構造の電磁散乱特性を計算し、近似構造を再構築する方法及び装置
【課題】回折格子の輪郭を再構築するＣＳＩアルゴリズムを開示する。
【解決手段】電流密度Ｊの体積積分式を解くには、Ｊの近似解を求めるように、Ｅ及びＪの連続成分を選択することにより、電場ＥＳ及び電流密度Ｊに関連するベクトル場ＦＳの暗示的構築を使用し、Ｆは１つ又は複数の材料境界にて連続している。Ｆは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表され、体積積分式を数値的に解くステップは、Ｆの畳み込みによってＪの成分を決定することを含み、畳み込み演算子Ｍは、両方向の材料及び幾何構造の特性を含む。Ｊは、両方向に関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表すことができる。連続成分は、Ｅ及びＪに作用する畳み込み演算子ＰＴ及びＰＮを使用して抽出することができる。
【解決手段】電流密度Ｊの体積積分式を解くには、Ｊの近似解を求めるように、Ｅ及びＪの連続成分を選択することにより、電場ＥＳ及び電流密度Ｊに関連するベクトル場ＦＳの暗示的構築を使用し、Ｆは１つ又は複数の材料境界にて連続している。Ｆは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表され、体積積分式を数値的に解くステップは、Ｆの畳み込みによってＪの成分を決定することを含み、畳み込み演算子Ｍは、両方向の材料及び幾何構造の特性を含む。Ｊは、両方向に関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表すことができる。連続成分は、Ｅ及びＪに作用する畳み込み演算子ＰＴ及びＰＮを使用して抽出することができる。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
[0001] 本発明は、構造の電磁散乱特性の計算に関する。本発明は、例えば微細構造のメトロロジーに適用して、例えばリソグラフィ装置のクリティカルディメンション（ＣＤ）性能を評価することができる。
【背景技術】
【０００２】
[0002] リソグラフィ装置は、所望のパターンを基板に、通常は基板のターゲット部分に適用する機械である。リソグラフィ装置は、例えば、集積回路（ＩＣ）の製造に使用可能である。このような場合、代替的にマスク又はレチクルとも呼ばれるパターニングデバイスを使用して、ＩＣの個々の層上に形成すべき回路パターンを生成することができる。このパターンを、基板（例えばシリコンウェーハ）上のターゲット部分（例えば１つ又は幾つかのダイの一部を含む）に転写することができる。パターンの転写は通常、基板に設けた放射感応性材料（レジスト）の層への結像により行われる。一般的に、１枚の基板は、順次パターンが与えられる隣接したターゲット部分のネットワークを含んでいる。従来のリソグラフィ装置は、パターン全体をターゲット部分に１回で露光することによって各ターゲット部分が照射される、いわゆるステッパと、基板を所与の方向（「スキャン」方向）と平行あるいは逆平行に同期的にスキャンしながら、パターンを所与の方向（「スキャン」方向）に放射ビームでスキャンすることにより、各ターゲット部分が照射される、いわゆるスキャナとを含む。パターンを基板にインプリントすることによっても、パターニングデバイスから基板へとパターンを転写することが可能である。
【０００３】
[0003] リソグラフィプロセスを監視するために、パターン付き基板のパラメータ、例えば基板内又は基板上に形成された連続層間のオーバレイ誤差を測定する必要がある。走査型電子顕微鏡及び様々な専用ツールの使用を含め、リソグラフィプロセスで形成された微細構造を測定するための様々な技術がある。専用検査ツールの一形態が、放射のビームを基板の表面上のターゲットに誘導し、散乱又は反射したビームの特性を測定するスキャトロメータである。基板によって反射又は散乱する前とその後のビームの特性を比較することにより、基板の特性を決定することができる。これは、例えば既知の基板特性に関連した既知の測定値のライブラリに格納されたデータと反射ビームを比較することによって実行することができる。スキャトロメータは２つの主なタイプが知られている。分光スキャトロメータは広帯域放射ビームを基板上に誘導し、特定の狭い角度範囲に散乱した放射のスペクトル（波長の関数としての強度）を測定する。角度分解スキャトロメータは単色放射ビームを使用し、散乱した放射の強度を角度の関数として測定する。
【０００４】
[0004] さらに一般的には、散乱した放射を、構造の複数のモデルから数学的に予測された散乱挙動と比較することができ、予測された挙動が現実のサンプルから観察された散乱と一致するまで、これを自由に設定し、変更することができれば有用である。残念ながら、数値処理によって散乱をモデル化する方法は原則的に知られているが、既知の技術の計算負荷によって、このような技術は非現実的になり、リアルタイムの再構築が望ましい場合、及び／又は関係する構造が１次元で周期的な単純構造よりも複雑である場合に特にそうである。
【０００５】
[0005] ＣＤの再構築は、逆散乱という一般名で知られる一群の問題に属し、逆散乱では観察データを可能な物理的状況と突き合わせる。その目的は、可能な限り近い観察データを生じる物理的状況を発見することである。スキャトロメータの場合は、電磁理論（マクスウェルの方程式）によって、所与の物理的状況に対して測定（散乱）データがどうなるかを予測することができる。これを前方散乱問題と呼ぶ。逆散乱問題は、実際の測定データに対応する適切な物理的状況を探し出すことになり、これは通常、高非線形の問題である。この逆散乱問題を解くには、多くの前方散乱問題の解を使用する非線形ソルバを使用する。既知の再構築方法では、非線形問題が３つの成分に基づいている。
・測定データと推定した散乱設定から計算したデータとの差のガウス・ニュートンの最小化
・散乱設定のパラメータ化した形状、例えばコンタクトホールの半径及び高さ
・パラメータ更新毎の前方問題の解（例えば計算した反射係数）の十分に高い精度
【０００６】
[0006] 逆散乱問題を解決するために最近の文献に記録されている別の成功アプローチは、コントラスト源反転（Contrast-Source Inversion: ＣＳＩ）［１４］である。本質的に、ＣＳＩはデータの不整合とマクスウェルの方程式の不整合とを同時に解決する公式化を使用する、すなわち、最小化の各ステップでマクスウェルの方程式を十分な精度まで解かない。さらに、ＣＳＩはパラメータ化した形状ではなく、ぼやけた像を使用する。
【０００７】
[0007] ＣＳＩが成功したのは、基本的な未知数として、いわゆるコントラスト源Ｊ及びコントラスト関数χに関して逆問題を再公式化したことによるところが大きい。この再公式化によって、測定データの不整合がχからもＪの線形問題からも無関係になるが、χとＪの結合により、マクスウェルの方程式の不整合は非線形のままである。ＣＳＩは、体積積分法（Volume-Integral Method: ＶＩＭ）［１４］、有限要素法（Finite Element method: ＦＥＭ）［１５］、及び有限差分法（Finite Difference: ＦＤ）［１６］とうまく結合された。しかし、基礎となる数値的方法（ＶＩＭ、ＦＥＭ、ＦＤ）はすべて、空間公式化及び空間離散化（すなわち、ピクセル又はメッシュ）に基づいている。
【発明の概要】
【０００８】
[0008] 半導体処理の分野では、電磁散乱特性の正確な計算を迅速に実行することが望ましい。
【０００９】
[0009] 本発明の第１の態様によれば、構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、構造が、材料境界にて電磁場に少なくとも１つの不連続を引き起こすような様々な特性の材料を含み、前記方法が、電磁場の連続成分及び電磁場に対応するスケーリング電磁束密度の連続成分で演算するために、コントラスト電流密度の体積積分式を、場と材料の相互作用演算子を使用してコントラスト電流密度の成分を決定することによって、数値的に解くステップであって、スケーリング電磁束密度が電磁場及びコントラスト電流密度の不連続成分のスケーリング合計として形成される、ステップと、コントラスト電流密度の決定された成分を使用して構造の電磁散乱特性を計算するステップとを含む、方法が提供される。
【００１０】
[0010] 本発明の第２の態様によれば、放射線によるオブジェクトの照明で生じる検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、少なくとも１つの構造パラメータを推定するステップと、少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性が第１の態様による方法を使用して決定される、方法が提供される。
【００１１】
[00011] 本発明の第３の態様によれば、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、オブジェクトを放射で照明するように構成された照明システムと、照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、少なくとも１つの構造パラメータを推定し、少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成された処理装置とを備え、該処理装置が、第１の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される、検査装置が提供される。
【００１２】
[0012] 本発明の第４の態様によれば、構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り可能命令の１つ又は複数のシーケンスを含み、命令が１つ又は複数の処理装置に第１の態様による方法を実行させるようになされている、コンピュータプログラムプロダクトが提供される。
【００１３】
[0013] 本発明の別の特徴及び利点と本発明の様々な実施形態の構造及び作用を、添付の図面を用いて以下に詳述する。本発明は、本明細書に記載する特定の実施形態に限定されないことに留意されたい。このような実施形態は、例示のみを目的として本明細書に記載されている。本明細書に含まれる教示に基づいて当業者はさらなる実施形態を容易に思い付くであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
[0014] 本明細書に組み込まれ、明細書の一部をなす添付の図面は、本発明を例示し、説明と共に、本発明の原理をさらに説明し、当業者が本発明を実施して使用することを可能にする。
【図１】[0015]リソグラフィ装置を示す。
【図２】[0016]リソグラフィセル又はクラスタを示す。
【図３】[0017]第１のスキャトロメータを示す。
【図４】[0018]第２のスキャトロメータを示す。
【図５】[0019]スキャトロメータの測定値から構造を再構築するために本発明の実施形態を使用する第１の例のプロセスを示す。
【図６】[0020]スキャトロメータの測定値から構造を再構築するために本発明の実施形態を使用する第２の例のプロセスを示す。
【図７】[0021]本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何形状を示す。
【図８】[0022]バックグラウンドの構造を示す。
【図９】[0023]グリーンの関数を使用して散乱場と層状媒体の相互作用を計算することを示す。
【図１０】[0024]コントラスト電流密度のＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。
【図１１】[0025]従来技術で知られているようなコントラスト電流密度のＶＩＭ式を使用して更新ベクトルを計算するフローチャートである。
【図１２】[0026]本発明の実施形態を示す。
【図１３ａ】[0027]本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１３ｂ】[0028]本発明の実施形態によりコントラスト源反転でＶＩＭ式を解く際に使用するコントラスト電流密度の行列ベクトル積のフローチャートである。
【図１３ｃ】[0029]図１３ｂの行列ベクトル積に使用する材料及び投影オペレータの動作のフローチャートである。
【図１４】[0030]本発明の実施携帯による構造の電磁散乱特性を計算する方法のフローチャートである。
【図１５ａ】[0031]オフセットｃ０がある回転楕円のグローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の定義である。
【図１５ｂ】[0032]楕円座標系のＮＶ場を示す。
【図１５ｃ】[0033]楕円の等角写像を示す。
【図１６ａ】[0034]矩形の連続ＮＶ場を示す。
【図１６ｂ】[0035]矩形の不連続ＮＶ場を示す。
【図１７】[0036]基本形状の「ドッグボーン」のメッシュを示す。
【図１８】[0037]本発明の実施形態により、断面が角丸矩形のプリズムの法線ベクトル場を、これより小さい矩形及び円弧から構築することを示す。
【図１９】[0038]回転してシフトした三角形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２０】[0039]回転してシフトした台形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２１】[0040]回転してシフトした円弧をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２２】[0041]段階的近似によって楕円を近似する手順を示す。
【図２３】[0042]本発明の実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成したコンピュータシステムを概略形式で示す。
【００１５】
[0043] 本発明の特徴及び利点は、類似の参照番号がそれに対応する要素を一貫して識別する図面を参照しながら以下の説明を読むことでさらに明らかになろう。図面では、通常、類似の番号が同一の、機能が類似した、及び／又は構造が類似した要素を示す。ある要素が最初に出現する図面は、対応する参照番号の左端の１つ又は複数の数字によって示される。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
[0044] 本発明は、均一性補償器を用いて、例えば、照明ビームの移動、光カラムの均一性、均一性補償器のドリフトなどによって引き起こされる均一性ドリフトを補償する方法に関する。本明細書は、本発明の特徴を組み込んだ１つ又は複数の実施形態を開示する。開示された実施形態は本発明を例示するに過ぎない。本発明の範囲は、開示された実施形態に限定されない。本発明は、添付の特許請求の範囲によって規定される。
【００１７】
[0045] 記載される実施形態、及び明細書内の、「一実施形態」、「ある実施形態」、「例示の実施形態」などの表現は、記載された実施形態が特定の機能、構造、又は特性を含むことができる旨を示すが、すべての実施形態が特定の機能、構造、又は特性を必ずしも含まなくてもよい。さらに、このような字句は、必ずしも同じ実施形態に言及している訳ではない。さらに、特定の機能、構造、又は特性がある実施形態に関連して記載されている時には、明示的であるか否かを問わず、当業者は知識の範囲内でこのような機能、構造、又は特性を他の実施形態に関連して扱うことができると考えられる。
【００１８】
[0046] 本発明の実施形態は、ハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア、又はそれらの任意の組合せで実施してもよい。また、本発明の実施形態は、１つ又は複数のプロセッサによって読み出して実行することができる機械読み取り可能媒体に格納された命令として実施してもよい。機械読み取り可能媒体は、機械（例えば、コンピュータ装置）が読み取れる形式で情報を記憶又は伝送できる任意の機構を含んでもよい。例えば、機械読み取り可能媒体は、読取専用メモリ（ＲＯＭ）、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ），磁気ディスク記憶媒体、光記憶媒体、フラッシュメモリデバイス、電気、光、音声又はその他の形態の伝搬信号（例えば、搬送波、赤外線信号、ディジタル信号など）、その他を含んでもよい。さらに、本明細書に一定の動作を実行するファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令を記載してもよい。しかし、そのような記載は便宜のためだけであり、そのような動作は、実際には、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行するコンピュータ装置、プロセッサ、コントローラ、又はその他のデバイスによって行われる。
【００１９】
[0047] このような実施形態を詳述する前に、本発明の実施形態を実施することができる例示の環境を提示することが有用であろう。
【００２０】
[0048] 図１は、リソグラフィ装置を概略的に示す。この装置は、放射ビームＢ（例えばＵＶ放射又はＤＵＶ放射）を調節するように構成された照明システム（イルミネータ）ＩＬと、パターニングデバイス（例えばマスク）ＭＡを支持するように構成され、特定のパラメータに従ってパターニングデバイスを正確に位置決めするように構成された第１のポジショナＰＭに接続された支持構造（例えばマスクテーブル）ＭＴと、基板（例えばレジストコートウェーハ）Ｗを保持するように構成され、特定のパラメータに従って基板を正確に位置決めするように構成された第２のポジショナＰＷに接続された基板テーブル（例えばウェーハテーブル）ＷＴと、パターニングデバイスＭＡによって放射ビームＢに与えられたパターンを基板Ｗのターゲット部分Ｃ（例えば１つ又は複数のダイを含む）に投影するように構成された投影システム（例えば屈折投影レンズシステム）ＰＬとを含む。
【００２１】
[0049] 照明システムは、放射の誘導、整形、又は制御を行うための、屈折、反射、磁気、電磁、静電型等の光学コンポーネント、又はその任意の組合せなどの種々のタイプの光学コンポーネントを含んでいてもよい。
【００２２】
[0050] 支持構造は、パターニングデバイスを支持、すなわちその重量を支えている。支持構造は、パターニングデバイスの方向、リソグラフィ装置の設計等の条件、例えばパターニングデバイスが真空環境で保持されているか否かに応じた方法で、パターニングデバイスを保持する。この支持構造は、パターニングデバイスを保持するために、機械式、真空式、静電式等のクランプ技術を使用することができる。支持構造は、例えばフレーム又はテーブルでよく、必要に応じて固定式又は可動式でよい。支持構造は、パターニングデバイスが例えば投影システムなどに対して確実に所望の位置にくるようにできる。本明細書において「レチクル」又は「マスク」という用語を使用した場合、その用語は、より一般的な用語である「パターニングデバイス」と同義と見なすことができる。
【００２３】
[0051] 本明細書において使用する「パターニングデバイス」という用語は、基板のターゲット部分にパターンを生成するように、放射ビームの断面にパターンを与えるために使用し得る任意のデバイスを指すものとして広義に解釈されるべきである。ここで、放射ビームに与えられるパターンは、例えばパターンが位相シフトフィーチャ又はいわゆるアシストフィーチャを含む場合、基板のターゲット部分における所望のパターンに正確には対応しないことがある点に留意されたい。通常、放射ビームに与えられるパターンは、集積回路などのターゲット部分に生成されるデバイスの特定の機能層に相当する。
【００２４】
[0052] パターニングデバイスは透過性又は反射性でよい。パターニングデバイスの例には、マスク、プログラマブルミラーアレイ、及びプログラマブルＬＣＤパネルがある。マスクはリソグラフィにおいて周知のものであり、これには、バイナリマスク、レベンソン型(alternating)位相シフトマスク、ハーフトーン型(attenuated)位相シフトマスクのようなマスクタイプ、さらには様々なハイブリッドマスクタイプも含まれる。プログラマブルミラーアレイの一例として、小さなミラーのマトリクス配列を使用し、そのミラーは各々、入射する放射ビームを異なる方向に反射するよう個々に傾斜することができる。傾斜したミラーは、ミラーマトリクスによって反射する放射ビームにパターンを与える。
【００２５】
[0053] 本明細書において使用する「投影システム」という用語は、例えば使用する露光放射、又は液浸液の使用や真空の使用などの他の要因に合わせて適宜、例えば屈折型光学システム、反射型光学システム、反射屈折型光学システム、磁気型光学システム、電磁型光学システム及び静電型光学システム、又はその任意の組合せを含む任意のタイプの投影システムを網羅するものとして広義に解釈されるべきである。本明細書において「投影レンズ」という用語を使用した場合、これはさらに一般的な「投影システム」という用語と同義と見なしてもよい。
【００２６】
[0054] 本明細書で示すように、本装置は透過タイプである（例えば透過マスクを使用する）。あるいは、装置は反射タイプでもよい（例えば上記で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイを使用する、又は反射マスクを使用する）。
【００２７】
[0055] リソグラフィ装置は、２つ（デュアルステージ）又はそれ以上の基板テーブル（及び／又は２つ以上のマスクテーブル）を有するタイプでよい。このような「マルチステージ」機械においては、追加のテーブルを並行して使用するか、１つ又は複数の他のテーブルを露光に使用している間に１つ又は複数のテーブルで予備工程を実行することができる。
【００２８】
[0056] リソグラフィ装置は、投影システムと基板との間の空間を充填するように、基板の少なくとも一部を水などの比較的高い屈折率を有する液体で覆えるタイプでもよい。液浸液は、例えばマスクと投影システムの間など、リソグラフィ装置の他の空間に適用することもできる。液浸技術は、投影システムの開口数を増加させるために当技術分野で周知である。本明細書で使用する「液浸」という用語は、基板などの構造を液体に沈めなければならないということをもっぱら意味するのではなく、露光中に投影システムと基板の間に液体が存在するというほどの意味である。
【００２９】
[0057] 図１を参照すると、イルミネータＩＬは放射源ＳＯから放射ビームを受ける。放射源とリソグラフィ装置とは、例えば放射源がエキシマレーザである場合に、別々の構成要素であってもよい。このような場合、放射源はリソグラフィ装置の一部を形成すると見なされず、放射ビームは、例えば適切な誘導ミラー及び／又はビームエクスパンダなどを備えるビームデリバリシステムＢＤを用いて、放射源ＳＯからイルミネータＩＬへと渡される。他の事例では、例えば放射源が水銀ランプの場合は、放射源がリソグラフィ装置の一体部分であってもよい。放射源ＳＯ及びイルミネータＩＬは、必要に応じてビームデリバリシステムＢＤとともに放射システムと呼ぶことができる。
【００３０】
[0058] イルミネータＩＬは、放射ビームの角度強度分布を調整するアジャスタＡＤを備えていてもよい。通常、イルミネータＩＬの瞳面における強度分布の少なくとも外側及び／又は内側半径範囲（通例それぞれ、σ-outer及びσ-innerと呼ばれる）を調整することができる。また、イルミネータＩＬは、インテグレータＩＮ及びコンデンサＣＯなどの他の種々のコンポーネントを備えていてもよい。イルミネータＩＬを用いて放射ビームを調節し、その断面にわたって所望の均一性と強度分布とが得られるようにしてもよい。
【００３１】
[0059] 放射ビームＢは、支持構造（例えば、マスクテーブル）ＭＴ上に保持されたパターニングデバイス（例えば、マスク）ＭＡに入射し、パターニングデバイスによってパターニングされる。マスクＭＡを横断した放射ビームＢは、投影システムＰＳを通過し、投影システムＰＳは、ビームを基板Ｗのターゲット部分Ｃ上に合焦させる。第２のポジショナＰＷと位置センサＩＦ（例えば、干渉計デバイス、リニアエンコーダ、２Ｄエンコーダ、又は容量センサ）を用いて、基板テーブルＷＴは、例えば、様々なターゲット部分Ｃを放射ビームＢの経路に位置決めできるように正確に移動できる。同様に、第１のポジショナＰＭと別の位置センサ（図１には明示されていない）を用いて、マスクライブラリからの機械的な取り出し後又はスキャン中などに放射ビームＢの経路に対してマスクＭＡを正確に位置決めできる。通常に、マスクテーブルＭＴの移動は、第１のポジショナＰＭの部分を形成するロングストロークモジュール（粗動位置決め）及びショートストロークモジュール（微動位置決め）を用いて実現できる。同様に、基板テーブルＷＴの移動は、第２のポジショナＰＷの部分を形成するロングストロークモジュール及びショートストロークモジュールを用いて実現できる。ステッパの場合（スキャナとは対照的に）、マスクテーブルＭＴをショートストロークアクチュエータのみに接続するか、又は固定してもよい。マスクＭＡ及び基板Ｗは、マスクＭ１、Ｍ２及び基板アライメントマークＰ１、Ｐ２を使用して位置合わせすることができる。図示のような基板アライメントマークは、専用のターゲット部分を占有するが、ターゲット部分の間の空間に位置してもよい（スクライブレーンアライメントマークとして知られている）。同様に、マスクＭＡ上に複数のダイを設ける状況では、マスクアライメントマークをダイ間に配置してもよい。
【００３２】
[0060] 図示のリソグラフィ装置は、以下のモードのうち少なくとも１つにて使用可能である。
１．ステップモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは、基本的に静止状態に維持される一方、放射ビームに与えたパターン全体が１回でターゲット部分Ｃに投影される（すなわち単一静的露光）。次に、別のターゲット部分Ｃを露光できるように、基板テーブルＷＴがＸ方向及び／又はＹ方向に移動される。ステップモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一静的露光で結像されるターゲット部分Ｃのサイズが制限される。
２．スキャンモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは同期的にスキャンされる一方、放射ビームに与えられるパターンがターゲット部分Ｃに投影される（すなわち単一動的露光）。マスクテーブルＭＴに対する基板テーブルＷＴの速度及び方向は、投影システムＰＬの拡大（縮小）及び像反転特性によって求めることができる。スキャンモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一動的露光におけるターゲット部分の（非スキャン方向における）幅が制限され、スキャン動作の長さによってターゲット部分の（スキャン方向における）高さが決まる。
３．別のモードでは、マスクテーブルＭＴはプログラマブルパターニングデバイスを保持して基本的に静止状態に維持され、基板テーブルＷＴを移動又はスキャンさせながら、放射ビームに与えられたパターンをターゲット部分Ｃに投影する。このモードでは、一般にパルス状放射源を使用して、基板テーブルＷＴを移動させる毎に、又はスキャン中に連続する放射パルスの間で、プログラマブルパターニングデバイスを必要に応じて更新する。この動作モードは、以上で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイなどのプログラマブルパターニングデバイスを使用するマスクレスリソグラフィに容易に利用できる。
【００３３】
[0061] 上述した使用モードの組合せ及び／又は変形、又は全く異なる使用モードも利用できる。
【００３４】
[0062] 図２に示すように、リソグラフィ装置ＬＡは、リソセル又はクラスタとも呼ばれることがあるリソグラフィセルＬＣの一部を形成し、それは基板上で露光前及び露光後プロセスを実行する装置も含む。従来、これらはレジスト層を堆積させるスピンコータＳＣ、露光されたレジストを現像する現像器ＤＥ、チルプレートＣＨ及びベークプレートＢＫを含む。基板ハンドラ、すなわちロボットＲＯは入力／出力ポートＩ／Ｏ１、Ｉ／Ｏ２から基板を取り上げ、それを様々なプロセス装置間で移動させ、次にリソグラフィ装置のローディングベイＬＢに送出する。多くの場合まとめてトラックと呼ばれるこれらのデバイスは、トラック制御ユニットＴＣＵの制御下にあり、それ自体は監視制御システムＳＣＳによって制御され、それはリソグラフィ制御ユニットＬＡＣＵを介してリソグラフィ装置も制御する。したがってスループット及び処理の効率を最大化するために様々な装置を動作させることができる。
【００３５】
[0063] リソグラフィ装置によって露光される基板が正確かつ一貫して露光されるために、露光した基板を検査し、後続層間のオーバレイ誤差、ラインの太さ、クリティカルディメンション（ＣＤ）などのような特性を測定することが望ましい。誤差が検出された場合は、特に同じバッチの他の基板がまだ露光されないほど十分即座にかつ高速で検査を実行できる場合は、後続基板の露光を調節することができる。また、既に露光した基板を（歩留まりを改善するために）取り外して再加工するか、又は廃棄し、それにより欠陥があることが分かっている基板で露光を実行するのを回避することができる。基板の幾つかのターゲット部分のみに欠陥がある場合、良好であるそれらのターゲット部分のみでさらなる露光を実行することができる。
【００３６】
[0064] 基板の特性を、特に異なる基板又は同じ基板の異なる層の特性が層ごとにいかに変化するかを決定するために、検査装置が使用される。検査装置をリソグラフィ装置ＬＡに組み込むことができる、又はリソセルＬＣは独立型デバイスとすることができる。最も迅速な測定を可能にするために、検査装置は露光直後に露光したレジスト層の特性を測定することが望ましい。しかし、レジストの潜像はコントラストが非常に低く、（放射に露光してあるレジストの部分と露光していない部分との間には屈折率の非常に小さい差しかない）すべての検査装置が、潜像を有用に測定するほど十分な感度を有しているわけではない。したがって、露光後ベークステップ（Post-Exposure Bake: ＰＥＢ）の後に測定を実行することができ、これは通常は露光した基板で実行する最初のステップであり、レジストの露光部分と非露光部分との間のコントラストを増大させる。この段階で、レジストの像を半潜像と呼ぶことができる。現像したレジスト像で（その時点でレジストの露光部分又は非露光部分は除去されている）又はエッチングなどのパターン転写ステップの後で測定することも可能である。後者の見込みは、欠陥がある基板を再加工する見込みを制限するが、それでも有用な情報を提供することができる。
【００３７】
[0065] 図３は、本発明のある実施形態に使用できるスキャトロメータを示す。これは、放射を基板Ｗに投影する広帯域（白色光）放射プロジェクタ２を備える。反射した放射はスペクトロメータ検出器４へと渡され、これは鏡面反射した放射のスペクトル１０（波長の関数としての強度）を測定する。このデータから、検出されるスペクトルを生じる構造又はプロファイルを処理ユニットＰＵにより、例えば従来のＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び非線形回帰により、又は図３の下部に図示されたようなシミュレートしたスペクトルのライブラリとの比較により再構築することができる。概して、再構築するために構造の全体的形状を知り、幾つかのパラメータは、構造を作成したプロセスの知識から仮定して、スキャトロメータのデータから決定するべき構造のパラメータはわずかしか残らない。このようなスキャトロメータは、垂直入射スキャトロメータ又は斜め入射スキャトロメータとして構成することができる。
【００３８】
[0066] 本発明のある実施形態で使用できる別のスキャトロメータが、図４に示されている。このデバイスでは、放射源２によって放出された放射が、レンズシステム１２を使用して干渉フィルタ１３及び偏光子１７を通して集束し、部分反射面１６によって反射して、好ましくは少なくとも０．９、さらに好ましくは少なくとも０．９５の高い開口数（ＮＡ）を有する顕微鏡の対物レンズ１５を介して基板Ｗに集束する。液浸スキャトロメータは、開口数が１を超えるレンズを有することさえある。反射した放射は次に、散乱スペクトルを検出させるために部分反射面１６を通って検出器１８内に伝達される。検出器は、レンズシステム１５の焦点距離にある逆投影された瞳面１１に位置付けることができるが、瞳面は、代わりに補助光学系（図示せず）で検出器に再結像することができる。瞳面は、放射の半径方向位置が入射角度を画定し、角度位置が放射の方位角を画定する面である。検出器は、基板ターゲット３０の２次元角度散乱スペクトルを測定できるように、２次元検出器であることが好ましい。検出器１８は、例えばＣＣＤ又はＣＭＯＳセンサのアレイでよく、例えば１フレーム当たり４０ミリ秒の積分時間を使用することができる。
【００３９】
[0067] 例えば、入射放射の強度を測定するために、基準ビームを使用することが多い。そのために、放射ビームがビームスプリッタ１６に入射すると、その一部がビームスプリッタを通って基準ビームとして基準ミラー１４に向かって伝達される。次に、基準ビームは同じ検出器１８の異なる部分へと投影される。
【００４０】
[0068] 例えば４０５〜７９０ｎｍ又はさらに低く、２００〜３００ｎｍなどの範囲の対象となる波長を選択するために、１組の干渉フィルタ１３が使用可能である。干渉フィルタは、１組の様々なフィルタを備えるのではなく、調整可能とすることができる。干渉フィルタではなく格子を使用することができる。
【００４１】
[0069] 検出器１８は、１つの波長（又は狭い波長範囲）で散乱光の強度を、複数の波長で別個に、又はある波長範囲にわたって積分された強度を測定することができる。さらに、検出器は横方向磁気光及び横方向電気分極光の強度及び／又は横方向磁気光と横方向電気分極光の位相差を別個に測定することができる。
【００４２】
[0070] 広帯域光源（すなわち光の周波数又は波長、したがって色の範囲が広い光源）を使用することが可能であり、これは大きいエタンデュを生じ、複数の波長を混合できるようにする。広帯域の複数の波長は、好ましくはそれぞれΔλの帯域幅及び少なくとも２Δλ（すなわち帯域幅の２倍）の間隔を有する。幾つかの放射「源」は、ファイバ束を使用して分割されている延在した放射源の様々な部分でもよい。この方法で、角度分解散乱スペクトルを複数の波長で平行して測定することができる。３次元スペクトル（波長と２つの異なる角度）を測定することができ、これは２次元スペクトルより多くの情報を含む。これによって、より多くの情報を測定することができ、それはメトロロジープロセスのロバスト性を高める。このことは、参照により全体を本明細書に組み込むものとするＥＰ１，６２８，１６４Ａでさらに詳細に説明されている。
【００４３】
[0071] 基板Ｗ上のターゲット３０は格子でよく、それは現像後にバーがレジストの実線で形成されるように印刷される。バーは、代替的に基板にエッチングしてもよい。このパターンは、リソグラフィ投影装置、特に投影システムＰＬの色収差に敏感であり、照明の対称性及びこのような収差の存在は、印刷された格子の変化に現れる。したがって、印刷された格子のスキャトロメータデータを使用して、格子を再構築する。線の幅及び形状などの格子のパラメータは、印刷ステップ及び／又は他のスキャトロメータのプロセスの知識から、処理ユニットＰＵによって実行される再構築プロセスに入力することができる。
【００４４】
モデリング
[0072] 上述したように、ターゲットは基板の表面上にある。このターゲットは、２Ｄアレイの回折格子又は実質的に矩形の構造で一連の線の形状をとることが多い。メトロロジーにおける厳密光回折理論の目的は、ターゲットから反射する回折スペクトルの効率的な計算である。すなわち、ＣＤ（クリティカルディメンション）の均一性及びオーバレイのメトロロジーに対してターゲット形状の情報を取得する。オーバレイのメトロロジーとは、基板上の２つの層が位置合わせされているか否かを決定するために２つのターゲットのオーバレイを測定する測定システムである。ＣＤの均一性とは、リソグラフィ装置の露光システムがいかに機能しているかを決定するために、単にスペクトルの回折格子の均一性を測定することである。特にＣＤ、すなわち、クリティカルディメンションとは、基板に「書かれる」オブジェクトの幅であり、リソグラフィ装置が物理的に基板に書くことができる限界である。
【００４５】
[0073] ターゲット３０のようなターゲット構造及びその回折特性のモデリングと組み合わせて上述したスキャトロメータの一つを使用すると、構造の形状及び他のパラメータの測定を幾つかの方法で実行することができる。図５で表した第１のタイプのプロセスでは、ターゲット形状（第１の候補の構造）の第１の推定値に基づいた回折パターンを計算し、観察した回折パターンと比較する。次にモデルのパラメータを体系的に変更し、一連の反復で回折を再計算し、新しい候補の構造を生成すると、最良適合に到達する。図６で表した第２のタイプのプロセスでは、多くの異なる候補構造の回折スペクトルを事前に計算して、回折スペクトルの「ライブラリ」を生成する。次に、測定ターゲットから観察された回折パターンを計算したスペクトルのライブラリと比較して最良適合を求める。両方の方法を一緒に使用することができる。すなわち、ライブラリから粗適合を取得することができ、その後に反復プロセスで最良適合を求める。
【００４６】
[0074] 図５をさらに詳細に参照して、ターゲット形状及び／又は材料特性の測定を実行する方法を手短に説明する。この説明では、ターゲットを１次元（１Ｄ）で周期的な構造と仮定する。実際には２次元で周期的なことがあり、それに応じて処理を適合させる。
【００４７】
[0075] ステップ５０２では、上述したようなスキャトロメータを使用して、基板上にある実際のターゲットの回折パターンを測定する。この測定した回折パターンを、コンピュータのような計算システムに転送する。計算システムは、以上で言及した処理ユニットＰＵ、又は別個の装置でよい。
【００４８】
[0076] ステップ５０３では、幾つかのパラメータｐｉ（ｐ１、ｐ２、ｐ３など）に関してターゲット構造のパラメータ化したモデルを画定する「モデルレシピ」が確立される。これらのパラメータは、例えば１Ｄで周期的な構造の側壁の角度、フィーチャの高さ又は深さ、フィーチャの幅を表すことができる。ターゲット材料及び下にある層の特性は、屈折率（スキャトロメータの放射ビームに存在する特定の波長における）などのパラメータでも表される。特定の例を以下に挙げる。ターゲット構造を、その形状及び材料特性を表す数十のパラメータによって画定できる場合、モデルレシピが固定値を有するようにそれらの多くを画定する一方、他のパラメータはその後のプロセスステップのために可変であるか、「浮動」パラメータとなることが重要である。
【００４９】
[0077] ステップ５０４では、浮動パラメータ（すなわち、ｐ１（０）、ｐ２（０）、ｐ３（０）など）の初期値ｐｉ（０）を設定することにより、モデルターゲット形状を推定する。各浮動パラメータは、レシピで画定されるように、予め画定された特定の範囲内で生成される。
【００５０】
[0078] ステップ５０６では、推定した形状を表すパラメータをモデルの様々な要素の光学特性とともに使用して、散乱特性を計算し、例えばＲＣＷＡなどの厳密光回折方法又はマクスウェルの方程式の任意の他のソルバを使用する。これで、推定されたターゲット形状の推定又はモデル回折パターンが与えられる。
【００５１】
[0079] ステップ５０８及び５１０では、次に測定した回折パターン及びモデル回折パターンを比較し、その類似度及び差を使用してモデルターゲット形状の「メリット関数」を計算する。
【００５２】
[0080] ステップ５１２では、モデルが実際のターゲット形状を正確に表すには、モデルを改良する必要があるということをメリット関数が示すと仮定して、新しいパラメータｐ１（１）、ｐ２（１）、ｐ３（１）などを推定し、ステップ５０６に反復フィードバックする。ステップ５０６から５１２を繰り返す。
【００５３】
[0081] サーチを補助するために、ステップ５０６の計算はメリット関数の偏導関数をさらに生成し、パラメータ空間のこの特定の領域において、パラメータの増減がメリット関数を増減する感度を示す。メリット関数の計算及び導関数の使用は当技術分野で通常知られているので、本明細書では詳細に説明しない。
【００５４】
[0082] ステップ５１４では、この反復プロセスが所望の正確さの解に収束していることをメリット関数が示す場合、現在推定しているパラメータを実際のターゲット構造の測定値として報告する。
【００５５】
[0083] この反復プロセスの計算時間は、使用する順方向回折モデルによって、すなわち、推定したターゲット構造からの厳密光回折理論を使用した推定モデル回折パターンの計算によってほぼ決定される。さらに多くのパラメータが必要である場合は、さらに多くの自由度がある。計算時間は原則として、自由度の累乗で増加する。
【００５６】
[0084] ５０６で計算した推定又はモデル回折パターンは、様々な形式で表すことができる。計算したパターンを、ステップ５１０で生成した測定パターンと同じ形式で表すと、比較が単純化される。例えばモデル化したスペクトルは図３の装置で測定したスペクトルと容易に比較することができ、モデル化した瞳パターンは図４の装置で測定した瞳パターンと容易に比較することができる。
【００５７】
[0085] 本明細書の説明を通して図５以降では、「回折パターン」という用語は、図４のスキャトロメータを使用するものと仮定して使用する。当業者であれば、この教示を様々なタイプのスキャトロメータに、さらには他のタイプの測定計器に容易に適合させることができる。
【００５８】
[0086] 図６は、様々な推定ターゲット形状（候補の構造）の複数のモデル回折パターンを事前に計算し、実際の測定値と比較するためにライブラリに記憶する代替例のプロセスを示す。その背後にある原理及び用語は図５のプロセスと同じである。図６のプロセスのステップは以下の通りである。
【００５９】
[0087] ステップ６０２では、ライブラリを生成するプロセスを実行する。ターゲット構造のタイプ毎に別個のライブラリを生成することができる。ライブラリは、必要に応じて測定装置の使用者が生成するか、又は装置の供給業者が予め生成することができる。
【００６０】
[0088] ステップ６０３では、幾つかのパラメータｐｉ（ｐ１、ｐ２、ｐ３など）に関してターゲット構造のパラメータ化したモデルを画定する「モデルレシピ」を確立する。考慮事項は、反復プロセスのステップ５０３のそれと同様である。
【００６１】
[0089] ステップ６０４では、例えばそれぞれが予想された値の範囲内である全パラメータのランダム値を生成することによって、第１のセットのパラメータｐ１（０）、ｐ２（０）、ｐ３（０）などを生成する。
【００６２】
[0090] ステップ６０６では、モデル回折パターンを計算してライブラリに記憶し、パラメータによって表されたターゲット形状から予想される回折パターンを表す。
【００６３】
[0091] ステップ６０８では、新しいセットのパラメータｐ１（１）、ｐ２（１）、ｐ３（１）などを生成する。ステップ６０６〜６０８は、記憶したモデル化回折パターンをすべて備えるライブラリが十分に完全であると判断されるまで数十回、数百回、又は数千回も繰り返される。記憶された各パターンは、多次元パラメータ空間のサンプル点を表す。ライブラリ内のサンプルは、任意の実際の回折パターンが十分密に表されるほど十分な密度でサンプル空間を占有しなければならない。
【００６４】
[0092] ステップ６１０では、ライブラリを生成した後（しかし、その前でもよい）、実際のターゲット３０をスキャトロメータ内に配置し、その回折パターンを測定する。
【００６５】
[0093] ステップ６１２では、測定したパターンをライブラリに記憶されたモデル化パターンと比較して最も一致したパターンを求める。比較はライブラリの全サンプルで実行するか、又はさらに体系的なサーチ戦略を使用して、計算の負担を軽減することができる。
【００６６】
[0094] ステップ６１４では、一致が発見された場合は、一致するライブラリパターンの生成に使用された推定ターゲット形状を近似オブジェクト構造であると決定することができる。一致するサンプルに対応する形状パラメータが、測定形状パラメータとして出力される。一致プロセスは、モデル回折信号で直接実行するか、又は高速評価のために最適化された代替モデルで実行することができる。
【００６７】
[0095] ステップ６１６では、任意選択で最近似一致サンプルを開始点として使用し、洗練プロセスを使用して、報告用の最終パラメータを取得する。この洗練プロセスは、例えば図５に示したものと非常に類似した反復プロセスを含むことができる。
【００６８】
[0096] 洗練ステップ６１６が必要か否かは作成者の選択の問題である。ライブラリが非常に密にサンプリングされている場合は、常に良好な一致が見られるので反復的な洗練は必要ないことがある。他方で、このようなライブラリは実際に使用するには大きすぎるかもしれない。したがって実際的な解決法は、粗いパラメータセットのライブラリサーチを使用し、その後にメリット関数を使用して１回以上反復してさらに正確なセットのパラメータを決定し、所望の正確さでターゲット基板のパラメータを報告することである。追加の反復を実行する場合は、計算した回折パターン及び関連の洗練したパラメータセットをライブラリの新しい項目として追加する選択肢となる。この方法で、比較的少量の計算作業に基づいているが、洗練ステップ６１６の計算作業を使用してさらに大きいライブラリへと拡大するライブラリを最初に使用することができる。いずれの方式を使用しても、複数の候補構造の一致度に基づいて、報告された可変パラメータのうち１つ又は複数の値をさらに洗練することもできる。例えば、最終的に報告されるパラメータの値は、パラメータ間に２つ以上の候補構造の値を補間し、これらの候補構造の両方又は全部が高い一致スコアを有すると仮定することによって作成することができる。
【００６９】
[0097] この反復プロセスの計算時間は、ステップ５０６及び６０６の順方向回折モデルによって、すなわち、推定したターゲット形状からの厳密光回折理論を使用した推定モデル回折パターンの計算によってほぼ決定される。
【００７０】
[0098] ２Ｄ周期的構造のＣＤ再構築には順方向回折モデルのＲＣＷＡが通常使用されるが、差動法、体積積分法（Volume Integral Method:ＶＩＭ）、ドメイン有限差分時間領域法（Finite-difference time-domain: ＦＤＴＤ）、有限要素法（Finite element method: ＦＥＭ）も報告されている。例えばＲＣＷＡ及び差動法に使用されるようなフーリエ級数展開も使用して、フーリエ展開を使用するユニットセルの境界付近で完全一致層（perfectly matchied layers: ＰＭＬ）又は無限に向かう放射を模倣する他のタイプの吸収境界条件を採用することによって非周期的構造を分析することができる。
【００７１】
法線ベクトル場
[0099] 厳密回折モデリングでは、材料の界面全体に不連続の成分を有するＥ及びＤ場ではなく、材料の界面全体で連続的な補助中間場Ｆを導入することによって解の収束を抜本的に改善できることが実証されている［１］。収束が改善されると、より少ない計算費用で、より正確な回答につながる。これは光学スキャトロメータで、特に２Ｄ周期的回折格子における主要な問題の一つである。
【００７２】
[0100] このベクトル場Ｆは、いわゆる法線ベクトル場、すなわち、材料の界面に対して垂直である架空のベクトル場を使用して公式化される。法線ベクトル場を生成するアルゴリズムは、ＲＣＷＡの状況で［３，５］にて提案されている。法線ベクトル場は、ＲＣＷＡとの組合せばかりではなく、差動法との組合せでも使用されている。
【００７３】
[0101] しかし、法線ベクトル場の概念における主要な問題の一つは、計算のドメイン(domain)全体で法線ベクトル場自体を実際に生成することである。このような場の生成に対する制約は非常に少ないが、それと同時にその生成に関して多くの公然の疑問がある。法線ベクトル場は、十分な幾何学的設定に対して生成しなければならず、材料界面の接続を考慮せずに隔離されたドメインで作業することはできない。シュワルツ・クリストッフェルの変換を使用した解決法が提案されているが［３］、これらの方法はすべて、任意の形状で法線ベクトル場を生成するための融通性がないか、融通性があっても計算費用が高くなってしまう［５］。両方とも、高速の再構築にとっては破壊的である。何故なら、再構築するために、回折格子構造の変動する次元にて連続的に変動する法線ベクトル場を常時監視することが重要だからである。これが重要であるのは、不連続で展開する法線ベクトル場が、再構築プロセスを案内する全体的に非線形のソルバの収束を妨害することがあるからである。さらなる問題は、法線ベクトル場を設定するのに必要な時間である。この計算のオーバヘッドは、高速の分析及び再構築を見越して、可能な限り少なくしなければならない。
【００７４】
１．体積積分法
[0102] ＲＣＷＡの主要な問題の一つは、２Ｄ周期的構造のために大量の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間及びメモリが必要なことである。何故なら、固有値／固有ベクトルのシーケンスの問題を解決し、連結しなければならないからである。ＦＤＴＤ及びＦＥＭの場合も、ＣＰＵの時間が通常はかかりすぎる。
【００７５】
[0103] （［９］、米国特許第６，８６７，８６６Ｂ１号及び米国特許第７，０３８，８５０Ｂ２号で開示されているような）既知の体積積分法は、メッシュの洗練に関して低速の収束を示す完全空間離散化方式、又は高調波の増加に関して収束不良を示すスペクトル離散化方式に基づいている。代替法として、収束を改善するために発見的方法を組み込んだスペクトル離散化方式が提案されている［９］。
【００７６】
[0104] ＶＩＭに対して解くべき線形系は、ＲＣＷＡと比較するとはるかに大きいが、反復方法で解くと、幾つかのベクトルの記憶とともに、行列ベクトル積しか必要とされない。したがって、メモリの使用量は通常、ＲＣＷＡの場合よりはるかに少ない。潜在的なボトルネックは、行列ベクトル積そのものの速度である。ＶＩＭでリーの法則［１０，１１］を適用する場合は、幾つかの逆部分行列が存在するので、行列ベクトル積がはるかに遅くなる。あるいは、リーの法則を無視して、ＦＦＴを使用し、高速の行列ベクトル積に到達することができるが、収束不良の問題は残る。
【００７７】
[0105] 図７は、本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何形状を概略的に示す。基板８０２は、ｚ方向で層状になった媒体の下方部分である。他の層８０４及び８０６も図示されている。ｘ及びｙに周期的である２次元回折格子８０８が、層状媒体の頂部に図示されている。ｘ、ｙ及びｚ軸８１０も図示されている。入射場８１２が構造８０２から８０８と相互作用し、それによって散乱し、その結果、反射場８１４となる。したがって、構造は少なくとも１方向ｘ、ｙに周期的であり、入射場成分Ｅｉｎｃ、散乱場成分Ｅｓ、電磁場成分の合計を含む電磁場Ｅｔｏｔ内で異なる材料間の材料の境界にて不連続点を引き起こすような異なる特性の材料を含む。
【００７８】
[0106] 図８は、背景の構造を示し、図９は、入射場と層状媒体との相互作用を計算するために使用することができるグリーン関数を概略的に示す。図８及び図９では、層状媒体８０２から８０６は図７と同じ構造に対応する。図８では、入射場８１２とともに、ｘ、ｙ及びｚ軸８１０も示されている。正反射場９０２も示されている。図９に関して、点源（ｘ’，ｙ’，ｚ’）９０４は、場９０６を生成する背景とグリーン関数の相互作用を表す。この場合は、点源９０４が最上層８０６より上にあるので、８０６と周囲媒体との最上界面からの背景反射９０８が１つしかない。点源が層状媒体内にある場合は、上方向と下方向の両方に背景反射がある（図示せず）。
【００７９】
[0107] 解くべきＶＩＭ式は以下の通りである。
【数１】
【００８０】
[0108] この等式では、入射場Ｅｉｎｃは入射角、分極及び振幅の既知の関数であり、Ｅｔｏｔは未知で解が計算される全電場であり、Ｊｃはコントラスト電流密度であり、
【数２】
はグリーン関数（３×３の行列）であり、χはｊω（ε（ｘ，ｙ，ｚ，）−εｂ（ｚ））で与えられるコントラスト関数であり、ここでεは構造の誘電率、εｂは背景媒体の誘電率であり、χは回折格子以外のゼロである。
【００８１】
[0109] グリーン関数
【数３】
は知られており、８０２から８０６を含む層状媒体について計算可能である。グリーン関数はｘｙ面における畳み込み及び／又はモード分解（ｍ１，ｍ２）を示し、
【数４】
におけるｚ軸方向の主な計算負荷は畳み込みである。
【００８２】
[0110] 離散化のために、全電場をブロッホ／フロケモードでｘｙ面にて拡張する。χを掛けると、（ａ）ｘｙ面における離散畳み込み（２Ｄ ＦＦＴ）及び（ｂ）ｚにおける積となる。ｘｙ面におけるグリーン関数の相互作用は、モード毎の相互作用である。ｚにおけるグリーン関数の相互作用は、１次元（１Ｄ）ＦＦＴと複雑性Ｏ（ＮｌｏｇＮ）で実行することができる畳み込みである。
【００８３】
[0111] ｘｙにおけるモード数はＭ１Ｍ２であり、ｚにおけるサンプル数はＮである。
【００８４】
[0112] 有効行列ベクトル積は、複雑性Ｏ（Ｍ１Ｍ２Ｎｌｏｇ（Ｍ１Ｍ２Ｎ））を有し、記憶域の複雑性はＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎ）である。
【００８５】
[0113] Ａｘ＝ｂのＶＩＭ解決方法は、クライロフの部分空間法、例えばＢｉＣＧｓｔａｂ（ｌ）（安定化対双共役勾配法）に基づいた反復ソルバを使用して実行され、これは通常、以下のステップを有する。
残差をｒｎ＝ｂ−Ａｘｎと定義する。
残差を介して更新ベクトルνｎを計算する。
解を更新する：ｘｎ＋１＝ｘｎ＋αｎνｎ
残差を更新するｒｎ＋１＝ｒｎ−αｎＡνｎ
【００８６】
[0114] 図１０は、ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。これは、体積積分を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。最高レベルで、第１のステップは、入力を読み取ってＦＦＴを準備することを含む前処理１００２である。次のステップは、解１００４を計算することである。最後に、反射係数を計算する後処理１００６を実行する。ステップ１００４は、図１０の右手側にも示された様々なステップを含む。これらのステップは、入射場の計算１００８、グリーン関数の計算１０１０、更新ベクトル１０１２の計算、解及び残差の更新（例えばＢｉｃＧｓｔａｂを使用する）１０１４、及び収束に到達したかを調べる検査１０１６である。収束に到達していない場合は、制御がループして、更新ベクトルの計算であるステップ１０１２へと戻る。
【００８７】
[0115] 図１１は、先行技術で知られているような体積積分法を使用して、図１０のステップ１０１２に対応する更新ベクトルの計算ステップを示し、これは電場Ｅの体積積分式を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。
【００８８】
[0116] スペクトルドメイン(spectral domain)では、積分表現は全電場を入射場及びコントラスト電流密度に関して表し、ここで後者はグリーン関数と相互作用する、すなわち、下式になる。
【数５】
但し、
【数６】
さらに、
【数７】
は、ｚ方向に平面層化されたスペクトルグリーン関数を指し、ｅ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はｘｙ面にてスペクトルベースで書き込まれた全電場Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、ｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はコントラスト電流密度Ｊｃ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、これもｘｙ面にてスペクトルベースで書き込まれている。
【００８９】
[0117] 第２の等式は、全電場とコントラスト電流密度との関係であり、これは基本的に、構成中に存在する材料によって定義された構成関係であり、すなわち、下式になり、
【数８】
ここでＪｃはコントラスト電流密度を指し、ωは角周波数であり、ε（ｘ，ｙ，ｚ）は構成の誘電率であり、εｂ（ｚ）は層化した背景の誘電率であり、Ｅは全電場であって、すべて空間ベースで書かれている。
【００９０】
[0118] 単刀直入なアプローチは、［９］で提案されているように、等式（１．２）をスペクトルドメインに直接変換することである。すなわち、下式となる。
【数９】
ここでＭ１ｌ及びＭ２ｌは、Ｅ及びＪｃの有限フーリエ表現のために考慮されるスペクトルの下限であり、Ｍ１ｈ及びＭ２ｈはスペクトルの上限である。さらに、χｓ（ｋ，ｌ，ｚ）は横断（ｘｙ）面に対するコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）のフーリエ係数である。
【００９１】
[0119] ステップ１１０２は、４次元（４Ｄ）アレイでベクトルを認識する。このアレイでは、１次元が３つの要素
【数１０】
【数１１】
及び
【数１２】
を有する。２次元はｍ１の全値の要素を有する。３次元はｍ２の全値の要素を有する。４次元はｚの各値の要素を有する。したがって、４Ｄアレイは、コントラスト電流密度
【数１３】
の（ｘｙ面での）スペクトル表現を記憶する。各モードで（すなわち、ｚの全サンプル点で同時に）、ステップ１１０４から１１１２を実行する。ステップ１１０６の横から下がる３つの平行な点線の矢印は、等式（１．１）の積分項の計算に相当し、これは背景とコントラスト電流密度との相互作用である。これは、（ｚ方向に関して）スペクトルドメインにおける乗法を使用し、（ｚ方向に関して）空間グリーン関数で
【数１４】
を畳み込むことによって実行される。
【００９２】
[0120] 詳細には、ステップ１１０４でスペクトルコントラスト電流密度
【数１５】
をｘ、ｙ及びｚのそれぞれについて３つの１Ｄアレイとして取り出す。ステップ１１０６では、畳み込みは最初に、３つのアレイ毎に１ＤのＦＦＴを順方向に計算し、ｚ方向に関してスペクトルドメインにして、
【数１６】
を生成し、ここでｋｚはｚ方向に関するフーリエ変数である。ステップ１１０８では、コントラスト電流密度の切り捨てたフーリエ変換に、（ｚ方向に関する）スペクトルドメインにて空間グリーン関数
【数１７】
のフーリエ変換を掛ける。ステップ１１１０では、１ＤのＦＦＴを逆方向に実行し、ｚ方向に関する空間ドメイン(spatial domain)にする。ステップ１１１２では、ｚ方向に関する空間ドメインで背景反射（図９の９０８参照）を追加する。このようにグリーン関数から背景反射を分離することは、従来からの技術であり、このステップは、当業者に理解されるようにランク１の投影を追加することによって実行することができる。各モードを処理するにつれて、このように計算された散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の更新ベクトルを、ステップ１１１４で４Ｄアレイに戻す。
【００９３】
[0121] 次に、各サンプル点で（すなわち、全モードで同時に）ステップ１１１６から１１２２を実行する。図１１のステップ１１１４から下がる３つの平行な点線の矢印は、各サンプル点ｚで実行されるステップ１１１６から１１２２によって、Ｅｘ、Ｅｙ及びＥｚそれぞれについて１つ、すなわち、３つの２Ｄアレイを処理することに対応する。これらのステップは、材料特性で散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面の）スペクトル表現の畳み込みを実行し、散乱電場
【数１８】
に関するコントラスト電流密度の（ｘｙ面の）スペクトル表現を計算する。これらのステップは、ここではｅについて全電場ではなく散乱場のみを読み取るという意味で、等式（１．３）に対応する。詳細には、ステップ１１１６は３つの２Ｄアレイを取り出すことを含む（２次元はｍ１及びｍ２のものである）。ステップ１１１８では、３つのアレイ毎に２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、空間ドメインにする。ステップ１１２０では、３つのアレイそれぞれに、フーリエ表現の切り捨てによってフィルタリングされたコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）の空間表現を掛ける。畳み込みは、ステップ１１２２で２ＤのＦＦＴを逆方向にして（ｘｙ面の）スペクトルドメインにし、散乱電場
【数１９】
に関してスペクトルコントラスト電流密度を生じることで終了する。ステップ１１２４では、計算したスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００９４】
[0122] 次のステップは、ベクトル内で４Ｄアレイを再構成すること１１２６であり、これは逆の作業であるという点で、ステップ１１０２の「４Ｄアレイでベクトルを再構成する」こととは異なる。すなわち、各１次元指数を４次元指数に一意に関連させるのである。最後にステップ１１２８で、ステップ１１２６からのベクトル出力を入力ベクトルから引き、これは式（１．１）の右手側の減法にコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛けることに対応する。入力ベクトルは、図１１のステップ１１０２で入力されるベクトルであり、
【数２０】
を含む。
【００９５】
[0123] 図１１で述べた方法の問題は、収束不良につながることである。この収束不良は、切り捨てたフーリエ空間表現の誘電率及びコントラスト電流密度が同時に急上昇することによって引き起こされる。以上で検討したように、ＶＩＭ法では、収束問題を克服するのにリーの逆法則が適切ではない。何故なら、ＶＩＭでは逆法則の複雑性が、ＶＩＭ数値解に必要である非常に多数の逆演算により、非常に大きい計算負荷をもたらすからである。本発明の実施形態は、同時に急上昇することによって引き起こされる収束問題を、リーが述べたような逆法則の使用に頼ることなく克服する。逆法則を回避することにより、本発明の実施形態は、ＶＩＭの方法で反復して線形系を解くために必要である行列ベクトル積の効率を犠牲にしない。
【００９６】
[0124] 図１２は本発明の実施形態を示す。これは、コントラスト電流密度Ｊの体積積分式を数値的に解くことを含む。これは、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用することによって、コントラスト電流密度Ｊの成分を決定し、電磁場ＥＳの連続成分、電磁場ＥＳに対応するスケーリング電磁束密度ＤＳの連続成分、電磁場ＥＳ及びコントラスト電流密度Ｊの不連続成分のスケーリング合計として形成されているスケーリング電磁束密度ＤＳで演算することによって実行される。この実施形態は、Ｅ及びＪの成分を選択することにより、電場ＥＳに関連するベクトル場ＦＳ及び電流密度Ｊの黙示的作図を使用し、ベクトル場Ｆは、電流密度Ｊの近似解を求めるように、１つ又は複数の材料境界にて連続している。ベクトル場Ｆは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、体積積分式を数値的に解くステップは、場と材料の相互作用演算子Ｍでベクトル場Ｆを畳み込むことによって電流密度Ｊの成分を決定することを含む。場と材料の相互作用の演算子Ｍは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を含む。電流密度Ｊはコントラスト電流密度でよく、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される。さらに、連続成分抽出演算子は、電場Ｅ及び電流密度Ｊに作用する畳み込み演算子ＰＴ及びＰｎである。畳み込みは、高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform: ＦＦＴ）及び数論変換（Number-Theoretic Transform: ＮＴＴ）を含むセットから選択されるような変換を使用して実行される。畳み込み演算子Ｍは、有限の結果を生じるように有限離散畳み込みに従って演算する。したがって、構造は少なくとも１方向に周期的であり、電磁場の連続成分、スケーリング電磁束密度の連続成分、コントラスト電流密度の成分及び場と材料の相互作用の演算子は、少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの個々の有限フーリエ級数によってスペクトルドメインで表され、方法はさらに、フーリエ係数の計算によって場と材料の相互作用演算子の係数を決定することを含む。本明細書で述べる方法は、フーリエドメイン(Fourier domain)以外の連続関数に基づく展開、例えば擬似スペクトル法の一般的クラスの体表としてのチェビシェフ多項式に関する展開、又はガボール基底の展開にも関係ある。
【００９７】
[0125] 図１２は、連続成分抽出演算子を使用して形成された中間ベクトル場Ｆを採用することにより、電流密度ＪについてＶＩＭシステムを解くステップ１２０２を、グリーン関数演算子を電流密度Ｊに作用させることによって全電場Ｅを取得する後処理ステップ１２０４とともに示す。図１２は、右手側にＶＩＭシステムを反復的に解く有効行列ベクトル積を形成する略図も１２０６から１２２０で示す。これはステップ１２０６の電流密度Ｊで開始する。最初にＪを設定する時、これはゼロから開始することができる。その所期ステップの後、Ｊの推定は反復ソルバ及び残差によって誘導される。ステップ１２０８で、グリーン関数Ｇとコントラスト電流密度Ｊとの間の畳み込み及びランク１の保護を計算して、散乱電場ＥＳを生成する。またステップ１２１４では、散乱電場ＥＳ及び電流密度Ｊに作用する２つの連続成分抽出演算子ＰＴ及びＰｎでの畳み込みを使用して、中間ベクトル場Ｆを計算する。このように、ステップ１２１０で第１の連続成分抽出演算子ＰＴを使用して、電磁場ＥＳの連続成分を抽出し、ステップ１２１２で第２の連続成分抽出演算子Ｐｎを使用して、スケーリング電磁束密度ＤＳの連続成分を抽出する。ステップ１２１６で、場と材料の相互作用演算子（Ｍ）が、抽出した連続成分で演算する。ステップ１２１４は、ステップ１２１０で取得した電磁場の連続成分とステップ１２１２で取得したスケーリング電磁束密度の連続成分とからの材料境界にて連続しているベクトル場ＦＳの形成を表す。コントラクト電流密度の成分を決定するステップ１２１６は、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用し、ベクトル場ＦＳで演算することによって実行される。ステップ１２１０から１２１６は、ＦＦＴにより畳み込みを実行する状態で、ｚの各サンプル点について実行される。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び数論変換（ＮＴＴ）を含むセットから選択されるような変換を使用して実行することができる。演算１２１８は２つの計算結果ＪＳをＪから引き、１２２０で入射電場Ｅｉｎｃに関連するＪｉｎｃの近似値を取得する。ステップ１２０６から１２２０は更新ベクトルを作成するので、後処理ステップ１２０４を使用して全電場Ｅの最終値を作成する。
【００９８】
[0126] 全更新ベクトルの合計は、別個の後処理ステップ１２０４ではなく、散乱電場ＥＳを計算するためにステップ１２０８で記録され、後処理ステップは、入射電場Ｅｉｎｃを散乱電場に追加することのみになる。しかし、その方法はこの方法の記憶要件を増加させ、後処理ステップ１２０４は反復ステップ１２０６から１２２０と比較して、記憶又は処理時間が高くつかない。
【００９９】
[0127] 図１３ａは、本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。図１３のフローチャートは、図１２の右手側（ステップ１２０６から１２２０）に対応する。
【０１００】
[0128] ステップ１３０２では、ベクトルを４Ｄアレイで再構成する。
【０１０１】
[0129] その後、図１１の対応する同一の番号のステップについて述べたものと同じ方法で、ステップ１１０４から１１１４によって各モードｍ１、ｍ２についてグリーン関数と背景との相互作用を計算する。
【０１０２】
[0130] 次にｚの各サンプル（すなわち、各層）について、ステップ１３０４から１３１８を実行する。ステップ１３０４では、３つの２Ｄアレイを４Ｄアレイから取り出す。これらの３つの２Ｄアレイ（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）は、それぞれがｍ１及びｍ２に対応する２次元を有する散乱電場Ｅのデカルト成分に対応する。ステップ１３０６では、（Ｆｘ，Ｆｙ，Ｆｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）によって表される連続ベクトルの畳み込みを、最初にステップ１３０６で２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）によって表された３つのアレイ毎に空間ドメインにする。ステップ１３０８では、ステップ１３０６で取得したフーリエ変換（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｘ，ｙ，ｚ）に、空間ドメインで空間情報演算子ＭＰＴ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛けるが、これは２つの機能を有する。すなわち、第一に、接線写像演算子ＰＴを適用することによって散乱電場の連続成分を除去し、したがって連続ベクトル場Ｆの接線成分を生成し、第二に、散乱場のみに関して連続ベクトル場Ｆをコントラスト電流密度Ｊに関連づけるコントラスト係数Ｍによる乗法を実行する。
【０１０３】
[0131] ステップ１１１４で４Ｄアレイ内に配置された散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）を、以上で検討したようなステップ１３０４とステップ１３１０との両方で、以下で検討するように供給する。
【０１０４】
[0132] ステップ１３１０では、ｚの各サンプル点（すなわち、各層）について、散乱電束密度Ｄのスケーリング版を、ステップ１１１４から取得した散乱電場とステップ１３０２から順方向に供給されたコントラスト電流密度とのスケーリング合計として計算し、その後にＤのデカルト成分に対応する３つの２Ｄアレイをスペクトルドメインで取り出す。ステップ１３１２では、これらのアレイの２ＤのＦＦＴを実行し、空間ドメインでデカルト成分（Ｄｘ，Ｄｙ，Ｄｚ）（ｘ，ｙ，ｚ）を生成する。ステップ１３１４では、これらのアレイに空間ドメインで乗法演算子ＭＰｎを掛けるが、これは２つの機能を有する。すなわち、第一に、連続的であるスケーリング束密度の法線成分を除去して、連続ベクトル場
【数２１】
の法線成分を生成し、第二に、散乱場のみに関して連続ベクトル場Ｆをコントラスト電流密度Ｊに関連づけるコントラスト係数Ｍによる乗法を実行する。次にステップ１３１６で、ステップ１３０８と１３１４の結果を組み合わせて、連続ベクトル場Ｆの全成分について、すなわち、接線成分と法線成分の両方で演算の近似値ＭＦを生成する。次にステップ１３１８で、ＭＦを逆方向の２ＤのＦＦＴで変換して、スペクトルドメインにし、
【数２２】
で表されるスペクトルコントラスト電流密度の近似値を生成する。ステップ１３２０では、散乱場に関連するスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄのアレイに戻す。
【０１０５】
[0133] ステップ１３２０では、散乱場に関連するスペクトルコントラスト電流密度結果を４Ｄのアレイに戻し、その後にステップ１３２２で変換してベクトルに戻す。すなわち、４Ｄのアレイのすべての４次元指数がベクトルの１次元指数に一意に関連づけられる。最後にステップ１３２４では、入射電場Ｊｉｎｃに関連する既知のコントラスト電流密度の近似値の計算が、ステップ１３０２の入力から順方向に供給されたコントラスト電流密度の合計からステップ１３２２の結果を引いて終了する。
【０１０６】
[0134] 図１４を参照すると、法線ベクトル場ｎを使用することによって電磁場Ｅとそれに対応する電磁束密度Ｄの場の成分との組合せから１４０４でベクトル場Ｆを形成し、少なくとも１つの材料境界ＥＴに対して接線方向の電磁場Ｅの連続成分を除去して、少なくとも１つの材料境界Ｄｎに対して法線方向の電磁束密度の連続成分も除去する。電磁場ＥＴの連続成分は、第１の連続成分抽出演算子ＰＴを使用して抽出される。スケーリング電磁束密度Ｄｎの連続成分は、第２の連続成分抽出演算子Ｐｎを使用して抽出される。スケーリング電磁束密度Ｄは、電磁場Ｅとコントラスト電流密度Ｊの不連続成分のスケーリング合計として形成される。
【０１０７】
[0135] 法線ベクトル場ｎが、本明細書で述べるように材料境界に関して画定された構造の領域(region)に１４０２で生成される。この実施形態では、この領域が個々の境界まで、又はそれを越えて延在する。局所化した法線ベクトル場を生成するステップは、領域を複数の部分領域に分解することを含むことができ、各部分領域は、個々の法線ベクトル場及び場合によっては対応する閉形の積分を有するように選択された基本形状である。これらの部分領域の法線ベクトル場は通常、予め画定されている。これは代替的に実行時に画定することができるが、追加の処理が、したがって余分な時間が必要である。部分領域の法線ベクトル場を予め画定し、（入力として）部分領域内の位置の関数として、出力として法線ベクトル場の（デカルト）成分を与える関数をプログラミングすることによって、数値的な積分を可能にすることができる。次に、この関数を求積法サブルーチンによって呼び出し、数値的積分を実行することができる。この求積法の法則は、全フーリエ成分を同じサンプル点（部分領域内の位置）で計算するような方法で構成し、計算時間をさらに削減することができる。１４０６で領域全体の法線ベクトル場の局所積分を実行して、場と材料の相互作用演算子の係数を決定するが、これはこの実施形態では畳み込み及び基底変更演算子Ｃ（式（４）のＣε）である。この実施形態では、材料畳み込み演算子Ｍ（式（４）及び（５）で定義されたｊω［εＣε−εｂＣε］）も、この局所化した法線ベクトル場を使用して構築される。局所積分を実行するステップは、各部分領域を積分するために個々に予め定義した法線ベクトル場を使用することを含むことができる。
【０１０８】
[0136] コントラスト電流密度
【数２３】
の成分は、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用して、ベクトル場Ｆで、したがって電磁場ＥＴの抽出連続成分、及びスケーリング電磁束密度Ｄｎの連続成分で延在することによって、１４０８で数値的に決定される。したがって、反射係数などの構造の電磁散乱特性は、コントラスト電流密度の近似解を求めるように、この実施形態ではコントラスト電流密度Ｊｃの体積積分式を解くことによってコントラスト電流密度
【数２４】
の決定された成分を使用して、１４１０で計算することができる。
【０１０９】
[0137] この領域は、コントラスト源の支持に対応することができる。
【０１１０】
[0138] 局所法線ベクトル場を生成するステップは、連続成分の少なくとも１つをスケーリングすることを含むことができる。
【０１１１】
[0139] スケーリングのステップは、材料境界にて連続しているスケーリング関数（α）を使用することを含むことができる。
【０１１２】
[0140] スケーリング関数は定数であってもよい。スケーリング関数は、背景の誘電率の逆関数と等しくてもよい。
【０１１３】
[0141] スケーリングのステップは、材料の不等方性特性を説明するために、材料境界で連続しているスケーリング演算子（Ｓ）を使用することをさらに含むことができる。
【０１１４】
[0142] スケーリング関数はゼロ以外であってもよい。スケーリング関数は定数でよい。スケーリング関数は、背景の誘電率の逆関数と等しくてもよい。
【０１１５】
[0143] スケーリングは、領域の外側で区別不可能な電磁場の連続成分及び電磁束密度の連続成分を作成するように構成することができる。
【０１１６】
[0144] 局所法線ベクトル場を生成するステップは、ベクトル場で変換演算子（Ｔｎ）を直接使用して、ベクトル場を法線ベクトル場に依存する基底から法線ベクトル場に依存しない基底へと変換することを含むことができる。
【０１１７】
[0145] 法線ベクトル場に依存しない基底は、電磁場及び電磁束密度の基底であってよい。
【０１１８】
[0146] さらに、２次元で周期的な順方向散乱問題には、電場のスペクトル領域体積積分式(spectral-domain volume-integral equation)を使用して反射係数を計算することができる。
【０１１９】
[0147] 正確かつ効率的であるコントラスト電流密度に基づいて体積積分式にスペクトルの公式化を使用できるようにすることが望ましい。正確さ及び速度の改良は、ＦＦＴの形態で書き直したフーリエ因数分解の法則を使用し、材料境界で連続する電場と電束密度との混合の形態で基本未知数に新しい基底を導入することによって、「連続ベクトル場のＶＩＭ方法」で取得することができる。しかし、このような連続ベクトル場のＶＩＭ方法をＣＳＩの公式化に直接適用することはできない。基本未知数Ｊの選択がＣＳＩによって規定されるからである。さらに、コントラスト電流密度Ｊの全成分は、常に材料境界にて不連続である。したがって、このような方法の速度及び正確さは、ＣＳＩ型の公式化に使用することができない。
【０１２０】
[0148] 連続ベクトル場のＶＩＭ方法のキーポイントは、補助場Ｆに関して電場Ｅ及びコントラスト電流密度Ｊを表すことである。本発明の実施形態では、最初にＪに関して補助場Ｆを表し、次にＦに関して以前に確立したＪの関係を使用することができる。前者のステップは、散乱電場の積分表現、電場と一方では電束密度、他方ではコントラスト電流密度との関係、及び投影演算子Ｐｎ及びＰＴに基づく。等方性媒体の最も単純なケースでは下式が得られる。
【数２５】
ここで、Ｇはグリーン関数演算子を表す。
【０１２１】
[0149] 項を再構成した後、最終的に下式になる。
【数２６】
これはコントラスト電流密度の体積積分式である。この積分式は、投影演算子Ｐｎ及びＰＴが存在することで、標準的な積分式とは異なる。これらの演算子は、Ｍと同様にＦＦＴの形態の有効行列ベクトル積を有する。投影演算子及びＭを単独の演算子、すなわち、ＭＰＴ及びＭＰｎと組み合わせることにより、完全な行列ベクトル積におけるＦＦＴの量が減少する。ＦＦＴはアルゴリズムの主要な計算負荷であるので、この縮小ステップは計算時間の削減に直接つながる。
【０１２２】
[0150] コントラスト電流密度に関して、対応する行列ベクトル積を図１３ｂに示す。
【０１２３】
[0151] 演算子ＭＰＴ及びＭＰｎを、図１３ｃに示すように組み込むことができる。
【０１２４】
局所法線ベクトル場
[0152] 上述したように、［１］で導入したような法線ベクトル場の概念は、幾つかの計算のフレームワーク、特に差動法（ＤＭ）及びＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）に採用されている。この概念の基本思想は、法線ベクトル場が電場Ｅ及び電束密度Ｄの成分に対するフィルタとして作用できるということである。このフィルタを介して、相補的であるＥ及びＤ両方の連続成分を抽出し、いかなる場所でも連続的なベクトル場Ｆを構築することができるが、場合によっては調査中の散乱オブジェクトの幾何学的な縁及び隅に対応する隔離された点及び線がある。一般的な３Ｄ処理の後、セクション３は、２Ｄ法線ベクトル場（ウェーハの（ｘ，ｙ）面で）を詳細に分析する。後者は、ＲＣＷＡに採用されたスライシング戦略と同様の、ウェーハの垂線（ｚ軸）に沿った３Ｄの幾何形状のスライシング戦略と適合性がある。
【０１２５】
[0153] 本発明の実施形態は、局所法線ベクトル場を提供する。これによって、基本的なビルディングブロックでカットアンドコネクト技術が可能になり、より複雑な形状で法線ベクトル場を迅速かつ柔軟に生成することができる。本発明の実施形態は、反復的再構築中に変化する回折格子構造の次元のようなパラメータの関数として、連続的に変化する法線ベクトル場を有するパラメータ化したビルディングブロックを採用することにより、上述したパラメータ変化の状態で設定時間及び連続性に関する以上の問題に取り組む。
【０１２６】
１．法線ベクトル場の公式化
[0154] この検討にとって適切な開始点が論文［１］に見られる。そこで進められている主要思想の一つは、計算のドメイン全体にわたって法線ベクトル場ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）を導入することである。この法線ベクトル場は以下の２つの条件を満足する。
・全材料界面に対して直交方向を指す。
・空間の各点に単位長を有する。
【０１２７】
[0155] 以上のこと以外に、このベクトル場の定義に他の制約はないが、何らかの形態の連続性など、他の特性を含むと都合がよい。法線ベクトル場が構築されたら、｛ｎ，ｔ１，ｔ２｝が計算ドメイン(computational domain)の各点にて正規直交点を形成するように、２つの接線ベクトル場ｔ１（ｘ，ｙ，ｚ）及びｔ２（ｘ，ｙ，ｚ）を生成することができる。例えば、ｎｘ及びｎｙを法線ベクトル場のｘ及びｙ成分にすると、ｔ１は下式のように構築することができる。
【数２７】
ここで、ｕｘ及びｕｙはそれぞれ、ｘ及びｙ方向の単位ベクトルを指す。最後に、ｎとｔ１のクロス乗積を介して、ベクトル場ｔ２が生成される。
【０１２８】
[0156] ベクトル場ｎを使用して、電束密度の不連続成分を除去することができ、その結果、連続スカラー場Ｄｎ＝（ｎ，Ｄ）になり、ここで（・，・）はスカラー積を指す。接線ベクトル場を使用して、下式のように電場の連続成分を抽出することができる。
【数２８】
【０１２９】
[0157] ［１］に従い、次に下式のようにベクトル場Ｆを構築する。
【数２９】
これはいかなる場所でも連続的であるが、場合によっては誘電率関数の幾何形状の縁及び隅に対応する隔離された点又は線がある。
【０１３０】
[0158] このベクトル場Ｆの主要な利点は、その連続性によって従来の畳み込みの法則を介してスペクトル系で場と材料の相互作用が可能になることである。
したがって、Ｅと一方ではＤと、他方ではＦとの関係、すなわち、［１］の表記法を確立することが極めて重要であり、その思想は以下の関係式を確立することである。
【数３０】
【０１３１】
２．局所法線ベクトル場に向かって
２．１投影演算子のフレームワーク
[0159] 電場及び電束密度の成分を除去する手順を形式化するために、下式のように演算子Ｐｎを導入する。
【数３１】
ここで、ｖは任意の３Ｄベクトル場である。法線ベクトル場ｎの特性から、Ｐｎが投影演算子であり、したがってベキ等である、すなわち、ＰｎＰｎ＝Ｐｎであることが観察される。同様に、下式のように演算子ＰＴを導入することができる。
【数３２】
これも投影演算子である。これらの投影演算子、ベクトル場Ｆが下式のように構築される。
【数３３】
【０１３２】
[0160] ベキ等特性以外に、投影演算子ＰＴ及びＰｎは幾つか他の有用な特性を有する。最初にＰＴ＝Ｉ−Ｐｎがあり、ここでＩは単位作用素である。この特性は、接線ベクトル場の構築で既に観察された演算子Ｐｎ及び演算子ＰＴの両方を生成するのに、法線ベクトル場自体で十分であることを示す。第二に、演算子ＰＴはＰｎに対して相互に直交する。すなわち、ＰＴＰｎ＝ＰｎＰＴ＝０である。
【０１３３】
２．２．スケーリング関数の導入
[0161] 法線ベクトル場の数学的表現［１］の概念に導入する最初の改良点は、ベクトル場Ｆの成分をスケーリングする可能性である。このスケーリングには多くの形態があり得るが、単純にするために、ベクトル場Ｆの法線成分のスケーリングについて検討する。すなわち、下式である。
【数３４】
ここで、αはゼロ以外のスケーリング関数であり、材料の界面で連続している。このスケーリングの結果は２倍になる。最初に、ベクトル場Ｆの成分のスケールを同じ桁にすることができる。これは、線形系Ｃε及びεＣεの状態を改良する。第二に、そしてさらに重要なことであるが、以下で示すように、素直ベクトル場ｎの局所性にとって広範囲にわたる結果がある。実際、第２の態様は非常に重要であるので、最適ではない状態になっても、通常、スケーリングの選択を誘導する。
【０１３４】
２．３．場と材料の界面
[0162] 次に、ベクトル場Ｆから式（４）の演算子を構築するために、これらの演算子Ｐｎ及びＰＴを使用できる方法を示す。そのために、一方では電場と電束密度との空間ドメインの関係、他方ではベクトル場Ｆの定義から開始する。下式を有する。
【数３５】
ここでＭεは、通常は非等方性である誘導率テンソルεを掛けた空間乗法演算子であり、
【数３６】
は誘電率テンソルの（点に関する）逆数を掛けた乗法演算子である。
【０１３５】
[0163] 最初に、ＥとＦとの関係を確立する。式（１３）及び（１４）があるので、式（１５）となる。
【数３７】
【０１３６】
[0164] 後者の式を再構成し、Ｐｎのベキ等を採用すると、下式が得られる。
【数３８】
ここで、Ｐｎの範囲で（ＰｎＭεＰｎ）−１は（ＰｎＭεＰｎ）の逆数であり、すなわち、
（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎとなる。
【０１３７】
[0165] したがって、式（４）の線形演算子Ｃεは下式で与えられる。
【数３９】
【０１３８】
[0166] さらに、ＰＴ＝Ｉ−Ｐｎ及び（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎの関係式を採用すると、下式に到達する。
【数４０】
ここで、表記ＭζＰｎ＝ＰｎＭζ＝（ＰｎＭεＰｎ）−１を導入しており、ここでＭζは、スカラー乗法演算子である。
【０１３９】
[0167] 同様の方法で、電束密度とベクトル場Ｆとの関係を導出することができる。
【数４１】
【０１４０】
[0168] 第２の式で、次に式（１６）を採用して、Ｅを除去することができる。すなわち、下式になる。
【数４２】
それ故に、下式になる。
【数４３】
【０１４１】
[0169] 再び関係式ＰＴ＝Ｉ−Ｐｎ及び式（１８）のＣεの表現式を採用すると、下式になる。
【数４４】
【０１４２】
[0170] 下式の特性により、
【数４５】
【０１４３】
[0171] 最終的に、下式のようになる。
【数４６】
【０１４４】
[0172] 後者の演算子表現では、演算子の積ＭεＣεを単一の乗法演算子と見なすことが基本である。そうしないと、リーの法則の基本原理が維持されない。何故なら、Ｍε及びＣεが空間ドメインで同時に急上昇するからである。
【０１４５】
[0173] 式（１８）及び（２５）のＣε及びεＣεの表現から、投影演算子Ｐｎ（Ｍζにおけるその外観を含む）が演算子
【数４７】
との組合せでのみ生じることが観察される。それ故に原則的に、後者の演算子の支持が、演算子Ｃε及びεＣεの係数を生成するために法線ベクトル場ｎを必要とするドメインを決定する。
【０１４６】
２．３．５．境界一致の非等方性
[0174] 電磁散乱の他のモデリング方法では、媒体パラメータの非等方性の方向は、散乱オブジェクトの幾何形状を考慮せずにグローバル座標系に関して表現される。
【０１４７】
[0175] 非等方性媒体を使用する一つの重要な用途は、線縁粗さ（ＬＥＲ）又は線幅粗さに関係する。ＬＥＲは、線に沿った３次元変数としてモデリングすることができるが、この厳密モデリングの方法は通常、非常に時間がかかる。したがって、ＬＥＲは通常、媒体の有効近似を介してモデリングされ、ここで遷移層が、粗さを含む線の部分を捕捉する。この遷移層は、非等方性媒体として最も良くモデリングされる。非等方性の方向は通常、粗さの幾何学的特徴に依存する。例えば［１２］参照。線は自動的にデカルト座標系と位置合わせされるので、境界一致の非等方性は自動的に、座標軸に沿った非等方性と等しい。
【０１４８】
[0176] 他の方法では、非等方性が散乱幾何形状と無関係に定義される。縁粗さに関して、非等方性の有効媒体モデルは、線については知られているが、例えば円形又は楕円の断面のコンタクトホールのような他の幾何形状については知られていない。
【０１４９】
[0177] 本発明の実施形態は、法線ベクトル場を採用して、数値的収束を向上させる。実施形態は、水平及び素直方向について複屈折の媒体をモデリングする能力を有する。非等方性の方向がパターンの境界沿い、及び境界に法線方向を指す、すなわち、非等方性が境界と一致する、より一般的な非等方性媒体を扱うことが可能である。ＬＥＲの有効媒体方法［１２］の一連の推論に従い、このようなタイプの非等方性は、例えばＬＥＲのモデリングに使用される有効媒体方法に、自然に拡張される。さらに、各境界の垂線は既に、本明細書で述べたように使用された法線ベクトル場の方法で決定されているので、追加の処理は必要ない。
【０１５０】
[0178] 式（１２）に従ってベクトル場Ｆを下式のように定義する。
【数４８】
さらに、束密度と場の強度との間に下式のような関係がある。
【数４９】
【０１５１】
[0179] さらに、下式のように誘電率について境界一致非等方性を定義する。
【数５０】
これは、幾何形状の法線方向に沿った誘電率、及びその同じ幾何形状の接線方向に沿った異なる誘電率と解釈することができる。
【０１５２】
[0180] 一方の束密度Ｄ及び場の強度Ｅを、他方の補助場Ｆと関連させることができる。下式が得られる。
【数５１】
及び
【数５２】
【０１５３】
[0181] これらの式は、法線ベクトル場を局所的に画定する自由を維持し、本明細書で検討するように誘電率の倍率に小さい変化しかない。
【０１５４】
[0182] 垂直方向の２進回折格子又は段階的近似の場合では、境界一致非等方性は、ＰＴ演算子を垂直部分と水平部分に分割する、すなわち、ＰＴ＝Ｐｚ＋ＰＴ１にすることによってさらに延長することができ、ここで、後者の２つの演算子は相互に直交する。これで、誘電率は下式によって与えられる境界一致非等方性の方向を３つも有することができる。
【数５３】
【０１５５】
[0183] Ｆに関してＥを表現する式は、依然として以上の式（２５）と同一である。Ｄの式は下式のようになる。
【数５４】
【０１５６】
[0184] このタイプの非等方性は、境界に沿った層に局所化されるのみであると仮定すると、法線ベクトル場は局所性のままであり、演算子ＰＴ１及びＰｚは既に使用可能である。
【０１５７】
[0185] したがって、電磁束密度は、局所法線ベクトル場が生成され、材料境界に局所的である領域にて、材料境界に法線方向の誘電率εｎの成分、及び材料境界に対して接線方向の誘電率の少なくとも１つの他の異なる成分εｔ、εｚを使用して電場に関連づけられる。
【０１５８】
[0186] この実施形態は、例えば湾曲した境界の縁粗さに関して有効媒体方法の範囲を広げる。さらに、すべての成分が使用可能であるので、このモデルを設定するために余分な処理が必要ない。それ故に、対応する数学及び数値の問題を設定する際に、余分な時間を費やさない。
【０１５９】
[0187] 境界一致非等方性は、縁粗さを取り扱う適切な方法であるので、縁粗さを伴うＣＤの再構築プロセスの有意な高速化につながる。
【０１６０】
２．４．ベクトル場基底の選択
[0188] 以上で、法線ベクトル場は、ベクトル場Ｆの成分間に適切なスケーリングを選択することにより、局所化される可能性を有することが観察されている。しかし、典型的なマクスウェルのソルバでは、接線ベクトル場及び法線ベクトル場はソルバの成分を表さない。多くの場合は、例えばＶＩＭ、ＲＣＷＡ、又は差動法にて、デカルト基底の方が適切である。投影演算子はベクトル場の基底を変化させないので、マクスウェルソルバに必要な基底に到達するために、電場及び電束密度の追加の変換が必要になることがある。誘電率演算子Ｍεにも同様のことが言え、これは通常、デカルト座標で表される。したがって、基底が異なる場合は、演算子Ｍεも変換しなければならない。演算子ＭζもＭεを含むことが分かっている。しかし、Ｍζはスカラー乗法であるので、その最終形は選択した基底に依存しない。さらに、式（６）で与えられたような投影演算子Ｐｎの定義は、選択された基底に依存しないが、その実際の行列表現は法線ベクトル場について選択された基底に依存する。したがって、Ｐｎを基底に依存しない演算子として書くことにする。
【０１６１】
[0189] 次に変換演算子Ｔｎを紹介すると、これは法線及び接線基底で表されたベクトル場を、例えば電場、電束密度及び誘電率演算子Ｍεに使用するデカルトベクトル場に変換する。これで、デカルト座標で表される電場をした式のように書くことができる。
【数５５】
【０１６２】
[0190] ここで、Ｆは法線及び接線基底で書かれているものと仮定されている。
【０１６３】
[0191] その直接的な結果は、Ｃεに単位作用素が存在することにより、計算ドメイン全体に法線ベクトル場及び接線ベクトル場が必要になることである。しかし、Ｍεも同じ基底変換を含むことにより、上式を下式のように再構成することもできる。
【数５６】
【０１６４】
[0192] ここで、演算子
【数５７】
を導入している。これは、変換演算子がＦに直接作用することができ、これもＴｎＦを未知数とみなす限り局所法線ベクトル場につながる可能性を有する。すなわち、Ｅ及びＤの基底にＦを直接書き込む。εＣεの同様の導出は下式を示す。
【数５８】
【０１６５】
[0193] これは、以上で示したような関係式
【数５９】
によるものである。
【０１６６】
２．５．等方性媒体
[0194] 考慮すべき非常に重要なクラスは、等方性媒体である。このような媒体の場合、乗法演算子Ｍεは、場の各成分に等しく作用するスカラー乗数である。したがって、変換ＴｎはＭεに影響しない。さらに、Ｃε及びεＣεの式は、非常に単純化される。等方性の場合、次にデカルト座標のＦ、さらにＥ及びＤの表現結果について考察する。この状態で下式がある。
【数６０】
【０１６７】
[0195] ここで、（スカラー）関数１／（αε）による点乗法として、乗法演算子
【数６１】
を導入してあり、その結果、単位作用素のスカラー乗法になる。それ故に、下式になる
【数６２】
【０１６８】
[0196] 次に、αには幾つかの選択肢がある。
・αを１／εｂ、すなわち、（局所）背景誘電率の逆数と等しい定数となるように選択する。その結果、誘導率が背景誘導率とは異なる領域(region)、すなわち、コントラスト関数がゼロ以外である領域では法線ベクトル場しか必要なくなる。この選択肢は、回折格子構造に媒体が２つしか存在せず、その一方が背景材料である場合に、特に興味深い。
・第２の選択肢も、αを定数となるように選択する。しかし、回折格子の構造に応じて、異なる定数を選択した方が都合がよいこともある。重要な場合は、背景の誘電率がユニットセルの境界をまたがないドメイン(domain)で生じる回折格子である。これは例えば、レジスト内の円形コンタクトホールの場合であり、コンタクトホールの充填材料が背景媒体として選択される。これで、この選択は、円上の法線ベクトル場の式の単純化につながり、反対に、円を残したユニットセルの法線ベクトル場では、結果となる積分の計算がはるかに困難になる。
・第３の選択肢は、元の逆誘導率関数の平滑化した版となるように、例えばトライリニア補間又はガウス窓による平均化を介して、αを連続関数とすることである。その場合は、材料間の界面のすぐ近傍でのみ法線ベクトル場が必要となり、さらに局所化される。しかし、その結果である計算すべき積分は、通常、さらに困難である。１つの誘電率から他の誘電率へと徐々に変化する遷移を開始する位置を選択することにより、最終的に２つの媒体間にある界面の一方側でのみ必要とされる局所法線ベクトル場になることが可能である。
【０１６９】
[0197] 通常、他の閉じた構造が存在する場合は、以降で検討するようにカットアンドコネクト戦略がはるかに複雑になるので、境界の外側に行くことがさらに複雑になる。
【０１７０】
２．６．等方性媒体の場と材料の相互作用係数の表現
[0198] 次に、場と材料の相互作用演算子
【数６３】
及び
【数６４】
についてさらに詳しく見てみる。電場、電束密度、ベクトル場Ｆ、及び法線ベクトル場ｎを、そのデカルト成分に関して書くと仮定する。これで、式（２９）から取得される以下の空間関係式になる。
【数６５】
【０１７１】
[0199] ここで、下式のようになり、
【数６６】
【０１７２】
[0200] 及び
【数６７】
【０１７３】
[0201] ここで、下式となる。
【数６８】
【０１７４】
[0202] 電場Ｅ、電束密度Ｄ、及び補助ベクトル場Ｆの全成分は、ｘ及びｙ方向に関してスペクトルベースで表されるので、例えば下式のようになる。
【数６９】
【０１７５】
[0203] ここで、
【数７０】
及び
【数７１】
は周期性の方向に依存し、
【数７２】
及び
【数７３】
は入射場の角度に依存する。このスペクトルベースでは、以上の場と材料の相互作用は、ｘｙ面の畳み込みになる。例えばｉ，ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝の場合は、下式になる。
【数７４】
【０１７６】
[0204] ここで、下式のようになる。
【数７５】
ここで、Ｓはｘｙ面のユニットセルを指し、
【数７６】
はその面積を指す。すなわち、ｉ，ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝について、係数Ｃｉｊ及びεＣｉｊのｘｙ面におけるフーリエ積分を計算しなければならない。法線ベクトル場と散乱幾何形状の特定の組合せでは、閉じた形態で、例えばセクション３に示すような円及び矩形について、これを実行することができる。より一般的な形状では、これらの係数はメッシュ戦略（セクション４）又は数値的求積法（セクション５）で近似することができる。
【０１７７】
２．７．２進及び段階的回折格子の複屈折率
[0205] 問題の第２の重要なクラスは、回折格子材料が複屈折材料の特性を有し、非等方性の軸がｚ軸である、すなわち、下式の場合である。
【数７７】
【０１７８】
[0206] ここで、εＴ及びεＮは、原則的にｘ、ｙ及びｚの関数である。
【０１７９】
[0207] 次に、間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］にわたってｚ軸に沿って不変の断面を、さらにｚに関係ない誘電率輪郭を有する２進回折格子の場合を考察する。このような２進回折格子に対して、接線ベクトル場の１つがｚ軸に沿って位置合わせされるように、すなわち、ｔ２＝ｕｚになるように選択する。すなわち、ｎ及びｔ１は２次元ベクトル場である、すなわち、そのｚ成分はゼロである。この選択肢で、ｘｙ面における法線ベクトル場の問題は再び等方性の問題となり、スケーリングパラメータαに関する考察事項は、ここではセクション２．５の場合と非常に類似し、例えば２媒体の問題では、オブジェクトの内部又は外部のεＴに関して電束密度をスケーリングしなければならず、したがってスケーリングした電束密度はユニットセルの専用部分の電場と同一になる。
【０１８０】
[0208] より一般的な回折格子の幾何形状では、ｚ方向に関して回折格子の段階的近似を適用することができる。これで、回折格子は一連の２進回折格子で構成され、これらの２進回折格子毎に、以上で概略した戦略を辿ることができる。
【０１８１】
３．断面が楕円及び矩形の２進回折格子の局所法線ベクトル場
[0209] このセクションでは、２つの基本的な２次元形状、すなわち、矩形及び楕円形のＣε及びεＣεのスペクトル表現を導出しなければならない。これらの形状は、２Ｄウェーハメトロロジー構造の一体又は基本的ビルディングブロックとして遭遇することが多い。この導出は、Ｃε及びεＣεの法線ベクトル場（ＮＶ）の構築、及びその後の行列要素のフーリエ積分の計算を示す。所与の外形について、一意の法線ベクトル場はない。単位長を有し、外形に対して垂直である無限に多くのＮＶ場を構築することができる。特定の選択肢にするための重要な動機は、Ｃε及びεＣεのフーリエ係数の解析式を導出する可能性であることが分かるはずである。また、ＮＶ場の特異点の数を最小化して、フーリエ級数の収束を最適化しなければならない。楕円形及び矩形は、フーリエ積分の解析式を有するほど恵まれている。
【０１８２】
３．１．任意ユニットセルのフーリエ積分
[0210] ２次元では、格子の周期性がブラヴェ格子ベクトル（ａ１，ａ２）で記述される。
【数７８】
【０１８３】
[0211] 上式をシフトすると、同等の格子位置になる。ブラヴェ格子と同じ周期性を有する平面波は、以下の条件に答える波数ベクトルを有する。
【数７９】
【０１８４】
[0212] この条件を満たす全波数ベクトルの空間を、逆格子と呼ぶ。この空間には、次の２つの基本ベクトルが張っている。
【数８０】
【０１８５】
[0213] これらが、以下の直交性の条件に答える。
【数８１】
これにより、式（２）を証明することができる。これで、任意の２次元格子のフーリエ積分を、平面波の基底に関して逆格子の波数ベクトルで定義する。
【数８２】
【０１８６】
[0214] ここで、フーリエ係数は以下の積分から得られる。
【数８３】
【０１８７】
[0215] ここで、０≦ηｉ＝ａｉ／｜ａｉ｜≦１は、各ブラヴァ格子ベクトルを張る無次元数である。デカルト座標系に変換すると、下式になる。
【数８４】
【０１８８】
[0216] これで、式（５４）の２次元積分を下式のように書くことができる。
【数８５】
【０１８９】
[0217] ここで、
【数８６】
【０１９０】
[0218] 上式は、デカルト軸上に投影された逆格子ベクトルである。
【０１９１】
[0219] Ｃｉｊの式、すなわち、式（３３）〜（４１）を参照すると、対角線要素は、ユニットセルについて１のフーリエ積分、及び法線ベクトル成分とスケーリング関数α（ｘ，ｙ，ｚ）及び誘電率ε（ｘ，ｙ，ｚ）の位置依存関数との積のフーリエ積分を含むことが分かる。第１の積分、すなわち、ユニットセルについての１の積分は
【数８７】
に等しい。第２の積分は、スケーリング関数αを１／εｂと等しいと選択した場合に、非等方性媒体の場合に非常に単純化することができる。この関数は、これでコントラスト源の支持体の外側ではゼロであり、内側では定数である。フーリエ係数ｃｉｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）は、積分に関して下式のように表すことができる。
【数８８】
【０１９２】
[0220] これは、Ｃｉｊ（式（３３）〜（４１））のスペクトル表現を単純化して、下式とする。
【数８９】
【０１９３】
[0221] さらに、εＣε（式（４３）〜（５１））のスペクトル表現を単純化して、下式とする。
【数９０】
【０１９４】
[0222] 以下のセクションでは、楕円及び矩形の場合にΓｉｊの積分（式（６６））について閉じた形態の式を導出するが、最初に、散乱オブジェクトの並進及び回転について積分をさらに単純化する。
【０１９５】
３．２．散乱オブジェクトの並進及び回転
[0223] 楕円及び矩形のような基本的形状の場合、Γｉｊ積分の計算は、ローカル座標系に変換することによってさらに単純化することができる。
【０１９６】
[0224] 図１５ａは、回転してオフセットｃ０がある楕円について、グローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の定義である。
【０１９７】
[0225] 任意のオフセットｃ０に関して、これは下式の並進
【数９１】
【０１９８】
[0226] 及び下式の回転になる。
【数９２】
【０１９９】
[0227] 散乱オブジェクトのＮＶ場は、回転からのみ影響される。グローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の式（６６）のＮＶ成分の積は、線形変換によって関連づけられる。
【数９３】
【０２００】
[0228] 式（７１）、（７２）及び（７３）を組み合わせて、ローカル座標系で計算するように、Γｉｊ積分をΓ”ｉｊに変換することができる。
【数９４】
【０２０１】
[0229] ここで、Ｍｎｎ”は式（７３）からの結合行列及び下式である。
【数９５】
【０２０２】
[0230] ここで、有効波数ベクトルを導入してある。
【数９６】
【０２０３】
[0231] Γ”ｉｊ積分はまだ、コントラスト源の支持と等しい面積（並進及び回転によって変化しない）について計算されるが、ローカル座標系では、積分は以下で分かるように、楕円及び矩形の方が容易に評価することができる。
【０２０４】
[0232] 要するに、ローカル座標系への変換の効果は３つある。
・オフセットの効果を述べる定位相因子
・ブラヴァ格子に対するオブジェクトの方向を述べる有効波数ベクトル
・Γｉｊは、ローカル座標系の３つのΓ”ｉｊ全部の線形結合になる。
【０２０５】
３．３．楕円
[0233] 楕円のＮＶ場を生成するために２つの周知の方法がある。
・楕円座標系を介する。
【数９７】
・αが水平対称軸に沿った半径である場合、ｂは垂直対称軸に沿った半径、φは方位角、
【数９８】
は楕円率である。
・等角写像を介する。
【数９９】
・定数ｕ（０≦ｕ＜∞））及び０≦ν≦２πの場合、これは楕円の外形を与える。
【０２０６】
[0234] 図１５ｂは、楕円座標系のＮＶ場を示し、図１５ｃは等角写像を示す。
【０２０７】
[0235] 楕円座標系は、Γ”ｉｊの解析式を導出することができ、法線ベクトル場は（０，０）にのみ特異点を有するが、等角写像は焦点を結ぶ線上に特異挙動を有するという利点を有する。後で、矩形の場合、特異点が存在してもなお良好な収束を獲得できることが分かる。したがって、特異点の存在のみでは、法線ベクトル場を拒否する確証的な主張にならない。フーリエ積分の解析式を導出する可能があることは、はるかに強力な主張になる。何故なら、行列ベクトル積を高速で計算することになるからである。法線ベクトル場は、接線ベクトル∂ｒ／∂φに垂直のベクトルとして導出することができる。
【数１００】
【０２０８】
[0236] この式について、式（６６）に必要である法線ベクトル積を以下に書く。
【数１０１】
【０２０９】
[0237] Γ”ｉｊ積分を楕円座標系に書き換えると、下式になる。
【数１０２】
【０２１０】
[0238] 恒等式を使用することによって、フーリエ指数からｒ及びφ従属をさらに分離できるので都合がよい［２，ｐ．９７３］。
【数１０３】
【０２１１】
[0239] ここで、Ｊｎ（ｚ）は整数桁ｎの第１の種のベッセル関数である。式（８１）の指数の引数を書き換えることにより下式になる。
【数１０４】
である。
【０２１２】
[0240] 式（８２）の恒等式を式（８１）の整数の指数に適用することができ、その結果、Γ”ｘｘについて以下の式になる。
【数１０５】
【０２１３】
[0241] ここで、
【数１０６】
【０２１４】
[0242] Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙの式は、角積分の分子をｅｓｉｎφｃｏｓφ、ｓｉｎ２φそれぞれで置換することによって得ることができる。楕円に関するこの方法の有効性は、ラジアル及び角積分の解析式を求めることができるという事実から導かれる。ベッセル関数のラジアル積分に関するこれらの式は、付録Ａから導かれる。角積分の場合、これは付録Ｂから導かれ、これは、偶数項及び奇数項それぞれの合計の指数ｋについてφからφｂまで及ぶ角積分について
【数１０７】
及び
【数１０８】
というラベルが付けられる。完全な楕円の場合、式（８４）の評価は、
【数１０９】
であることで単純化される。偶数項の角積分は下式の通りである。
【数１１０】
【０２１５】
[0243] 円（ｅ＝１）の場合、（ｋ＝１）項のみがゼロではないことに留意されたい。
【０２１６】
[0244] これで、ラジアル積分は、偶数次数ｎについてのみ評価する必要がある。付録Ａでは、不定積分に対して閉じた形態の式が導出される。
【数１１１】
【０２１７】
[0245] ここで、合計はｎ＞１の場合のみ計算される。式（８６）及び（８８）を式（８４）内に置換すると、下式になる。
【数１１２】
【０２１８】
[0246] ここでＮｂは、偶数ベッセル関数の合計及び下式で保持される項の数である。
【数１１３】
【０２１９】
[0247] 最終項では、ｋ及びｍの合計がスワップされて、同じ引数のベッセル関数を複数回評価するのを防止することに留意されたい。Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙの計算では、
【数１１４】
を
【数１１５】
及び
【数１１６】
の式で置換するだけでよい（付録Ｂ参照）。
【０２２０】
３．４．矩形
[0248] 矩形の連続ＮＶ場の生成は楕円の場合ほど明瞭ではない。［３］は、このためにシュワルツ・クリストッフェル変換の使用を提案している［４］。矩形についてこの解を密に近似するＮＶ場は下式である。
【数１１７】
【０２２１】
[0249] 図１６ａは、対応する矩形の連続ＮＶ場を示す。しかし、この式ではΓｉｊ積分の解析式が導かれない。この場合は、式（９１）に非常に類似しているが、矩形の対角線に沿って不連続であり、対抗戦によって形成された三角形内で一定で、矩形の辺に対して垂線であるＮＶ場を導出することにする。
【０２２２】
[0250] 図１６ｂは、対応する矩形の不連続ＮＶ場を示す。この法線ベクトル場は、下式を計算するためにΓ”ｉｊ積分を特に単純にする各三角形に対して一定である。
【数１１８】
【０２２３】
[0251] 面積分の評価は単純明快である。三角形Δ１（図１６ｂ参照）の場合は、下式が与えられる。
【数１１９】
【０２２４】
[0252] 三角形Δ２の場合は、
【数１２０】
と
【数１２１】
をスワップするだけでよい。三角形Δ３及びΔ４の結果は、単純にΔ１及びΔ２それぞれの積分の複素共役である。
【０２２５】
[0253] このＮＶ場の場合、Δ２及びΔ４ではΓｘｘ＝０であり、三角形Δ１及びΔ３ではΓｙｙ＝０であり、全部の三角形でΓｘｙ＝Γｙｘ＝０である。極限値ｋｅｙ→０の場合、式（９３）は下式になることに留意されたい。
【数１２２】
【０２２６】
４．カットアンドコネクト戦略
[0254] 矩形のＮＶ場生成に関する前のセクションは、比較的任意の形状に関してＮＶ場を生成する非常に強力な方法を示している。これらの形状は、Γｉｊ積分が高速計算に適した閉じた形態を有する基本形状に分解することができる。特定のフーリエモード指数にて各基本形状について関連するΓｉｊ積分を合計することにより、Ｃε及びεＣεのスペクトル表示を容易に取得することができる。言うまでもなく、基本形状のクラスは、関連するより複雑な形状をすべて生成するほど重文に大きくなければならない。基本形状のクラスは、以下のいずれかを含む。（Ａ）定数ＮＶ場を有する三角形。１つの界面が材料界面である場合、ＮＶ場はこの界面に垂直でなければならない。材料界面がない場合、ＮＶ場は任意に選択することができる。
（Ｂ）定数ＮＶ場を有する台形（矩形は特殊な場合である）。１つの界面が材料界面である場合、ＮＶ場はこの界面に垂直でなければならない。材料界面がない場合、ＮＶ場は任意に選択することができる。（Ｃ）半径方向ＮＶ場及び円の辺に沿った材料界面を有する円弧。
【０２２７】
[0255] 任意の形状、又はその近似はいずれも、原則的にこれらの基本形状のメッシュに分解することができる。
【０２２８】
[0256] 図１７は、これらの基本形状の「ドッグボーン」のメッシュを示す。
【０２２９】
[0257] 図１８は、本発明の実施形態により、断面が角丸矩形のプリズムの法線ベクトル場を、これより小さい矩形１８０２及び円弧１８０４から構築することを示す。矢印で示す法線ベクトル場は、物理的界面に対してそれらの物理的界面に垂直であることに留意されたい。
【０２３０】
[0258] 本発明の実施形態では、ユニットセル全体ではなく局所的に（すなわち、散乱オブジェクト又はその部分に）法線ベクトル場を構築する方法が提供される。これは法線ベクトル場の生成を単純化し、円、楕円及び矩形のような基本的形状に関して数学的に非常に単純な式さえ与える。
【０２３１】
[0259] より複雑な形状の場合は、カットアンドペーストメッシング技術が提供され、これは任意形状の法線ベクトル場が、２つ以上の基本形状の法線ベクトル場で構成され、この基本形状は、三角形、矩形、台形又は円弧の断面を有する角柱、四面体、棒、２つの平行面を有する六面体、基平面に平行な切断面を有する頂点切頭角錐、及び球台から選択される。
【０２３２】
[0260] これらのビルディングブロックの場合、法線ベクトル場は非常に単純で、迅速に生成することができる。
【０２３３】
[0261] あるいは、他の複雑な形状の場合は、高いメッシュ密度を回避するために、以上のメッシング戦略を適用せずに形状から法線ベクトル場を直接生成することが有利なことがある。その結果、補間法を使用して法線ベクトル場を生成し、次にこれを使用して、特定のフーリエ積分を計算する。本発明の実施形態は、計算ドメインの様々な媒体の支持で、フーリエ積分を幾つかの積分に分割する。これらのドメインのそれぞれで、専用の求積法の法則を補間アルゴリズムと組み合わせて適用し、このドメイン上に法線ベクトル場を生成する。補間は、ユニットセルの境界に関する特定の選択により、コンポーネントに人為的不連続が生じるのを回避するために、周期的連続がある基底関数に基づいて適用される。さらに、法線ベクトル場の支持を材料界面のすぐ隣にさらに制限することが可能である。これにより、より複雑な形状に対して法線ベクトル場を生成する方法が、さらに倹約的になる。
【０２３４】
４．１．基本ビルディングブロック
[0262] 本セクションでは、形状頂点の座標で表される３つの基本ビルディングブロックについて、Γｉｊ積分の閉じた形態の式を導出する。
【０２３５】
４．２．三角形
[0263] 図１９は、回転してシフトした三角形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２３６】
[0264] 図１９は、頂点Ａ、Ｂ及びＣを有する任意の三角形を示す。材料界面（Ｂ−Ｃ）に対向する頂点を、ローカル原点として選択する。頂点は、逆時計回りの方向に順序づけられることに留意されたい。最初に、ベクトルＡを並進して、ベクトルＢ’＝（Ｂ−Ａ）及びＣ’＝（Ｃ−Ａ）を取得する。次に、角度φ０だけ回転してローカル座標系を得る。この座標系では、Ｂ”及びＣ”が式（７２）で与えられる。
【数１２３】
【０２３７】
[0265] ここで、
【数１２４】
である。
【０２３８】
[0266] Ｂ”及びＣ”の座標系の式で、下式が取得される。
【数１２５】
【０２３９】
[0267] Ｂ”Ｃ”が材料界面である場合、ＮＶ場は
【数１２６】
になり、Γ”ｘｘのみがゼロ以外の成分になる。このグローバル座標系のΓｉｊは、式（７４）で取得される。
【０２４０】
４．３．台形
[0268] 図２０は、回転してシフトした台形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２４１】
[0269] 台形の場合は、同じ一連の推論を辿ることができる。最初に、Ａ上で座標を並進させると、下式が与えられる。
【数１２７】
【０２４２】
[0270] その後にφ０回転すると、下式になる。
【数１２８】
【０２４３】
[0271] ここで、
【数１２９】
である。
【０２４４】
[0272] ローカル座標系では、下式になる。
【数１３０】
【０２４５】
[0273] この結果は、台形を２つの三角形に分解し、両方の三角形について式（９７）を加えることによっても取得することができる。台形でも、Ｂ”Ｃ”が材料界面である場合はＮＶ場が
【数１３１】
であり、Γ”ｘｘのみがゼロ以外の成分になる。グローバル座標系のΓｉｙは式（７４）で取得される。
【０２４６】
４．４．円弧
[0274] 円弧は、原点Ａ、下半径終点Ｂ及び切片角度φＳを有する円の切片と定義される。
【０２４７】
[0275] 図２１は、回転してシフトした円弧をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２４８】
[0276] ＮＶ成分Γ”ｉｊは、セクション３．３の完全な楕円の場合と同じ線に沿って計算することができる。主要な違いは、ここでは角積分が０から任意の角度φｓまで評価されることである。これは、ベッセル合計の偶数項で角積分が
【数１３２】
となる効果を有する。また、奇数項では、ベッセル関数のラジアル積分が解析式を有する（付録Ａ参照）。
【数１３３】
【０２４９】
[0277] ここで、この合計はｎ≧１の場合にのみ当てはまる。式（８４）に式（１０２）を代入すると、下式になる。
【数１３４】
ここで、Ｎｂは、偶数ベッセル関数の合計及び下式の合計で保持される項の数である。
【数１３５】
【０２５０】
[0278] Ｊ０の基本関数は、（［２，ｐ．６３３］）を使用して書き換えられている。
【数１３６】
【０２５１】
[0279] Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙについては、角積分の適切な式を代入することによって、ＮＶ成分を容易に求めることができる（付録Ｂ参照）。
【０２５２】
５．より一般的な形状の法線ベクトル場の生成
[0280] 特定の状況、例えば珍しい散乱幾何形状の場合又は複数の材料が相互の間に接続界面を有する場合は、メッシング要素の数が少なくなり、電場のスペクトル基底及び電束密度に迅速な収束を示すメッシング戦略を適用することが困難なことがある。このような場合は、場と材料の相互作用演算子のフーリエ係数を生成するために、より一般的な方法が必要なことがある。このような方法の一つは、数値求積法を採用して、形態（５４）の積分を評価することである。これで、求積法の法則は、幾つかの点にて積分の関数値を引き出し、所望の積分の近似に到達する。考察中のコンポーネントを見てみると、任意の（ｘ，ｙ）点にて法線ベクトル場の誘電率、指数関数、及びデカルト成分を評価する必要があることが分かる。これは、前者の２つの関数については些細なことであるが、後者については些細なことではない。以前に導入したスケーリングにより、法線ベクトル場はαε≠１であるドメインでしか必要ではない。さらに、全フーリエ指数（ｍ１，ｍ２）のフーリエ係数は、同じ求積法の法則及び関数評価により取得できるが、指数関数は全フーリエ指数について評価されることが分かる。したがって、主要な関心事は、任意の位置で法線ベクトル場を評価することである（αε≠１であると仮定する）。
【０２５３】
[0281] 法線ベクトル場を生成する幾つかの秘訣が［３，５］で検討されている。最初の論文は、シュワルツ・クリストッフェル等角写像に基づいて、又は静電問題を解くことによって、ＲＣＷＡの状況で２次元法線ベクトル場を生成することについて検討している。第２の論文は、逆距離補間アルゴリズムを介した生成について検討し、これはラジアル基底関数を有するいわゆる散乱データ補間アルゴリズムの特定の例である。しかし、論文は両方とも、法線ベクトル場が局所でしか必要でないという可能性を考慮せずに、側的なグリッドで法線ベクトル場を生成することを教示している。さらに、規則的なグリッドは、この規則的なグリッドに適合しない誘電率輪郭に、すなわち、規則的なメッシュと一致しない界面を有する区分的コンスタント材料特性に、低速の収束を生じることがある。その結果、収束した解に到達するために、非常に多数のグリッド点が必要になることがある。これら２つの観察結果により、この手順はＣＰＵの時間に関して非常に高価になる。
【０２５４】
[0282] 本発明の実施形態により、局所法線ベクトル場を使用し、散乱オブジェクトの積分ドメインを考慮に入れる求積法の法則を適用する、すなわち、材料界面の形状を考慮に入れる積分ドメインで作業する。その結果、ユニットセルの積分が、一定の誘電率を有するドメインでの一連の積分で置換される。より複雑なドメインで積分する求積法の法則が、例えば［６，７，８］で研究されている。積分ドメイン毎の誘電率が一定であり、指数関数が連続的であるので、生じ得る唯一のハードルはこの場合も法線ベクトル場である。したがって、求積法の法則の収束を維持するために、求積法の法則の積分ドメインで十分に平滑な法線ベクトル場を生成する必要がある。これは、散乱データ補間アルゴリズムによって達成することができ、その入力データは積分ドメインの境界、及びその境界における対応する法線ベクトル場の記述から生成される。例えば、境界を区分的線形近似で記述すると、法線は局所的に定数項ベクトルである。境界に沿って法線ベクトル場を十分密にサンプリングすることにより、散乱データ補間アルゴリズムを適用するのに十分なデータが生成される。
【０２５５】
５．１．法線ベクトル場の周期的連続性
[0283] 標準的な散乱データ補間アルゴリズムは、いわゆるラジアル基底関数、すなわち、データ点と補間点との距離にのみ依存する基底関数を使用する。一般的な補間の問題では、これは通常、良好な考えである。何故なら、近くのデータが遠いデータと比較して大きい影響を補間データに与えることができるからである。しかし、周期的な環境では、データ点と補間点との距離も周期的になる。このことを考慮に入れないと、周期的境界をまたがる補間が人為的不連続を導入することがあり、これは、特定の求積法の法則の収束、又は法線ベクトル場に投影された電磁場の解の収束さえ低下させることがある。したがって、ラジアル基底関数での散乱データ補間の代替法を探している。重要な考えは、構成の周期性を示す周期距離関数を生成し、この関数で距離関数を置換することである。
【０２５６】
５．２．周期距離関数
[0284] 正規ユークリッド空間
【数１３７】
では、２点ｒとｒ’の間の距離ｒは下式によって与えられる。
【数１３８】
これは、負ではなく、２点が一致する場合にのみゼロである。
【０２５７】
[0285] 次に、まずｘ軸に沿ってｐ＞０の周期で１Ｄに周期的な場合について考察する。このような場合では、最初に下式のようにモジュロ（ｐ）関数を導入する。
【数１３９】
ここで、
【数１４０】
はシーリング演算子を指す。したがって、下式が得られる。
【数１４１】
【０２５８】
[0286] 以上の定義で、ｘとｘ’の間のユークリッド距離ｄ（ｘ，ｘ’）＝｜ｘ−ｘ’｜は、周期的な場合でｄｐ（ｘ，ｘ’）＝｜（ｘ−ｘ’）ｍｏｄｐ｜になる。しかし、例えば距離測定値を定義する別の方法もある。
【数１４２】
上式も距離測定値ｄ（ｘ，ｘ’）の基本的基準を満たす。すなわち、下式になる。
１．ｄ（ｘ，ｘ’）≧０（負ではない）
２．ｘ＝ｘ’である場合、及びその場合のみｄ（ｘ，ｘ’）＝０（識別不能の恒等式）
３．ｄ（ｘ，ｘ’）＝ｄ（ｘ’，ｘ）（対称）
４．ｄ（ｘ，ｘ”）≦ｄ（ｘ，ｘ’）＋ｄ（ｘ’，ｘ”）（三角不等式）
【０２５９】
[0287] ２方向に周期性がある空間では、この状況はさらに複雑になる。周期的格子ベクトルをａ１及びａ２とすると、空間の任意の点ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）を下式で示すことができる。
【数１４３】
ここで、η１及びη２は、下式のようにｘ及びｙに関連する横断面における座標である。
【数１４４】
【０２６０】
[0288] さらに、散乱構成がη１及びη２で周期的であり、両方とも周期１であることが分かる。
【数１４５】
のユークリッド距離関数は、下式のようにａ１及びａ２で表すことができる。
【数１４６】
【０２６１】
[0289] 周期距離関数に到達するには、η１−η１及びη２−η２を、周期１及びｆ（０）＝０の周期関数ｆ（・）で置換し、
従って｜ｆ（・）｜は１次元周期距離関数、すなわち、下式を生成する。
【数１４７】
ここで、ｆ（ｘ）は例えばｘｍｏｄ１またはｓｉｎ（πｘ）に等しい。
【０２６２】
５．３．周期散乱データ補間
[0290] 散乱データ補間アルゴリズムに、基底関数φ（ｒ）、ｒ≧０を導入する。例えばβ＞０の状態でφ（ｒ）＝ｅｘｐ（−βｒ２）である。さらに、１組のデータ点ｒｎ及び対応する関数値Ｆ（ｒｎ）、ｎ∈｛１，．．．，Ｎ｝が提供される。次に、アルゴリズムが係数ｃｎを決定し、従ってすべてのｎ＝１，．．．，Ｎに対して下式になる。
【数１４８】
ここで、ｄ（ｒｍ，ｒｎ）は、データ点ｒｍとｒｎの間の距離を指す。この線形方程式が非特異である場合は、係数ｃｎを決定することができ、散乱データ補間アルゴリズムは以下のＦの補間につながる。
【数１４９】
【０２６３】
[0291] 周期的場合では、以上の２式の距離関数ｄ（・，・）に式（１１３）の周期距離関数を代入すると、データの周期的補間になり、これを使用して、［５］と同様の方法で、材料境界における法線ベクトル場のデカルト成分から法線ベクトル場のデカルト成分を生成することができる。すなわち、最初に下式のように保管された成分を求める。
【数１５０】
ここで、ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝である。次に、ｒから１の位置で法線ベクトル場を正規化する。すなわち、
【数１５１】
とする。
【０２６４】
６．任意の非等方性媒体の局所法線ベクトル場
[0292] 以上のセクションでは、ポポフ及びネヴィエールによって定義されたベクトル場のスケーリング関数及び基底変換を導入することにより、連続ベクトル場Ｆの構造中の局所法線ベクトル場の概念を得た。法線ベクトル場の局所化が、例えば回折格子の幾何形状の段階的近似により、いかなる場所でも法線ベクトル場に直交する固定異常軸を有する等方性媒体及び複屈折媒体について示された。次に、局所法線ベクトル場の概念を任意の非等方性媒体の最も一般的な場合に引き継ぐ。しかし、スカラー関数によるスケーリングには、最も一般的な場合を扱うのに十分な柔軟性がない。一般的な非等方性媒体の場合を扱うために、まずベクトル場Ｆの定義を修正する。Ｆのこの新しい定義は下式によって与えられる。
【数１５２】
ここでＳは追加のスケーリング演算子であり、αはゼロではないスケーリング関数であり、これは両方とも材料不連続部の近傍で連続している。ＰｎＤ及びＰＴＥは両方とも連続ベクトル場であるので、ベクトル場Ｆもα及びＳの要件にて連続している。
【０２６５】
[0293] 投影演算子の以前に概略した代数で下式が得られる。
【数１５３】
【０２６６】
[0294] 角括弧内の演算子を、例えば
【数１５４】
を選択する、すなわち、不連続部を含まない特定領域の媒体パラメータ（例えば充填媒体の定数誘電率テンソル）と等しくすることにより、及びＳを選択することによりゼロ以外の連続関数であるαＰｎ＝（ＰｎＳＰｎ）−１（Ｐｎの範囲で理解される）を選択することにより、局所的にゼロにすることができる。αでは、これは
【数１５５】
になる。したがって
【数１５６】
が当てはまる領域では、ベクトル場Ｆの基底が法線ベクトル場に依存しない、すなわち、デカルト座標で表される限り、法線ベクトル場が必要ではない。Ｓの別の選択肢は、誘電率分布の平滑化したタイプを使用することである。この選択肢の場合は、法線ベクトル場が必要である領域がさらに縮小する。
【０２６７】
[0295] 等方性媒体の場合、ベクトル場Ｆに関する以上の修正は以前の定義と矛盾しない。何故なら、Ｓが単位作用素の倍数になり、したがってＰＴ及びＰｎと交換可能になるからである。その結果、ＰｎＳＰＴは等しくゼロであり、αの選択肢は以前に定義した場合まで減少する。
【０２６８】
[0296] 局所法線ベクトル場の主要な利点、各オブジェクトについてすなわち、演算子Ｃε及びεＣεの係数の式を別個に予め計算する可能性、及びカットアンドコネクト戦略を適用する可能性は、一般的な非等方性の場合でも依然として有効である。しかし、非等方性の方向が法線ベクトル場の方向と混合するので、演算子の係数は通常、さらに複雑である。これは、例えば等方性媒体の法線ベクトル場に依存しなかった演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１で観察することができ、これは一般的な場合の法線ベクトル場及び非等方性の方向に依存する。したがって、係数を画定するフーリエ積分の閉じた形態の式を求めることが通常はさらに困難になり、セクション５で概略したような求積法の方法が代替的に有用なことがある。明瞭な例外は、オブジェクトの非等方性がオブジェクトの支持全体で一定であり、オブジェクトの形状が、法線ベクトル場の方向が固定されたメッシュ要素、例えば三角形又は多角形のメッシュ要素で記述される場合である。この場合では、導出された閉じた形態の式が依然として有効であるが、（一定の）法線ベクトル場と誘電率テンソルの非等方性の（一定）方向との間の角度に依存する定数スケーリング因子を除く。
【０２６９】
[0297] 例えばＲＣＷＡ、差動法、及び体積積分法で使用することができる、スペクトル基底、等方性及び非等方性媒体の場と材料の相互作用内の局所法線ベクトル場の概念を解析する投影演算子のフレームワークについて説明してきた。このフレームワークで、スケーリング及び基底変換を局所法線ベクトル場につなげることができ、これにより専用の形状の法線ベクトル場で作業し、メッシング戦略を適用して、より一般的な形状の法線ベクトル場を構築できることを示した。これは、法線ベクトル場の方法の融通性を大幅に改良し、これらの場を設定するＣＰＵの時間の多大な節約にもつながる。幾つかのビルディングブロックに関する閉じた形態の解、及び周期距離補間アルゴリズムを含むより一般的な形状のベクトル場の生成の例についても例示した。
【０２７０】
[0298] 本発明の実施形態により、２Ｄ及び３Ｄでの法線ベクトルの設定をさらに高速に柔軟性を高めることができ、その結果、ＣＤの再構築時間がより迅速になり、ライブラリレシピの生成がより迅速になる。簡単な例では、同じ計算ハードウェアで数秒から１秒未満への高速化が観察された。
【０２７１】
２．法線ベクトル場の公式化の代替方法
１．リーの法則及び代替方法
[0299] 以上の公式化は法線ベクトル場の公式化を指すことに留意されたい。しかし、上記は、矩形の幾何形状に適切なリーの公式化にも拡大することができる。このリーの公式化の対応する演算子について以下で説明する。
２．畳み込み構造を維持する修正リーの法則及び法線ベクトル場の公式化の代替方法
【０２７２】
[0300] 以上のセクションでは、いわゆるｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式（０．１）及び（０．２）を修正して、スペクトルベースでその正確さを保持しながら、場と材料の相互作用の有効行列ベクトル積を構築した。これは、Ｅで示した電場に１対１対応の補助ベクトル場Ｆを導入することによって達成することができ、したがってＦが計算されると、追加の計算が非常に少ない状態でＥが取得される。要するに、下式の形態の１組の式が導出された。
【数１５７】
ここでＥｉｎｃは入射場を指し、Ｇは層状背景媒体のグリーン関数の行列表現を指し、Ｍ、ＰＴ、Ｐｎ、Ｃε及び（εＣε）は、ＦＦＴの形態における有効行列ベクトル積に対応する。
【０２７３】
[0301] 以上の場合、ＦとＪとＥの関係によって、コンパクトで効率的な数学的形式が可能になる。しかし、有効行列ベクトル積とともに高い正確さというゴールを達成するために、他の経路が存在する。これらの代替方法を調査し、文書化することが、本セクションの目的である。既存の数学的形式は、Ｅと補助ベクトル場Ｆの間の１対１対応を削除することによって、すなわち、可逆演算子Ｃεを介して拡張することができる。これは例えば、例えばセクション２．２で示すように、補助ベクトル場Ｆに電場Ｅの場合より多くの自由度を導入する場合である。さらなる措置を執らないと、その結果となるベクトル場Ｆの線形方程式の組は決定が不十分であり、したがってＦが一意ではなくなる。これは通常、反復ソルバの使用時に望ましくない。何故なら、通常、多数の反復又は反復プロセスのブレークダウンにつながるからである。この状況を克服するには、方程式Ｆ、Ｅ及び／又はＪの間に追加の組の線形制約を見込む。この基本原理で、以下の一般化された組の修正リップマン・シュウィンガー方程式になる。
【数１５８】
ここで、以上の行列方程式の各演算子は、例えばＦＦＴによって有効行列ベクトル積を実施することができる。
【０２７４】
２．１．ラランによる法則
[0302] ２Ｄの周期性がある周期構造についてリーによって導出された法則以前に、ララン［１３］が、誘電率行列Ｍεの重み付き平均式（［１３］でＥ及び逆誘電率行列（Ｍｉｎｖ（ε））−１（［１３］でＰ−１とされている）の逆行列とされている）を提案している。この作業方法では、電場Ｅと補助ベクトル場Ｆとの組合せで作業することができる。後者のベクトル場は、（Ｍｉｎｖ（ε））−１とＥとの積に遭遇する点にて導入され、第１の行列ベクトル積に到達して、コントラスト電流密度Ｊ又はそのスケーリングした対応物ｑを計算する。
【数１５９】
ここで、Ｆは下式を満たす。
【数１６０】
【０２７５】
[0303] Ｍε及びＭｉｎｖ（ε）は両方とも、ＦＦＴを介して有効行列ベクトル積が実行される。
【０２７６】
[0304] 式（２．７３）及び（２．７４）の結果は、式（２．７２）の形態でより大きい線形系として実行することができる。ここでは、演算子Ｉ及びＧを含む第１の組の方程式はそのままである。第２の組の方程式は、一方のＪと他方のＥ及びＦとの間に関係式（２．７３）を引き出す。すなわち、Ｃ１１＝ｊωα（Ｍε−εｂＩ）、Ｃ１２＝−Ｉ、及びＣ１３＝ｊω（１−α）Ｉである。第３の組の方程式は、式（２．７４）と同様にＥ及びＦに関係する。すなわち、Ｃ２１＝−Ｉ、Ｃ２２＝０、及びＣ２３＝Ｍｉｎｖ（ε）である。最後に、Ｃ３１、Ｃ３２、Ｃ３３、及び右手側の最終行を含む最終組の方程式は存在しない。これは、電流密度Ｊの近似解を求めるように、前記電磁場Ｅに関係し、それとは異なる電流密度Ｊ及びベクトル場Ｆの体積積分式の数値的解を含むことにより、構造の電磁散乱特性の計算に組み込むことができる。ここで、ベクトル場Ｆは、逆作用素Ｍｉｎｖ（ε）によって電場Ｅと関連づけられる。
【０２７７】
２．２．連結リーの法則
[0305] 交差した回折格子の場合、リー［１０，１１］は、対応する相互作用行列が（ブロック）テプリッツ行列と逆（ブロック）テプリッツ行列の積の合計で構成されている場合、場と材料との相互作用がスペクトル基底でよりよく捕捉されることを示している。（ブロック）テプリッツ行列は通常、「ローランの法則」の表示と呼ばれ、これは標準離散畳み込みに対応する。逆（ブロック）テプリッツ行列を通常、「逆法則」と呼ぶ。逆法則は、場の成分が材料界面にまたがって不連続である場合は常に適用され、ローランの法則は場の成分が材料界面にまたがって連続している場合に適用される。これらの規則は往々にして「リーの法則」と呼ばれる。（ブロック）テプリッツ行列によってＦＦＴの形態の有効行列ベクトル積が可能になるが、逆テプリッツ行列はテプリッツの形態を有さず、したがって高速行列ベクトル積が容易に形成されない。したがって、補助ベクトル場の考えを拡大することにより、制約とともに追加の補助場を導入して、（ブロック）テプリッツ行列の逆数も考慮に入れた有効行列ベクトル積に到達することができる。
【０２７８】
[0306] ２進回折格子、すなわち、誘電率が周期性の生じた面に直交する方向、ここではｚ方向で示す方向に依存しない回折格子の等方性媒体の場合を考察してみる。これで、リーの法則は、横断面、すなわち、ｘｙ面の電界Ｅの場成分しか修正しなくてよい。何故なら、電場のｚ成分が２進回折格子の材料界面にて連続しており、したがって有効行列ベクトル積で表されるローランの法則を直接適用できるからである。幾つかの矩形のブロックから誘電率関数を作成するが、このブロックは隣接していても、していなくてもよい。特に、誘電率関数及び対応する逆誘電率関数は、下式のように書かれる。
【数１６１】
ここで、
【数１６２】
は、全区間の支持がラベルαを伴う状態で、方向βにおけるパルス関数である。パルス関数とは、その関連区間では１、その他ではゼロである関数である。ｘ方向にはＩ非オーバーラップ区間があり、ｙ方向にはＪ非オーバーラップ区間がある。さらに、χｉｊは、関数
【数１６３】
及び
【数１６４】
の支持上の連続スカラー関数である。
【０２７９】
[0307] 電場及び電束のｘ成分の標準的な場と材料の相互作用の関係式
【数１６５】
から下式が得られる。
【数１６６】
ここで、リーの一連の推論［１０，１１］により、
【数１６７】
はフーリエ空間で分解可能であるが、
【数１６８】
は分解可能ではない。何故なら、Ｄｘが材料の界面にｙ方向の不連続部を有するからである。関数
【数１６９】
は投影演算子と解釈することができるので、以下のことを使用することができる。
【０２８０】
[0308] Ｉを単位作用素とし、Ａｉを相互に直交する投影演算子Ｐｉと交換可能である有界演算子のシーケンスとすると、演算子
【数１７０】
は有界逆数
【数１７１】
を有し、ここでＢｉ＝Ａｉ（Ｉ＋Ａｉ）−１である。
【０２８１】
[0309] 代数を計算し、投影演算子の等べきを考慮に入れることによって証明される。
【０２８２】
[0310] この結果から、次に電場成分に関して電束成分を下式のように表すことができる。
【数１７２】
ここで、Ａｉ及びＢｉとＰｉとの交換特性が使用される。
【０２８３】
[0311] 同様に、ｙ成分については下式がある。
【数１７３】
【０２８４】
[0312] これで、電場の成分で直接延在する逆行列演算を実行した後、乗法演算子はそれぞれフーリエ因数分解可能である。すなわち、スペクトルドメインでは、逆作用素が逆（ブロック）テプリッツ行列になって、逆法則を表し、投影演算子
【数１７４】
の組合せが（ブロック）テプリッツ行列になって、ローランの法則を表す。以上の関係から、通常の方法でコントラスト電流密度を導出することができる。すなわち、Ｊ＝ｊω［Ｄ−εｂＥ］である。
【０２８５】
[0313] 以上の関係から、ｘ及びｙ方向に沿ったすべての区間が逆作用素、すなわち、Ｉ＋Ｊ逆数の合計を生じることが明白になる。逆作用素を含む中間行列ベクトル積に補助変数（ベクトル場）を導入すると、これらの逆数をそれぞれ回避することができる。例えば、式（２．７８）の行列ベクトル積
【数１７５】
は、補助変数Ｆｘｊで置換され、ここでもスペクトルドメインにその行列ベクトル積の有効表現を有する線形方程式
【数１７６】
は、線形系に組み込まれる（２．７２）。その方法で、ＦＦＴの形態で行列ベクトル積の効率が保持されるが、変数は増加する。このことは、Ｉ及びＪが１より大きい場合に、特に当てはまる。何故なら、逆数がそれぞれ補助変数の量を増加させ、それにより行列ベクトル積の合計のサイズを増大させるからである。
【０２８６】
２．３．リーの法則の逆作用素の数を減少させる
[0314] セクション２．２の結論は、各投影演算子
【数１７７】
が新しい補助ベクトル場を導入し、それによってこの手順が、幾つかの写像演算子より多くを必要とする幾何形状ではかなり非効率になるということである。したがって、段階的戦略の幾何学的融通性を犠牲にせずに、最初に導入されるその戦略より少ない投影演算子で作業する方法があるか否かという疑問が生じる。
【０２８７】
[0315] 努力したことは主に、含まれる投影演算子を減少させた合計として、式（２．７５）を書き換えること、すなわち、下式に書き換えることである。
【数１７８】
【０２８８】
[0316] これは有名な「４色問題」(four-color problem)に触発されたものであり、これでは平坦なマップを異なる４色のみで着色することができ、マップの２つの隣接する領域で同じ色を有する領域はない。今回の場合では、状況が多少似ている。すなわち、隣接する支持の投影演算子は、その乗法関数
【数１７９】
がそれを相互接続する境界をまたがって連続している場合にのみ併合することができる。一般に、このような制約は幾何学では対処されない。したがって、隣接する支持を有さない投影演算子を併合するように、グルーピングを導入する。これで、併合した投影演算子の支持で乗法関数
【数１８０】
に適合する連続乗法演算子を構築することができる。
【０２８９】
[0317] 最初に、これを１次元で示してみる。ｘ方向の（周期的）区間を［０，α］として与え、この間隔を偶数の非オーバーラップセグメントＳｉ（ｉ＝０，．．．，２Ｉ）に分割してみる。したがってセグメントの和集合が周期的区間［０，ａ］に広がり、セグメントがこの区間に沿ってその位置に従って決定される。すなわち、セグメントＳｉ−１がセグメントＳｉを進めることになる。これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８１】
ここで、Πｉ（ｘ）の支持はｉ番目のセグメントに対応する。
【０２９０】
[0318] 次に、（相互に直交する）奇数及び偶数投影演算子を下式のように導入する。
【数１８２】
【０２９１】
[0319] さらに、（スカラー）関数ｆ０（ｘ）及びｆｅ（ｘ）を導入する。これらの関数は、区間［０，ａ］で連続しており、周期的連続性を有し、すなわち、ｆ０（０）＝ｆ０（ａ）及びｆｅ（０）＝ｆｅ（ａ）であり、ｋ＝１，．．．，Ｉの場合に、下式を満たす。
【数１８３】
偶数及び奇数投影演算子が投影演算子を隣接する支持と併合しないということから、関数ｆ０及びｆｅを連続関数として、例えば偶数及び奇数投影演算子の支持の外側にあるセグメントの線形補間を介して構築することができる。したがって、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８４】
【０２９２】
[0320] 次に、この考えを２次元に、すなわち、回折格子構造の横断面に拡大する。（相互に直交する）偶数及び奇数投影演算子を、次元毎に偶数のセグメントがある状態で、デカルト積グリッドのｘ及びｙ方向に導入する。さらに、周期的領［０，ａ］×［０，ｂ］に、ｆ００（ｘ，ｙ）、ｆ０ｅ（ｘ，ｙ）、ｆｅ０（ｘ，ｙ）、及びｆｅｅ（ｘ，ｙ）で示した４つの周期的に連続するスカラー関数を導入する。これらの関数は、これに掛ける投影演算子の支持の外側で、双線形補間によって構築することができる。この手順を図２２に示す。
【０２９３】
[0321] 図２２は、次元毎に偶数投影演算子２２０６（白い支持）及び奇数投影演算子２２０８（実線／影の支持）を導入することにより、段階的近似２２０４によって横断面で楕円２２０２を近似する手順を示す。１方向の投影演算子に他の方向の投影演算子を掛けることにより、隔離されたボックスのパターンが現れる。これにより、隔離された各ボックスの支持に対して適切な挙動を有する連続関数を構築することができる。
【０２９４】
[0322] これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８５】
これは、関係する２次元投影演算子（色付き）が４つしかないことを示す。
【０２９５】
[0323] セクション２．５．２で概略した方法に従うと、以下のリーの法則に到達する。
【数１８６】
さらに、ＤｙとＥｙとの関係について、同様の式にも到達する。
【０２９６】
[0324] この手順を完結させるために、下式を満たすｘ成分を有する２つの補助場Ｆｅ及びＦｏを導入する。
【数１８７】
さらに、ｙ成分についても同様の関係式を導入する。これらの条件で、最終的に下式が得られる。
【数１８８】
さらに、ｙ成分についても同様の関係式が得られる。以前のセクションの逆作用素とは異なり、ＦとＥを連結する演算子が２次元の特徴を有することに留意されたい。しかし、すべての演算子はここでは、２Ｄ（又は繰り返した１Ｄ）のＦＦＴを介した有効行列ベクトル積を組み込んだ乗法演算子である。これらの関係から、この場合も通常の方法でコントラスト電流密度間の関係式、すなわち、Ｊ＝ｊω［Ｄ−εｂＥ］を導出し、式（２．７２）の線形方程式を組み立てることができる。
【０２９７】
２．４．単一のブリックに対するリーの法則
[0325] 次に、ｘｙ面の回折格子の断面が、誘電率εｂの背景媒体に埋め込まれた等方性誘電率の単一の矩形ブロック（ブリックとも呼ばれる）で構成される特有の場合について考察する。上述した定義で、この場合の誘電率関数及び逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８９】
ここから、コントラスト電流密度について下式が得られる。
【数１９０】
さらに、以下の関係式がある。
【数１９１】
ここで、Ｇはこの場合もグリーン関数演算子を指す。次に、ｘ方向のコントラスト電流密度に関する分割法則、すなわち、下式に到達するために電場及び束密度のｘ成分を特に見てみる。
【数１９２】
角括弧内の２番目の項は、固定したｘに対してｙ方向に沿って連続的である。したがって、積
【数１９３】
はフーリエ因数分解可能である、すなわち、角括弧内に与えられたパルス関数と合計電場の間の積は、スペクトルドメインでローランの法則により計算することができる。その後、以下の合計を考察する。
【数１９４】
これは、固定したｙに対してｘ方向に沿って連続的である。したがって、空間ドメインにおける
【数１９５】
の乗法は、スペクトルドメインにおけるローランの法則で表すことができる。すなわち、積はフーリエ因数分解可能である。空間的に有効な関係式、
【数１９６】
及び
【数１９７】
から、下式が得られ、
【数１９８】
これは、積分式のｘ成分として書き換えることができ、
【数１９９】
コントラスト電流密度のｙ成分には、同様の式がある。入射電場はいかなる場所でも連続的であり、したがってリーの法則は入射場では役割を果たさないことに留意されたい。ｚ成分については、標準的な積分式を即座に書くことができる。何故なら、電場のｚ成分は、固定したｚに対してｘ及びｙのすべてで連続的であり、したがって
【数２００】
及び
【数２０１】
の積はすべてフーリエ因数分解可能である。すなわち、下式になる。
【数２０２】
【０２９８】
[0326] 本発明の実施形態の利点は、メトロロジーの用途で回折格子の輪郭を再構築するために、コントラスト源反転（ＣＳＩ）アルゴリズムができることである。
【０２９９】
[0327] 本発明の実施形態は、不連続ベクトル場で演算する不連続演算子、及びそれに関する性能の不利を回避し、したがって収束の正確さ及び速度を改良する。
【０３００】
[0328] 図２３は、本発明の実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略形態で示す。コンピュータシステムは中央処理装置（ＣＰＵ）２３０２及びランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）２３０４を備え、これはプログラムの実行中にプログラム命令２３０６及びデータ２３０８を記憶するために使用される。コンピュータシステムは、プログラムを実行する前後にプログラム命令及びデータを記憶するために使用されるディスク記憶装置２３１０も含む。
【０３０１】
[0329] プログラム命令２３０６は、高速フーリエ変換ルーチン２３１２、行列乗算関数２３１４、加算及び減算などの他の算術関数２３１６、及びアレイ編成関数２３１８を含む。データ２３０８は、ＶＩＭシステムの解の計算中に使用される４Ｄアレイ２３２０及び２Ｄアレイ２３２２を備える。入力及び出力用の他の従来のコンピュータコンポーネントは図示されていない。
【０３０２】
[0330] 本発明の実施形態では、フーリエ級数展開を使用し、完全一致層（ＰＭＬ）、又は他のタイプの吸収境界条件を使用することによって非周期的構造を解析して、フーリエ展開を使用するユニットセルの境界付近で無限に向かう放射を模倣することができる。
【０３０３】
[0331] 本発明の実施形態を、図５及び図６に関して述べた再構築方法に従って組み込み、放射によるオブジェクトの照明から生じる電磁散乱特性を検出して、オブジェクトの近似構造を再構築する方法を提供することができる。
【０３０４】
[0332] 本発明の実施形態は、図３及び図４に関して述べた処理装置ＰＵに関して本明細書で述べた方法を組み込むことによって組み込み、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置を提供することができる。
【０３０５】
[0333] 図３、図４及び図２３に関して述べた処理装置は、構造の電磁散乱特性を計算する１つ又は複数の機械可読命令のシーケンスを含むコンピュータプログラムの制御下で演算することができ、命令は、１つ又は複数の処理装置に本明細書で述べた方法を実行させるように構成される。
【０３０６】
[0334] 本文ではＩＣの製造における検査装置の使用に特に言及しているが、本明細書で説明する検査装置には、例えば、集積光学システム、磁気ドメインメモリ用誘導及び検出パターン、フラットパネルディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、薄膜磁気ヘッドなどの製造のような他の用途もあることを理解されたい。こうした代替的な用途に照らして、本明細書で「ウェーハ」又は「ダイ」という用語を使用している場合、それぞれ、「基板」又は「ターゲット部分」という、より一般的な用語と同義と見なしてよいことが、当業者には認識される。本明細書に述べている基板は、露光前又は露光後に、例えばトラック（通常はレジストの層を基板に塗布し、露光したレジストを現像するツール）、メトロロジーツール及び／又は検査ツールで処理することができる。適宜、本明細書の開示は、以上及びその他の基板処理ツールに適用することができる。さらに基板は、例えば多層ＩＣを生成するために、複数回処理することができ、したがって本明細書で使用する基板という用語は、既に複数の処理済み層を含む基板も指すことができる。
【０３０７】
[0335] 上述した本発明の実施形態による方法は、図５及び図６に関して上述したように、放射によるオブジェクトの照明によって生成される回折パターンなどの検出された電磁散乱特性からオブジェクト（１Ｄ周期性に限定されない）の近似構造を再構築する順方向回折モデルに組み込むことができる。図３及び図４に関して上述した処理ユニットＰＵは、この方法を使用してオブジェクトの近似構造を再構築するように構成することができる。
【０３０８】
[0336] 光リソグラフィの分野での本発明の実施形態の使用に特に言及してきたが、本発明は文脈によってはその他の用途、例えばインプリントリソグラフィでも使用することができ、光リソグラフィに限定されないことを理解されたい。インプリントリソグラフィでは、パターニングデバイス内のトポグラフィが基板上に作成されるパターンを形成する。パターニングデバイスのトポグラフィは基板に供給されたレジスト層内に刻印され、電磁放射、熱、圧力又はこれらの組合せを印加することによりレジストは硬化する。パターニングデバイスはレジストから取り除かれ、レジストが硬化すると、内部にパターンが残される。
【０３０９】
[0337] 本明細書で使用する「放射」及び「ビーム」という用語は、イオンビーム又は電子ビームなどの粒子ビームのみならず、紫外線（ＵＶ）放射（例えば、３６５ｎｍ、３５５ｎｍ、２４８ｎｍ、１９３ｎｍ、１５７ｎｍ若しくは１２６ｎｍ、又はこれら辺りの波長を有する）及び極端紫外線（ＥＵＶ）放射（例えば、５ｎｍ〜２０ｎｍの範囲の波長を有する）を含むあらゆるタイプの電磁放射を包含する。
【０３１０】
[0338] 「レンズ」という用語は、状況が許せば、屈折、反射、磁気、電磁及び静電型光学コンポーネントを含む様々なタイプの光学コンポーネントのいずれか一つ、又はその組合せを指すことができる。
【０３１１】
[0339] 「電磁」という用語は、電気及び磁気を包含する。
【０３１２】
[0340] 「電磁散乱特性」という用語は、スペクトル（波長の関数としての強度など）、回折パターン（位置／角度の関数としての強度）及び横方向磁気及び横方向電気偏光の相対強度及び／又は横方向磁気と横方向電気偏光との位相差を含む反射及び透過係数及びスキャトロメータ測定パラメータを包含する。回折パターン自体は、例えば反射係数を使用して計算することができる。
【０３１３】
[0341] したがって、本発明の実施形態は反射散乱に関して説明されているが、本発明は透過散乱にも適用可能である。
【０３１４】
[0342] 以上、本発明の特定の実施形態を説明したが、説明とは異なる方法でも本発明を実践できることが理解される。例えば、本発明は、上記で開示したような方法を述べる機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラム、又はこのようなコンピュータプログラムを内部に格納したデータ記憶媒体（例えば半導体メモリ、磁気又は光ディスク）の形態をとることができる。
【０３１５】
[0343] なお、「発明の概要」及び「要約書」の項は、発明者が考える本発明の１つ又は複数の例示的実施形態を記載できるがそのすべては記載できないため、本発明及び添付の特許請求の範囲を決して限定するものではない。
【０３１６】
[0344] 以上、特定の機能及びそれらの関係の実施態様を示す機能ビルディングブロックを使用して本発明の実施形態について説明した。本明細書においては、これらの機能ビルディングブロックの境界は、説明の便宜上、任意に画定されている。特定の機能及びそれらの関係が適切に実施される限り、代替境界を画定することも可能である。
【０３１７】
[0345] 特定の実施形態についての上記説明は、本発明の一般的な性質を余すところなく開示しており、したがって当業者は、当分野における知識を適用することにより、不適切な過度の実験作業を必要とすることなく、また、本発明の一般概念から逸脱することなく、様々な用途のためにこのような特定の実施形態に容易に修正を加え、及び／又は適合させることができる。したがって、このような適合及び修正は、開示されている実施形態の、本明細書において示されている教示及び手引きに基づく同等物の意味及び範囲内に含まれることが意図されている。本明細書における表現又は用語は、説明を目的としたものであって本発明を限定するためのものではなく、したがって本明細書の用語又は表現は、当業者によって、教示及びガイダンスに照らして解釈されるべきものであることを理解されたい。
【０３１８】
[0346] 本発明の広さ及び範囲は、上で説明したいずれの例示的実施形態によっても限定されず、唯一添付の特許請求の範囲及びそれらの同等物によってのみ定義されるものとする。
【０３１９】
[0347] 本出願の特許請求の範囲は、親出願又は他の関連出願のものとは異なる。したがって出願人は、本出願に関して親出願又はいかなる先行出願でなされた特許請求の範囲に関するいかなるディスクレイマー(disclaimer)も無効にする。したがって、審査官には、このようないかなる以前のディスクレイマー、並びに回避するようにされた引用文献を再訪する必要があることを留意頂きたい。さらに、審査官には、本出願でなされたいかなるディスクレイマーも親出願に取り込まれない、又は親出願に対して読まれないことも認識されたい。
【０３２０】
参照文献（すべて参照により全体を本明細書に組み込むものとする）
[1] Evgeny Popov and Michel Neviere. Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media. J. Opt. Soc. Am. A, 18(11):2886-2894, November 2001.
[2] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, 1980.
[3] Thomas Schuster, Johannes Ruoff, Norbert Kerwien, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for convergence improvement using the RCWA for crossed gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 24(9):2880-2890, September 2007.
[4] R.V. Churchill. Complex Variables and Applications. McGraw-Hill, 1960.
[5] Peter Gotz, Thomas Schuster, Karsten Frenner, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for the RCWA with automated vector field generation. OPTICS EXPRESS, 16(22):17295-17301, October 2008.
[6] Alvise Sommariva and Marco Vianello. Gauss-Green cubature and moment computation over arbitrary geometries. Journal of Computational and Applied Mathematics, to be published.
[7] Alvise Sommariva and Marco Vianello. Product Gauss cubature over polygons based on Green's integration formula. BIT Numerical Mathematics, 47(2):147-177, August 2007.
[8] G. Gabard. Exact integration of polynomial-exponential products with application to wave-based numerical methods. Commun. Numer. Meth. Engng, 2008.
[9] Yia-Chung Chang, Guangwei Li, Hanyou Chu, and Jon Opsal. Efficient finite-element, Green's function approach for critical-dimension metrology of three-dimensional gratings on multilayer films. J. Opt. Soc. Am. A, 23(3):638-6454, March 2006.
[10] Lifeng Li. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures. J. Opt. Soc. Am. A, 13(9):1870-1876, September 1996.
[11] Lifeng Li. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 14(10):2758-2767, October 1997.
[12] Brent C. Bergner, Thomas A. Germer, and Thomas J. Suleski. Effect of Line Width Roughness on Optical Scatterometry Measurements. Metrology, Inspection, and Process Control for Microlithography XXIII, edited by John A. Allgair, Christopher J. Raymond. Proc. of SPIE Vol. 7272, 72720U, 2009. DOI: 10.1117/12.813770.
[13] Philippe Lalanne. Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 14(7):1592-1598, July 1997.
[14] A contrast source inversion method, P. M. van den Berg and R. E. Kleinman, Inverse Problems vol. 13 (1997), pp. 1607-1620.
[15] Finite-element contrast source inversion method for microwave imaging, A. Zakaria, C. Gilmore and J. LoVetri, Inverse Problems vol 26 (2010), 115010 (21pp), doi:10.1088/0266-5611/26/11/115010.
[16] A finite-difference contrast source inversion method, A. Abubakar, W. Hu, P. M. van den Berg, and T. M. Habashy, Inverse Problems vol. 24 (2008), 065004 (17pp), doi:10.1088/0266-5611/24/6/065004.
【０３２１】
付録Ａ
ベッセル関数のラジアル積分
ラジアル積分すると、以下の積分の閉じた形態の式が発見される。
（ｎ≧０）の場合、
【数２０３】
これらは以下のベッセル関数の繰り返し関係式を採用することによって発見することができる（［２］）。
【数２０４】
式（２）にｎ＋１≡２ｋを代入して積分すると、偶数ベッセル積分の繰り返し関係式が与えられる。
【数２０５】
この式の第２の積分を、式（Ａ３）を使用して書き換えることができる。
ｎ＋１＝２ｋ−１を代入して積分すると、下式が与えられる。
【数２０６】
両方の繰り返し積分式を下式で明示的に書くことができる。
【数２０７】
式（Ａ６）に式（Ａ７）を代入すると、下式が与えられる。
【数２０８】
この式の欠点は、ベッセル関数が同じ引数の複数の評価を有することである。これは数値的に高くつく演算であるので、二重総和を切り換えると、下式が与えられる。
【数２０９】
ｋ指数の最終総和は、下式に等しいと示すことができる。
【数２１０】
これにより、偶数ベッセル関数のラジアル積分の最終の閉じた形態の式が与えられる。
【数２１１】
ここで、この総和はｎ＞１にのみ当てはまる。
奇数ベッセル関数のラジアル積分にも、同じ推論を適用することができる。式（Ａ２）にｎ＋１≡２ｋ＋１を代入し、式（Ａ３）にｎ＋１≡２ｋを代入して積分すると、以下の繰り返し積分が与えられる。
【数２１２】
両方の繰り返し積分関係式を下式で明示的に書くことができる。
【数２１３】
式（Ａ１４）に式（Ａ１５）を代入し、二重総和をスワップすると、下式が与えられる。
【数２１４】
以下の関係式を使用し、
【数２１５】
式（Ａ１６）のｚＪ１（ｚ）を部分積分すると、以下の最終式が与えられる。
【数２１６】
ここで、最終総和は、ｎ≧１にのみ当てはまる。
【０３２２】
付録Ｂ
角積分
角積分の最も一般的な形態は、下式のように書かれる。
【数２１７】
ここで、中括弧内にある項のすべての組合せが可能であり、
【数２１８】
は楕円率であり、φｓは楕円又は円弧の角度であり、ｃは幾何学的入力パラメータに従う角度オフセットである（式（８３）参照）。この積分の閉じた形態の式を導出することができるが、本報告書では２つの特定の場合に焦点を絞らねばならない。
・円弧
・完全楕円
円の場合はｅ＝１であり、これは積分を非常に単純化する。
【数２１９】
ここで、ｅは偶数モードを、ｏは奇数モードを指す。さらに、中括弧内にある項のすべての組合せが可能である。単純明快な積分で、下式が与えられる。
【数２２０】
奇数角積分でも、同様の式を導出することができる。
【数２２１】
完全楕円の場合、ｅは式（Ｂ１）中で任意である。偶数角積分
【数２２２】
は、下式のように書くことができる。
【数２２３】
ここで、等角三角関数を使用して、サイン及びコサインの二乗を書き換えてある。さらに、サイン・コサインの積の法則、及び全三角関数が２πの周期性を有することを使用すると、下式が与えられる。
【数２２４】
被積分関数の対称性を調べると、下式のことを示すことができる。
【数２２５】
ここで、式（Ｂ１７）には基本積分が使用されている（［２，ｐ．３６６］参照）。
同じ対称性引数で、下式のことを示すことができる。
【数２２６】
【数２２７】
及び
【数２２８】
についてこの作業を根気よく繰り返すと、下式のことが示される。
【数２２９】
円（ｅ＝１）の場合は、（ｋ＝１）項のみがゼロではないことに留意されたい。
【技術分野】
【０００１】
[0001] 本発明は、構造の電磁散乱特性の計算に関する。本発明は、例えば微細構造のメトロロジーに適用して、例えばリソグラフィ装置のクリティカルディメンション（ＣＤ）性能を評価することができる。
【背景技術】
【０００２】
[0002] リソグラフィ装置は、所望のパターンを基板に、通常は基板のターゲット部分に適用する機械である。リソグラフィ装置は、例えば、集積回路（ＩＣ）の製造に使用可能である。このような場合、代替的にマスク又はレチクルとも呼ばれるパターニングデバイスを使用して、ＩＣの個々の層上に形成すべき回路パターンを生成することができる。このパターンを、基板（例えばシリコンウェーハ）上のターゲット部分（例えば１つ又は幾つかのダイの一部を含む）に転写することができる。パターンの転写は通常、基板に設けた放射感応性材料（レジスト）の層への結像により行われる。一般的に、１枚の基板は、順次パターンが与えられる隣接したターゲット部分のネットワークを含んでいる。従来のリソグラフィ装置は、パターン全体をターゲット部分に１回で露光することによって各ターゲット部分が照射される、いわゆるステッパと、基板を所与の方向（「スキャン」方向）と平行あるいは逆平行に同期的にスキャンしながら、パターンを所与の方向（「スキャン」方向）に放射ビームでスキャンすることにより、各ターゲット部分が照射される、いわゆるスキャナとを含む。パターンを基板にインプリントすることによっても、パターニングデバイスから基板へとパターンを転写することが可能である。
【０００３】
[0003] リソグラフィプロセスを監視するために、パターン付き基板のパラメータ、例えば基板内又は基板上に形成された連続層間のオーバレイ誤差を測定する必要がある。走査型電子顕微鏡及び様々な専用ツールの使用を含め、リソグラフィプロセスで形成された微細構造を測定するための様々な技術がある。専用検査ツールの一形態が、放射のビームを基板の表面上のターゲットに誘導し、散乱又は反射したビームの特性を測定するスキャトロメータである。基板によって反射又は散乱する前とその後のビームの特性を比較することにより、基板の特性を決定することができる。これは、例えば既知の基板特性に関連した既知の測定値のライブラリに格納されたデータと反射ビームを比較することによって実行することができる。スキャトロメータは２つの主なタイプが知られている。分光スキャトロメータは広帯域放射ビームを基板上に誘導し、特定の狭い角度範囲に散乱した放射のスペクトル（波長の関数としての強度）を測定する。角度分解スキャトロメータは単色放射ビームを使用し、散乱した放射の強度を角度の関数として測定する。
【０００４】
[0004] さらに一般的には、散乱した放射を、構造の複数のモデルから数学的に予測された散乱挙動と比較することができ、予測された挙動が現実のサンプルから観察された散乱と一致するまで、これを自由に設定し、変更することができれば有用である。残念ながら、数値処理によって散乱をモデル化する方法は原則的に知られているが、既知の技術の計算負荷によって、このような技術は非現実的になり、リアルタイムの再構築が望ましい場合、及び／又は関係する構造が１次元で周期的な単純構造よりも複雑である場合に特にそうである。
【０００５】
[0005] ＣＤの再構築は、逆散乱という一般名で知られる一群の問題に属し、逆散乱では観察データを可能な物理的状況と突き合わせる。その目的は、可能な限り近い観察データを生じる物理的状況を発見することである。スキャトロメータの場合は、電磁理論（マクスウェルの方程式）によって、所与の物理的状況に対して測定（散乱）データがどうなるかを予測することができる。これを前方散乱問題と呼ぶ。逆散乱問題は、実際の測定データに対応する適切な物理的状況を探し出すことになり、これは通常、高非線形の問題である。この逆散乱問題を解くには、多くの前方散乱問題の解を使用する非線形ソルバを使用する。既知の再構築方法では、非線形問題が３つの成分に基づいている。
・測定データと推定した散乱設定から計算したデータとの差のガウス・ニュートンの最小化
・散乱設定のパラメータ化した形状、例えばコンタクトホールの半径及び高さ
・パラメータ更新毎の前方問題の解（例えば計算した反射係数）の十分に高い精度
【０００６】
[0006] 逆散乱問題を解決するために最近の文献に記録されている別の成功アプローチは、コントラスト源反転（Contrast-Source Inversion: ＣＳＩ）［１４］である。本質的に、ＣＳＩはデータの不整合とマクスウェルの方程式の不整合とを同時に解決する公式化を使用する、すなわち、最小化の各ステップでマクスウェルの方程式を十分な精度まで解かない。さらに、ＣＳＩはパラメータ化した形状ではなく、ぼやけた像を使用する。
【０００７】
[0007] ＣＳＩが成功したのは、基本的な未知数として、いわゆるコントラスト源Ｊ及びコントラスト関数χに関して逆問題を再公式化したことによるところが大きい。この再公式化によって、測定データの不整合がχからもＪの線形問題からも無関係になるが、χとＪの結合により、マクスウェルの方程式の不整合は非線形のままである。ＣＳＩは、体積積分法（Volume-Integral Method: ＶＩＭ）［１４］、有限要素法（Finite Element method: ＦＥＭ）［１５］、及び有限差分法（Finite Difference: ＦＤ）［１６］とうまく結合された。しかし、基礎となる数値的方法（ＶＩＭ、ＦＥＭ、ＦＤ）はすべて、空間公式化及び空間離散化（すなわち、ピクセル又はメッシュ）に基づいている。
【発明の概要】
【０００８】
[0008] 半導体処理の分野では、電磁散乱特性の正確な計算を迅速に実行することが望ましい。
【０００９】
[0009] 本発明の第１の態様によれば、構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、構造が、材料境界にて電磁場に少なくとも１つの不連続を引き起こすような様々な特性の材料を含み、前記方法が、電磁場の連続成分及び電磁場に対応するスケーリング電磁束密度の連続成分で演算するために、コントラスト電流密度の体積積分式を、場と材料の相互作用演算子を使用してコントラスト電流密度の成分を決定することによって、数値的に解くステップであって、スケーリング電磁束密度が電磁場及びコントラスト電流密度の不連続成分のスケーリング合計として形成される、ステップと、コントラスト電流密度の決定された成分を使用して構造の電磁散乱特性を計算するステップとを含む、方法が提供される。
【００１０】
[0010] 本発明の第２の態様によれば、放射線によるオブジェクトの照明で生じる検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、少なくとも１つの構造パラメータを推定するステップと、少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性が第１の態様による方法を使用して決定される、方法が提供される。
【００１１】
[00011] 本発明の第３の態様によれば、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、オブジェクトを放射で照明するように構成された照明システムと、照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、少なくとも１つの構造パラメータを推定し、少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成された処理装置とを備え、該処理装置が、第１の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される、検査装置が提供される。
【００１２】
[0012] 本発明の第４の態様によれば、構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り可能命令の１つ又は複数のシーケンスを含み、命令が１つ又は複数の処理装置に第１の態様による方法を実行させるようになされている、コンピュータプログラムプロダクトが提供される。
【００１３】
[0013] 本発明の別の特徴及び利点と本発明の様々な実施形態の構造及び作用を、添付の図面を用いて以下に詳述する。本発明は、本明細書に記載する特定の実施形態に限定されないことに留意されたい。このような実施形態は、例示のみを目的として本明細書に記載されている。本明細書に含まれる教示に基づいて当業者はさらなる実施形態を容易に思い付くであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
[0014] 本明細書に組み込まれ、明細書の一部をなす添付の図面は、本発明を例示し、説明と共に、本発明の原理をさらに説明し、当業者が本発明を実施して使用することを可能にする。
【図１】[0015]リソグラフィ装置を示す。
【図２】[0016]リソグラフィセル又はクラスタを示す。
【図３】[0017]第１のスキャトロメータを示す。
【図４】[0018]第２のスキャトロメータを示す。
【図５】[0019]スキャトロメータの測定値から構造を再構築するために本発明の実施形態を使用する第１の例のプロセスを示す。
【図６】[0020]スキャトロメータの測定値から構造を再構築するために本発明の実施形態を使用する第２の例のプロセスを示す。
【図７】[0021]本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何形状を示す。
【図８】[0022]バックグラウンドの構造を示す。
【図９】[0023]グリーンの関数を使用して散乱場と層状媒体の相互作用を計算することを示す。
【図１０】[0024]コントラスト電流密度のＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。
【図１１】[0025]従来技術で知られているようなコントラスト電流密度のＶＩＭ式を使用して更新ベクトルを計算するフローチャートである。
【図１２】[0026]本発明の実施形態を示す。
【図１３ａ】[0027]本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１３ｂ】[0028]本発明の実施形態によりコントラスト源反転でＶＩＭ式を解く際に使用するコントラスト電流密度の行列ベクトル積のフローチャートである。
【図１３ｃ】[0029]図１３ｂの行列ベクトル積に使用する材料及び投影オペレータの動作のフローチャートである。
【図１４】[0030]本発明の実施携帯による構造の電磁散乱特性を計算する方法のフローチャートである。
【図１５ａ】[0031]オフセットｃ０がある回転楕円のグローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の定義である。
【図１５ｂ】[0032]楕円座標系のＮＶ場を示す。
【図１５ｃ】[0033]楕円の等角写像を示す。
【図１６ａ】[0034]矩形の連続ＮＶ場を示す。
【図１６ｂ】[0035]矩形の不連続ＮＶ場を示す。
【図１７】[0036]基本形状の「ドッグボーン」のメッシュを示す。
【図１８】[0037]本発明の実施形態により、断面が角丸矩形のプリズムの法線ベクトル場を、これより小さい矩形及び円弧から構築することを示す。
【図１９】[0038]回転してシフトした三角形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２０】[0039]回転してシフトした台形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２１】[0040]回転してシフトした円弧をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【図２２】[0041]段階的近似によって楕円を近似する手順を示す。
【図２３】[0042]本発明の実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成したコンピュータシステムを概略形式で示す。
【００１５】
[0043] 本発明の特徴及び利点は、類似の参照番号がそれに対応する要素を一貫して識別する図面を参照しながら以下の説明を読むことでさらに明らかになろう。図面では、通常、類似の番号が同一の、機能が類似した、及び／又は構造が類似した要素を示す。ある要素が最初に出現する図面は、対応する参照番号の左端の１つ又は複数の数字によって示される。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
[0044] 本発明は、均一性補償器を用いて、例えば、照明ビームの移動、光カラムの均一性、均一性補償器のドリフトなどによって引き起こされる均一性ドリフトを補償する方法に関する。本明細書は、本発明の特徴を組み込んだ１つ又は複数の実施形態を開示する。開示された実施形態は本発明を例示するに過ぎない。本発明の範囲は、開示された実施形態に限定されない。本発明は、添付の特許請求の範囲によって規定される。
【００１７】
[0045] 記載される実施形態、及び明細書内の、「一実施形態」、「ある実施形態」、「例示の実施形態」などの表現は、記載された実施形態が特定の機能、構造、又は特性を含むことができる旨を示すが、すべての実施形態が特定の機能、構造、又は特性を必ずしも含まなくてもよい。さらに、このような字句は、必ずしも同じ実施形態に言及している訳ではない。さらに、特定の機能、構造、又は特性がある実施形態に関連して記載されている時には、明示的であるか否かを問わず、当業者は知識の範囲内でこのような機能、構造、又は特性を他の実施形態に関連して扱うことができると考えられる。
【００１８】
[0046] 本発明の実施形態は、ハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア、又はそれらの任意の組合せで実施してもよい。また、本発明の実施形態は、１つ又は複数のプロセッサによって読み出して実行することができる機械読み取り可能媒体に格納された命令として実施してもよい。機械読み取り可能媒体は、機械（例えば、コンピュータ装置）が読み取れる形式で情報を記憶又は伝送できる任意の機構を含んでもよい。例えば、機械読み取り可能媒体は、読取専用メモリ（ＲＯＭ）、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ），磁気ディスク記憶媒体、光記憶媒体、フラッシュメモリデバイス、電気、光、音声又はその他の形態の伝搬信号（例えば、搬送波、赤外線信号、ディジタル信号など）、その他を含んでもよい。さらに、本明細書に一定の動作を実行するファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令を記載してもよい。しかし、そのような記載は便宜のためだけであり、そのような動作は、実際には、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行するコンピュータ装置、プロセッサ、コントローラ、又はその他のデバイスによって行われる。
【００１９】
[0047] このような実施形態を詳述する前に、本発明の実施形態を実施することができる例示の環境を提示することが有用であろう。
【００２０】
[0048] 図１は、リソグラフィ装置を概略的に示す。この装置は、放射ビームＢ（例えばＵＶ放射又はＤＵＶ放射）を調節するように構成された照明システム（イルミネータ）ＩＬと、パターニングデバイス（例えばマスク）ＭＡを支持するように構成され、特定のパラメータに従ってパターニングデバイスを正確に位置決めするように構成された第１のポジショナＰＭに接続された支持構造（例えばマスクテーブル）ＭＴと、基板（例えばレジストコートウェーハ）Ｗを保持するように構成され、特定のパラメータに従って基板を正確に位置決めするように構成された第２のポジショナＰＷに接続された基板テーブル（例えばウェーハテーブル）ＷＴと、パターニングデバイスＭＡによって放射ビームＢに与えられたパターンを基板Ｗのターゲット部分Ｃ（例えば１つ又は複数のダイを含む）に投影するように構成された投影システム（例えば屈折投影レンズシステム）ＰＬとを含む。
【００２１】
[0049] 照明システムは、放射の誘導、整形、又は制御を行うための、屈折、反射、磁気、電磁、静電型等の光学コンポーネント、又はその任意の組合せなどの種々のタイプの光学コンポーネントを含んでいてもよい。
【００２２】
[0050] 支持構造は、パターニングデバイスを支持、すなわちその重量を支えている。支持構造は、パターニングデバイスの方向、リソグラフィ装置の設計等の条件、例えばパターニングデバイスが真空環境で保持されているか否かに応じた方法で、パターニングデバイスを保持する。この支持構造は、パターニングデバイスを保持するために、機械式、真空式、静電式等のクランプ技術を使用することができる。支持構造は、例えばフレーム又はテーブルでよく、必要に応じて固定式又は可動式でよい。支持構造は、パターニングデバイスが例えば投影システムなどに対して確実に所望の位置にくるようにできる。本明細書において「レチクル」又は「マスク」という用語を使用した場合、その用語は、より一般的な用語である「パターニングデバイス」と同義と見なすことができる。
【００２３】
[0051] 本明細書において使用する「パターニングデバイス」という用語は、基板のターゲット部分にパターンを生成するように、放射ビームの断面にパターンを与えるために使用し得る任意のデバイスを指すものとして広義に解釈されるべきである。ここで、放射ビームに与えられるパターンは、例えばパターンが位相シフトフィーチャ又はいわゆるアシストフィーチャを含む場合、基板のターゲット部分における所望のパターンに正確には対応しないことがある点に留意されたい。通常、放射ビームに与えられるパターンは、集積回路などのターゲット部分に生成されるデバイスの特定の機能層に相当する。
【００２４】
[0052] パターニングデバイスは透過性又は反射性でよい。パターニングデバイスの例には、マスク、プログラマブルミラーアレイ、及びプログラマブルＬＣＤパネルがある。マスクはリソグラフィにおいて周知のものであり、これには、バイナリマスク、レベンソン型(alternating)位相シフトマスク、ハーフトーン型(attenuated)位相シフトマスクのようなマスクタイプ、さらには様々なハイブリッドマスクタイプも含まれる。プログラマブルミラーアレイの一例として、小さなミラーのマトリクス配列を使用し、そのミラーは各々、入射する放射ビームを異なる方向に反射するよう個々に傾斜することができる。傾斜したミラーは、ミラーマトリクスによって反射する放射ビームにパターンを与える。
【００２５】
[0053] 本明細書において使用する「投影システム」という用語は、例えば使用する露光放射、又は液浸液の使用や真空の使用などの他の要因に合わせて適宜、例えば屈折型光学システム、反射型光学システム、反射屈折型光学システム、磁気型光学システム、電磁型光学システム及び静電型光学システム、又はその任意の組合せを含む任意のタイプの投影システムを網羅するものとして広義に解釈されるべきである。本明細書において「投影レンズ」という用語を使用した場合、これはさらに一般的な「投影システム」という用語と同義と見なしてもよい。
【００２６】
[0054] 本明細書で示すように、本装置は透過タイプである（例えば透過マスクを使用する）。あるいは、装置は反射タイプでもよい（例えば上記で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイを使用する、又は反射マスクを使用する）。
【００２７】
[0055] リソグラフィ装置は、２つ（デュアルステージ）又はそれ以上の基板テーブル（及び／又は２つ以上のマスクテーブル）を有するタイプでよい。このような「マルチステージ」機械においては、追加のテーブルを並行して使用するか、１つ又は複数の他のテーブルを露光に使用している間に１つ又は複数のテーブルで予備工程を実行することができる。
【００２８】
[0056] リソグラフィ装置は、投影システムと基板との間の空間を充填するように、基板の少なくとも一部を水などの比較的高い屈折率を有する液体で覆えるタイプでもよい。液浸液は、例えばマスクと投影システムの間など、リソグラフィ装置の他の空間に適用することもできる。液浸技術は、投影システムの開口数を増加させるために当技術分野で周知である。本明細書で使用する「液浸」という用語は、基板などの構造を液体に沈めなければならないということをもっぱら意味するのではなく、露光中に投影システムと基板の間に液体が存在するというほどの意味である。
【００２９】
[0057] 図１を参照すると、イルミネータＩＬは放射源ＳＯから放射ビームを受ける。放射源とリソグラフィ装置とは、例えば放射源がエキシマレーザである場合に、別々の構成要素であってもよい。このような場合、放射源はリソグラフィ装置の一部を形成すると見なされず、放射ビームは、例えば適切な誘導ミラー及び／又はビームエクスパンダなどを備えるビームデリバリシステムＢＤを用いて、放射源ＳＯからイルミネータＩＬへと渡される。他の事例では、例えば放射源が水銀ランプの場合は、放射源がリソグラフィ装置の一体部分であってもよい。放射源ＳＯ及びイルミネータＩＬは、必要に応じてビームデリバリシステムＢＤとともに放射システムと呼ぶことができる。
【００３０】
[0058] イルミネータＩＬは、放射ビームの角度強度分布を調整するアジャスタＡＤを備えていてもよい。通常、イルミネータＩＬの瞳面における強度分布の少なくとも外側及び／又は内側半径範囲（通例それぞれ、σ-outer及びσ-innerと呼ばれる）を調整することができる。また、イルミネータＩＬは、インテグレータＩＮ及びコンデンサＣＯなどの他の種々のコンポーネントを備えていてもよい。イルミネータＩＬを用いて放射ビームを調節し、その断面にわたって所望の均一性と強度分布とが得られるようにしてもよい。
【００３１】
[0059] 放射ビームＢは、支持構造（例えば、マスクテーブル）ＭＴ上に保持されたパターニングデバイス（例えば、マスク）ＭＡに入射し、パターニングデバイスによってパターニングされる。マスクＭＡを横断した放射ビームＢは、投影システムＰＳを通過し、投影システムＰＳは、ビームを基板Ｗのターゲット部分Ｃ上に合焦させる。第２のポジショナＰＷと位置センサＩＦ（例えば、干渉計デバイス、リニアエンコーダ、２Ｄエンコーダ、又は容量センサ）を用いて、基板テーブルＷＴは、例えば、様々なターゲット部分Ｃを放射ビームＢの経路に位置決めできるように正確に移動できる。同様に、第１のポジショナＰＭと別の位置センサ（図１には明示されていない）を用いて、マスクライブラリからの機械的な取り出し後又はスキャン中などに放射ビームＢの経路に対してマスクＭＡを正確に位置決めできる。通常に、マスクテーブルＭＴの移動は、第１のポジショナＰＭの部分を形成するロングストロークモジュール（粗動位置決め）及びショートストロークモジュール（微動位置決め）を用いて実現できる。同様に、基板テーブルＷＴの移動は、第２のポジショナＰＷの部分を形成するロングストロークモジュール及びショートストロークモジュールを用いて実現できる。ステッパの場合（スキャナとは対照的に）、マスクテーブルＭＴをショートストロークアクチュエータのみに接続するか、又は固定してもよい。マスクＭＡ及び基板Ｗは、マスクＭ１、Ｍ２及び基板アライメントマークＰ１、Ｐ２を使用して位置合わせすることができる。図示のような基板アライメントマークは、専用のターゲット部分を占有するが、ターゲット部分の間の空間に位置してもよい（スクライブレーンアライメントマークとして知られている）。同様に、マスクＭＡ上に複数のダイを設ける状況では、マスクアライメントマークをダイ間に配置してもよい。
【００３２】
[0060] 図示のリソグラフィ装置は、以下のモードのうち少なくとも１つにて使用可能である。
１．ステップモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは、基本的に静止状態に維持される一方、放射ビームに与えたパターン全体が１回でターゲット部分Ｃに投影される（すなわち単一静的露光）。次に、別のターゲット部分Ｃを露光できるように、基板テーブルＷＴがＸ方向及び／又はＹ方向に移動される。ステップモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一静的露光で結像されるターゲット部分Ｃのサイズが制限される。
２．スキャンモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは同期的にスキャンされる一方、放射ビームに与えられるパターンがターゲット部分Ｃに投影される（すなわち単一動的露光）。マスクテーブルＭＴに対する基板テーブルＷＴの速度及び方向は、投影システムＰＬの拡大（縮小）及び像反転特性によって求めることができる。スキャンモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一動的露光におけるターゲット部分の（非スキャン方向における）幅が制限され、スキャン動作の長さによってターゲット部分の（スキャン方向における）高さが決まる。
３．別のモードでは、マスクテーブルＭＴはプログラマブルパターニングデバイスを保持して基本的に静止状態に維持され、基板テーブルＷＴを移動又はスキャンさせながら、放射ビームに与えられたパターンをターゲット部分Ｃに投影する。このモードでは、一般にパルス状放射源を使用して、基板テーブルＷＴを移動させる毎に、又はスキャン中に連続する放射パルスの間で、プログラマブルパターニングデバイスを必要に応じて更新する。この動作モードは、以上で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイなどのプログラマブルパターニングデバイスを使用するマスクレスリソグラフィに容易に利用できる。
【００３３】
[0061] 上述した使用モードの組合せ及び／又は変形、又は全く異なる使用モードも利用できる。
【００３４】
[0062] 図２に示すように、リソグラフィ装置ＬＡは、リソセル又はクラスタとも呼ばれることがあるリソグラフィセルＬＣの一部を形成し、それは基板上で露光前及び露光後プロセスを実行する装置も含む。従来、これらはレジスト層を堆積させるスピンコータＳＣ、露光されたレジストを現像する現像器ＤＥ、チルプレートＣＨ及びベークプレートＢＫを含む。基板ハンドラ、すなわちロボットＲＯは入力／出力ポートＩ／Ｏ１、Ｉ／Ｏ２から基板を取り上げ、それを様々なプロセス装置間で移動させ、次にリソグラフィ装置のローディングベイＬＢに送出する。多くの場合まとめてトラックと呼ばれるこれらのデバイスは、トラック制御ユニットＴＣＵの制御下にあり、それ自体は監視制御システムＳＣＳによって制御され、それはリソグラフィ制御ユニットＬＡＣＵを介してリソグラフィ装置も制御する。したがってスループット及び処理の効率を最大化するために様々な装置を動作させることができる。
【００３５】
[0063] リソグラフィ装置によって露光される基板が正確かつ一貫して露光されるために、露光した基板を検査し、後続層間のオーバレイ誤差、ラインの太さ、クリティカルディメンション（ＣＤ）などのような特性を測定することが望ましい。誤差が検出された場合は、特に同じバッチの他の基板がまだ露光されないほど十分即座にかつ高速で検査を実行できる場合は、後続基板の露光を調節することができる。また、既に露光した基板を（歩留まりを改善するために）取り外して再加工するか、又は廃棄し、それにより欠陥があることが分かっている基板で露光を実行するのを回避することができる。基板の幾つかのターゲット部分のみに欠陥がある場合、良好であるそれらのターゲット部分のみでさらなる露光を実行することができる。
【００３６】
[0064] 基板の特性を、特に異なる基板又は同じ基板の異なる層の特性が層ごとにいかに変化するかを決定するために、検査装置が使用される。検査装置をリソグラフィ装置ＬＡに組み込むことができる、又はリソセルＬＣは独立型デバイスとすることができる。最も迅速な測定を可能にするために、検査装置は露光直後に露光したレジスト層の特性を測定することが望ましい。しかし、レジストの潜像はコントラストが非常に低く、（放射に露光してあるレジストの部分と露光していない部分との間には屈折率の非常に小さい差しかない）すべての検査装置が、潜像を有用に測定するほど十分な感度を有しているわけではない。したがって、露光後ベークステップ（Post-Exposure Bake: ＰＥＢ）の後に測定を実行することができ、これは通常は露光した基板で実行する最初のステップであり、レジストの露光部分と非露光部分との間のコントラストを増大させる。この段階で、レジストの像を半潜像と呼ぶことができる。現像したレジスト像で（その時点でレジストの露光部分又は非露光部分は除去されている）又はエッチングなどのパターン転写ステップの後で測定することも可能である。後者の見込みは、欠陥がある基板を再加工する見込みを制限するが、それでも有用な情報を提供することができる。
【００３７】
[0065] 図３は、本発明のある実施形態に使用できるスキャトロメータを示す。これは、放射を基板Ｗに投影する広帯域（白色光）放射プロジェクタ２を備える。反射した放射はスペクトロメータ検出器４へと渡され、これは鏡面反射した放射のスペクトル１０（波長の関数としての強度）を測定する。このデータから、検出されるスペクトルを生じる構造又はプロファイルを処理ユニットＰＵにより、例えば従来のＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び非線形回帰により、又は図３の下部に図示されたようなシミュレートしたスペクトルのライブラリとの比較により再構築することができる。概して、再構築するために構造の全体的形状を知り、幾つかのパラメータは、構造を作成したプロセスの知識から仮定して、スキャトロメータのデータから決定するべき構造のパラメータはわずかしか残らない。このようなスキャトロメータは、垂直入射スキャトロメータ又は斜め入射スキャトロメータとして構成することができる。
【００３８】
[0066] 本発明のある実施形態で使用できる別のスキャトロメータが、図４に示されている。このデバイスでは、放射源２によって放出された放射が、レンズシステム１２を使用して干渉フィルタ１３及び偏光子１７を通して集束し、部分反射面１６によって反射して、好ましくは少なくとも０．９、さらに好ましくは少なくとも０．９５の高い開口数（ＮＡ）を有する顕微鏡の対物レンズ１５を介して基板Ｗに集束する。液浸スキャトロメータは、開口数が１を超えるレンズを有することさえある。反射した放射は次に、散乱スペクトルを検出させるために部分反射面１６を通って検出器１８内に伝達される。検出器は、レンズシステム１５の焦点距離にある逆投影された瞳面１１に位置付けることができるが、瞳面は、代わりに補助光学系（図示せず）で検出器に再結像することができる。瞳面は、放射の半径方向位置が入射角度を画定し、角度位置が放射の方位角を画定する面である。検出器は、基板ターゲット３０の２次元角度散乱スペクトルを測定できるように、２次元検出器であることが好ましい。検出器１８は、例えばＣＣＤ又はＣＭＯＳセンサのアレイでよく、例えば１フレーム当たり４０ミリ秒の積分時間を使用することができる。
【００３９】
[0067] 例えば、入射放射の強度を測定するために、基準ビームを使用することが多い。そのために、放射ビームがビームスプリッタ１６に入射すると、その一部がビームスプリッタを通って基準ビームとして基準ミラー１４に向かって伝達される。次に、基準ビームは同じ検出器１８の異なる部分へと投影される。
【００４０】
[0068] 例えば４０５〜７９０ｎｍ又はさらに低く、２００〜３００ｎｍなどの範囲の対象となる波長を選択するために、１組の干渉フィルタ１３が使用可能である。干渉フィルタは、１組の様々なフィルタを備えるのではなく、調整可能とすることができる。干渉フィルタではなく格子を使用することができる。
【００４１】
[0069] 検出器１８は、１つの波長（又は狭い波長範囲）で散乱光の強度を、複数の波長で別個に、又はある波長範囲にわたって積分された強度を測定することができる。さらに、検出器は横方向磁気光及び横方向電気分極光の強度及び／又は横方向磁気光と横方向電気分極光の位相差を別個に測定することができる。
【００４２】
[0070] 広帯域光源（すなわち光の周波数又は波長、したがって色の範囲が広い光源）を使用することが可能であり、これは大きいエタンデュを生じ、複数の波長を混合できるようにする。広帯域の複数の波長は、好ましくはそれぞれΔλの帯域幅及び少なくとも２Δλ（すなわち帯域幅の２倍）の間隔を有する。幾つかの放射「源」は、ファイバ束を使用して分割されている延在した放射源の様々な部分でもよい。この方法で、角度分解散乱スペクトルを複数の波長で平行して測定することができる。３次元スペクトル（波長と２つの異なる角度）を測定することができ、これは２次元スペクトルより多くの情報を含む。これによって、より多くの情報を測定することができ、それはメトロロジープロセスのロバスト性を高める。このことは、参照により全体を本明細書に組み込むものとするＥＰ１，６２８，１６４Ａでさらに詳細に説明されている。
【００４３】
[0071] 基板Ｗ上のターゲット３０は格子でよく、それは現像後にバーがレジストの実線で形成されるように印刷される。バーは、代替的に基板にエッチングしてもよい。このパターンは、リソグラフィ投影装置、特に投影システムＰＬの色収差に敏感であり、照明の対称性及びこのような収差の存在は、印刷された格子の変化に現れる。したがって、印刷された格子のスキャトロメータデータを使用して、格子を再構築する。線の幅及び形状などの格子のパラメータは、印刷ステップ及び／又は他のスキャトロメータのプロセスの知識から、処理ユニットＰＵによって実行される再構築プロセスに入力することができる。
【００４４】
モデリング
[0072] 上述したように、ターゲットは基板の表面上にある。このターゲットは、２Ｄアレイの回折格子又は実質的に矩形の構造で一連の線の形状をとることが多い。メトロロジーにおける厳密光回折理論の目的は、ターゲットから反射する回折スペクトルの効率的な計算である。すなわち、ＣＤ（クリティカルディメンション）の均一性及びオーバレイのメトロロジーに対してターゲット形状の情報を取得する。オーバレイのメトロロジーとは、基板上の２つの層が位置合わせされているか否かを決定するために２つのターゲットのオーバレイを測定する測定システムである。ＣＤの均一性とは、リソグラフィ装置の露光システムがいかに機能しているかを決定するために、単にスペクトルの回折格子の均一性を測定することである。特にＣＤ、すなわち、クリティカルディメンションとは、基板に「書かれる」オブジェクトの幅であり、リソグラフィ装置が物理的に基板に書くことができる限界である。
【００４５】
[0073] ターゲット３０のようなターゲット構造及びその回折特性のモデリングと組み合わせて上述したスキャトロメータの一つを使用すると、構造の形状及び他のパラメータの測定を幾つかの方法で実行することができる。図５で表した第１のタイプのプロセスでは、ターゲット形状（第１の候補の構造）の第１の推定値に基づいた回折パターンを計算し、観察した回折パターンと比較する。次にモデルのパラメータを体系的に変更し、一連の反復で回折を再計算し、新しい候補の構造を生成すると、最良適合に到達する。図６で表した第２のタイプのプロセスでは、多くの異なる候補構造の回折スペクトルを事前に計算して、回折スペクトルの「ライブラリ」を生成する。次に、測定ターゲットから観察された回折パターンを計算したスペクトルのライブラリと比較して最良適合を求める。両方の方法を一緒に使用することができる。すなわち、ライブラリから粗適合を取得することができ、その後に反復プロセスで最良適合を求める。
【００４６】
[0074] 図５をさらに詳細に参照して、ターゲット形状及び／又は材料特性の測定を実行する方法を手短に説明する。この説明では、ターゲットを１次元（１Ｄ）で周期的な構造と仮定する。実際には２次元で周期的なことがあり、それに応じて処理を適合させる。
【００４７】
[0075] ステップ５０２では、上述したようなスキャトロメータを使用して、基板上にある実際のターゲットの回折パターンを測定する。この測定した回折パターンを、コンピュータのような計算システムに転送する。計算システムは、以上で言及した処理ユニットＰＵ、又は別個の装置でよい。
【００４８】
[0076] ステップ５０３では、幾つかのパラメータｐｉ（ｐ１、ｐ２、ｐ３など）に関してターゲット構造のパラメータ化したモデルを画定する「モデルレシピ」が確立される。これらのパラメータは、例えば１Ｄで周期的な構造の側壁の角度、フィーチャの高さ又は深さ、フィーチャの幅を表すことができる。ターゲット材料及び下にある層の特性は、屈折率（スキャトロメータの放射ビームに存在する特定の波長における）などのパラメータでも表される。特定の例を以下に挙げる。ターゲット構造を、その形状及び材料特性を表す数十のパラメータによって画定できる場合、モデルレシピが固定値を有するようにそれらの多くを画定する一方、他のパラメータはその後のプロセスステップのために可変であるか、「浮動」パラメータとなることが重要である。
【００４９】
[0077] ステップ５０４では、浮動パラメータ（すなわち、ｐ１（０）、ｐ２（０）、ｐ３（０）など）の初期値ｐｉ（０）を設定することにより、モデルターゲット形状を推定する。各浮動パラメータは、レシピで画定されるように、予め画定された特定の範囲内で生成される。
【００５０】
[0078] ステップ５０６では、推定した形状を表すパラメータをモデルの様々な要素の光学特性とともに使用して、散乱特性を計算し、例えばＲＣＷＡなどの厳密光回折方法又はマクスウェルの方程式の任意の他のソルバを使用する。これで、推定されたターゲット形状の推定又はモデル回折パターンが与えられる。
【００５１】
[0079] ステップ５０８及び５１０では、次に測定した回折パターン及びモデル回折パターンを比較し、その類似度及び差を使用してモデルターゲット形状の「メリット関数」を計算する。
【００５２】
[0080] ステップ５１２では、モデルが実際のターゲット形状を正確に表すには、モデルを改良する必要があるということをメリット関数が示すと仮定して、新しいパラメータｐ１（１）、ｐ２（１）、ｐ３（１）などを推定し、ステップ５０６に反復フィードバックする。ステップ５０６から５１２を繰り返す。
【００５３】
[0081] サーチを補助するために、ステップ５０６の計算はメリット関数の偏導関数をさらに生成し、パラメータ空間のこの特定の領域において、パラメータの増減がメリット関数を増減する感度を示す。メリット関数の計算及び導関数の使用は当技術分野で通常知られているので、本明細書では詳細に説明しない。
【００５４】
[0082] ステップ５１４では、この反復プロセスが所望の正確さの解に収束していることをメリット関数が示す場合、現在推定しているパラメータを実際のターゲット構造の測定値として報告する。
【００５５】
[0083] この反復プロセスの計算時間は、使用する順方向回折モデルによって、すなわち、推定したターゲット構造からの厳密光回折理論を使用した推定モデル回折パターンの計算によってほぼ決定される。さらに多くのパラメータが必要である場合は、さらに多くの自由度がある。計算時間は原則として、自由度の累乗で増加する。
【００５６】
[0084] ５０６で計算した推定又はモデル回折パターンは、様々な形式で表すことができる。計算したパターンを、ステップ５１０で生成した測定パターンと同じ形式で表すと、比較が単純化される。例えばモデル化したスペクトルは図３の装置で測定したスペクトルと容易に比較することができ、モデル化した瞳パターンは図４の装置で測定した瞳パターンと容易に比較することができる。
【００５７】
[0085] 本明細書の説明を通して図５以降では、「回折パターン」という用語は、図４のスキャトロメータを使用するものと仮定して使用する。当業者であれば、この教示を様々なタイプのスキャトロメータに、さらには他のタイプの測定計器に容易に適合させることができる。
【００５８】
[0086] 図６は、様々な推定ターゲット形状（候補の構造）の複数のモデル回折パターンを事前に計算し、実際の測定値と比較するためにライブラリに記憶する代替例のプロセスを示す。その背後にある原理及び用語は図５のプロセスと同じである。図６のプロセスのステップは以下の通りである。
【００５９】
[0087] ステップ６０２では、ライブラリを生成するプロセスを実行する。ターゲット構造のタイプ毎に別個のライブラリを生成することができる。ライブラリは、必要に応じて測定装置の使用者が生成するか、又は装置の供給業者が予め生成することができる。
【００６０】
[0088] ステップ６０３では、幾つかのパラメータｐｉ（ｐ１、ｐ２、ｐ３など）に関してターゲット構造のパラメータ化したモデルを画定する「モデルレシピ」を確立する。考慮事項は、反復プロセスのステップ５０３のそれと同様である。
【００６１】
[0089] ステップ６０４では、例えばそれぞれが予想された値の範囲内である全パラメータのランダム値を生成することによって、第１のセットのパラメータｐ１（０）、ｐ２（０）、ｐ３（０）などを生成する。
【００６２】
[0090] ステップ６０６では、モデル回折パターンを計算してライブラリに記憶し、パラメータによって表されたターゲット形状から予想される回折パターンを表す。
【００６３】
[0091] ステップ６０８では、新しいセットのパラメータｐ１（１）、ｐ２（１）、ｐ３（１）などを生成する。ステップ６０６〜６０８は、記憶したモデル化回折パターンをすべて備えるライブラリが十分に完全であると判断されるまで数十回、数百回、又は数千回も繰り返される。記憶された各パターンは、多次元パラメータ空間のサンプル点を表す。ライブラリ内のサンプルは、任意の実際の回折パターンが十分密に表されるほど十分な密度でサンプル空間を占有しなければならない。
【００６４】
[0092] ステップ６１０では、ライブラリを生成した後（しかし、その前でもよい）、実際のターゲット３０をスキャトロメータ内に配置し、その回折パターンを測定する。
【００６５】
[0093] ステップ６１２では、測定したパターンをライブラリに記憶されたモデル化パターンと比較して最も一致したパターンを求める。比較はライブラリの全サンプルで実行するか、又はさらに体系的なサーチ戦略を使用して、計算の負担を軽減することができる。
【００６６】
[0094] ステップ６１４では、一致が発見された場合は、一致するライブラリパターンの生成に使用された推定ターゲット形状を近似オブジェクト構造であると決定することができる。一致するサンプルに対応する形状パラメータが、測定形状パラメータとして出力される。一致プロセスは、モデル回折信号で直接実行するか、又は高速評価のために最適化された代替モデルで実行することができる。
【００６７】
[0095] ステップ６１６では、任意選択で最近似一致サンプルを開始点として使用し、洗練プロセスを使用して、報告用の最終パラメータを取得する。この洗練プロセスは、例えば図５に示したものと非常に類似した反復プロセスを含むことができる。
【００６８】
[0096] 洗練ステップ６１６が必要か否かは作成者の選択の問題である。ライブラリが非常に密にサンプリングされている場合は、常に良好な一致が見られるので反復的な洗練は必要ないことがある。他方で、このようなライブラリは実際に使用するには大きすぎるかもしれない。したがって実際的な解決法は、粗いパラメータセットのライブラリサーチを使用し、その後にメリット関数を使用して１回以上反復してさらに正確なセットのパラメータを決定し、所望の正確さでターゲット基板のパラメータを報告することである。追加の反復を実行する場合は、計算した回折パターン及び関連の洗練したパラメータセットをライブラリの新しい項目として追加する選択肢となる。この方法で、比較的少量の計算作業に基づいているが、洗練ステップ６１６の計算作業を使用してさらに大きいライブラリへと拡大するライブラリを最初に使用することができる。いずれの方式を使用しても、複数の候補構造の一致度に基づいて、報告された可変パラメータのうち１つ又は複数の値をさらに洗練することもできる。例えば、最終的に報告されるパラメータの値は、パラメータ間に２つ以上の候補構造の値を補間し、これらの候補構造の両方又は全部が高い一致スコアを有すると仮定することによって作成することができる。
【００６９】
[0097] この反復プロセスの計算時間は、ステップ５０６及び６０６の順方向回折モデルによって、すなわち、推定したターゲット形状からの厳密光回折理論を使用した推定モデル回折パターンの計算によってほぼ決定される。
【００７０】
[0098] ２Ｄ周期的構造のＣＤ再構築には順方向回折モデルのＲＣＷＡが通常使用されるが、差動法、体積積分法（Volume Integral Method:ＶＩＭ）、ドメイン有限差分時間領域法（Finite-difference time-domain: ＦＤＴＤ）、有限要素法（Finite element method: ＦＥＭ）も報告されている。例えばＲＣＷＡ及び差動法に使用されるようなフーリエ級数展開も使用して、フーリエ展開を使用するユニットセルの境界付近で完全一致層（perfectly matchied layers: ＰＭＬ）又は無限に向かう放射を模倣する他のタイプの吸収境界条件を採用することによって非周期的構造を分析することができる。
【００７１】
法線ベクトル場
[0099] 厳密回折モデリングでは、材料の界面全体に不連続の成分を有するＥ及びＤ場ではなく、材料の界面全体で連続的な補助中間場Ｆを導入することによって解の収束を抜本的に改善できることが実証されている［１］。収束が改善されると、より少ない計算費用で、より正確な回答につながる。これは光学スキャトロメータで、特に２Ｄ周期的回折格子における主要な問題の一つである。
【００７２】
[0100] このベクトル場Ｆは、いわゆる法線ベクトル場、すなわち、材料の界面に対して垂直である架空のベクトル場を使用して公式化される。法線ベクトル場を生成するアルゴリズムは、ＲＣＷＡの状況で［３，５］にて提案されている。法線ベクトル場は、ＲＣＷＡとの組合せばかりではなく、差動法との組合せでも使用されている。
【００７３】
[0101] しかし、法線ベクトル場の概念における主要な問題の一つは、計算のドメイン(domain)全体で法線ベクトル場自体を実際に生成することである。このような場の生成に対する制約は非常に少ないが、それと同時にその生成に関して多くの公然の疑問がある。法線ベクトル場は、十分な幾何学的設定に対して生成しなければならず、材料界面の接続を考慮せずに隔離されたドメインで作業することはできない。シュワルツ・クリストッフェルの変換を使用した解決法が提案されているが［３］、これらの方法はすべて、任意の形状で法線ベクトル場を生成するための融通性がないか、融通性があっても計算費用が高くなってしまう［５］。両方とも、高速の再構築にとっては破壊的である。何故なら、再構築するために、回折格子構造の変動する次元にて連続的に変動する法線ベクトル場を常時監視することが重要だからである。これが重要であるのは、不連続で展開する法線ベクトル場が、再構築プロセスを案内する全体的に非線形のソルバの収束を妨害することがあるからである。さらなる問題は、法線ベクトル場を設定するのに必要な時間である。この計算のオーバヘッドは、高速の分析及び再構築を見越して、可能な限り少なくしなければならない。
【００７４】
１．体積積分法
[0102] ＲＣＷＡの主要な問題の一つは、２Ｄ周期的構造のために大量の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間及びメモリが必要なことである。何故なら、固有値／固有ベクトルのシーケンスの問題を解決し、連結しなければならないからである。ＦＤＴＤ及びＦＥＭの場合も、ＣＰＵの時間が通常はかかりすぎる。
【００７５】
[0103] （［９］、米国特許第６，８６７，８６６Ｂ１号及び米国特許第７，０３８，８５０Ｂ２号で開示されているような）既知の体積積分法は、メッシュの洗練に関して低速の収束を示す完全空間離散化方式、又は高調波の増加に関して収束不良を示すスペクトル離散化方式に基づいている。代替法として、収束を改善するために発見的方法を組み込んだスペクトル離散化方式が提案されている［９］。
【００７６】
[0104] ＶＩＭに対して解くべき線形系は、ＲＣＷＡと比較するとはるかに大きいが、反復方法で解くと、幾つかのベクトルの記憶とともに、行列ベクトル積しか必要とされない。したがって、メモリの使用量は通常、ＲＣＷＡの場合よりはるかに少ない。潜在的なボトルネックは、行列ベクトル積そのものの速度である。ＶＩＭでリーの法則［１０，１１］を適用する場合は、幾つかの逆部分行列が存在するので、行列ベクトル積がはるかに遅くなる。あるいは、リーの法則を無視して、ＦＦＴを使用し、高速の行列ベクトル積に到達することができるが、収束不良の問題は残る。
【００７７】
[0105] 図７は、本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何形状を概略的に示す。基板８０２は、ｚ方向で層状になった媒体の下方部分である。他の層８０４及び８０６も図示されている。ｘ及びｙに周期的である２次元回折格子８０８が、層状媒体の頂部に図示されている。ｘ、ｙ及びｚ軸８１０も図示されている。入射場８１２が構造８０２から８０８と相互作用し、それによって散乱し、その結果、反射場８１４となる。したがって、構造は少なくとも１方向ｘ、ｙに周期的であり、入射場成分Ｅｉｎｃ、散乱場成分Ｅｓ、電磁場成分の合計を含む電磁場Ｅｔｏｔ内で異なる材料間の材料の境界にて不連続点を引き起こすような異なる特性の材料を含む。
【００７８】
[0106] 図８は、背景の構造を示し、図９は、入射場と層状媒体との相互作用を計算するために使用することができるグリーン関数を概略的に示す。図８及び図９では、層状媒体８０２から８０６は図７と同じ構造に対応する。図８では、入射場８１２とともに、ｘ、ｙ及びｚ軸８１０も示されている。正反射場９０２も示されている。図９に関して、点源（ｘ’，ｙ’，ｚ’）９０４は、場９０６を生成する背景とグリーン関数の相互作用を表す。この場合は、点源９０４が最上層８０６より上にあるので、８０６と周囲媒体との最上界面からの背景反射９０８が１つしかない。点源が層状媒体内にある場合は、上方向と下方向の両方に背景反射がある（図示せず）。
【００７９】
[0107] 解くべきＶＩＭ式は以下の通りである。
【数１】
【００８０】
[0108] この等式では、入射場Ｅｉｎｃは入射角、分極及び振幅の既知の関数であり、Ｅｔｏｔは未知で解が計算される全電場であり、Ｊｃはコントラスト電流密度であり、
【数２】
はグリーン関数（３×３の行列）であり、χはｊω（ε（ｘ，ｙ，ｚ，）−εｂ（ｚ））で与えられるコントラスト関数であり、ここでεは構造の誘電率、εｂは背景媒体の誘電率であり、χは回折格子以外のゼロである。
【００８１】
[0109] グリーン関数
【数３】
は知られており、８０２から８０６を含む層状媒体について計算可能である。グリーン関数はｘｙ面における畳み込み及び／又はモード分解（ｍ１，ｍ２）を示し、
【数４】
におけるｚ軸方向の主な計算負荷は畳み込みである。
【００８２】
[0110] 離散化のために、全電場をブロッホ／フロケモードでｘｙ面にて拡張する。χを掛けると、（ａ）ｘｙ面における離散畳み込み（２Ｄ ＦＦＴ）及び（ｂ）ｚにおける積となる。ｘｙ面におけるグリーン関数の相互作用は、モード毎の相互作用である。ｚにおけるグリーン関数の相互作用は、１次元（１Ｄ）ＦＦＴと複雑性Ｏ（ＮｌｏｇＮ）で実行することができる畳み込みである。
【００８３】
[0111] ｘｙにおけるモード数はＭ１Ｍ２であり、ｚにおけるサンプル数はＮである。
【００８４】
[0112] 有効行列ベクトル積は、複雑性Ｏ（Ｍ１Ｍ２Ｎｌｏｇ（Ｍ１Ｍ２Ｎ））を有し、記憶域の複雑性はＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎ）である。
【００８５】
[0113] Ａｘ＝ｂのＶＩＭ解決方法は、クライロフの部分空間法、例えばＢｉＣＧｓｔａｂ（ｌ）（安定化対双共役勾配法）に基づいた反復ソルバを使用して実行され、これは通常、以下のステップを有する。
残差をｒｎ＝ｂ−Ａｘｎと定義する。
残差を介して更新ベクトルνｎを計算する。
解を更新する：ｘｎ＋１＝ｘｎ＋αｎνｎ
残差を更新するｒｎ＋１＝ｒｎ−αｎＡνｎ
【００８６】
[0114] 図１０は、ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。これは、体積積分を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。最高レベルで、第１のステップは、入力を読み取ってＦＦＴを準備することを含む前処理１００２である。次のステップは、解１００４を計算することである。最後に、反射係数を計算する後処理１００６を実行する。ステップ１００４は、図１０の右手側にも示された様々なステップを含む。これらのステップは、入射場の計算１００８、グリーン関数の計算１０１０、更新ベクトル１０１２の計算、解及び残差の更新（例えばＢｉｃＧｓｔａｂを使用する）１０１４、及び収束に到達したかを調べる検査１０１６である。収束に到達していない場合は、制御がループして、更新ベクトルの計算であるステップ１０１２へと戻る。
【００８７】
[0115] 図１１は、先行技術で知られているような体積積分法を使用して、図１０のステップ１０１２に対応する更新ベクトルの計算ステップを示し、これは電場Ｅの体積積分式を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。
【００８８】
[0116] スペクトルドメイン(spectral domain)では、積分表現は全電場を入射場及びコントラスト電流密度に関して表し、ここで後者はグリーン関数と相互作用する、すなわち、下式になる。
【数５】
但し、
【数６】
さらに、
【数７】
は、ｚ方向に平面層化されたスペクトルグリーン関数を指し、ｅ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はｘｙ面にてスペクトルベースで書き込まれた全電場Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、ｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はコントラスト電流密度Ｊｃ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、これもｘｙ面にてスペクトルベースで書き込まれている。
【００８９】
[0117] 第２の等式は、全電場とコントラスト電流密度との関係であり、これは基本的に、構成中に存在する材料によって定義された構成関係であり、すなわち、下式になり、
【数８】
ここでＪｃはコントラスト電流密度を指し、ωは角周波数であり、ε（ｘ，ｙ，ｚ）は構成の誘電率であり、εｂ（ｚ）は層化した背景の誘電率であり、Ｅは全電場であって、すべて空間ベースで書かれている。
【００９０】
[0118] 単刀直入なアプローチは、［９］で提案されているように、等式（１．２）をスペクトルドメインに直接変換することである。すなわち、下式となる。
【数９】
ここでＭ１ｌ及びＭ２ｌは、Ｅ及びＪｃの有限フーリエ表現のために考慮されるスペクトルの下限であり、Ｍ１ｈ及びＭ２ｈはスペクトルの上限である。さらに、χｓ（ｋ，ｌ，ｚ）は横断（ｘｙ）面に対するコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）のフーリエ係数である。
【００９１】
[0119] ステップ１１０２は、４次元（４Ｄ）アレイでベクトルを認識する。このアレイでは、１次元が３つの要素
【数１０】
【数１１】
及び
【数１２】
を有する。２次元はｍ１の全値の要素を有する。３次元はｍ２の全値の要素を有する。４次元はｚの各値の要素を有する。したがって、４Ｄアレイは、コントラスト電流密度
【数１３】
の（ｘｙ面での）スペクトル表現を記憶する。各モードで（すなわち、ｚの全サンプル点で同時に）、ステップ１１０４から１１１２を実行する。ステップ１１０６の横から下がる３つの平行な点線の矢印は、等式（１．１）の積分項の計算に相当し、これは背景とコントラスト電流密度との相互作用である。これは、（ｚ方向に関して）スペクトルドメインにおける乗法を使用し、（ｚ方向に関して）空間グリーン関数で
【数１４】
を畳み込むことによって実行される。
【００９２】
[0120] 詳細には、ステップ１１０４でスペクトルコントラスト電流密度
【数１５】
をｘ、ｙ及びｚのそれぞれについて３つの１Ｄアレイとして取り出す。ステップ１１０６では、畳み込みは最初に、３つのアレイ毎に１ＤのＦＦＴを順方向に計算し、ｚ方向に関してスペクトルドメインにして、
【数１６】
を生成し、ここでｋｚはｚ方向に関するフーリエ変数である。ステップ１１０８では、コントラスト電流密度の切り捨てたフーリエ変換に、（ｚ方向に関する）スペクトルドメインにて空間グリーン関数
【数１７】
のフーリエ変換を掛ける。ステップ１１１０では、１ＤのＦＦＴを逆方向に実行し、ｚ方向に関する空間ドメイン(spatial domain)にする。ステップ１１１２では、ｚ方向に関する空間ドメインで背景反射（図９の９０８参照）を追加する。このようにグリーン関数から背景反射を分離することは、従来からの技術であり、このステップは、当業者に理解されるようにランク１の投影を追加することによって実行することができる。各モードを処理するにつれて、このように計算された散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の更新ベクトルを、ステップ１１１４で４Ｄアレイに戻す。
【００９３】
[0121] 次に、各サンプル点で（すなわち、全モードで同時に）ステップ１１１６から１１２２を実行する。図１１のステップ１１１４から下がる３つの平行な点線の矢印は、各サンプル点ｚで実行されるステップ１１１６から１１２２によって、Ｅｘ、Ｅｙ及びＥｚそれぞれについて１つ、すなわち、３つの２Ｄアレイを処理することに対応する。これらのステップは、材料特性で散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面の）スペクトル表現の畳み込みを実行し、散乱電場
【数１８】
に関するコントラスト電流密度の（ｘｙ面の）スペクトル表現を計算する。これらのステップは、ここではｅについて全電場ではなく散乱場のみを読み取るという意味で、等式（１．３）に対応する。詳細には、ステップ１１１６は３つの２Ｄアレイを取り出すことを含む（２次元はｍ１及びｍ２のものである）。ステップ１１１８では、３つのアレイ毎に２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、空間ドメインにする。ステップ１１２０では、３つのアレイそれぞれに、フーリエ表現の切り捨てによってフィルタリングされたコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）の空間表現を掛ける。畳み込みは、ステップ１１２２で２ＤのＦＦＴを逆方向にして（ｘｙ面の）スペクトルドメインにし、散乱電場
【数１９】
に関してスペクトルコントラスト電流密度を生じることで終了する。ステップ１１２４では、計算したスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００９４】
[0122] 次のステップは、ベクトル内で４Ｄアレイを再構成すること１１２６であり、これは逆の作業であるという点で、ステップ１１０２の「４Ｄアレイでベクトルを再構成する」こととは異なる。すなわち、各１次元指数を４次元指数に一意に関連させるのである。最後にステップ１１２８で、ステップ１１２６からのベクトル出力を入力ベクトルから引き、これは式（１．１）の右手側の減法にコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛けることに対応する。入力ベクトルは、図１１のステップ１１０２で入力されるベクトルであり、
【数２０】
を含む。
【００９５】
[0123] 図１１で述べた方法の問題は、収束不良につながることである。この収束不良は、切り捨てたフーリエ空間表現の誘電率及びコントラスト電流密度が同時に急上昇することによって引き起こされる。以上で検討したように、ＶＩＭ法では、収束問題を克服するのにリーの逆法則が適切ではない。何故なら、ＶＩＭでは逆法則の複雑性が、ＶＩＭ数値解に必要である非常に多数の逆演算により、非常に大きい計算負荷をもたらすからである。本発明の実施形態は、同時に急上昇することによって引き起こされる収束問題を、リーが述べたような逆法則の使用に頼ることなく克服する。逆法則を回避することにより、本発明の実施形態は、ＶＩＭの方法で反復して線形系を解くために必要である行列ベクトル積の効率を犠牲にしない。
【００９６】
[0124] 図１２は本発明の実施形態を示す。これは、コントラスト電流密度Ｊの体積積分式を数値的に解くことを含む。これは、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用することによって、コントラスト電流密度Ｊの成分を決定し、電磁場ＥＳの連続成分、電磁場ＥＳに対応するスケーリング電磁束密度ＤＳの連続成分、電磁場ＥＳ及びコントラスト電流密度Ｊの不連続成分のスケーリング合計として形成されているスケーリング電磁束密度ＤＳで演算することによって実行される。この実施形態は、Ｅ及びＪの成分を選択することにより、電場ＥＳに関連するベクトル場ＦＳ及び電流密度Ｊの黙示的作図を使用し、ベクトル場Ｆは、電流密度Ｊの近似解を求めるように、１つ又は複数の材料境界にて連続している。ベクトル場Ｆは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、体積積分式を数値的に解くステップは、場と材料の相互作用演算子Ｍでベクトル場Ｆを畳み込むことによって電流密度Ｊの成分を決定することを含む。場と材料の相互作用の演算子Ｍは、少なくとも１つの方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を含む。電流密度Ｊはコントラスト電流密度でよく、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される。さらに、連続成分抽出演算子は、電場Ｅ及び電流密度Ｊに作用する畳み込み演算子ＰＴ及びＰｎである。畳み込みは、高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform: ＦＦＴ）及び数論変換（Number-Theoretic Transform: ＮＴＴ）を含むセットから選択されるような変換を使用して実行される。畳み込み演算子Ｍは、有限の結果を生じるように有限離散畳み込みに従って演算する。したがって、構造は少なくとも１方向に周期的であり、電磁場の連続成分、スケーリング電磁束密度の連続成分、コントラスト電流密度の成分及び場と材料の相互作用の演算子は、少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの個々の有限フーリエ級数によってスペクトルドメインで表され、方法はさらに、フーリエ係数の計算によって場と材料の相互作用演算子の係数を決定することを含む。本明細書で述べる方法は、フーリエドメイン(Fourier domain)以外の連続関数に基づく展開、例えば擬似スペクトル法の一般的クラスの体表としてのチェビシェフ多項式に関する展開、又はガボール基底の展開にも関係ある。
【００９７】
[0125] 図１２は、連続成分抽出演算子を使用して形成された中間ベクトル場Ｆを採用することにより、電流密度ＪについてＶＩＭシステムを解くステップ１２０２を、グリーン関数演算子を電流密度Ｊに作用させることによって全電場Ｅを取得する後処理ステップ１２０４とともに示す。図１２は、右手側にＶＩＭシステムを反復的に解く有効行列ベクトル積を形成する略図も１２０６から１２２０で示す。これはステップ１２０６の電流密度Ｊで開始する。最初にＪを設定する時、これはゼロから開始することができる。その所期ステップの後、Ｊの推定は反復ソルバ及び残差によって誘導される。ステップ１２０８で、グリーン関数Ｇとコントラスト電流密度Ｊとの間の畳み込み及びランク１の保護を計算して、散乱電場ＥＳを生成する。またステップ１２１４では、散乱電場ＥＳ及び電流密度Ｊに作用する２つの連続成分抽出演算子ＰＴ及びＰｎでの畳み込みを使用して、中間ベクトル場Ｆを計算する。このように、ステップ１２１０で第１の連続成分抽出演算子ＰＴを使用して、電磁場ＥＳの連続成分を抽出し、ステップ１２１２で第２の連続成分抽出演算子Ｐｎを使用して、スケーリング電磁束密度ＤＳの連続成分を抽出する。ステップ１２１６で、場と材料の相互作用演算子（Ｍ）が、抽出した連続成分で演算する。ステップ１２１４は、ステップ１２１０で取得した電磁場の連続成分とステップ１２１２で取得したスケーリング電磁束密度の連続成分とからの材料境界にて連続しているベクトル場ＦＳの形成を表す。コントラクト電流密度の成分を決定するステップ１２１６は、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用し、ベクトル場ＦＳで演算することによって実行される。ステップ１２１０から１２１６は、ＦＦＴにより畳み込みを実行する状態で、ｚの各サンプル点について実行される。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び数論変換（ＮＴＴ）を含むセットから選択されるような変換を使用して実行することができる。演算１２１８は２つの計算結果ＪＳをＪから引き、１２２０で入射電場Ｅｉｎｃに関連するＪｉｎｃの近似値を取得する。ステップ１２０６から１２２０は更新ベクトルを作成するので、後処理ステップ１２０４を使用して全電場Ｅの最終値を作成する。
【００９８】
[0126] 全更新ベクトルの合計は、別個の後処理ステップ１２０４ではなく、散乱電場ＥＳを計算するためにステップ１２０８で記録され、後処理ステップは、入射電場Ｅｉｎｃを散乱電場に追加することのみになる。しかし、その方法はこの方法の記憶要件を増加させ、後処理ステップ１２０４は反復ステップ１２０６から１２２０と比較して、記憶又は処理時間が高くつかない。
【００９９】
[0127] 図１３ａは、本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。図１３のフローチャートは、図１２の右手側（ステップ１２０６から１２２０）に対応する。
【０１００】
[0128] ステップ１３０２では、ベクトルを４Ｄアレイで再構成する。
【０１０１】
[0129] その後、図１１の対応する同一の番号のステップについて述べたものと同じ方法で、ステップ１１０４から１１１４によって各モードｍ１、ｍ２についてグリーン関数と背景との相互作用を計算する。
【０１０２】
[0130] 次にｚの各サンプル（すなわち、各層）について、ステップ１３０４から１３１８を実行する。ステップ１３０４では、３つの２Ｄアレイを４Ｄアレイから取り出す。これらの３つの２Ｄアレイ（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）は、それぞれがｍ１及びｍ２に対応する２次元を有する散乱電場Ｅのデカルト成分に対応する。ステップ１３０６では、（Ｆｘ，Ｆｙ，Ｆｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）によって表される連続ベクトルの畳み込みを、最初にステップ１３０６で２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）によって表された３つのアレイ毎に空間ドメインにする。ステップ１３０８では、ステップ１３０６で取得したフーリエ変換（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｘ，ｙ，ｚ）に、空間ドメインで空間情報演算子ＭＰＴ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛けるが、これは２つの機能を有する。すなわち、第一に、接線写像演算子ＰＴを適用することによって散乱電場の連続成分を除去し、したがって連続ベクトル場Ｆの接線成分を生成し、第二に、散乱場のみに関して連続ベクトル場Ｆをコントラスト電流密度Ｊに関連づけるコントラスト係数Ｍによる乗法を実行する。
【０１０３】
[0131] ステップ１１１４で４Ｄアレイ内に配置された散乱電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）を、以上で検討したようなステップ１３０４とステップ１３１０との両方で、以下で検討するように供給する。
【０１０４】
[0132] ステップ１３１０では、ｚの各サンプル点（すなわち、各層）について、散乱電束密度Ｄのスケーリング版を、ステップ１１１４から取得した散乱電場とステップ１３０２から順方向に供給されたコントラスト電流密度とのスケーリング合計として計算し、その後にＤのデカルト成分に対応する３つの２Ｄアレイをスペクトルドメインで取り出す。ステップ１３１２では、これらのアレイの２ＤのＦＦＴを実行し、空間ドメインでデカルト成分（Ｄｘ，Ｄｙ，Ｄｚ）（ｘ，ｙ，ｚ）を生成する。ステップ１３１４では、これらのアレイに空間ドメインで乗法演算子ＭＰｎを掛けるが、これは２つの機能を有する。すなわち、第一に、連続的であるスケーリング束密度の法線成分を除去して、連続ベクトル場
【数２１】
の法線成分を生成し、第二に、散乱場のみに関して連続ベクトル場Ｆをコントラスト電流密度Ｊに関連づけるコントラスト係数Ｍによる乗法を実行する。次にステップ１３１６で、ステップ１３０８と１３１４の結果を組み合わせて、連続ベクトル場Ｆの全成分について、すなわち、接線成分と法線成分の両方で演算の近似値ＭＦを生成する。次にステップ１３１８で、ＭＦを逆方向の２ＤのＦＦＴで変換して、スペクトルドメインにし、
【数２２】
で表されるスペクトルコントラスト電流密度の近似値を生成する。ステップ１３２０では、散乱場に関連するスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄのアレイに戻す。
【０１０５】
[0133] ステップ１３２０では、散乱場に関連するスペクトルコントラスト電流密度結果を４Ｄのアレイに戻し、その後にステップ１３２２で変換してベクトルに戻す。すなわち、４Ｄのアレイのすべての４次元指数がベクトルの１次元指数に一意に関連づけられる。最後にステップ１３２４では、入射電場Ｊｉｎｃに関連する既知のコントラスト電流密度の近似値の計算が、ステップ１３０２の入力から順方向に供給されたコントラスト電流密度の合計からステップ１３２２の結果を引いて終了する。
【０１０６】
[0134] 図１４を参照すると、法線ベクトル場ｎを使用することによって電磁場Ｅとそれに対応する電磁束密度Ｄの場の成分との組合せから１４０４でベクトル場Ｆを形成し、少なくとも１つの材料境界ＥＴに対して接線方向の電磁場Ｅの連続成分を除去して、少なくとも１つの材料境界Ｄｎに対して法線方向の電磁束密度の連続成分も除去する。電磁場ＥＴの連続成分は、第１の連続成分抽出演算子ＰＴを使用して抽出される。スケーリング電磁束密度Ｄｎの連続成分は、第２の連続成分抽出演算子Ｐｎを使用して抽出される。スケーリング電磁束密度Ｄは、電磁場Ｅとコントラスト電流密度Ｊの不連続成分のスケーリング合計として形成される。
【０１０７】
[0135] 法線ベクトル場ｎが、本明細書で述べるように材料境界に関して画定された構造の領域(region)に１４０２で生成される。この実施形態では、この領域が個々の境界まで、又はそれを越えて延在する。局所化した法線ベクトル場を生成するステップは、領域を複数の部分領域に分解することを含むことができ、各部分領域は、個々の法線ベクトル場及び場合によっては対応する閉形の積分を有するように選択された基本形状である。これらの部分領域の法線ベクトル場は通常、予め画定されている。これは代替的に実行時に画定することができるが、追加の処理が、したがって余分な時間が必要である。部分領域の法線ベクトル場を予め画定し、（入力として）部分領域内の位置の関数として、出力として法線ベクトル場の（デカルト）成分を与える関数をプログラミングすることによって、数値的な積分を可能にすることができる。次に、この関数を求積法サブルーチンによって呼び出し、数値的積分を実行することができる。この求積法の法則は、全フーリエ成分を同じサンプル点（部分領域内の位置）で計算するような方法で構成し、計算時間をさらに削減することができる。１４０６で領域全体の法線ベクトル場の局所積分を実行して、場と材料の相互作用演算子の係数を決定するが、これはこの実施形態では畳み込み及び基底変更演算子Ｃ（式（４）のＣε）である。この実施形態では、材料畳み込み演算子Ｍ（式（４）及び（５）で定義されたｊω［εＣε−εｂＣε］）も、この局所化した法線ベクトル場を使用して構築される。局所積分を実行するステップは、各部分領域を積分するために個々に予め定義した法線ベクトル場を使用することを含むことができる。
【０１０８】
[0136] コントラスト電流密度
【数２３】
の成分は、場と材料の相互作用演算子Ｍを使用して、ベクトル場Ｆで、したがって電磁場ＥＴの抽出連続成分、及びスケーリング電磁束密度Ｄｎの連続成分で延在することによって、１４０８で数値的に決定される。したがって、反射係数などの構造の電磁散乱特性は、コントラスト電流密度の近似解を求めるように、この実施形態ではコントラスト電流密度Ｊｃの体積積分式を解くことによってコントラスト電流密度
【数２４】
の決定された成分を使用して、１４１０で計算することができる。
【０１０９】
[0137] この領域は、コントラスト源の支持に対応することができる。
【０１１０】
[0138] 局所法線ベクトル場を生成するステップは、連続成分の少なくとも１つをスケーリングすることを含むことができる。
【０１１１】
[0139] スケーリングのステップは、材料境界にて連続しているスケーリング関数（α）を使用することを含むことができる。
【０１１２】
[0140] スケーリング関数は定数であってもよい。スケーリング関数は、背景の誘電率の逆関数と等しくてもよい。
【０１１３】
[0141] スケーリングのステップは、材料の不等方性特性を説明するために、材料境界で連続しているスケーリング演算子（Ｓ）を使用することをさらに含むことができる。
【０１１４】
[0142] スケーリング関数はゼロ以外であってもよい。スケーリング関数は定数でよい。スケーリング関数は、背景の誘電率の逆関数と等しくてもよい。
【０１１５】
[0143] スケーリングは、領域の外側で区別不可能な電磁場の連続成分及び電磁束密度の連続成分を作成するように構成することができる。
【０１１６】
[0144] 局所法線ベクトル場を生成するステップは、ベクトル場で変換演算子（Ｔｎ）を直接使用して、ベクトル場を法線ベクトル場に依存する基底から法線ベクトル場に依存しない基底へと変換することを含むことができる。
【０１１７】
[0145] 法線ベクトル場に依存しない基底は、電磁場及び電磁束密度の基底であってよい。
【０１１８】
[0146] さらに、２次元で周期的な順方向散乱問題には、電場のスペクトル領域体積積分式(spectral-domain volume-integral equation)を使用して反射係数を計算することができる。
【０１１９】
[0147] 正確かつ効率的であるコントラスト電流密度に基づいて体積積分式にスペクトルの公式化を使用できるようにすることが望ましい。正確さ及び速度の改良は、ＦＦＴの形態で書き直したフーリエ因数分解の法則を使用し、材料境界で連続する電場と電束密度との混合の形態で基本未知数に新しい基底を導入することによって、「連続ベクトル場のＶＩＭ方法」で取得することができる。しかし、このような連続ベクトル場のＶＩＭ方法をＣＳＩの公式化に直接適用することはできない。基本未知数Ｊの選択がＣＳＩによって規定されるからである。さらに、コントラスト電流密度Ｊの全成分は、常に材料境界にて不連続である。したがって、このような方法の速度及び正確さは、ＣＳＩ型の公式化に使用することができない。
【０１２０】
[0148] 連続ベクトル場のＶＩＭ方法のキーポイントは、補助場Ｆに関して電場Ｅ及びコントラスト電流密度Ｊを表すことである。本発明の実施形態では、最初にＪに関して補助場Ｆを表し、次にＦに関して以前に確立したＪの関係を使用することができる。前者のステップは、散乱電場の積分表現、電場と一方では電束密度、他方ではコントラスト電流密度との関係、及び投影演算子Ｐｎ及びＰＴに基づく。等方性媒体の最も単純なケースでは下式が得られる。
【数２５】
ここで、Ｇはグリーン関数演算子を表す。
【０１２１】
[0149] 項を再構成した後、最終的に下式になる。
【数２６】
これはコントラスト電流密度の体積積分式である。この積分式は、投影演算子Ｐｎ及びＰＴが存在することで、標準的な積分式とは異なる。これらの演算子は、Ｍと同様にＦＦＴの形態の有効行列ベクトル積を有する。投影演算子及びＭを単独の演算子、すなわち、ＭＰＴ及びＭＰｎと組み合わせることにより、完全な行列ベクトル積におけるＦＦＴの量が減少する。ＦＦＴはアルゴリズムの主要な計算負荷であるので、この縮小ステップは計算時間の削減に直接つながる。
【０１２２】
[0150] コントラスト電流密度に関して、対応する行列ベクトル積を図１３ｂに示す。
【０１２３】
[0151] 演算子ＭＰＴ及びＭＰｎを、図１３ｃに示すように組み込むことができる。
【０１２４】
局所法線ベクトル場
[0152] 上述したように、［１］で導入したような法線ベクトル場の概念は、幾つかの計算のフレームワーク、特に差動法（ＤＭ）及びＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）に採用されている。この概念の基本思想は、法線ベクトル場が電場Ｅ及び電束密度Ｄの成分に対するフィルタとして作用できるということである。このフィルタを介して、相補的であるＥ及びＤ両方の連続成分を抽出し、いかなる場所でも連続的なベクトル場Ｆを構築することができるが、場合によっては調査中の散乱オブジェクトの幾何学的な縁及び隅に対応する隔離された点及び線がある。一般的な３Ｄ処理の後、セクション３は、２Ｄ法線ベクトル場（ウェーハの（ｘ，ｙ）面で）を詳細に分析する。後者は、ＲＣＷＡに採用されたスライシング戦略と同様の、ウェーハの垂線（ｚ軸）に沿った３Ｄの幾何形状のスライシング戦略と適合性がある。
【０１２５】
[0153] 本発明の実施形態は、局所法線ベクトル場を提供する。これによって、基本的なビルディングブロックでカットアンドコネクト技術が可能になり、より複雑な形状で法線ベクトル場を迅速かつ柔軟に生成することができる。本発明の実施形態は、反復的再構築中に変化する回折格子構造の次元のようなパラメータの関数として、連続的に変化する法線ベクトル場を有するパラメータ化したビルディングブロックを採用することにより、上述したパラメータ変化の状態で設定時間及び連続性に関する以上の問題に取り組む。
【０１２６】
１．法線ベクトル場の公式化
[0154] この検討にとって適切な開始点が論文［１］に見られる。そこで進められている主要思想の一つは、計算のドメイン全体にわたって法線ベクトル場ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）を導入することである。この法線ベクトル場は以下の２つの条件を満足する。
・全材料界面に対して直交方向を指す。
・空間の各点に単位長を有する。
【０１２７】
[0155] 以上のこと以外に、このベクトル場の定義に他の制約はないが、何らかの形態の連続性など、他の特性を含むと都合がよい。法線ベクトル場が構築されたら、｛ｎ，ｔ１，ｔ２｝が計算ドメイン(computational domain)の各点にて正規直交点を形成するように、２つの接線ベクトル場ｔ１（ｘ，ｙ，ｚ）及びｔ２（ｘ，ｙ，ｚ）を生成することができる。例えば、ｎｘ及びｎｙを法線ベクトル場のｘ及びｙ成分にすると、ｔ１は下式のように構築することができる。
【数２７】
ここで、ｕｘ及びｕｙはそれぞれ、ｘ及びｙ方向の単位ベクトルを指す。最後に、ｎとｔ１のクロス乗積を介して、ベクトル場ｔ２が生成される。
【０１２８】
[0156] ベクトル場ｎを使用して、電束密度の不連続成分を除去することができ、その結果、連続スカラー場Ｄｎ＝（ｎ，Ｄ）になり、ここで（・，・）はスカラー積を指す。接線ベクトル場を使用して、下式のように電場の連続成分を抽出することができる。
【数２８】
【０１２９】
[0157] ［１］に従い、次に下式のようにベクトル場Ｆを構築する。
【数２９】
これはいかなる場所でも連続的であるが、場合によっては誘電率関数の幾何形状の縁及び隅に対応する隔離された点又は線がある。
【０１３０】
[0158] このベクトル場Ｆの主要な利点は、その連続性によって従来の畳み込みの法則を介してスペクトル系で場と材料の相互作用が可能になることである。
したがって、Ｅと一方ではＤと、他方ではＦとの関係、すなわち、［１］の表記法を確立することが極めて重要であり、その思想は以下の関係式を確立することである。
【数３０】
【０１３１】
２．局所法線ベクトル場に向かって
２．１投影演算子のフレームワーク
[0159] 電場及び電束密度の成分を除去する手順を形式化するために、下式のように演算子Ｐｎを導入する。
【数３１】
ここで、ｖは任意の３Ｄベクトル場である。法線ベクトル場ｎの特性から、Ｐｎが投影演算子であり、したがってベキ等である、すなわち、ＰｎＰｎ＝Ｐｎであることが観察される。同様に、下式のように演算子ＰＴを導入することができる。
【数３２】
これも投影演算子である。これらの投影演算子、ベクトル場Ｆが下式のように構築される。
【数３３】
【０１３２】
[0160] ベキ等特性以外に、投影演算子ＰＴ及びＰｎは幾つか他の有用な特性を有する。最初にＰＴ＝Ｉ−Ｐｎがあり、ここでＩは単位作用素である。この特性は、接線ベクトル場の構築で既に観察された演算子Ｐｎ及び演算子ＰＴの両方を生成するのに、法線ベクトル場自体で十分であることを示す。第二に、演算子ＰＴはＰｎに対して相互に直交する。すなわち、ＰＴＰｎ＝ＰｎＰＴ＝０である。
【０１３３】
２．２．スケーリング関数の導入
[0161] 法線ベクトル場の数学的表現［１］の概念に導入する最初の改良点は、ベクトル場Ｆの成分をスケーリングする可能性である。このスケーリングには多くの形態があり得るが、単純にするために、ベクトル場Ｆの法線成分のスケーリングについて検討する。すなわち、下式である。
【数３４】
ここで、αはゼロ以外のスケーリング関数であり、材料の界面で連続している。このスケーリングの結果は２倍になる。最初に、ベクトル場Ｆの成分のスケールを同じ桁にすることができる。これは、線形系Ｃε及びεＣεの状態を改良する。第二に、そしてさらに重要なことであるが、以下で示すように、素直ベクトル場ｎの局所性にとって広範囲にわたる結果がある。実際、第２の態様は非常に重要であるので、最適ではない状態になっても、通常、スケーリングの選択を誘導する。
【０１３４】
２．３．場と材料の界面
[0162] 次に、ベクトル場Ｆから式（４）の演算子を構築するために、これらの演算子Ｐｎ及びＰＴを使用できる方法を示す。そのために、一方では電場と電束密度との空間ドメインの関係、他方ではベクトル場Ｆの定義から開始する。下式を有する。
【数３５】
ここでＭεは、通常は非等方性である誘導率テンソルεを掛けた空間乗法演算子であり、
【数３６】
は誘電率テンソルの（点に関する）逆数を掛けた乗法演算子である。
【０１３５】
[0163] 最初に、ＥとＦとの関係を確立する。式（１３）及び（１４）があるので、式（１５）となる。
【数３７】
【０１３６】
[0164] 後者の式を再構成し、Ｐｎのベキ等を採用すると、下式が得られる。
【数３８】
ここで、Ｐｎの範囲で（ＰｎＭεＰｎ）−１は（ＰｎＭεＰｎ）の逆数であり、すなわち、
（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎとなる。
【０１３７】
[0165] したがって、式（４）の線形演算子Ｃεは下式で与えられる。
【数３９】
【０１３８】
[0166] さらに、ＰＴ＝Ｉ−Ｐｎ及び（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎの関係式を採用すると、下式に到達する。
【数４０】
ここで、表記ＭζＰｎ＝ＰｎＭζ＝（ＰｎＭεＰｎ）−１を導入しており、ここでＭζは、スカラー乗法演算子である。
【０１３９】
[0167] 同様の方法で、電束密度とベクトル場Ｆとの関係を導出することができる。
【数４１】
【０１４０】
[0168] 第２の式で、次に式（１６）を採用して、Ｅを除去することができる。すなわち、下式になる。
【数４２】
それ故に、下式になる。
【数４３】
【０１４１】
[0169] 再び関係式ＰＴ＝Ｉ−Ｐｎ及び式（１８）のＣεの表現式を採用すると、下式になる。
【数４４】
【０１４２】
[0170] 下式の特性により、
【数４５】
【０１４３】
[0171] 最終的に、下式のようになる。
【数４６】
【０１４４】
[0172] 後者の演算子表現では、演算子の積ＭεＣεを単一の乗法演算子と見なすことが基本である。そうしないと、リーの法則の基本原理が維持されない。何故なら、Ｍε及びＣεが空間ドメインで同時に急上昇するからである。
【０１４５】
[0173] 式（１８）及び（２５）のＣε及びεＣεの表現から、投影演算子Ｐｎ（Ｍζにおけるその外観を含む）が演算子
【数４７】
との組合せでのみ生じることが観察される。それ故に原則的に、後者の演算子の支持が、演算子Ｃε及びεＣεの係数を生成するために法線ベクトル場ｎを必要とするドメインを決定する。
【０１４６】
２．３．５．境界一致の非等方性
[0174] 電磁散乱の他のモデリング方法では、媒体パラメータの非等方性の方向は、散乱オブジェクトの幾何形状を考慮せずにグローバル座標系に関して表現される。
【０１４７】
[0175] 非等方性媒体を使用する一つの重要な用途は、線縁粗さ（ＬＥＲ）又は線幅粗さに関係する。ＬＥＲは、線に沿った３次元変数としてモデリングすることができるが、この厳密モデリングの方法は通常、非常に時間がかかる。したがって、ＬＥＲは通常、媒体の有効近似を介してモデリングされ、ここで遷移層が、粗さを含む線の部分を捕捉する。この遷移層は、非等方性媒体として最も良くモデリングされる。非等方性の方向は通常、粗さの幾何学的特徴に依存する。例えば［１２］参照。線は自動的にデカルト座標系と位置合わせされるので、境界一致の非等方性は自動的に、座標軸に沿った非等方性と等しい。
【０１４８】
[0176] 他の方法では、非等方性が散乱幾何形状と無関係に定義される。縁粗さに関して、非等方性の有効媒体モデルは、線については知られているが、例えば円形又は楕円の断面のコンタクトホールのような他の幾何形状については知られていない。
【０１４９】
[0177] 本発明の実施形態は、法線ベクトル場を採用して、数値的収束を向上させる。実施形態は、水平及び素直方向について複屈折の媒体をモデリングする能力を有する。非等方性の方向がパターンの境界沿い、及び境界に法線方向を指す、すなわち、非等方性が境界と一致する、より一般的な非等方性媒体を扱うことが可能である。ＬＥＲの有効媒体方法［１２］の一連の推論に従い、このようなタイプの非等方性は、例えばＬＥＲのモデリングに使用される有効媒体方法に、自然に拡張される。さらに、各境界の垂線は既に、本明細書で述べたように使用された法線ベクトル場の方法で決定されているので、追加の処理は必要ない。
【０１５０】
[0178] 式（１２）に従ってベクトル場Ｆを下式のように定義する。
【数４８】
さらに、束密度と場の強度との間に下式のような関係がある。
【数４９】
【０１５１】
[0179] さらに、下式のように誘電率について境界一致非等方性を定義する。
【数５０】
これは、幾何形状の法線方向に沿った誘電率、及びその同じ幾何形状の接線方向に沿った異なる誘電率と解釈することができる。
【０１５２】
[0180] 一方の束密度Ｄ及び場の強度Ｅを、他方の補助場Ｆと関連させることができる。下式が得られる。
【数５１】
及び
【数５２】
【０１５３】
[0181] これらの式は、法線ベクトル場を局所的に画定する自由を維持し、本明細書で検討するように誘電率の倍率に小さい変化しかない。
【０１５４】
[0182] 垂直方向の２進回折格子又は段階的近似の場合では、境界一致非等方性は、ＰＴ演算子を垂直部分と水平部分に分割する、すなわち、ＰＴ＝Ｐｚ＋ＰＴ１にすることによってさらに延長することができ、ここで、後者の２つの演算子は相互に直交する。これで、誘電率は下式によって与えられる境界一致非等方性の方向を３つも有することができる。
【数５３】
【０１５５】
[0183] Ｆに関してＥを表現する式は、依然として以上の式（２５）と同一である。Ｄの式は下式のようになる。
【数５４】
【０１５６】
[0184] このタイプの非等方性は、境界に沿った層に局所化されるのみであると仮定すると、法線ベクトル場は局所性のままであり、演算子ＰＴ１及びＰｚは既に使用可能である。
【０１５７】
[0185] したがって、電磁束密度は、局所法線ベクトル場が生成され、材料境界に局所的である領域にて、材料境界に法線方向の誘電率εｎの成分、及び材料境界に対して接線方向の誘電率の少なくとも１つの他の異なる成分εｔ、εｚを使用して電場に関連づけられる。
【０１５８】
[0186] この実施形態は、例えば湾曲した境界の縁粗さに関して有効媒体方法の範囲を広げる。さらに、すべての成分が使用可能であるので、このモデルを設定するために余分な処理が必要ない。それ故に、対応する数学及び数値の問題を設定する際に、余分な時間を費やさない。
【０１５９】
[0187] 境界一致非等方性は、縁粗さを取り扱う適切な方法であるので、縁粗さを伴うＣＤの再構築プロセスの有意な高速化につながる。
【０１６０】
２．４．ベクトル場基底の選択
[0188] 以上で、法線ベクトル場は、ベクトル場Ｆの成分間に適切なスケーリングを選択することにより、局所化される可能性を有することが観察されている。しかし、典型的なマクスウェルのソルバでは、接線ベクトル場及び法線ベクトル場はソルバの成分を表さない。多くの場合は、例えばＶＩＭ、ＲＣＷＡ、又は差動法にて、デカルト基底の方が適切である。投影演算子はベクトル場の基底を変化させないので、マクスウェルソルバに必要な基底に到達するために、電場及び電束密度の追加の変換が必要になることがある。誘電率演算子Ｍεにも同様のことが言え、これは通常、デカルト座標で表される。したがって、基底が異なる場合は、演算子Ｍεも変換しなければならない。演算子ＭζもＭεを含むことが分かっている。しかし、Ｍζはスカラー乗法であるので、その最終形は選択した基底に依存しない。さらに、式（６）で与えられたような投影演算子Ｐｎの定義は、選択された基底に依存しないが、その実際の行列表現は法線ベクトル場について選択された基底に依存する。したがって、Ｐｎを基底に依存しない演算子として書くことにする。
【０１６１】
[0189] 次に変換演算子Ｔｎを紹介すると、これは法線及び接線基底で表されたベクトル場を、例えば電場、電束密度及び誘電率演算子Ｍεに使用するデカルトベクトル場に変換する。これで、デカルト座標で表される電場をした式のように書くことができる。
【数５５】
【０１６２】
[0190] ここで、Ｆは法線及び接線基底で書かれているものと仮定されている。
【０１６３】
[0191] その直接的な結果は、Ｃεに単位作用素が存在することにより、計算ドメイン全体に法線ベクトル場及び接線ベクトル場が必要になることである。しかし、Ｍεも同じ基底変換を含むことにより、上式を下式のように再構成することもできる。
【数５６】
【０１６４】
[0192] ここで、演算子
【数５７】
を導入している。これは、変換演算子がＦに直接作用することができ、これもＴｎＦを未知数とみなす限り局所法線ベクトル場につながる可能性を有する。すなわち、Ｅ及びＤの基底にＦを直接書き込む。εＣεの同様の導出は下式を示す。
【数５８】
【０１６５】
[0193] これは、以上で示したような関係式
【数５９】
によるものである。
【０１６６】
２．５．等方性媒体
[0194] 考慮すべき非常に重要なクラスは、等方性媒体である。このような媒体の場合、乗法演算子Ｍεは、場の各成分に等しく作用するスカラー乗数である。したがって、変換ＴｎはＭεに影響しない。さらに、Ｃε及びεＣεの式は、非常に単純化される。等方性の場合、次にデカルト座標のＦ、さらにＥ及びＤの表現結果について考察する。この状態で下式がある。
【数６０】
【０１６７】
[0195] ここで、（スカラー）関数１／（αε）による点乗法として、乗法演算子
【数６１】
を導入してあり、その結果、単位作用素のスカラー乗法になる。それ故に、下式になる
【数６２】
【０１６８】
[0196] 次に、αには幾つかの選択肢がある。
・αを１／εｂ、すなわち、（局所）背景誘電率の逆数と等しい定数となるように選択する。その結果、誘導率が背景誘導率とは異なる領域(region)、すなわち、コントラスト関数がゼロ以外である領域では法線ベクトル場しか必要なくなる。この選択肢は、回折格子構造に媒体が２つしか存在せず、その一方が背景材料である場合に、特に興味深い。
・第２の選択肢も、αを定数となるように選択する。しかし、回折格子の構造に応じて、異なる定数を選択した方が都合がよいこともある。重要な場合は、背景の誘電率がユニットセルの境界をまたがないドメイン(domain)で生じる回折格子である。これは例えば、レジスト内の円形コンタクトホールの場合であり、コンタクトホールの充填材料が背景媒体として選択される。これで、この選択は、円上の法線ベクトル場の式の単純化につながり、反対に、円を残したユニットセルの法線ベクトル場では、結果となる積分の計算がはるかに困難になる。
・第３の選択肢は、元の逆誘導率関数の平滑化した版となるように、例えばトライリニア補間又はガウス窓による平均化を介して、αを連続関数とすることである。その場合は、材料間の界面のすぐ近傍でのみ法線ベクトル場が必要となり、さらに局所化される。しかし、その結果である計算すべき積分は、通常、さらに困難である。１つの誘電率から他の誘電率へと徐々に変化する遷移を開始する位置を選択することにより、最終的に２つの媒体間にある界面の一方側でのみ必要とされる局所法線ベクトル場になることが可能である。
【０１６９】
[0197] 通常、他の閉じた構造が存在する場合は、以降で検討するようにカットアンドコネクト戦略がはるかに複雑になるので、境界の外側に行くことがさらに複雑になる。
【０１７０】
２．６．等方性媒体の場と材料の相互作用係数の表現
[0198] 次に、場と材料の相互作用演算子
【数６３】
及び
【数６４】
についてさらに詳しく見てみる。電場、電束密度、ベクトル場Ｆ、及び法線ベクトル場ｎを、そのデカルト成分に関して書くと仮定する。これで、式（２９）から取得される以下の空間関係式になる。
【数６５】
【０１７１】
[0199] ここで、下式のようになり、
【数６６】
【０１７２】
[0200] 及び
【数６７】
【０１７３】
[0201] ここで、下式となる。
【数６８】
【０１７４】
[0202] 電場Ｅ、電束密度Ｄ、及び補助ベクトル場Ｆの全成分は、ｘ及びｙ方向に関してスペクトルベースで表されるので、例えば下式のようになる。
【数６９】
【０１７５】
[0203] ここで、
【数７０】
及び
【数７１】
は周期性の方向に依存し、
【数７２】
及び
【数７３】
は入射場の角度に依存する。このスペクトルベースでは、以上の場と材料の相互作用は、ｘｙ面の畳み込みになる。例えばｉ，ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝の場合は、下式になる。
【数７４】
【０１７６】
[0204] ここで、下式のようになる。
【数７５】
ここで、Ｓはｘｙ面のユニットセルを指し、
【数７６】
はその面積を指す。すなわち、ｉ，ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝について、係数Ｃｉｊ及びεＣｉｊのｘｙ面におけるフーリエ積分を計算しなければならない。法線ベクトル場と散乱幾何形状の特定の組合せでは、閉じた形態で、例えばセクション３に示すような円及び矩形について、これを実行することができる。より一般的な形状では、これらの係数はメッシュ戦略（セクション４）又は数値的求積法（セクション５）で近似することができる。
【０１７７】
２．７．２進及び段階的回折格子の複屈折率
[0205] 問題の第２の重要なクラスは、回折格子材料が複屈折材料の特性を有し、非等方性の軸がｚ軸である、すなわち、下式の場合である。
【数７７】
【０１７８】
[0206] ここで、εＴ及びεＮは、原則的にｘ、ｙ及びｚの関数である。
【０１７９】
[0207] 次に、間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］にわたってｚ軸に沿って不変の断面を、さらにｚに関係ない誘電率輪郭を有する２進回折格子の場合を考察する。このような２進回折格子に対して、接線ベクトル場の１つがｚ軸に沿って位置合わせされるように、すなわち、ｔ２＝ｕｚになるように選択する。すなわち、ｎ及びｔ１は２次元ベクトル場である、すなわち、そのｚ成分はゼロである。この選択肢で、ｘｙ面における法線ベクトル場の問題は再び等方性の問題となり、スケーリングパラメータαに関する考察事項は、ここではセクション２．５の場合と非常に類似し、例えば２媒体の問題では、オブジェクトの内部又は外部のεＴに関して電束密度をスケーリングしなければならず、したがってスケーリングした電束密度はユニットセルの専用部分の電場と同一になる。
【０１８０】
[0208] より一般的な回折格子の幾何形状では、ｚ方向に関して回折格子の段階的近似を適用することができる。これで、回折格子は一連の２進回折格子で構成され、これらの２進回折格子毎に、以上で概略した戦略を辿ることができる。
【０１８１】
３．断面が楕円及び矩形の２進回折格子の局所法線ベクトル場
[0209] このセクションでは、２つの基本的な２次元形状、すなわち、矩形及び楕円形のＣε及びεＣεのスペクトル表現を導出しなければならない。これらの形状は、２Ｄウェーハメトロロジー構造の一体又は基本的ビルディングブロックとして遭遇することが多い。この導出は、Ｃε及びεＣεの法線ベクトル場（ＮＶ）の構築、及びその後の行列要素のフーリエ積分の計算を示す。所与の外形について、一意の法線ベクトル場はない。単位長を有し、外形に対して垂直である無限に多くのＮＶ場を構築することができる。特定の選択肢にするための重要な動機は、Ｃε及びεＣεのフーリエ係数の解析式を導出する可能性であることが分かるはずである。また、ＮＶ場の特異点の数を最小化して、フーリエ級数の収束を最適化しなければならない。楕円形及び矩形は、フーリエ積分の解析式を有するほど恵まれている。
【０１８２】
３．１．任意ユニットセルのフーリエ積分
[0210] ２次元では、格子の周期性がブラヴェ格子ベクトル（ａ１，ａ２）で記述される。
【数７８】
【０１８３】
[0211] 上式をシフトすると、同等の格子位置になる。ブラヴェ格子と同じ周期性を有する平面波は、以下の条件に答える波数ベクトルを有する。
【数７９】
【０１８４】
[0212] この条件を満たす全波数ベクトルの空間を、逆格子と呼ぶ。この空間には、次の２つの基本ベクトルが張っている。
【数８０】
【０１８５】
[0213] これらが、以下の直交性の条件に答える。
【数８１】
これにより、式（２）を証明することができる。これで、任意の２次元格子のフーリエ積分を、平面波の基底に関して逆格子の波数ベクトルで定義する。
【数８２】
【０１８６】
[0214] ここで、フーリエ係数は以下の積分から得られる。
【数８３】
【０１８７】
[0215] ここで、０≦ηｉ＝ａｉ／｜ａｉ｜≦１は、各ブラヴァ格子ベクトルを張る無次元数である。デカルト座標系に変換すると、下式になる。
【数８４】
【０１８８】
[0216] これで、式（５４）の２次元積分を下式のように書くことができる。
【数８５】
【０１８９】
[0217] ここで、
【数８６】
【０１９０】
[0218] 上式は、デカルト軸上に投影された逆格子ベクトルである。
【０１９１】
[0219] Ｃｉｊの式、すなわち、式（３３）〜（４１）を参照すると、対角線要素は、ユニットセルについて１のフーリエ積分、及び法線ベクトル成分とスケーリング関数α（ｘ，ｙ，ｚ）及び誘電率ε（ｘ，ｙ，ｚ）の位置依存関数との積のフーリエ積分を含むことが分かる。第１の積分、すなわち、ユニットセルについての１の積分は
【数８７】
に等しい。第２の積分は、スケーリング関数αを１／εｂと等しいと選択した場合に、非等方性媒体の場合に非常に単純化することができる。この関数は、これでコントラスト源の支持体の外側ではゼロであり、内側では定数である。フーリエ係数ｃｉｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）は、積分に関して下式のように表すことができる。
【数８８】
【０１９２】
[0220] これは、Ｃｉｊ（式（３３）〜（４１））のスペクトル表現を単純化して、下式とする。
【数８９】
【０１９３】
[0221] さらに、εＣε（式（４３）〜（５１））のスペクトル表現を単純化して、下式とする。
【数９０】
【０１９４】
[0222] 以下のセクションでは、楕円及び矩形の場合にΓｉｊの積分（式（６６））について閉じた形態の式を導出するが、最初に、散乱オブジェクトの並進及び回転について積分をさらに単純化する。
【０１９５】
３．２．散乱オブジェクトの並進及び回転
[0223] 楕円及び矩形のような基本的形状の場合、Γｉｊ積分の計算は、ローカル座標系に変換することによってさらに単純化することができる。
【０１９６】
[0224] 図１５ａは、回転してオフセットｃ０がある楕円について、グローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の定義である。
【０１９７】
[0225] 任意のオフセットｃ０に関して、これは下式の並進
【数９１】
【０１９８】
[0226] 及び下式の回転になる。
【数９２】
【０１９９】
[0227] 散乱オブジェクトのＮＶ場は、回転からのみ影響される。グローバル（ｘ，ｙ）及びローカル（ｘ”，ｙ”）座標系の式（６６）のＮＶ成分の積は、線形変換によって関連づけられる。
【数９３】
【０２００】
[0228] 式（７１）、（７２）及び（７３）を組み合わせて、ローカル座標系で計算するように、Γｉｊ積分をΓ”ｉｊに変換することができる。
【数９４】
【０２０１】
[0229] ここで、Ｍｎｎ”は式（７３）からの結合行列及び下式である。
【数９５】
【０２０２】
[0230] ここで、有効波数ベクトルを導入してある。
【数９６】
【０２０３】
[0231] Γ”ｉｊ積分はまだ、コントラスト源の支持と等しい面積（並進及び回転によって変化しない）について計算されるが、ローカル座標系では、積分は以下で分かるように、楕円及び矩形の方が容易に評価することができる。
【０２０４】
[0232] 要するに、ローカル座標系への変換の効果は３つある。
・オフセットの効果を述べる定位相因子
・ブラヴァ格子に対するオブジェクトの方向を述べる有効波数ベクトル
・Γｉｊは、ローカル座標系の３つのΓ”ｉｊ全部の線形結合になる。
【０２０５】
３．３．楕円
[0233] 楕円のＮＶ場を生成するために２つの周知の方法がある。
・楕円座標系を介する。
【数９７】
・αが水平対称軸に沿った半径である場合、ｂは垂直対称軸に沿った半径、φは方位角、
【数９８】
は楕円率である。
・等角写像を介する。
【数９９】
・定数ｕ（０≦ｕ＜∞））及び０≦ν≦２πの場合、これは楕円の外形を与える。
【０２０６】
[0234] 図１５ｂは、楕円座標系のＮＶ場を示し、図１５ｃは等角写像を示す。
【０２０７】
[0235] 楕円座標系は、Γ”ｉｊの解析式を導出することができ、法線ベクトル場は（０，０）にのみ特異点を有するが、等角写像は焦点を結ぶ線上に特異挙動を有するという利点を有する。後で、矩形の場合、特異点が存在してもなお良好な収束を獲得できることが分かる。したがって、特異点の存在のみでは、法線ベクトル場を拒否する確証的な主張にならない。フーリエ積分の解析式を導出する可能があることは、はるかに強力な主張になる。何故なら、行列ベクトル積を高速で計算することになるからである。法線ベクトル場は、接線ベクトル∂ｒ／∂φに垂直のベクトルとして導出することができる。
【数１００】
【０２０８】
[0236] この式について、式（６６）に必要である法線ベクトル積を以下に書く。
【数１０１】
【０２０９】
[0237] Γ”ｉｊ積分を楕円座標系に書き換えると、下式になる。
【数１０２】
【０２１０】
[0238] 恒等式を使用することによって、フーリエ指数からｒ及びφ従属をさらに分離できるので都合がよい［２，ｐ．９７３］。
【数１０３】
【０２１１】
[0239] ここで、Ｊｎ（ｚ）は整数桁ｎの第１の種のベッセル関数である。式（８１）の指数の引数を書き換えることにより下式になる。
【数１０４】
である。
【０２１２】
[0240] 式（８２）の恒等式を式（８１）の整数の指数に適用することができ、その結果、Γ”ｘｘについて以下の式になる。
【数１０５】
【０２１３】
[0241] ここで、
【数１０６】
【０２１４】
[0242] Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙの式は、角積分の分子をｅｓｉｎφｃｏｓφ、ｓｉｎ２φそれぞれで置換することによって得ることができる。楕円に関するこの方法の有効性は、ラジアル及び角積分の解析式を求めることができるという事実から導かれる。ベッセル関数のラジアル積分に関するこれらの式は、付録Ａから導かれる。角積分の場合、これは付録Ｂから導かれ、これは、偶数項及び奇数項それぞれの合計の指数ｋについてφからφｂまで及ぶ角積分について
【数１０７】
及び
【数１０８】
というラベルが付けられる。完全な楕円の場合、式（８４）の評価は、
【数１０９】
であることで単純化される。偶数項の角積分は下式の通りである。
【数１１０】
【０２１５】
[0243] 円（ｅ＝１）の場合、（ｋ＝１）項のみがゼロではないことに留意されたい。
【０２１６】
[0244] これで、ラジアル積分は、偶数次数ｎについてのみ評価する必要がある。付録Ａでは、不定積分に対して閉じた形態の式が導出される。
【数１１１】
【０２１７】
[0245] ここで、合計はｎ＞１の場合のみ計算される。式（８６）及び（８８）を式（８４）内に置換すると、下式になる。
【数１１２】
【０２１８】
[0246] ここでＮｂは、偶数ベッセル関数の合計及び下式で保持される項の数である。
【数１１３】
【０２１９】
[0247] 最終項では、ｋ及びｍの合計がスワップされて、同じ引数のベッセル関数を複数回評価するのを防止することに留意されたい。Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙの計算では、
【数１１４】
を
【数１１５】
及び
【数１１６】
の式で置換するだけでよい（付録Ｂ参照）。
【０２２０】
３．４．矩形
[0248] 矩形の連続ＮＶ場の生成は楕円の場合ほど明瞭ではない。［３］は、このためにシュワルツ・クリストッフェル変換の使用を提案している［４］。矩形についてこの解を密に近似するＮＶ場は下式である。
【数１１７】
【０２２１】
[0249] 図１６ａは、対応する矩形の連続ＮＶ場を示す。しかし、この式ではΓｉｊ積分の解析式が導かれない。この場合は、式（９１）に非常に類似しているが、矩形の対角線に沿って不連続であり、対抗戦によって形成された三角形内で一定で、矩形の辺に対して垂線であるＮＶ場を導出することにする。
【０２２２】
[0250] 図１６ｂは、対応する矩形の不連続ＮＶ場を示す。この法線ベクトル場は、下式を計算するためにΓ”ｉｊ積分を特に単純にする各三角形に対して一定である。
【数１１８】
【０２２３】
[0251] 面積分の評価は単純明快である。三角形Δ１（図１６ｂ参照）の場合は、下式が与えられる。
【数１１９】
【０２２４】
[0252] 三角形Δ２の場合は、
【数１２０】
と
【数１２１】
をスワップするだけでよい。三角形Δ３及びΔ４の結果は、単純にΔ１及びΔ２それぞれの積分の複素共役である。
【０２２５】
[0253] このＮＶ場の場合、Δ２及びΔ４ではΓｘｘ＝０であり、三角形Δ１及びΔ３ではΓｙｙ＝０であり、全部の三角形でΓｘｙ＝Γｙｘ＝０である。極限値ｋｅｙ→０の場合、式（９３）は下式になることに留意されたい。
【数１２２】
【０２２６】
４．カットアンドコネクト戦略
[0254] 矩形のＮＶ場生成に関する前のセクションは、比較的任意の形状に関してＮＶ場を生成する非常に強力な方法を示している。これらの形状は、Γｉｊ積分が高速計算に適した閉じた形態を有する基本形状に分解することができる。特定のフーリエモード指数にて各基本形状について関連するΓｉｊ積分を合計することにより、Ｃε及びεＣεのスペクトル表示を容易に取得することができる。言うまでもなく、基本形状のクラスは、関連するより複雑な形状をすべて生成するほど重文に大きくなければならない。基本形状のクラスは、以下のいずれかを含む。（Ａ）定数ＮＶ場を有する三角形。１つの界面が材料界面である場合、ＮＶ場はこの界面に垂直でなければならない。材料界面がない場合、ＮＶ場は任意に選択することができる。
（Ｂ）定数ＮＶ場を有する台形（矩形は特殊な場合である）。１つの界面が材料界面である場合、ＮＶ場はこの界面に垂直でなければならない。材料界面がない場合、ＮＶ場は任意に選択することができる。（Ｃ）半径方向ＮＶ場及び円の辺に沿った材料界面を有する円弧。
【０２２７】
[0255] 任意の形状、又はその近似はいずれも、原則的にこれらの基本形状のメッシュに分解することができる。
【０２２８】
[0256] 図１７は、これらの基本形状の「ドッグボーン」のメッシュを示す。
【０２２９】
[0257] 図１８は、本発明の実施形態により、断面が角丸矩形のプリズムの法線ベクトル場を、これより小さい矩形１８０２及び円弧１８０４から構築することを示す。矢印で示す法線ベクトル場は、物理的界面に対してそれらの物理的界面に垂直であることに留意されたい。
【０２３０】
[0258] 本発明の実施形態では、ユニットセル全体ではなく局所的に（すなわち、散乱オブジェクト又はその部分に）法線ベクトル場を構築する方法が提供される。これは法線ベクトル場の生成を単純化し、円、楕円及び矩形のような基本的形状に関して数学的に非常に単純な式さえ与える。
【０２３１】
[0259] より複雑な形状の場合は、カットアンドペーストメッシング技術が提供され、これは任意形状の法線ベクトル場が、２つ以上の基本形状の法線ベクトル場で構成され、この基本形状は、三角形、矩形、台形又は円弧の断面を有する角柱、四面体、棒、２つの平行面を有する六面体、基平面に平行な切断面を有する頂点切頭角錐、及び球台から選択される。
【０２３２】
[0260] これらのビルディングブロックの場合、法線ベクトル場は非常に単純で、迅速に生成することができる。
【０２３３】
[0261] あるいは、他の複雑な形状の場合は、高いメッシュ密度を回避するために、以上のメッシング戦略を適用せずに形状から法線ベクトル場を直接生成することが有利なことがある。その結果、補間法を使用して法線ベクトル場を生成し、次にこれを使用して、特定のフーリエ積分を計算する。本発明の実施形態は、計算ドメインの様々な媒体の支持で、フーリエ積分を幾つかの積分に分割する。これらのドメインのそれぞれで、専用の求積法の法則を補間アルゴリズムと組み合わせて適用し、このドメイン上に法線ベクトル場を生成する。補間は、ユニットセルの境界に関する特定の選択により、コンポーネントに人為的不連続が生じるのを回避するために、周期的連続がある基底関数に基づいて適用される。さらに、法線ベクトル場の支持を材料界面のすぐ隣にさらに制限することが可能である。これにより、より複雑な形状に対して法線ベクトル場を生成する方法が、さらに倹約的になる。
【０２３４】
４．１．基本ビルディングブロック
[0262] 本セクションでは、形状頂点の座標で表される３つの基本ビルディングブロックについて、Γｉｊ積分の閉じた形態の式を導出する。
【０２３５】
４．２．三角形
[0263] 図１９は、回転してシフトした三角形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２３６】
[0264] 図１９は、頂点Ａ、Ｂ及びＣを有する任意の三角形を示す。材料界面（Ｂ−Ｃ）に対向する頂点を、ローカル原点として選択する。頂点は、逆時計回りの方向に順序づけられることに留意されたい。最初に、ベクトルＡを並進して、ベクトルＢ’＝（Ｂ−Ａ）及びＣ’＝（Ｃ−Ａ）を取得する。次に、角度φ０だけ回転してローカル座標系を得る。この座標系では、Ｂ”及びＣ”が式（７２）で与えられる。
【数１２３】
【０２３７】
[0265] ここで、
【数１２４】
である。
【０２３８】
[0266] Ｂ”及びＣ”の座標系の式で、下式が取得される。
【数１２５】
【０２３９】
[0267] Ｂ”Ｃ”が材料界面である場合、ＮＶ場は
【数１２６】
になり、Γ”ｘｘのみがゼロ以外の成分になる。このグローバル座標系のΓｉｊは、式（７４）で取得される。
【０２４０】
４．３．台形
[0268] 図２０は、回転してシフトした台形をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２４１】
[0269] 台形の場合は、同じ一連の推論を辿ることができる。最初に、Ａ上で座標を並進させると、下式が与えられる。
【数１２７】
【０２４２】
[0270] その後にφ０回転すると、下式になる。
【数１２８】
【０２４３】
[0271] ここで、
【数１２９】
である。
【０２４４】
[0272] ローカル座標系では、下式になる。
【数１３０】
【０２４５】
[0273] この結果は、台形を２つの三角形に分解し、両方の三角形について式（９７）を加えることによっても取得することができる。台形でも、Ｂ”Ｃ”が材料界面である場合はＮＶ場が
【数１３１】
であり、Γ”ｘｘのみがゼロ以外の成分になる。グローバル座標系のΓｉｙは式（７４）で取得される。
【０２４６】
４．４．円弧
[0274] 円弧は、原点Ａ、下半径終点Ｂ及び切片角度φＳを有する円の切片と定義される。
【０２４７】
[0275] 図２１は、回転してシフトした円弧をＮＶ場及びローカル座標系で示す。
【０２４８】
[0276] ＮＶ成分Γ”ｉｊは、セクション３．３の完全な楕円の場合と同じ線に沿って計算することができる。主要な違いは、ここでは角積分が０から任意の角度φｓまで評価されることである。これは、ベッセル合計の偶数項で角積分が
【数１３２】
となる効果を有する。また、奇数項では、ベッセル関数のラジアル積分が解析式を有する（付録Ａ参照）。
【数１３３】
【０２４９】
[0277] ここで、この合計はｎ≧１の場合にのみ当てはまる。式（８４）に式（１０２）を代入すると、下式になる。
【数１３４】
ここで、Ｎｂは、偶数ベッセル関数の合計及び下式の合計で保持される項の数である。
【数１３５】
【０２５０】
[0278] Ｊ０の基本関数は、（［２，ｐ．６３３］）を使用して書き換えられている。
【数１３６】
【０２５１】
[0279] Γ”ｘｙ及びΓ”ｙｙについては、角積分の適切な式を代入することによって、ＮＶ成分を容易に求めることができる（付録Ｂ参照）。
【０２５２】
５．より一般的な形状の法線ベクトル場の生成
[0280] 特定の状況、例えば珍しい散乱幾何形状の場合又は複数の材料が相互の間に接続界面を有する場合は、メッシング要素の数が少なくなり、電場のスペクトル基底及び電束密度に迅速な収束を示すメッシング戦略を適用することが困難なことがある。このような場合は、場と材料の相互作用演算子のフーリエ係数を生成するために、より一般的な方法が必要なことがある。このような方法の一つは、数値求積法を採用して、形態（５４）の積分を評価することである。これで、求積法の法則は、幾つかの点にて積分の関数値を引き出し、所望の積分の近似に到達する。考察中のコンポーネントを見てみると、任意の（ｘ，ｙ）点にて法線ベクトル場の誘電率、指数関数、及びデカルト成分を評価する必要があることが分かる。これは、前者の２つの関数については些細なことであるが、後者については些細なことではない。以前に導入したスケーリングにより、法線ベクトル場はαε≠１であるドメインでしか必要ではない。さらに、全フーリエ指数（ｍ１，ｍ２）のフーリエ係数は、同じ求積法の法則及び関数評価により取得できるが、指数関数は全フーリエ指数について評価されることが分かる。したがって、主要な関心事は、任意の位置で法線ベクトル場を評価することである（αε≠１であると仮定する）。
【０２５３】
[0281] 法線ベクトル場を生成する幾つかの秘訣が［３，５］で検討されている。最初の論文は、シュワルツ・クリストッフェル等角写像に基づいて、又は静電問題を解くことによって、ＲＣＷＡの状況で２次元法線ベクトル場を生成することについて検討している。第２の論文は、逆距離補間アルゴリズムを介した生成について検討し、これはラジアル基底関数を有するいわゆる散乱データ補間アルゴリズムの特定の例である。しかし、論文は両方とも、法線ベクトル場が局所でしか必要でないという可能性を考慮せずに、側的なグリッドで法線ベクトル場を生成することを教示している。さらに、規則的なグリッドは、この規則的なグリッドに適合しない誘電率輪郭に、すなわち、規則的なメッシュと一致しない界面を有する区分的コンスタント材料特性に、低速の収束を生じることがある。その結果、収束した解に到達するために、非常に多数のグリッド点が必要になることがある。これら２つの観察結果により、この手順はＣＰＵの時間に関して非常に高価になる。
【０２５４】
[0282] 本発明の実施形態により、局所法線ベクトル場を使用し、散乱オブジェクトの積分ドメインを考慮に入れる求積法の法則を適用する、すなわち、材料界面の形状を考慮に入れる積分ドメインで作業する。その結果、ユニットセルの積分が、一定の誘電率を有するドメインでの一連の積分で置換される。より複雑なドメインで積分する求積法の法則が、例えば［６，７，８］で研究されている。積分ドメイン毎の誘電率が一定であり、指数関数が連続的であるので、生じ得る唯一のハードルはこの場合も法線ベクトル場である。したがって、求積法の法則の収束を維持するために、求積法の法則の積分ドメインで十分に平滑な法線ベクトル場を生成する必要がある。これは、散乱データ補間アルゴリズムによって達成することができ、その入力データは積分ドメインの境界、及びその境界における対応する法線ベクトル場の記述から生成される。例えば、境界を区分的線形近似で記述すると、法線は局所的に定数項ベクトルである。境界に沿って法線ベクトル場を十分密にサンプリングすることにより、散乱データ補間アルゴリズムを適用するのに十分なデータが生成される。
【０２５５】
５．１．法線ベクトル場の周期的連続性
[0283] 標準的な散乱データ補間アルゴリズムは、いわゆるラジアル基底関数、すなわち、データ点と補間点との距離にのみ依存する基底関数を使用する。一般的な補間の問題では、これは通常、良好な考えである。何故なら、近くのデータが遠いデータと比較して大きい影響を補間データに与えることができるからである。しかし、周期的な環境では、データ点と補間点との距離も周期的になる。このことを考慮に入れないと、周期的境界をまたがる補間が人為的不連続を導入することがあり、これは、特定の求積法の法則の収束、又は法線ベクトル場に投影された電磁場の解の収束さえ低下させることがある。したがって、ラジアル基底関数での散乱データ補間の代替法を探している。重要な考えは、構成の周期性を示す周期距離関数を生成し、この関数で距離関数を置換することである。
【０２５６】
５．２．周期距離関数
[0284] 正規ユークリッド空間
【数１３７】
では、２点ｒとｒ’の間の距離ｒは下式によって与えられる。
【数１３８】
これは、負ではなく、２点が一致する場合にのみゼロである。
【０２５７】
[0285] 次に、まずｘ軸に沿ってｐ＞０の周期で１Ｄに周期的な場合について考察する。このような場合では、最初に下式のようにモジュロ（ｐ）関数を導入する。
【数１３９】
ここで、
【数１４０】
はシーリング演算子を指す。したがって、下式が得られる。
【数１４１】
【０２５８】
[0286] 以上の定義で、ｘとｘ’の間のユークリッド距離ｄ（ｘ，ｘ’）＝｜ｘ−ｘ’｜は、周期的な場合でｄｐ（ｘ，ｘ’）＝｜（ｘ−ｘ’）ｍｏｄｐ｜になる。しかし、例えば距離測定値を定義する別の方法もある。
【数１４２】
上式も距離測定値ｄ（ｘ，ｘ’）の基本的基準を満たす。すなわち、下式になる。
１．ｄ（ｘ，ｘ’）≧０（負ではない）
２．ｘ＝ｘ’である場合、及びその場合のみｄ（ｘ，ｘ’）＝０（識別不能の恒等式）
３．ｄ（ｘ，ｘ’）＝ｄ（ｘ’，ｘ）（対称）
４．ｄ（ｘ，ｘ”）≦ｄ（ｘ，ｘ’）＋ｄ（ｘ’，ｘ”）（三角不等式）
【０２５９】
[0287] ２方向に周期性がある空間では、この状況はさらに複雑になる。周期的格子ベクトルをａ１及びａ２とすると、空間の任意の点ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）を下式で示すことができる。
【数１４３】
ここで、η１及びη２は、下式のようにｘ及びｙに関連する横断面における座標である。
【数１４４】
【０２６０】
[0288] さらに、散乱構成がη１及びη２で周期的であり、両方とも周期１であることが分かる。
【数１４５】
のユークリッド距離関数は、下式のようにａ１及びａ２で表すことができる。
【数１４６】
【０２６１】
[0289] 周期距離関数に到達するには、η１−η１及びη２−η２を、周期１及びｆ（０）＝０の周期関数ｆ（・）で置換し、
従って｜ｆ（・）｜は１次元周期距離関数、すなわち、下式を生成する。
【数１４７】
ここで、ｆ（ｘ）は例えばｘｍｏｄ１またはｓｉｎ（πｘ）に等しい。
【０２６２】
５．３．周期散乱データ補間
[0290] 散乱データ補間アルゴリズムに、基底関数φ（ｒ）、ｒ≧０を導入する。例えばβ＞０の状態でφ（ｒ）＝ｅｘｐ（−βｒ２）である。さらに、１組のデータ点ｒｎ及び対応する関数値Ｆ（ｒｎ）、ｎ∈｛１，．．．，Ｎ｝が提供される。次に、アルゴリズムが係数ｃｎを決定し、従ってすべてのｎ＝１，．．．，Ｎに対して下式になる。
【数１４８】
ここで、ｄ（ｒｍ，ｒｎ）は、データ点ｒｍとｒｎの間の距離を指す。この線形方程式が非特異である場合は、係数ｃｎを決定することができ、散乱データ補間アルゴリズムは以下のＦの補間につながる。
【数１４９】
【０２６３】
[0291] 周期的場合では、以上の２式の距離関数ｄ（・，・）に式（１１３）の周期距離関数を代入すると、データの周期的補間になり、これを使用して、［５］と同様の方法で、材料境界における法線ベクトル場のデカルト成分から法線ベクトル場のデカルト成分を生成することができる。すなわち、最初に下式のように保管された成分を求める。
【数１５０】
ここで、ｊ∈｛ｘ，ｙ，ｚ｝である。次に、ｒから１の位置で法線ベクトル場を正規化する。すなわち、
【数１５１】
とする。
【０２６４】
６．任意の非等方性媒体の局所法線ベクトル場
[0292] 以上のセクションでは、ポポフ及びネヴィエールによって定義されたベクトル場のスケーリング関数及び基底変換を導入することにより、連続ベクトル場Ｆの構造中の局所法線ベクトル場の概念を得た。法線ベクトル場の局所化が、例えば回折格子の幾何形状の段階的近似により、いかなる場所でも法線ベクトル場に直交する固定異常軸を有する等方性媒体及び複屈折媒体について示された。次に、局所法線ベクトル場の概念を任意の非等方性媒体の最も一般的な場合に引き継ぐ。しかし、スカラー関数によるスケーリングには、最も一般的な場合を扱うのに十分な柔軟性がない。一般的な非等方性媒体の場合を扱うために、まずベクトル場Ｆの定義を修正する。Ｆのこの新しい定義は下式によって与えられる。
【数１５２】
ここでＳは追加のスケーリング演算子であり、αはゼロではないスケーリング関数であり、これは両方とも材料不連続部の近傍で連続している。ＰｎＤ及びＰＴＥは両方とも連続ベクトル場であるので、ベクトル場Ｆもα及びＳの要件にて連続している。
【０２６５】
[0293] 投影演算子の以前に概略した代数で下式が得られる。
【数１５３】
【０２６６】
[0294] 角括弧内の演算子を、例えば
【数１５４】
を選択する、すなわち、不連続部を含まない特定領域の媒体パラメータ（例えば充填媒体の定数誘電率テンソル）と等しくすることにより、及びＳを選択することによりゼロ以外の連続関数であるαＰｎ＝（ＰｎＳＰｎ）−１（Ｐｎの範囲で理解される）を選択することにより、局所的にゼロにすることができる。αでは、これは
【数１５５】
になる。したがって
【数１５６】
が当てはまる領域では、ベクトル場Ｆの基底が法線ベクトル場に依存しない、すなわち、デカルト座標で表される限り、法線ベクトル場が必要ではない。Ｓの別の選択肢は、誘電率分布の平滑化したタイプを使用することである。この選択肢の場合は、法線ベクトル場が必要である領域がさらに縮小する。
【０２６７】
[0295] 等方性媒体の場合、ベクトル場Ｆに関する以上の修正は以前の定義と矛盾しない。何故なら、Ｓが単位作用素の倍数になり、したがってＰＴ及びＰｎと交換可能になるからである。その結果、ＰｎＳＰＴは等しくゼロであり、αの選択肢は以前に定義した場合まで減少する。
【０２６８】
[0296] 局所法線ベクトル場の主要な利点、各オブジェクトについてすなわち、演算子Ｃε及びεＣεの係数の式を別個に予め計算する可能性、及びカットアンドコネクト戦略を適用する可能性は、一般的な非等方性の場合でも依然として有効である。しかし、非等方性の方向が法線ベクトル場の方向と混合するので、演算子の係数は通常、さらに複雑である。これは、例えば等方性媒体の法線ベクトル場に依存しなかった演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１で観察することができ、これは一般的な場合の法線ベクトル場及び非等方性の方向に依存する。したがって、係数を画定するフーリエ積分の閉じた形態の式を求めることが通常はさらに困難になり、セクション５で概略したような求積法の方法が代替的に有用なことがある。明瞭な例外は、オブジェクトの非等方性がオブジェクトの支持全体で一定であり、オブジェクトの形状が、法線ベクトル場の方向が固定されたメッシュ要素、例えば三角形又は多角形のメッシュ要素で記述される場合である。この場合では、導出された閉じた形態の式が依然として有効であるが、（一定の）法線ベクトル場と誘電率テンソルの非等方性の（一定）方向との間の角度に依存する定数スケーリング因子を除く。
【０２６９】
[0297] 例えばＲＣＷＡ、差動法、及び体積積分法で使用することができる、スペクトル基底、等方性及び非等方性媒体の場と材料の相互作用内の局所法線ベクトル場の概念を解析する投影演算子のフレームワークについて説明してきた。このフレームワークで、スケーリング及び基底変換を局所法線ベクトル場につなげることができ、これにより専用の形状の法線ベクトル場で作業し、メッシング戦略を適用して、より一般的な形状の法線ベクトル場を構築できることを示した。これは、法線ベクトル場の方法の融通性を大幅に改良し、これらの場を設定するＣＰＵの時間の多大な節約にもつながる。幾つかのビルディングブロックに関する閉じた形態の解、及び周期距離補間アルゴリズムを含むより一般的な形状のベクトル場の生成の例についても例示した。
【０２７０】
[0298] 本発明の実施形態により、２Ｄ及び３Ｄでの法線ベクトルの設定をさらに高速に柔軟性を高めることができ、その結果、ＣＤの再構築時間がより迅速になり、ライブラリレシピの生成がより迅速になる。簡単な例では、同じ計算ハードウェアで数秒から１秒未満への高速化が観察された。
【０２７１】
２．法線ベクトル場の公式化の代替方法
１．リーの法則及び代替方法
[0299] 以上の公式化は法線ベクトル場の公式化を指すことに留意されたい。しかし、上記は、矩形の幾何形状に適切なリーの公式化にも拡大することができる。このリーの公式化の対応する演算子について以下で説明する。
２．畳み込み構造を維持する修正リーの法則及び法線ベクトル場の公式化の代替方法
【０２７２】
[0300] 以上のセクションでは、いわゆるｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式（０．１）及び（０．２）を修正して、スペクトルベースでその正確さを保持しながら、場と材料の相互作用の有効行列ベクトル積を構築した。これは、Ｅで示した電場に１対１対応の補助ベクトル場Ｆを導入することによって達成することができ、したがってＦが計算されると、追加の計算が非常に少ない状態でＥが取得される。要するに、下式の形態の１組の式が導出された。
【数１５７】
ここでＥｉｎｃは入射場を指し、Ｇは層状背景媒体のグリーン関数の行列表現を指し、Ｍ、ＰＴ、Ｐｎ、Ｃε及び（εＣε）は、ＦＦＴの形態における有効行列ベクトル積に対応する。
【０２７３】
[0301] 以上の場合、ＦとＪとＥの関係によって、コンパクトで効率的な数学的形式が可能になる。しかし、有効行列ベクトル積とともに高い正確さというゴールを達成するために、他の経路が存在する。これらの代替方法を調査し、文書化することが、本セクションの目的である。既存の数学的形式は、Ｅと補助ベクトル場Ｆの間の１対１対応を削除することによって、すなわち、可逆演算子Ｃεを介して拡張することができる。これは例えば、例えばセクション２．２で示すように、補助ベクトル場Ｆに電場Ｅの場合より多くの自由度を導入する場合である。さらなる措置を執らないと、その結果となるベクトル場Ｆの線形方程式の組は決定が不十分であり、したがってＦが一意ではなくなる。これは通常、反復ソルバの使用時に望ましくない。何故なら、通常、多数の反復又は反復プロセスのブレークダウンにつながるからである。この状況を克服するには、方程式Ｆ、Ｅ及び／又はＪの間に追加の組の線形制約を見込む。この基本原理で、以下の一般化された組の修正リップマン・シュウィンガー方程式になる。
【数１５８】
ここで、以上の行列方程式の各演算子は、例えばＦＦＴによって有効行列ベクトル積を実施することができる。
【０２７４】
２．１．ラランによる法則
[0302] ２Ｄの周期性がある周期構造についてリーによって導出された法則以前に、ララン［１３］が、誘電率行列Ｍεの重み付き平均式（［１３］でＥ及び逆誘電率行列（Ｍｉｎｖ（ε））−１（［１３］でＰ−１とされている）の逆行列とされている）を提案している。この作業方法では、電場Ｅと補助ベクトル場Ｆとの組合せで作業することができる。後者のベクトル場は、（Ｍｉｎｖ（ε））−１とＥとの積に遭遇する点にて導入され、第１の行列ベクトル積に到達して、コントラスト電流密度Ｊ又はそのスケーリングした対応物ｑを計算する。
【数１５９】
ここで、Ｆは下式を満たす。
【数１６０】
【０２７５】
[0303] Ｍε及びＭｉｎｖ（ε）は両方とも、ＦＦＴを介して有効行列ベクトル積が実行される。
【０２７６】
[0304] 式（２．７３）及び（２．７４）の結果は、式（２．７２）の形態でより大きい線形系として実行することができる。ここでは、演算子Ｉ及びＧを含む第１の組の方程式はそのままである。第２の組の方程式は、一方のＪと他方のＥ及びＦとの間に関係式（２．７３）を引き出す。すなわち、Ｃ１１＝ｊωα（Ｍε−εｂＩ）、Ｃ１２＝−Ｉ、及びＣ１３＝ｊω（１−α）Ｉである。第３の組の方程式は、式（２．７４）と同様にＥ及びＦに関係する。すなわち、Ｃ２１＝−Ｉ、Ｃ２２＝０、及びＣ２３＝Ｍｉｎｖ（ε）である。最後に、Ｃ３１、Ｃ３２、Ｃ３３、及び右手側の最終行を含む最終組の方程式は存在しない。これは、電流密度Ｊの近似解を求めるように、前記電磁場Ｅに関係し、それとは異なる電流密度Ｊ及びベクトル場Ｆの体積積分式の数値的解を含むことにより、構造の電磁散乱特性の計算に組み込むことができる。ここで、ベクトル場Ｆは、逆作用素Ｍｉｎｖ（ε）によって電場Ｅと関連づけられる。
【０２７７】
２．２．連結リーの法則
[0305] 交差した回折格子の場合、リー［１０，１１］は、対応する相互作用行列が（ブロック）テプリッツ行列と逆（ブロック）テプリッツ行列の積の合計で構成されている場合、場と材料との相互作用がスペクトル基底でよりよく捕捉されることを示している。（ブロック）テプリッツ行列は通常、「ローランの法則」の表示と呼ばれ、これは標準離散畳み込みに対応する。逆（ブロック）テプリッツ行列を通常、「逆法則」と呼ぶ。逆法則は、場の成分が材料界面にまたがって不連続である場合は常に適用され、ローランの法則は場の成分が材料界面にまたがって連続している場合に適用される。これらの規則は往々にして「リーの法則」と呼ばれる。（ブロック）テプリッツ行列によってＦＦＴの形態の有効行列ベクトル積が可能になるが、逆テプリッツ行列はテプリッツの形態を有さず、したがって高速行列ベクトル積が容易に形成されない。したがって、補助ベクトル場の考えを拡大することにより、制約とともに追加の補助場を導入して、（ブロック）テプリッツ行列の逆数も考慮に入れた有効行列ベクトル積に到達することができる。
【０２７８】
[0306] ２進回折格子、すなわち、誘電率が周期性の生じた面に直交する方向、ここではｚ方向で示す方向に依存しない回折格子の等方性媒体の場合を考察してみる。これで、リーの法則は、横断面、すなわち、ｘｙ面の電界Ｅの場成分しか修正しなくてよい。何故なら、電場のｚ成分が２進回折格子の材料界面にて連続しており、したがって有効行列ベクトル積で表されるローランの法則を直接適用できるからである。幾つかの矩形のブロックから誘電率関数を作成するが、このブロックは隣接していても、していなくてもよい。特に、誘電率関数及び対応する逆誘電率関数は、下式のように書かれる。
【数１６１】
ここで、
【数１６２】
は、全区間の支持がラベルαを伴う状態で、方向βにおけるパルス関数である。パルス関数とは、その関連区間では１、その他ではゼロである関数である。ｘ方向にはＩ非オーバーラップ区間があり、ｙ方向にはＪ非オーバーラップ区間がある。さらに、χｉｊは、関数
【数１６３】
及び
【数１６４】
の支持上の連続スカラー関数である。
【０２７９】
[0307] 電場及び電束のｘ成分の標準的な場と材料の相互作用の関係式
【数１６５】
から下式が得られる。
【数１６６】
ここで、リーの一連の推論［１０，１１］により、
【数１６７】
はフーリエ空間で分解可能であるが、
【数１６８】
は分解可能ではない。何故なら、Ｄｘが材料の界面にｙ方向の不連続部を有するからである。関数
【数１６９】
は投影演算子と解釈することができるので、以下のことを使用することができる。
【０２８０】
[0308] Ｉを単位作用素とし、Ａｉを相互に直交する投影演算子Ｐｉと交換可能である有界演算子のシーケンスとすると、演算子
【数１７０】
は有界逆数
【数１７１】
を有し、ここでＢｉ＝Ａｉ（Ｉ＋Ａｉ）−１である。
【０２８１】
[0309] 代数を計算し、投影演算子の等べきを考慮に入れることによって証明される。
【０２８２】
[0310] この結果から、次に電場成分に関して電束成分を下式のように表すことができる。
【数１７２】
ここで、Ａｉ及びＢｉとＰｉとの交換特性が使用される。
【０２８３】
[0311] 同様に、ｙ成分については下式がある。
【数１７３】
【０２８４】
[0312] これで、電場の成分で直接延在する逆行列演算を実行した後、乗法演算子はそれぞれフーリエ因数分解可能である。すなわち、スペクトルドメインでは、逆作用素が逆（ブロック）テプリッツ行列になって、逆法則を表し、投影演算子
【数１７４】
の組合せが（ブロック）テプリッツ行列になって、ローランの法則を表す。以上の関係から、通常の方法でコントラスト電流密度を導出することができる。すなわち、Ｊ＝ｊω［Ｄ−εｂＥ］である。
【０２８５】
[0313] 以上の関係から、ｘ及びｙ方向に沿ったすべての区間が逆作用素、すなわち、Ｉ＋Ｊ逆数の合計を生じることが明白になる。逆作用素を含む中間行列ベクトル積に補助変数（ベクトル場）を導入すると、これらの逆数をそれぞれ回避することができる。例えば、式（２．７８）の行列ベクトル積
【数１７５】
は、補助変数Ｆｘｊで置換され、ここでもスペクトルドメインにその行列ベクトル積の有効表現を有する線形方程式
【数１７６】
は、線形系に組み込まれる（２．７２）。その方法で、ＦＦＴの形態で行列ベクトル積の効率が保持されるが、変数は増加する。このことは、Ｉ及びＪが１より大きい場合に、特に当てはまる。何故なら、逆数がそれぞれ補助変数の量を増加させ、それにより行列ベクトル積の合計のサイズを増大させるからである。
【０２８６】
２．３．リーの法則の逆作用素の数を減少させる
[0314] セクション２．２の結論は、各投影演算子
【数１７７】
が新しい補助ベクトル場を導入し、それによってこの手順が、幾つかの写像演算子より多くを必要とする幾何形状ではかなり非効率になるということである。したがって、段階的戦略の幾何学的融通性を犠牲にせずに、最初に導入されるその戦略より少ない投影演算子で作業する方法があるか否かという疑問が生じる。
【０２８７】
[0315] 努力したことは主に、含まれる投影演算子を減少させた合計として、式（２．７５）を書き換えること、すなわち、下式に書き換えることである。
【数１７８】
【０２８８】
[0316] これは有名な「４色問題」(four-color problem)に触発されたものであり、これでは平坦なマップを異なる４色のみで着色することができ、マップの２つの隣接する領域で同じ色を有する領域はない。今回の場合では、状況が多少似ている。すなわち、隣接する支持の投影演算子は、その乗法関数
【数１７９】
がそれを相互接続する境界をまたがって連続している場合にのみ併合することができる。一般に、このような制約は幾何学では対処されない。したがって、隣接する支持を有さない投影演算子を併合するように、グルーピングを導入する。これで、併合した投影演算子の支持で乗法関数
【数１８０】
に適合する連続乗法演算子を構築することができる。
【０２８９】
[0317] 最初に、これを１次元で示してみる。ｘ方向の（周期的）区間を［０，α］として与え、この間隔を偶数の非オーバーラップセグメントＳｉ（ｉ＝０，．．．，２Ｉ）に分割してみる。したがってセグメントの和集合が周期的区間［０，ａ］に広がり、セグメントがこの区間に沿ってその位置に従って決定される。すなわち、セグメントＳｉ−１がセグメントＳｉを進めることになる。これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８１】
ここで、Πｉ（ｘ）の支持はｉ番目のセグメントに対応する。
【０２９０】
[0318] 次に、（相互に直交する）奇数及び偶数投影演算子を下式のように導入する。
【数１８２】
【０２９１】
[0319] さらに、（スカラー）関数ｆ０（ｘ）及びｆｅ（ｘ）を導入する。これらの関数は、区間［０，ａ］で連続しており、周期的連続性を有し、すなわち、ｆ０（０）＝ｆ０（ａ）及びｆｅ（０）＝ｆｅ（ａ）であり、ｋ＝１，．．．，Ｉの場合に、下式を満たす。
【数１８３】
偶数及び奇数投影演算子が投影演算子を隣接する支持と併合しないということから、関数ｆ０及びｆｅを連続関数として、例えば偶数及び奇数投影演算子の支持の外側にあるセグメントの線形補間を介して構築することができる。したがって、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８４】
【０２９２】
[0320] 次に、この考えを２次元に、すなわち、回折格子構造の横断面に拡大する。（相互に直交する）偶数及び奇数投影演算子を、次元毎に偶数のセグメントがある状態で、デカルト積グリッドのｘ及びｙ方向に導入する。さらに、周期的領［０，ａ］×［０，ｂ］に、ｆ００（ｘ，ｙ）、ｆ０ｅ（ｘ，ｙ）、ｆｅ０（ｘ，ｙ）、及びｆｅｅ（ｘ，ｙ）で示した４つの周期的に連続するスカラー関数を導入する。これらの関数は、これに掛ける投影演算子の支持の外側で、双線形補間によって構築することができる。この手順を図２２に示す。
【０２９３】
[0321] 図２２は、次元毎に偶数投影演算子２２０６（白い支持）及び奇数投影演算子２２０８（実線／影の支持）を導入することにより、段階的近似２２０４によって横断面で楕円２２０２を近似する手順を示す。１方向の投影演算子に他の方向の投影演算子を掛けることにより、隔離されたボックスのパターンが現れる。これにより、隔離された各ボックスの支持に対して適切な挙動を有する連続関数を構築することができる。
【０２９４】
[0322] これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８５】
これは、関係する２次元投影演算子（色付き）が４つしかないことを示す。
【０２９５】
[0323] セクション２．５．２で概略した方法に従うと、以下のリーの法則に到達する。
【数１８６】
さらに、ＤｙとＥｙとの関係について、同様の式にも到達する。
【０２９６】
[0324] この手順を完結させるために、下式を満たすｘ成分を有する２つの補助場Ｆｅ及びＦｏを導入する。
【数１８７】
さらに、ｙ成分についても同様の関係式を導入する。これらの条件で、最終的に下式が得られる。
【数１８８】
さらに、ｙ成分についても同様の関係式が得られる。以前のセクションの逆作用素とは異なり、ＦとＥを連結する演算子が２次元の特徴を有することに留意されたい。しかし、すべての演算子はここでは、２Ｄ（又は繰り返した１Ｄ）のＦＦＴを介した有効行列ベクトル積を組み込んだ乗法演算子である。これらの関係から、この場合も通常の方法でコントラスト電流密度間の関係式、すなわち、Ｊ＝ｊω［Ｄ−εｂＥ］を導出し、式（２．７２）の線形方程式を組み立てることができる。
【０２９７】
２．４．単一のブリックに対するリーの法則
[0325] 次に、ｘｙ面の回折格子の断面が、誘電率εｂの背景媒体に埋め込まれた等方性誘電率の単一の矩形ブロック（ブリックとも呼ばれる）で構成される特有の場合について考察する。上述した定義で、この場合の誘電率関数及び逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数１８９】
ここから、コントラスト電流密度について下式が得られる。
【数１９０】
さらに、以下の関係式がある。
【数１９１】
ここで、Ｇはこの場合もグリーン関数演算子を指す。次に、ｘ方向のコントラスト電流密度に関する分割法則、すなわち、下式に到達するために電場及び束密度のｘ成分を特に見てみる。
【数１９２】
角括弧内の２番目の項は、固定したｘに対してｙ方向に沿って連続的である。したがって、積
【数１９３】
はフーリエ因数分解可能である、すなわち、角括弧内に与えられたパルス関数と合計電場の間の積は、スペクトルドメインでローランの法則により計算することができる。その後、以下の合計を考察する。
【数１９４】
これは、固定したｙに対してｘ方向に沿って連続的である。したがって、空間ドメインにおける
【数１９５】
の乗法は、スペクトルドメインにおけるローランの法則で表すことができる。すなわち、積はフーリエ因数分解可能である。空間的に有効な関係式、
【数１９６】
及び
【数１９７】
から、下式が得られ、
【数１９８】
これは、積分式のｘ成分として書き換えることができ、
【数１９９】
コントラスト電流密度のｙ成分には、同様の式がある。入射電場はいかなる場所でも連続的であり、したがってリーの法則は入射場では役割を果たさないことに留意されたい。ｚ成分については、標準的な積分式を即座に書くことができる。何故なら、電場のｚ成分は、固定したｚに対してｘ及びｙのすべてで連続的であり、したがって
【数２００】
及び
【数２０１】
の積はすべてフーリエ因数分解可能である。すなわち、下式になる。
【数２０２】
【０２９８】
[0326] 本発明の実施形態の利点は、メトロロジーの用途で回折格子の輪郭を再構築するために、コントラスト源反転（ＣＳＩ）アルゴリズムができることである。
【０２９９】
[0327] 本発明の実施形態は、不連続ベクトル場で演算する不連続演算子、及びそれに関する性能の不利を回避し、したがって収束の正確さ及び速度を改良する。
【０３００】
[0328] 図２３は、本発明の実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略形態で示す。コンピュータシステムは中央処理装置（ＣＰＵ）２３０２及びランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）２３０４を備え、これはプログラムの実行中にプログラム命令２３０６及びデータ２３０８を記憶するために使用される。コンピュータシステムは、プログラムを実行する前後にプログラム命令及びデータを記憶するために使用されるディスク記憶装置２３１０も含む。
【０３０１】
[0329] プログラム命令２３０６は、高速フーリエ変換ルーチン２３１２、行列乗算関数２３１４、加算及び減算などの他の算術関数２３１６、及びアレイ編成関数２３１８を含む。データ２３０８は、ＶＩＭシステムの解の計算中に使用される４Ｄアレイ２３２０及び２Ｄアレイ２３２２を備える。入力及び出力用の他の従来のコンピュータコンポーネントは図示されていない。
【０３０２】
[0330] 本発明の実施形態では、フーリエ級数展開を使用し、完全一致層（ＰＭＬ）、又は他のタイプの吸収境界条件を使用することによって非周期的構造を解析して、フーリエ展開を使用するユニットセルの境界付近で無限に向かう放射を模倣することができる。
【０３０３】
[0331] 本発明の実施形態を、図５及び図６に関して述べた再構築方法に従って組み込み、放射によるオブジェクトの照明から生じる電磁散乱特性を検出して、オブジェクトの近似構造を再構築する方法を提供することができる。
【０３０４】
[0332] 本発明の実施形態は、図３及び図４に関して述べた処理装置ＰＵに関して本明細書で述べた方法を組み込むことによって組み込み、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置を提供することができる。
【０３０５】
[0333] 図３、図４及び図２３に関して述べた処理装置は、構造の電磁散乱特性を計算する１つ又は複数の機械可読命令のシーケンスを含むコンピュータプログラムの制御下で演算することができ、命令は、１つ又は複数の処理装置に本明細書で述べた方法を実行させるように構成される。
【０３０６】
[0334] 本文ではＩＣの製造における検査装置の使用に特に言及しているが、本明細書で説明する検査装置には、例えば、集積光学システム、磁気ドメインメモリ用誘導及び検出パターン、フラットパネルディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、薄膜磁気ヘッドなどの製造のような他の用途もあることを理解されたい。こうした代替的な用途に照らして、本明細書で「ウェーハ」又は「ダイ」という用語を使用している場合、それぞれ、「基板」又は「ターゲット部分」という、より一般的な用語と同義と見なしてよいことが、当業者には認識される。本明細書に述べている基板は、露光前又は露光後に、例えばトラック（通常はレジストの層を基板に塗布し、露光したレジストを現像するツール）、メトロロジーツール及び／又は検査ツールで処理することができる。適宜、本明細書の開示は、以上及びその他の基板処理ツールに適用することができる。さらに基板は、例えば多層ＩＣを生成するために、複数回処理することができ、したがって本明細書で使用する基板という用語は、既に複数の処理済み層を含む基板も指すことができる。
【０３０７】
[0335] 上述した本発明の実施形態による方法は、図５及び図６に関して上述したように、放射によるオブジェクトの照明によって生成される回折パターンなどの検出された電磁散乱特性からオブジェクト（１Ｄ周期性に限定されない）の近似構造を再構築する順方向回折モデルに組み込むことができる。図３及び図４に関して上述した処理ユニットＰＵは、この方法を使用してオブジェクトの近似構造を再構築するように構成することができる。
【０３０８】
[0336] 光リソグラフィの分野での本発明の実施形態の使用に特に言及してきたが、本発明は文脈によってはその他の用途、例えばインプリントリソグラフィでも使用することができ、光リソグラフィに限定されないことを理解されたい。インプリントリソグラフィでは、パターニングデバイス内のトポグラフィが基板上に作成されるパターンを形成する。パターニングデバイスのトポグラフィは基板に供給されたレジスト層内に刻印され、電磁放射、熱、圧力又はこれらの組合せを印加することによりレジストは硬化する。パターニングデバイスはレジストから取り除かれ、レジストが硬化すると、内部にパターンが残される。
【０３０９】
[0337] 本明細書で使用する「放射」及び「ビーム」という用語は、イオンビーム又は電子ビームなどの粒子ビームのみならず、紫外線（ＵＶ）放射（例えば、３６５ｎｍ、３５５ｎｍ、２４８ｎｍ、１９３ｎｍ、１５７ｎｍ若しくは１２６ｎｍ、又はこれら辺りの波長を有する）及び極端紫外線（ＥＵＶ）放射（例えば、５ｎｍ〜２０ｎｍの範囲の波長を有する）を含むあらゆるタイプの電磁放射を包含する。
【０３１０】
[0338] 「レンズ」という用語は、状況が許せば、屈折、反射、磁気、電磁及び静電型光学コンポーネントを含む様々なタイプの光学コンポーネントのいずれか一つ、又はその組合せを指すことができる。
【０３１１】
[0339] 「電磁」という用語は、電気及び磁気を包含する。
【０３１２】
[0340] 「電磁散乱特性」という用語は、スペクトル（波長の関数としての強度など）、回折パターン（位置／角度の関数としての強度）及び横方向磁気及び横方向電気偏光の相対強度及び／又は横方向磁気と横方向電気偏光との位相差を含む反射及び透過係数及びスキャトロメータ測定パラメータを包含する。回折パターン自体は、例えば反射係数を使用して計算することができる。
【０３１３】
[0341] したがって、本発明の実施形態は反射散乱に関して説明されているが、本発明は透過散乱にも適用可能である。
【０３１４】
[0342] 以上、本発明の特定の実施形態を説明したが、説明とは異なる方法でも本発明を実践できることが理解される。例えば、本発明は、上記で開示したような方法を述べる機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラム、又はこのようなコンピュータプログラムを内部に格納したデータ記憶媒体（例えば半導体メモリ、磁気又は光ディスク）の形態をとることができる。
【０３１５】
[0343] なお、「発明の概要」及び「要約書」の項は、発明者が考える本発明の１つ又は複数の例示的実施形態を記載できるがそのすべては記載できないため、本発明及び添付の特許請求の範囲を決して限定するものではない。
【０３１６】
[0344] 以上、特定の機能及びそれらの関係の実施態様を示す機能ビルディングブロックを使用して本発明の実施形態について説明した。本明細書においては、これらの機能ビルディングブロックの境界は、説明の便宜上、任意に画定されている。特定の機能及びそれらの関係が適切に実施される限り、代替境界を画定することも可能である。
【０３１７】
[0345] 特定の実施形態についての上記説明は、本発明の一般的な性質を余すところなく開示しており、したがって当業者は、当分野における知識を適用することにより、不適切な過度の実験作業を必要とすることなく、また、本発明の一般概念から逸脱することなく、様々な用途のためにこのような特定の実施形態に容易に修正を加え、及び／又は適合させることができる。したがって、このような適合及び修正は、開示されている実施形態の、本明細書において示されている教示及び手引きに基づく同等物の意味及び範囲内に含まれることが意図されている。本明細書における表現又は用語は、説明を目的としたものであって本発明を限定するためのものではなく、したがって本明細書の用語又は表現は、当業者によって、教示及びガイダンスに照らして解釈されるべきものであることを理解されたい。
【０３１８】
[0346] 本発明の広さ及び範囲は、上で説明したいずれの例示的実施形態によっても限定されず、唯一添付の特許請求の範囲及びそれらの同等物によってのみ定義されるものとする。
【０３１９】
[0347] 本出願の特許請求の範囲は、親出願又は他の関連出願のものとは異なる。したがって出願人は、本出願に関して親出願又はいかなる先行出願でなされた特許請求の範囲に関するいかなるディスクレイマー(disclaimer)も無効にする。したがって、審査官には、このようないかなる以前のディスクレイマー、並びに回避するようにされた引用文献を再訪する必要があることを留意頂きたい。さらに、審査官には、本出願でなされたいかなるディスクレイマーも親出願に取り込まれない、又は親出願に対して読まれないことも認識されたい。
【０３２０】
参照文献（すべて参照により全体を本明細書に組み込むものとする）
[1] Evgeny Popov and Michel Neviere. Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media. J. Opt. Soc. Am. A, 18(11):2886-2894, November 2001.
[2] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, 1980.
[3] Thomas Schuster, Johannes Ruoff, Norbert Kerwien, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for convergence improvement using the RCWA for crossed gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 24(9):2880-2890, September 2007.
[4] R.V. Churchill. Complex Variables and Applications. McGraw-Hill, 1960.
[5] Peter Gotz, Thomas Schuster, Karsten Frenner, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for the RCWA with automated vector field generation. OPTICS EXPRESS, 16(22):17295-17301, October 2008.
[6] Alvise Sommariva and Marco Vianello. Gauss-Green cubature and moment computation over arbitrary geometries. Journal of Computational and Applied Mathematics, to be published.
[7] Alvise Sommariva and Marco Vianello. Product Gauss cubature over polygons based on Green's integration formula. BIT Numerical Mathematics, 47(2):147-177, August 2007.
[8] G. Gabard. Exact integration of polynomial-exponential products with application to wave-based numerical methods. Commun. Numer. Meth. Engng, 2008.
[9] Yia-Chung Chang, Guangwei Li, Hanyou Chu, and Jon Opsal. Efficient finite-element, Green's function approach for critical-dimension metrology of three-dimensional gratings on multilayer films. J. Opt. Soc. Am. A, 23(3):638-6454, March 2006.
[10] Lifeng Li. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures. J. Opt. Soc. Am. A, 13(9):1870-1876, September 1996.
[11] Lifeng Li. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 14(10):2758-2767, October 1997.
[12] Brent C. Bergner, Thomas A. Germer, and Thomas J. Suleski. Effect of Line Width Roughness on Optical Scatterometry Measurements. Metrology, Inspection, and Process Control for Microlithography XXIII, edited by John A. Allgair, Christopher J. Raymond. Proc. of SPIE Vol. 7272, 72720U, 2009. DOI: 10.1117/12.813770.
[13] Philippe Lalanne. Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 14(7):1592-1598, July 1997.
[14] A contrast source inversion method, P. M. van den Berg and R. E. Kleinman, Inverse Problems vol. 13 (1997), pp. 1607-1620.
[15] Finite-element contrast source inversion method for microwave imaging, A. Zakaria, C. Gilmore and J. LoVetri, Inverse Problems vol 26 (2010), 115010 (21pp), doi:10.1088/0266-5611/26/11/115010.
[16] A finite-difference contrast source inversion method, A. Abubakar, W. Hu, P. M. van den Berg, and T. M. Habashy, Inverse Problems vol. 24 (2008), 065004 (17pp), doi:10.1088/0266-5611/24/6/065004.
【０３２１】
付録Ａ
ベッセル関数のラジアル積分
ラジアル積分すると、以下の積分の閉じた形態の式が発見される。
（ｎ≧０）の場合、
【数２０３】
これらは以下のベッセル関数の繰り返し関係式を採用することによって発見することができる（［２］）。
【数２０４】
式（２）にｎ＋１≡２ｋを代入して積分すると、偶数ベッセル積分の繰り返し関係式が与えられる。
【数２０５】
この式の第２の積分を、式（Ａ３）を使用して書き換えることができる。
ｎ＋１＝２ｋ−１を代入して積分すると、下式が与えられる。
【数２０６】
両方の繰り返し積分式を下式で明示的に書くことができる。
【数２０７】
式（Ａ６）に式（Ａ７）を代入すると、下式が与えられる。
【数２０８】
この式の欠点は、ベッセル関数が同じ引数の複数の評価を有することである。これは数値的に高くつく演算であるので、二重総和を切り換えると、下式が与えられる。
【数２０９】
ｋ指数の最終総和は、下式に等しいと示すことができる。
【数２１０】
これにより、偶数ベッセル関数のラジアル積分の最終の閉じた形態の式が与えられる。
【数２１１】
ここで、この総和はｎ＞１にのみ当てはまる。
奇数ベッセル関数のラジアル積分にも、同じ推論を適用することができる。式（Ａ２）にｎ＋１≡２ｋ＋１を代入し、式（Ａ３）にｎ＋１≡２ｋを代入して積分すると、以下の繰り返し積分が与えられる。
【数２１２】
両方の繰り返し積分関係式を下式で明示的に書くことができる。
【数２１３】
式（Ａ１４）に式（Ａ１５）を代入し、二重総和をスワップすると、下式が与えられる。
【数２１４】
以下の関係式を使用し、
【数２１５】
式（Ａ１６）のｚＪ１（ｚ）を部分積分すると、以下の最終式が与えられる。
【数２１６】
ここで、最終総和は、ｎ≧１にのみ当てはまる。
【０３２２】
付録Ｂ
角積分
角積分の最も一般的な形態は、下式のように書かれる。
【数２１７】
ここで、中括弧内にある項のすべての組合せが可能であり、
【数２１８】
は楕円率であり、φｓは楕円又は円弧の角度であり、ｃは幾何学的入力パラメータに従う角度オフセットである（式（８３）参照）。この積分の閉じた形態の式を導出することができるが、本報告書では２つの特定の場合に焦点を絞らねばならない。
・円弧
・完全楕円
円の場合はｅ＝１であり、これは積分を非常に単純化する。
【数２１９】
ここで、ｅは偶数モードを、ｏは奇数モードを指す。さらに、中括弧内にある項のすべての組合せが可能である。単純明快な積分で、下式が与えられる。
【数２２０】
奇数角積分でも、同様の式を導出することができる。
【数２２１】
完全楕円の場合、ｅは式（Ｂ１）中で任意である。偶数角積分
【数２２２】
は、下式のように書くことができる。
【数２２３】
ここで、等角三角関数を使用して、サイン及びコサインの二乗を書き換えてある。さらに、サイン・コサインの積の法則、及び全三角関数が２πの周期性を有することを使用すると、下式が与えられる。
【数２２４】
被積分関数の対称性を調べると、下式のことを示すことができる。
【数２２５】
ここで、式（Ｂ１７）には基本積分が使用されている（［２，ｐ．３６６］参照）。
同じ対称性引数で、下式のことを示すことができる。
【数２２６】
【数２２７】
及び
【数２２８】
についてこの作業を根気よく繰り返すと、下式のことが示される。
【数２２９】
円（ｅ＝１）の場合は、（ｋ＝１）項のみがゼロではないことに留意されたい。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が、材料境界にて電磁場に少なくとも１つの不連続を引き起こすような様々な特性の材料を含み、当該方法が、
（ａ）前記電磁場の連続成分及び前記電磁場に対応するスケーリング電磁束密度の連続成分で演算するために、コントラスト電流密度の体積積分式を、場と材料の相互作用演算子を使用して前記コントラスト電流密度の成分を決定することによって、数値的に解くステップであって、前記スケーリング電磁束密度が、前記電磁場及び前記コントラスト電流密度の不連続成分のスケーリング合計として形成される、ステップと、
（ｂ）前記コントラスト電流密度の前記決定された成分を使用して、前記構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
を含む、方法。
【請求項２】
（ａ）前記電磁場の前記連続成分を抽出するために第１の連続成分抽出演算子を使用するステップと、
（ｂ）前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分を抽出するために第２の連続成分抽出演算子を使用するステップと、
をさらに含み、
前記場と材料の相互作用演算子が前記抽出された連続成分で演算する、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記構造が少なくとも１方向に周期的であり、前記電磁場の前記連続成分、前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分、前記コントラスト電流密度の前記成分、及び前記場と材料の相互作用演算子が、前記少なくとも１つの方向に対して、少なくとも１つの個々の有限フーリエ級数によってスペクトルドメインで表され、前記方法が、フーリエ係数を計算することによって、前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するステップをさらに含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
前記電磁場の前記連続成分及び前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分から、前記材料境界にて連続しているベクトル場を形成するステップをさらに含み、前記コントラスト電流密度の成分を決定する前記ステップが、前記ベクトル場で演算するために場と材料の相互作用演算子を使用することによって実行される、請求項１乃至３のいずれかに記載の方法。
【請求項５】
（ａ）前記材料境界に関して画定された前記構造の領域に局所法線ベクトル場を生成するステップと、
（ｂ）前記材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分を選択し、前記材料境界に対して法線方向の対応する電磁束密度の連続成分を選択するために、前記法線ベクトル場を使用することによって前記ベクトル場を構築することと、
（ｃ）前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するために、前記領域で前記法線ベクトル場の局所積分を実行するステップと、
をさらに含む、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
（ａ）前記材料境界に関して画定された前記構造の領域で局所ベクトル場を生成するステップと、
（ｂ）前記材料境界に対して法線方向の前記電磁場の前記不連続成分、及び前記材料境界に対して法線方向の前記コントラスト電流密度の前記不連続成分を選択するために、前記法線ベクトル場を使用するステップと、
（ｃ）前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するために、前記領域で前記法線ベクトル場の局所積分を実行するステップと、
をさらに含む、請求項１から３のいずれかに記載の方法。
【請求項７】
前記局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、前記連続成分のうち少なくとも１つをスケーリングすることを含む、請求項５から６のいずれかに記載の方法。
【請求項８】
前記局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、変換演算子を前記ベクトル場で直接使用して前記ベクトル場を前記法線ベクトル場に依存する基底から前記法線ベクトル場に依存しない基底へと変換することを含む、請求項５に従属の請求項５に記載の方法。
【請求項９】
局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、前記領域を、それぞれが個々の法線ベクトル場を有する複数の部分領域に分解することを含み、局所積分を実行する前記ステップが、前記部分領域それぞれの前記個々の法線ベクトル場のそれぞれで積分することを含む、請求項５から８のいずれかに記載の方法。
【請求項１０】
前記局所法線ベクトル場が生成されて、前記材料境界に局所的である前記領域内で、前記材料境界に対して法線方向の誘電率の成分、及び前記材料境界に対して接線方向の誘電率の少なくとも１つの他の異なる成分を使用して、前記電磁束密度を前記電場に関連させるステップをさらに含む、請求項５又は９のいずれかに記載の方法。
【請求項１１】
放射線によるオブジェクトの照明で生じる検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
（ａ）少なくとも１つの構造パラメータを推定するステップと、
（ｂ）前記少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
（ｃ）前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
（ｄ）前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
（ｅ）前記モデル電磁散乱特性が、請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法を使用して決定される、方法。
【請求項１２】
複数の前記モデル電磁散乱特性をライブラリ内で構成するステップをさらに含み、前記比較ステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させることを含む、請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱特性を比較する前記ステップとを反復することをさらに含み、前記構造パラメータが以前の反復で比較した前記ステップの前記結果に基づいて更新される、請求項１１又は１２に記載の方法。
【請求項１４】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
（ａ）前記オブジェクトを放射線で照明するように構成された照明システムと、
（ｂ）前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
（ｃ）（ｉ）少なくとも１つの構造パラメータを推定し、
（ｉｉ）前記少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
（ｉｉｉ）前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
（ｉｖ）前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成された処理装置と、
を備え、
前記処理装置が、請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法を使用して、前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成される、検査装置。
【請求項１５】
構造の電磁散乱特性を計算するために機械可読命令の１つ又は複数のシーケンスを含み、前記命令が１つ又は複数の処理装置に請求項１から１０のいずれかに記載の方法を実行させるようになされている、コンピュータプログラム。
【請求項１】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が、材料境界にて電磁場に少なくとも１つの不連続を引き起こすような様々な特性の材料を含み、当該方法が、
（ａ）前記電磁場の連続成分及び前記電磁場に対応するスケーリング電磁束密度の連続成分で演算するために、コントラスト電流密度の体積積分式を、場と材料の相互作用演算子を使用して前記コントラスト電流密度の成分を決定することによって、数値的に解くステップであって、前記スケーリング電磁束密度が、前記電磁場及び前記コントラスト電流密度の不連続成分のスケーリング合計として形成される、ステップと、
（ｂ）前記コントラスト電流密度の前記決定された成分を使用して、前記構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
を含む、方法。
【請求項２】
（ａ）前記電磁場の前記連続成分を抽出するために第１の連続成分抽出演算子を使用するステップと、
（ｂ）前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分を抽出するために第２の連続成分抽出演算子を使用するステップと、
をさらに含み、
前記場と材料の相互作用演算子が前記抽出された連続成分で演算する、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記構造が少なくとも１方向に周期的であり、前記電磁場の前記連続成分、前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分、前記コントラスト電流密度の前記成分、及び前記場と材料の相互作用演算子が、前記少なくとも１つの方向に対して、少なくとも１つの個々の有限フーリエ級数によってスペクトルドメインで表され、前記方法が、フーリエ係数を計算することによって、前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するステップをさらに含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
前記電磁場の前記連続成分及び前記スケーリング電磁束密度の前記連続成分から、前記材料境界にて連続しているベクトル場を形成するステップをさらに含み、前記コントラスト電流密度の成分を決定する前記ステップが、前記ベクトル場で演算するために場と材料の相互作用演算子を使用することによって実行される、請求項１乃至３のいずれかに記載の方法。
【請求項５】
（ａ）前記材料境界に関して画定された前記構造の領域に局所法線ベクトル場を生成するステップと、
（ｂ）前記材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分を選択し、前記材料境界に対して法線方向の対応する電磁束密度の連続成分を選択するために、前記法線ベクトル場を使用することによって前記ベクトル場を構築することと、
（ｃ）前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するために、前記領域で前記法線ベクトル場の局所積分を実行するステップと、
をさらに含む、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
（ａ）前記材料境界に関して画定された前記構造の領域で局所ベクトル場を生成するステップと、
（ｂ）前記材料境界に対して法線方向の前記電磁場の前記不連続成分、及び前記材料境界に対して法線方向の前記コントラスト電流密度の前記不連続成分を選択するために、前記法線ベクトル場を使用するステップと、
（ｃ）前記場と材料の相互作用演算子の係数を決定するために、前記領域で前記法線ベクトル場の局所積分を実行するステップと、
をさらに含む、請求項１から３のいずれかに記載の方法。
【請求項７】
前記局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、前記連続成分のうち少なくとも１つをスケーリングすることを含む、請求項５から６のいずれかに記載の方法。
【請求項８】
前記局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、変換演算子を前記ベクトル場で直接使用して前記ベクトル場を前記法線ベクトル場に依存する基底から前記法線ベクトル場に依存しない基底へと変換することを含む、請求項５に従属の請求項５に記載の方法。
【請求項９】
局所法線ベクトル場を生成する前記ステップが、前記領域を、それぞれが個々の法線ベクトル場を有する複数の部分領域に分解することを含み、局所積分を実行する前記ステップが、前記部分領域それぞれの前記個々の法線ベクトル場のそれぞれで積分することを含む、請求項５から８のいずれかに記載の方法。
【請求項１０】
前記局所法線ベクトル場が生成されて、前記材料境界に局所的である前記領域内で、前記材料境界に対して法線方向の誘電率の成分、及び前記材料境界に対して接線方向の誘電率の少なくとも１つの他の異なる成分を使用して、前記電磁束密度を前記電場に関連させるステップをさらに含む、請求項５又は９のいずれかに記載の方法。
【請求項１１】
放射線によるオブジェクトの照明で生じる検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
（ａ）少なくとも１つの構造パラメータを推定するステップと、
（ｂ）前記少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
（ｃ）前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
（ｄ）前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
（ｅ）前記モデル電磁散乱特性が、請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法を使用して決定される、方法。
【請求項１２】
複数の前記モデル電磁散乱特性をライブラリ内で構成するステップをさらに含み、前記比較ステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させることを含む、請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱特性を比較する前記ステップとを反復することをさらに含み、前記構造パラメータが以前の反復で比較した前記ステップの前記結果に基づいて更新される、請求項１１又は１２に記載の方法。
【請求項１４】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
（ａ）前記オブジェクトを放射線で照明するように構成された照明システムと、
（ｂ）前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
（ｃ）（ｉ）少なくとも１つの構造パラメータを推定し、
（ｉｉ）前記少なくとも１つの構造パラメータから少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
（ｉｉｉ）前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
（ｉｖ）前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成された処理装置と、
を備え、
前記処理装置が、請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法を使用して、前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成される、検査装置。
【請求項１５】
構造の電磁散乱特性を計算するために機械可読命令の１つ又は複数のシーケンスを含み、前記命令が１つ又は複数の処理装置に請求項１から１０のいずれかに記載の方法を実行させるようになされている、コンピュータプログラム。
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１２】
【図１３ｂ】
【図１３ｃ】
【図１４】
【図１５ｂ】
【図１５ｃ】
【図１６ａ】
【図１６ｂ】
【図１８】
【図２３】
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図１１】
【図１３ａ】
【図１５ａ】
【図１７】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１２】
【図１３ｂ】
【図１３ｃ】
【図１４】
【図１５ｂ】
【図１５ｃ】
【図１６ａ】
【図１６ｂ】
【図１８】
【図２３】
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図１１】
【図１３ａ】
【図１５ａ】
【図１７】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【公開番号】特開２０１２−２０４８３５（Ｐ２０１２−２０４８３５Ａ）
【公開日】平成２４年１０月２２日（２０１２．１０．２２）
【国際特許分類】
【外国語出願】
【出願番号】特願２０１２−６０２１９（Ｐ２０１２−６０２１９）
【出願日】平成２４年３月１６日（２０１２．３．１６）
【出願人】（５０４１５１８０４）エーエスエムエル ネザーランズ ビー．ブイ． (1,856)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２４年１０月２２日（２０１２．１０．２２）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２０１２−６０２１９（Ｐ２０１２−６０２１９）
【出願日】平成２４年３月１６日（２０１２．３．１６）
【出願人】（５０４１５１８０４）エーエスエムエル ネザーランズ ビー．ブイ． (1,856)
【Ｆターム（参考）】
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