出したモーメントパラメータ、イオンの飛程の注入方向の射影を表すパラメータＲｐ、ＲｐのストラッグリングΔＲｐ、注入イオン分布の左右非対称性を表すパラメータγ、注入イオン分布のピークの鋭さを表すパラメータβを前記テール関数のＲｐ、ΔＲｐ、γ、βとして用いるイオン注入分布発生方法を提案している（必要ならば、特願２００８−０５９０７０参照）。
Ｎ（ｘ）＝（Φ＋Φｃｈａｎ）ｎａ（ｘ）＋Φｃｈａｎｎｃ（ｘ）
但し、ｎａ（ｘ）及びｎｃ（ｘ）は、ｈｍａ（ｘ），ｈｍｃ（ｘ）を前記の同じモーメントパラメータＲｐ、ΔＲｐ、γ、βを持つピアソン関数、ｘＴ＝Ｒｐ＋ΔＲｐ、κを比例係数とした場合に、
ｎｐ（ｘ）＝ｈｍａ（ｘ）
ｎｃ（ｘ）＝ｈｍｃ（ｘ）：ｘ＜ｘＴ
ｎｃ （ｘ）＝κ〔ｈｍｃ（ｘ）＋ｈＴｃ（ｘ）〕：ｘ＞ｘＴ
で表され、且つ、ピーク濃度位置をｘｐｃ、Ｌをイオン注入分布のテールの広がりを表すパラメータ、α（なお、ｈＴｃ（ｘ）においては便宜的にａを用いる）をイオン注入分布のテールの広がりの形状を表すパラメータ、ηを係数とすると、
ｈＴｃ（ｘ）＝ｈｍｃ（ｘｐｃ）ｅｘｐ｛−（ｌｎη）〔（ｘ−ｘｐｃ）a ／Ｌ〕｝
【０１５２】
ここで、３次のモーメントγ及び４次のモーメントβを０として、２次のモーメントまでを用いたテール関数Ｎ（ｘ）において、テール関数Ｎ（ｘ）のアモルファスパートの分布関数ｎａ（ｘ）を、上記の実施例２で求めた１次の項のみのモーメントで記述される〈Ｒｐ（Ｅ）〉、〈ΔＲｐ（Ｅ）〉及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉を用いて表すことによって、容易に不純物濃度分布をＧａｕｓｓ分布として表すことができる。
【０１５３】
ここで、実施例１乃至実施例３を含む本発明の実施の形態に関して、以下の付記を開示する。
（付記１） エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δｐ(2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
（付記２） 前記半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した偏差ΔＲｐ（Ｅ）(2) を、２次の項まで考慮した既知の飛程Ｒｐの横方向広がりを〈ＲＴ2 （Ｅ）〉(2) とした時、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉≡〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉＋〈ＲＴ2 （Ｅ）〉、及び、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉≡〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉−〈ＲＴ2 （Ｅ）〉／２
で定義される、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉及び〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉を用い、それぞれ、１次の項まで考慮した既知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) 、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) 、摂動項Δｃ2(2)（Ｅ）及び摂動項Δｒ2(2)（Ｅ）を用いて、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｃ2(2)（Ｅ）、及び、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｒ2(2)（Ｅ）
と近似した〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) 、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) と前記〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(2) を用いて
〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉(2) ＝｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＋２〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ｝／３
−〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(2)
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
（付記３） 前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記４） エネルギーストラッグリングΩｎ2 （Ｅ）を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記５） 前記エネルギーストラッグリングΩｎ2 （Ｅ）を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記６） 前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記７） 前記〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) として、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) の近似式を用いることを特徴とする請求項１乃至６のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記８） 前記射影Ｒｐのストラッグリング〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び横方向のストラッグリング〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) として、〈Ｒｐｔ（Ｅ）〉(1) の近似式を用いることを特徴とする請求項７記載のイオン注入分布発生方法。
（付記９） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させることを特徴とするシミュレータ。
（付記１０） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 、ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) を用いて二次元濃度分布を発生させることを特徴とするシミュレータ。
【図面の簡単な説明】
【０１５４】
【図１】注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図である。
【図２】エネルギー領域区分の説明図である。
【図３】Ｉ４／Ｉ２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図及び各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ１との相関図である。
【図４】モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図である。
【図５】本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートである。
【図６】本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図である。
【図７】Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図８】Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図９】Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図１０】１次簡易近似のＢのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１１】１次簡易近似のＰのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１２】１次簡易近似のＡｓのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１３】各係数のμ依存性の説明図である。
【図１４】計算モデルである。
【図１５】イオンの飛程Ｒの模式図である。
【図１６】Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図である。
【技術分野】
【０００１】
本発明はイオン注入分布発生方法に関し、２次の拡張ＬＳＳ理論におけるモーメントを簡単な解析式で表現し、計算速度を向上するとともにモデル式の組み込みを容易にするための手法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
シリコン集積回路装置において、シリコン基板への不純物の導入はイオン注入で行われるのが一般的である。
このようなシリコン集積回路装置のプロセス構築に際しては、必要な素子構造を得るためのイオン注入条件を決定する必要があるが、このようなイオン注入条件をシミュレーションにより決定することが行われている。
非晶質層へのイオン注入分布を理論的に予想する手段としてＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ がある。これは、入射イオンと基板との相互作用を、核阻止能及び電子阻止能の物理に基づいて、入射イオンの軌跡を追跡していくものである。
【０００３】
この理論は、任意のイオンを任意の基板にイオン注入した場合の一般的な場合にも有効であり、電子阻止能をチューニングすればその精度をさらに向上させることができる。図１４は、計算モデルであり、質量数Ｍ１，原子番号Ｚ１，エネルギーＴ１ｉ（速度ｖ１ｉ）のイオンが、基板を構成する質量数Ｍ２，原子番号Ｚ２の原子と相互作用して伝達するエネルギーＴ２ｆは、散乱角度をΦ、相互作用後のイオンの速度をν１ｉ、基板原子の速度をν２ｉとすると、
Ｔ２ｆ／Ｔ１ｉ＝２Ｍ２ν２ｉ2 ｓｉｎ2 （Φ／２）／〔（１／２）Ｍ１ν１ｉ2 〕
＝（４Ｍ２／Ｍ１）｛〔Ｍ１ｖ１ｉ／（Ｍ１＋Ｍ２）〕2 ／ν１ｉ2 ｝×ｓｉｎ2 （Φ／２）＝〔４Ｍ２Ｍ１／（Ｍ１＋Ｍ２）2 〕ｓｉｎ2 （Φ／２）・・・（１）
と表現される。
【０００４】
ここで、イオンと基板原子の距離をｒ、衝突パラメータをｂ、ポテンシャルエネルギーをＶ（ｒ）とすると、伝達エネルギーＴ２ｆは、下記の式（２）として求まる。
【数１】
つまり、注入されたイオンは、核との相互作用により、
ΔＥｎ＝Ｔ２ｆ
のエネルギーを失う。
【０００５】
また、相互作用に伴う散乱角度Φは、下記の式（３）で表される。
【数２】
ここで、半径ｂの円周上の位置、即ち角度θは、Ｒａｎｄ（ｎ）をｎが０から１の間の乱数とすると、
θ＝２πＲａｎｄ（ｎ）
の関係から求まる。
【０００６】
これにより、衝突後のエネルギーと方向が決まる。次に、新たに注入エネルギーで同様の計算を繰り返し、イオンの軌跡をトレースしていけば良い。しかし、実際の衝突のたびに、上記の式（３）で表される積分を毎回実行するのは計算コストが膨大になるため、ＺｉｅｇｌｅｒはＭａｇｉｃ ｆｏｒｍｕｌａを提案し、この積分を簡単なプロトコルで解いている。また、シミュレータＴＳＵＰＲＭでは、計算結果をテーブル化しその内挿でこの値を評価している。
【０００７】
なお、上記の式（３）における各パラメータを規格化したユニバーサルな変数で表すと、下記の式（４）で表される。
【数３】
但し、ａＢをボーア径とすると、
ρ＝ｒ／ａＵ，
η＝ｂ／ａＵ，
ａＵ＝０．８８５４ａＢ／（Ｚ１0.23 ＋Ｚ２0.23 ）
である。また、エネルギーは、
ε＝Ｅｃ／（Ｚ１Ｚ２ｅ2 ／ａＵ）
Ｅｃ＝（１／２）Ｍc ｖ１ｉ2
１／Ｍｃ＝１／Ｍ１＋１／Ｍ２
である。
また、ポテンシャルエネルギーＶ（ｒ）として、下記のＺｉｅｇｌｅｒ−Ｌｉｔｍａｒｋ−Ｂｉｅｒｓａｋ（ＺＬＢ）のポテンシャルエネルギーを用いる（例えば、非特許文献１参照）。
Ｖ（ｒ）＝（ｅ2 Ｚ１Ｚ２／ｒ）ｆ（ρ）
但し、
【数４】
【０００８】
しかしながら、上述の計算コスト低減の手法を導入しても、Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーションは、粒子の各軌跡を追うため、統計誤差を減らすためには数万個以上の計算をする必要があり、時間がかかるという問題がある。
【０００９】
そこで、電子阻止能Ｓｅ、核阻止能Ｓｎが与えられた時、イオン注入分布が従うべき積分方程式が、Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｓｃｈａｒｆ，Ｓｃｈｉｏｔｔによって提案され（例えば、非特許文献２参照）、このモデルはＬＳＳ理論と呼ばれている。
【００１０】
この理論では、粒子の軌跡を追跡することなしに注入条件が決まれば、積分方程式を解くことによって分布の任意の次数の分布モーメントのエネルギー依存性までを即座に計算できる。
【００１１】
この場合、積分方程式を展開し、微分方程式に還元し、それを解いていく必要があり、そのステップで近似が入る。
即ち、伝達エネルギーが初期エネルギーに比べて小さいと仮定してモーメントをエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、この展開する次数が解くべき微分方程式の階数となる。
【００１２】
また、散乱角度もエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、これは解くべき方程式の係数と関連し階数とは無関係である。解析モデルは一階の線形微分方程式の場合のみ任意の係数で一般的に得られる。
このＬＳＳ理論ではモーメントに関しては１次、散乱角度に関しては２次までＴａｙｌｏｒ展開し、線形１階の微分方程式を解き飛程Ｒの射影Ｒｐ及びそのストラッグリングΔＲｐの解析モデル式を導出している。
【００１３】
ここで、図１５を参照して、ＬＳＳ理論における注入イオンの飛程Ｒに関する積分方程式を説明する。
図１５はイオンの飛程Ｒの模式図であり、エネルギーＥで注入されたイオンは基板原子と相互作用しながらエネルギーを失い方向を変えながら図に示すように進んでいき、全エネルギーを失い基板中で静止する。
【００１４】
この時、イオンが進んだ軌跡の線積分を飛程Ｒとし、飛程Ｒの注入方向への射影をＲｐ、横方向への広がりをＲＴとする。
また、横方向への広がりのｘ成分をΔｘ、ｙ成分をΔｙとする。
なお、横方向への広がりは、図面及び以降の積分方程式或いは微分方程式においてはＲに「垂直記号」のサフィックスを付けた記号で表すが、明細書本文中では、明細書作成の都合上、「ＲＴ」で表す。
【００１５】
表面に垂直にエネルギーＥでイオン注入されたイオンがＲとＲ＋ｄＲの間で止まる確率をＰ（Ｅ，Ｒ）とする。この場合、
【数５】
である。
また、Ｒに関してｍ次のモーメントを
【数６】
と定義する。
【００１６】
イオンが表面からｄＲ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、
ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ ・・・（８）
であり、そのそれぞれの相互作用でイオンのエネルギーは、
Ｅ−Ｔｎ，Ｅ−Ｔｅ
に減少すると仮定する。
ここで、ｄσｎ，ｄσｅは核阻止能及び電子阻止能と関連する微分断面積である。
【００１７】
よって、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーを失って飛程Ｒに止まる確率は、
【数７】
で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ） ・・・（１０）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲ∫ｄσｎ＋ＮｄＲ∫ｄσｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒ−ｄＲ） ・・・（１１）
となる。よって、
【数８】
となる。
【００１８】
ここで、ｄＲを無限小に持っていく極限を考えると、
【数９】
となる。両辺にＲm をかけてＲについて０から∞まで積分すると、
【数１０】
となる。
【００１９】
式（１４）の左辺を部分積分し、また右辺の積分の順序を入れ換えると、
【数１１】
式（１５）における左辺の第１項は０である。また
【数１２】
と表現するが、これはＲm の期待値に相当する。
【００２０】
ここで、式（１６）を用いると、式（１５）は、
【数１３】
となり、これが飛程Ｒに関するｍ次の積分方程式である。
ここで、飛程Ｒに関しては１次に関してのみ解析する。式（１７）においてｍ＝１とおいて
【数１４】
を得る。これが、飛程Ｒの従うべき積分方程式である。
【００２１】
次に、式１７をＴｎ，Ｔｅ≪Ｅの近似のもとで１次の項までを残し解いていく。この近似は伝達エネルギーが小さいということを仮定をしている。
この場合、核との相互作用に関しては広角散乱を無視する近似に相当し、電子との相互作用に関しては、エネルギーが高いほどＴｅは大きくなる。このため、比較的エネルギーの低い場合に近似の精度は良くなってくる。
この解を１次のものであることを意識して〈Ｒ（Ｅ）〉(1) と表現する。
【００２２】
次に、式（１８）の両辺をＮで割るとともにＴａｙｌｏｒ展開することにより、
【数１５】
となる。ここで、
Ｓｎ＝∫Ｔｎｄσｎ，Ｓｅ＝∫Ｔｅｄσｅ ・・・（２０）
を利用している。式（１９）より、良く知られている、
【数１６】
が導出される。
【００２３】
次に、図１６を参照して、Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係を説明する。
図１６は、Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図であり、エネルギーＥ、角度φで入射したイオンが基板内のＡ点に静止した状況を模式図的に示している。
入射角度０の軸に垂直な面上での横方向の広がりをＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ）とすると、入射方向に垂直な軸に対する射影Ｒｐ（Ｅ）が、入射方向に垂直な面に対する横方向広がりがＲＴ（Ｅ）と考えることができる。よって、
【数１７】
【００２４】
以上の幾何学的関係を基にして、次に、Ｒｐ，ＲＴ，ＲｐＲＴの従うべき積分方程式を導出していく。
エネルギーＥで、角φで散乱されたイオンの射影飛程がＲｐとＲｐ＋ｄＲｐの間で止まる確率をＰｐ（Ｅ，Ｒｐ，ｃｏｓφ）とする。
φ＝０の場合の確率をＰｐ（Ｅ，Ｒｐ）とする。また、Ｒｐに関してｍ次のモーメントを、
【数１８】
と定義する。
【００２５】
入射イオンがｄＲｐ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、飛程Ｒの場合と同様に、
ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ ・・・（２５）
であり、この相互作用でのエネルギーは、
Ｅ−Ｔｎ，Ｅ−Ｔｅ
に減少する。
【００２６】
この場合、電子との相互作用による散乱角は０とみなすので、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーＴｎ，Ｔｅを失ってＲｐに止まる確率は、
【数１９】
で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ） ・・・（２７）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲｐに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲｐ∫ｄσｎ＋ＮｄＲｐ∫ｄσｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒｐ−ｄＲｐ）
・・・（２８）
となる。よって、
【数２０】
となる。
【００２７】
ここで、ｄＲｐを無限小にもっていく極限を考えると、
【数２１】
となり、両辺にＲｍｐをかけてＲｐについて０から∞まで積分すると、
【数２２】
とｍ次の〈Ｒｍｐ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。
【００２８】
次に、分布の横方向への広がりを表すＲＴについて考える。
エネルギーＥ、入射角φで注入されたイオンがＲＴとＲＴ＋ｄＲＴの間に止まる確率をＰＴ（Ｅ，ＲＴ，ｃｏｓφ）とする。
この時、入射角φのイオンがｄＲＴ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、
【数２３】
である。よって、このイオンが相互作用しエネルギーＴｎ，Ｔｅを失ってＲＴに止まる確率は、
【数２４】
で与えられる。
【００２９】
この場合も電子との相互作用では角度の変化はなく、さらにこの場合はＲＴも変化しないことを仮定している。また、ｄＲＴ進む間に衝突しない確率は、
【数２５】
である。この間にエネルギーは失われず、角度も変化しないためＲＴも変化しない。よって、イオンがＲＴに止まる確率は、
【数２６】
となる。
【００３０】
以上より、
【数２７】
となる。
【００３１】
ここで、ｄＲＴを無限小にもっていく極限を考えると、
【数２８】
となり、両辺にＲm ＴをかけてＲＴについて０から∞まで積分すると、
【数２９】
と〈Ｒm Ｔ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。
【００３２】
まず、飛程の射影Ｒｐを求めるために、式（３１）においてｍ＝１とすると下記の式（３９）となる。
【数３０】
ここで、１次のテーラー展開した解を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とおくと、下記の式（４０）となる。
【数３１】
【００３３】
これから、下記の式（４１）が得られる。
【数３２】
但し、α（Ｅ）及びα（Ｅ′）は、下記の式（４２）で表される。
【数３３】
【００３４】
次に、２次のモーメントΔＲｐ及びΔＲｐｔを求めるために、式（３１）及び式（３８）においてｍ＝２とすると下記の式（４３）及び式（４４）となる。
【数３４】
【００３５】
ここで、Ｌｉｎｄｈａｒｔは下記の式（４５）及び式（４６）で定義される変数〈Ｒ2ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ2ｒ（Ｅ）〉を導入した。
【数３５】
【００３６】
〈ΔＲ2ｐ（Ｅ）〉と〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉は、変数〈Ｒ2ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ2ｒ（Ｅ）〉と下記の式（４７）及び式（４８）で関連づけられる。
【数３６】
【００３７】
また、横方向の偏差〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉は〈ΔＸ2 〉と関連し、〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉そのものではない。したがって、
〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉＝〈ΔＸ2 〉＋〈ΔＸ2 〉＝２〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉・・・（４９）
となり、これより、
〈ΔＲ2ｐｔ（Ｅ）〉＝〈Ｒ2Ｔ（Ｅ）〉／２ ・・・（５０）
となる。
【００３８】
Ｌｉｎｄｈａｒｔはこれらの変数を導入することにより、下記の式（５１）及び式（５２）の独立な微分方程式を得ることに成功した。
【数３７】
【００３９】
また、深さ方向のイオン注入分布はＲｐとΔＲｐを用いてＧａｕｓｓ分布で大まかに評価できるが、Ｌｉｎｄｈａｒｔは、核阻止能Ｓｎが支配的であるとして微分断面積を解析的に近似して、下記の式（５３）及び式（５４）で表される近似解を得ている。
【数３８】
なお、μは、μ＝Ｍ１／Ｍ２である。
【非特許文献１】Ｊ．Ｆ．Ｚｉｅｇｌｅｒ，Ｊ．Ｐ．Ｂｉｅｒｓａｃｋ，ａｎｄ Ｕ．Ｌｉｔｔｍａｒｋ，Ｔｈｅ ｓｔｏｐｐｉｎｇ ａｎｄ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｉｏｎｓ ｉｎ ｓｏｌｉｄ，Ｐｅｒｇａｍｏｎ，１８８５
【非特許文献２】Ｊ．Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｍ．Ｓｃｈａｒｆｆ，Ｈ．Ｓｃｈｉｏｔｔ，Ｍａｔ．Ｆｔｓ．Ｍｅｄｄ．Ｖｉｄ．Ｓｃｌｓｋ，ｖｏｌ．３３，ｐｐ．１−３９，１９６３
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００４０】
しかし、ＬＳＳ理論では、積分方程式を解く際に近似が必要で、これまでに提案されているモデルではＲｐは問題ないが、ΔＲｐは格段に精度が落ちるか、計算できないという問題がある。
【００４１】
そこで、本発明者は、ＬＳＳ積分方程式の３次の摂動近似計算によりＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーション結果と同程度の精度の解析モデルを得ることに成功している（必要ならば、特願２００８−０６９５０９参照）。
【００４２】
この高精度のモデルから、Ｒｐ及びΔＲｐについては、２次のオーダーのモデルで充分精度が高いことが示された。しかしながら、この解析モデル式は微分項や積分項を含む複雑なものであり、誰もが簡便に扱えるものではなかった。
【００４３】
したがって、２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を近似して簡便なＲｐ、ΔＲｐ及びΔＲｐｔを求めることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００４４】
本発明の一観点によると、エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δｐ(2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うイオン注入分布発生方法が提供される。
【００４５】
また、別の観点によると、上述のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させるシミュレータが提供される。
【００４６】
さらに、別の観点によると、上述イオン注入分布発生方法により〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 、ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) を用いて二次元濃度分布を発生させるシミュレータが提供される。
【発明の効果】
【００４７】
開示のイオン注入分布発生方法によれば、複雑なモデル式を格段に簡便化しているので、計算速度が向上するとともに、計算式の組み込みが簡単になり、さらに、維持も容易になる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４８】
ここで、本発明の前提となる２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）について、予め説明する。まず、１次及び２次の核阻止能について計算しておく。１次の核阻止能Ｓｎ（Ｅ）は、下記の式（５５）で与えられる。
【数３９】
また、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（５６）で与えられる。
【数４０】
【００４９】
ここで、上述のＺＬＢポテンシャルを利用すると、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（５７）で近似される。
【数４１】
【００５０】
この阻止能は高次のものにも拡張され、２次のモーメントに対応する拡張された核阻止能、即ち、エネルギーストラッグリングΩｎ2 は、下記の式（５８）で表される。
【数４２】
但し、ユニバーサルな拡張された核阻止能Ωｎ2 （ε）は下記の式（５９）で表される。
【数４３】
これも、下記の式（６０）で近似的に表現される。
【数４４】
【００５１】
ここで、上記式（２２）及び式（２３）に基づいて、以下の計算で利用する各パラメータＲｐ2 （Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ3 （Ｅ，ｃｏｓφ）、ＲｐＲＴ2 （Ｅ，ｃｏｓφ）を予め下記の通り計算しておく。
【数４５】
【００５２】
ここで、上記の図１６に示したように、空間の対称性から点Ｃの存在する平面上でＣを中心とする半径ＲＴ（Ｅ）の円上の点はＡと等価と考えることができる。
よって、βは０から２πの値を同じ確率で取ると仮定できる。
そこで、式（６１）乃至式（６３）をβに関して０から２πまで積分したものを２πで割りその平均値を評価する。
【００５３】
【数４６】
を参考にしてこれらの平均値は、
【数４７】
となる。
【００５４】
次に、飛程の射影Ｒｐについて、上記の式（３９）を２次まで展開した解を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) とおくと、
【数４８】
となる。
但し、Ωｎ2 ＝∫Ｔｎ2 ｄσｎ，Ωｅ2 ＝∫Ｔｅ2 ｄσｅ
を利用している。なお、一般に、Ωｅ2 ≪Ωｎ2 であるので、実際の計算ではΩｅ2 は無視する。
【００５５】
上記の式（６９）は２階の微分方程式になり、解析的に解くことはできない。そこで摂動近似で２次の近似式〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) と摂動項Δｐ(2) を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ） ・・・（７０）
と表現する。
【００５６】
この式（７０）を上記の式（６９）に代入し、Ω2 とΔｐ(2) の積は３次の微小項と見なして落としたのち、上記の１次展開に関する式（４０）を利用することによって、
【数４９】
が得られ、これより、摂動項Δｐ(2) は、下記の式（７２）で表される。
【数５０】
但し、式（７２）におけるζｐ(2) （Ｅ）は下記の式（７３）で表される。
【数５１】
【００５７】
このように、未知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) と摂動項Δｐ(2) により近似することによって、飛程の射影Ｒｐの２次の摂動モデルによる値〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を数値的に計算することが可能になる。
【００５８】
次に、ΔＲｐとΔＲｐｔについて検討する。
まず、式（５１）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒｃ 2 （Ｅ）〉(2) とおくと、下記の式（７４）が得られる。
【数５２】
ここで、未知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) と摂動項Δｃ2(2)を用いて、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｃ2(2) ・・・（７５）
とおいて、上記の式（７４）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ／Ｎ＝２｛〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）｝／Ｎ であるので、下記の式（７６）となる。
【数５３】
【００５９】
したがって、摂動項Δｃ2(2)は、下記の式（７７）となる。
【数５４】
但し、式（７７）におけるζｃ(2) （Ｅ）は下記の式（７８）で表される。
【数５５】
【００６０】
次に、式（５２）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) とおくと、下記の式（７９）が得られる。
【数５６】
ここでも、未知の〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) を、計算可能な既知の〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) と摂動項Δｒ2(2)を用いて、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｒ2(2) ・・・（８０）
とおいて、上記の式（７９）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ／Ｎ＝２｛〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）｝／Ｎ
であるので、下記の式（８１）となる。
【数５７】
【００６１】
したがって、摂動項Δｒ2(2)は、下記の式（８２）となる。
【数５８】
但し、式（８２）におけるζｒ(2) （Ｅ）は下記の式（８３）で表される。
【数５９】
【００６２】
以上のパラメータを用いて、２次の摂動モデルによるΔＲｐ(2) ，ΔＲｐｔ(2) を、Ｌｉｎｄｈａｒｔが１次の摂動モデルで利用したように、
〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉＝〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉＋〈Ｒｐ（Ｅ）〉2
＝｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉＋〈Ｒｒ2（Ｅ）〉｝／３−〈Ｒｐ（Ｅ）〉2
・・・（８４）
〈ＲＴ2 （Ｅ）〉 ＝２｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉−〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉｝／３
・・・（８５）
〈ΔＲｐｔ2 （Ｅ）〉＝〈ＲＴ2 （Ｅ）〉／２ ・・・（８６）
で評価する。但し、２次の場合には、１次と異なり、２次摂動モデルであることを意識して表記すると、上記の式（８４）の第１式は、
〔〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｐ2 (2) 〕
＝〔〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｐ2 (2) （Ｅ）〕
−〔〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）〕2 ・・・（８７）
となる。
また、式（８５）及び式（８６）も同様である。
【００６３】
以上の結果を纏めると、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) 及びΔｐ(2) は、下記の式（８８）で与えられる。
【数６０】
ここで、ζｐ(1) 及びζｐ(2) に関しては、下記の式（８９）及び式（９０）であり、ζｐ(1) の場合が〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) を表し、ζｐ(2) の場合がΔｐ(2) を表す。
【数６１】
【００６４】
また、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) 及びΔｃ2(2)は、下記の式（９１）で与えられる。
【数６２】
ここで、ζｃ2(1)及びζｃ2(2)に関しては、下記の式（９２）及び式（９３）であり、ζｃ2(1)の場合が〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) を表し、ζｃ2(2)の場合がΔｃ2(2)を表す。
【数６３】
【００６５】
また、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) 及びΔｒ2(2)は、下記の式（９４）で与えられる。
【数６４】
ここで、ζｒ2(1)及びζｒ2(2)に関しては、下記の式（９５）及び式（９６）であり、ζｒ2(1)の場合が〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) を表し、ζｒ2(2)の場合がΔｒ2(2)を表す。
【数６５】
【００６６】
以上の２次の拡張ＬＳＳ理論を基にして、各モーメントを飛程Ｒに関連づけていく。ＬＳＩプロセスで利用されるエネルギー領域は通常は数１０ｋｅＶ以下であるがであるが、ウェル形成には１ＭｅＶ程度のＢ，Ｐイオン注入が利用される。そこで、ここでは、Ｂ，Ａｓ，Ｐで１ＭｅＶまでのエネルギー領域の近似モデルを導出していく。
【００６７】
図１（ａ）は注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図であり、Ａｓの飛程Ｒは単調にエネルギーに比例している。Ｐの飛程Ｒもほぼ同様であるが、Ｂの飛程Ｒは１００ｋｅＶ以下とそれ以上では明らかに傾きが異なる。これらの不純物による依存性の違いは電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎの比に依存すると思われる。そこで、両阻止能が同じになるエネルギーＥ１で規格化した状態で依存性をみてみる。
【００６８】
図１（ｂ）は、飛程Ｒの規格化エネルギー依存性の説明図であり、ここでは、飛程ＲもＥ／Ｅ１＝１００における飛程Ｒ（Ｅ／Ｅ１＝１００）で規格化している。図から明らかなように、各不純物におけるＥ１は、Ｂで７ｋｅＶ、Ｐで９８ｅＶ、Ａｓで６９７ｅＶである。よってカバーするエネルギー領域はＢで１５０Ｅ１、Ｐで１０Ｅ１、Ａｓで２Ｅ１程度である。
【００６９】
このような規格化により、Ｂ，Ｐ，ＡｓのＲのエネルギー依存性はほぼユニバーサルな依存性を示す。Ｅ／Ｅ１が１０以下では飛程ＲはエネルギーＥにほぼ比例し、それ以上ではＥ1/2 に比例することが読み取れる。この依存性を後の近似で利用していく。
【００７０】
上記の式（８８）、式（９１）及び式（９４）から分かるように、各モデルは一般形として、下記の式（９７）の項を含む。
【数６６】
ここで、係数νはＲｐでは１、Ｒｃ2 （Ｅ）では０、Ｒｒ2 （Ｅ）では３である。
【００７１】
ここで、積分するエネルギー領域をＳｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）が一定と近似できるように小さくとり、その値をｒｓとおくと、式（９７）においてＳｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）＝ｒｓとすると１／Ｅ′の積分になるので、下記の式（９８）と簡単化される。
【数６７】
【００７２】
後述するように、最終的に導出されるモデル式は任意の領域および領域数を扱うことができるが、ここでは、図２に示すように、Ｅ／Ｅ１＝１，５，１０を区切りの領域とする。１０以上の場合はＲのエネルギー依存性から電子阻止能Ｓｅが支配的、即ち、ｒｓ＝０とする。
【００７３】
上記の式（９７）の結果はＥ′の関数となる。それが、式（９８）の中でＥ′が０からＥまでの範囲で積分される。したがって、式（９７）が式（９８）の中でどのようになっていくかをエネルギーＥとＥ′の領域の場合分けを解析していく。表記の簡単化を図るために、
Ｅ２＝５Ｅ１，Ｅｈ＝１０Ｅ１
とする。Ｅｈはこのエネルギー以降は電子阻止能Ｓｅが支配的として扱う区切りのエネルギーである。
【００７４】
次に、入射エネルギーＥを場合分けして、上記の式（９７）の計算結果を示す。
（ａ）Ｅ≦Ｅ１の場合、下記の式（９９）となる。
【数６８】
【００７５】
（ｂ）Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合はさらに場合分けして、
（ｂ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１００）となり、
【数６９】
（ｂ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０１）となる。
【数７０】
【００７６】
（ｃ）Ｅ２＜Ｅ≦Ｅ１の場合にも場合分けして、
（ｃ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１０２）となり、
【数７１】
（ｃ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０３）となり、さらに、
【数７２】
（ｃ−３）Ｅ２＜Ｅ′≦Ｅｈの場合には、下記の式（１０４）となる。
【数７３】
【００７７】
（ｄ）Ｅ3 ＜Ｅの場合にも場合分けして、
（ｄ−１）Ｅ′≦Ｅ１の場合には、下記の式（１０５）となり、
【数７４】
（ｄ−２）Ｅ１＜Ｅ′≦Ｅ２の場合には、下記の式（１０６）となり、さらに、
【数７５】
（ｄ−３）Ｅ２＜Ｅ′≦Ｅｈの場合には、下記の式（１０７）となる。
【数７６】
【００７８】
なお、
（ｅ）Ｅ′＞Ｅｈの場合には、電子阻止能Ｓｅが支配的になり、Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）はほぼ０にかるので、下記の式（１０８）で近似される。
【数７７】
【００７９】
次に、二次の核阻止能（エネルギーストラッグリング）Ωｎ2 について検討する。２次の摂動項の中には二次の核阻止能Ωｎ2 が含まれるが、これを１次の核阻止能Ｓｎと近似的に関連づける。
【００８０】
１次の核阻止能Ｓｎ及び二次の核阻止能Ωｎ2 はそれぞれユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）とユニバーサルなエネルギーストラッグリングΩｎ2 （ε）と、下記の式（１０９）及び式（１１０）で関連づけられる。ここでａＵは上記の式（４）の関連で説明した遮蔽距離、εは換算エネルギーである。
【数７８】
なお、Ｓｎ（ε）、Ωｎ2 （ε）はそれぞれ上記の式（５６）及び式（５９）で与えられ、式中における係数γは、γ＝4Ｍ１Ｍ２／(Ｍ１＋Ｍ２)２である。ここで、ｆ（ρ）はポテンシャルの遮蔽関数であり、拡張ＬＳＳ理論ではＺＢＬのモデル式を利用していた。ここでは、Ωｎ2 をＳｎに関連づけるために、より簡単な遮蔽関数を利用する。
【００８１】
図１（ａ）に示したように、エネルギーの低いところで、飛程ＲがエネルギーＥにほぼ比例するということは、この領域では核阻止能Ｓｎが支配的と考えられるから、〈Ｒ（Ｅ）〉は、下記の式（１１１）で近似される。
【数７９】
【００８２】
つまり、Ｓｎに関していうと、Ｓｎがエネルギーに依存しないということに相当する。Ｓｎがエネルギーに依存しないことはＳｎ（ε）がεに依存しないことと等価である。そのようなＳｎ（ε）を与えるポテンシャルは、
ｆ（ρ）＝κ／ρ ・・・（１１２）
である。
【００８３】
ここでκは適当な正の係数であり、これは以下のように示すことができる。
Ｓｎのｃｏｓ2 の引数の積分をＱとおくと、下記の式（１１３）で表される。
【数８０】
但し、
ｃ2 ＝κ／ε＋η2 ・・・（１１４）
である。
【００８４】
ここで、ρを変数変換して、
ｘ＝１／ρ，ｄｘ＝−ｄρ／ρ2 ・・・（１１５）
とするとの、変域は、
ρ：ρｍｉｎ→∞
ｘ：ｘ０（＝１／ρｍｉｎ）→０
となる。
【００８５】
よって、式（１１３）の積分は、下記の式（１１６）となる。
【数８１】
【００８６】
これより、ユニバーサルな核阻止能Ｓｎ（ε）は、下記の式（１１７）となる。
【数８２】
ここで、下記の式（１１８）の変数変換を行うと、下記の式（１１９）となる。
ｙ＝εη2 ／κ ・・・（１１８）
【数８３】
但し、式（１１９）におけるＩ２は、下記の式（１２０）である。
【数８４】
【００８７】
一方、エネルギーストラッグリングΩｎ2 （ε）は、同じポテンシャルを用いて下記の式（１２１）となる。
【数８５】
但し、式（１２１）におけるＩ４は、下記の式（１２２）である。
【数８６】
【００８８】
したがって、エネルギーストラッグリングΩｎ 2 （Ｅ）と核阻止能Ｓｎ（Ｅ）の比Ωｎ2 （Ｅ）／Ｓｎ（Ｅ）は、下記の式（１２３）で表される。
【数８７】
【００８９】
これはκに依存しない一般的な形式になっている。しかしながらＩ２及びＩ４はポテンシャルに依存する。したがって拡張ＬＳＳ理論で利用するＺＢＬポテンシャルではこの値と異なる可能性があるので、これを下記の式（１２４）で表されるＺＢＬポテンシャルの場合の値から評価する。
【数８８】
【００９０】
図３（ａ）は、Ｉ４／Ｉ２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図であり、図３（ｂ）は、各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ１との相関図である。この解析でカバーしようとしている１ＭｅＶ以下のエネルギー領域はεで１０-1＜ε＜１０3 に相当する。したがって、その比は１〜０．２程度である。
【００９１】
これを近似的に扱うためにパラメータχを導入する。即ち、上記の式（１２３）にフィッティングパラメータχを加えることによって、下記の式（１２５）が得られる。
【数８９】
また、全阻止能に対する核阻止能の比Ｓｎ（Ｅ）／（Ｓｎ（Ｅ）＋Ｓｅ（Ｅ））を下記の式（１２６）のように、ｒｓで置き換えると、下記の式（１２７）が得られる。
【数９０】
【００９２】
この式（１２７）によりエネルギーストラッグリングΩｎ2 はフィッティングパラメータχにより飛程〈Ｒ（Ｅ）〉と関連付けられる。
なお、ここで表記を簡単化するために、下記の式（１２８）で表されるξｉを導入する。
【数９１】
【００９３】
以上の近似を利用して、次に、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）を簡単化していく。まず、〈Ｒｐ（Ｅ）〉について、上記の式（８８）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ａ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は、
∫ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］−∫Ｆ（ｘ）（ｄｇ（ｘ）／ｄｘ）ｄｘの公式を用いて解くことにより、下記の式（１２９）として得られる。
【数９２】
ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉がＥに比例することを利用している。この式（１２９）から、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) もＥに比例すると近似される。
【００９４】
次に、２次の摂動項Δｐ(2) は、下記の式（１３０）となる。
【数９３】
但し、式（１３０）におけるＮζｐ(2) （Ｅ）は、下記の式（１３１）である。
【数９４】
つまり、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるので、Ｎζｐ(2) （Ｅ）は、エネルギーＥに依存しないと近似することができる。
【００９５】
この式（１３１）を式（１３０）に代入して計算すると、下記の式（１３２）となり、したがって、２次の摂動項Δｐ(2) もエネルギーＥに比例していると近似できる。最初の式における右辺はＥに比例する関数であり、したがって、２回微分で０になる。
【数９５】
【００９６】
（Ａ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３３）となる。
【数９６】
【００９７】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、下記の式（１３４）となる。
【数９７】
この積分を実行する際に、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるのでエネルギーＥに依存しないと近似している。厳密には、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) には（Ｅｐ／Ｅ）の（ｒｓ２μ／２）乗の項が含まれるため正しくない。
【００９８】
しかしながら、もし、ｒｓ１とｒｓ２が等しければこの項は消失する。即ち、（Ｅ１／Ｅ）の（ｒｓ２μ／２）乗の項は微小項であると考えられる。実際は、ｒｓ１とｒｓ２は異なるため、無視はできないが、ここでは簡単化のこの近似を用いて積分している。このため、ｒｓの値はこの近似を救う役割も担っていると考えられる。以後も同様な近似を利用していく。
【００９９】
（Ａ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３５）となる。
【数９８】
【０１００】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、同様にして下記の式（１３６）となる。
【数９９】
【０１０１】
（Ａ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) は下記の式（１３７）となる。
【数１００】
【０１０２】
ここで、式（１３７）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓｅのみを考慮するので、電子阻止能Ｓｅと関連する飛程Ｒｍａｘを下記の式（１３８）で定義し、
【数１０１】
電子阻止能を下記の式（１３９）とする。
【数１０２】
【０１０３】
上記の式（１３９）を式（１３８）に代入すると、下記の式（１４０）が得られ、これは、Ｅ＞Ｅｈのエネルギー領域では飛程Ｒｍａｘがエネルギーの平方根に比例することを表している。
【数１０３】
【０１０４】
したがって、最後の積分は、下記の式（１４１）となる。
【数１０４】
また、２次の摂動項Δｐ(2) は、
Δｐ(2) ＝Δｐ(2) （Ｅｈ） ・・・（１４２）
となる。
【０１０５】
次に、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉について、上記の式（９１）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｂ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は、下記の式（１４３）として得られる。
【数１０５】
ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉及び〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) がＥに比例することを利用している。また、この式（１４３）から、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) がＥ2 に比例すると近似できることがわかる。
【０１０６】
次に、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１４４）となる。
【数１０６】
但し、式（１４４）におけるＮζｃ2(2)（Ｅ）は、下記の式（１４５）である。
【数１０７】
つまり、Ｎζｃ2(2)（Ｅ）は、エネルギーＥに比例すると近似することができる。
【０１０７】
この式（１４５）を式（１４４）に代入して計算すると、下記の式（１４６）となり、したがって、２次の摂動項Δｃ2 (2) もエネルギーＥ2 に比例する。
【数１０８】
【０１０８】
（Ｂ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１４７）となる。
【数１０９】
【０１０９】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１４８）となる。
【数１１０】
この積分を実行する際に、ζｃ2(2)（Ｅ）はエネルギーＥに比例すると近似している。
【０１１０】
（Ｂ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１４９）となる。
【数１１１】
【０１１１】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、下記の式（１５０）となる。
【数１１２】
【０１１２】
（Ｂ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１５１）となる。
【数１１３】
【０１１３】
ここで、式（１５１）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓｅのみを考慮するので、上述の式（１４１）と同様に、下記の式（１５２）となる。
【数１１４】
【０１１４】
上記の式（１５２）を式（１５１）に代入すると、下記の式（１５３）が得られる。
【数１１５】
また、２次の摂動項Δｃ2 (2) は、
Δｃ2 (2) ＝Δｃ2 (2) （Ｅｈ） ・・・（１５４）
となる。
【０１１５】
次に、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉について、上記の式（９４）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｃ−１）：Ｅ≦Ｅ１の場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は、下記の式（１５５）として得られる。
【数１１６】
【０１１６】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１５６）となる。
【数１１７】
但し、式（１５６）におけるζｒ2(2)（Ｅ）は、下記の式（１５７）である。
【数１１８】
つまり、ζｒ2(2)（Ｅ）は、エネルギーＥに比例する。
【０１１７】
この式（１５７）を式（１５６）に代入して計算すると、下記の式（１５８）となる。
【数１１９】
【０１１８】
（Ｃ−２）：Ｅ１＜Ｅ≦Ｅ２の場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１５９）となる。
【数１２０】
【０１１９】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１６０）となる。
【数１２１】
【０１２０】
（Ｃ−３）：Ｅ２＜Ｅ≦Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１６１）となる。
【数１２２】
【０１２１】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、下記の式（１６２）となる。
【数１２３】
【０１２２】
（Ｃ−４）：Ｅ＞Ｅｈの場合、１次の項〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) は下記の式（１６３）となる。
【数１２４】
【０１２３】
また、２次の摂動項Δｒ2 (2) は、
Δｒ2 (2) ＝Δｒ2 (2) （Ｅｈ） ・・・（１６４）
となる。
【０１２４】
以上の説明では、説明を簡単にするために、エネルギー領域をＥ１，Ｅ２＝５Ｅ１，Ｅｈ＝１０Ｅ１と４つに区切ってモデルを導出し、それで充分な精度のモデル式になっていることをみてきた。モデルの導出過程をみると、更に細かく領域を分割して精度を上げることも、荒く分割しておおまかな情報を得ることもできるように一般化しておく。
【０１２５】
図４は、モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図であり、エネルギー領域は、
Ｅ1，ｊ＝ｆｊ×Ｅ１ ・・・（１６５）
で分離する。ｆｊは自然数である必要はないが、j に関して単調増加する数であるとする。ここで
Ｅ１，０＝ｆ０×Ｅ１＝０ ・・・（１６６）
つまり、ｆ０＝０とし、また、電子阻止能が支配的になるとする境界のエネルギーＥ１h はここでは
Ｅ１，ｈ＝ｆｈ×Ｅ１ ・・・（１６７）
と表現しなおす。
【０１２６】
モデルの導出の際にはｆｈ＝１０としていたが、これは任意の値を設定できる。この電子阻止能が支配的な領域では、
ｒｓ＝χ＝０ ・・・（１６８）
とする。すると上述の各モーメントパラメータは以下のように全エネルギー領域で一般的な表現で記述できる。
【数１２５】
【実施例１】
【０１２７】
以上を前提として、ここで、図５乃至図９を参照して、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法を説明する。図５は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートであり、まず、
ａ．基板種、注入不純物種、注入エネルギー、及び、ドーズ量からなる注入条件を入力する。次いで、上記の式（１２９）乃至式（１６４）で説明したように、
ｂ．簡略化した２次の摂動モデルを用いて１次のモーメントである飛程の射影Ｒｐと、２次のモーメントである射影ＲｐのストラッグルΔＲｐ及び横方向のストラッグルΔＲｐｔを求める。次いで、
ｃ．求めたＲｐとΔＲｐから１次元分布のガウス分布を発生させるとともに、Ｒｐ、ΔＲｐ及びΔＲｐｔから２次元のガウス分布を発生させる。
【０１２８】
図６は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図であり、ＳＩＭＳ及び他のモデルと比較したものである。図から明らかなように、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）は実験データであるＳＩＭＳを良く再現している。また、本発明のモデルもＳＩＭＳをほぼ再現できている。
【０１２９】
但し、本発明のモデルでは、３次のモーメントγをγ＝０としているので、分布の非対象性が表現できない。本発明のモデルと２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）の違いはこのγの違いに起因し、ここで扱っているＲｐとΔＲｐに関しては両モデルの一致が良いことが後で示される。なお、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルはピーク位置は合っているが、幅、即ち、ΔＲｐが大分大きくなっている。
【０１３０】
以上の結果から、Ｅ２ＬＳＳは実験データを良く再現していることが分かる。より、広汎なデータに対しても良く一致することが示されているので、そこで、Ｅ２ＬＳＳの各パラメータとの比較で本発明のモデルの精度を評価する。なお、ここでは、５０ｋｅＶ以下の比較的エネルギーの低い領域と、カバーしようとしている最大値１ＭｅＶまでの高エネルギー領域の２つの場合について見ていく。
【０１３１】
図７は、Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図７（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図７（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。なお、区分した各エネルギー領域におけるｒｓ及びχの値は図に示しており、後述するＰ及びＡｓの場合も同様である。なお、ここでは、ｒｓ１＝０．９，ｒｓ２＝０．４，ｒｓ３＝０．２，χ１＝０．６５，χ２＝０．３０，χ３＝０．０５としている。
【０１３２】
図７（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、図７に併せて表示しているＬｉｎｄｈａｒｄのモデル式はＲｐは小さめ、ΔＲｐは大きめになっている。このモデルは核阻止能が支配的と仮定しているため、Ｂの場合のＥ１＝７Ｖ以下では比較的精度が高い。
【０１３３】
また、本発明のモデルは、図７（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、核阻止能が支配的でないこのような領域では大分精度が落ちることが分かる。
【０１３４】
図８は、Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図８（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図８（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図８（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、ΔＲｐは大きめになっているが、Ｂの場合より良い。
【０１３５】
また、本発明のモデルは、図８（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、Ｂの場合と同様に、低エネルギー領域より大分精度が落ちることが分かる。
【０１３６】
図９は、Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図９（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図９（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図９（ａ）に示すように、Ｒｐに関しては本発明のモデルは、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルともほぼＥ２ＬＳＳのデータを再現しているが、全体的に大きめに予想している。ΔＲｐ，ΔＲｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果をほぼ再現しているが全体に小さめである。Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデル式ΔＲｐは大きめになっている。
【０１３７】
また、本発明のモデルは、図９（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルのＲｐモデルはこの場合は精度が高い。Ａｓの場合はＥ１が６００ｋｅＶ程度のため、核阻止能が支配的という近似が有効なためである。ＬｉｎｄｈａｒｄのΔＲｐに対するモデルはこの場合でも大き目となっている。
【実施例２】
【０１３８】
次に、図１０乃至図１３を参照して、さらなる簡易モデルに関する本発明の実施例２のイオン注入分布発生方法を説明する。ここでは、２次の拡張モデルを簡単化してモデルを導出した。１次のモデルでは精度がΔＲｐの精度が悪いことが指摘されているからである。ここでは、簡易モデルでその精度とオーダーの関係を解析をしていく。
【０１３９】
図１０乃至図１２に２次の拡張ＬＳＳ理論と１次の簡易ＬＳＳ理論の比較を示す。図１０は、ＢのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１０（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１０（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１０（ａ）及び（ｂ）に示すようにＢの場合はＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔともに精度が高い。なお、ここでも、ｒｓ１＝０．９，ｒｓ２＝０．４，ｒｓ３＝０．２としている。
【０１４０】
図１１は、ＰのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１１（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１１（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１１（ａ）及び（ｂ）に示すようにＰの場合はＲｐ, ΔＲｐｔの精度は高いが、ΔＲｐは大分小さくなる。
【０１４１】
図１２は、ＡｓのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１２（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１２（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１２（ａ）及び（ｂ）に示すようにＡｓの場合もＲｐ, ΔＲｐｔの精度は高いが、ΔＲｐは大分小さくなり、Ｐの場合より精度が悪くなる傾向を示している。
【０１４２】
ここで、Ｅ＜Ｅ１の低エネルギー領域における１次簡易モデルの各モーメントを具体的に書き下すと、下記の式（１７５）乃至式（１７７）で表される。
【数１２６】
【０１４３】
上記の式（１７５）乃至式（１７７）はさらに簡単に下記の（１７８）乃至式（１８０）で表現される。
【数１２７】
ここで、各係数ｆ（μ）は対応する式から容易にわかる。
【０１４４】
式（１７６）に示すように、〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉の１次の項の分母にμ2 があるため、μが小さい場合はこれが２次の微少量に実効的になり、２次の項と大きさが同程度になることがわかる。このため、μの大きなＢでは精度が高く、小さなＡｓでは精度が悪くなることが理解される。
【０１４５】
これに比較し、式（１７７）に示すように、〈ΔＲｐｔ2 （Ｅ）〉では１次の分母はμであり、この場合は実効的に１次の微少量であり、２次の項よりは大きさを保っていることが理解される。
【０１４６】
以上をより詳しく解析するため、これらの係数の依存性の１次と２次近似の比較を図１３に示す。図１３は、各係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ａ）はＲｐに関する係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ｂ）はΔＲｐ及びΔＲｐｔに関する係数のμ依存性の説明図である。なお、μは上述のようにμ＝Ｍ１／Ｍ２である。
【０１４７】
図１３（ａ）に示すように、Ｒｐにおいては、式（１７５）から分かるように１次の項が常に支配的であるため、Ｒｐは１次近似で充分いい精度が期待できる。
【０１４８】
また、図１３（ｂ）に示すように、ΔＲｐでは、１次近似は大きなμで精度がよくなっていくが、小さなでμは半分程度になってしまうことがわかる。これは、前に指摘したように１次の項のμの最低次数がμ2 であることに起因する。また、同じく図１３（ｂ）に示すように、ΔＲｐｔ（Ｅ）では、ΔＲｐと異なり、μの最低次数がμであることに起因して、全てのμにおいて１次近似の精度が高い。
【０１４９】
この図１３（ｂ）から明らかなように、ΔＲｐとΔＲｐｔはμ〜１．５を境に大小が逆転する。しかしながら、両者はほぼ等しいと見做して良い。これはＲｐの周りで全方散乱が起きていると近似できることを意味する。したがって、
ΔＲｐ≒ΔＲｐｔ
と近似すれば、１次の項のみでモーメントが記述できる。
【０１５０】
即ち、Ｅ＜Ｅ１のエネルギー範囲では、各モーメントは、下記の式（１８１）及び式（１８２）となる。この扱いは、低エネルギー領域のみならず、高エネルギー領域でも良い近似になっている。
【数１２８】
【実施例３】
【０１５１】
次に、イオン濃度分布に関する本発明の実施例３を説明する。本発明者等は、ｘを基板の深さ方向、Φを注入するイオンのドーズ量、Φｃｈａｎをチャネルドーズ量、ｎａ（ｘ）を非晶質パートの分布関数、ｎｃ（ｘ）をチャンネリングパートの分布関数とすると、下記の式で表されるテール関数Ｎ（ｘ）からイオン注入分布を発生させる際に、非晶質層中のイオン分布から抽出したモーメントパラメータ、イオンの飛程の注入方向の射影を表すパラメータＲｐ、ＲｐのストラッグリングΔＲｐ、注入イオン分布の左右非対称性を表すパラメータγ、注入イオン分布のピークの鋭さを表すパラメータβを前記テール関数のＲｐ、ΔＲｐ、γ、βとして用いるイオン注入分布発生方法を提案している（必要ならば、特願２００８−０５９０７０参照）。
Ｎ（ｘ）＝（Φ＋Φｃｈａｎ）ｎａ（ｘ）＋Φｃｈａｎｎｃ（ｘ）
但し、ｎａ（ｘ）及びｎｃ（ｘ）は、ｈｍａ（ｘ），ｈｍｃ（ｘ）を前記の同じモーメントパラメータＲｐ、ΔＲｐ、γ、βを持つピアソン関数、ｘＴ＝Ｒｐ＋ΔＲｐ、κを比例係数とした場合に、
ｎｐ（ｘ）＝ｈｍａ（ｘ）
ｎｃ（ｘ）＝ｈｍｃ（ｘ）：ｘ＜ｘＴ
ｎｃ （ｘ）＝κ〔ｈｍｃ（ｘ）＋ｈＴｃ（ｘ）〕：ｘ＞ｘＴ
で表され、且つ、ピーク濃度位置をｘｐｃ、Ｌをイオン注入分布のテールの広がりを表すパラメータ、α（なお、ｈＴｃ（ｘ）においては便宜的にａを用いる）をイオン注入分布のテールの広がりの形状を表すパラメータ、ηを係数とすると、
ｈＴｃ（ｘ）＝ｈｍｃ（ｘｐｃ）ｅｘｐ｛−（ｌｎη）〔（ｘ−ｘｐｃ）a ／Ｌ〕｝
【０１５２】
ここで、３次のモーメントγ及び４次のモーメントβを０として、２次のモーメントまでを用いたテール関数Ｎ（ｘ）において、テール関数Ｎ（ｘ）のアモルファスパートの分布関数ｎａ（ｘ）を、上記の実施例２で求めた１次の項のみのモーメントで記述される〈Ｒｐ（Ｅ）〉、〈ΔＲｐ（Ｅ）〉及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉を用いて表すことによって、容易に不純物濃度分布をＧａｕｓｓ分布として表すことができる。
【０１５３】
ここで、実施例１乃至実施例３を含む本発明の実施の形態に関して、以下の付記を開示する。
（付記１） エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δｐ(2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
（付記２） 前記半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した偏差ΔＲｐ（Ｅ）(2) を、２次の項まで考慮した既知の飛程Ｒｐの横方向広がりを〈ＲＴ2 （Ｅ）〉(2) とした時、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉≡〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉＋〈ＲＴ2 （Ｅ）〉、及び、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉≡〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉−〈ＲＴ2 （Ｅ）〉／２
で定義される、〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉及び〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉を用い、それぞれ、１次の項まで考慮した既知の〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) 、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) 、摂動項Δｃ2(2)（Ｅ）及び摂動項Δｒ2(2)（Ｅ）を用いて、
〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｃ2(2)（Ｅ）、及び、
〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(1) ＋Δｒ2(2)（Ｅ）
と近似した〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) 、〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) と前記〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(2) を用いて
〈ΔＲｐ2 （Ｅ）〉(2) ＝｛〈Ｒｃ2 （Ｅ）〉(2) ＋２〈Ｒｒ2 （Ｅ）〉(2) ｝／３
−〈Ｒｐ2 （Ｅ）〉(2)
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
（付記３） 前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記４） エネルギーストラッグリングΩｎ2 （Ｅ）を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記５） 前記エネルギーストラッグリングΩｎ2 （Ｅ）を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記６） 前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記７） 前記〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) として、〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) の近似式を用いることを特徴とする請求項１乃至６のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記８） 前記射影Ｒｐのストラッグリング〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び横方向のストラッグリング〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) として、〈Ｒｐｔ（Ｅ）〉(1) の近似式を用いることを特徴とする請求項７記載のイオン注入分布発生方法。
（付記９） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させることを特徴とするシミュレータ。
（付記１０） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) 、ΔＲｐ（Ｅ）〉(2) 及び〈ΔＲｐｔ（Ｅ）〉(2) を用いて二次元濃度分布を発生させることを特徴とするシミュレータ。
【図面の簡単な説明】
【０１５４】
【図１】注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図である。
【図２】エネルギー領域区分の説明図である。
【図３】Ｉ４／Ｉ２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図及び各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ１との相関図である。
【図４】モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図である。
【図５】本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートである。
【図６】本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図である。
【図７】Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図８】Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図９】Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。
【図１０】１次簡易近似のＢのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１１】１次簡易近似のＰのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１２】１次簡易近似のＡｓのＲｐ, ΔＲｐ，ΔＲｐｔのエネルギー依存性の説明図である。
【図１３】各係数のμ依存性の説明図である。
【図１４】計算モデルである。
【図１５】イオンの飛程Ｒの模式図である。
【図１６】Ｒｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），ＲＴ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒｐ（Ｅ），ＲＴ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図である。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δp (2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記比ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
【請求項２】
前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項３】
エネルギーストラッグリングΩｎ2 を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項４】
前記エネルギーストラッグリングΩｎ2 を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項５】
前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項１】
エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) とした時に、摂動項Δp (2) （Ｅ）を用いて、
〈Ｒｐ（Ｅ）〉(2) ＝〈Ｒｐ（Ｅ）〉(1) ＋Δｐ(2) （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓｎ＋Ｓｅ）に対する核阻止能Ｓｎの比ｒ＝Ｓｎ／（Ｓｎ＋Ｓｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記比ｒを定数ｒｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
【請求項２】
前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓｅと核阻止能Ｓｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項３】
エネルギーストラッグリングΩｎ2 を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項４】
前記エネルギーストラッグリングΩｎ2 を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。
【請求項５】
前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【公開番号】特開２０１０−１０５２２（Ｐ２０１０−１０５２２Ａ）
【公開日】平成２２年１月１４日（２０１０．１．１４）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００８−１６９９３８（Ｐ２００８−１６９９３８）
【出願日】平成２０年６月３０日（２００８．６．３０）
【出願人】（０００００５２２３）富士通株式会社 (25,993)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２２年１月１４日（２０１０．１．１４）
【国際特許分類】
【出願日】平成２０年６月３０日（２００８．６．３０）
【出願人】（０００００５２２３）富士通株式会社 (25,993)
【Ｆターム（参考）】
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