微細構造の電磁散乱特性をモデル化する方法及び装置及び微細構造を再構築する方法及び装置
【課題】周期構造の電磁散乱特性の正確な数値計算を迅速に実行する。
【解決手段】構造の電磁散乱特性を計算する体積積分法（ＶＩＭ）の改良型収束は、電場ではなく、ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くことによって達成される。ベクトル場は、基底変換によって電場に関連付けることができ、電場が不連続部を有する材料の境界で連続することができる。ベクトル場の畳み込みは、有限離散畳み込みに従って畳み込み演算子を使用して実行する。可逆畳み込み及び基底変換演算子は、周期構造の材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、ベクトル場を電場に変換する。ベクトル場について体積積分を解いた後、追加の後処理ステップを使用して、ベクトル場から電場を得ることができる。ベクトル場は、連続的な成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、電場の場の成分と電束密度の組合せから構築することができる。
【解決手段】構造の電磁散乱特性を計算する体積積分法（ＶＩＭ）の改良型収束は、電場ではなく、ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くことによって達成される。ベクトル場は、基底変換によって電場に関連付けることができ、電場が不連続部を有する材料の境界で連続することができる。ベクトル場の畳み込みは、有限離散畳み込みに従って畳み込み演算子を使用して実行する。可逆畳み込み及び基底変換演算子は、周期構造の材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、ベクトル場を電場に変換する。ベクトル場について体積積分を解いた後、追加の後処理ステップを使用して、ベクトル場から電場を得ることができる。ベクトル場は、連続的な成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、電場の場の成分と電束密度の組合せから構築することができる。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
[0001] 本発明は、周期構造の電磁散乱特性の数値計算に関する。本発明は、例えばリソグラフィ装置のクリティカルディメンション（ＣＤ）性能を評価するために、例えば微細構造のメトロロジーに適用することができる。
【背景技術】
【０００２】
[0002] リソグラフィ装置は、所望のパターンを基板に、通常は基板の目標部分に適用する機械である。リソグラフィ装置は、例えば、集積回路（ＩＣ）の製造に使用可能である。このような場合、代替的にマスク又はレチクルとも呼ばれるパターニングデバイスを使用して、ＩＣの個々の層上に形成すべき回路パターンを生成することができる。このパターンを、基板（例えばシリコンウェーハ）上の目標部分（例えば１つ又は幾つかのダイの一部を含む）に転写することができる。パターンの転写は通常、基板に設けた放射感応性材料（レジスト）の層への結像により行われる。一般的に、１枚の基板は、順次パターンが与えられる隣接した目標部分のネットワークを含んでいる。従来のリソグラフィ装置は、パターン全体を目標部分に１回で露光することによって各目標部分が照射される、いわゆるステッパと、基板を所与の方向（「スキャン」方向）と平行あるいは逆平行に同期的にスキャンしながら、パターンを所与の方向（「スキャン」方向）に放射ビームでスキャンすることにより、各目標部分が照射される、いわゆるスキャナとを含む。パターンを基板にインプリントすることによっても、パターニングデバイスから基板へとパターンを転写することが可能である。
【０００３】
[0003] リソグラフィプロセスを監視するために、パターン付き基板のパラメータ、例えば基板内又は基板上に形成された連続層間のオーバレイ誤差を測定する必要がある。走査型電子顕微鏡及び様々な専用ツールの使用を含め、リソグラフィプロセスで形成された微細構造を測定するための様々な技術がある。専用検査ツールの一形態が、放射のビームを基板の表面上のターゲットに誘導し、散乱又は反射したビームの特性を測定するスキャトロメータである。基板によって反射又は散乱する前とその後のビームの特性を比較することにより、基板の特性を決定することができる。これは、例えば既知の基板特性に関連した既知の測定値のライブラリに格納されたデータと反射ビームを比較することによって実行することができる。スキャトロメータは２つの主なタイプが知られている。分光スキャトロメータは広帯域放射ビームを基板上に誘導し、特定の狭い角度範囲に散乱した放射のスペクトル（波長の関数としての強度）を測定する。角度分解スキャトロメータは単色放射ビームを使用し、散乱した放射の強度を角度の関数として測定する。
【０００４】
[0004] さらに一般的には、散乱した放射を構造のモデルから数学的に予測された散乱挙動と比較できると有用となり、これは予測された挙動が観察された実際のサンプルの散乱と一致するまで自由に設定し、変更することができる。残念ながら、原則的に数値手順によって散乱をモデリングする方法は知られているが、既知の技術の計算的負担によってこのような技術は実現不能になり、リアルタイムの再構築が望ましい、及び／又は関係する構造が１次元で周期的な単純な構造よりも複雑である場合に、特にそうである。
【発明の概要】
【０００５】
[0005] 半導体処理の分野では、周期構造の電磁散乱特性の正確な数値計算を迅速に実行することが望ましい。
【０００６】
[0006] 本発明の第１の態様によると、構造の反射係数などの電磁散乱特性を計算する方法が提供され、構造は少なくとも一方向ｘ、ｙに周期的であり、材料の境界で電磁場Ｅの不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、方法は、基底の変換によって電磁場Ｅに関連するベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含み、ベクトル場Ｆは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように材料境界にて連続している。
【０００７】
[0007] ベクトル場Ｆは、少なくとも一方向ｘ、ｙに関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表すことができ、体積積分方程式を数値的に解くステップは、畳み込み及び基底変換演算子Ｃでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電磁場Ｅの成分を決定するステップを含むことができる。
【０００８】
[0008] 本発明の第２の態様によると、放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法が提供され、方法は、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性は、第１の態様による方法を使用して決定される。
【０００９】
[0009] 本発明の第３の態様によると、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置が提供され、検査装置は、放射でオブジェクトを照明するように構成された照明システムと、照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、プロセッサであって、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成されたプロセッサとを備え、プロセッサは、第１の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される。
【００１０】
[0010] 本発明の第４の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトが提供され、命令は、１つ又は複数のプロセッサに第１の態様による方法を実行させるように構成される。
【００１１】
[0011] 本発明の第５の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算する方法が提供され、構造は少なくとも一方向ｘ、ｙに周期的であり、材料の境界で電磁場Ｅの不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、方法は、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、電磁場Ｅに関連し、それとは異なるベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含む。
【００１２】
[0012] 本発明の第６の態様によると、放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法が提供され、方法は、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性は、第５の態様による方法を使用して決定される。本発明の第７の態様によると、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置が提供され、検査装置は、放射でオブジェクトを照明するように構成された照明システムと、照明から生じる電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、プロセッサであって、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成されたプロセッサとを備え、プロセッサは、第５の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される。本発明の第８の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算する機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトが提供され、命令は、１つ又は複数のプロセッサに第５の態様による方法を実行させるように構成される。
【００１３】
[0013] 本発明のさらなる特徴及び利点、さらに本発明の様々な実施形態の構造及び動作を、添付の図面を参照しながら以下で詳細に説明する。本発明は本明細書で説明する特定の実施形態に限定されないことに留意されたい。このような実施形態は、本明細書では例示的目的のためにのみ提示されている。本明細書に含まれる教示に基づいて、追加の実施形態が当業者には明白になる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
[0014] 本明細書に組み込まれ、その一部を形成する添付の図面は本発明を図示し、説明とともに、さらに本発明の原理を説明し、当業者が本発明を作成し、使用できるような働きをする。
【図１】[0015]リソグラフィ装置を示す。
【図２】[0016]リソグラフィセル又はクラスタを示す。
【図３】[0017]第１のスキャトロメータを示す。
【図４】[0018]第２のスキャトロメータを示す。
【図５】[0019]スキャトロメータの測定値から１次元の周期的回折格子を再構築する一般的プロセスを示す。
【図６】[0020]モデル化したレジスト構造について、従来のＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び本発明の実施形態による体積積分法（ＶＩＭ）の精度対処理時間を図示したグラフを示す。
【図７】[0021]図６に示したものと同様であるが、モデル化したシリコン構造のデータを示す。
【図８】[0022]本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何学的形状を示す。
【図９】[0023]背景の構造を示し、層状媒体で入射場の相互作用を計算するグリーン関数の使用を図示する。
【図１０】[0024]ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベル方法のフローチャートである。
【図１１】[0025]先行技術で知られているようなＶＩＭ式を使用した更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１２】[0026]ＶＩＭ式を数値的に解くために連続的ベクトル場を使用する本発明の実施形態を示す。
【図１３】[0027]本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１４】[0028]本発明の実施形態によりＶＩＭを実行するためにプログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略的形式で示す。
【図１５】[0029]楕円形の断面のバイナリ格子セルの上面図及び側面図を示す。
【図１６】[0030]楕円形の断面の階段状格子セルの上面図及び側面図を示す。
【図１７】[0031]階段近似によって楕円を近似する手順を示す。
【図１８】[0032]ベンチマークモデル構造を示す。
【図１９】[0033]図１１に関して説明した先行技術の方法を使用して計算した先行技術のＶＩＭシステムの収束結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【図２０】[0034]図１９に示したものと同じデータから生成したタイミングの結果を示す。
【図２１】[0035]本発明の実施形態により生成され、改良された収束結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【図２２】[0036]本発明の実施形態により生成されたタイミングの結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【００１５】
[0037] 以下で述べる詳細な説明を図面との関連で理解することにより本発明の特徴及び利点がさらに明白になり、図面では全体を通して類似の参照文字が対応する要素を識別する。図面では、類似の参照番号が全体的に同一、機能的に類似、及び／又は構造的に類似の要素を示す。要素が最初に現れる図面を、対応する参照番号の最も左側の桁で示す。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
[0038] 本明細書は、本発明のフィーチャを組み込んだ１つ又は複数の実施形態を開示する。開示される実施形態は本発明を例示するにすぎない。本発明の範囲は開示される実施形態に限定されない。本発明は本明細書に添付される特許請求の範囲によって定義される。
【００１７】
[0039] 記載された実施形態、及び本明細書で「１つの実施形態」、「ある実施形態」、「例示的実施形態」などに言及した場合、それは記載された実施形態が特定のフィーチャ、構造、又は特性を含むことができるが、それぞれの実施形態が必ずしも特定のフィーチャ、構造、又は特性を含まないことがあることを示す。さらに、このようなフレーズは、必ずしも同じ実施形態に言及するものではない。さらに、ある実施形態に関連して特定のフィーチャ、構造、又は特性について記載している場合、明示的に記載されているか、記載されていないかにかかわらず、このようなフィーチャ、構造、又は特性を他の実施形態との関連で実行することが当業者の知識にあることが理解される。
【００１８】
[0040] 本発明の実施形態はハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア又はその任意の組合せで実施することができる。本発明の実施形態は、１つ又は複数のプロセッサで読み取り、実行することができる機械読み取り式媒体に記憶した命令として実施することもできる。機械読み取り式媒体は、機械（例えば、計算デバイス）で読み取り可能な形態で情報を記憶するか、伝送する任意の機構を含むことができる。例えば、機械読み取り式媒体は読み取り専用メモリ（ＲＯＭ）、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）、磁気ディスク記憶媒体、光記憶媒体、フラッシュメモリデバイス、電気、光、音響又は他の形態の伝搬信号（例えば、搬送波、赤外線信号、デジタル信号など）、及びその他を含むことができる。さらに、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令を、本明細書では特定の行為を実行するものとして記述することができる。しかし、このような記述は便宜的なものにすぎず、このような行為は実際には計算デバイス、プロセッサ、コントローラ、又はファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行する他のデバイスの結果であることを認識されたい。
【００１９】
[0041] しかし、このような実施形態についてさらに詳細に説明する前に、本発明の実施形態を実施できる例示的環境を提示することが有益である。
【００２０】
[0042] 図１は、リソグラフィ装置を概略的に示す。この装置は、放射ビームＢ（例えばＵＶ放射又はＥＵＶ放射）を調節するように構成された照明システム（イルミネータ）ＩＬと、パターニングデバイス（例えばマスク）ＭＡを支持するように構築され、特定のパラメータに従ってパターニングデバイスを正確に位置決めするように構成された第一ポジショナＰＭに接続された支持構造（例えばマスクテーブル）ＭＴと、基板（例えばレジストコートウェーハ）Ｗを保持するように構築され、特定のパラメータに従って基板を正確に位置決めするように構成された第二ポジショナＰＷに接続された基板テーブル（例えばウェーハテーブル）ＷＴと、パターニングデバイスＭＡによって放射ビームＢに与えられたパターンを基板Ｗの目標部分Ｃ（例えば１つ又は複数のダイを含む）に投影するように構成された投影システム（例えば屈折投影レンズシステム）ＰＬとを含む。
【００２１】
[0043] 照明システムは、放射の誘導、整形、又は制御を行うための、屈折、反射、磁気、電磁気、静電気型等の光学コンポーネント、又はその任意の組合せなどの種々のタイプの光学コンポーネントを含んでいてもよい。
【００２２】
[0044] 支持構造は、パターニングデバイスを支持、すなわちその重量を支えている。支持構造は、パターニングデバイスの方向、リソグラフィ装置の設計等の条件、例えばパターニングデバイスが真空環境で保持されているか否かに応じた方法で、パターニングデバイスを保持する。この支持構造は、パターニングデバイスを保持するために、機械的、真空、静電気等のクランプ技術を使用することができる。支持構造は、例えばフレーム又はテーブルでよく、必要に応じて固定式又は可動式でよい。支持構造は、パターニングデバイスが例えば投影システムなどに対して確実に所望の位置にくるようにできる。本明細書において「レチクル」又は「マスク」という用語を使用した場合、その用語は、より一般的な用語である「パターニングデバイス」と同義と見なすことができる。
【００２３】
[0045] 本明細書において使用する「パターニングデバイス」という用語は、基板の目標部分にパターンを生成するように、放射ビームの断面にパターンを与えるために使用し得る任意のデバイスを指すものとして広義に解釈されるべきである。ここで、放射ビームに与えられるパターンは、例えばパターンが位相シフト特徴又はいわゆるアシスト特徴を含む場合、基板の目標部分における所望のパターンに正確には対応しないことがある点に留意されたい。一般的に、放射ビームに与えられるパターンは、集積回路などの目標部分に生成されるデバイスの特定の機能層に相当する。
【００２４】
[0046] パターニングデバイスは透過性又は反射性でよい。パターニングデバイスの例には、マスク、プログラマブルミラーアレイ、及びプログラマブルＬＣＤパネルがある。マスクはリソグラフィにおいて周知のものであり、これには、バイナリマスク、レベンソン型(alternating)位相シフトマスク、ハーフトーン型(attenuated)位相シフトマスクのようなマスクタイプ、さらには様々なハイブリッドマスクタイプも含まれる。プログラマブルミラーアレイの一例として、小さなミラーのマトリクス配列を使用し、そのミラーは各々、入射する放射ビームを異なる方向に反射するよう個々に傾斜することができる。傾斜したミラーは、ミラーマトリクスによって反射する放射ビームにパターンを与える。
【００２５】
[0047] 本明細書において使用する「投影システム」という用語は、例えば使用する露光放射、又は液浸液の使用や真空の使用などの他の要因に合わせて適宜、例えば屈折光学システム、反射光学システム、反射屈折光学システム、磁気光学システム、電磁気光学システム及び静電気光学システム、又はその任意の組合せを含む任意のタイプの投影システムを網羅するものとして広義に解釈されるべきである。本明細書において「投影レンズ」という用語を使用した場合、これはさらに一般的な「投影システム」という用語と同義と見なすことができる。
【００２６】
[0048] 本明細書で示すように、本装置は透過タイプである（例えば透過マスクを使用する）。あるいは、装置は反射タイプでもよい（例えば上記で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイを使用する、又は反射マスクを使用する）。
【００２７】
[0049] リソグラフィ装置は、２つ（デュアルステージ）又はそれ以上の基板テーブル（及び／又は２つ以上のマスクテーブル）を有するタイプでよい。このような「マルチステージ」機械においては、追加のテーブルを並行して使用するか、１つ又は複数の他のテーブルを露光に使用している間に１つ又は複数のテーブルで予備工程を実行することができる。
【００２８】
[0050] リソグラフィ装置は、投影システムと基板との間の空間を充填するように、基板の少なくとも一部を水などの比較的高い屈折率を有する液体で覆えるタイプでもよい。液浸液は、例えばマスクと投影システムの間など、リソグラフィ装置の他の空間に適用することもできる。液浸技術は、投影システムの開口数を増加させるために当技術分野で周知である。本明細書で使用する「液浸」という用語は、基板などの構造を液体に沈めなければならないという意味ではなく、露光中に投影システムと基板の間に液体が存在するというほどの意味である。
【００２９】
[0051] 図１を参照すると、イルミネータＩＬは放射源ＳＯから放射ビームを受ける。放射源とリソグラフィ装置とは、例えば放射源がエキシマレーザである場合に、別々の構成要素であってもよい。このような場合、放射源はリソグラフィ装置の一部を形成すると見なされず、放射ビームは、例えば適切な誘導ミラー及び／又はビームエクスパンダなどを備えるビームデリバリシステムＢＤの助けにより、放射源ＳＯからイルミネータＩＬへと渡される。他の事例では、例えば放射源が水銀ランプの場合は、放射源がリソグラフィ装置の一体部分であってもよい。放射源ＳＯ及びイルミネータＩＬは、必要に応じてビームデリバリシステムＢＤとともに放射システムと呼ぶことができる。
【００３０】
[0052] イルミネータＩＬは、放射ビームの角度強度分布を調整するアジャスタＡＤを備えていてもよい。通常、イルミネータの瞳面における強度分布の外側及び／又は内側半径範囲（一般にそれぞれ、σ-outer及びσ-innerと呼ばれる）を調整することができる。また、イルミネータＩＬは、インテグレータＩＮ及びコンデンサＣＯなどの他の種々のコンポーネントを備えていてもよい。イルミネータを用いて放射ビームを調節し、その断面にわたって所望の均一性と強度分布とが得られるようにしてもよい。
【００３１】
[0053] 放射ビームＢは、支持構造（例えば、マスクテーブルＭＴ）上に保持されたパターニングデバイス（例えば、マスクＭＡ）に入射し、パターニングデバイスによってパターニングされる。マスクＭＡを横断した放射ビームＢは、投影システムＰＳを通過し、投影システムＰＬは、ビームを基板Ｗの目標部分Ｃ上に合焦させる。第二ポジショナＰＷと位置センサＩＦ（例えば、干渉計デバイス、リニアエンコーダ又は容量センサ）の助けを借りて、基板テーブルＷＴは、例えば、様々な目標部分Ｃを放射ビームＢの経路に位置決めできるように正確に移動できる。同様に、第一ポジショナＰＭと別の位置センサ（図１には明示されていない）を用いて、マスクライブラリからの機械的な取り出し後又はスキャン中などに放射ビームＢの経路に対してマスクＭＡを正確に位置決めできる。一般に、マスクテーブルＭＴの移動は、第一ポジショナＰＭの部分を形成するロングストロークモジュール（粗動位置決め）及びショートストロークモジュール（微動位置決め）の助けにより実現できる。同様に、基板テーブルＷＴの移動は、第二ポジショナＰＷの部分を形成するロングストロークモジュール及びショートストロークモジュールを用いて実現できる。ステッパの場合（スキャナとは対照的に）、マスクテーブルＭＴをショートストロークアクチュエータのみに接続するか、又は固定してもよい。マスクＭＡ及び基板Ｗは、マスクアライメントマークＭ１、Ｍ２及び基板アライメントマークＰ１、Ｐ２を使用して位置合わせすることができる。図示のような基板アライメントマークは、専用の目標部分を占有するが、目標部分の間の空間に位置してもよい（スクライブレーンアライメントマークとして周知である）。同様に、マスクＭＡ上に複数のダイを設ける状況では、マスクアライメントマークをダイ間に配置してもよい。
【００３２】
[0054] 図示のリソグラフィ装置は、以下のモードのうち少なくとも１つにて使用可能である。
１．ステップモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは、基本的に静止状態に維持される一方、放射ビームに与えたパターン全体が１回で目標部分Ｃに投影される（すなわち単一静的露光）。次に、別の目標部分Ｃを露光できるように、基板テーブルＷＴがＸ方向及び／又はＹ方向に移動される。ステップモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一静的露光で結像される目標部分Ｃのサイズが制限される。
２．スキャンモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは同期的にスキャンされる一方、放射ビームに与えられるパターンが目標部分Ｃに投影される（すなわち単一動的露光）。マスクテーブルＭＴに対する基板テーブルＷＴの速度及び方向は、投影システムＰＬの拡大（縮小）及び像反転特性によって求めることができる。スキャンモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一動的露光における目標部分の（非スキャン方向における）幅が制限され、スキャン動作の長さによって目標部分の（スキャン方向における）高さが決まる。
３．別のモードでは、マスクテーブルＭＴはプログラマブルパターニングデバイスを保持して基本的に静止状態に維持され、基板テーブルＷＴを移動又はスキャンさせながら、放射ビームに与えられたパターンを目標部分Ｃに投影する。このモードでは、一般にパルス状放射源を使用して、基板テーブルＷＴを移動させる毎に、又はスキャン中に連続する放射パルスの間で、プログラマブルパターニングデバイスを必要に応じて更新する。この動作モードは、以上で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイなどのプログラマブルパターニングデバイスを使用するマスクレスリソグラフィに容易に利用できる。
【００３３】
[0055] 上述した使用モードの組合せ及び／又は変形、又は全く異なる使用モードも利用できる。
【００３４】
[0056] 図２に示すように、リソグラフィ装置ＬＡは、リソセル又はクラスタとも呼ばれることがあるリソグラフィセルＬＣの一部を形成し、それは基板上で露光前及び露光後プロセスを実行する装置も含む。従来、これらはレジスト層を堆積させるスピンコータＳＣ、露光されたレジストを現像する現像器ＤＥ、チルプレートＣＨ及びベークプレートＢＫを含む。基板ハンドラ、すなわちロボットＲＯは入力／出力ポートＩ／Ｏ１、Ｉ／Ｏ２から基板を取り上げ、それを様々なプロセス装置間で移動させ、次にリソグラフィ装置のローディングベイ（loading bay）ＬＢに送出する。多くの場合まとめてトラックと呼ばれるこれらのデバイスは、トラック制御ユニットＴＣＵの制御下にあり、それ自体は監視制御システムＳＣＳによって制御され、それはリソグラフィ制御ユニットＬＡＣＵを介してリソグラフィ装置も制御する。したがってスループット及び処理の効率を最大化するために様々な装置を動作させることができる。
【００３５】
[0057] リソグラフィ装置によって露光される基板が正確かつ一貫して露光されるために、露光した基板を検査し、後続層間のオーバレイ誤差、ラインの太さ、クリティカルディメンション（ＣＤ）などのような特性を測定することが望ましい。誤差が検出された場合は、特に同じバッチの他の基板がまだ露光されないほど十分即座にかつ高速で検査を実行できる場合は、後続基板の露光を調節することができる。また、既に露光した基板を（歩留まりを改善するために）取り外して再加工するか、又は廃棄し、それにより欠陥があることが分かっている基板で露光を実行するのを回避することができる。基板の幾つかのターゲット部分のみに欠陥がある場合、良好であるそれらのターゲット部分のみでさらなる露光を実行することができる。
【００３６】
[0058] 基板の特性を、特に異なる基板又は同じ基板の異なる層の特性が層ごとにいかに変化するかを決定するために、検査装置が使用される。検査装置をリソグラフィ装置ＬＡに組み込むことができる、又はリソセルＬＣは独立型デバイスとすることができる。最も迅速な測定を可能にするために、検査装置は露光直後に露光したレジスト層の特性を測定することが望ましい。しかし、レジストの潜像はコントラストが非常に低く、（放射に露光してあるレジストの部分と露光していない部分との間には屈折率の非常に小さい差しかない）全ての検査装置が、潜像を有用に測定するほど十分な感度を有しているわけではない。したがって、露光後ベークステップ（ＰＥＢ）の後に測定を実行することができ、これは通常は露光した基板で実行する最初のステップであり、レジストの露光部分と非露光部分との間のコントラストを増大させる。この段階で、レジストの像を半潜像と呼ぶことができる。現像したレジスト像で（その時点でレジストの露光部分又は非露光部分は除去されている）又はエッチングなどのパターン転写ステップの後で測定することも可能である。後者の見込みは、欠陥がある基板を再加工する見込みを制限するが、それでも有用な情報を提供することができる。
【００３７】
[0059] 図３は、本発明のある実施形態に使用できるスキャトロメータを示す。これは、放射を基板Ｗに投影する広帯域（白色光）放射プロジェクタ２を備える。反射した放射はスペクトロメータ検出器４へと渡され、これは鏡面反射した放射のスペクトル１０（波長の関数としての強度）を測定する。このデータから、検出されるスペクトルを生じる構造又はプロファイルを処理ユニットＰＵによって再構築することができる。先行技術のスキャトロメータでは、これは、ＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び非線形回帰によって、又は図３の下部に図示されたようなシミュレートしたスペクトルのライブラリとの比較によって実行することができる。本発明によるスキャトロメータでは、ベクトル積分方程式を使用する。概して、再構築するために構造の全体的形状を知り、幾つかのパラメータは、構造を作成したプロセスの知識から仮定して、スキャトロメータのデータから決定するべき構造のパラメータはわずかしか残らない。このようなスキャトロメータは、垂直入射スキャトロメータ又は斜め入射スキャトロメータとして構成することができる。
【００３８】
[0060] 本発明のある実施形態で使用できる別のスキャトロメータが、図４に示されている。このデバイスでは、放射源２によって放出された放射が、レンズシステム１２を使用して干渉フィルタ１３及び偏光器１７を通して集束し、部分反射面１６によって反射して、好ましくは少なくとも０．９、さらに好ましくは少なくとも０．９５の高い開口数（ＮＡ）を有する顕微鏡の対物レンズ１５を介して基板Ｗに集束する。液浸スキャトロメータは、開口数が１を超えるレンズを有することさえある。反射した放射は次に、散乱スペクトルを検出させるために部分反射面１６を通って検出器１８内に伝達される。検出器は、レンズシステム１５の焦点距離にある逆投影された瞳面１１に位置付けることができるが、瞳面は、代わりに補助光学系（図示せず）で検出器に再結像することができる。瞳面は、放射の半径方向位置が入射角度を画定し、角度位置が放射の方位角を画定する面である。検出器は、基板ターゲット３０の２次元角度散乱スペクトルを測定できるように、２次元検出器であることが好ましい。検出器１８は、例えばＣＣＤ又はＣＭＯＳセンサのアレイでよく、例えば１フレーム当たり４０ミリ秒の積分時間を使用することができる。
【００３９】
[0061] 例えば、入射放射の強度を測定するために、基準ビームを使用することが多い。そのために、放射ビームがビームスプリッタ１６に入射すると、その一部がビームスプリッタを通って基準ビームとして基準ミラー１４に向かって伝達される。次に、基準ビームは同じ検出器１８の異なる部分へと投影される。
【００４０】
[0062] 例えば４０５〜７９０ｎｍ又はさらに低く、２００〜３００ｎｍなどの範囲の対象となる波長を選択するために、１組の干渉フィルタ１３が使用可能である。干渉フィルタは、１組の様々なフィルタを備えるのではなく、調整可能とすることができる。干渉フィルタではなく格子を使用することができる。
【００４１】
[0063] 検出器１８は、１つの波長（又は狭い波長範囲）で散乱光の強度を、複数の波長で別個に、又はある波長範囲にわたって積分された強度を測定することができる。さらに、検出器は横方向磁気光及び横方向電気分極光の強度及び／又は横方向磁気光と横方向電気分極光の位相差を別個に測定することができる。
【００４２】
[0064] 広帯域光源（すなわち光の周波数又は波長、したがって色の範囲が広い光源）を使用することが可能であり、これは大きいエタンデュを生じ、複数の波長を混合できるようにする。広帯域の複数の波長は、好ましくはそれぞれΔλの帯域幅及び少なくとも２Δλ（すなわち帯域幅の２倍）の間隔を有する。幾つかの放射「源」は、ファイバ束を使用して分割されている延在した放射源の様々な部分でもよい。この方法で、角度分解散乱スペクトルを複数の波長で平行して測定することができる。３次元スペクトル（波長と２つの異なる角度）を測定することができ、これは２次元スペクトルより多くの情報を含む。これによって、より多くの情報を測定することができ、それはメトロロジープロセスのロバスト性を高める。このことは、参照により全体を本明細書に組み込むものとするＥＰ１，６２８，１６４Ａでさらに詳細に説明されている。
【００４３】
[0065] 基板Ｗ上のターゲット３０は格子でよく、それは現像後にバーがレジストの実線で形成されるように印刷される。バーは、代替的に基板にエッチングしてもよい。このパターンは、リソグラフィ投影装置、特に投影システムＰＬの色収差に敏感であり、照明の対称性及びこのような収差の存在は、印刷された格子の変化に現れる。したがって、印刷された格子のスキャトロメータデータを使用して、格子を再構築する。線の幅及び形状などの格子のパラメータは、印刷ステップ及び／又は他のスキャトロメータのプロセスの知識から、処理ユニットＰＵによって実行される再構築プロセスに入力することができる。
【００４４】
[0066] 上述したように、ターゲットは基板の表面上にある。このターゲットは、格子又は２次元アレイの実質的に長方形の構造における一連の線という形状をとることが多い。メトロロジーにおける厳密な光回折理論（rigorous optical diffraction theories）の目的は、ターゲットから反射した回折スペクトルを効率的に計算することである。すなわち、ＣＤ（クリティカルディメンション）の均一性及びオーバレイメトロロジーのために、ターゲット形状の情報を入手する。オーバレイメトロロジーは、基板の２つの層が位置合わせされているか否かを判定するために、２つのターゲットのオーバレイを測定する測定システムである。ＣＤの均一性とは、リソグラフィ装置の露光システムがいかに機能しているかを決定するために、単にスペクトル上で格子の均一性を測定することである。特にＣＤ、すなわちクリティカルディメンションとは基板上に「書かれた」オブジェクトの幅（例えば図５に示すターゲットの幅）であり、リソグラフィ装置が物理的に基板上に書くことができる限界である。
【００４５】
[0067] ターゲット形状（マーク形状とも呼ぶ）の測定方法は通常、１次元周期構造について、図５を参照して以下のように実行される。すなわち、ターゲットの形状を推定する。この推定形状にα（０）、β（０）、χ（０）などの異なるパラメータを与える。これらのパラメータはそれぞれ、例えば各側壁の角度、ターゲットの最上部の高さ、ターゲットの最上部における幅、ターゲットの底部における幅などでよい。
【００４６】
[0068] 通常、先行技術のデバイスでは、ＲＣＷＡなどの厳密な光回折法を使用して、推定されたターゲット形状の推定回折パターン又はモデル回折パターンなどの散乱特性を計算する。推定又はモデル回折パターンの代わりに、又はそれを入手するために、推定又はモデル反射又は透過係数などの他の電磁散乱特性を使用することができる。
【００４７】
[0069] 次に、基板上のターゲットを放射ビームで照明し、回折ビームを検出することによって、基板上にある実際のターゲットの回折パターンを測定し、そのパターンはターゲットの特性に依存する。この測定回折パターン及びモデル回折パターンを、コンピュータなどの計算システムに転送する。
【００４８】
[0070] 次に、測定された回折パターン及びモデル回折パターンを比較し、差があれば全て「メリット関数」計算に送り込む。
【００４９】
[0071] 特定のターゲットパラメータの感度を回折パターンの形状に関連付けるメリット関数を使用して、新しい形状パラメータを推定する。これは図５の底部形状にさらに近い形状を生成することができ、これはα（０）、β（１）、χ（１）などの新しいパラメータを有する。これらをステップ１に反復的に送り戻し、所望の精度を達成するまでステップ１から５を反復し、それにより近似オブジェクト構造を決定する。
【００５０】
[0072] この反復プロセスの計算時間は主に、順方向回折モデルによって、すなわち推定されたターゲット形状から厳密な光回折理論を使用して推定モデル回折パターンを計算することによって決定される。
【００５１】
[0073] 様々な推定ターゲット形状について複数のモデル回折パターンを計算し、ステップ２でライブラリに格納することができる。次にステップ４で、測定回折パターンをステップ２で生成したライブラリのモデル回折パターンと比較する。一致が見られた場合は、次に一致するライブラリパターンを生成するために使用した推定ターゲット形状が、近似オブジェクト構造であると決定することができる。したがって、ライブラリを使用し、一致が見られる場合は、反復する必要がないことがある。あるいは、ライブラリ検索を使用して形状パラメータの粗い組を決定し、その後にメリット関数を使用して１回又は複数回反復し、近似オブジェクト構造を決定するように形状パラメータのさらに正確な組を決定する。
【００５２】
[0074] ２次元周期構造のＣＤ再構築には、通例、順方向回折モデルにＲＣＷＡを使用するが、体積積分法（ＶＩＭ）、時間領域有限差分法（ＦＤＴＤ）、及び有限要素法（ＦＥＭ）も報告されている。
【００５３】
[0075] ＲＣＷＡ内でスペクトル離散化方式を使用する。このスペクトル離散化の収束を改良するために、いわゆるリーの法則が適用される［３，４］。あるいは、法線ベクトル場形式［６］を使用して、スペクトル離散化の収束を改良することができる［７，８］。
【００５４】
[0076] ＲＣＷＡの主要な問題の１つは、２次元周期構造のために大量の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間及びメモリが必要なことである。というのは、固有値／固有ベクトルのシーケンスの問題を解き、連結する必要があるからである。ＦＤＴＤ及びＦＥＭの場合、ＣＰＵの時間も通常は長すぎる。
【００５５】
[0077] （両方とも参照により全体を本明細書に組み込むものとする［２］、米国特許第６，８６７，８６６Ｂ１号及び米国特許第７，０３８，８５０Ｂ２号で開示されているような）既存の体積積分法は、メッシュ細分に関して遅い収束を示す全空間離散化方式に、又は高調波の数の増加に関して不良な収束を示すスペクトル離散化方式に基づく。代替法として、収束を改良するために発見的方法を組み込んだスペクトル離散化方式が提案されている［２］。
【００５６】
[0078] ＶＩＭのために解くべき線形系は、ＲＣＷＡと比較してはるかに大きいが、反復的な方法で解く場合は、幾つかのベクトルの記憶とともに行列ベクトル積しか必要ではない。したがって、ＲＣＷＡではメモリの使用量が通常ははるかに少なくなる。障害となり得るのは、行列ベクトル積自体の速度である。ＶＩＭにリーの法則を適用すべき場合は、幾つかの逆部分行列が存在するので、行列ベクトル積がはるかに遅くなる。あるいは、リーの法則を無視し、ＦＦＴを使用して、高速行列ベクトル積に到達することができるが、不良な収束の問題が残る。
【００５７】
[0079] 本発明は、改良型体積積分法（ＶＩＭ）の実施形態に関する。本発明のある実施形態を使用して、レジスト格子上の現実的な２次元周期的ＣＤ再構築が、ＲＣＷＡより１０倍から１００倍高速であることが実証されている一方、メモリの使用量はＲＣＷＡより１０倍から１００倍少ない。本発明を詳細に説明する前に、本発明によって提供される速度の改良を図示する図６及び図７を参照しながら、結果を提示する。
【００５８】
[0080] 図６は、従来のＲＣＷＡ６０２と本発明のある実施形態による体積積分法（ＶＩＭ）６０４について、精度対処理時間を図示するグラフを示す。図６は、レジスト構造での１次反射係数のモデルの結果を示す。縦軸は、｜Ｒｐ−Ｒｐ＊｜／｜Ｒｐ＊｜によって与えられる相対誤差ＲＥであり、ここでＲｐは平行分極（電場が入射面に平行である）の反射係数であり、Ｒｐ＊は５桁の精度を達成するのに十分なモードでのＲＣＷＡの収束した解である。横軸は秒単位の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間ｔであり、これはＶＩＭの式に対応する線形系を１つ解く時間である。ＲＣＷＡの結果のグラフ６０２は、グラフ６０４によって示された本発明のある実施形態によるＶＩＭの結果より長いＣＰＵ時間を示す。例えば、１０−２の相対誤差では、矢印６０６によって指示されているように、本発明のこの実施形態によって与えられるＣＰＵ時間に２０倍の改良がある。したがって図６は、相対誤差（又は精度）の全範囲にわたって、本発明は１つの解を計算するＣＰＵ時間の短縮につながることができることを示す。ＣＰＵ時間の短縮は、本発明を実際に適用するために非常に重要である。通常、その目的は約１秒で通常は１４，０００の解を終了することである。１秒がターゲットとなるのは、これが生産環境においてウェーハ上で連続的なスキャトロメータ測定を実行する時間だからである。このような短時間で計算を終了することにより、ウェーハの生産プロセスを減速せずにリアルタイムの分析を実行することが可能である。１４，０００という数字は、１８０という散乱角度に変更すべきモデルのパラメータ数（６又は７）を掛け、入射波の２つの独立分極を掛け、ターゲットの実際の形状を推定するために６の非線形解を掛けることによる。図６のデータは、図２１及び図２２に提示して以下で検討するデータを導出するために使用したものと同じデータセットから導出される。
【００５９】
[0081] 図７は、図６に示したものと類似のデータであるが、モデル化したシリコン構造及び０次反射係数のグラフを示す。同じ軸を使用するが、相対誤差の縦軸の対象となる範囲が狭くなり、時間の横軸の対象となる範囲が広くなっている。グラフ７０２はＲＣＷＡの結果であり、グラフ７０４は、本発明のある実施形態によるＶＩＭを使用した結果である。この場合も、１０−２の相対誤差に関して、矢印７０６で示すように本発明によって与えられるＲＣＷＡに対して２０倍の改良がある。
【００６０】
[0082] 図８は、本発明のある実施形態により再構築できる散乱幾何学的形状を概略的に図示している。基板８０２は、ｚ方向に層状になった媒体の下部分である。他の層８０４及び８０６が示されている。ｘ及びｙに周期的な２次元格子８０８が、層状媒体の最上部に示されている。ｘ、ｙ及びｚ軸は８１０でも示されている。入射場８１２が構造８０２から８０８と相互作用し、それによって散乱し、反射場８１４をもたらす。したがって構造は少なくとも一方向ｘ、ｙで周期的であり、異なる材料の間の材料境界において、入射場Ｅｉｎｃ及び散乱場ＥＳ、電磁場の成分の総和を備える電磁場Ｅｔｏｔに不連続部を引き起こすように、様々な特性の材料を含む。
【００６１】
[0083] 図９は、背景の構造を示し、入射場と層状媒体の相互作用を計算するために使用できるグリーン関数を概略的に図示する。層状媒体８０２から８０６は、図８と同じラベルが与えられている。ｘ、ｙ及びｚ軸も、入射場８１２とともに８１０で示されている。正反射場９０２も示されている。点源（ｘ’，ｙ’，ｚ’）９０４は、グリーンの関数と場９０６を生成する背景との相互作用を表す。この場合、点源９０４が最上層８０６より上にあるので、周囲の媒体との最上界面８０６からの背景反射９０８が１つのみである。点源が層状媒体内にある場合は、上方向と下方向の両方に背景反射がある（図示せず）。
【００６２】
[0084] 解くべきＶＩＭの式は以下の通りである。
【数１】
【００６３】
[0085] この式では、入射場Ｅｉｎｃは入射角、分極及び振幅の既知の関数であり、Ｅｔｏｔは未知で解が計算される全電場であり、Ｊｃはコントラスト電流密度であり、＝Ｇはグリーンの関数（３×３の行列）であり、χは（εｒ（ｘ，ｙ，ｚ，）／εｒ，ｂａｃ（ｚ）−１）によって与えられるコントラスト関数であり、ここでεｒは構造の比誘電率、εｒ，ｂａｃは背景媒体の比誘電率、χは格子の外側ではゼロである。
【００６４】
[0086] グリーンの関数＝Ｇ（ｘ，ｘ’，ｙ，ｙ’，ｚ，ｚ’）は、８０２から８０６を含む層状媒体について知られており、計算可能である。グリーンの関数は、ｘｙ面における畳み込み及び／又はモード分解（ｍ１，ｍ２）を示し、＝Ｇのｚ軸に沿った主要な計算上の負担は畳み込みである。
【００６５】
[0087] 離散の場合、全電場はブロッホ／フロケモードでｘｙ面に拡張する。χを掛けると、（ａ）ｘｙ面における離散畳み込み（２次元ＦＦＴ）及び（ｂ）ｚにおける積になる。ｘｙ面におけるグリーンの関数の相互作用は、モード毎の相互作用である。ｚにおけるグリーンの関数の相互作用は、１次元（１Ｄ）ＦＦＴと複雑さＯ（ＮｌｏｇＮ）で実行できる畳み込みである。
【００６６】
[0088] ｘｙにおけるモード数はＭ１Ｍ２であり、ｚにおけるサンプル数はＮである。
【００６７】
[0089] 効率的な行列とベクトルの積は複雑さＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎｌｏｇ（Ｍ１Ｍ２Ｎ））を有し、記憶の複雑さはＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎ）である。
【００６８】
[0090] 反復的ソルバを使用し、クルイロフの部分空間法に基づいてＡｘ＝ｂのＶＩＭ解決法を実行する。例えばＢｉＣＧｓｔａｂ（１）法（Stabilized BiConjugate Gradient method）であり、これは通常、以下のステップを有する。
剰余誤差がｒｎ＝ｂ−Ａｘｎと定義されるように定義する
剰余誤差を介して更新ベクトルνｎを計算する
解を更新する：ｘｎ＋１＝ｘｎ＋αｎνｎ
剰余誤差を更新するｒｎ＋１＝ｒｎ−αｎＡνｎ
【００６９】
[0091] 図１０は、ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。これは、体積積分を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。最高レベルでは、最初のステップは前処理１００２であり、入力を読み、ＦＦＴを準備することを含む。次のステップは、解１００４を計算することである。最後に、反射係数を計算する後処理１００６を実行する。ステップ１００４は様々なステップを含み、これは図１０の右手側にも示されている。これらのステップは、入射場の計算１００８、グリーンの関数の計算１０１０、更新ベクトルの計算１０１２、解及び剰余誤差の（例えばＢｉＣＧｓｔａｂを使用した）更新１０１４、及び収束に到達したかを見る試験１０１６である。収束に到達していない場合は、制御が、更新ベクトルの計算であるステップ１０１２にループして戻る。
【００７０】
[0092] 図１１は、図１０のステップ１０１２に対応する更新ベクトルの計算ステップを図示し、先行技術で知られている通りの体積積分法を使用し、これは電場Ｅの体積積分方程式を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。
【００７１】
[0093] ステップ１１０２は、４次元（４Ｄ）アレイ内でベクトルを再編成する。このアレイでは、第１次元は３つの要素Ｅｘ、Ｅｙ及びＥｚを有する。第２次元はｍ１の全値の要素を有する。第３次元は、ｍ２の全値の要素を有する。第４次元はｚの各値の要素を有する。したがって４Ｄアレイは、全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面における）スペクトル表示を記憶する。図１１のステップ１１０２から下がる３つの平行な点線の矢印は、それぞれＥｘ、Ｅｙ及びＥｚに１つずつ、各層ｚで実行されるステップ１１０４から１１１０による３つの２Ｄアレイの処理に対応する。これらのステップは、材料特性で電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面における）スペクトル表示の畳み込みを実行し、下式（１．３）に対応するコントラスト電流密度の（ｘｙ面における）スペクトル表示を計算する。詳細には、ステップ１１０４は、３つの２Ｄアレイ（２次元はｍ１及びｍ２に関する）を取り出すことを含む。ステップ１１０６で、３つのアレイのそれぞれについて２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、空間領域にする。ステップ１１０８で、３つのアレイそれぞれに、フーリエ表示の打ち切りによってフィルタリングしたコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）の空間表示を掛ける。畳み込みは、ステップ１１１０で２ＤのＦＦＴを（ｘｙ面における）スペクトル領域に戻し、スペクトルコントラスト電流密度（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）を生じることで終了する。ステップ１１１２で、計算したスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００７２】
[0094] 次にモードごとに（すなわちｚにおける全サンプルポイントで同時に）、ステップ１１１４から１１２２を実行する。ステップ１１１６の横から下がる３つの平行な点線の矢印は、下式（１．１）で積分項を計算することに対応し、これはコントラスト電流密度との背景相互作用であり、それ自体は構造との全電場の相互作用から生じる。これは、（ｚ方向に関する）スペクトル領域での乗法を使用し、（ｚ方向に関する）空間グリーンの関数での（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）の畳み込みによって実行される。
【００７３】
[0095] 詳細には、ステップ１１１４でスペクトルコントラスト電流密度（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）をｘ、ｙ及びｚのそれぞれについて３つの１Ｄアレイとして取り出す。ステップ１１１６で、３つのアレイのそれぞれについて１ＤのＦＦＴを順方向に計算して、ｚ方向に関するスペクトル領域にし、（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｋｚ）を生成することによって、畳み込みを開始し、ここでｋｚはｚ方向に関するフーリエ変数である。ステップ１１１８で、コントラスト電流密度の打ち切ったフーリエ変換に、（ｚ方向に関する）スペクトル領域内で空間グリーン関数＝ｇｆｒｅｅのフーリエ変換を掛ける。ステップ１１２０で、１ＤのＦＦＴを逆方向に実行し、ｚ方向に関する空間領域にする。ステップ１１２２で、ｚに関する空間領域内の背景反射（図９の９０８参照）を加える。このようにグリーン関数から背景反射を分離することは従来からの技術であり、このステップは、当業者に認識されるように、ランク１の投影を加えることによって実行することができる。各モードが処理されるので、このように計算された全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の更新ベクトルをステップ１１２４で４Ｄアレイに戻す。
【００７４】
[0096] 次のステップは、ベクトル内で４Ｄアレイを再編成し１１２６、これはステップ１１０２「４Ｄアレイ内でベクトルを再編成する」とは、逆の動作であるという点で異なり、各１次元指数は４次元指数に一意に関連する。最後にステップ１１２８で、ステップ１１２６からのベクトル出力を入力ベクトルから引き、これは式（１．１）の右手側の減算に対応する。入力ベクトルは、図１１のステップ１１０２で入るベクトルであり、（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）を含む。
【００７５】
[0097] 図１１で説明した方法の問題は、ＲＣＷＡの結果に対して図１０の方法を使用して収束のプロットを示す図１９に関して以下で実証するように、不良な収束につながることである。この不良な収束は、打ち切ったフーリエ空間表示の誘電率及び電場に同時発生する飛越しによって引き起こされる。以上で検討したように、ＶＩＭ法では、収束の問題を克服するためにリーの逆法則は適切ではない。というのは、ＶＩＭでは逆法則の複雑さが、ＶＩＭの数値的解に必要な大量の逆演算のせいで非常に大きい計算上の負担につながるからである。本発明の実施形態は、リーによって説明されたような逆法則の使用に頼ることなく、同時発生の飛越しによって引き起こされる収束の問題を克服する。逆法則を回避することにより、本発明はＶＩＭのアプローチで反復的に線形系を解くために必要な行列ベクトル積の効率を犠牲にしない。
【００７６】
[0098] 図１２は、ＶＩＭの式を数値的に解くために連続的なベクトル場を使用する本発明のある実施形態を図示する。これは、基底の変換によって電場Ｅに関連するベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含み、ベクトル場Ｆは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、１つ又は複数の材料境界にて連続している。ベクトル場Ｆが、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに対する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、体積積分方程式を数値的に解くステップは、畳み込み及び基底変換演算子Ｃでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電場Ｅの成分を決定するステップと、畳み込み演算子Ｍでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電流密度Ｊを決定するステップとを含む。畳み込み及び基底変換演算子Ｃは可逆的であり、少なくとも１つの方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を備え、材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、ベクトル場Ｆを電場Ｅに変換するように構成される。畳み込み演算子Ｍは、少なくとも一方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を備える。電流密度Ｊはコントラスト電流密度でよく、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数で表される。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行される。畳み込み及び基底変換演算子Ｃ及び畳み込み演算子Ｍは、有限の結果を生成するように有限の離散的畳み込みに従って演算する。
【００７７】
[0099] 図１２は、中間ベクトル場ＦについてＶＩＭシステムを解くステップ１２０２を示し、後処理ステップ１２０４は畳み込み及び基底変換演算子Ｃでベクトル場Ｆの近似解を畳み込むことによって全電場Ｅを得る。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行することができる。図１２は、右手側にＶＩＭシステムを反復的に解くために効率的な行列ベクトル積１２０６から１２１６を実行する略図も示す。これは、ステップ１２０６の中間ベクトル場Ｆで開始する。初めてＦを設定する時には、それをゼロから開始することができる。その初期のステップの後、Ｆの推定は反復的ソルバ及び残差によって誘導される。次に、ｚ方向の各サンプル点について２ＤのＦＦＴにより中間ベクトル場Ｆでの畳み込み及び基底変換演算子Ｃの畳み込みを使用して、全電場Ｅを計算する１２０８。畳み込み及び基底変換演算子Ｃは、中間ベクトル場Ｆの基底を全電場Ｅの基底に変換するように構成される。また、ステップ１２１０で、中間ベクトル場Ｆでの材料畳み込み演算子Ｍの畳み込みを使用して、コントラスト電流密度Ｊを計算する。ステップ１２１０は、ｚの各サンプル点で実行され、畳み込みは２ＤのＦＦＴにより実行される。ステップ１２１２では、畳み込み及びグリーン関数Ｇとコントラスト電流密度Ｊとの間のランク１の投影を計算して、散乱電場ＥＳを生成する。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行することができる。演算１２１４は、Ｅから２つの計算結果ＥＳを引き、Ｅｉｎｃの近似を得る１２１６。ステップ１２０２及び１２０６から１２１６は、以下で検討するように式（１．４）に対応する。ステップ１２０６から１２１６は更新ベクトルを生成するので、後処理ステップ１２０４を使用して、全電場Ｅの最終値を生成する。
【００７８】
[0100] 全電場Ｅを計算するために、別個の後処理ステップ１２０４ではなく、ステップ１２０８ですべての更新ベクトルの総和を記録することができる。しかし、そのアプローチは方法の記憶要件を増大させ、その一方、後処理ステップ１２０４は反復的ステップ１２０６から１２１６と比較して、記憶又は処理時間の点で高くつかない。
【００７９】
[0101] 図１３は、本発明のある実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。図１３のフローチャートは、図１２の右手側（ステップ１２０６から１２１６）に対応する。
【００８０】
[0102] ステップ１３０２で、４Ｄアレイ内でベクトルを再編成する。次に、ｚのサンプル点ごとにステップ１３０４から１３１８を実行する。ステップ１３０４では、３つの２Ｄアレイを４Ｄアレイから取り出す。これらの３つの２Ｄアレイ（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）はそれぞれ、（下式（２．４４）で説明するような）連続的なベクトル場Ｆの２つの接線成分Ｆｔ１、Ｆｔ２及び法線成分Ｆｎに対応し、それぞれがｍ１及びｍ２に対応する２次元を有する。したがってベクトル場Ｆは、法線ベクトル場ｎを使用して少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の電磁場Ｅの連続的成分をフィルタリングし、また少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の電磁束密度Ｄの連続的成分をフィルタリングすることによって、電磁場Ｅ及び対応する電磁束密度Ｄの場の成分の組合せから構築される。ステップ１３０６で、（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）で表されるスペクトル連続ベクトル場の畳み込みが、２ＤのＦＦＴをステップ１３０６で順方向に計算し、（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）で表される３つのアレイのそれぞれについて空間領域にすることによって開始する。ステップ１３０８では、ステップ１３０６から取得したフーリエ変換（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）に、空間領域内で空間乗法演算子Ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛ける。ステップ１３１０では、ステップ１３０８で取得した積を２ＤのＦＦＴ逆方向によってスペクトル領域に変換する。次に、ステップ１３１２でスペクトル全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）を４Ｄアレイに戻す。さらに、コピーを以下で検討する減算演算１３２２へと順方向に送り込む。
【００８１】
[0103] ステップ１３１４では、ステップ１３０６から取得したフーリエ変換（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）に空間領域内で乗算演算子Ｍを掛ける。ステップ１３１４の計算の積をステップ１３１６で、２ＤのＦＦＴ逆方向によってスペクトル領域に変換し、（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）で表されるスペクトルコントラスト電流密度を生成する。ステップ１３１８で、スペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００８２】
[0104] 既知の入射電場Ｅｉｎｃの近似の計算を終了するために、ステップ１１１４から１１２２で、図１１の対応する同一の番号のステップに関して説明したのと同じ方法でモードｍ１、ｍ２ごとにグリーン関数と背景との相互作用を計算する。
【００８３】
[0105] ステップ１３２０では、背景＝Ｇのスペクトルグリーン関数及びスペクトルコントラスト電流密度Ｊの結果としての畳み込みを４Ｄアレイに戻す。最後にステップ１３２２で、既知の入射電場Ｅｉｎｃの近似の計算を、ステップ１３１２から順方向に送り込まれた全電場からステップ１３２０の結果を引くことで終了し、最終ステップ１３２４はベクトル内で４Ｄアレイを再編成する。すなわち４Ｄアレイの各４次元指数はベクトルの１次元指数に一意に関連付けられる。
【００８４】
[0106] 図１４は、本発明のある実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略的形態で示す。コンピュータシステムは、中央処理装置（ＣＰＵ）１５０２、及びプログラムの実行中にプログラム命令１５０６及びデータ１５０８を記憶するために使用されるランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１５０４を備える。コンピュータシステムは、プログラムの実行前及び実行後にプログラム命令及びデータを記憶するために使用されるディスク記憶装置１５１０も含む。
【００８５】
[0107] プログラム命令１５０６は高速フーリエ変換ルーチン１５１２、行列乗算関数１５１４、加算及び減算１５１６などの他の算術関数、及びアレイ編成関数１５１８を含む。データ１５０８は、ＶＩＭシステムを解く計算中に使用される４Ｄアレイ１５２０及び２Ｄアレイ１５２２を備える。入力及び出力用の他の従来からのコンピュータコンポーネントは示されていない。
【００８６】
[0108] 図１５は、均質な半分の空間上に楕円形の断面があるバイナリ格子セルの上面図１５０２及び側面図１５０４を示す。
【００８７】
[0109] 図１６は、均質な半分の空間上に楕円形の断面がある階段状格子セルの上面図１６０２及び側面図１６０４を示す。
【００８８】
[0110] 図１７は、次元ごとに奇数１７０６（白い支持体）及び偶数１７０８（中実／影の支持体）の投影演算子を導入することによって横断面内の階段状近似１７０４によって楕円１７０２を近似する手順を示す。一方向の投影演算子に他方向の投影演算子を掛けることにより、隔離されたボックスのパターンが現れる。これによって各隔離ボックスの支持体上に適切な挙動を有する連続関数を構築することができる。
【００８９】
[0111] 図１８は、ベンチマークモデル構造を示す。格子の１つのセルが、シリコン基板１８０２、底反射防止コーティング（ＢＡＲＣ）１８０４及びレジスト格子要素１８０６で示されている。
【００９０】
[0112] 放射及びモデルパラメータは以下の通りである。
波長：λ＝５００ｎｍ
ピッチｘ＆ｙ：λ×λ＝５００ｎｍ、×５００ｎｍ
フットプリント：０．１５λ×０．１５λ＝７５ｎｍ×７５ｎｍ
高さ：０．４３６λ＝２１８ｎｍ
充填：レジスト
背景：Ｓｉ上にＢＡＲＣ（９０ｎｍ）
θ，φ：８．１３°、４５°
分極：平行
ここでθは、ｚ軸に対する入射角であり、φは入射放射の方位角である。
【００９１】
[0113] 図１９は、図１１に関して説明した方法を使用して計算する先行技術のＶＩＭシステムの収束結果対ＲＣＷＡの計算を示す。図１１の縦軸は｜Ｒｐ−Ｒｐ＊｜／｜Ｒｐ＊｜によって与えられる相対誤差ＲＥであり、ここでＲｐは平行分極の反射係数であり、電場は入射面に平行であり、Ｒｐ＊は５桁の精度を達成するのに十分なモードでのＲＣＷＡの収束解である。横軸はモード数ＮＭであり、これは一方向で打ち切ったフーリエ級数の項の数であり、他の方向で同一のモード数を使用する。幾つかのグラフが示され、それぞれがｚで異なる数のサンプル点に対応する。グラフ１９０２は２つのサンプル点、グラフ１９０４は４つのサンプル点、グラフ１９０６は８つのサンプル点、グラフ１９０８は１６のサンプル点である。３２、１６４及び１２８のサンプル点のグラフは、１６のサンプル点のグラフ１９０８をオーバレイする。
【００９２】
[0114] 通常、ｚの８又は１６のサンプル点は、リソグラフィプロセス構造のシミュレーションでレジストを備える構造に使用され、７から９のモードは、−Ｎから＋Ｎのモード指数に対応して使用され、ここでＮ＝３又は４である。金属又はシリコンなどのさらに高いコントラストの材料には、場を適切に説明するためにさらに多数のモードが必要である。
【００９３】
[0115] 図１９の全グラフの大きい相対誤差は、体積積分法を使用した不良な収束を示し、これは上述したように誘電率及び電場で同時発生する飛越しの効果である。以上で検討したように、ＶＩＭシステムでは、収束の問題を克服するためにリーの逆法則を使用することが、計算を限定することになる多数の行列反転のせいで実際的ではない。
【００９４】
[0116] 図２０は、図１９に示したものと同じデータから導出したが、縦軸が秒単位のＣＰＵ時間ｔ、横軸がモード数ＮＭであるグラフでタイミングの結果を示す。グラフ２００２から２０１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。ｘの記号２０１６は、同じ構造のＲＣＷＡ計算の結果である。
【００９５】
[0117] 図２１は、図１２及び図１３に関して以上で検討した方法を使用して、本発明のある実施形態により大幅に改良された収束を示す。図２１のグラフを図１９のグラフと比較されたい。しかし、図２１の縦の縮尺の方が広い範囲にまたがり、図１９に示したものより相対誤差が２桁以上少ないことを示すことに留意されたい。グラフ２１０２から２１１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。
【００９６】
[0118] 図２２は、図２０と同じ軸であるが、図１２及び図１３に関して以上で検討した方法を使用して、本発明のある実施形態により生成されたデータのタイミング情報を示す。グラフ２２０２から２２１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。ｘの記号２２１６は、同じ構造のＲＣＷＡ計算の結果である。
【００９７】
[0119] ＣＰＵ時間ｔ対モード数ＮＭは、図２０に示したものと同様であることが分かる。
【００９８】
[0120] したがって図２１及び図２２は、本発明が体積積分法を使用した数値的解の収束を大幅に改良することを明白に示す。
【００９９】
[0121] 本発明の実施形態は、ＲＣＷＡよりも必要とするメモリ資源もはるかに少ない。ＲＣＷＡの記憶装置の要件は３７５＊（（Ｍ１＊Ｍ２）２）＊の精密度である。ＶＩＭの記憶装置の要件は、約６０＊（Ｍ１＊Ｍ２＊Ｎ）＊の精密度である。ここで、ｘのモード数はＭ１、ｘのモード数はＭ２、ｚのサンプル数はＮである。ＶＩＭの典型的な作業点は、Ｎ≒４＊（Ｍ１，２／ピッチｘ，ｙ）＊の高さである。
表１は、メモリの使用のために取得した結果を示す。
【表１】
【０１００】
[0122] 表１のデータを生成するために、以下の条件を使用した。
ピッチｘ＝ピッチｙ
Ｍ１＝Ｍ２
高さ／ピッチ＝０．４３６
精密度＝複合倍
ＶＩＭ：作業点で演算
【０１０１】
[0123] 表１は、典型的な格子ではＶＩＭの方がＲＣＷＡより記憶装置の要求が低いことを明白に示す。
【０１０２】
[0124] さらなる実施形態について以下で説明する。
【０１０３】
序
[0125] 体積積分方程式法（ＶＩＭ）は、２つの式の組で構成される。最初の式は、入射場及びコントラスト電流密度に関して全電場を説明する積分表示であり、後者はグリーン関数と相互作用する。すなわち、
【数２】
の場合に下式となる。
【数３】
【０１０４】
[0126] さらに、＝Ｇは背景媒体のスペクトルグリーン関数を指し、これはｚ方向に平面層化し、ｅ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はｘｙ面のスペクトル基底に書かれた全電場Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、ｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はこれもｘｙ面のスペクトル基底に書かれたコントラスト電流密度Ｊｃ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指す。
【０１０５】
[0127] 第２の式は全電場とコントラスト電流密度との関係であり、これは構成内に存在する材料によって画定された構成関係である。すなわち下式となる。
【数４】
【０１０６】
[0128] ここで、Ｊｃはコントラスト電流密度を指し、ωは角周波数、ε（ｘ，ｙ，ｚ）は構成の誘電率、εｂ（ｚ）は層状背景の誘電率であり、Ｅは全電場を指し、全て空間基底で書かれている。後者の式をｘｙ面のスペクトル基底に変換することが、本文書の主な焦点である。
【０１０７】
[0129] 単刀直入なアプローチは、［１，２］で提案されているように、式（１．２）をスペクトル領域に直接変換することである。すなわち下式になる。
【数５】
【０１０８】
[0130] ここでＭ１ｌ及びＭ２ｌは、Ｅ及びＪｃという有限フーリエ表示を考慮したスペクトルの下限であり、Ｍ１ｈ及びＭ２ｈはスペクトルの上限である。さらに、χｓ（ｋ，ｌ，ｚ）は横（ｘｙ）面に対するコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）のフーリエ係数である。しかし、スペクトル基底で場と材料の相互作用を扱う際の主な数値的問題の１つは、実空間の単純な積式が、（数値導入の場合のように）積変数の一方又は両方の表示が有限（又は打ち切った）フーリエ展開を有する場合に、常にフーリエ空間で畳み込みによって正確に再現されるわけではないことを観察することである。さらに詳細には、積の両方の変数がいわゆる同時発生の相補的飛越し状態を示す場合は、打ち切ったフーリエ展開にとって標準的な畳み込みである「ローランの法則」より、「逆法則」の方がはるかに良好な精度特性を有することが示されている。この観察は、ＲＣＷＡの状況で２Ｄ及び３Ｄの場と材料の相互作用について、リー［３，４］によってさらに詳細に計算されている。
【０１０９】
[0131] ＶＩＭ内では、これらの観察が等しく当てはまる。電場とコントラスト電流密度のスペクトル離散を採用しているので、類似の問題に直面している。Ｅ及びコントラスト関数の飛越しが同時発生するが、これらは相補的ではない。というのは、コントラスト関数が、背景に対して摂動する幾何学的形状の支持体の外側ではゼロだからである。したがって、リーの法則の基本原理を慎重に解釈する必要がある。さらに、ＶＩＭ内の別の主な問題は、逆法則の効率である。ローランの法則は、ＦＦＴ導入により計算の複雑さは低いが、逆法則は通常、完全な行列とベクトルの積につながり、これはローラン［５］によって提案された近似法則の［２］で観察されるように、ＶＩＭの効率を非常に低下させる。したがって、スペクトル基底の精度を犠牲にせずに、畳み込み構造を保持できる方法を探すことが望ましい。そのために、以下の形態の変更ｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式を公式化し、
【数６】
について下式を解くように提案する。
【数７】
【０１１０】
[0132] さらに、＝Ｇは、背景媒体のスペクトルグリーン関数を指し、演算子Ｃε及びＶεは、１Ｄ及び／又は２ＤのＦＦＴにより効率的な行列とベクトルの積を可能にする演算子である。
【０１１１】
２ 調査
２．１ 準備
[0133] 全電場とコントラスト電流密度との関係は、マクスウェルの方程式及び背景構成の概念から導出される。背景の選択は、この背景に関してグリーン関数を探し出す能力に関係する。したがって通常、背景は平面層状媒体などの単純化した構成である。ここで、層化はｚ方向に生じ、全体に一定の透磁率を有して、したがって誘電率しか変動しない材料で構成されると仮定する。アンペア・マクスウェルの方程式を求めて、一次源がない状態で下式になる。
【数８】
【０１１２】
[0134] ここで、Ｈは磁場強度、ωは角周波数、Ｄは電束密度、εは誘電率、Ｅは電場強度である。
【０１１３】
[0135] 次に、背景の誘電率をεｂで示すと、コントラスト電流密度Ｊは下式で定義される。
【数９】
【０１１４】
[0136] さらに、正規化した量ｑを下式のように定義したい。
【数１０】
【０１１５】
[0137] ここで、χはコントラスト関数である。この概念で、下式を導入する。
【数１１】
【０１１６】
[0138] ここで、Ｉは単位作用素である。
【０１１７】
２．２ 逆法則の基本原理
[0139] 周期ｐで１Ｄ周期関数Ｖ（ｘ）、及び係数νｎ，ｎ∈Ｚで対応するフーリエ級数を考察してみる。これらの間の関係は下式によって与えられる。
【数１２】
【０１１８】
[0140] さらに、これも周期ｐで１Ｄ周期関数Ｋ（ｘ）、及び対応するフーリエ係数ｋｎを導入する。
【０１１９】
[0141] フーリエ係数ｋｎ及びνｎに関して積Ｋ（ｘ）Ｖ（ｘ）を近似することに関心がある。Ｋ（ｘ）及びＶ（ｘ）が連続的な周期関数である場合、フーリエ理論は下式のことを伝えてくれる。
【数１３】
【０１２０】
[0142] ここで、下式の通りである。
【数１４】
【０１２１】
[0143] ここで、級数はＫ及びＶの連続性により、ノルムで収束する。この法則はローランの法則又は畳み込み法則として知られている。さらに、例えば、
【数１５】
のようにチルド記号で示すが、（全ての数値的導入のように）有限（又は打ち切った）フーリエ級数のＫ（ｘ）Ｖ（ｘ）の近似に関心がある場合は、
【０１２２】
[0144] 有限フーリエ級数Ｖ（ｘ）から有限フーリエ級数のＫ（ｘ）Ｖ（ｘ）の収束する近似を作成できるかという疑問が生じる。したがって、下式になるように、係数ｃｎを構築できるかである。
【数１６】
【０１２３】
[0145] ここで、下式の通りである。
【数１７】
【０１２４】
[0146] 〜Ｖ（ｘ）の有限フーリエ級数の係数が集合｛−Ｎ，・・・，Ｎ｝に限定され、〜Ｋ（ｘ）の係数が集合｛−２Ｎ，・・・，２Ｎ｝で必要であることに留意されたい。これは、多くの畳み込みの問題のケースであり、ここでＶは規定された畳み込み核Ｋのフィルタで変換する必要がある信号を表す。この有限ローランの法則は、行列とベクトルの積を介して実施することができ、ここで係数ｋｎは行列内に配置され、係数νｎは列ベクトルとして構成される。νｎの係数がその指数ｎに従って構成されると、係数ｋｎの行列はテプリッツ行列である。このテプリッツ行列によって、順方向及び逆方向高速フーリエ変換（ＦＦＴ）による効率的な行列とベクトルの積が可能になる。
【０１２５】
[0147] リーによる論文［３，４］は、関数Ｖ（ｘ）及び／又は関数Ｋ（ｘ）がいずれでも連続的である場合は、式（２．１３）の有限ローランの法則を適用できることを実証している。さらに、Ｖ（ｘ）が周期の有限数の点で不連続であり、Ｋ（ｘ）がそれらの点の近傍で連続している場合は、有限ローランの法則も当てはまる。このような場合は、Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）がフーリエ因数分解可能であると言う。しかし、Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）が両方とも不連続の点がある、すなわち関数Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）がいわゆる同時発生の飛越しを有する場合、有限ローランの法則は不良な近似特性を有する。
【０１２６】
[0148] １つの特殊なケースでは、リーは、逆法則として知られ、近似特性の向上につながる別の法則があることを示している。この特殊なケースは、Ｋ（ｘ）及びＶ（ｘ）が同じ点に不連続部を有するが、その不連続部が相補的である、すなわちＫ（ｘ）及びＶ（ｘ）の不連続部は、Ｋ（ｘ）とＶ（ｘ）の積が連続であるような状況の周囲で繰り返す。法則を構築するために、関数Ｗ（ｘ）＝Ｋ（ｘ）Ｖ（ｘ）であることに気づく。これで、Ｗ（ｘ）及び核１／Ｋ（ｘ）に適用されたローランの法則は、Ｖ（ｘ）の係数につながる。すなわち下式になる。
【数１８】
【０１２７】
[0149] ここで、κｎは１／Ｋ（ｘ）のフーリエ級数の係数であり、ｗｎはＷ（ｘ）のフーリエ級数の係数である。Ｗ（ｘ）が連続しているので、Ｗ（ｘ）／Ｋ（ｘ）の有限フーリエ級数の近似を得るために有限ローランの法則を適用することができ、これは係数κｎのテプリッツ行列Ｔ及び係数ｗｎのベクトルにつながり、従って下式となる。
【数１９】
【０１２８】
[0150] したがってＷ（ｘ）及び１／Ｋ（ｘ）はフーリエ因数分解可能である。最後に、行列Ｔを反転させると、下式になる。
【数２０】
【０１２９】
[0151] したがって、「逆法則」という名称になる。
【０１３０】
２．３ ２Ｄの周期的単位セルの軸に沿って位置合わせされた縁部がある単一のブリックに関する変更リーの法則
[0152] ｘｙ面で周期的構成の長方形の単位セル内にある長方形領域上で、固定されたｚ位置での背景媒体が一定で、コントラスト関数が非ゼロの連続関数、例えば定数である構成を考察してみる。さらに、長方形領域が単位セルと同じ方位を有すると仮定する。χの支持体の形状を画定するために、下式を導入する。
【数２１】
【０１３１】
[0153] 次に、ｚ方向に沿った固定位置で、背景に対する誘電率及びその逆数を、（材料が等方性、すなわち誘電率がスカラーであると仮定して）以下のように定義することができる。
【数２２】
【０１３２】
[0154] ここで、χｃは連続的関数又は定数であり、（ｘ０，ｙ０）は長方形支持体の中心位置であり、下式になる。
【数２３】
【０１３３】
[0155] これはεｒ，ｂ・εｒ，ｂ−１＝１という条件の結果である。
【０１３４】
[0156] 次に、有限フーリエ空間に畳み込み演算子〜Ｐｘ及び〜Ｐｙを導入し、これは下式のように（スペクトルベースで）任意の場ｖに作用する。
【数２４】
【０１３５】
[0157] これは、
【数２５】
及び、
【数２６】
の場合であり、これは２Ｄフーリエ係数の整数指数である。さらに下式がある。
【数２７】
【０１３６】
[0158] ここで、ａ及びｂはそれぞれｘ及びｙ方向の単位セルの寸法であり、ｘ及びｙ方向のパルス関数の支持体が積分間隔内にあると仮定する。
【０１３７】
[0159] 空間領域内で、正規化した電束と電場のｘ成分間に以下の関係がある。
【数２８】
【０１３８】
[0160] これは、下式のようなそのスペクトルの対応物に直接つながることになる。
【数２９】
【０１３９】
[0161] ここで、Ｉは単位作用素を表し、Ｅｘ及び＾Ｄｘの上の〜は有限フーリエ表示を指す。しかし、この式は、誘電率関数及び電場が同時発生の飛越しを有するという事実を完全に無視し、それはこの近似の性能を甚だしく低下させる。したがって、次にローランの法則と逆法則の組合せに到達するために、リーの推論の方針［３，４］に従う。
以下の関係式から開始する。
【数３０】
【０１４０】
[0162] ＾Ｄｘはｘ方向に連続し、したがってΠΔｘの乗算をスペクトル領域内で演算子〜Ｐｘと交換できることに気づく。しかしｙ方向では、上式に同時発生の飛越しが観察される。パルス関数ΠΔｙは空間投影演算子であるので、等べき特性により、及び〜Ｐｘがｙ方向では定数乗数としてのみ作用し、ΠΔｙと交換可能であるという事実により逆に構築することができる。このような場合、Ｉ＋ＡΠΔｙの逆数はＩ＋ＢΠΔｙの形式であり、ここでＢは以下の代数特性の結果である。
【数３１】
【０１４１】
[0163] 上式から、（Ｂ＋Ａ＋ＢＡ）＝０となる、すなわちＢ＝−Ａ（Ｉ＋Ａ）−１である。さらに、〜Ｐｘ〜＾Ｄｘの有限スペクトル表示の空間表示をＰｘ＾Ｄｘとし、Ｐｙでも類似の表記となる。これらの表記で、以上の推論の方針に従い、下式に到達する。
【数３２】
【０１４２】
[0164] この時点で、乗算演算子ΠΔｙはＰｙで表す有限ローランの法則に対してスペクトルの対応物を有する。さらに、Ｐｘ及びＰｙが異なる指標で作用することから、演算子（Ｉ＋＾χｃＰｘ）−１はＰｙと交換可能である。
【０１４３】
[0165] これで、両方とも有限フーリエ級数に関して表された正規化した電束と電場は、以下の関係になる。
【数３３】
ここで、ｚ成分は、Ｅｚがｘｙ面で連続しているという観察により、こうなる。体積積分方程式の場合は、全電場Ｅ及び正規化したコントラスト電流密度ｑにしか関心がない。後者の場合は下式となる。
【数３４】
【０１４４】
[0166] ここで、＾χｃとχｃの間の関係を採用した。
【０１４５】
[0167] Ｅからｑを得るために以上の行列とベクトルの積に逆演算子（Ｉ＋＾χｃＰｘ）−１及び（Ｉ＋＾χｃＰｙ）−１が存在するので、全体的な体積積分方程式の行列ベクトル積は数値的な複雑さが非常に増大してしまう。したがって、これらの逆関数がもたらす精度の上昇を犠牲にせずに、それを回避することが非常に好ましい。したがって、Ｅに対して以下の関係を有する新しいベクトル場Ｆを導入することを提案する。
【数３５】
【０１４６】
[0168] これは、第１式についてはｘ方向に沿って、第２式についてはｙ方向に沿って１ＤのＦＦＴにより実施することができる。
【０１４７】
[0169] これで、ｑとＦの間の関係は下式のようになる。
【数３６】
【０１４８】
[0170] これはｘｙ面で２ＤのＦＦＴにより実施することができる。
【０１４９】
[0171] これで、ＥとＦの関係及びｑとＦの関係は両方とも、有限ローランの法則に従って畳み込み演算子を有し、これによってその行列ベクトル積が効率的になる。というのは、１Ｄ及び２ＤのＦＦＴ（の組合せ）によって実施できるからである。したがって、Ｅではなくベクトル場Ｆについて体積積分方程式を解き、追加の後処理ステップを介して式（２．３６）から（２．３８）へ電場Ｅを得る。先行技術の手順と比較したこの手順の変化は、今回は１つの（ｑのみの）演算子ではなく２つの（すなわちＥに１つ、ｑに１つの）演算子を、及び後処理ステップを使用することである。しかし、本発明の実施形態による新しい手順のこれらの２つの演算子は、先行技術の手順で１つの演算子よりはるかに効率的に実施される。
【０１５０】
２．４ 法線ベクトル場の定式化
[0172] 以上の変更リーの法則に関する検討は、ＦＦＴによる計算の低い複雑さは、コントラスト関数の幾何学的形状のタイプをかなり制限することを示す。したがって、ＦＦＴが場と材料の相互作用式の優勢な演算であり続けるフレームワークを探し出すことが最も重要である。論文［６］で適切な開始点を探し出した。それを進める概念の１つは、誘電率関数の幾何学的形状の縁部及び隅部に対応する隔離された点又は線という例外がある可能性があるが、どこでも連続的である補助ベクトル場を導入することである。これは、以前のセクションの状況と同様であり、そこでは有限ローランの法則の形態で収束が良好な畳み込みを可能にした（他の）中間連続ベクトル場Ｆも導入していた。しかし、有意の違いは、［６］が線形系を解くために補助ベクトル場を使用することを教示せず、かわりに［６］は線形系を解く基底としてＥを使用するように教示していることである。
【０１５１】
[0173] 一方のコントラスト電流密度Ｊ（又はｑ）及び電場Ｅをスペクトル領域の畳み込みの形態で連続ベクトル場Ｆに関連させる１組の式を設定することが可能である。Ｆは連続的であるので、それで演算する畳み込みは有限ローランの法則の形態をとり、したがってＦＦＴによって実行することができる。その方法で、Ｆが基本的未知数である１組の式に到達し、その未知数に対して系を解き、追加の後処理ステップによって電場及び／又はコントラスト電流密度を取得し、そこから構成の所望の散乱特性、例えば反射係数を導出することができる。
【０１５２】
[0174] 前置きの検討から、ＦとＪの関係は一方ではＥとＤの、他方ではＦの関係の結果である。［６］の表示では、その概念は以下の関係式を確立するものである。
【数３７】
【０１５３】
[0175] ベクトル場Ｆは、電場の場の成分と電束密度の成分との組合せから構築される。材料界面での境界条件から、電場の接線成分と電束密度の法線成分とが連続し、材料界面の隅部及び縁部に対応する点及び線の例外がある可能性があることが分かっている。Ｅ及びＤのこれらの連続成分をフィルタリングするために、実数値法線ベクトル場を導入する。この法線ベクトル場ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）は以下の特性を有する。
・各材料界面と直交方向に向いている。
・空間内の各点に単位長を有する。
【０１５４】
[0176] 以上に加えて、このベクトル場を画定する他の制限はないが、何らかの形態の連続性など、他の特性を含むと都合がよい。
【０１５５】
[0177] ベクトル場ｎを使用して、電束密度の不連続成分をフィルタリングすることができ、その結果、連続的なスカラー場Ｄｎ＝（ｎ，Ｄ）となり、ここで（．，．）はスカラー積を表す。さらに、法線ベクトル場から、２つのいわゆる接線ベクトル場ｔ１及びｔ２を探し出すことができ、これはｎとともに３Ｄ空間の各点で正規直交基底を形成する。例えば、ｎｘ及びｎｙを下式のように構築できる法線ベクトル場ｔ１のｘ及びｙ成分とする。
【数３８】
ここで、ｕｘ及びｕｙはそれぞれｘ及びｙ方向に沿った単位ベクトルを指す。最後に、ｎとｔ１とのクロス乗積を介してベクトル場ｔ２が生成される。
【０１５６】
[0178] 接線ベクトル場を使用して、下式のように電場の連続成分を抽出することができる。
【数３９】
【０１５７】
[0179] ［６］の後、次に下式のように連続ベクトル場Ｆを構築する。
【数４０】
【０１５８】
[0180] 法線ベクトル場ｎは、下式のように演算子Ｐｎの定義を生成する。
【数４１】
【０１５９】
[0181] ここで、ｖは任意の３Ｄベクトル場である。法線ベクトル場ｎの特性から、Ｐｎは投影演算子であり、したがって等べき、すなわちＰｎＰｎ＝Ｐｎであることが分かる。同様に、下式のように演算子ＰＴを導入することができる。
【数４２】
これも投影演算子である。次に、ベクトル場Ｆから式（２．４０）の演算子を構築するためにこれらの演算子Ｐｎ及びＰＴを使用できる方法を示す。
【０１６０】
[0182] 一方で電場と電束密度の間の空間領域関係、他方でベクトル場Ｆの定義から開始する。下式がある。
【数４３】
【０１６１】
[0183] ここで、Ｍεは、通常は非等方性である誘電率テンソルεを掛けた乗算演算子であり、Ｍε−１は、誘電率関数の（点別）逆数を掛けた乗算演算子である。
【０１６２】
[0184] 最初に、ＥとＦの関係を確立する。というのは、下式があるからである。
【数４４】
【０１６３】
[0185] 後者の式を再構成し、Ｐｎの等べきを採用すると、下式が得られる。
【数４５】
【０１６４】
[0186] これで、上式では式の両辺が演算子Ｐｎの範囲に属することが分かる。投影演算子の１つの重要な特性は、投影演算子がその等べきのせいでその範囲の単位作用素で一意に識別されることである。したがって、Ｐｎの範囲からのマッピングとしての左辺をＰｎの範囲に制限すると、左辺の演算子を反転して、下式に到達することができ、ここで制限が可能であるのは、ＰｎがＥに作用する演算子の両辺に現れるからである。
【数４６】
ここで、（ＰｎＭεＰｎ）−１はＰｎの範囲の（ＰｎＭεＰｎ）の逆数、すなわち（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎである。逆演算子の存在について、以下で確立する。
【０１６５】
[0187] したがって式（２．４０）の線形演算子Ｃεは下式によって与えられる。
【数４７】
【０１６６】
[0188] 同様の方法で、電束密度とベクトル場Ｆの間の関係を導出することができる。
【数４８】
【０１６７】
[0189] 第２の式では、次にＥを除去するために式（２．５４）を採用することができる。すなわち、下式である。
【数４９】
【０１６８】
[0190] したがって、下式となる。
【数５０】
【０１６９】
[0191] この時点で、（ＰｎＭεＰｎ）−１という例外がある可能性があるが、全ての演算子、すなわちＰｎ、ＰＴ及びＭεは空間領域の点別乗算演算子であることを認識することが重要である。さらに、誘電率プロファイル内の飛越しは、法線ベクトル場の（生じ得る）飛越しと同じ位置では発生しない。しかし、複数の投影演算子（すなわちＰｎ及び／又はＰＴ）又は複数の材料演算子（例えばＣε及びＭε）が係わる積では、同時発生の飛越しが発生することが可能である。さらに、投影演算子の空間等べき特性は、有限フーリエ級数展開では維持されない。したがって、フーリエ領域で演算子を構築する前に、空間領域で全等べき特性を計算する。これを達成する最も単純な方法は、乗算演算子の各組合せ（積）が再び乗算演算子になることを認識することである。したがって、全演算子Ｃε及び演算子εＣεの各項について、単一の乗算演算子を構築することを目指す。それが達成されると、空間領域の各乗算演算子がスペクトル領域の畳み込み演算子になり、これは全て連続ベクトル場Ｆで作用するので、有限ローランの法則によって実施することができる。
【０１７０】
２．４．１ 演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１
[0192] 次に演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１に注目する。これが点別乗算演算子であることを示し、その式を導出する。
【０１７１】
[0193] 投影演算子Ｐｎの定義から、下式を容易に導出することができる。
【数５１】
【０１７２】
[0194] これは、（ｎ，εｎ）が、誘電率関数のエネルギー特性により決してゼロにならないスカラー場であるからである。すなわち、可能な全ての電場Ｅの（Ｅ，ε＊Ｅ＊）は電力密度である。したがって、スカラー場の逆数は、単に（ｎ，εｎ）−１＝１／（ｎ，εｎ）＝ζによって与えられる。従って下式となる。
【数５２】
【０１７３】
２．４．２ 等方性の場合の法線ベクトル場の定式化
[0195] 等方性媒体の場合、演算子Ｍεはスカラー乗算であり、それにより一方の演算子Ｐｎ及びＰＴと他方のＭεが交換可能である。さらに、演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１＝ＰｎＭ１／ε＝Ｍ１／εＰｎであり、ここでＭ１／εは、εの（スカラー）逆数の乗算である。これらの観察から、演算子Ｃεは下式になる。
【数５３】
【０１７４】
[0196] さらに、演算子εＣεは下式になる。
【数５４】
【０１７５】
２．４．３ バイナリ格子の法線ベクトル場の定式化
[0197] バイナリ格子とは、その全高にわたって均一な断面を有する格子である。ｚが媒質の層化の方向であり、格子が間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］内に画定されると仮定すると、後者の間隔内で格子構造の誘電率関数はｘ及びｙのみの関数である。図１５を参照されたい。ｚの空間離散、又は間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］に専用のスペクトル離散を使用すると、全体的にｚ方向に沿った単位ベクトルに平行な接線ベクトル場の１つを選択することができる。法線ベクトル場及び第２の接線ベクトル場は、これで基本的に２次元ベクトル場となる。すなわちｚ方向に垂直であり、ｘ及びｙ座標にのみ依存する。法線ベクトル場を決定すると、第２の接線ベクトル場は法線ベクトル場とｚ方向の単位ベクトルとのクロス乗積の結果となる。このように、法線及び接線ベクトル場を生成する問題は、法線ベクトル場のみを生成することへと軽減される。さらに、場と材料の相互作用の計算は、ｘｙ面での２Ｄ畳み込みの形態をとり、これはｚ方向に対して分離される。法線ベクトル場は多くの方法で生成することができる。ＲＣＷＡの状況で［７，８］で提案されている。
【０１７６】
２．４．４ 実施例：等方性バイナリ格子の場と材料の相互作用行列の係数
[0198] 長方形の単位セルｘ∈［−ａ／２，ａ／２］， ｙ∈ ［−ｂ／２，ｂ／２］を考察してみる。間隔ｚ∈［ｚ０，ｚ１］の場合、誘電率関数はε（ｘ，ｙ）によって与えられる。さらに、ｎｘ（ｘ，ｙ）及びｎｙ（ｘ，ｙ）を法線ベクトル場のｘ及びｙ成分ｔ１ｘ（ｘ，ｙ）＝−ｎｙ（ｘ，ｙ）、ｔ１ｙ（ｘ，ｙ）＝ｎｘ（ｘ，ｙ），及びｔ２＝ｕｚとする。この場合、式（２．６２）を参照すると、以下の演算子の式になる。
【数５５】
【０１７７】
[0199] ここで畳み込み演算子Ｃの係数は下式によって与えられる。
【数５６】
【０１７８】
[0200] 及びＩは単位作用素を表す。
【０１７９】
２．４．５ 階段状格子の法線ベクトル場の定式化
[0201] 格子構造は、層化の方向、すなわちｚ方向の階段近似によって幾何学的に近似することができる。図１６を参照されたい。すなわち、ｚ方向の独立した間隔（スライス）のシーケンスを選択し、これらの間隔ごとに、ｚ方向から独立した誘電率関数によって誘電率関数を近似する。次に、間隔のそれぞれに専用の離散を使用することにより、バイナリ格子のシーケンスに到達し、それに上記のセクション２．４．３で示した手順を適用することができる。すなわちスライスごとに法線ベクトル場を生成し、スライスごとに場と材料の相互作用の演算子を構築するが、これは両方とも基本的に２次元である。
【０１８０】
２．５ 畳み込み構造を維持する変更リーの法則と法線ベクトル場の定式化の代替方法
[0202] 前述のセクションで、スペクトル基底の精度を保持しながら、場と材料の相互作用の効率的な行列ベクトル積を構築するために、いわゆるｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式を変更した。これは、Ｆを計算したら、非常に少ない追加の計算でＥが取得されるように、Ｅによって示された電場と１対１対応する補助ベクトル場Ｆを導入することによって達成した。基本的に、下式の形態の１組の式を導出した。
【数５７】
【０１８１】
[0203] ここで、Ｅｉは入射場を指し、Ｇは層状背景媒体のグリーン関数の行列表示を指し、Ｃε及び（εＣε）はＦＦＴの形態の効率的な行列ベクトル積に対応する。
【０１８２】
[0204] 以上の場合、ＦとＥの１対１対応によって、コンパクトで効率的な形式が可能になる。しかし、効率的な行列ベクトル積とともに高い精度というターゲットを達成するために、別の経路が存在する。これらの代替方法をさらに探求し、文書にすることが、本セクションの目的である。既存の形式を、Ｅと補助ベクトル場Ｆとの１対１対応を削除することによって拡張することができる。これは、例えばセクション２．５．２で示すように、例えば電場Ｅ内より補助ベクトル場Ｆ内に多くの自由度を導入する場合である。さらなる措置を執らないと、ベクトル場Ｆに関する線形方程式の結果となる組は決定が不十分であり、したがってＦは一意ではなく、このことは反復的ソルバを使用する場合は通常望ましくない。というのは、これが通常、多数の反復又は反復プロセスのブレークダウンにつながるからである。この状況を克服するために、量Ｆ、Ｅ及び／又はＪの間に追加の組の線形制約を見越す。この基本原理で、以下の一般化した組の変更リップマン・シュウィンガー方程式に到達する。
【数５８】
【０１８３】
[0205] ここで、以上の行列方程式の各演算子は、例えばＦＦＴによって効率的な行列ベクトル積を実施することができる。
【０１８４】
２．５．１ ラランの法則
[0206] ２Ｄ周期性の周期構造についてリーが導出した法則の前に、ララン［５］は誘電率行列Ｍεの重み付き平均式（［５］でＥと表す）及び逆誘電率行列（Ｍｉｎｖ（ε））−１の逆行列（［５］でＰ−１と表す）を提案している。この作業方法のために、電場Ｅと補助ベクトル場Ｆの組合せで作業することができる。後者のベクトル場は、高速の行列とベクトルの積を獲得し、コントラスト電流密度Ｊ又はその縮尺した相対物ｑを計算するために、（Ｍｉｎｖ（ε））−１とＥの間の積に遭遇した時点で導入される。
【数５９】
【０１８５】
[0207] ここでＦは下式を満足する。
【数６０】
【０１８６】
[0208] ＭεとＭｉｎｖ（ε）は両方とも、ＦＦＴにより効率的な行列とベクトルの積を実施する。
【０１８７】
[0209] 式（２．７３）と（２．７４）の結果は、式（２．７２）の形態でより大きい線形系として実施することができる。ここで、演算子Ｉ及びＧを含む第１の組の式は元のままである。第２の組の式は、一方のＪと他方のＥ及びＦの間で関係式（２．７３）をもたらす。すなわちＣ１１＝ｊωα（Ｍε−εｂＩ）、Ｃ１２＝−Ｉ，及びＣ１３＝ｊω（１−α）Ｉである。次に、第３の組の式は式（２．７４）のようにＥとＦを関連させる。すなわちＣ２１＝−Ｉ、Ｃ２２＝０及びＣ２３＝Ｍｉｎｖ（ε）である。最後に、Ｃ３１、Ｃ３２、Ｃ３３を含む最終組の式、及び右辺の最終行はなくなる。これは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、電磁場Ｅに関連し、それとは異なるベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含むことによって、構造の電磁散乱特性を計算することによって実施することができる。ここで、ベクトル場Ｆは、可逆演算子Ｍｉｎｖ（ε）によって電場Ｅに関連付けられる。
【０１８８】
２．５．２ 連結のリーの法則
[0210] 交差した格子の場合、リーは対応する相互作用の行列が（ブロック）テプリッツ行列及び逆（ブロック）テプリッツ行列の積の合計で構成されている場合、スペクトル基底で場と材料の相互作用がよりよく捕捉されることを示している。（ブロック）テプリッツ行列は、ＦＦＴの形態で効率的な行列とベクトルの積を可能にするが、逆テプリッツ行列はテプリッツの形態を有していない。したがって、補助ベクトル場の概念を拡張することにより、制約とともに追加の補助場を導入し、（ブロック）テプリッツ行列の逆数も考慮に入れた効率的な行列とベクトルの積に到達することができる。
【０１８９】
[0211] バイナリ格子の等方性媒体の場合を考慮してみる。次に、リーの法則は、横面、すなわちｘｙ面の場の成分にのみ変更が必要である。この状況は、単一の長方形ブロックの場合と同様であるが、ここでは隣接していても、していなくてもよい幾つかのブロックから誘電率関数を構築する。特に、誘電率関数及び対応する逆誘電率関数は、下式のように書かれる。
【数６１】
【０１９０】
[0212] ここで、Παβは、方向βのパルス関数であり、ラベルαを伴う全間隔の支持体を有する。ｘ方向にはＩ個の間隔があり、ｙ方向にはＪ個の間隔がある。さらに、χｉ，ｊは関数Πｉｘ（ｘ）Πｊｙ（ｙ）の支持体の連続スカラー関数であり、＾χｉ，ｊ＝−χｉ，ｊ／（１＋χｉ，ｊ）である。
【０１９１】
[0213] 電場及び電束のｘ成分に関する関係式Ｅｘ＝ε−１Ｄｘから、下式が得られる。
【数６２】
【０１９２】
[0214] ここで、リーの推論の方針により、ΠｉｘＤｘはフーリエ空間内で因数分解可能であるが、ΠｊｙＤｘは因数分解可能でない。関数Παβは投影演算子として解釈できるので、以下を採用することができる。
【０１９３】
[0215] Ｉを単位作用素とし、Ａｉを相互に直交する投影演算子Ｐｉと交換可能な有界演算子のシーケンスとすると、演算子
【数６３】
は、有界逆数
【数６４】
を有し、ここでＢｉ＝−Ａｉ（Ｉ＋Ａｉ）−１である。
【０１９４】
[0216] この代数を計算し、投影演算子の等べきを考慮に入れることによって証明となる。
【０１９５】
[0217] この結果で、次に電場の成分に関して電束の成分を下式のように表すことができる。
【数６５】
【０１９６】
[0218] ここでＡｉ及びＢｉとＰｉとの交換特性を使用している。
【０１９７】
[0219] 同様に、ｙ成分について下式がある。
【数６６】
【０１９８】
[0220] ここで、乗算演算子はそれぞれ、電場の成分を直接演算する逆行列演算を実行した後、フーリエ因数分解可能である。これらの関係式から通常の方法でコントラスト電流密度を導出することができる。
【０１９９】
[0221] 以上の関係式から、ｘ及びｙ方向に沿った各間隔は逆演算子、すなわち合計Ｉ＋Ｊ個の逆数を生じることが明白になる。これらの逆数はそれぞれ、セクション２．３の単一のブリックの場合のように、逆演算子を含む中間行列ベクトル積に補助変数（ベクトル場）を導入すると、回避することができる。この方法で、変数の増加という犠牲を払うが、ＦＦＴの形態で行列ベクトル積の効率が維持される。これは、Ｉ及びＪが１より大きい場合に特に当てはまる。というのは、逆数がそれぞれ補助変数の量だけ増加し、それにより全行列ベクトル積のサイズを増大させるからである。
【０２００】
２．５．３ リーの法則の逆演算子の数を減少させる
[0222] セクション２．５．２の結論は、投影演算子Παβがそれぞれ新しい補助ベクトル場を導入するということであり、それによってこの手順は、幾つかの投影演算子より多くを必要とする幾何学的形状ではかなり非効率になる。したがって、階段方式の幾何学的融通性を犠牲にせずに、この方式によって最初に導入されるより少ない投影演算子で作業できる方法があるかという疑問が生じる。
【０２０１】
[0223] 主な取り組みは、合計に含まれる投影演算子が少なくなるものとして、式（２．７５）を書き換えることにある。すなわち、下式のように書き換える。
【数６７】
【０２０２】
[0224] 出願人は有名な「４色問題」に触発されている。これは、平坦な地図は４つの異なる色のみで着色することができ、したがって地図のどの２つの隣接する区域も同じ色を有さないということである。本発明の場合、状況は多少類似している。すなわち隣接する支持体がある投影演算子は、乗算関数＾χｉ，ｊがその相互接続する境界で連続している場合にのみ結合することができる。概して、このような制約は幾何学的形状では満たされない。したがって、隣接する支持体を有していない投影演算子を結合するようなグルーピングを導入する。これによって、結合した投影演算子の支持体上で乗算関数＾χｉ，ｊが一致する連続的な乗算演算子を構築することができる。
【０２０３】
[0225] 最初にこれを１次元で実証してみる。ｘ方向の（周期的）間隔を［０，ａ］として与え、この間隔を偶数の独立セグメントＳｉ（ｉ＝０，・・・，２Ｉ）に分割し、セグメントの和集合が周期的間隔［０，ａ］に広がり、セグメントがこの間隔に沿った位置に従って指し示される、すなわちセグメントＳｉ−１がセグメントＳｉへと進むようにする。これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数６８】
【０２０４】
[0226] ここで、Πｉ（ｘ）の支持体はｉ番目のセグメントに対応する。
【０２０５】
[0227] 次に、（相互に直交する）奇数及び偶数の投影演算子を導入する。
【数６９】
【０２０６】
[0228] さらに、（スカラー）関数ｆｏ（ｘ）及びｆｅ（ｘ）を導入する。これらの関数は間隔［０，ａ］で連続し、周期的連続性を有する。すなわちｆｏ（０）＝ｆｏ（ａ）及びｆｅ（０）＝ｆｅ（ａ）であり、ｋ＝１，・・・，Ｉについて、下式を満足する。
【数７０】
【０２０７】
[0229] 偶数及び奇数の投影演算子が投影演算子を隣接する支持体と結合しないので、関数ｆｏ及びｆｅを連続関数として、例えば偶数及び奇数の投影演算子の支持体以外のセグメントに関する１次補間を介して構築することができる。したがって、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数７１】
【０２０８】
[0230] 次にこの概念を２次元に、すなわち格子構造の横面に拡張する。（相互に直交する）偶数及び奇数の投影演算子を、次元ごとに偶数のセグメントがあるデカルト積グリッドのｘ及びｙ方向に導入する。さらに、４つの周期的に連続するスカラー関数を、ｆｏｏ（ｘ，ｙ）、ｆｏｅ（ｘ，ｙ）、ｆｅｏ（ｘ，ｙ）及びｆｅｅ（ｘ，ｙ）で表される周期的領域［０，ａ］×［０，ｂ］上に導入する。これらの関数は、乗数である投影演算子の支持体以外の双１次補間によって構築することができる。この手順は図１７で実証されている。
【０２０９】
[0231] これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数７２】
【０２１０】
[0232] これは関係する２次元投影演算子（色）が４つしかないことを示す。
【０２１１】
[0233] セクション２．５．２で概略した方法に従うと、以下のリーの法則に到達する。
【数７３】
【０２１２】
[0234] またＤｙとＥｙの間の関係に関する類似の式にも到達する。
【０２１３】
[0235] 手順を締めくくるために、ｘ成分が下式を満足し、ｙ成分も類似の関係である状態で、２つの補助場Ｆｅ及びＦｏを導入する。
【数７４】
【０２１４】
[0236] これらの条件で、及びｙ成分も類似の関係で、最終的に下式が得られる。
【数７５】
【０２１５】
[0237] ＦとＥを関連付ける演算子は、以前のセクションの逆演算子とは反対に２次元文字を有することに留意されたい。にもかかわらず、全ての演算子はここでは、２Ｄ（又は繰り返した１Ｄ）のＦＦＴにより効率的な行列ベクトル積を実施する乗算演算子である。
【０２１６】
[0238] 本文ではＩＣの製造におけるリソグラフィ装置の使用に特に言及しているが、本明細書で説明するリソグラフィ装置には他の用途もあることを理解されたい。例えば、これは、集積光学システム、磁気ドメインメモリ用誘導及び検出パターン、フラットパネルディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、薄膜磁気ヘッドなどの製造である。こうした代替的な用途に照らして、本明細書で「ウェーハ」又は「ダイ」という用語を使用している場合、それぞれ、「基板」又は「目標部分」という、より一般的な用語と同義と見なしてよいことが、当業者には認識される。本明細書に述べている基板は、露光前又は露光後に、例えばトラック（通常はレジストの層を基板に塗布し、露光したレジストを現像するツール）、メトロロジーツール及び／又はインスペクションツールで処理することができる。適宜、本明細書の開示は、以上及びその他の基板処理ツールに適用することができる。さらに基板は、例えば多層ＩＣを生成するために、複数回処理することができ、したがって本明細書で使用する基板という用語は、既に複数の処理済み層を含む基板も指すことができる。
【０２１７】
[0239] 上述した本発明の実施形態による方法は、図５に関して上述したように、放射によるオブジェクトの照明によって生成される回折パターンなどの、検出された電磁散乱特性からオブジェクト（１Ｄ周期性に限定されない）の近似構造を再構築する順方向回折モデルに組み込むことができる。図３及び図４に関して上述した処理ユニットＰＵは、この方法を使用してオブジェクトの近似構造を再構築するように構成することができる。
【０２１８】
[0240] 光リソグラフィの分野での本発明の実施形態の使用に特に言及してきたが、本発明は、他の用途、例えばインプリントリソグラフィにも使用することができ、文脈によっては、光リソグラフィに限定されないことを理解されたい。インプリントリソグラフィでは、パターニングデバイス内の微細構成（ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ）が基板上に作成されるパターンを形成する。パターニングデバイスの微細構成は、基板に供給されたレジスト層内に押圧し、電磁放射、熱、圧力又はこれらの組合せを印加することによりレジストは硬化する。パターニングデバイスはレジストから取り除かれ、レジストが硬化すると、内部にパターンが残される。
【０２１９】
[0241] 本明細書で使用する「放射」及び「ビーム」という用語は、イオンビーム又は電子ビームなどの粒子ビームのみならず、紫外線（ＵＶ）放射（例えば、３６５ｎｍ、３５５ｎｍ、２４８ｎｍ、１９３ｎｍ、１５７ｎｍ若しくは１２６ｎｍ、又はこれら辺りの波長を有する）及び極端紫外線光（ＥＵＶ）放射（例えば、５ｎｍ〜２０ｎｍの範囲の波長を有する）を含むあらゆるタイプの電磁放射を網羅する。
【０２２０】
[0242] 「レンズ」という用語は、状況が許せば、屈折、反射、磁気、電磁気及び静電気光学コンポーネントを含む様々なタイプの光学コンポーネントのいずれか一つ、又はその組合せを指すことができる。
【０２２１】
[0243] 「電磁」という用語は、電気及び磁気を包含する。
【０２２２】
[0244] 「電磁散乱特性」という用語は、スペクトル（波長の関数としての強度など）、回折パターン（位置／角度の関数としての強度）及び横方向磁気及び横方向電気偏光の相対強度及び／又は横方向磁気と横方向電気偏光との位相差を含む反射及び透過係数及びスキャトロメータ測定パラメータを包含する。回折パターン自体は、例えば反射係数を使用して計算することができる。
【０２２３】
[0245] したがって、本発明の実施形態は反射散乱に関して説明されているが、本発明は透過散乱にも適用可能である。
【０２２４】
[0246] 以上、本発明の特定の実施形態を説明したが、説明とは異なる方法でも本発明を実践できることが理解される。例えば、本発明は、上記で開示したような方法を述べる機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラム、又はこのようなコンピュータプログラムを内部に記憶したデータ記憶媒体（例えば半導体メモリ、磁気又は光ディスク）の形態をとることができる。
【０２２５】
[0247] 以下の参照文献は全て、参照により全体を本明細書に組み込むものとする。
[1] 「International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications ICEAA '03」の議事録（R. D. Graglia、編集者）記載の、M. C. van Beurden氏及びB. P. de Hon氏の、「Electromagnetic modelling of antennas mounted on a bandgap slab - discretisation issues and domain and boundary integral equations」、637-640ページ、Politecnico di Torino、2003年。
[2] Yia-Chung Chang氏、Guangwei Li氏、Hanyou Chu氏及びJon Opsal氏の、「Efficient finite-element, Green's function approach for critical-dimension metrology of three-dimensional gratings on multilayer films」、J. Opt. Soc. Am. A, 23(3):638-6454ページ、2006年3月。
[3] Lifeng Li氏の、「Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures」、J. Opt. Soc. Am. A, 13(9):1870-1876ページ、1996年9月。
[4] Lifeng Li氏の、「New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 14(10):2758-2767ページ、1997年10月。
[5] Philippe Lalanne氏の、「Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 14(7):1592-1598ページ、1997年7月。
[6] Evgeny Popov氏及びMichel Neviere氏の、「Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media」、J. Opt. Soc. Am. A, 18(11):2886-2894ページ、2001年11月。
[7] Thomas Schuster氏、Johannes Ruoff氏、Norbert Kerwien氏、Stephan Rafler氏及びWolfgang Osten氏の、「Normal vector method for convergence improvement using the RCWA for crossed gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 24(9):2880-2890ページ、2007年9月。
[8] Peter Goetz氏、Thomas Schuster氏、Karsten Frenner氏、Stephan Rafler氏、及びWolfgang Osten氏の、「Normal vector method for the RCWA with automated vector field generation」、OPTICS EXPRESS, 16(22):17295-17301ページ、2008年10月。
【０２２６】
結論
[0248] 特許請求の範囲を解釈するには、発明の概要及び要約の項目ではなく、「発明を実施するための形態」の項目を使用するよう意図されていることを認識されたい。発明の概要及び要約の項目は、発明者が想定するような本発明の１つ又は複数の例示的実施形態について述べることができるが、全部の例示的実施形態を述べることはできず、したがって本発明及び特許請求の範囲をいかなる意味でも限定しないものとする。
【０２２７】
[0249] 以上では、特定の機能の実施態様を例示する機能的構成要素及びその関係の助けにより、本発明について説明してきた。これらの機能的構成要素の境界は、本明細書では説明の便宜を図って任意に画定されている。特定の機能及びその関係が適切に実行される限り、代替的な境界を画定することができる。
【０２２８】
[0250] 特定の実施形態に関する以上の説明は、本発明の全体的性質を十分に明らかにしているので、当技術分野の知識を適用することにより、過度の実験をせず、本発明の全体的概念から逸脱することなく、このような特定の実施形態を容易に修正する、及び／又はこれを様々な用途に適応させることができる。したがって、このような適応及び修正は、本明細書に提示された教示及び案内に基づき、開示された実施形態の同等物の意味及び範囲に入るものとする。本明細書の言葉遣い又は用語は説明のためのもので、限定するものではなく、したがって本明細書の用語又は言葉遣いは、当業者には教示及び案内の観点から解釈されるべきことを理解されたい。
【０２２９】
[0251] 本発明の幅及び範囲は、上述した例示的実施形態のいずれによっても限定されず、特許請求の範囲及びその同等物によってのみ規定されるものである。
【技術分野】
【０００１】
[0001] 本発明は、周期構造の電磁散乱特性の数値計算に関する。本発明は、例えばリソグラフィ装置のクリティカルディメンション（ＣＤ）性能を評価するために、例えば微細構造のメトロロジーに適用することができる。
【背景技術】
【０００２】
[0002] リソグラフィ装置は、所望のパターンを基板に、通常は基板の目標部分に適用する機械である。リソグラフィ装置は、例えば、集積回路（ＩＣ）の製造に使用可能である。このような場合、代替的にマスク又はレチクルとも呼ばれるパターニングデバイスを使用して、ＩＣの個々の層上に形成すべき回路パターンを生成することができる。このパターンを、基板（例えばシリコンウェーハ）上の目標部分（例えば１つ又は幾つかのダイの一部を含む）に転写することができる。パターンの転写は通常、基板に設けた放射感応性材料（レジスト）の層への結像により行われる。一般的に、１枚の基板は、順次パターンが与えられる隣接した目標部分のネットワークを含んでいる。従来のリソグラフィ装置は、パターン全体を目標部分に１回で露光することによって各目標部分が照射される、いわゆるステッパと、基板を所与の方向（「スキャン」方向）と平行あるいは逆平行に同期的にスキャンしながら、パターンを所与の方向（「スキャン」方向）に放射ビームでスキャンすることにより、各目標部分が照射される、いわゆるスキャナとを含む。パターンを基板にインプリントすることによっても、パターニングデバイスから基板へとパターンを転写することが可能である。
【０００３】
[0003] リソグラフィプロセスを監視するために、パターン付き基板のパラメータ、例えば基板内又は基板上に形成された連続層間のオーバレイ誤差を測定する必要がある。走査型電子顕微鏡及び様々な専用ツールの使用を含め、リソグラフィプロセスで形成された微細構造を測定するための様々な技術がある。専用検査ツールの一形態が、放射のビームを基板の表面上のターゲットに誘導し、散乱又は反射したビームの特性を測定するスキャトロメータである。基板によって反射又は散乱する前とその後のビームの特性を比較することにより、基板の特性を決定することができる。これは、例えば既知の基板特性に関連した既知の測定値のライブラリに格納されたデータと反射ビームを比較することによって実行することができる。スキャトロメータは２つの主なタイプが知られている。分光スキャトロメータは広帯域放射ビームを基板上に誘導し、特定の狭い角度範囲に散乱した放射のスペクトル（波長の関数としての強度）を測定する。角度分解スキャトロメータは単色放射ビームを使用し、散乱した放射の強度を角度の関数として測定する。
【０００４】
[0004] さらに一般的には、散乱した放射を構造のモデルから数学的に予測された散乱挙動と比較できると有用となり、これは予測された挙動が観察された実際のサンプルの散乱と一致するまで自由に設定し、変更することができる。残念ながら、原則的に数値手順によって散乱をモデリングする方法は知られているが、既知の技術の計算的負担によってこのような技術は実現不能になり、リアルタイムの再構築が望ましい、及び／又は関係する構造が１次元で周期的な単純な構造よりも複雑である場合に、特にそうである。
【発明の概要】
【０００５】
[0005] 半導体処理の分野では、周期構造の電磁散乱特性の正確な数値計算を迅速に実行することが望ましい。
【０００６】
[0006] 本発明の第１の態様によると、構造の反射係数などの電磁散乱特性を計算する方法が提供され、構造は少なくとも一方向ｘ、ｙに周期的であり、材料の境界で電磁場Ｅの不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、方法は、基底の変換によって電磁場Ｅに関連するベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含み、ベクトル場Ｆは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように材料境界にて連続している。
【０００７】
[0007] ベクトル場Ｆは、少なくとも一方向ｘ、ｙに関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表すことができ、体積積分方程式を数値的に解くステップは、畳み込み及び基底変換演算子Ｃでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電磁場Ｅの成分を決定するステップを含むことができる。
【０００８】
[0008] 本発明の第２の態様によると、放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法が提供され、方法は、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性は、第１の態様による方法を使用して決定される。
【０００９】
[0009] 本発明の第３の態様によると、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置が提供され、検査装置は、放射でオブジェクトを照明するように構成された照明システムと、照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、プロセッサであって、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成されたプロセッサとを備え、プロセッサは、第１の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される。
【００１０】
[0010] 本発明の第４の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトが提供され、命令は、１つ又は複数のプロセッサに第１の態様による方法を実行させるように構成される。
【００１１】
[0011] 本発明の第５の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算する方法が提供され、構造は少なくとも一方向ｘ、ｙに周期的であり、材料の境界で電磁場Ｅの不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、方法は、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、電磁場Ｅに関連し、それとは異なるベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含む。
【００１２】
[0012] 本発明の第６の態様によると、放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性からオブジェクトの近似構造を再構築する方法が提供され、方法は、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップとを含み、モデル電磁散乱特性は、第５の態様による方法を使用して決定される。本発明の第７の態様によると、オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置が提供され、検査装置は、放射でオブジェクトを照明するように構成された照明システムと、照明から生じる電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、プロセッサであって、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、検出された電磁散乱特性を少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、検出された電磁散乱特性と少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定するように構成されたプロセッサとを備え、プロセッサは、第５の態様による方法を使用してモデル電磁散乱特性を決定するように構成される。本発明の第８の態様によると、構造の電磁散乱特性を計算する機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトが提供され、命令は、１つ又は複数のプロセッサに第５の態様による方法を実行させるように構成される。
【００１３】
[0013] 本発明のさらなる特徴及び利点、さらに本発明の様々な実施形態の構造及び動作を、添付の図面を参照しながら以下で詳細に説明する。本発明は本明細書で説明する特定の実施形態に限定されないことに留意されたい。このような実施形態は、本明細書では例示的目的のためにのみ提示されている。本明細書に含まれる教示に基づいて、追加の実施形態が当業者には明白になる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
[0014] 本明細書に組み込まれ、その一部を形成する添付の図面は本発明を図示し、説明とともに、さらに本発明の原理を説明し、当業者が本発明を作成し、使用できるような働きをする。
【図１】[0015]リソグラフィ装置を示す。
【図２】[0016]リソグラフィセル又はクラスタを示す。
【図３】[0017]第１のスキャトロメータを示す。
【図４】[0018]第２のスキャトロメータを示す。
【図５】[0019]スキャトロメータの測定値から１次元の周期的回折格子を再構築する一般的プロセスを示す。
【図６】[0020]モデル化したレジスト構造について、従来のＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び本発明の実施形態による体積積分法（ＶＩＭ）の精度対処理時間を図示したグラフを示す。
【図７】[0021]図６に示したものと同様であるが、モデル化したシリコン構造のデータを示す。
【図８】[0022]本発明の実施形態により再構築することができる散乱幾何学的形状を示す。
【図９】[0023]背景の構造を示し、層状媒体で入射場の相互作用を計算するグリーン関数の使用を図示する。
【図１０】[0024]ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベル方法のフローチャートである。
【図１１】[0025]先行技術で知られているようなＶＩＭ式を使用した更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１２】[0026]ＶＩＭ式を数値的に解くために連続的ベクトル場を使用する本発明の実施形態を示す。
【図１３】[0027]本発明の実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。
【図１４】[0028]本発明の実施形態によりＶＩＭを実行するためにプログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略的形式で示す。
【図１５】[0029]楕円形の断面のバイナリ格子セルの上面図及び側面図を示す。
【図１６】[0030]楕円形の断面の階段状格子セルの上面図及び側面図を示す。
【図１７】[0031]階段近似によって楕円を近似する手順を示す。
【図１８】[0032]ベンチマークモデル構造を示す。
【図１９】[0033]図１１に関して説明した先行技術の方法を使用して計算した先行技術のＶＩＭシステムの収束結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【図２０】[0034]図１９に示したものと同じデータから生成したタイミングの結果を示す。
【図２１】[0035]本発明の実施形態により生成され、改良された収束結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【図２２】[0036]本発明の実施形態により生成されたタイミングの結果を、ＲＣＷＡの結果と比較して示す。
【００１５】
[0037] 以下で述べる詳細な説明を図面との関連で理解することにより本発明の特徴及び利点がさらに明白になり、図面では全体を通して類似の参照文字が対応する要素を識別する。図面では、類似の参照番号が全体的に同一、機能的に類似、及び／又は構造的に類似の要素を示す。要素が最初に現れる図面を、対応する参照番号の最も左側の桁で示す。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
[0038] 本明細書は、本発明のフィーチャを組み込んだ１つ又は複数の実施形態を開示する。開示される実施形態は本発明を例示するにすぎない。本発明の範囲は開示される実施形態に限定されない。本発明は本明細書に添付される特許請求の範囲によって定義される。
【００１７】
[0039] 記載された実施形態、及び本明細書で「１つの実施形態」、「ある実施形態」、「例示的実施形態」などに言及した場合、それは記載された実施形態が特定のフィーチャ、構造、又は特性を含むことができるが、それぞれの実施形態が必ずしも特定のフィーチャ、構造、又は特性を含まないことがあることを示す。さらに、このようなフレーズは、必ずしも同じ実施形態に言及するものではない。さらに、ある実施形態に関連して特定のフィーチャ、構造、又は特性について記載している場合、明示的に記載されているか、記載されていないかにかかわらず、このようなフィーチャ、構造、又は特性を他の実施形態との関連で実行することが当業者の知識にあることが理解される。
【００１８】
[0040] 本発明の実施形態はハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア又はその任意の組合せで実施することができる。本発明の実施形態は、１つ又は複数のプロセッサで読み取り、実行することができる機械読み取り式媒体に記憶した命令として実施することもできる。機械読み取り式媒体は、機械（例えば、計算デバイス）で読み取り可能な形態で情報を記憶するか、伝送する任意の機構を含むことができる。例えば、機械読み取り式媒体は読み取り専用メモリ（ＲＯＭ）、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）、磁気ディスク記憶媒体、光記憶媒体、フラッシュメモリデバイス、電気、光、音響又は他の形態の伝搬信号（例えば、搬送波、赤外線信号、デジタル信号など）、及びその他を含むことができる。さらに、ファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令を、本明細書では特定の行為を実行するものとして記述することができる。しかし、このような記述は便宜的なものにすぎず、このような行為は実際には計算デバイス、プロセッサ、コントローラ、又はファームウェア、ソフトウェア、ルーチン、命令などを実行する他のデバイスの結果であることを認識されたい。
【００１９】
[0041] しかし、このような実施形態についてさらに詳細に説明する前に、本発明の実施形態を実施できる例示的環境を提示することが有益である。
【００２０】
[0042] 図１は、リソグラフィ装置を概略的に示す。この装置は、放射ビームＢ（例えばＵＶ放射又はＥＵＶ放射）を調節するように構成された照明システム（イルミネータ）ＩＬと、パターニングデバイス（例えばマスク）ＭＡを支持するように構築され、特定のパラメータに従ってパターニングデバイスを正確に位置決めするように構成された第一ポジショナＰＭに接続された支持構造（例えばマスクテーブル）ＭＴと、基板（例えばレジストコートウェーハ）Ｗを保持するように構築され、特定のパラメータに従って基板を正確に位置決めするように構成された第二ポジショナＰＷに接続された基板テーブル（例えばウェーハテーブル）ＷＴと、パターニングデバイスＭＡによって放射ビームＢに与えられたパターンを基板Ｗの目標部分Ｃ（例えば１つ又は複数のダイを含む）に投影するように構成された投影システム（例えば屈折投影レンズシステム）ＰＬとを含む。
【００２１】
[0043] 照明システムは、放射の誘導、整形、又は制御を行うための、屈折、反射、磁気、電磁気、静電気型等の光学コンポーネント、又はその任意の組合せなどの種々のタイプの光学コンポーネントを含んでいてもよい。
【００２２】
[0044] 支持構造は、パターニングデバイスを支持、すなわちその重量を支えている。支持構造は、パターニングデバイスの方向、リソグラフィ装置の設計等の条件、例えばパターニングデバイスが真空環境で保持されているか否かに応じた方法で、パターニングデバイスを保持する。この支持構造は、パターニングデバイスを保持するために、機械的、真空、静電気等のクランプ技術を使用することができる。支持構造は、例えばフレーム又はテーブルでよく、必要に応じて固定式又は可動式でよい。支持構造は、パターニングデバイスが例えば投影システムなどに対して確実に所望の位置にくるようにできる。本明細書において「レチクル」又は「マスク」という用語を使用した場合、その用語は、より一般的な用語である「パターニングデバイス」と同義と見なすことができる。
【００２３】
[0045] 本明細書において使用する「パターニングデバイス」という用語は、基板の目標部分にパターンを生成するように、放射ビームの断面にパターンを与えるために使用し得る任意のデバイスを指すものとして広義に解釈されるべきである。ここで、放射ビームに与えられるパターンは、例えばパターンが位相シフト特徴又はいわゆるアシスト特徴を含む場合、基板の目標部分における所望のパターンに正確には対応しないことがある点に留意されたい。一般的に、放射ビームに与えられるパターンは、集積回路などの目標部分に生成されるデバイスの特定の機能層に相当する。
【００２４】
[0046] パターニングデバイスは透過性又は反射性でよい。パターニングデバイスの例には、マスク、プログラマブルミラーアレイ、及びプログラマブルＬＣＤパネルがある。マスクはリソグラフィにおいて周知のものであり、これには、バイナリマスク、レベンソン型(alternating)位相シフトマスク、ハーフトーン型(attenuated)位相シフトマスクのようなマスクタイプ、さらには様々なハイブリッドマスクタイプも含まれる。プログラマブルミラーアレイの一例として、小さなミラーのマトリクス配列を使用し、そのミラーは各々、入射する放射ビームを異なる方向に反射するよう個々に傾斜することができる。傾斜したミラーは、ミラーマトリクスによって反射する放射ビームにパターンを与える。
【００２５】
[0047] 本明細書において使用する「投影システム」という用語は、例えば使用する露光放射、又は液浸液の使用や真空の使用などの他の要因に合わせて適宜、例えば屈折光学システム、反射光学システム、反射屈折光学システム、磁気光学システム、電磁気光学システム及び静電気光学システム、又はその任意の組合せを含む任意のタイプの投影システムを網羅するものとして広義に解釈されるべきである。本明細書において「投影レンズ」という用語を使用した場合、これはさらに一般的な「投影システム」という用語と同義と見なすことができる。
【００２６】
[0048] 本明細書で示すように、本装置は透過タイプである（例えば透過マスクを使用する）。あるいは、装置は反射タイプでもよい（例えば上記で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイを使用する、又は反射マスクを使用する）。
【００２７】
[0049] リソグラフィ装置は、２つ（デュアルステージ）又はそれ以上の基板テーブル（及び／又は２つ以上のマスクテーブル）を有するタイプでよい。このような「マルチステージ」機械においては、追加のテーブルを並行して使用するか、１つ又は複数の他のテーブルを露光に使用している間に１つ又は複数のテーブルで予備工程を実行することができる。
【００２８】
[0050] リソグラフィ装置は、投影システムと基板との間の空間を充填するように、基板の少なくとも一部を水などの比較的高い屈折率を有する液体で覆えるタイプでもよい。液浸液は、例えばマスクと投影システムの間など、リソグラフィ装置の他の空間に適用することもできる。液浸技術は、投影システムの開口数を増加させるために当技術分野で周知である。本明細書で使用する「液浸」という用語は、基板などの構造を液体に沈めなければならないという意味ではなく、露光中に投影システムと基板の間に液体が存在するというほどの意味である。
【００２９】
[0051] 図１を参照すると、イルミネータＩＬは放射源ＳＯから放射ビームを受ける。放射源とリソグラフィ装置とは、例えば放射源がエキシマレーザである場合に、別々の構成要素であってもよい。このような場合、放射源はリソグラフィ装置の一部を形成すると見なされず、放射ビームは、例えば適切な誘導ミラー及び／又はビームエクスパンダなどを備えるビームデリバリシステムＢＤの助けにより、放射源ＳＯからイルミネータＩＬへと渡される。他の事例では、例えば放射源が水銀ランプの場合は、放射源がリソグラフィ装置の一体部分であってもよい。放射源ＳＯ及びイルミネータＩＬは、必要に応じてビームデリバリシステムＢＤとともに放射システムと呼ぶことができる。
【００３０】
[0052] イルミネータＩＬは、放射ビームの角度強度分布を調整するアジャスタＡＤを備えていてもよい。通常、イルミネータの瞳面における強度分布の外側及び／又は内側半径範囲（一般にそれぞれ、σ-outer及びσ-innerと呼ばれる）を調整することができる。また、イルミネータＩＬは、インテグレータＩＮ及びコンデンサＣＯなどの他の種々のコンポーネントを備えていてもよい。イルミネータを用いて放射ビームを調節し、その断面にわたって所望の均一性と強度分布とが得られるようにしてもよい。
【００３１】
[0053] 放射ビームＢは、支持構造（例えば、マスクテーブルＭＴ）上に保持されたパターニングデバイス（例えば、マスクＭＡ）に入射し、パターニングデバイスによってパターニングされる。マスクＭＡを横断した放射ビームＢは、投影システムＰＳを通過し、投影システムＰＬは、ビームを基板Ｗの目標部分Ｃ上に合焦させる。第二ポジショナＰＷと位置センサＩＦ（例えば、干渉計デバイス、リニアエンコーダ又は容量センサ）の助けを借りて、基板テーブルＷＴは、例えば、様々な目標部分Ｃを放射ビームＢの経路に位置決めできるように正確に移動できる。同様に、第一ポジショナＰＭと別の位置センサ（図１には明示されていない）を用いて、マスクライブラリからの機械的な取り出し後又はスキャン中などに放射ビームＢの経路に対してマスクＭＡを正確に位置決めできる。一般に、マスクテーブルＭＴの移動は、第一ポジショナＰＭの部分を形成するロングストロークモジュール（粗動位置決め）及びショートストロークモジュール（微動位置決め）の助けにより実現できる。同様に、基板テーブルＷＴの移動は、第二ポジショナＰＷの部分を形成するロングストロークモジュール及びショートストロークモジュールを用いて実現できる。ステッパの場合（スキャナとは対照的に）、マスクテーブルＭＴをショートストロークアクチュエータのみに接続するか、又は固定してもよい。マスクＭＡ及び基板Ｗは、マスクアライメントマークＭ１、Ｍ２及び基板アライメントマークＰ１、Ｐ２を使用して位置合わせすることができる。図示のような基板アライメントマークは、専用の目標部分を占有するが、目標部分の間の空間に位置してもよい（スクライブレーンアライメントマークとして周知である）。同様に、マスクＭＡ上に複数のダイを設ける状況では、マスクアライメントマークをダイ間に配置してもよい。
【００３２】
[0054] 図示のリソグラフィ装置は、以下のモードのうち少なくとも１つにて使用可能である。
１．ステップモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは、基本的に静止状態に維持される一方、放射ビームに与えたパターン全体が１回で目標部分Ｃに投影される（すなわち単一静的露光）。次に、別の目標部分Ｃを露光できるように、基板テーブルＷＴがＸ方向及び／又はＹ方向に移動される。ステップモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一静的露光で結像される目標部分Ｃのサイズが制限される。
２．スキャンモードにおいては、マスクテーブルＭＴ及び基板テーブルＷＴは同期的にスキャンされる一方、放射ビームに与えられるパターンが目標部分Ｃに投影される（すなわち単一動的露光）。マスクテーブルＭＴに対する基板テーブルＷＴの速度及び方向は、投影システムＰＬの拡大（縮小）及び像反転特性によって求めることができる。スキャンモードでは、露光フィールドの最大サイズによって、単一動的露光における目標部分の（非スキャン方向における）幅が制限され、スキャン動作の長さによって目標部分の（スキャン方向における）高さが決まる。
３．別のモードでは、マスクテーブルＭＴはプログラマブルパターニングデバイスを保持して基本的に静止状態に維持され、基板テーブルＷＴを移動又はスキャンさせながら、放射ビームに与えられたパターンを目標部分Ｃに投影する。このモードでは、一般にパルス状放射源を使用して、基板テーブルＷＴを移動させる毎に、又はスキャン中に連続する放射パルスの間で、プログラマブルパターニングデバイスを必要に応じて更新する。この動作モードは、以上で言及したようなタイプのプログラマブルミラーアレイなどのプログラマブルパターニングデバイスを使用するマスクレスリソグラフィに容易に利用できる。
【００３３】
[0055] 上述した使用モードの組合せ及び／又は変形、又は全く異なる使用モードも利用できる。
【００３４】
[0056] 図２に示すように、リソグラフィ装置ＬＡは、リソセル又はクラスタとも呼ばれることがあるリソグラフィセルＬＣの一部を形成し、それは基板上で露光前及び露光後プロセスを実行する装置も含む。従来、これらはレジスト層を堆積させるスピンコータＳＣ、露光されたレジストを現像する現像器ＤＥ、チルプレートＣＨ及びベークプレートＢＫを含む。基板ハンドラ、すなわちロボットＲＯは入力／出力ポートＩ／Ｏ１、Ｉ／Ｏ２から基板を取り上げ、それを様々なプロセス装置間で移動させ、次にリソグラフィ装置のローディングベイ（loading bay）ＬＢに送出する。多くの場合まとめてトラックと呼ばれるこれらのデバイスは、トラック制御ユニットＴＣＵの制御下にあり、それ自体は監視制御システムＳＣＳによって制御され、それはリソグラフィ制御ユニットＬＡＣＵを介してリソグラフィ装置も制御する。したがってスループット及び処理の効率を最大化するために様々な装置を動作させることができる。
【００３５】
[0057] リソグラフィ装置によって露光される基板が正確かつ一貫して露光されるために、露光した基板を検査し、後続層間のオーバレイ誤差、ラインの太さ、クリティカルディメンション（ＣＤ）などのような特性を測定することが望ましい。誤差が検出された場合は、特に同じバッチの他の基板がまだ露光されないほど十分即座にかつ高速で検査を実行できる場合は、後続基板の露光を調節することができる。また、既に露光した基板を（歩留まりを改善するために）取り外して再加工するか、又は廃棄し、それにより欠陥があることが分かっている基板で露光を実行するのを回避することができる。基板の幾つかのターゲット部分のみに欠陥がある場合、良好であるそれらのターゲット部分のみでさらなる露光を実行することができる。
【００３６】
[0058] 基板の特性を、特に異なる基板又は同じ基板の異なる層の特性が層ごとにいかに変化するかを決定するために、検査装置が使用される。検査装置をリソグラフィ装置ＬＡに組み込むことができる、又はリソセルＬＣは独立型デバイスとすることができる。最も迅速な測定を可能にするために、検査装置は露光直後に露光したレジスト層の特性を測定することが望ましい。しかし、レジストの潜像はコントラストが非常に低く、（放射に露光してあるレジストの部分と露光していない部分との間には屈折率の非常に小さい差しかない）全ての検査装置が、潜像を有用に測定するほど十分な感度を有しているわけではない。したがって、露光後ベークステップ（ＰＥＢ）の後に測定を実行することができ、これは通常は露光した基板で実行する最初のステップであり、レジストの露光部分と非露光部分との間のコントラストを増大させる。この段階で、レジストの像を半潜像と呼ぶことができる。現像したレジスト像で（その時点でレジストの露光部分又は非露光部分は除去されている）又はエッチングなどのパターン転写ステップの後で測定することも可能である。後者の見込みは、欠陥がある基板を再加工する見込みを制限するが、それでも有用な情報を提供することができる。
【００３７】
[0059] 図３は、本発明のある実施形態に使用できるスキャトロメータを示す。これは、放射を基板Ｗに投影する広帯域（白色光）放射プロジェクタ２を備える。反射した放射はスペクトロメータ検出器４へと渡され、これは鏡面反射した放射のスペクトル１０（波長の関数としての強度）を測定する。このデータから、検出されるスペクトルを生じる構造又はプロファイルを処理ユニットＰＵによって再構築することができる。先行技術のスキャトロメータでは、これは、ＲＣＷＡ（Rigorous Coupled Wave Analysis）及び非線形回帰によって、又は図３の下部に図示されたようなシミュレートしたスペクトルのライブラリとの比較によって実行することができる。本発明によるスキャトロメータでは、ベクトル積分方程式を使用する。概して、再構築するために構造の全体的形状を知り、幾つかのパラメータは、構造を作成したプロセスの知識から仮定して、スキャトロメータのデータから決定するべき構造のパラメータはわずかしか残らない。このようなスキャトロメータは、垂直入射スキャトロメータ又は斜め入射スキャトロメータとして構成することができる。
【００３８】
[0060] 本発明のある実施形態で使用できる別のスキャトロメータが、図４に示されている。このデバイスでは、放射源２によって放出された放射が、レンズシステム１２を使用して干渉フィルタ１３及び偏光器１７を通して集束し、部分反射面１６によって反射して、好ましくは少なくとも０．９、さらに好ましくは少なくとも０．９５の高い開口数（ＮＡ）を有する顕微鏡の対物レンズ１５を介して基板Ｗに集束する。液浸スキャトロメータは、開口数が１を超えるレンズを有することさえある。反射した放射は次に、散乱スペクトルを検出させるために部分反射面１６を通って検出器１８内に伝達される。検出器は、レンズシステム１５の焦点距離にある逆投影された瞳面１１に位置付けることができるが、瞳面は、代わりに補助光学系（図示せず）で検出器に再結像することができる。瞳面は、放射の半径方向位置が入射角度を画定し、角度位置が放射の方位角を画定する面である。検出器は、基板ターゲット３０の２次元角度散乱スペクトルを測定できるように、２次元検出器であることが好ましい。検出器１８は、例えばＣＣＤ又はＣＭＯＳセンサのアレイでよく、例えば１フレーム当たり４０ミリ秒の積分時間を使用することができる。
【００３９】
[0061] 例えば、入射放射の強度を測定するために、基準ビームを使用することが多い。そのために、放射ビームがビームスプリッタ１６に入射すると、その一部がビームスプリッタを通って基準ビームとして基準ミラー１４に向かって伝達される。次に、基準ビームは同じ検出器１８の異なる部分へと投影される。
【００４０】
[0062] 例えば４０５〜７９０ｎｍ又はさらに低く、２００〜３００ｎｍなどの範囲の対象となる波長を選択するために、１組の干渉フィルタ１３が使用可能である。干渉フィルタは、１組の様々なフィルタを備えるのではなく、調整可能とすることができる。干渉フィルタではなく格子を使用することができる。
【００４１】
[0063] 検出器１８は、１つの波長（又は狭い波長範囲）で散乱光の強度を、複数の波長で別個に、又はある波長範囲にわたって積分された強度を測定することができる。さらに、検出器は横方向磁気光及び横方向電気分極光の強度及び／又は横方向磁気光と横方向電気分極光の位相差を別個に測定することができる。
【００４２】
[0064] 広帯域光源（すなわち光の周波数又は波長、したがって色の範囲が広い光源）を使用することが可能であり、これは大きいエタンデュを生じ、複数の波長を混合できるようにする。広帯域の複数の波長は、好ましくはそれぞれΔλの帯域幅及び少なくとも２Δλ（すなわち帯域幅の２倍）の間隔を有する。幾つかの放射「源」は、ファイバ束を使用して分割されている延在した放射源の様々な部分でもよい。この方法で、角度分解散乱スペクトルを複数の波長で平行して測定することができる。３次元スペクトル（波長と２つの異なる角度）を測定することができ、これは２次元スペクトルより多くの情報を含む。これによって、より多くの情報を測定することができ、それはメトロロジープロセスのロバスト性を高める。このことは、参照により全体を本明細書に組み込むものとするＥＰ１，６２８，１６４Ａでさらに詳細に説明されている。
【００４３】
[0065] 基板Ｗ上のターゲット３０は格子でよく、それは現像後にバーがレジストの実線で形成されるように印刷される。バーは、代替的に基板にエッチングしてもよい。このパターンは、リソグラフィ投影装置、特に投影システムＰＬの色収差に敏感であり、照明の対称性及びこのような収差の存在は、印刷された格子の変化に現れる。したがって、印刷された格子のスキャトロメータデータを使用して、格子を再構築する。線の幅及び形状などの格子のパラメータは、印刷ステップ及び／又は他のスキャトロメータのプロセスの知識から、処理ユニットＰＵによって実行される再構築プロセスに入力することができる。
【００４４】
[0066] 上述したように、ターゲットは基板の表面上にある。このターゲットは、格子又は２次元アレイの実質的に長方形の構造における一連の線という形状をとることが多い。メトロロジーにおける厳密な光回折理論（rigorous optical diffraction theories）の目的は、ターゲットから反射した回折スペクトルを効率的に計算することである。すなわち、ＣＤ（クリティカルディメンション）の均一性及びオーバレイメトロロジーのために、ターゲット形状の情報を入手する。オーバレイメトロロジーは、基板の２つの層が位置合わせされているか否かを判定するために、２つのターゲットのオーバレイを測定する測定システムである。ＣＤの均一性とは、リソグラフィ装置の露光システムがいかに機能しているかを決定するために、単にスペクトル上で格子の均一性を測定することである。特にＣＤ、すなわちクリティカルディメンションとは基板上に「書かれた」オブジェクトの幅（例えば図５に示すターゲットの幅）であり、リソグラフィ装置が物理的に基板上に書くことができる限界である。
【００４５】
[0067] ターゲット形状（マーク形状とも呼ぶ）の測定方法は通常、１次元周期構造について、図５を参照して以下のように実行される。すなわち、ターゲットの形状を推定する。この推定形状にα（０）、β（０）、χ（０）などの異なるパラメータを与える。これらのパラメータはそれぞれ、例えば各側壁の角度、ターゲットの最上部の高さ、ターゲットの最上部における幅、ターゲットの底部における幅などでよい。
【００４６】
[0068] 通常、先行技術のデバイスでは、ＲＣＷＡなどの厳密な光回折法を使用して、推定されたターゲット形状の推定回折パターン又はモデル回折パターンなどの散乱特性を計算する。推定又はモデル回折パターンの代わりに、又はそれを入手するために、推定又はモデル反射又は透過係数などの他の電磁散乱特性を使用することができる。
【００４７】
[0069] 次に、基板上のターゲットを放射ビームで照明し、回折ビームを検出することによって、基板上にある実際のターゲットの回折パターンを測定し、そのパターンはターゲットの特性に依存する。この測定回折パターン及びモデル回折パターンを、コンピュータなどの計算システムに転送する。
【００４８】
[0070] 次に、測定された回折パターン及びモデル回折パターンを比較し、差があれば全て「メリット関数」計算に送り込む。
【００４９】
[0071] 特定のターゲットパラメータの感度を回折パターンの形状に関連付けるメリット関数を使用して、新しい形状パラメータを推定する。これは図５の底部形状にさらに近い形状を生成することができ、これはα（０）、β（１）、χ（１）などの新しいパラメータを有する。これらをステップ１に反復的に送り戻し、所望の精度を達成するまでステップ１から５を反復し、それにより近似オブジェクト構造を決定する。
【００５０】
[0072] この反復プロセスの計算時間は主に、順方向回折モデルによって、すなわち推定されたターゲット形状から厳密な光回折理論を使用して推定モデル回折パターンを計算することによって決定される。
【００５１】
[0073] 様々な推定ターゲット形状について複数のモデル回折パターンを計算し、ステップ２でライブラリに格納することができる。次にステップ４で、測定回折パターンをステップ２で生成したライブラリのモデル回折パターンと比較する。一致が見られた場合は、次に一致するライブラリパターンを生成するために使用した推定ターゲット形状が、近似オブジェクト構造であると決定することができる。したがって、ライブラリを使用し、一致が見られる場合は、反復する必要がないことがある。あるいは、ライブラリ検索を使用して形状パラメータの粗い組を決定し、その後にメリット関数を使用して１回又は複数回反復し、近似オブジェクト構造を決定するように形状パラメータのさらに正確な組を決定する。
【００５２】
[0074] ２次元周期構造のＣＤ再構築には、通例、順方向回折モデルにＲＣＷＡを使用するが、体積積分法（ＶＩＭ）、時間領域有限差分法（ＦＤＴＤ）、及び有限要素法（ＦＥＭ）も報告されている。
【００５３】
[0075] ＲＣＷＡ内でスペクトル離散化方式を使用する。このスペクトル離散化の収束を改良するために、いわゆるリーの法則が適用される［３，４］。あるいは、法線ベクトル場形式［６］を使用して、スペクトル離散化の収束を改良することができる［７，８］。
【００５４】
[0076] ＲＣＷＡの主要な問題の１つは、２次元周期構造のために大量の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間及びメモリが必要なことである。というのは、固有値／固有ベクトルのシーケンスの問題を解き、連結する必要があるからである。ＦＤＴＤ及びＦＥＭの場合、ＣＰＵの時間も通常は長すぎる。
【００５５】
[0077] （両方とも参照により全体を本明細書に組み込むものとする［２］、米国特許第６，８６７，８６６Ｂ１号及び米国特許第７，０３８，８５０Ｂ２号で開示されているような）既存の体積積分法は、メッシュ細分に関して遅い収束を示す全空間離散化方式に、又は高調波の数の増加に関して不良な収束を示すスペクトル離散化方式に基づく。代替法として、収束を改良するために発見的方法を組み込んだスペクトル離散化方式が提案されている［２］。
【００５６】
[0078] ＶＩＭのために解くべき線形系は、ＲＣＷＡと比較してはるかに大きいが、反復的な方法で解く場合は、幾つかのベクトルの記憶とともに行列ベクトル積しか必要ではない。したがって、ＲＣＷＡではメモリの使用量が通常ははるかに少なくなる。障害となり得るのは、行列ベクトル積自体の速度である。ＶＩＭにリーの法則を適用すべき場合は、幾つかの逆部分行列が存在するので、行列ベクトル積がはるかに遅くなる。あるいは、リーの法則を無視し、ＦＦＴを使用して、高速行列ベクトル積に到達することができるが、不良な収束の問題が残る。
【００５７】
[0079] 本発明は、改良型体積積分法（ＶＩＭ）の実施形態に関する。本発明のある実施形態を使用して、レジスト格子上の現実的な２次元周期的ＣＤ再構築が、ＲＣＷＡより１０倍から１００倍高速であることが実証されている一方、メモリの使用量はＲＣＷＡより１０倍から１００倍少ない。本発明を詳細に説明する前に、本発明によって提供される速度の改良を図示する図６及び図７を参照しながら、結果を提示する。
【００５８】
[0080] 図６は、従来のＲＣＷＡ６０２と本発明のある実施形態による体積積分法（ＶＩＭ）６０４について、精度対処理時間を図示するグラフを示す。図６は、レジスト構造での１次反射係数のモデルの結果を示す。縦軸は、｜Ｒｐ−Ｒｐ＊｜／｜Ｒｐ＊｜によって与えられる相対誤差ＲＥであり、ここでＲｐは平行分極（電場が入射面に平行である）の反射係数であり、Ｒｐ＊は５桁の精度を達成するのに十分なモードでのＲＣＷＡの収束した解である。横軸は秒単位の中央処理装置（ＣＰＵ）の時間ｔであり、これはＶＩＭの式に対応する線形系を１つ解く時間である。ＲＣＷＡの結果のグラフ６０２は、グラフ６０４によって示された本発明のある実施形態によるＶＩＭの結果より長いＣＰＵ時間を示す。例えば、１０−２の相対誤差では、矢印６０６によって指示されているように、本発明のこの実施形態によって与えられるＣＰＵ時間に２０倍の改良がある。したがって図６は、相対誤差（又は精度）の全範囲にわたって、本発明は１つの解を計算するＣＰＵ時間の短縮につながることができることを示す。ＣＰＵ時間の短縮は、本発明を実際に適用するために非常に重要である。通常、その目的は約１秒で通常は１４，０００の解を終了することである。１秒がターゲットとなるのは、これが生産環境においてウェーハ上で連続的なスキャトロメータ測定を実行する時間だからである。このような短時間で計算を終了することにより、ウェーハの生産プロセスを減速せずにリアルタイムの分析を実行することが可能である。１４，０００という数字は、１８０という散乱角度に変更すべきモデルのパラメータ数（６又は７）を掛け、入射波の２つの独立分極を掛け、ターゲットの実際の形状を推定するために６の非線形解を掛けることによる。図６のデータは、図２１及び図２２に提示して以下で検討するデータを導出するために使用したものと同じデータセットから導出される。
【００５９】
[0081] 図７は、図６に示したものと類似のデータであるが、モデル化したシリコン構造及び０次反射係数のグラフを示す。同じ軸を使用するが、相対誤差の縦軸の対象となる範囲が狭くなり、時間の横軸の対象となる範囲が広くなっている。グラフ７０２はＲＣＷＡの結果であり、グラフ７０４は、本発明のある実施形態によるＶＩＭを使用した結果である。この場合も、１０−２の相対誤差に関して、矢印７０６で示すように本発明によって与えられるＲＣＷＡに対して２０倍の改良がある。
【００６０】
[0082] 図８は、本発明のある実施形態により再構築できる散乱幾何学的形状を概略的に図示している。基板８０２は、ｚ方向に層状になった媒体の下部分である。他の層８０４及び８０６が示されている。ｘ及びｙに周期的な２次元格子８０８が、層状媒体の最上部に示されている。ｘ、ｙ及びｚ軸は８１０でも示されている。入射場８１２が構造８０２から８０８と相互作用し、それによって散乱し、反射場８１４をもたらす。したがって構造は少なくとも一方向ｘ、ｙで周期的であり、異なる材料の間の材料境界において、入射場Ｅｉｎｃ及び散乱場ＥＳ、電磁場の成分の総和を備える電磁場Ｅｔｏｔに不連続部を引き起こすように、様々な特性の材料を含む。
【００６１】
[0083] 図９は、背景の構造を示し、入射場と層状媒体の相互作用を計算するために使用できるグリーン関数を概略的に図示する。層状媒体８０２から８０６は、図８と同じラベルが与えられている。ｘ、ｙ及びｚ軸も、入射場８１２とともに８１０で示されている。正反射場９０２も示されている。点源（ｘ’，ｙ’，ｚ’）９０４は、グリーンの関数と場９０６を生成する背景との相互作用を表す。この場合、点源９０４が最上層８０６より上にあるので、周囲の媒体との最上界面８０６からの背景反射９０８が１つのみである。点源が層状媒体内にある場合は、上方向と下方向の両方に背景反射がある（図示せず）。
【００６２】
[0084] 解くべきＶＩＭの式は以下の通りである。
【数１】
【００６３】
[0085] この式では、入射場Ｅｉｎｃは入射角、分極及び振幅の既知の関数であり、Ｅｔｏｔは未知で解が計算される全電場であり、Ｊｃはコントラスト電流密度であり、＝Ｇはグリーンの関数（３×３の行列）であり、χは（εｒ（ｘ，ｙ，ｚ，）／εｒ，ｂａｃ（ｚ）−１）によって与えられるコントラスト関数であり、ここでεｒは構造の比誘電率、εｒ，ｂａｃは背景媒体の比誘電率、χは格子の外側ではゼロである。
【００６４】
[0086] グリーンの関数＝Ｇ（ｘ，ｘ’，ｙ，ｙ’，ｚ，ｚ’）は、８０２から８０６を含む層状媒体について知られており、計算可能である。グリーンの関数は、ｘｙ面における畳み込み及び／又はモード分解（ｍ１，ｍ２）を示し、＝Ｇのｚ軸に沿った主要な計算上の負担は畳み込みである。
【００６５】
[0087] 離散の場合、全電場はブロッホ／フロケモードでｘｙ面に拡張する。χを掛けると、（ａ）ｘｙ面における離散畳み込み（２次元ＦＦＴ）及び（ｂ）ｚにおける積になる。ｘｙ面におけるグリーンの関数の相互作用は、モード毎の相互作用である。ｚにおけるグリーンの関数の相互作用は、１次元（１Ｄ）ＦＦＴと複雑さＯ（ＮｌｏｇＮ）で実行できる畳み込みである。
【００６６】
[0088] ｘｙにおけるモード数はＭ１Ｍ２であり、ｚにおけるサンプル数はＮである。
【００６７】
[0089] 効率的な行列とベクトルの積は複雑さＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎｌｏｇ（Ｍ１Ｍ２Ｎ））を有し、記憶の複雑さはＯ（Ｍ１Ｍ２Ｎ）である。
【００６８】
[0090] 反復的ソルバを使用し、クルイロフの部分空間法に基づいてＡｘ＝ｂのＶＩＭ解決法を実行する。例えばＢｉＣＧｓｔａｂ（１）法（Stabilized BiConjugate Gradient method）であり、これは通常、以下のステップを有する。
剰余誤差がｒｎ＝ｂ−Ａｘｎと定義されるように定義する
剰余誤差を介して更新ベクトルνｎを計算する
解を更新する：ｘｎ＋１＝ｘｎ＋αｎνｎ
剰余誤差を更新するｒｎ＋１＝ｒｎ−αｎＡνｎ
【００６９】
[0091] 図１０は、ＶＩＭ式に対応する線形系を解く高レベルの方法のフローチャートである。これは、体積積分を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。最高レベルでは、最初のステップは前処理１００２であり、入力を読み、ＦＦＴを準備することを含む。次のステップは、解１００４を計算することである。最後に、反射係数を計算する後処理１００６を実行する。ステップ１００４は様々なステップを含み、これは図１０の右手側にも示されている。これらのステップは、入射場の計算１００８、グリーンの関数の計算１０１０、更新ベクトルの計算１０１２、解及び剰余誤差の（例えばＢｉＣＧｓｔａｂを使用した）更新１０１４、及び収束に到達したかを見る試験１０１６である。収束に到達していない場合は、制御が、更新ベクトルの計算であるステップ１０１２にループして戻る。
【００７０】
[0092] 図１１は、図１０のステップ１０１２に対応する更新ベクトルの計算ステップを図示し、先行技術で知られている通りの体積積分法を使用し、これは電場Ｅの体積積分方程式を数値的に解くことによって構造の電磁散乱特性を計算する方法である。
【００７１】
[0093] ステップ１１０２は、４次元（４Ｄ）アレイ内でベクトルを再編成する。このアレイでは、第１次元は３つの要素Ｅｘ、Ｅｙ及びＥｚを有する。第２次元はｍ１の全値の要素を有する。第３次元は、ｍ２の全値の要素を有する。第４次元はｚの各値の要素を有する。したがって４Ｄアレイは、全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面における）スペクトル表示を記憶する。図１１のステップ１１０２から下がる３つの平行な点線の矢印は、それぞれＥｘ、Ｅｙ及びＥｚに１つずつ、各層ｚで実行されるステップ１１０４から１１１０による３つの２Ｄアレイの処理に対応する。これらのステップは、材料特性で電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の（ｘｙ面における）スペクトル表示の畳み込みを実行し、下式（１．３）に対応するコントラスト電流密度の（ｘｙ面における）スペクトル表示を計算する。詳細には、ステップ１１０４は、３つの２Ｄアレイ（２次元はｍ１及びｍ２に関する）を取り出すことを含む。ステップ１１０６で、３つのアレイのそれぞれについて２ＤのＦＦＴを順方向に計算し、空間領域にする。ステップ１１０８で、３つのアレイそれぞれに、フーリエ表示の打ち切りによってフィルタリングしたコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）の空間表示を掛ける。畳み込みは、ステップ１１１０で２ＤのＦＦＴを（ｘｙ面における）スペクトル領域に戻し、スペクトルコントラスト電流密度（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）を生じることで終了する。ステップ１１１２で、計算したスペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００７２】
[0094] 次にモードごとに（すなわちｚにおける全サンプルポイントで同時に）、ステップ１１１４から１１２２を実行する。ステップ１１１６の横から下がる３つの平行な点線の矢印は、下式（１．１）で積分項を計算することに対応し、これはコントラスト電流密度との背景相互作用であり、それ自体は構造との全電場の相互作用から生じる。これは、（ｚ方向に関する）スペクトル領域での乗法を使用し、（ｚ方向に関する）空間グリーンの関数での（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）の畳み込みによって実行される。
【００７３】
[0095] 詳細には、ステップ１１１４でスペクトルコントラスト電流密度（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）をｘ、ｙ及びｚのそれぞれについて３つの１Ｄアレイとして取り出す。ステップ１１１６で、３つのアレイのそれぞれについて１ＤのＦＦＴを順方向に計算して、ｚ方向に関するスペクトル領域にし、（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｋｚ）を生成することによって、畳み込みを開始し、ここでｋｚはｚ方向に関するフーリエ変数である。ステップ１１１８で、コントラスト電流密度の打ち切ったフーリエ変換に、（ｚ方向に関する）スペクトル領域内で空間グリーン関数＝ｇｆｒｅｅのフーリエ変換を掛ける。ステップ１１２０で、１ＤのＦＦＴを逆方向に実行し、ｚ方向に関する空間領域にする。ステップ１１２２で、ｚに関する空間領域内の背景反射（図９の９０８参照）を加える。このようにグリーン関数から背景反射を分離することは従来からの技術であり、このステップは、当業者に認識されるように、ランク１の投影を加えることによって実行することができる。各モードが処理されるので、このように計算された全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）の更新ベクトルをステップ１１２４で４Ｄアレイに戻す。
【００７４】
[0096] 次のステップは、ベクトル内で４Ｄアレイを再編成し１１２６、これはステップ１１０２「４Ｄアレイ内でベクトルを再編成する」とは、逆の動作であるという点で異なり、各１次元指数は４次元指数に一意に関連する。最後にステップ１１２８で、ステップ１１２６からのベクトル出力を入力ベクトルから引き、これは式（１．１）の右手側の減算に対応する。入力ベクトルは、図１１のステップ１１０２で入るベクトルであり、（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）（ｍ２，ｍ２，ｚ）を含む。
【００７５】
[0097] 図１１で説明した方法の問題は、ＲＣＷＡの結果に対して図１０の方法を使用して収束のプロットを示す図１９に関して以下で実証するように、不良な収束につながることである。この不良な収束は、打ち切ったフーリエ空間表示の誘電率及び電場に同時発生する飛越しによって引き起こされる。以上で検討したように、ＶＩＭ法では、収束の問題を克服するためにリーの逆法則は適切ではない。というのは、ＶＩＭでは逆法則の複雑さが、ＶＩＭの数値的解に必要な大量の逆演算のせいで非常に大きい計算上の負担につながるからである。本発明の実施形態は、リーによって説明されたような逆法則の使用に頼ることなく、同時発生の飛越しによって引き起こされる収束の問題を克服する。逆法則を回避することにより、本発明はＶＩＭのアプローチで反復的に線形系を解くために必要な行列ベクトル積の効率を犠牲にしない。
【００７６】
[0098] 図１２は、ＶＩＭの式を数値的に解くために連続的なベクトル場を使用する本発明のある実施形態を図示する。これは、基底の変換によって電場Ｅに関連するベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含み、ベクトル場Ｆは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、１つ又は複数の材料境界にて連続している。ベクトル場Ｆが、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに対する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、体積積分方程式を数値的に解くステップは、畳み込み及び基底変換演算子Ｃでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電場Ｅの成分を決定するステップと、畳み込み演算子Ｍでのベクトル場Ｆの畳み込みによって電流密度Ｊを決定するステップとを含む。畳み込み及び基底変換演算子Ｃは可逆的であり、少なくとも１つの方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を備え、材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、ベクトル場Ｆを電場Ｅに変換するように構成される。畳み込み演算子Ｍは、少なくとも一方向ｘ、ｙで構造の材料及び幾何学的特性を備える。電流密度Ｊはコントラスト電流密度でよく、少なくとも１つの方向ｘ、ｙに関する少なくとも１つの有限フーリエ級数で表される。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行される。畳み込み及び基底変換演算子Ｃ及び畳み込み演算子Ｍは、有限の結果を生成するように有限の離散的畳み込みに従って演算する。
【００７７】
[0099] 図１２は、中間ベクトル場ＦについてＶＩＭシステムを解くステップ１２０２を示し、後処理ステップ１２０４は畳み込み及び基底変換演算子Ｃでベクトル場Ｆの近似解を畳み込むことによって全電場Ｅを得る。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行することができる。図１２は、右手側にＶＩＭシステムを反復的に解くために効率的な行列ベクトル積１２０６から１２１６を実行する略図も示す。これは、ステップ１２０６の中間ベクトル場Ｆで開始する。初めてＦを設定する時には、それをゼロから開始することができる。その初期のステップの後、Ｆの推定は反復的ソルバ及び残差によって誘導される。次に、ｚ方向の各サンプル点について２ＤのＦＦＴにより中間ベクトル場Ｆでの畳み込み及び基底変換演算子Ｃの畳み込みを使用して、全電場Ｅを計算する１２０８。畳み込み及び基底変換演算子Ｃは、中間ベクトル場Ｆの基底を全電場Ｅの基底に変換するように構成される。また、ステップ１２１０で、中間ベクトル場Ｆでの材料畳み込み演算子Ｍの畳み込みを使用して、コントラスト電流密度Ｊを計算する。ステップ１２１０は、ｚの各サンプル点で実行され、畳み込みは２ＤのＦＦＴにより実行される。ステップ１２１２では、畳み込み及びグリーン関数Ｇとコントラスト電流密度Ｊとの間のランク１の投影を計算して、散乱電場ＥＳを生成する。畳み込みは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択されるような変換を使用して実行することができる。演算１２１４は、Ｅから２つの計算結果ＥＳを引き、Ｅｉｎｃの近似を得る１２１６。ステップ１２０２及び１２０６から１２１６は、以下で検討するように式（１．４）に対応する。ステップ１２０６から１２１６は更新ベクトルを生成するので、後処理ステップ１２０４を使用して、全電場Ｅの最終値を生成する。
【００７８】
[0100] 全電場Ｅを計算するために、別個の後処理ステップ１２０４ではなく、ステップ１２０８ですべての更新ベクトルの総和を記録することができる。しかし、そのアプローチは方法の記憶要件を増大させ、その一方、後処理ステップ１２０４は反復的ステップ１２０６から１２１６と比較して、記憶又は処理時間の点で高くつかない。
【００７９】
[0101] 図１３は、本発明のある実施形態による更新ベクトルの計算のフローチャートである。図１３のフローチャートは、図１２の右手側（ステップ１２０６から１２１６）に対応する。
【００８０】
[0102] ステップ１３０２で、４Ｄアレイ内でベクトルを再編成する。次に、ｚのサンプル点ごとにステップ１３０４から１３１８を実行する。ステップ１３０４では、３つの２Ｄアレイを４Ｄアレイから取り出す。これらの３つの２Ｄアレイ（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）はそれぞれ、（下式（２．４４）で説明するような）連続的なベクトル場Ｆの２つの接線成分Ｆｔ１、Ｆｔ２及び法線成分Ｆｎに対応し、それぞれがｍ１及びｍ２に対応する２次元を有する。したがってベクトル場Ｆは、法線ベクトル場ｎを使用して少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の電磁場Ｅの連続的成分をフィルタリングし、また少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の電磁束密度Ｄの連続的成分をフィルタリングすることによって、電磁場Ｅ及び対応する電磁束密度Ｄの場の成分の組合せから構築される。ステップ１３０６で、（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）で表されるスペクトル連続ベクトル場の畳み込みが、２ＤのＦＦＴをステップ１３０６で順方向に計算し、（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）で表される３つのアレイのそれぞれについて空間領域にすることによって開始する。ステップ１３０８では、ステップ１３０６から取得したフーリエ変換（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）に、空間領域内で空間乗法演算子Ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）を掛ける。ステップ１３１０では、ステップ１３０８で取得した積を２ＤのＦＦＴ逆方向によってスペクトル領域に変換する。次に、ステップ１３１２でスペクトル全電場（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）を４Ｄアレイに戻す。さらに、コピーを以下で検討する減算演算１３２２へと順方向に送り込む。
【００８１】
[0103] ステップ１３１４では、ステップ１３０６から取得したフーリエ変換（Ｆｔ１，Ｆｔ２，Ｆｎ）（ｘ，ｙ，ｚ）に空間領域内で乗算演算子Ｍを掛ける。ステップ１３１４の計算の積をステップ１３１６で、２ＤのＦＦＴ逆方向によってスペクトル領域に変換し、（Ｊｃｘ，Ｊｃｙ，Ｊｃｚ）（ｍ１，ｍ２，ｚ）で表されるスペクトルコントラスト電流密度を生成する。ステップ１３１８で、スペクトルコントラスト電流密度を４Ｄアレイに戻す。
【００８２】
[0104] 既知の入射電場Ｅｉｎｃの近似の計算を終了するために、ステップ１１１４から１１２２で、図１１の対応する同一の番号のステップに関して説明したのと同じ方法でモードｍ１、ｍ２ごとにグリーン関数と背景との相互作用を計算する。
【００８３】
[0105] ステップ１３２０では、背景＝Ｇのスペクトルグリーン関数及びスペクトルコントラスト電流密度Ｊの結果としての畳み込みを４Ｄアレイに戻す。最後にステップ１３２２で、既知の入射電場Ｅｉｎｃの近似の計算を、ステップ１３１２から順方向に送り込まれた全電場からステップ１３２０の結果を引くことで終了し、最終ステップ１３２４はベクトル内で４Ｄアレイを再編成する。すなわち４Ｄアレイの各４次元指数はベクトルの１次元指数に一意に関連付けられる。
【００８４】
[0106] 図１４は、本発明のある実施形態による方法を実行するために、プログラム及びデータで構成されたコンピュータシステムを概略的形態で示す。コンピュータシステムは、中央処理装置（ＣＰＵ）１５０２、及びプログラムの実行中にプログラム命令１５０６及びデータ１５０８を記憶するために使用されるランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１５０４を備える。コンピュータシステムは、プログラムの実行前及び実行後にプログラム命令及びデータを記憶するために使用されるディスク記憶装置１５１０も含む。
【００８５】
[0107] プログラム命令１５０６は高速フーリエ変換ルーチン１５１２、行列乗算関数１５１４、加算及び減算１５１６などの他の算術関数、及びアレイ編成関数１５１８を含む。データ１５０８は、ＶＩＭシステムを解く計算中に使用される４Ｄアレイ１５２０及び２Ｄアレイ１５２２を備える。入力及び出力用の他の従来からのコンピュータコンポーネントは示されていない。
【００８６】
[0108] 図１５は、均質な半分の空間上に楕円形の断面があるバイナリ格子セルの上面図１５０２及び側面図１５０４を示す。
【００８７】
[0109] 図１６は、均質な半分の空間上に楕円形の断面がある階段状格子セルの上面図１６０２及び側面図１６０４を示す。
【００８８】
[0110] 図１７は、次元ごとに奇数１７０６（白い支持体）及び偶数１７０８（中実／影の支持体）の投影演算子を導入することによって横断面内の階段状近似１７０４によって楕円１７０２を近似する手順を示す。一方向の投影演算子に他方向の投影演算子を掛けることにより、隔離されたボックスのパターンが現れる。これによって各隔離ボックスの支持体上に適切な挙動を有する連続関数を構築することができる。
【００８９】
[0111] 図１８は、ベンチマークモデル構造を示す。格子の１つのセルが、シリコン基板１８０２、底反射防止コーティング（ＢＡＲＣ）１８０４及びレジスト格子要素１８０６で示されている。
【００９０】
[0112] 放射及びモデルパラメータは以下の通りである。
波長：λ＝５００ｎｍ
ピッチｘ＆ｙ：λ×λ＝５００ｎｍ、×５００ｎｍ
フットプリント：０．１５λ×０．１５λ＝７５ｎｍ×７５ｎｍ
高さ：０．４３６λ＝２１８ｎｍ
充填：レジスト
背景：Ｓｉ上にＢＡＲＣ（９０ｎｍ）
θ，φ：８．１３°、４５°
分極：平行
ここでθは、ｚ軸に対する入射角であり、φは入射放射の方位角である。
【００９１】
[0113] 図１９は、図１１に関して説明した方法を使用して計算する先行技術のＶＩＭシステムの収束結果対ＲＣＷＡの計算を示す。図１１の縦軸は｜Ｒｐ−Ｒｐ＊｜／｜Ｒｐ＊｜によって与えられる相対誤差ＲＥであり、ここでＲｐは平行分極の反射係数であり、電場は入射面に平行であり、Ｒｐ＊は５桁の精度を達成するのに十分なモードでのＲＣＷＡの収束解である。横軸はモード数ＮＭであり、これは一方向で打ち切ったフーリエ級数の項の数であり、他の方向で同一のモード数を使用する。幾つかのグラフが示され、それぞれがｚで異なる数のサンプル点に対応する。グラフ１９０２は２つのサンプル点、グラフ１９０４は４つのサンプル点、グラフ１９０６は８つのサンプル点、グラフ１９０８は１６のサンプル点である。３２、１６４及び１２８のサンプル点のグラフは、１６のサンプル点のグラフ１９０８をオーバレイする。
【００９２】
[0114] 通常、ｚの８又は１６のサンプル点は、リソグラフィプロセス構造のシミュレーションでレジストを備える構造に使用され、７から９のモードは、−Ｎから＋Ｎのモード指数に対応して使用され、ここでＮ＝３又は４である。金属又はシリコンなどのさらに高いコントラストの材料には、場を適切に説明するためにさらに多数のモードが必要である。
【００９３】
[0115] 図１９の全グラフの大きい相対誤差は、体積積分法を使用した不良な収束を示し、これは上述したように誘電率及び電場で同時発生する飛越しの効果である。以上で検討したように、ＶＩＭシステムでは、収束の問題を克服するためにリーの逆法則を使用することが、計算を限定することになる多数の行列反転のせいで実際的ではない。
【００９４】
[0116] 図２０は、図１９に示したものと同じデータから導出したが、縦軸が秒単位のＣＰＵ時間ｔ、横軸がモード数ＮＭであるグラフでタイミングの結果を示す。グラフ２００２から２０１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。ｘの記号２０１６は、同じ構造のＲＣＷＡ計算の結果である。
【００９５】
[0117] 図２１は、図１２及び図１３に関して以上で検討した方法を使用して、本発明のある実施形態により大幅に改良された収束を示す。図２１のグラフを図１９のグラフと比較されたい。しかし、図２１の縦の縮尺の方が広い範囲にまたがり、図１９に示したものより相対誤差が２桁以上少ないことを示すことに留意されたい。グラフ２１０２から２１１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。
【００９６】
[0118] 図２２は、図２０と同じ軸であるが、図１２及び図１３に関して以上で検討した方法を使用して、本発明のある実施形態により生成されたデータのタイミング情報を示す。グラフ２２０２から２２１４は、それぞれｚにある２、４、８、１６、３２、６４及び１２８のサンプル点のプロットである。ｘの記号２２１６は、同じ構造のＲＣＷＡ計算の結果である。
【００９７】
[0119] ＣＰＵ時間ｔ対モード数ＮＭは、図２０に示したものと同様であることが分かる。
【００９８】
[0120] したがって図２１及び図２２は、本発明が体積積分法を使用した数値的解の収束を大幅に改良することを明白に示す。
【００９９】
[0121] 本発明の実施形態は、ＲＣＷＡよりも必要とするメモリ資源もはるかに少ない。ＲＣＷＡの記憶装置の要件は３７５＊（（Ｍ１＊Ｍ２）２）＊の精密度である。ＶＩＭの記憶装置の要件は、約６０＊（Ｍ１＊Ｍ２＊Ｎ）＊の精密度である。ここで、ｘのモード数はＭ１、ｘのモード数はＭ２、ｚのサンプル数はＮである。ＶＩＭの典型的な作業点は、Ｎ≒４＊（Ｍ１，２／ピッチｘ，ｙ）＊の高さである。
表１は、メモリの使用のために取得した結果を示す。
【表１】
【０１００】
[0122] 表１のデータを生成するために、以下の条件を使用した。
ピッチｘ＝ピッチｙ
Ｍ１＝Ｍ２
高さ／ピッチ＝０．４３６
精密度＝複合倍
ＶＩＭ：作業点で演算
【０１０１】
[0123] 表１は、典型的な格子ではＶＩＭの方がＲＣＷＡより記憶装置の要求が低いことを明白に示す。
【０１０２】
[0124] さらなる実施形態について以下で説明する。
【０１０３】
序
[0125] 体積積分方程式法（ＶＩＭ）は、２つの式の組で構成される。最初の式は、入射場及びコントラスト電流密度に関して全電場を説明する積分表示であり、後者はグリーン関数と相互作用する。すなわち、
【数２】
の場合に下式となる。
【数３】
【０１０４】
[0126] さらに、＝Ｇは背景媒体のスペクトルグリーン関数を指し、これはｚ方向に平面層化し、ｅ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はｘｙ面のスペクトル基底に書かれた全電場Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指し、ｊ（ｍ１，ｍ２，ｚ）はこれもｘｙ面のスペクトル基底に書かれたコントラスト電流密度Ｊｃ（ｘ，ｙ，ｚ）のスペクトル成分を指す。
【０１０５】
[0127] 第２の式は全電場とコントラスト電流密度との関係であり、これは構成内に存在する材料によって画定された構成関係である。すなわち下式となる。
【数４】
【０１０６】
[0128] ここで、Ｊｃはコントラスト電流密度を指し、ωは角周波数、ε（ｘ，ｙ，ｚ）は構成の誘電率、εｂ（ｚ）は層状背景の誘電率であり、Ｅは全電場を指し、全て空間基底で書かれている。後者の式をｘｙ面のスペクトル基底に変換することが、本文書の主な焦点である。
【０１０７】
[0129] 単刀直入なアプローチは、［１，２］で提案されているように、式（１．２）をスペクトル領域に直接変換することである。すなわち下式になる。
【数５】
【０１０８】
[0130] ここでＭ１ｌ及びＭ２ｌは、Ｅ及びＪｃという有限フーリエ表示を考慮したスペクトルの下限であり、Ｍ１ｈ及びＭ２ｈはスペクトルの上限である。さらに、χｓ（ｋ，ｌ，ｚ）は横（ｘｙ）面に対するコントラスト関数χ（ｘ，ｙ，ｚ）のフーリエ係数である。しかし、スペクトル基底で場と材料の相互作用を扱う際の主な数値的問題の１つは、実空間の単純な積式が、（数値導入の場合のように）積変数の一方又は両方の表示が有限（又は打ち切った）フーリエ展開を有する場合に、常にフーリエ空間で畳み込みによって正確に再現されるわけではないことを観察することである。さらに詳細には、積の両方の変数がいわゆる同時発生の相補的飛越し状態を示す場合は、打ち切ったフーリエ展開にとって標準的な畳み込みである「ローランの法則」より、「逆法則」の方がはるかに良好な精度特性を有することが示されている。この観察は、ＲＣＷＡの状況で２Ｄ及び３Ｄの場と材料の相互作用について、リー［３，４］によってさらに詳細に計算されている。
【０１０９】
[0131] ＶＩＭ内では、これらの観察が等しく当てはまる。電場とコントラスト電流密度のスペクトル離散を採用しているので、類似の問題に直面している。Ｅ及びコントラスト関数の飛越しが同時発生するが、これらは相補的ではない。というのは、コントラスト関数が、背景に対して摂動する幾何学的形状の支持体の外側ではゼロだからである。したがって、リーの法則の基本原理を慎重に解釈する必要がある。さらに、ＶＩＭ内の別の主な問題は、逆法則の効率である。ローランの法則は、ＦＦＴ導入により計算の複雑さは低いが、逆法則は通常、完全な行列とベクトルの積につながり、これはローラン［５］によって提案された近似法則の［２］で観察されるように、ＶＩＭの効率を非常に低下させる。したがって、スペクトル基底の精度を犠牲にせずに、畳み込み構造を保持できる方法を探すことが望ましい。そのために、以下の形態の変更ｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式を公式化し、
【数６】
について下式を解くように提案する。
【数７】
【０１１０】
[0132] さらに、＝Ｇは、背景媒体のスペクトルグリーン関数を指し、演算子Ｃε及びＶεは、１Ｄ及び／又は２ＤのＦＦＴにより効率的な行列とベクトルの積を可能にする演算子である。
【０１１１】
２ 調査
２．１ 準備
[0133] 全電場とコントラスト電流密度との関係は、マクスウェルの方程式及び背景構成の概念から導出される。背景の選択は、この背景に関してグリーン関数を探し出す能力に関係する。したがって通常、背景は平面層状媒体などの単純化した構成である。ここで、層化はｚ方向に生じ、全体に一定の透磁率を有して、したがって誘電率しか変動しない材料で構成されると仮定する。アンペア・マクスウェルの方程式を求めて、一次源がない状態で下式になる。
【数８】
【０１１２】
[0134] ここで、Ｈは磁場強度、ωは角周波数、Ｄは電束密度、εは誘電率、Ｅは電場強度である。
【０１１３】
[0135] 次に、背景の誘電率をεｂで示すと、コントラスト電流密度Ｊは下式で定義される。
【数９】
【０１１４】
[0136] さらに、正規化した量ｑを下式のように定義したい。
【数１０】
【０１１５】
[0137] ここで、χはコントラスト関数である。この概念で、下式を導入する。
【数１１】
【０１１６】
[0138] ここで、Ｉは単位作用素である。
【０１１７】
２．２ 逆法則の基本原理
[0139] 周期ｐで１Ｄ周期関数Ｖ（ｘ）、及び係数νｎ，ｎ∈Ｚで対応するフーリエ級数を考察してみる。これらの間の関係は下式によって与えられる。
【数１２】
【０１１８】
[0140] さらに、これも周期ｐで１Ｄ周期関数Ｋ（ｘ）、及び対応するフーリエ係数ｋｎを導入する。
【０１１９】
[0141] フーリエ係数ｋｎ及びνｎに関して積Ｋ（ｘ）Ｖ（ｘ）を近似することに関心がある。Ｋ（ｘ）及びＶ（ｘ）が連続的な周期関数である場合、フーリエ理論は下式のことを伝えてくれる。
【数１３】
【０１２０】
[0142] ここで、下式の通りである。
【数１４】
【０１２１】
[0143] ここで、級数はＫ及びＶの連続性により、ノルムで収束する。この法則はローランの法則又は畳み込み法則として知られている。さらに、例えば、
【数１５】
のようにチルド記号で示すが、（全ての数値的導入のように）有限（又は打ち切った）フーリエ級数のＫ（ｘ）Ｖ（ｘ）の近似に関心がある場合は、
【０１２２】
[0144] 有限フーリエ級数Ｖ（ｘ）から有限フーリエ級数のＫ（ｘ）Ｖ（ｘ）の収束する近似を作成できるかという疑問が生じる。したがって、下式になるように、係数ｃｎを構築できるかである。
【数１６】
【０１２３】
[0145] ここで、下式の通りである。
【数１７】
【０１２４】
[0146] 〜Ｖ（ｘ）の有限フーリエ級数の係数が集合｛−Ｎ，・・・，Ｎ｝に限定され、〜Ｋ（ｘ）の係数が集合｛−２Ｎ，・・・，２Ｎ｝で必要であることに留意されたい。これは、多くの畳み込みの問題のケースであり、ここでＶは規定された畳み込み核Ｋのフィルタで変換する必要がある信号を表す。この有限ローランの法則は、行列とベクトルの積を介して実施することができ、ここで係数ｋｎは行列内に配置され、係数νｎは列ベクトルとして構成される。νｎの係数がその指数ｎに従って構成されると、係数ｋｎの行列はテプリッツ行列である。このテプリッツ行列によって、順方向及び逆方向高速フーリエ変換（ＦＦＴ）による効率的な行列とベクトルの積が可能になる。
【０１２５】
[0147] リーによる論文［３，４］は、関数Ｖ（ｘ）及び／又は関数Ｋ（ｘ）がいずれでも連続的である場合は、式（２．１３）の有限ローランの法則を適用できることを実証している。さらに、Ｖ（ｘ）が周期の有限数の点で不連続であり、Ｋ（ｘ）がそれらの点の近傍で連続している場合は、有限ローランの法則も当てはまる。このような場合は、Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）がフーリエ因数分解可能であると言う。しかし、Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）が両方とも不連続の点がある、すなわち関数Ｖ（ｘ）及びＫ（ｘ）がいわゆる同時発生の飛越しを有する場合、有限ローランの法則は不良な近似特性を有する。
【０１２６】
[0148] １つの特殊なケースでは、リーは、逆法則として知られ、近似特性の向上につながる別の法則があることを示している。この特殊なケースは、Ｋ（ｘ）及びＶ（ｘ）が同じ点に不連続部を有するが、その不連続部が相補的である、すなわちＫ（ｘ）及びＶ（ｘ）の不連続部は、Ｋ（ｘ）とＶ（ｘ）の積が連続であるような状況の周囲で繰り返す。法則を構築するために、関数Ｗ（ｘ）＝Ｋ（ｘ）Ｖ（ｘ）であることに気づく。これで、Ｗ（ｘ）及び核１／Ｋ（ｘ）に適用されたローランの法則は、Ｖ（ｘ）の係数につながる。すなわち下式になる。
【数１８】
【０１２７】
[0149] ここで、κｎは１／Ｋ（ｘ）のフーリエ級数の係数であり、ｗｎはＷ（ｘ）のフーリエ級数の係数である。Ｗ（ｘ）が連続しているので、Ｗ（ｘ）／Ｋ（ｘ）の有限フーリエ級数の近似を得るために有限ローランの法則を適用することができ、これは係数κｎのテプリッツ行列Ｔ及び係数ｗｎのベクトルにつながり、従って下式となる。
【数１９】
【０１２８】
[0150] したがってＷ（ｘ）及び１／Ｋ（ｘ）はフーリエ因数分解可能である。最後に、行列Ｔを反転させると、下式になる。
【数２０】
【０１２９】
[0151] したがって、「逆法則」という名称になる。
【０１３０】
２．３ ２Ｄの周期的単位セルの軸に沿って位置合わせされた縁部がある単一のブリックに関する変更リーの法則
[0152] ｘｙ面で周期的構成の長方形の単位セル内にある長方形領域上で、固定されたｚ位置での背景媒体が一定で、コントラスト関数が非ゼロの連続関数、例えば定数である構成を考察してみる。さらに、長方形領域が単位セルと同じ方位を有すると仮定する。χの支持体の形状を画定するために、下式を導入する。
【数２１】
【０１３１】
[0153] 次に、ｚ方向に沿った固定位置で、背景に対する誘電率及びその逆数を、（材料が等方性、すなわち誘電率がスカラーであると仮定して）以下のように定義することができる。
【数２２】
【０１３２】
[0154] ここで、χｃは連続的関数又は定数であり、（ｘ０，ｙ０）は長方形支持体の中心位置であり、下式になる。
【数２３】
【０１３３】
[0155] これはεｒ，ｂ・εｒ，ｂ−１＝１という条件の結果である。
【０１３４】
[0156] 次に、有限フーリエ空間に畳み込み演算子〜Ｐｘ及び〜Ｐｙを導入し、これは下式のように（スペクトルベースで）任意の場ｖに作用する。
【数２４】
【０１３５】
[0157] これは、
【数２５】
及び、
【数２６】
の場合であり、これは２Ｄフーリエ係数の整数指数である。さらに下式がある。
【数２７】
【０１３６】
[0158] ここで、ａ及びｂはそれぞれｘ及びｙ方向の単位セルの寸法であり、ｘ及びｙ方向のパルス関数の支持体が積分間隔内にあると仮定する。
【０１３７】
[0159] 空間領域内で、正規化した電束と電場のｘ成分間に以下の関係がある。
【数２８】
【０１３８】
[0160] これは、下式のようなそのスペクトルの対応物に直接つながることになる。
【数２９】
【０１３９】
[0161] ここで、Ｉは単位作用素を表し、Ｅｘ及び＾Ｄｘの上の〜は有限フーリエ表示を指す。しかし、この式は、誘電率関数及び電場が同時発生の飛越しを有するという事実を完全に無視し、それはこの近似の性能を甚だしく低下させる。したがって、次にローランの法則と逆法則の組合せに到達するために、リーの推論の方針［３，４］に従う。
以下の関係式から開始する。
【数３０】
【０１４０】
[0162] ＾Ｄｘはｘ方向に連続し、したがってΠΔｘの乗算をスペクトル領域内で演算子〜Ｐｘと交換できることに気づく。しかしｙ方向では、上式に同時発生の飛越しが観察される。パルス関数ΠΔｙは空間投影演算子であるので、等べき特性により、及び〜Ｐｘがｙ方向では定数乗数としてのみ作用し、ΠΔｙと交換可能であるという事実により逆に構築することができる。このような場合、Ｉ＋ＡΠΔｙの逆数はＩ＋ＢΠΔｙの形式であり、ここでＢは以下の代数特性の結果である。
【数３１】
【０１４１】
[0163] 上式から、（Ｂ＋Ａ＋ＢＡ）＝０となる、すなわちＢ＝−Ａ（Ｉ＋Ａ）−１である。さらに、〜Ｐｘ〜＾Ｄｘの有限スペクトル表示の空間表示をＰｘ＾Ｄｘとし、Ｐｙでも類似の表記となる。これらの表記で、以上の推論の方針に従い、下式に到達する。
【数３２】
【０１４２】
[0164] この時点で、乗算演算子ΠΔｙはＰｙで表す有限ローランの法則に対してスペクトルの対応物を有する。さらに、Ｐｘ及びＰｙが異なる指標で作用することから、演算子（Ｉ＋＾χｃＰｘ）−１はＰｙと交換可能である。
【０１４３】
[0165] これで、両方とも有限フーリエ級数に関して表された正規化した電束と電場は、以下の関係になる。
【数３３】
ここで、ｚ成分は、Ｅｚがｘｙ面で連続しているという観察により、こうなる。体積積分方程式の場合は、全電場Ｅ及び正規化したコントラスト電流密度ｑにしか関心がない。後者の場合は下式となる。
【数３４】
【０１４４】
[0166] ここで、＾χｃとχｃの間の関係を採用した。
【０１４５】
[0167] Ｅからｑを得るために以上の行列とベクトルの積に逆演算子（Ｉ＋＾χｃＰｘ）−１及び（Ｉ＋＾χｃＰｙ）−１が存在するので、全体的な体積積分方程式の行列ベクトル積は数値的な複雑さが非常に増大してしまう。したがって、これらの逆関数がもたらす精度の上昇を犠牲にせずに、それを回避することが非常に好ましい。したがって、Ｅに対して以下の関係を有する新しいベクトル場Ｆを導入することを提案する。
【数３５】
【０１４６】
[0168] これは、第１式についてはｘ方向に沿って、第２式についてはｙ方向に沿って１ＤのＦＦＴにより実施することができる。
【０１４７】
[0169] これで、ｑとＦの間の関係は下式のようになる。
【数３６】
【０１４８】
[0170] これはｘｙ面で２ＤのＦＦＴにより実施することができる。
【０１４９】
[0171] これで、ＥとＦの関係及びｑとＦの関係は両方とも、有限ローランの法則に従って畳み込み演算子を有し、これによってその行列ベクトル積が効率的になる。というのは、１Ｄ及び２ＤのＦＦＴ（の組合せ）によって実施できるからである。したがって、Ｅではなくベクトル場Ｆについて体積積分方程式を解き、追加の後処理ステップを介して式（２．３６）から（２．３８）へ電場Ｅを得る。先行技術の手順と比較したこの手順の変化は、今回は１つの（ｑのみの）演算子ではなく２つの（すなわちＥに１つ、ｑに１つの）演算子を、及び後処理ステップを使用することである。しかし、本発明の実施形態による新しい手順のこれらの２つの演算子は、先行技術の手順で１つの演算子よりはるかに効率的に実施される。
【０１５０】
２．４ 法線ベクトル場の定式化
[0172] 以上の変更リーの法則に関する検討は、ＦＦＴによる計算の低い複雑さは、コントラスト関数の幾何学的形状のタイプをかなり制限することを示す。したがって、ＦＦＴが場と材料の相互作用式の優勢な演算であり続けるフレームワークを探し出すことが最も重要である。論文［６］で適切な開始点を探し出した。それを進める概念の１つは、誘電率関数の幾何学的形状の縁部及び隅部に対応する隔離された点又は線という例外がある可能性があるが、どこでも連続的である補助ベクトル場を導入することである。これは、以前のセクションの状況と同様であり、そこでは有限ローランの法則の形態で収束が良好な畳み込みを可能にした（他の）中間連続ベクトル場Ｆも導入していた。しかし、有意の違いは、［６］が線形系を解くために補助ベクトル場を使用することを教示せず、かわりに［６］は線形系を解く基底としてＥを使用するように教示していることである。
【０１５１】
[0173] 一方のコントラスト電流密度Ｊ（又はｑ）及び電場Ｅをスペクトル領域の畳み込みの形態で連続ベクトル場Ｆに関連させる１組の式を設定することが可能である。Ｆは連続的であるので、それで演算する畳み込みは有限ローランの法則の形態をとり、したがってＦＦＴによって実行することができる。その方法で、Ｆが基本的未知数である１組の式に到達し、その未知数に対して系を解き、追加の後処理ステップによって電場及び／又はコントラスト電流密度を取得し、そこから構成の所望の散乱特性、例えば反射係数を導出することができる。
【０１５２】
[0174] 前置きの検討から、ＦとＪの関係は一方ではＥとＤの、他方ではＦの関係の結果である。［６］の表示では、その概念は以下の関係式を確立するものである。
【数３７】
【０１５３】
[0175] ベクトル場Ｆは、電場の場の成分と電束密度の成分との組合せから構築される。材料界面での境界条件から、電場の接線成分と電束密度の法線成分とが連続し、材料界面の隅部及び縁部に対応する点及び線の例外がある可能性があることが分かっている。Ｅ及びＤのこれらの連続成分をフィルタリングするために、実数値法線ベクトル場を導入する。この法線ベクトル場ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）は以下の特性を有する。
・各材料界面と直交方向に向いている。
・空間内の各点に単位長を有する。
【０１５４】
[0176] 以上に加えて、このベクトル場を画定する他の制限はないが、何らかの形態の連続性など、他の特性を含むと都合がよい。
【０１５５】
[0177] ベクトル場ｎを使用して、電束密度の不連続成分をフィルタリングすることができ、その結果、連続的なスカラー場Ｄｎ＝（ｎ，Ｄ）となり、ここで（．，．）はスカラー積を表す。さらに、法線ベクトル場から、２つのいわゆる接線ベクトル場ｔ１及びｔ２を探し出すことができ、これはｎとともに３Ｄ空間の各点で正規直交基底を形成する。例えば、ｎｘ及びｎｙを下式のように構築できる法線ベクトル場ｔ１のｘ及びｙ成分とする。
【数３８】
ここで、ｕｘ及びｕｙはそれぞれｘ及びｙ方向に沿った単位ベクトルを指す。最後に、ｎとｔ１とのクロス乗積を介してベクトル場ｔ２が生成される。
【０１５６】
[0178] 接線ベクトル場を使用して、下式のように電場の連続成分を抽出することができる。
【数３９】
【０１５７】
[0179] ［６］の後、次に下式のように連続ベクトル場Ｆを構築する。
【数４０】
【０１５８】
[0180] 法線ベクトル場ｎは、下式のように演算子Ｐｎの定義を生成する。
【数４１】
【０１５９】
[0181] ここで、ｖは任意の３Ｄベクトル場である。法線ベクトル場ｎの特性から、Ｐｎは投影演算子であり、したがって等べき、すなわちＰｎＰｎ＝Ｐｎであることが分かる。同様に、下式のように演算子ＰＴを導入することができる。
【数４２】
これも投影演算子である。次に、ベクトル場Ｆから式（２．４０）の演算子を構築するためにこれらの演算子Ｐｎ及びＰＴを使用できる方法を示す。
【０１６０】
[0182] 一方で電場と電束密度の間の空間領域関係、他方でベクトル場Ｆの定義から開始する。下式がある。
【数４３】
【０１６１】
[0183] ここで、Ｍεは、通常は非等方性である誘電率テンソルεを掛けた乗算演算子であり、Ｍε−１は、誘電率関数の（点別）逆数を掛けた乗算演算子である。
【０１６２】
[0184] 最初に、ＥとＦの関係を確立する。というのは、下式があるからである。
【数４４】
【０１６３】
[0185] 後者の式を再構成し、Ｐｎの等べきを採用すると、下式が得られる。
【数４５】
【０１６４】
[0186] これで、上式では式の両辺が演算子Ｐｎの範囲に属することが分かる。投影演算子の１つの重要な特性は、投影演算子がその等べきのせいでその範囲の単位作用素で一意に識別されることである。したがって、Ｐｎの範囲からのマッピングとしての左辺をＰｎの範囲に制限すると、左辺の演算子を反転して、下式に到達することができ、ここで制限が可能であるのは、ＰｎがＥに作用する演算子の両辺に現れるからである。
【数４６】
ここで、（ＰｎＭεＰｎ）−１はＰｎの範囲の（ＰｎＭεＰｎ）の逆数、すなわち（ＰｎＭεＰｎ）−１（ＰｎＭεＰｎ）＝Ｐｎである。逆演算子の存在について、以下で確立する。
【０１６５】
[0187] したがって式（２．４０）の線形演算子Ｃεは下式によって与えられる。
【数４７】
【０１６６】
[0188] 同様の方法で、電束密度とベクトル場Ｆの間の関係を導出することができる。
【数４８】
【０１６７】
[0189] 第２の式では、次にＥを除去するために式（２．５４）を採用することができる。すなわち、下式である。
【数４９】
【０１６８】
[0190] したがって、下式となる。
【数５０】
【０１６９】
[0191] この時点で、（ＰｎＭεＰｎ）−１という例外がある可能性があるが、全ての演算子、すなわちＰｎ、ＰＴ及びＭεは空間領域の点別乗算演算子であることを認識することが重要である。さらに、誘電率プロファイル内の飛越しは、法線ベクトル場の（生じ得る）飛越しと同じ位置では発生しない。しかし、複数の投影演算子（すなわちＰｎ及び／又はＰＴ）又は複数の材料演算子（例えばＣε及びＭε）が係わる積では、同時発生の飛越しが発生することが可能である。さらに、投影演算子の空間等べき特性は、有限フーリエ級数展開では維持されない。したがって、フーリエ領域で演算子を構築する前に、空間領域で全等べき特性を計算する。これを達成する最も単純な方法は、乗算演算子の各組合せ（積）が再び乗算演算子になることを認識することである。したがって、全演算子Ｃε及び演算子εＣεの各項について、単一の乗算演算子を構築することを目指す。それが達成されると、空間領域の各乗算演算子がスペクトル領域の畳み込み演算子になり、これは全て連続ベクトル場Ｆで作用するので、有限ローランの法則によって実施することができる。
【０１７０】
２．４．１ 演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１
[0192] 次に演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１に注目する。これが点別乗算演算子であることを示し、その式を導出する。
【０１７１】
[0193] 投影演算子Ｐｎの定義から、下式を容易に導出することができる。
【数５１】
【０１７２】
[0194] これは、（ｎ，εｎ）が、誘電率関数のエネルギー特性により決してゼロにならないスカラー場であるからである。すなわち、可能な全ての電場Ｅの（Ｅ，ε＊Ｅ＊）は電力密度である。したがって、スカラー場の逆数は、単に（ｎ，εｎ）−１＝１／（ｎ，εｎ）＝ζによって与えられる。従って下式となる。
【数５２】
【０１７３】
２．４．２ 等方性の場合の法線ベクトル場の定式化
[0195] 等方性媒体の場合、演算子Ｍεはスカラー乗算であり、それにより一方の演算子Ｐｎ及びＰＴと他方のＭεが交換可能である。さらに、演算子（ＰｎＭεＰｎ）−１＝ＰｎＭ１／ε＝Ｍ１／εＰｎであり、ここでＭ１／εは、εの（スカラー）逆数の乗算である。これらの観察から、演算子Ｃεは下式になる。
【数５３】
【０１７４】
[0196] さらに、演算子εＣεは下式になる。
【数５４】
【０１７５】
２．４．３ バイナリ格子の法線ベクトル場の定式化
[0197] バイナリ格子とは、その全高にわたって均一な断面を有する格子である。ｚが媒質の層化の方向であり、格子が間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］内に画定されると仮定すると、後者の間隔内で格子構造の誘電率関数はｘ及びｙのみの関数である。図１５を参照されたい。ｚの空間離散、又は間隔ｚ∈［ｚｌ，ｚｈ］に専用のスペクトル離散を使用すると、全体的にｚ方向に沿った単位ベクトルに平行な接線ベクトル場の１つを選択することができる。法線ベクトル場及び第２の接線ベクトル場は、これで基本的に２次元ベクトル場となる。すなわちｚ方向に垂直であり、ｘ及びｙ座標にのみ依存する。法線ベクトル場を決定すると、第２の接線ベクトル場は法線ベクトル場とｚ方向の単位ベクトルとのクロス乗積の結果となる。このように、法線及び接線ベクトル場を生成する問題は、法線ベクトル場のみを生成することへと軽減される。さらに、場と材料の相互作用の計算は、ｘｙ面での２Ｄ畳み込みの形態をとり、これはｚ方向に対して分離される。法線ベクトル場は多くの方法で生成することができる。ＲＣＷＡの状況で［７，８］で提案されている。
【０１７６】
２．４．４ 実施例：等方性バイナリ格子の場と材料の相互作用行列の係数
[0198] 長方形の単位セルｘ∈［−ａ／２，ａ／２］， ｙ∈ ［−ｂ／２，ｂ／２］を考察してみる。間隔ｚ∈［ｚ０，ｚ１］の場合、誘電率関数はε（ｘ，ｙ）によって与えられる。さらに、ｎｘ（ｘ，ｙ）及びｎｙ（ｘ，ｙ）を法線ベクトル場のｘ及びｙ成分ｔ１ｘ（ｘ，ｙ）＝−ｎｙ（ｘ，ｙ）、ｔ１ｙ（ｘ，ｙ）＝ｎｘ（ｘ，ｙ），及びｔ２＝ｕｚとする。この場合、式（２．６２）を参照すると、以下の演算子の式になる。
【数５５】
【０１７７】
[0199] ここで畳み込み演算子Ｃの係数は下式によって与えられる。
【数５６】
【０１７８】
[0200] 及びＩは単位作用素を表す。
【０１７９】
２．４．５ 階段状格子の法線ベクトル場の定式化
[0201] 格子構造は、層化の方向、すなわちｚ方向の階段近似によって幾何学的に近似することができる。図１６を参照されたい。すなわち、ｚ方向の独立した間隔（スライス）のシーケンスを選択し、これらの間隔ごとに、ｚ方向から独立した誘電率関数によって誘電率関数を近似する。次に、間隔のそれぞれに専用の離散を使用することにより、バイナリ格子のシーケンスに到達し、それに上記のセクション２．４．３で示した手順を適用することができる。すなわちスライスごとに法線ベクトル場を生成し、スライスごとに場と材料の相互作用の演算子を構築するが、これは両方とも基本的に２次元である。
【０１８０】
２．５ 畳み込み構造を維持する変更リーの法則と法線ベクトル場の定式化の代替方法
[0202] 前述のセクションで、スペクトル基底の精度を保持しながら、場と材料の相互作用の効率的な行列ベクトル積を構築するために、いわゆるｋ空間リップマン・シュウィンガー方程式を変更した。これは、Ｆを計算したら、非常に少ない追加の計算でＥが取得されるように、Ｅによって示された電場と１対１対応する補助ベクトル場Ｆを導入することによって達成した。基本的に、下式の形態の１組の式を導出した。
【数５７】
【０１８１】
[0203] ここで、Ｅｉは入射場を指し、Ｇは層状背景媒体のグリーン関数の行列表示を指し、Ｃε及び（εＣε）はＦＦＴの形態の効率的な行列ベクトル積に対応する。
【０１８２】
[0204] 以上の場合、ＦとＥの１対１対応によって、コンパクトで効率的な形式が可能になる。しかし、効率的な行列ベクトル積とともに高い精度というターゲットを達成するために、別の経路が存在する。これらの代替方法をさらに探求し、文書にすることが、本セクションの目的である。既存の形式を、Ｅと補助ベクトル場Ｆとの１対１対応を削除することによって拡張することができる。これは、例えばセクション２．５．２で示すように、例えば電場Ｅ内より補助ベクトル場Ｆ内に多くの自由度を導入する場合である。さらなる措置を執らないと、ベクトル場Ｆに関する線形方程式の結果となる組は決定が不十分であり、したがってＦは一意ではなく、このことは反復的ソルバを使用する場合は通常望ましくない。というのは、これが通常、多数の反復又は反復プロセスのブレークダウンにつながるからである。この状況を克服するために、量Ｆ、Ｅ及び／又はＪの間に追加の組の線形制約を見越す。この基本原理で、以下の一般化した組の変更リップマン・シュウィンガー方程式に到達する。
【数５８】
【０１８３】
[0205] ここで、以上の行列方程式の各演算子は、例えばＦＦＴによって効率的な行列ベクトル積を実施することができる。
【０１８４】
２．５．１ ラランの法則
[0206] ２Ｄ周期性の周期構造についてリーが導出した法則の前に、ララン［５］は誘電率行列Ｍεの重み付き平均式（［５］でＥと表す）及び逆誘電率行列（Ｍｉｎｖ（ε））−１の逆行列（［５］でＰ−１と表す）を提案している。この作業方法のために、電場Ｅと補助ベクトル場Ｆの組合せで作業することができる。後者のベクトル場は、高速の行列とベクトルの積を獲得し、コントラスト電流密度Ｊ又はその縮尺した相対物ｑを計算するために、（Ｍｉｎｖ（ε））−１とＥの間の積に遭遇した時点で導入される。
【数５９】
【０１８５】
[0207] ここでＦは下式を満足する。
【数６０】
【０１８６】
[0208] ＭεとＭｉｎｖ（ε）は両方とも、ＦＦＴにより効率的な行列とベクトルの積を実施する。
【０１８７】
[0209] 式（２．７３）と（２．７４）の結果は、式（２．７２）の形態でより大きい線形系として実施することができる。ここで、演算子Ｉ及びＧを含む第１の組の式は元のままである。第２の組の式は、一方のＪと他方のＥ及びＦの間で関係式（２．７３）をもたらす。すなわちＣ１１＝ｊωα（Ｍε−εｂＩ）、Ｃ１２＝−Ｉ，及びＣ１３＝ｊω（１−α）Ｉである。次に、第３の組の式は式（２．７４）のようにＥとＦを関連させる。すなわちＣ２１＝−Ｉ、Ｃ２２＝０及びＣ２３＝Ｍｉｎｖ（ε）である。最後に、Ｃ３１、Ｃ３２、Ｃ３３を含む最終組の式、及び右辺の最終行はなくなる。これは、ベクトル場Ｆの近似解を決定するように、電磁場Ｅに関連し、それとは異なるベクトル場Ｆの体積積分方程式を数値的に解くことを含むことによって、構造の電磁散乱特性を計算することによって実施することができる。ここで、ベクトル場Ｆは、可逆演算子Ｍｉｎｖ（ε）によって電場Ｅに関連付けられる。
【０１８８】
２．５．２ 連結のリーの法則
[0210] 交差した格子の場合、リーは対応する相互作用の行列が（ブロック）テプリッツ行列及び逆（ブロック）テプリッツ行列の積の合計で構成されている場合、スペクトル基底で場と材料の相互作用がよりよく捕捉されることを示している。（ブロック）テプリッツ行列は、ＦＦＴの形態で効率的な行列とベクトルの積を可能にするが、逆テプリッツ行列はテプリッツの形態を有していない。したがって、補助ベクトル場の概念を拡張することにより、制約とともに追加の補助場を導入し、（ブロック）テプリッツ行列の逆数も考慮に入れた効率的な行列とベクトルの積に到達することができる。
【０１８９】
[0211] バイナリ格子の等方性媒体の場合を考慮してみる。次に、リーの法則は、横面、すなわちｘｙ面の場の成分にのみ変更が必要である。この状況は、単一の長方形ブロックの場合と同様であるが、ここでは隣接していても、していなくてもよい幾つかのブロックから誘電率関数を構築する。特に、誘電率関数及び対応する逆誘電率関数は、下式のように書かれる。
【数６１】
【０１９０】
[0212] ここで、Παβは、方向βのパルス関数であり、ラベルαを伴う全間隔の支持体を有する。ｘ方向にはＩ個の間隔があり、ｙ方向にはＪ個の間隔がある。さらに、χｉ，ｊは関数Πｉｘ（ｘ）Πｊｙ（ｙ）の支持体の連続スカラー関数であり、＾χｉ，ｊ＝−χｉ，ｊ／（１＋χｉ，ｊ）である。
【０１９１】
[0213] 電場及び電束のｘ成分に関する関係式Ｅｘ＝ε−１Ｄｘから、下式が得られる。
【数６２】
【０１９２】
[0214] ここで、リーの推論の方針により、ΠｉｘＤｘはフーリエ空間内で因数分解可能であるが、ΠｊｙＤｘは因数分解可能でない。関数Παβは投影演算子として解釈できるので、以下を採用することができる。
【０１９３】
[0215] Ｉを単位作用素とし、Ａｉを相互に直交する投影演算子Ｐｉと交換可能な有界演算子のシーケンスとすると、演算子
【数６３】
は、有界逆数
【数６４】
を有し、ここでＢｉ＝−Ａｉ（Ｉ＋Ａｉ）−１である。
【０１９４】
[0216] この代数を計算し、投影演算子の等べきを考慮に入れることによって証明となる。
【０１９５】
[0217] この結果で、次に電場の成分に関して電束の成分を下式のように表すことができる。
【数６５】
【０１９６】
[0218] ここでＡｉ及びＢｉとＰｉとの交換特性を使用している。
【０１９７】
[0219] 同様に、ｙ成分について下式がある。
【数６６】
【０１９８】
[0220] ここで、乗算演算子はそれぞれ、電場の成分を直接演算する逆行列演算を実行した後、フーリエ因数分解可能である。これらの関係式から通常の方法でコントラスト電流密度を導出することができる。
【０１９９】
[0221] 以上の関係式から、ｘ及びｙ方向に沿った各間隔は逆演算子、すなわち合計Ｉ＋Ｊ個の逆数を生じることが明白になる。これらの逆数はそれぞれ、セクション２．３の単一のブリックの場合のように、逆演算子を含む中間行列ベクトル積に補助変数（ベクトル場）を導入すると、回避することができる。この方法で、変数の増加という犠牲を払うが、ＦＦＴの形態で行列ベクトル積の効率が維持される。これは、Ｉ及びＪが１より大きい場合に特に当てはまる。というのは、逆数がそれぞれ補助変数の量だけ増加し、それにより全行列ベクトル積のサイズを増大させるからである。
【０２００】
２．５．３ リーの法則の逆演算子の数を減少させる
[0222] セクション２．５．２の結論は、投影演算子Παβがそれぞれ新しい補助ベクトル場を導入するということであり、それによってこの手順は、幾つかの投影演算子より多くを必要とする幾何学的形状ではかなり非効率になる。したがって、階段方式の幾何学的融通性を犠牲にせずに、この方式によって最初に導入されるより少ない投影演算子で作業できる方法があるかという疑問が生じる。
【０２０１】
[0223] 主な取り組みは、合計に含まれる投影演算子が少なくなるものとして、式（２．７５）を書き換えることにある。すなわち、下式のように書き換える。
【数６７】
【０２０２】
[0224] 出願人は有名な「４色問題」に触発されている。これは、平坦な地図は４つの異なる色のみで着色することができ、したがって地図のどの２つの隣接する区域も同じ色を有さないということである。本発明の場合、状況は多少類似している。すなわち隣接する支持体がある投影演算子は、乗算関数＾χｉ，ｊがその相互接続する境界で連続している場合にのみ結合することができる。概して、このような制約は幾何学的形状では満たされない。したがって、隣接する支持体を有していない投影演算子を結合するようなグルーピングを導入する。これによって、結合した投影演算子の支持体上で乗算関数＾χｉ，ｊが一致する連続的な乗算演算子を構築することができる。
【０２０３】
[0225] 最初にこれを１次元で実証してみる。ｘ方向の（周期的）間隔を［０，ａ］として与え、この間隔を偶数の独立セグメントＳｉ（ｉ＝０，・・・，２Ｉ）に分割し、セグメントの和集合が周期的間隔［０，ａ］に広がり、セグメントがこの間隔に沿った位置に従って指し示される、すなわちセグメントＳｉ−１がセグメントＳｉへと進むようにする。これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数６８】
【０２０４】
[0226] ここで、Πｉ（ｘ）の支持体はｉ番目のセグメントに対応する。
【０２０５】
[0227] 次に、（相互に直交する）奇数及び偶数の投影演算子を導入する。
【数６９】
【０２０６】
[0228] さらに、（スカラー）関数ｆｏ（ｘ）及びｆｅ（ｘ）を導入する。これらの関数は間隔［０，ａ］で連続し、周期的連続性を有する。すなわちｆｏ（０）＝ｆｏ（ａ）及びｆｅ（０）＝ｆｅ（ａ）であり、ｋ＝１，・・・，Ｉについて、下式を満足する。
【数７０】
【０２０７】
[0229] 偶数及び奇数の投影演算子が投影演算子を隣接する支持体と結合しないので、関数ｆｏ及びｆｅを連続関数として、例えば偶数及び奇数の投影演算子の支持体以外のセグメントに関する１次補間を介して構築することができる。したがって、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数７１】
【０２０８】
[0230] 次にこの概念を２次元に、すなわち格子構造の横面に拡張する。（相互に直交する）偶数及び奇数の投影演算子を、次元ごとに偶数のセグメントがあるデカルト積グリッドのｘ及びｙ方向に導入する。さらに、４つの周期的に連続するスカラー関数を、ｆｏｏ（ｘ，ｙ）、ｆｏｅ（ｘ，ｙ）、ｆｅｏ（ｘ，ｙ）及びｆｅｅ（ｘ，ｙ）で表される周期的領域［０，ａ］×［０，ｂ］上に導入する。これらの関数は、乗数である投影演算子の支持体以外の双１次補間によって構築することができる。この手順は図１７で実証されている。
【０２０９】
[0231] これで、逆誘電率関数を下式のように書くことができる。
【数７２】
【０２１０】
[0232] これは関係する２次元投影演算子（色）が４つしかないことを示す。
【０２１１】
[0233] セクション２．５．２で概略した方法に従うと、以下のリーの法則に到達する。
【数７３】
【０２１２】
[0234] またＤｙとＥｙの間の関係に関する類似の式にも到達する。
【０２１３】
[0235] 手順を締めくくるために、ｘ成分が下式を満足し、ｙ成分も類似の関係である状態で、２つの補助場Ｆｅ及びＦｏを導入する。
【数７４】
【０２１４】
[0236] これらの条件で、及びｙ成分も類似の関係で、最終的に下式が得られる。
【数７５】
【０２１５】
[0237] ＦとＥを関連付ける演算子は、以前のセクションの逆演算子とは反対に２次元文字を有することに留意されたい。にもかかわらず、全ての演算子はここでは、２Ｄ（又は繰り返した１Ｄ）のＦＦＴにより効率的な行列ベクトル積を実施する乗算演算子である。
【０２１６】
[0238] 本文ではＩＣの製造におけるリソグラフィ装置の使用に特に言及しているが、本明細書で説明するリソグラフィ装置には他の用途もあることを理解されたい。例えば、これは、集積光学システム、磁気ドメインメモリ用誘導及び検出パターン、フラットパネルディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、薄膜磁気ヘッドなどの製造である。こうした代替的な用途に照らして、本明細書で「ウェーハ」又は「ダイ」という用語を使用している場合、それぞれ、「基板」又は「目標部分」という、より一般的な用語と同義と見なしてよいことが、当業者には認識される。本明細書に述べている基板は、露光前又は露光後に、例えばトラック（通常はレジストの層を基板に塗布し、露光したレジストを現像するツール）、メトロロジーツール及び／又はインスペクションツールで処理することができる。適宜、本明細書の開示は、以上及びその他の基板処理ツールに適用することができる。さらに基板は、例えば多層ＩＣを生成するために、複数回処理することができ、したがって本明細書で使用する基板という用語は、既に複数の処理済み層を含む基板も指すことができる。
【０２１７】
[0239] 上述した本発明の実施形態による方法は、図５に関して上述したように、放射によるオブジェクトの照明によって生成される回折パターンなどの、検出された電磁散乱特性からオブジェクト（１Ｄ周期性に限定されない）の近似構造を再構築する順方向回折モデルに組み込むことができる。図３及び図４に関して上述した処理ユニットＰＵは、この方法を使用してオブジェクトの近似構造を再構築するように構成することができる。
【０２１８】
[0240] 光リソグラフィの分野での本発明の実施形態の使用に特に言及してきたが、本発明は、他の用途、例えばインプリントリソグラフィにも使用することができ、文脈によっては、光リソグラフィに限定されないことを理解されたい。インプリントリソグラフィでは、パターニングデバイス内の微細構成（ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ）が基板上に作成されるパターンを形成する。パターニングデバイスの微細構成は、基板に供給されたレジスト層内に押圧し、電磁放射、熱、圧力又はこれらの組合せを印加することによりレジストは硬化する。パターニングデバイスはレジストから取り除かれ、レジストが硬化すると、内部にパターンが残される。
【０２１９】
[0241] 本明細書で使用する「放射」及び「ビーム」という用語は、イオンビーム又は電子ビームなどの粒子ビームのみならず、紫外線（ＵＶ）放射（例えば、３６５ｎｍ、３５５ｎｍ、２４８ｎｍ、１９３ｎｍ、１５７ｎｍ若しくは１２６ｎｍ、又はこれら辺りの波長を有する）及び極端紫外線光（ＥＵＶ）放射（例えば、５ｎｍ〜２０ｎｍの範囲の波長を有する）を含むあらゆるタイプの電磁放射を網羅する。
【０２２０】
[0242] 「レンズ」という用語は、状況が許せば、屈折、反射、磁気、電磁気及び静電気光学コンポーネントを含む様々なタイプの光学コンポーネントのいずれか一つ、又はその組合せを指すことができる。
【０２２１】
[0243] 「電磁」という用語は、電気及び磁気を包含する。
【０２２２】
[0244] 「電磁散乱特性」という用語は、スペクトル（波長の関数としての強度など）、回折パターン（位置／角度の関数としての強度）及び横方向磁気及び横方向電気偏光の相対強度及び／又は横方向磁気と横方向電気偏光との位相差を含む反射及び透過係数及びスキャトロメータ測定パラメータを包含する。回折パターン自体は、例えば反射係数を使用して計算することができる。
【０２２３】
[0245] したがって、本発明の実施形態は反射散乱に関して説明されているが、本発明は透過散乱にも適用可能である。
【０２２４】
[0246] 以上、本発明の特定の実施形態を説明したが、説明とは異なる方法でも本発明を実践できることが理解される。例えば、本発明は、上記で開示したような方法を述べる機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラム、又はこのようなコンピュータプログラムを内部に記憶したデータ記憶媒体（例えば半導体メモリ、磁気又は光ディスク）の形態をとることができる。
【０２２５】
[0247] 以下の参照文献は全て、参照により全体を本明細書に組み込むものとする。
[1] 「International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications ICEAA '03」の議事録（R. D. Graglia、編集者）記載の、M. C. van Beurden氏及びB. P. de Hon氏の、「Electromagnetic modelling of antennas mounted on a bandgap slab - discretisation issues and domain and boundary integral equations」、637-640ページ、Politecnico di Torino、2003年。
[2] Yia-Chung Chang氏、Guangwei Li氏、Hanyou Chu氏及びJon Opsal氏の、「Efficient finite-element, Green's function approach for critical-dimension metrology of three-dimensional gratings on multilayer films」、J. Opt. Soc. Am. A, 23(3):638-6454ページ、2006年3月。
[3] Lifeng Li氏の、「Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures」、J. Opt. Soc. Am. A, 13(9):1870-1876ページ、1996年9月。
[4] Lifeng Li氏の、「New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 14(10):2758-2767ページ、1997年10月。
[5] Philippe Lalanne氏の、「Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 14(7):1592-1598ページ、1997年7月。
[6] Evgeny Popov氏及びMichel Neviere氏の、「Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media」、J. Opt. Soc. Am. A, 18(11):2886-2894ページ、2001年11月。
[7] Thomas Schuster氏、Johannes Ruoff氏、Norbert Kerwien氏、Stephan Rafler氏及びWolfgang Osten氏の、「Normal vector method for convergence improvement using the RCWA for crossed gratings」、J. Opt. Soc. Am. A, 24(9):2880-2890ページ、2007年9月。
[8] Peter Goetz氏、Thomas Schuster氏、Karsten Frenner氏、Stephan Rafler氏、及びWolfgang Osten氏の、「Normal vector method for the RCWA with automated vector field generation」、OPTICS EXPRESS, 16(22):17295-17301ページ、2008年10月。
【０２２６】
結論
[0248] 特許請求の範囲を解釈するには、発明の概要及び要約の項目ではなく、「発明を実施するための形態」の項目を使用するよう意図されていることを認識されたい。発明の概要及び要約の項目は、発明者が想定するような本発明の１つ又は複数の例示的実施形態について述べることができるが、全部の例示的実施形態を述べることはできず、したがって本発明及び特許請求の範囲をいかなる意味でも限定しないものとする。
【０２２７】
[0249] 以上では、特定の機能の実施態様を例示する機能的構成要素及びその関係の助けにより、本発明について説明してきた。これらの機能的構成要素の境界は、本明細書では説明の便宜を図って任意に画定されている。特定の機能及びその関係が適切に実行される限り、代替的な境界を画定することができる。
【０２２８】
[0250] 特定の実施形態に関する以上の説明は、本発明の全体的性質を十分に明らかにしているので、当技術分野の知識を適用することにより、過度の実験をせず、本発明の全体的概念から逸脱することなく、このような特定の実施形態を容易に修正する、及び／又はこれを様々な用途に適応させることができる。したがって、このような適応及び修正は、本明細書に提示された教示及び案内に基づき、開示された実施形態の同等物の意味及び範囲に入るものとする。本明細書の言葉遣い又は用語は説明のためのもので、限定するものではなく、したがって本明細書の用語又は言葉遣いは、当業者には教示及び案内の観点から解釈されるべきことを理解されたい。
【０２２９】
[0251] 本発明の幅及び範囲は、上述した例示的実施形態のいずれによっても限定されず、特許請求の範囲及びその同等物によってのみ規定されるものである。
【特許請求の範囲】
【請求項１】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している方法。
【請求項２】
前記電磁散乱特性が、反射係数を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記電磁場が、入射及び散乱電磁場成分の総和を含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
前記ベクトル場が、前記少なくとも一方向に関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表され、前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって前記電磁場の成分を決定するステップを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記畳み込み及び基底変換演算子Ｃが、前記少なくとも１つの方向に前記構造の材料及び幾何学的特性を含み、前記材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、前記ベクトル場を前記電磁場に変換するように構成される、請求項４又は５に記載の方法。
【請求項７】
前記畳み込み及び基底変換演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項４から６のいずれか１項に記載の方法。
【請求項８】
前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、畳み込み演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって電流密度を決定するステップを含む、請求項４から６のいずれか１項に記載の方法。
【請求項９】
畳み込み演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記畳み込み演算子が、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含む、請求項８又は９に記載の方法。
【請求項１１】
前記畳み込み演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項８から１０のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１２】
前記電流密度が、コントラスト電流密度である、請求項８から１１のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１３】
前記電流密度が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される、請求項８から１２のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１４】
前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、グリーン関数演算子での前記電流密度の畳み込みによって散乱電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】
グリーン関数演算子での前記電流密度の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項１４に記載の方法。
【請求項１６】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分、及び前記少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の前記電磁束密度の前記連続成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、前記電磁場及び対応する前記電磁束密度の場の成分の組合せから構築される、前記請求項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１７】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記近似解の畳み込みによって、前記電磁場を決定するステップをさらに含む、前記請求項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１８】
前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性から前記オブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
前記モデル電磁散乱特性が、構造の電磁散乱特性を計算する方法を使用して決定され、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している方法。
【請求項２０】
ライブラリ内で複数の前記モデル電磁散乱特性を構成するステップをさらに含み、前記比較するステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させるステップを含む、請求項１９に記載の方法。
【請求項２１】
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップと、少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱を比較する前記ステップとを反復するステップをさらに含み、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップが、以前の反復で比較した前記ステップの結果に基づく、請求項１９又は２０に記載の方法。
【請求項２２】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
放射で前記オブジェクトを照明するように構成された照明システムと、
前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
プロセッサであって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定する
ように構成されたプロセッサと、
を備え、
前記プロセッサが、構造の電磁散乱特性を計算する方法を使用して前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成され、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している検査装置。
【請求項２３】
構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトであって、前記命令が、１つ又は複数のプロセッサに前記構造の電磁散乱特性を計算する方法を実行させるように構成され、前記構造が、少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項２４】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、ベクトル場の近似解を決定するように、前記電磁場に関連し、それとは異なる前記ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含む方法。
【請求項２５】
前記ベクトル場が、可逆演算子によって前記電磁場に関連付けられる、請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
前記ベクトル場が基底変換によって前記電磁場に関連付けられ、前記ベクトル場が前記材料境界にて連続している、請求項２４又は２５に記載の方法。
【請求項２７】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、処理デバイスを使用して、基底変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように、前記材料境界で連続している方法。
【請求項２８】
前記電磁散乱特性が、反射係数を含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項２９】
前記電磁場が、入射及び散乱電磁場の成分の総和を含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項３０】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって前記電磁場の成分を決定するステップを含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項３１】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項３０に記載の方法。
【請求項３２】
前記畳み込み及び基底変換演算子Ｃが、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含み、前記材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することによって前記ベクトル場を前記電磁場に変換するように構成される、請求項３０に記載の方法。
【請求項３３】
前記畳み込み及び基底変換演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項３０に記載の方法。
【請求項３４】
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、畳み込み演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって電流密度を決定するステップを含む、請求項３０に記載の方法。
【請求項３５】
畳み込み演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項３４に記載の方法。
【請求項３６】
前記畳み込み演算子が、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含む、請求項３４に記載の方法。
【請求項３７】
前記畳み込み演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項３４に記載の方法。
【請求項３８】
前記電流密度が、コントラスト電流密度である、請求項３４に記載の方法。
【請求項３９】
前記電流密度が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される、請求項３４に記載の方法。
【請求項４０】
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、グリーン関数演算子での前記電流密度の畳み込みによって散乱電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項３９に記載の方法。
【請求項４１】
グリーン関数演算子での前記電流密度の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項４０に記載の方法。
【請求項４２】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分、及び前記少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の前記電磁束密度の前記連続成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、前記電磁場及び対応する電磁束密度の場の成分の組合せから構築される、請求項２７に記載の方法。
【請求項４３】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記近似解の畳み込みによって、前記電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項４４】
前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項４３に記載の方法。
【請求項４５】
放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性から前記オブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
処理デバイスを使用して、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
前記モデル電磁散乱特性が、
構造の電磁散乱特性を計算するステップであって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含むステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと
によって決定される方法。
【請求項４６】
ライブラリ内で複数の前記モデル電磁散乱特性を構成するステップをさらに含み、
前記比較するステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させるステップを含む、請求項４５に記載の方法。
【請求項４７】
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップと、少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱を比較する前記ステップとを反復するステップをさらに含み、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップが、以前の反復で比較した前記結果に基づく、請求項４５に記載の方法。
【請求項４８】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
放射で前記オブジェクトを照明するように構成された照明システムと、
前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
プロセッサであって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定する
ように構成されたプロセッサと、
を備え、
前記プロセッサが、
少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含む構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと、
によって前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成される検査装置。
【請求項４９】
自身上に記憶されたコンピュータ実行可能命令を有する有形のコンピュータ可読媒体であって、前記命令がコンピュータデバイスによって実行されると、計算デバイスに、
少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含む構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと
を含む方法を実行させるコンピュータ可読媒体。
【請求項５０】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、計算デバイスを使用して、ベクトル場の近似解を決定するように、前記電磁場に関連し、それとは異なる前記ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含む方法。
【請求項５１】
前記ベクトル場が、可逆演算子によって前記電磁場に関連付けられる、請求項５０に記載の方法。
【請求項５２】
前記ベクトル場が、基底変換によって前記電磁場に関連付けられ、前記ベクトル場が、前記材料境界で連続している、請求項５０に記載の方法。
【請求項１】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している方法。
【請求項２】
前記電磁散乱特性が、反射係数を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記電磁場が、入射及び散乱電磁場成分の総和を含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
前記ベクトル場が、前記少なくとも一方向に関して少なくとも１つの有限フーリエ級数で表され、前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって前記電磁場の成分を決定するステップを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記畳み込み及び基底変換演算子Ｃが、前記少なくとも１つの方向に前記構造の材料及び幾何学的特性を含み、前記材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することにより、前記ベクトル場を前記電磁場に変換するように構成される、請求項４又は５に記載の方法。
【請求項７】
前記畳み込み及び基底変換演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項４から６のいずれか１項に記載の方法。
【請求項８】
前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、畳み込み演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって電流密度を決定するステップを含む、請求項４から６のいずれか１項に記載の方法。
【請求項９】
畳み込み演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記畳み込み演算子が、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含む、請求項８又は９に記載の方法。
【請求項１１】
前記畳み込み演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項８から１０のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１２】
前記電流密度が、コントラスト電流密度である、請求項８から１１のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１３】
前記電流密度が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される、請求項８から１２のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１４】
前記体積積分方程式を数値的に解く前記ステップが、グリーン関数演算子での前記電流密度の畳み込みによって散乱電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】
グリーン関数演算子での前記電流密度の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項１４に記載の方法。
【請求項１６】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分、及び前記少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の前記電磁束密度の前記連続成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、前記電磁場及び対応する前記電磁束密度の場の成分の組合せから構築される、前記請求項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１７】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記近似解の畳み込みによって、前記電磁場を決定するステップをさらに含む、前記請求項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１８】
前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び整数論変換（ＮＴＴ）を含む組から選択される変換を使用して実行される、請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性から前記オブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
前記モデル電磁散乱特性が、構造の電磁散乱特性を計算する方法を使用して決定され、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している方法。
【請求項２０】
ライブラリ内で複数の前記モデル電磁散乱特性を構成するステップをさらに含み、前記比較するステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させるステップを含む、請求項１９に記載の方法。
【請求項２１】
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップと、少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱を比較する前記ステップとを反復するステップをさらに含み、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップが、以前の反復で比較した前記ステップの結果に基づく、請求項１９又は２０に記載の方法。
【請求項２２】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
放射で前記オブジェクトを照明するように構成された照明システムと、
前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
プロセッサであって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定する
ように構成されたプロセッサと、
を備え、
前記プロセッサが、構造の電磁散乱特性を計算する方法を使用して前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成され、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続している検査装置。
【請求項２３】
構造の電磁散乱特性を計算するために機械読み取り式命令の１つ又は複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムプロダクトであって、前記命令が、１つ又は複数のプロセッサに前記構造の電磁散乱特性を計算する方法を実行させるように構成され、前記構造が、少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項２４】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、ベクトル場の近似解を決定するように、前記電磁場に関連し、それとは異なる前記ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含む方法。
【請求項２５】
前記ベクトル場が、可逆演算子によって前記電磁場に関連付けられる、請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
前記ベクトル場が基底変換によって前記電磁場に関連付けられ、前記ベクトル場が前記材料境界にて連続している、請求項２４又は２５に記載の方法。
【請求項２７】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、処理デバイスを使用して、基底変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含み、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように、前記材料境界で連続している方法。
【請求項２８】
前記電磁散乱特性が、反射係数を含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項２９】
前記電磁場が、入射及び散乱電磁場の成分の総和を含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項３０】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表され、
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって前記電磁場の成分を決定するステップを含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項３１】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項３０に記載の方法。
【請求項３２】
前記畳み込み及び基底変換演算子Ｃが、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含み、前記材料及び幾何学的特性に従って基底変換を実行することによって前記ベクトル場を前記電磁場に変換するように構成される、請求項３０に記載の方法。
【請求項３３】
前記畳み込み及び基底変換演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項３０に記載の方法。
【請求項３４】
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、畳み込み演算子での前記ベクトル場の畳み込みによって電流密度を決定するステップを含む、請求項３０に記載の方法。
【請求項３５】
畳み込み演算子での前記ベクトル場の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項３４に記載の方法。
【請求項３６】
前記畳み込み演算子が、前記少なくとも１つの方向で前記構造の材料及び幾何学的特性を含む、請求項３４に記載の方法。
【請求項３７】
前記畳み込み演算子が、有限離散畳み込みに従って演算する、請求項３４に記載の方法。
【請求項３８】
前記電流密度が、コントラスト電流密度である、請求項３４に記載の方法。
【請求項３９】
前記電流密度が、前記少なくとも１つの方向に関する少なくとも１つの有限フーリエ級数によって表される、請求項３４に記載の方法。
【請求項４０】
前記体積積分方程式を前記数値的に解くステップが、グリーン関数演算子での前記電流密度の畳み込みによって散乱電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項３９に記載の方法。
【請求項４１】
グリーン関数演算子での前記電流密度の前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項４０に記載の方法。
【請求項４２】
前記ベクトル場が、前記少なくとも１つの材料境界に対して接線方向の前記電磁場の連続成分、及び前記少なくとも１つの材料境界に対して法線方向の前記電磁束密度の前記連続成分をフィルタリングするために法線ベクトル場を使用することにより、前記電磁場及び対応する電磁束密度の場の成分の組合せから構築される、請求項２７に記載の方法。
【請求項４３】
畳み込み及び基底変換演算子での前記ベクトル場の前記近似解の畳み込みによって、前記電磁場を決定するステップをさらに含む、請求項２７に記載の方法。
【請求項４４】
前記畳み込みが、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）又は整数論変換（ＮＴＴ）を含む変換を使用して実行される、請求項４３に記載の方法。
【請求項４５】
放射によるオブジェクトの照明から生じて検出された電磁散乱特性から前記オブジェクトの近似構造を再構築する方法であって、
処理デバイスを使用して、少なくとも１つのオブジェクト構造を推定するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較するステップと、
前記処理デバイスを使用して、前記比較の結果に基づいて近似オブジェクト構造を決定するステップと、
を含み、
前記モデル電磁散乱特性が、
構造の電磁散乱特性を計算するステップであって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含むステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと
によって決定される方法。
【請求項４６】
ライブラリ内で複数の前記モデル電磁散乱特性を構成するステップをさらに含み、
前記比較するステップが、前記検出された電磁散乱特性を前記ライブラリの内容と一致させるステップを含む、請求項４５に記載の方法。
【請求項４７】
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップと、少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定する前記ステップと、前記検出された電磁散乱を比較する前記ステップとを反復するステップをさらに含み、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定する前記ステップが、以前の反復で比較した前記結果に基づく、請求項４５に記載の方法。
【請求項４８】
オブジェクトの近似構造を再構築する検査装置であって、
放射で前記オブジェクトを照明するように構成された照明システムと、
前記照明から生じた電磁散乱特性を検出するように構成された検出システムと、
プロセッサであって、
少なくとも１つのオブジェクト構造を推定し、
前記少なくとも１つの推定されたオブジェクト構造から少なくとも１つのモデル電磁散乱特性を決定し、
前記検出された電磁散乱特性を前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性と比較し、
前記検出された電磁散乱特性と前記少なくとも１つのモデル電磁散乱特性との差から近似オブジェクト構造を決定する
ように構成されたプロセッサと、
を備え、
前記プロセッサが、
少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含む構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと、
によって前記モデル電磁散乱特性を決定するように構成される検査装置。
【請求項４９】
自身上に記憶されたコンピュータ実行可能命令を有する有形のコンピュータ可読媒体であって、前記命令がコンピュータデバイスによって実行されると、計算デバイスに、
少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含む構造の電磁散乱特性を計算するステップと、
基底の変換によって前記電磁場に関連するベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップであって、前記ベクトル場が、前記ベクトル場の近似解を決定するように前記材料境界にて連続しているステップと
を含む方法を実行させるコンピュータ可読媒体。
【請求項５０】
構造の電磁散乱特性を計算する方法であって、前記構造が少なくとも一方向に周期的であり、材料の境界で電磁場の不連続を引き起こすように様々な特性の材料を含み、前記方法が、計算デバイスを使用して、ベクトル場の近似解を決定するように、前記電磁場に関連し、それとは異なる前記ベクトル場の体積積分方程式を数値的に解くステップを含む方法。
【請求項５１】
前記ベクトル場が、可逆演算子によって前記電磁場に関連付けられる、請求項５０に記載の方法。
【請求項５２】
前記ベクトル場が、基底変換によって前記電磁場に関連付けられ、前記ベクトル場が、前記材料境界で連続している、請求項５０に記載の方法。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図１３】
【図１４】
【図１５】
【図１６】
【図１７】
【図１８】
【図１９】
【図２０】
【図２１】
【図２２】
【公開番号】特開２０１１−１２８１３７（Ｐ２０１１−１２８１３７Ａ）
【公開日】平成２３年６月３０日（２０１１．６．３０）
【国際特許分類】
【外国語出願】
【出願番号】特願２０１０−２０８６５７（Ｐ２０１０−２０８６５７）
【出願日】平成２２年９月１７日（２０１０．９．１７）
【出願人】（５０４１５１８０４）エーエスエムエル ネザーランズ ビー．ブイ． (1,856)
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成２３年６月３０日（２０１１．６．３０）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２０１０−２０８６５７（Ｐ２０１０−２０８６５７）
【出願日】平成２２年９月１７日（２０１０．９．１７）
【出願人】（５０４１５１８０４）エーエスエムエル ネザーランズ ビー．ブイ． (1,856)
【Ｆターム（参考）】
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