折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル
【課題】より正確な折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデルを構成する。
【解決手段】
不等辺三角形以外の合同な４つの三角形からなる４面体を構成するにあたり、少なくとも２組以上の平行な外形線をもつ合同な多角形板ユニット３０，３１の各々において、一組の平行な外形線の各中点を結ぶ垂直線を該４面体の一つの稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、該各中点と隣り合う外形線の中点とを相互に結ぶ該稜線の２分の１に等しい長さの線分２本ずつを第２の折線１２とし、第１の折線１１で該一組の平行な外形線を左右対称に折り曲げて相互に可撓的に結合させ、すべての該第２の折線１２を第１の折線１１と同一方向に折り曲げた後に、該一組の平行な外形線以外の外形線からなる開閉可能な開口部を形成し、該多角形板ユニット３０，３１の該開口部の外周を相互に完全に一致させて、最終的に折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルを構成する。
【解決手段】
不等辺三角形以外の合同な４つの三角形からなる４面体を構成するにあたり、少なくとも２組以上の平行な外形線をもつ合同な多角形板ユニット３０，３１の各々において、一組の平行な外形線の各中点を結ぶ垂直線を該４面体の一つの稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、該各中点と隣り合う外形線の中点とを相互に結ぶ該稜線の２分の１に等しい長さの線分２本ずつを第２の折線１２とし、第１の折線１１で該一組の平行な外形線を左右対称に折り曲げて相互に可撓的に結合させ、すべての該第２の折線１２を第１の折線１１と同一方向に折り曲げた後に、該一組の平行な外形線以外の外形線からなる開閉可能な開口部を形成し、該多角形板ユニット３０，３１の該開口部の外周を相互に完全に一致させて、最終的に折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルを構成する。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、折りたたみ可能な幾何学教材をはじめ、折りたたみ可能な建築構造材、テントや容器に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、多面体幾何学の学習において、正４面体を標準にして多面体間の表面積比や体積比などを学ぶための幾何学教材として厚紙などの展開図を使用した正４面体のサーフィスモデルを組み立てる場合、２図および３図に示すように正三角形１０を単位とした正三角形４個からなる公知の展開図では、隣り合う正三角形をできるだけ連続させることによって、正４面体の稜線において相互結合のためののりしろ箇所とその距離を減らし、その結合を容易にかつ正確にする展開図を作成することができる。これらの展開図を用いて１辺が１００ミリの正４面体を作成する場合、正４面体サーフィスモデルの稜線部分の相互結合に要する全結合距離は、いずれも６００ミリである。こうした展開図によって、個別の正三角形を相互に結合する場合の全結合距離１２００ミリを容易に半減できるので展開図の有用性は十分にある。
【０００３】
また他の公知例として４図に示される展開図では、結合に正４面体の稜線１３以外の外形線２０を導入することによって、単位となる正三角形領域１０をより拡張して完全な２個に分離した合同な矩形領域５０、５１に組み替えられる。次に正４面体の稜線を同方向に折り曲げて稜線どうしを結合した後、矩形の外形線２０と稜線１３をそれぞれ相互に結合できる。この場合の全結合距離は約７４６．４ミリとなる。
【０００４】
また、のりしろ箇所と結合距離をさらに削減する別な改善策として『折り紙の幾何学』（伏見康治、伏見満枝 著 日本評論社 １９８４）から５図に引用して示すように、２つの合同な矩形領域５０を連続させた展開図に合成できる。この合同な２つの矩形領域５０、５１の合成によって、１辺が１００ミリの正４面体の展開図の場合は、結合に正４面体の稜線と該稜線以外の外形線２０を混在させた時の外周の全長、すなわち全結合距離は約５４６，４ミリとなる。このように、合同な矩形の連続からなる展開図によって、全結合距離は２図、３図の場合よりもさらに短くなる。
【０００５】
しかしながらこれらの方法でも、２図、３図、４図および５図に共通して正４面体の展開図用の結合部として稜線の全体または一部を使用するため、接着剤によるずれや歪みが生じやすくなっていた。こうしたずれや歪みはそのまま正４面体を構成する正三角形の面的な変形や角度の不整合につながっていた。特に展開図に厚紙を使用した場合は、その厚みのずれが主原因となって稜線部や頂点部に変形が著しくなる。したがって、展開図の正確で効果的な組み立てには、稜線部や頂点付近での鋭角を伴った領域どうしの境界線上での直線的な結合に特に繊細な注意を要した。
【０００６】
また別の公知例として公開特許公報昭６２−１０５１８２の特許図面の１図の折りたためる正４面体に見られるように、対角線に折目のある４個の矩形ユニットを正４面体の稜線部で可撓的に結合して形成される折りたたみ機能によって、固着のためののりしろ箇所を減らすことができる。一辺が１００ミリの折りたたみ可能な正４面体を形成する場合、該特許図面の３図に示される矩形ユニット２個から構成した時のユニット相互の結合距離は２００ミリであるが、正４面体として開口部が相互に接合する距離は、約６９２ミリとなる。この接合距離の増大によって、正４面体の稜線の中点部分で正確に開口部が閉じると同時に接合部で正４面体の稜線と面との連続性を維持するためにユニットには比較的厚い素材を必要とした。すなわち、この場合の折りたたみ機能にはユニット間の最小限の結合と開口部の接合のために必要な全結合距離は８９２ミリに増大し、素材重量の増大も伴った。
【特許文献１】公開特許公報昭６２−１０５１８２
【非特許文献１】伏見康治、伏見満枝著『折り紙の幾何学』日本評論社 １９８４年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
これまで４面体サーフィスモデルの展開図を構成する複数個の合同な三角形以上の多角形を最少限２個にまで減少できたが、４面体を構成する６本の稜線をまったく含まない外形線からなる２個の合同な多角形のみによって４面体サーフィスモデルの展開図を構成することは困難であった。また４面体の展開図の全結合距離をより短くする折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルの展開図を構成することはさらに困難であった。正多面体の展開図のデザインを古代ギリシャの正多面体の定義から捉えるかぎり、正多面体は合同な正多角形からのみ構成されなければならなかったが、本件発明者は合同な複数の正多角形から正多面体を構成する新たな展開図の定義の可能性に気づいた。本件発明者によって、最小限の多面体である４面体の展開図が合同な三角形４個より少ない同型の２個の対称性のある多角形ユニットからのみ構成されるデザインは、上記の公知となった同型の矩形ユニット以外にも無数に存在することが発見された。さらにこうした４面体の６本の稜線を、展開図の外形線どうしの結合で構成しないうえ、外形線の全長（全結合距離）を指標とする６００ミリより短くできる多角形群の発見によって、歪みがなく精度の高い展開図とその組み立てに従来の展開図のような稜線部での結合や固着を要しない折りたたみ機能による経済的方法が導かれた。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
この発明は、４面体を構成する６本の稜線以外の外形線を使った多角形からなる展開図で、不等辺三角形以外の合同な三角形４個分の該４面体の表面積を維持する同型の多角形板ユニット２個からのみなる折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルを構成することを主な特徴とする。
【発明の効果】
【０００９】
本発明においては、４面体の鋭角な各頂点部を形成するための３本ずつ集まる稜線が、２つの単独または連続した多角形板ユニット内に対称的に平面上に配置されるので、４面体サーフィスモデルの構成に必要な鋭角な頂点を正確に再現できる。また連続した６角形板ユニット２個の外形線のみで結合する距離の全長は、４個の連続した３角形からのみ成る従来の４面体サーフィスモデルの展開図よりは短くできる。また、正４面体の場合は、該稜線部分を外形線としない合同な２つの多角形板ユニットからなる展開図から正４面体サーフィスモデルを構成できる。この場合の全結合距離は、６角形板ユニット２個を連続した展開図によって最短となる。さらにこの正４面体サーフィスモデルに折りたたみ可能な機能を付加してもこの最短の結合距離は不変である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１０】
正４面体を構成する６本の稜線をまったく含まない外形線からなる２個の合同な多角形から構成される展開図によって、折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデルを形成し、かつ正４面体を形成するための展開図が必要とする結合部の結合距離をより短縮する目的を、２個の連続した正６角形によって実現した。
【実施例１】
【００１１】
実施例を図面に基づいて説明すれば次の通りである。
図１に示すたためる正４面体サーフィスモデル８０は、図６に示す合同な正６角形板ユニット３０、３１を外形線２２の各中点Ｘ、Ｙで一致するように共有結合させて連続した展開図８１から形成される。この展開図８１において、一組の平行な外形線２０の中点Ｐ、Ｑを結ぶ垂直線を正４面体の稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、中点Ｐ、Ｑと隣り合う外形線２１、２２の中点Ｒ、Ｓ、Ｚ、Ｘとをそれぞれ相互に結ぶ正４面体の稜線の２分の１の長さに等しい線分ＰＲ、ＰＸ、ＱＳ、ＱＺを第２の折線１２とし、計５本の折線１１，１２が正６角形板ユニット３０のなかに左右対称的に配置される。次に第１の折線１１を同一方向に半分に折り曲げて，正６角形板ユニット３０の頂点に付した記号ＢとＣ、ＥとＦをそれぞれ一致させて相互に可撓的に結合させる。その結果、図７、図８の正４面体サーフィスモデルの組立工程図に示すように、正６角形板ユニット３０の平行な外形線２０以外の４本の外形線２１、２２からなる開閉可能な開口部Ｒ１が形成される。開口部Ｒ１は、外形線２１、２２の中点に付された記号Ｒ、Ｓ、Ｚ、Ｘと正６角形板ユニット３０の頂点に付された記号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの計１０個の記号の組み合わせの中からジグザグな８角形状リングの外周Ａ−Ｓ−Ｂ・Ｃ−Ｚ−Ｄ−Ｘ−Ｅ・Ｆ−Ｒ−Ａを形成する。同様に図８に示すように、正６角形板ユニット３１からは、平行な外形線２０以外の４本の外形線２１、２２からなる開閉可能な開口部Ｒ２が形成される。開口部Ｒ２は、外形線２１、２２の中点に付された記号Ｔ、Ｕ、Ｙ、Ｖと正６角形板ユニット３１の頂点に付された記号Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌの計１０個の記号の組み合わせの中からジグザグな８角形状リングの外周Ｇ−Ｔ−Ｈ・Ｉ−Ｖ−Ｊ−Ｙ−Ｋ・Ｌ−Ｕ−Ｇを形成する。その結果、図８に示すように合同な２つの正６角形板ユニットを別々にポケット状に折りたたむことができる。次に、連続した正６角形板ユニット３０，３１の折線１２を折線１１と同一方向に折り曲げて、正４面体の６本の稜線に一致するように配置させると共に、最終的に稜線の中点でＲとＶ、ＳとＴ、ＵとＺとを相互に一致させ、該開口部Ｒ１、Ｒ２のすべての外周でＡとＨ・Ｉ、ＧとＢ・Ｃ、ＬとＤ・Ｋ、ＪとＥ・Ｆとを相互に一致させると図１に示される正４面体のサーフィスモデル８０が形成される。結果的に、正６角形板ユニット３０，３１の頂点と中点に付された記号は、正４面体のサーフィスモデル８０の各稜線と各正三角形を完成させる。この実施例においては、頂点部に集まる稜線が展開図の外形線の相互接合から形成されないばかりか、正４面体の稜線が３本ずつ集まって形成される鋭角な各頂点部が連続した一枚の正６角形板ユニットをすべて山折りまたはすべて谷折りに折ることで形成されるので、正４面体サーフィスモデルの構成に必要な直線的な稜線部と鋭角な頂点部を正確に再現できる。
【００１２】
図６に示す合同な２枚の正６角形板ユニットを互いに一辺で結合し、連続した１０本の外形線をもつ展開図８１から組み立てられた一辺が１００ミリの正４面体サーフィスモデルにおいて、すべての外形線の総長、すなわち全結合距離は約５７７．３５ミリとなる。この展開図によって、図２と図３に示すような連続した正三角形を相互に結合する場合の全結合距離６００ミリを容易に削減できるので組み立ての経済性は十分にある。
【００１３】
図１に示す正４面体のサーフィスモデル８０において、図６の展開図に示すＢ・Ｃ−Ｑ、Ｅ・Ｆ−Ｐ、
Ｈ・I−Ｍ、 Ｋ・Ｌ−Ｎ間の可撓的な結合、あるいは稜線Ｐ−Ｑ、Ｍ−Ｎ間の折線による可撓性を消去する場合は、開口部Ｒ１，Ｒ２の外周で相互に結合してもよい。また図示はしないが、正４面体サーフィスモデル８０の稜線の中点の記号Ｖ・Ｒ−Ｓ・Ｔ−Ｕ・Ｚ−Ｘ・Ｙ−Ｖを結んで形成される正４面体の赤道部分に輪ゴムなどのバンドをかけてもよい。輪ゴムを外せば、可撓的な結合と折線に従って、互いに結合したポケットは平面に再び折りたたむことができる。
【実施例２】
【００１４】
図１０に示す他の実施例では、分離した正６角形板ユニット３２、３３からなる展開図８５を示す。正４面体のすべての稜線に相当する折線部分を可撓的にすると共に、外形線２０における可撓的結合によって、各正６角形板ユニットは角度的な自由度を有するので、開口部を個別に開閉でき、容易に正６角形ユニットを平面状に折りたたむことができる。図９の分解斜視図が示すように、再び立ち上げて開口部Ｒ１，Ｒ２の外周で相互に分離したユニットから合成できる正４面体サーフィスモデル８４の稜線の中点の記号Ｖ・Ｒ−Ｓ・Ｔ−Ｕ・Ｚ−Ｙ・Ｘ−Ｖを結んで正方形状に形成される正４面体の赤道部６０に輪ゴムなどのバンドをかければ、自立したサーフィスモデルの形状を維持できる。この場合、正４面体サーフィスモデル８４の表面積は開口部Ｒ１，Ｒ２を境界線として完全に２等分されるように、合同な正６角形板ユニット３２、３３は配置されている。
【００１５】
さらに、図１１に示す正４面体サーフィスモデル８７の構造説明図のように、重心Ｏと、開口部Ｒ１，Ｒ２のジグザグな８角形状の外周との間に、合同な４つの面から構成され正４面体の稜線の中点４カ所に接した境界面Ｚ１〜Ｚ４が仮想的に存在するので、正４面体サーフィスモデル８７の体積を２等分する場合は、図１２に示す正４面体サーフィスモデル８８の構造説明図のように重心を利用して２分の１の体積をもった対称的なモジュールを形成するために積極的に境界面Ｚ１〜Ｚ４を正６角形板ユニット３６、３７に付加してもよい。
【実施例３】
【００１６】
図１３に示す他の実施例では、正６角形板ユニット３８を２個連続させたプラスチックの一体成形板８２によって、正４面体のすべての折線部分をＶ型またはＵ型の溝のヒンジ１４、１５に成形して可撓的に結合すると共に、外形線２０を可撓的に結合することによって、開口部を形成できる。正４面体サーフィスモデルは角度的な自由度と耐久性を有し、開口部の開閉運動で平面と立体の間を容易に往復できる。この場合、稜線でのプラスチック板の厚みはヒンジ１４、１５のＶ型またはＵ型の溝によって加減できるので、より精度の高い外形をもった正４面体のサーフィスモデルを提供できる。さらに、プラスチック板での組み立ては、正４面体の稜線に沿ってではなく、プラスチック板の外形線に沿って、プラスチック板の厚みの断面どうしが各三角形内で互いに接合するので、正４面体のサーフィスモデルの頂点や稜線に隙間がなく、また厚みが原因となった歪みを発生させないで組み立てができる。
【実施例４】
【００１７】
図１４に示す他の実施例では、上記Ｖ型またはＵ型の溝のヒンジに代わる、平行溝１６、１７のみに蝶番を使用して、可撓的結合による折りたたみ機能を付加してもよい。この場合、折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデルを組み立てた状態で自立させるために、開口部が開かないように、該正４面体サーフィスモデルの赤道部６１に輪ゴムやバンドをかけてもよい。また開口部をテープ、止め金具、接着材によって相互に接合固着すれば、正確かつ安定した正４面体を得ることができる。
【実施例５】
【００１８】
図１５は、正４面体サーフィスモデルの組み立てに必要な結合部として、正４面体の稜線をいっさい使用しない、本発明による多種の多角形板ユニットの展開図のなかで、外周すなわち全結合距離が最短となる展開図８６を示している。連続して結合した６角形板ユニット３９，４０の外周は、約５７０．０７ミリである。上記正６角形板の場合の５７７．３５ミリよりも明らかに短縮できる。
【実施例６】
【００１９】
図１６に示す折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデル９０は、合同な矩形板ユニット４１，４２を使用した場合である。図１７に示すように、正４面体を構成する６本の稜線に対応しない外形線２３をもつ合同な矩形板ユニット４１、４２の外形線２４の２分の１の長さce間、すなわち共有結合部２５で互いに共有結合させ、該結合部２５で第２の折線１２どうしを一本に連続させた展開図９１から形成される。この展開図９１において、一組の平行な外形線２３の中点Ｐ、Ｑを結ぶ垂直線を正４面体の稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、中点Ｐ、Ｑと隣り合う外形線２４の中間点r、s、z、xとをそれぞれ相互に結ぶ正４面体の稜線の２分の１の長さに等しい線分Ｐs、Ｐz、Ｑr、Ｑxを第２の折線１２とし、計５本の折線１１，１２が矩形板ユニットのなかに左右対称的に配置される。次に第１の折線１１を同一方向に半分に折り曲げて，矩形板ユニット４１の頂点に付した記号aとb、cとdをそれぞれ一致させて相互に可撓的に結合させる。その結果、図１８の組立工程図に示すように、矩形板ユニット４１の平行な外形線２３以外の外形線２４からなる開閉可能な開口部Ｒ３が形成される。開口部Ｒ３は、外形線２４の４分の１の長さにあたる中間点４カ所に付された記号r、s、z、xと矩形板ユニット４１の頂点に付された記号a、b、c、dの計８個の記号の組み合わせから正方形状角リングの外周a−r−s−d・c−z−x−b・aを形成する。同様に矩形板ユニット４２からは、平行な外形線２４以外の２本の外形線２５からなる開閉可能な開口部Ｒ４が形成される。開口部Ｒ４は、外形線２４の４分の１の長さにあたる中間点４カ所に付された記号t、u、w、vと矩形板ユニット４２の頂点に付された記号e、f、g、h計８個の記号の組み合わせから正方形状角リングの外周f-u-t-g・h-v-w-e・fを形成する。その結果、合同な２つの矩形板ユニットを別々にポケット状に折りたたむことができる。この実施例においては、正４面体の稜線が展開図の外形線の相互接合から形成されないばかりか、正４面体の鋭角な頂点部がすべて連続した一枚の矩形板ユニットをすべて山折りまたはすべて谷折りに折ることで形成されるので、正４面体サーフィスモデルの構成に必要な直線的な稜線部と鋭角な頂点部を正確に再現できる。次に、図１６に示すように連続した矩形板ユニット４１，４２の折線１２を折線１１と同一方向に折り曲げて、正４面体の６本の稜線に一致するように配置させると共に、最終的に稜線の中点でsとv、rとt、uとｘとを相互に一致させると、開口部Ｒ３、Ｒ４のすべての外周も一致して正４面体のサーフィスモデル９０が形成される。結果的に、矩形板ユニット４１，４２の頂点と中点に付された記号は、正４面体サーフィスモデル９０の稜線と各正三角形を完成させる。連続して結合した矩形板ユニット４１，４２の全結合距離は約６４６．４１ミリである。
【００２０】
さらに、重心Ｏと、開口部の赤道部外周との間に、同一の面から構成され正４面体の稜線の中点４カ所に接する正方形状の境界面r、s、z、xまたはt、u、w、vが仮想的に存在するので、正４面体のサーフィスモデル９０の表面積を２等分する場合は、２分の１の表面積をもった同型ユニット４１、４２として配置してもよい。さらに体積を２等分する場合は、積極的に正方形の境界面を付加して、２分の１の体積をもった対称的なモジュールを形成してもよい。
【実施例７】
【００２１】
図１９に示す他の実施例では、２個の正６角形板ユニット４３，４４の全片面に対して、周期的な単一エレメントからなる平面充填用の単一文様モチーフにＭ.Ｃ.エッシャーによる三色のトカゲ（白、グレー、黒）を使用し、該モチーフを隙間なく連続的に設けたことを特長とする正４面体サーフィスモデルの展開図１００である。この周期的モチーフは、２個の正６角形板ユニットの表面をシームレスに連続させることができると同時に、正４面体に立ち上がったサーフィスモデルの場合では、どの稜線においても、周期的モチーフは分断されることなくエンドレスに連続する。
【実施例８】
【００２２】
図２０に示す他の実施例は、球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面の地理情報に関する画像を、図２１に示すような正４面体の基本的な展開図１０２に変換した後に、さらに２個の正６角形板ユニット４５，４６の全片面に対してシームレスに平面充填した正４面体のサーフィスモデルの展開図１０１を示す。球面地理情報を対向する２つの極から投影する投影図法(perspective projection)によって、平面のスクリーンに投影した「方位図法」では全体の形は２つの円形地図になるが、この実施例によって球面地理情報での対向する２つの極は、２つの正６角形の中心に位置すると同時に、各半球の地理情報は各正６角形に置換される。最終的に折りたたみ可能な正４面体のサーフィスモデルに変換できる。このような全球面状の全地球的な地理情報地図以外に、宇宙的な天球儀情報地図または全方位的な球面画像に内接する正４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面画像を正６角形板ユニット２個の全片面に対してシームレスに平面充填してもよい。従来の全景をとらえるパノラマ（PANORAMA）の概念は円筒に投影された３６０度の視野角を意味しているが、本発明者は正４面体によって真の全方位をとらえる７２０度の視野角（この７２０度は４面体の内角の総和に一致することに関連する）の概念を発見し、その正４面体による全方位地図または全方位画像概念モデルに対してテトラマ（TETRAMA）と命名した。広角レンズでは光学原理的に１８０度以上の画角を越えられないうえ、パノラマ以上に概念的に３６０度の視野角を拡張できなかったが、テトラマによって球面情報を最小限の多面体である４面体にトポロジー的に変換すれば、幾何学原理的に存在する最大の視野角７２０度を本発明による連続した２個の同型の正６角形によって人間の視覚範囲で捉えることができる。
【実施例９】
【００２３】
図２２の他の実施例では、４つの合同な２等辺三角形からなる折りたたみ可能な４面体を構成するための６角形板ユニット４７、４８が２個連続する展開図８９を示す。本発明による同型の６角形板ユニット２個からなる折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルは、正４面体サーフィスモデル以外にも無数に存在する。
【産業上の利用可能性】
【００２４】
この発明は、折りたたみ可能な構造によって、多角形板ユニット相互の組み立て工程が単純で容易なので、立体幾何学の教育教材、薄い素材の軽量構造物、容器やテントとしても有効である。さらに多角形板ユニットの平板を連続的に結合して４面体を構成できるので、周期的デザインの同一文様を４面体サーフィスモデルの展開図の片面または両面で連続させることができ、平面の正則分割と多面体の対称性の研究に極めて有効である。さらにまた、球面情報を数学的にシームレスに投影する合同な正６角形が２個連続した展開図から構成される最小限の多面体である正４面体サーフィスモデルは、パノラマでは達成できなかった全方位を再現できる。また全方位をとらえた球状の地理情報などに関する折りたたみ可能なテトラマ（TETRAMA）によって、認識可能な最大限の視野角（＝７２０度）を連続した同型の２個の６角形板ユニットまたは矩形板ユニットで提供できる。
【図面の簡単な説明】
【００２５】
【図１】本発明による実施例を示した２個連続した正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例１）
【図２】公知例を示した展開図である。
【図３】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図４】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図５】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図６】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図７】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの組立工程図である。
【図８】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの他の組立工程図である。
【図９】本発明による他の実施例を示した分離した正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例２）
【図１０】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図１１】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの構造の説明のための斜視図である。
【図１２】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの構造の説明のための他の斜視図である。
【図１３】本発明による他の実施例を示した一体成形したユニットからなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例３）
【図１４】本発明による他の実施例を示した２個連続した６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例４）
【図１５】本発明による他の実施例を示した展開図である。（実施例５）
【図１６】本発明による他の実施例を示した２個連続した矩形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例６）
【図１７】本発明による実施例６の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図１８】本発明による実施例６の正４面体サーフィスモデルの組立工程図である。
【図１９】本発明による他の実施例を示した単一の文様を平面充填した２個の６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例７）
【図２０】本発明による他の実施例を示したテトラマを平面充填した２個の正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例８）
【図２１】実施例８を作成する過程を説明するための、球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体に、トポロジー的に投影して形成される全方位的な平面の地理情報に関する画像の正４面体地図（テトラマ）である。
【図２２】本発明による他の実施例を示した２個連続した６角形からなる４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例９）
【符号の説明】
【００２６】
１０ 正４面体を構成する正三角形領域
１１ 折線
１２ 折線
１３ 正４面体の稜線
１４ Ｕ型、またはＶ型溝のヒンジ
１５ Ｕ型、またはＶ型溝のヒンジ
１６ 折線に設けた平行溝
１７ 折線に設けた平行溝
２０ 外形線
２１ 外形線
２２ ６角形板ユニットの共有結合部
２３ 外形線
２４ 外形線
２５ 矩形板ユニットの共有結合部
３０ 正６角形板ユニット
３１ 正６角形板ユニット
３２ 正６角形板ユニット
３３ 正６角形板ユニット
３８ 一体成形された正６角形プラスチック板ユニット
３９ ６角形板ユニット
４０ ６角形板ユニット
４１ 矩形板ユニット
４２ 矩形板ユニット
４３ 正６角形板ユニット
４４ 正６角形板ユニット
４５ ６角形板ユニット
４６ ６角形板ユニット
４７ 正６角形板ユニット
４８ 正６角形板ユニット
５０ 矩形領域
５１ 矩形領域
６０ 正４面体の赤道部
６１ 正４面体の赤道部
Ｒ１ 開口部
Ｒ２ 開口部
Ｒ３ 開口部
Ｒ４ 開口部
Ａ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｂ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｃ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｄ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｅ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｆ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｇ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｈ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｉ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｊ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｋ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｌ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｐ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｑ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｍ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｎ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｒ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｓ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｚ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｕ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｔ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｖ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｘ 正６角形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
Ｙ 正６角形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
ｒ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｓ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｔ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｖ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｕ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｘ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｚ 矩形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
ｗ 矩形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
Ｚ１ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ２ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ３ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ４ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
８０ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル
８１ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８２ 正６角形プラスチック板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８３ 正４面体サーフィスモデルの蝶番を使用した展開図
８４ 分離した正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル分解斜視図
８５ 分離した正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８６ ６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８７ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの構造説明図
８８ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの構造説明図
８９ ６角形板ユニットによる４つの合同な２等辺３角形からなる４面体サーフィスモデルの展開図
９０ 矩形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル
９１ 矩形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１００ 単一のトカゲ文様が平面充填された正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１０１ 全方位地図 (テトラマ）が平面充填された正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１０２ 球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体に、トポロジー的に投影して形成される全方位的な地理情報に関する画像の正４面体地図（テトラマ）
【技術分野】
【０００１】
この発明は、折りたたみ可能な幾何学教材をはじめ、折りたたみ可能な建築構造材、テントや容器に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、多面体幾何学の学習において、正４面体を標準にして多面体間の表面積比や体積比などを学ぶための幾何学教材として厚紙などの展開図を使用した正４面体のサーフィスモデルを組み立てる場合、２図および３図に示すように正三角形１０を単位とした正三角形４個からなる公知の展開図では、隣り合う正三角形をできるだけ連続させることによって、正４面体の稜線において相互結合のためののりしろ箇所とその距離を減らし、その結合を容易にかつ正確にする展開図を作成することができる。これらの展開図を用いて１辺が１００ミリの正４面体を作成する場合、正４面体サーフィスモデルの稜線部分の相互結合に要する全結合距離は、いずれも６００ミリである。こうした展開図によって、個別の正三角形を相互に結合する場合の全結合距離１２００ミリを容易に半減できるので展開図の有用性は十分にある。
【０００３】
また他の公知例として４図に示される展開図では、結合に正４面体の稜線１３以外の外形線２０を導入することによって、単位となる正三角形領域１０をより拡張して完全な２個に分離した合同な矩形領域５０、５１に組み替えられる。次に正４面体の稜線を同方向に折り曲げて稜線どうしを結合した後、矩形の外形線２０と稜線１３をそれぞれ相互に結合できる。この場合の全結合距離は約７４６．４ミリとなる。
【０００４】
また、のりしろ箇所と結合距離をさらに削減する別な改善策として『折り紙の幾何学』（伏見康治、伏見満枝 著 日本評論社 １９８４）から５図に引用して示すように、２つの合同な矩形領域５０を連続させた展開図に合成できる。この合同な２つの矩形領域５０、５１の合成によって、１辺が１００ミリの正４面体の展開図の場合は、結合に正４面体の稜線と該稜線以外の外形線２０を混在させた時の外周の全長、すなわち全結合距離は約５４６，４ミリとなる。このように、合同な矩形の連続からなる展開図によって、全結合距離は２図、３図の場合よりもさらに短くなる。
【０００５】
しかしながらこれらの方法でも、２図、３図、４図および５図に共通して正４面体の展開図用の結合部として稜線の全体または一部を使用するため、接着剤によるずれや歪みが生じやすくなっていた。こうしたずれや歪みはそのまま正４面体を構成する正三角形の面的な変形や角度の不整合につながっていた。特に展開図に厚紙を使用した場合は、その厚みのずれが主原因となって稜線部や頂点部に変形が著しくなる。したがって、展開図の正確で効果的な組み立てには、稜線部や頂点付近での鋭角を伴った領域どうしの境界線上での直線的な結合に特に繊細な注意を要した。
【０００６】
また別の公知例として公開特許公報昭６２−１０５１８２の特許図面の１図の折りたためる正４面体に見られるように、対角線に折目のある４個の矩形ユニットを正４面体の稜線部で可撓的に結合して形成される折りたたみ機能によって、固着のためののりしろ箇所を減らすことができる。一辺が１００ミリの折りたたみ可能な正４面体を形成する場合、該特許図面の３図に示される矩形ユニット２個から構成した時のユニット相互の結合距離は２００ミリであるが、正４面体として開口部が相互に接合する距離は、約６９２ミリとなる。この接合距離の増大によって、正４面体の稜線の中点部分で正確に開口部が閉じると同時に接合部で正４面体の稜線と面との連続性を維持するためにユニットには比較的厚い素材を必要とした。すなわち、この場合の折りたたみ機能にはユニット間の最小限の結合と開口部の接合のために必要な全結合距離は８９２ミリに増大し、素材重量の増大も伴った。
【特許文献１】公開特許公報昭６２−１０５１８２
【非特許文献１】伏見康治、伏見満枝著『折り紙の幾何学』日本評論社 １９８４年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
これまで４面体サーフィスモデルの展開図を構成する複数個の合同な三角形以上の多角形を最少限２個にまで減少できたが、４面体を構成する６本の稜線をまったく含まない外形線からなる２個の合同な多角形のみによって４面体サーフィスモデルの展開図を構成することは困難であった。また４面体の展開図の全結合距離をより短くする折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルの展開図を構成することはさらに困難であった。正多面体の展開図のデザインを古代ギリシャの正多面体の定義から捉えるかぎり、正多面体は合同な正多角形からのみ構成されなければならなかったが、本件発明者は合同な複数の正多角形から正多面体を構成する新たな展開図の定義の可能性に気づいた。本件発明者によって、最小限の多面体である４面体の展開図が合同な三角形４個より少ない同型の２個の対称性のある多角形ユニットからのみ構成されるデザインは、上記の公知となった同型の矩形ユニット以外にも無数に存在することが発見された。さらにこうした４面体の６本の稜線を、展開図の外形線どうしの結合で構成しないうえ、外形線の全長（全結合距離）を指標とする６００ミリより短くできる多角形群の発見によって、歪みがなく精度の高い展開図とその組み立てに従来の展開図のような稜線部での結合や固着を要しない折りたたみ機能による経済的方法が導かれた。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
この発明は、４面体を構成する６本の稜線以外の外形線を使った多角形からなる展開図で、不等辺三角形以外の合同な三角形４個分の該４面体の表面積を維持する同型の多角形板ユニット２個からのみなる折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルを構成することを主な特徴とする。
【発明の効果】
【０００９】
本発明においては、４面体の鋭角な各頂点部を形成するための３本ずつ集まる稜線が、２つの単独または連続した多角形板ユニット内に対称的に平面上に配置されるので、４面体サーフィスモデルの構成に必要な鋭角な頂点を正確に再現できる。また連続した６角形板ユニット２個の外形線のみで結合する距離の全長は、４個の連続した３角形からのみ成る従来の４面体サーフィスモデルの展開図よりは短くできる。また、正４面体の場合は、該稜線部分を外形線としない合同な２つの多角形板ユニットからなる展開図から正４面体サーフィスモデルを構成できる。この場合の全結合距離は、６角形板ユニット２個を連続した展開図によって最短となる。さらにこの正４面体サーフィスモデルに折りたたみ可能な機能を付加してもこの最短の結合距離は不変である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１０】
正４面体を構成する６本の稜線をまったく含まない外形線からなる２個の合同な多角形から構成される展開図によって、折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデルを形成し、かつ正４面体を形成するための展開図が必要とする結合部の結合距離をより短縮する目的を、２個の連続した正６角形によって実現した。
【実施例１】
【００１１】
実施例を図面に基づいて説明すれば次の通りである。
図１に示すたためる正４面体サーフィスモデル８０は、図６に示す合同な正６角形板ユニット３０、３１を外形線２２の各中点Ｘ、Ｙで一致するように共有結合させて連続した展開図８１から形成される。この展開図８１において、一組の平行な外形線２０の中点Ｐ、Ｑを結ぶ垂直線を正４面体の稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、中点Ｐ、Ｑと隣り合う外形線２１、２２の中点Ｒ、Ｓ、Ｚ、Ｘとをそれぞれ相互に結ぶ正４面体の稜線の２分の１の長さに等しい線分ＰＲ、ＰＸ、ＱＳ、ＱＺを第２の折線１２とし、計５本の折線１１，１２が正６角形板ユニット３０のなかに左右対称的に配置される。次に第１の折線１１を同一方向に半分に折り曲げて，正６角形板ユニット３０の頂点に付した記号ＢとＣ、ＥとＦをそれぞれ一致させて相互に可撓的に結合させる。その結果、図７、図８の正４面体サーフィスモデルの組立工程図に示すように、正６角形板ユニット３０の平行な外形線２０以外の４本の外形線２１、２２からなる開閉可能な開口部Ｒ１が形成される。開口部Ｒ１は、外形線２１、２２の中点に付された記号Ｒ、Ｓ、Ｚ、Ｘと正６角形板ユニット３０の頂点に付された記号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの計１０個の記号の組み合わせの中からジグザグな８角形状リングの外周Ａ−Ｓ−Ｂ・Ｃ−Ｚ−Ｄ−Ｘ−Ｅ・Ｆ−Ｒ−Ａを形成する。同様に図８に示すように、正６角形板ユニット３１からは、平行な外形線２０以外の４本の外形線２１、２２からなる開閉可能な開口部Ｒ２が形成される。開口部Ｒ２は、外形線２１、２２の中点に付された記号Ｔ、Ｕ、Ｙ、Ｖと正６角形板ユニット３１の頂点に付された記号Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌの計１０個の記号の組み合わせの中からジグザグな８角形状リングの外周Ｇ−Ｔ−Ｈ・Ｉ−Ｖ−Ｊ−Ｙ−Ｋ・Ｌ−Ｕ−Ｇを形成する。その結果、図８に示すように合同な２つの正６角形板ユニットを別々にポケット状に折りたたむことができる。次に、連続した正６角形板ユニット３０，３１の折線１２を折線１１と同一方向に折り曲げて、正４面体の６本の稜線に一致するように配置させると共に、最終的に稜線の中点でＲとＶ、ＳとＴ、ＵとＺとを相互に一致させ、該開口部Ｒ１、Ｒ２のすべての外周でＡとＨ・Ｉ、ＧとＢ・Ｃ、ＬとＤ・Ｋ、ＪとＥ・Ｆとを相互に一致させると図１に示される正４面体のサーフィスモデル８０が形成される。結果的に、正６角形板ユニット３０，３１の頂点と中点に付された記号は、正４面体のサーフィスモデル８０の各稜線と各正三角形を完成させる。この実施例においては、頂点部に集まる稜線が展開図の外形線の相互接合から形成されないばかりか、正４面体の稜線が３本ずつ集まって形成される鋭角な各頂点部が連続した一枚の正６角形板ユニットをすべて山折りまたはすべて谷折りに折ることで形成されるので、正４面体サーフィスモデルの構成に必要な直線的な稜線部と鋭角な頂点部を正確に再現できる。
【００１２】
図６に示す合同な２枚の正６角形板ユニットを互いに一辺で結合し、連続した１０本の外形線をもつ展開図８１から組み立てられた一辺が１００ミリの正４面体サーフィスモデルにおいて、すべての外形線の総長、すなわち全結合距離は約５７７．３５ミリとなる。この展開図によって、図２と図３に示すような連続した正三角形を相互に結合する場合の全結合距離６００ミリを容易に削減できるので組み立ての経済性は十分にある。
【００１３】
図１に示す正４面体のサーフィスモデル８０において、図６の展開図に示すＢ・Ｃ−Ｑ、Ｅ・Ｆ−Ｐ、
Ｈ・I−Ｍ、 Ｋ・Ｌ−Ｎ間の可撓的な結合、あるいは稜線Ｐ−Ｑ、Ｍ−Ｎ間の折線による可撓性を消去する場合は、開口部Ｒ１，Ｒ２の外周で相互に結合してもよい。また図示はしないが、正４面体サーフィスモデル８０の稜線の中点の記号Ｖ・Ｒ−Ｓ・Ｔ−Ｕ・Ｚ−Ｘ・Ｙ−Ｖを結んで形成される正４面体の赤道部分に輪ゴムなどのバンドをかけてもよい。輪ゴムを外せば、可撓的な結合と折線に従って、互いに結合したポケットは平面に再び折りたたむことができる。
【実施例２】
【００１４】
図１０に示す他の実施例では、分離した正６角形板ユニット３２、３３からなる展開図８５を示す。正４面体のすべての稜線に相当する折線部分を可撓的にすると共に、外形線２０における可撓的結合によって、各正６角形板ユニットは角度的な自由度を有するので、開口部を個別に開閉でき、容易に正６角形ユニットを平面状に折りたたむことができる。図９の分解斜視図が示すように、再び立ち上げて開口部Ｒ１，Ｒ２の外周で相互に分離したユニットから合成できる正４面体サーフィスモデル８４の稜線の中点の記号Ｖ・Ｒ−Ｓ・Ｔ−Ｕ・Ｚ−Ｙ・Ｘ−Ｖを結んで正方形状に形成される正４面体の赤道部６０に輪ゴムなどのバンドをかければ、自立したサーフィスモデルの形状を維持できる。この場合、正４面体サーフィスモデル８４の表面積は開口部Ｒ１，Ｒ２を境界線として完全に２等分されるように、合同な正６角形板ユニット３２、３３は配置されている。
【００１５】
さらに、図１１に示す正４面体サーフィスモデル８７の構造説明図のように、重心Ｏと、開口部Ｒ１，Ｒ２のジグザグな８角形状の外周との間に、合同な４つの面から構成され正４面体の稜線の中点４カ所に接した境界面Ｚ１〜Ｚ４が仮想的に存在するので、正４面体サーフィスモデル８７の体積を２等分する場合は、図１２に示す正４面体サーフィスモデル８８の構造説明図のように重心を利用して２分の１の体積をもった対称的なモジュールを形成するために積極的に境界面Ｚ１〜Ｚ４を正６角形板ユニット３６、３７に付加してもよい。
【実施例３】
【００１６】
図１３に示す他の実施例では、正６角形板ユニット３８を２個連続させたプラスチックの一体成形板８２によって、正４面体のすべての折線部分をＶ型またはＵ型の溝のヒンジ１４、１５に成形して可撓的に結合すると共に、外形線２０を可撓的に結合することによって、開口部を形成できる。正４面体サーフィスモデルは角度的な自由度と耐久性を有し、開口部の開閉運動で平面と立体の間を容易に往復できる。この場合、稜線でのプラスチック板の厚みはヒンジ１４、１５のＶ型またはＵ型の溝によって加減できるので、より精度の高い外形をもった正４面体のサーフィスモデルを提供できる。さらに、プラスチック板での組み立ては、正４面体の稜線に沿ってではなく、プラスチック板の外形線に沿って、プラスチック板の厚みの断面どうしが各三角形内で互いに接合するので、正４面体のサーフィスモデルの頂点や稜線に隙間がなく、また厚みが原因となった歪みを発生させないで組み立てができる。
【実施例４】
【００１７】
図１４に示す他の実施例では、上記Ｖ型またはＵ型の溝のヒンジに代わる、平行溝１６、１７のみに蝶番を使用して、可撓的結合による折りたたみ機能を付加してもよい。この場合、折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデルを組み立てた状態で自立させるために、開口部が開かないように、該正４面体サーフィスモデルの赤道部６１に輪ゴムやバンドをかけてもよい。また開口部をテープ、止め金具、接着材によって相互に接合固着すれば、正確かつ安定した正４面体を得ることができる。
【実施例５】
【００１８】
図１５は、正４面体サーフィスモデルの組み立てに必要な結合部として、正４面体の稜線をいっさい使用しない、本発明による多種の多角形板ユニットの展開図のなかで、外周すなわち全結合距離が最短となる展開図８６を示している。連続して結合した６角形板ユニット３９，４０の外周は、約５７０．０７ミリである。上記正６角形板の場合の５７７．３５ミリよりも明らかに短縮できる。
【実施例６】
【００１９】
図１６に示す折りたたみ可能な正４面体サーフィスモデル９０は、合同な矩形板ユニット４１，４２を使用した場合である。図１７に示すように、正４面体を構成する６本の稜線に対応しない外形線２３をもつ合同な矩形板ユニット４１、４２の外形線２４の２分の１の長さce間、すなわち共有結合部２５で互いに共有結合させ、該結合部２５で第２の折線１２どうしを一本に連続させた展開図９１から形成される。この展開図９１において、一組の平行な外形線２３の中点Ｐ、Ｑを結ぶ垂直線を正４面体の稜線に等しい長さをもつ第１の折線１１とし、中点Ｐ、Ｑと隣り合う外形線２４の中間点r、s、z、xとをそれぞれ相互に結ぶ正４面体の稜線の２分の１の長さに等しい線分Ｐs、Ｐz、Ｑr、Ｑxを第２の折線１２とし、計５本の折線１１，１２が矩形板ユニットのなかに左右対称的に配置される。次に第１の折線１１を同一方向に半分に折り曲げて，矩形板ユニット４１の頂点に付した記号aとb、cとdをそれぞれ一致させて相互に可撓的に結合させる。その結果、図１８の組立工程図に示すように、矩形板ユニット４１の平行な外形線２３以外の外形線２４からなる開閉可能な開口部Ｒ３が形成される。開口部Ｒ３は、外形線２４の４分の１の長さにあたる中間点４カ所に付された記号r、s、z、xと矩形板ユニット４１の頂点に付された記号a、b、c、dの計８個の記号の組み合わせから正方形状角リングの外周a−r−s−d・c−z−x−b・aを形成する。同様に矩形板ユニット４２からは、平行な外形線２４以外の２本の外形線２５からなる開閉可能な開口部Ｒ４が形成される。開口部Ｒ４は、外形線２４の４分の１の長さにあたる中間点４カ所に付された記号t、u、w、vと矩形板ユニット４２の頂点に付された記号e、f、g、h計８個の記号の組み合わせから正方形状角リングの外周f-u-t-g・h-v-w-e・fを形成する。その結果、合同な２つの矩形板ユニットを別々にポケット状に折りたたむことができる。この実施例においては、正４面体の稜線が展開図の外形線の相互接合から形成されないばかりか、正４面体の鋭角な頂点部がすべて連続した一枚の矩形板ユニットをすべて山折りまたはすべて谷折りに折ることで形成されるので、正４面体サーフィスモデルの構成に必要な直線的な稜線部と鋭角な頂点部を正確に再現できる。次に、図１６に示すように連続した矩形板ユニット４１，４２の折線１２を折線１１と同一方向に折り曲げて、正４面体の６本の稜線に一致するように配置させると共に、最終的に稜線の中点でsとv、rとt、uとｘとを相互に一致させると、開口部Ｒ３、Ｒ４のすべての外周も一致して正４面体のサーフィスモデル９０が形成される。結果的に、矩形板ユニット４１，４２の頂点と中点に付された記号は、正４面体サーフィスモデル９０の稜線と各正三角形を完成させる。連続して結合した矩形板ユニット４１，４２の全結合距離は約６４６．４１ミリである。
【００２０】
さらに、重心Ｏと、開口部の赤道部外周との間に、同一の面から構成され正４面体の稜線の中点４カ所に接する正方形状の境界面r、s、z、xまたはt、u、w、vが仮想的に存在するので、正４面体のサーフィスモデル９０の表面積を２等分する場合は、２分の１の表面積をもった同型ユニット４１、４２として配置してもよい。さらに体積を２等分する場合は、積極的に正方形の境界面を付加して、２分の１の体積をもった対称的なモジュールを形成してもよい。
【実施例７】
【００２１】
図１９に示す他の実施例では、２個の正６角形板ユニット４３，４４の全片面に対して、周期的な単一エレメントからなる平面充填用の単一文様モチーフにＭ.Ｃ.エッシャーによる三色のトカゲ（白、グレー、黒）を使用し、該モチーフを隙間なく連続的に設けたことを特長とする正４面体サーフィスモデルの展開図１００である。この周期的モチーフは、２個の正６角形板ユニットの表面をシームレスに連続させることができると同時に、正４面体に立ち上がったサーフィスモデルの場合では、どの稜線においても、周期的モチーフは分断されることなくエンドレスに連続する。
【実施例８】
【００２２】
図２０に示す他の実施例は、球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面の地理情報に関する画像を、図２１に示すような正４面体の基本的な展開図１０２に変換した後に、さらに２個の正６角形板ユニット４５，４６の全片面に対してシームレスに平面充填した正４面体のサーフィスモデルの展開図１０１を示す。球面地理情報を対向する２つの極から投影する投影図法(perspective projection)によって、平面のスクリーンに投影した「方位図法」では全体の形は２つの円形地図になるが、この実施例によって球面地理情報での対向する２つの極は、２つの正６角形の中心に位置すると同時に、各半球の地理情報は各正６角形に置換される。最終的に折りたたみ可能な正４面体のサーフィスモデルに変換できる。このような全球面状の全地球的な地理情報地図以外に、宇宙的な天球儀情報地図または全方位的な球面画像に内接する正４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面画像を正６角形板ユニット２個の全片面に対してシームレスに平面充填してもよい。従来の全景をとらえるパノラマ（PANORAMA）の概念は円筒に投影された３６０度の視野角を意味しているが、本発明者は正４面体によって真の全方位をとらえる７２０度の視野角（この７２０度は４面体の内角の総和に一致することに関連する）の概念を発見し、その正４面体による全方位地図または全方位画像概念モデルに対してテトラマ（TETRAMA）と命名した。広角レンズでは光学原理的に１８０度以上の画角を越えられないうえ、パノラマ以上に概念的に３６０度の視野角を拡張できなかったが、テトラマによって球面情報を最小限の多面体である４面体にトポロジー的に変換すれば、幾何学原理的に存在する最大の視野角７２０度を本発明による連続した２個の同型の正６角形によって人間の視覚範囲で捉えることができる。
【実施例９】
【００２３】
図２２の他の実施例では、４つの合同な２等辺三角形からなる折りたたみ可能な４面体を構成するための６角形板ユニット４７、４８が２個連続する展開図８９を示す。本発明による同型の６角形板ユニット２個からなる折りたたみ可能な４面体サーフィスモデルは、正４面体サーフィスモデル以外にも無数に存在する。
【産業上の利用可能性】
【００２４】
この発明は、折りたたみ可能な構造によって、多角形板ユニット相互の組み立て工程が単純で容易なので、立体幾何学の教育教材、薄い素材の軽量構造物、容器やテントとしても有効である。さらに多角形板ユニットの平板を連続的に結合して４面体を構成できるので、周期的デザインの同一文様を４面体サーフィスモデルの展開図の片面または両面で連続させることができ、平面の正則分割と多面体の対称性の研究に極めて有効である。さらにまた、球面情報を数学的にシームレスに投影する合同な正６角形が２個連続した展開図から構成される最小限の多面体である正４面体サーフィスモデルは、パノラマでは達成できなかった全方位を再現できる。また全方位をとらえた球状の地理情報などに関する折りたたみ可能なテトラマ（TETRAMA）によって、認識可能な最大限の視野角（＝７２０度）を連続した同型の２個の６角形板ユニットまたは矩形板ユニットで提供できる。
【図面の簡単な説明】
【００２５】
【図１】本発明による実施例を示した２個連続した正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例１）
【図２】公知例を示した展開図である。
【図３】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図４】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図５】他の公知例を示した正４面体の展開図である。
【図６】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図７】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの組立工程図である。
【図８】本発明による実施例１の正４面体サーフィスモデルの他の組立工程図である。
【図９】本発明による他の実施例を示した分離した正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例２）
【図１０】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図１１】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの構造の説明のための斜視図である。
【図１２】本発明による実施例２の正４面体サーフィスモデルの構造の説明のための他の斜視図である。
【図１３】本発明による他の実施例を示した一体成形したユニットからなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例３）
【図１４】本発明による他の実施例を示した２個連続した６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例４）
【図１５】本発明による他の実施例を示した展開図である。（実施例５）
【図１６】本発明による他の実施例を示した２個連続した矩形からなる正４面体サーフィスモデルの斜視図である。（実施例６）
【図１７】本発明による実施例６の正４面体サーフィスモデルの展開図である。
【図１８】本発明による実施例６の正４面体サーフィスモデルの組立工程図である。
【図１９】本発明による他の実施例を示した単一の文様を平面充填した２個の６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例７）
【図２０】本発明による他の実施例を示したテトラマを平面充填した２個の正６角形からなる正４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例８）
【図２１】実施例８を作成する過程を説明するための、球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体に、トポロジー的に投影して形成される全方位的な平面の地理情報に関する画像の正４面体地図（テトラマ）である。
【図２２】本発明による他の実施例を示した２個連続した６角形からなる４面体サーフィスモデルの展開図である。（実施例９）
【符号の説明】
【００２６】
１０ 正４面体を構成する正三角形領域
１１ 折線
１２ 折線
１３ 正４面体の稜線
１４ Ｕ型、またはＶ型溝のヒンジ
１５ Ｕ型、またはＶ型溝のヒンジ
１６ 折線に設けた平行溝
１７ 折線に設けた平行溝
２０ 外形線
２１ 外形線
２２ ６角形板ユニットの共有結合部
２３ 外形線
２４ 外形線
２５ 矩形板ユニットの共有結合部
３０ 正６角形板ユニット
３１ 正６角形板ユニット
３２ 正６角形板ユニット
３３ 正６角形板ユニット
３８ 一体成形された正６角形プラスチック板ユニット
３９ ６角形板ユニット
４０ ６角形板ユニット
４１ 矩形板ユニット
４２ 矩形板ユニット
４３ 正６角形板ユニット
４４ 正６角形板ユニット
４５ ６角形板ユニット
４６ ６角形板ユニット
４７ 正６角形板ユニット
４８ 正６角形板ユニット
５０ 矩形領域
５１ 矩形領域
６０ 正４面体の赤道部
６１ 正４面体の赤道部
Ｒ１ 開口部
Ｒ２ 開口部
Ｒ３ 開口部
Ｒ４ 開口部
Ａ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｂ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｃ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｄ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｅ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｆ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｇ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｈ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｉ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｊ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｋ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｌ 正６角形板ユニットの頂点に付された記号
Ｐ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｑ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｍ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｎ 一組の平行な外形線の中点に付された記号
Ｒ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｓ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｚ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｕ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｔ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｖ 正６角形板ユニットの外形線の中点に付された記号
Ｘ 正６角形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
Ｙ 正６角形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
ｒ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｓ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｔ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｖ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｕ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｘ 矩形板ユニットの外形線の４分の一の中間点に付された記号
ｚ 矩形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
ｗ 矩形板ユニット間の外形線の共有結合部に付された記号
Ｚ１ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ２ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ３ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
Ｚ４ 正４面体サーフィスモデルの体積を２等分する境界面
８０ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル
８１ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８２ 正６角形プラスチック板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８３ 正４面体サーフィスモデルの蝶番を使用した展開図
８４ 分離した正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル分解斜視図
８５ 分離した正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８６ ６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
８７ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの構造説明図
８８ 正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの構造説明図
８９ ６角形板ユニットによる４つの合同な２等辺３角形からなる４面体サーフィスモデルの展開図
９０ 矩形板ユニットによる正４面体サーフィスモデル
９１ 矩形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１００ 単一のトカゲ文様が平面充填された正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１０１ 全方位地図 (テトラマ）が平面充填された正６角形板ユニットによる正４面体サーフィスモデルの展開図
１０２ 球面状の全地球的な地理情報地図に内接する正４面体に、トポロジー的に投影して形成される全方位的な地理情報に関する画像の正４面体地図（テトラマ）
【特許請求の範囲】
【請求項１】
不等辺三角形以外の合同な４つの三角形からなる４面体を構成するにあたり、少なくとも２組以上の平行な外形線をもつ合同な多角形板ユニット２個の各々において、一組の平行な外形線の各中点を結ぶ垂直線を該４面体の一つの稜線に等しい長さをもつ第１の折線とし、該各中点と隣り合う外形線の中点とを相互に結ぶ該稜線の２分の１に等しい長さの線分２本ずつを第２の折線とし、第１の折線で該一組の平行な外形線を左右対称に折り曲げて相互に可撓的に結合させ、すべての該第２の折線を第１の折線と同一方向に折り曲げた後に、該一組の平行な外形線以外の外形線からなる開閉可能な開口部を形成し、該多角形板ユニット２個の該開口部の外周を相互に完全に一致させて、最終的に４面体を形成したことを特長とする折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項２】
上記多角形板ユニットを正６角形板ユニットとしたことを特長とする「請求項１」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項３】
上記多角形板ユニット２個を、一つの外形線で互いに共有結合させ、該共有結合部で上記第２の折線どうしを一本に連続させたことを特長とする「請求項１」および「請求項２」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項４】
上記多角形板ユニットを矩形板ユニットとすると共に、上記隣り合う外形線の中点を隣り合う外形線の４分の１にあたる中間点としたことを特長とする「請求項１」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項５】
上記矩形板ユニット２個を、一つの外形線の２分の１の長さで互いに共有結合させ、該共有結合部で上記第２の折線どうしを一本に連続したことを特長とする「請求項４」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項６】
上記多角形板ユニット２個の全片面または全両面に対して、周期的な単数または複数のエレメントから成る平面充填用の文様を隙間なく連続的に設けたことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、および「請求項５」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項７】
上記多角形板ユニット２個の全片面または全両面に対して、球面状の全地球的な地理情報地図、または全宇宙的な天球儀情報地図、または全方位的な球面画像に内接する４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面画像をシームレスに平面充填したことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、および「請求項５」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項８】
上記第１、第２の折線を可撓的結合としたことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、および「請求項７」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項９】
上記多角形板ユニットの外形線の中点または頂点に合わせ記号を設けたことを特徴とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、「請求項７」、および「請求項８」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項１】
不等辺三角形以外の合同な４つの三角形からなる４面体を構成するにあたり、少なくとも２組以上の平行な外形線をもつ合同な多角形板ユニット２個の各々において、一組の平行な外形線の各中点を結ぶ垂直線を該４面体の一つの稜線に等しい長さをもつ第１の折線とし、該各中点と隣り合う外形線の中点とを相互に結ぶ該稜線の２分の１に等しい長さの線分２本ずつを第２の折線とし、第１の折線で該一組の平行な外形線を左右対称に折り曲げて相互に可撓的に結合させ、すべての該第２の折線を第１の折線と同一方向に折り曲げた後に、該一組の平行な外形線以外の外形線からなる開閉可能な開口部を形成し、該多角形板ユニット２個の該開口部の外周を相互に完全に一致させて、最終的に４面体を形成したことを特長とする折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項２】
上記多角形板ユニットを正６角形板ユニットとしたことを特長とする「請求項１」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項３】
上記多角形板ユニット２個を、一つの外形線で互いに共有結合させ、該共有結合部で上記第２の折線どうしを一本に連続させたことを特長とする「請求項１」および「請求項２」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項４】
上記多角形板ユニットを矩形板ユニットとすると共に、上記隣り合う外形線の中点を隣り合う外形線の４分の１にあたる中間点としたことを特長とする「請求項１」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項５】
上記矩形板ユニット２個を、一つの外形線の２分の１の長さで互いに共有結合させ、該共有結合部で上記第２の折線どうしを一本に連続したことを特長とする「請求項４」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項６】
上記多角形板ユニット２個の全片面または全両面に対して、周期的な単数または複数のエレメントから成る平面充填用の文様を隙間なく連続的に設けたことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、および「請求項５」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項７】
上記多角形板ユニット２個の全片面または全両面に対して、球面状の全地球的な地理情報地図、または全宇宙的な天球儀情報地図、または全方位的な球面画像に内接する４面体にトポロジー的に投影して形成される全方位的な平面画像をシームレスに平面充填したことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、および「請求項５」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項８】
上記第１、第２の折線を可撓的結合としたことを特長とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、および「請求項７」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【請求項９】
上記多角形板ユニットの外形線の中点または頂点に合わせ記号を設けたことを特徴とする「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、「請求項７」、および「請求項８」記載の折りたたみ可能な４面体サーフィスモデル。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図２２】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図２２】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【公開番号】特開２００６−３４３４４１（Ｐ２００６−３４３４４１Ａ）
【公開日】平成１８年１２月２１日（２００６．１２．２１）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００５−１６７７０７（Ｐ２００５−１６７７０７）
【出願日】平成１７年６月８日（２００５．６．８）
【出願人】（３０５０１１７０９）
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成１８年１２月２１日（２００６．１２．２１）
【国際特許分類】
【出願日】平成１７年６月８日（２００５．６．８）
【出願人】（３０５０１１７０９）
【Ｆターム（参考）】
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